Quy trình toán học hóa để phát triển các năng lực về thay đổi và các mối quan hệ của học sinh mười lăm tuổi

1
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa i
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
Mục lục 1
Danh mục các chữ viết tắt 4
Chương 1. MỞ ĐẦU 5
1. Lời giới thiệu 5
1.1. Lý do chọn đề tài 6
1.2. Phát biểu vấn đề nghiên cứu 7
2. Mục đích nghiên cứu 7
3. Câu hỏi nghiên cứu 7
4. Định nghĩa các thuật ngữ 8
5. Ý nghĩa nghiên cứu 8
6. Phương pháp và công cụ nghiên cứu 8
6.1. Phương pháp nghiên cứu 8
6.2. Đối tượng nghiên cứu 9
6.3. Phạm vi nghiên cứu 9
6.4. Công cụ nghiên cứu 9
7. Cấu trúc luận văn 9
Chương 2. TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 10
1. Nền tảng lịch sử 10
1.1. Toán học có nguồn gốc thực tiễn 10
1.2. Kết nối Toán với thế giới thực 10
1.3. Một số quy trình toán học hóa 13
2. Nền tảng lý thuyết 16

2

2.1. Toán học hóa 16
2.1.1. Khái niệm toán học hóa 16
2.1.2. Quy trình toán học hóa của PISA 18
2.1.3. Bài toán tính thể tích khối tròn xoay 19
2.2. Đánh giá Toán trong PISA 21
2.2.1. Các ý tưởng bao quát 21
2.2.2. Các năng lực 22
2.2.3. Các cụm năng lực 24
2.2.4. Thay đổi và các mối quan hệ 26
Chương 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU 29
1. Thiết kế nghiên cứu 29
2. Đối tượng tham gia 29
3. Công cụ nghiên cứu 29
3.1. Bộ đề kiểm tra 31
3.2. Bảng hỏi 46
4. Hạn chế 48
Chương 4. CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 50
1. Cách thức tổ chức 50
2. Kết quả thu được từ Bộ đề kiểm tra 50
Bài toán 1: Chiều cao của trẻ 52
Bài toán 2: IQ 54
Bài toán 3: Giá thuê môtô nước 56
Bài toán 4: Số HS đậu đại học 58
Bài toán 5: Giá cước taxi 59
Bài toán 6: Đèn giao thông tại ngã 6 61
Bài toán 7: Hợp đồng lao động 62
Bài toán 8: Lượng xăng tiêu thụ 63
Bài toán 9: Hồ cá 65

3

3. Kết quả thu được từ Bảng hỏi 66
Chương 5. KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ VẬN DỤNG 70
1. Kết luận 70
1.1. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 70
1.2. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai 71
1.3. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba 72
2. Lý giải 73
2.1. Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 73
2.2. Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ hai 76
2.3. Lý giải cho các kết luận của câu hỏi nghiên cứu thứ ba 78
3. Vận dụng 81
KẾT LUẬN 82
TÀI LIỆU THAM KHẢO 83












4

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT


GV : Giáo viên
HS : Học sinh
KVNT : Khu vực nông thôn
KVTP : Khu vực thành phố
NCTM : National Council of Teachers of Mathematics
OECD : Organization for Economic Co-operation and Development
PISA : Programme for International Student Assessment
SCN : Sau công nguyên
TCN : Trước công nguyên
THPT : Trung học phổ thông


5
Chương 1. MỞ ĐẦU
1. Lời giới thiệu
Từ năm 500 đến 1300 trong thế giới Hồi Giáo, Ấn Độ, Trung Quốc, đại số đã được
thiết lập như là một ngành của toán học. Điều này đã mở ra việc nghiên cứu về
"thay đổi và các mối quan hệ" - một lĩnh vực mà hiện nay được xem là trọng yếu
trong bất kỳ chương trình giáo dục nào, của bất kỳ quốc gia nào.
PISA, viết tắt của The Programme for International Student Assessment, là chương
trình đánh giá quy mô toàn cầu do các quốc gia công nghiệp phát triển thuộc tổ
chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD và một số quốc gia khác tổ chức 3 năm
một lần. PISA đánh giá kiến thức và kỹ năng trong 3 lĩnh vực: đọc hiểu phổ thông,
làm toán phổ thông và khoa học phổ thông của HS mười lăm tuổi, qua đó kiểm tra
khả năng đáp ứng những kiến thức, kỹ năng cần thiết cho cuộc sống sau này theo
chuẩn quốc tế.
Đánh giá OECD/PISA tập trung vào các bài toán thực tế, tiến xa hơn những loại

tình huống và vấn đề thường hay gặp trong lớp học. Trong bối cảnh thực tế: tình
huống khi mua sắm, đi lại, nấu nướng, giải quyết các vấn đề tài chính cá nhân, phán
xét các vấn đề chính trị…ở đó việc áp dụng suy luận "thay đổi và các mối quan hệ"
hay những năng lực toán học khác sẽ giúp làm sáng tỏ, thiết lập và giải quyết vấn
đề. Việc sử dụng toán như vậy dựa trên những kỹ năng được học và được thực hành
thông qua các bài toán xuất hiện một cách tiêu biểu trong các sách giáo khoa và lớp
học. Tuy nhiên, bài toán thực tế đòi hỏi khả năng áp dụng những kỹ năng đó trong
một hoàn cảnh ít được cơ cấu hơn. Ở đó, các hướng giải quyết là không rõ ràng và
HS phải đưa ra quyết định kiến thức toán nào sẽ phù hợp và hiệu quả đối với vấn đề
cần giải quyết.
Nội dung toán học trong PISA có thể được minh họa bởi bốn phạm trù bao trùm các
vấn đề nảy sinh ra trong quá trình tương tác với các hiện tượng thường ngày. Chúng
dựa vào quan niệm về các cách mà nội dung toán học thể hiện ra cho con người.
Những nội dung đó được gọi là "các ý tưởng bao quát": đại lượng, không gian và
hình, thay đổi và các mối quan hệ và tính không chắc chắn. Điều này có sự khác
biệt với tiếp cận về nội dung quen thuộc trong quan điểm dạy toán và các mạch kiến
thức chương trình tiêu biểu được dạy ở nhà trường. Tuy nhiên, "các ý tưởng bao
quát" bao trùm một cách rộng rãi các chủ đề toán học mà HS dự kiến phải được học
trong nhà trường.

6
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong một lần lướt web, tôi gặp bài viết của một người ông về cháu mình như sau:
"Tôi có đứa cháu năm nay học lớp 8, học kì I được xếp loại giỏi. Ngày tết ngồi đọc
Tuổi trẻ cười, thấy có chuyện cấp cái sổ đỏ 5m
2
, nó ngơ ngẩn hỏi 5m
2
là cỡ bao lớn.
Tôi bảo nó cứ tưởng tượng đó là hình chữ nhật 6m

2
xem, các cạnh của nó sẽ có kích
thước như thế nào? Nó suy nghĩ một hồi rồi nói là một cạnh 2m, một cạnh 3m
nhưng diễn tả ra trên nền nhà thì nó không biết. Nó lúng túng hỏi một viên gạch có
kính thước bao nhiêu. Tôi hỏi thêm: Cái giường của con chiếm diện tích bao nhiêu?
Nó không trả lời được. Tôi thiệt thấy ngán cái cách dạy và học toán hiện nay. Các
bạn thử cho ý kiến thêm xem sao. Nhất là các bạn đang đi học, thử nghĩ xem mình
có thể vận dụng toán học để giải quyết được việc gì trong cuộc sống hay không?
(ngoài việc đếm tiền)" [15]. Đáng chú ý là mọi ý kiến bình luận đều đồng tình và
bày tỏ sự băn khoăn tương tự.
Không ít người cảm thấy thất vọng vì đã "uổng công" học toán. Nghe người ta nói
thì toán học là "chìa khóa" cho mọi vấn đề, nhưng trên thực tế thì HS sau khi tốt
nghiệp lại chẳng biết dùng kiến thức toán đã học được trong nhà trường vào việc gì
trong cuộc sống, nhất là những bài toán khó mà họ đã tốn bao công sức nhồi nhét
trong các "lò luyện" đủ loại. Đây là một thực tế, xuất phát từ việc xác định nội dung
và phương pháp dạy toán chưa hợp lý trong nhà trường hiện nay. Toán học đã bị
biến thành một môn "đánh đố thuần túy", thay vì một bộ môn khoa học mang đầy
chất thực tiễn. Đã có những ý kiến nói về sự lãng phí của nguồn nhân lực đang làm
toán hiện nay và không ít người đã tưởng là sự thật.
Tôi thiết nghĩ trong 10.000 người thì chỉ có 1 người làm toán còn 9.999 người còn
lại mong muốn dùng toán như là công cụ để giải quyết các vấn đề cuộc sống như
các tình huống khi mua sắm, đi lại, nấu nướng, giải quyết vấn các đề tài chính cá
nhân, phán xét chính trị… Vì vậy, mong muốn toán học thực tế, gần gũi với cuộc
sống là một nhu cầu chính đáng và cấp thiết.
Việt Nam sẽ chính thức đăng ký tham gia Chương trình đánh giá HS Quốc tế PISA
vào năm 2012. Ngày 25/6/2010 tại Vĩnh Phúc, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tiến hành
Hội thảo Quốc gia lần thứ nhất về Chương trình đánh giá HS quốc tế (PISA). Tham
dự Hội thảo có Thứ trưởng Nguyễn Vinh Hiển - Trưởng Ban Chỉ đạo đánh giá trong
nước và quốc tế HS phổ thông; PGS.TS Nguyễn Lộc, phó viện trưởng Viện KHGD
Việt Nam, giám đốc điều phối quốc gia; giám đốc văn phòng PISA Việt Nam; đại

diện Vụ; Cục thuộc Bộ và hơn 100 đại biểu đến từ các Sở Giáo dục và Đào tạo của
63 tỉnh, thành trong cả nước [16].

7
Với những nhu cầu cấp thiết của khuynh hướng giáo dục trong tương lai, tầm quan
trọng đặc biệt và hiệu quả của việc sử dụng quy trình toán học hóa trong sự phát triển
tư duy cho HS; với mong muốn làm sao để toán học không khô khan và có sự cuốn hút
đặc biệt đối với HS. Đó là những động lực mạnh mẽ cho tôi quyết định chọn đề tài
nghiên cứu này.
1.2. Phát biểu vấn đề nghiên cứu
Hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân để xác định và hiểu vai trò của toán học
trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với toán học
theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống và của cá nhân đó với tư cách là một
công dân có tính xây dựng, biết quan tâm và biết phản ảnh [10].
Trong khi đó, việc dạy toán của chúng ta hiện nay còn mang tính hàn lâm, chú trọng
nhiều đến rèn luyện kỹ năng, chưa thật sự quan tâm đến phát triển năng lực toán và
hình thành những hiểu biết toán cho HS; đặc biệt là phát triển năng lực giải quyết các
vấn đề thực tế thông qua toán học, một trong những yếu tố quan trọng giúp giáo dục
toán trở nên hiệu quả hơn. Có thể thay đổi cách nghĩ của HS từ ba không (khó, khô
khan, không thích) sang ba có (thú vị, ý nghĩa, thích).
Nếu đánh giá hiệu quả giáo dục toán theo khía cạnh HS áp dụng tri thức đã học vào
giải quyết các vấn đề trong bối cảnh mới, đặc biệt là bối cảnh thực tế ra sao thì giáo dục
toán của ta đem lại những kết quả khá khiêm tốn.
Trong bối cảnh đó, tôi chọn đề tài: "Quy trình toán học hóa để phát triển các năng
lực về thay đổi và các mối quan hệ của học sinh mười lăm tuổi" làm vấn đề nghiên
cứu của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
(1) Thăm dò các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán
phổ thông của HS mười lăm tuổi tại Thừa Thiên Huế.
(2) Sử dụng quy trình toán học hóa của PISA để phát triển các năng lực về "thay

đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông của HS mười lăm tuổi.
3. Câu hỏi nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đó, đề tài này gắn liền với ba câu hỏi nghiên cứu sau:
1. Các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ
thông của HS mười lăm tuổi được thể hiện như thế nào?
2. Nâng cao các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán
phổ thông có vai trò như thế nào với HS mười lăm tuổi?
3. Làm thế nào để nâng cao các năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan
hệ" trong toán phổ thông của HS mười lăm tuổi?

8
4. Định nghĩa các thuật ngữ
 Toán học hóa: là một quá trình cơ bản mà các HS dùng để giải quyết các
vấn đề thực tế được đề cập [10];
 Năng lực toán: là những quá trình toán học mà HS áp dụng khi các em nỗ
lực giải quyết các vấn đề, bao gồm: tư duy và suy luận; giao tiếp; mô hình
hóa; đặt vấn đề và giải; biểu diển; sử dụng ngôn ngữ kí hiệu, ngôn ngữ hình
thức và các phép toán; sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ [7, tr.40];
 Thay đổi và các mối quan hệ: thay đổi và các mối quan hệ liên quan đến các
kiến thức về toán học biểu hiện của sự thay đổi, cũng như mối quan hệ chức
năng và phụ thuộc giữa các biến [13, tr.22];
 Giải quyết vấn đề: là quá trình nhận thức bậc cao đòi hỏi việc sử dụng sự
điều ứng và kiểm soát nhiều hơn thói quen hay những kỹ năng cơ bản. Nó
chỉ xảy ra khi con người hay trí tuệ nhân tạo chưa biết cách nào tiến hành từ
tình trạng đã cho đến tình trạng mong muốn (Goldstein & Levin, 1987).
5. Ý nghĩa nghiên cứu
Chúng tôi mong muốn đề tài này sẽ đem đến những ý nghĩa cơ bản sau:
Thứ nhất: Nghiên cứu được xem như là một thử nghiệm cho việc sử dụng quy trình
toán học hóa của PISA trong việc phát triển năng lực về "thay đổi và các mối quan
hệ" của HS mười lăm tuổi trong toán phổ thông.

Thứ hai: Kết quả nghiên cứu cho thấy rõ tầm quan trọng của quy trình toán học hóa
cũng như việc dạy toán thông qua giải quyết những vấn đề thực tế liên quan đến
"thay đổi và các mối quan hệ".
Thứ ba: Nghiên cứu đóng góp thêm những kiến thức cần thiết về vai trò của quy
trình toán học hóa cũng như việc đem toán học gần với cuộc sống thường ngày.
Thứ tư: Nghiên cứu này đề xuất một số biện pháp nhằm phát triển tư duy cho HS về
"thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông thông qua quy trình toán học
hóa PISA.
6. Phương pháp và công cụ nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu
Trong nghiên cứu này tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
- Nghiên cứu có tính lịch sử: khảo sát những vấn đề liên quan đến đề tài như:
mô hình toán học hóa của PISA; xu hướng kết nối toán học với thực tiễn trên
thế giới cũng như trong nước; nội dung toán "thay đổi và các mối quan hệ"…

9
- Nghiên cứu khảo sát: Thu thập thông tin từ HS về: suy nghĩ về toán và việc
học toán; sự thể hiện các năng lực của HS trong nội dung toán "thay đổi và
các mối quan hệ" và khả năng vận dụng các năng lực đó vào đời sống thực tế
như thế nào.
6.2. Đối tượng nghiên cứu
Luận văn tập trung vào nghiên cứu các đối tượng sau:
- Quy trình toán học hóa của PISA;
- Nội dung toán "thay đổi và các mối quan hệ";
- Năng lực và suy nghĩ của HS mười lăm tuổi tại Huế về "thay đổi và các mối
quan hệ".
6.3. Phạm vi nghiên cứu
Thành phần tham gia trong nghiên cứu này gồm:
- Giáo viên: người nghiên cứu;
- Học sinh: gồm 2 lớp trường THPT Hai Bà Trưng; 2 lớp trường THPT chuyên

Quốc Học; 1 lớp trường THPT Nguyễn Đình Chiểu; 1 lớp trường THPT Đặng
Huy Trứ. Tổng số HS tham gia thực nghiệm sư phạm là 244.
6.4. Công cụ nghiên cứu
Ngoài việc sử dụng các tài liệu phục vụ cho nghiên cứu có tính lịch sử, tôi còn sử
dụng các công cụ nghiên cứu: Bộ đề kiểm tra; Bảng hỏi.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mục lục, danh mục các chữ viết tắt, tài liệu tham khảo, luận văn được
trình bày trong năm chương:
Chương 1. Mở đầu;
Chương 2. Tổng quan các kiến thức liên quan;
Chương 3. Thiết kế nghiên cứu;
Chương 4. Các kết quả nghiên cứu;
Chương 5. Kết luận, lý giải và vận dụng.
Tóm tắt chương 1: Trong chương này chúng tôi đã nêu lên nhu cầu nghiên cứu của
đề tài. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng đã trình một số vấn đề quan trọng khác như mục
đích nghiên cứu, câu hỏi nghiêm cứu, ý nghĩa nghiên cứu, phương pháp và công cụ
nghiên cứu.

10
Chương 2. TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Trong chương này tôi trình bày nền tảng lịch sử; quy trình toán học hóa và nội dung
toán "thay đổi và các mối quan hệ" trong khuôn khổ PISA.
1. Nền tảng lịch sử
1.1. Toán học có nguồn gốc thực tiễn
Lịch sử đã cho thấy rằng, toán học có nguồn gốc thực tiễn; chính sự phát triển của
thực tiễn đã có tác dụng lớn đối với toán học. Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh, phát
triển và hoàn thiện các lí thuyết toán học. Ví dụ các tập số được xây dựng từ nhu
cầu thực tiễn: số tự nhiên ra đời do nhu cầu đếm các đồ vật; tập hợp số nguyên được
xây dựng để phép trừ luôn thực hiện được hoặc các phương trình dạng
a x b

luôn có nghiệm; trong quá trình đo đạc nhiều khi gặp phải những đại lượng không
chứa đựng một số tự nhiên hoặc do nhu cầu chia những vật ra nhiều phần bằng nhau
mà số biểu diễn bởi phân số được phát sinh; hệ thống số hữu tỉ được hình thành do
nhu cầu đo những đại lượng có thể xét theo hai chiều ngược nhau; hệ thống số thực
được xây dựng do nhu cầu đo những đoạn thẳng, sao cho mỗi đoạn thẳng, kể cả
những đoạn thẳng không đo được bằng số hữu tỉ, đều có một số đo. Trong lịch sử
toán học, để giải phương trình bậc ba người ta đã phải giải phương trình bậc hai như
một bước trung gian. Khi xét phương trình:
3
0xx
, rõ ràng là có ba nghiệm 0, 1,
-1 nhưng người ta nhận thấy rằng phương trình bậc hai trung gian của nó lại có biệt
số

âm. Việc này phải chăng có mâu thuẫn? Vì phương trình bậc hai vô nghiệm
khi biệt số

âm. Nhưng nếu thử chấp nhận một số có bình phương bằng -1 (một cách
hình thức) để biểu thị nghiệm của phương trình bậc hai trung gian thì cuối cùng cũng đi
đến ba nghiệm của phương trình bậc 3 nói trên. Thực tế này gợi ra việc cần phải mở
rộng tập số thực, đưa thêm vào cả những số mà bình phương của nó là một số âm,
và như thế số phức ra đời.
Toán học không phải là một sản phẩm thuần tuý của trí tuệ mà được phát sinh và
phát triển do như cầu thực tế cuộc sống. Chúng ta không phát minh ra toán học mà
phát hiện ra chúng. Ngược lại, toán học lại xâm nhập vào thực tiễn và thúc đẩy thực
tiễn phát triển. Với vai trò là công cụ, toán học sẽ giúp giải quyết các bài toán do
chính thực tiễn đặt ra.
1.2. Kết nối toán với thế giới thực
Là GV toán, chúng ta đều muốn làm cho toán học, cái chúng ta dạy trở nên "sinh

động" hơn, "thực tế" hơn và nhiều hơn nữa tính "ứng dụng". Bằng cách làm cho nó
thêm "sinh động" ta muốn thu hút HS trong việc tìm hiểu toán học. Khi đó, toán học

11
đơn giản bởi vì nó thú vị hơn, ngay cả khi nó không phải là một chủ đề dễ dàng.
Bằng cách làm cho nó thêm "thực tế", ta muốn chỉ ra rằng toán học cần thiết trong
cuộc sống hàng ngày, dù chúng ta không thường xuyên nhận ra điều đó. Bằng cách
làm cho toán học thêm tính "ứng dụng" sẽ tạo ra các kỹ năng toán học cần thiết cho
nhiều HS cho dù mỗi HS có một nền tảng và năng lực toán học không giống nhau.
Để đưa các nguyên tắc này vào trong thực tế, ta phải cố gắng đưa các vấn đề trong
thế giới thực vào trong giảng dạy. Điều quan trọng là phải nhận thức được rằng
những vấn đề này thường rất phức tạp và để giải quyết chúng luôn cần một loạt các
kiến thức và kinh nghiệm.
Ưu điểm chính của việc sử dụng vấn đề trong thế giới thực vào giảng dạy toán là
vấn đề được đề cập một cách tự nhiên và các nhiệm vụ toán học được đặt trong một
bối cảnh. Cũng bằng cách thông qua các nhiệm vụ đó với HS, toán học được giảng
dạy trở nên "ứng dụng" hơn và "sống" hơn.
Hiệp hội các GV toán của Mỹ viết tắt là NCTM [9, tr.22] xác định rằng: "Chương
trình toán nên rời xa khỏi truyền thống tập trung vào những kiến thức toán không
theo bối cảnh". Lý thuyết Giáo dục toán học theo thực tế (Theory of Realistic
Mathematics Education) được phát triển ở Hà Lan đưa ra hai nguyên tắc: (1) Toán
học phải được gắn kết với thế giới thực và (2) Toán học nên được xem như là hoạt
động của con người [14].
Hiểu biết toán được PISA định nghĩa: "Hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân
để xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét
có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của
cuộc sống của cá nhân đó với tư cách là một công dân có tính xây dựng, biết quan
tâm và biết phản ánh" [10]. Định nghĩa trên gắn liền với các thuật ngữ như "toán
học trong cuộc sống"; "cuộc sống của cá nhân" đã thể hiện rõ toán học phải được
gắn liền với cuộc sống, phải "sống" trong bối cảnh.

Nhưng một khi đi xây dựng một mô hình toán học cho một vấn đề nào đó, ta phải
rất cẩn thận khi sử dụng nó. Nó luôn không tầm thường, chẳng hạn như vấn đề mù
màu sau đây: tỉ lệ mù màu (không phân biệt màu đỏ và xanh lá cây) ở đàn ông
khoảng 1/20, và tỷ lệ thấp hơn rất nhiều ở nữ. Khi đó, nếu các câu hỏi được đưa ra:
ta đã điều tra bao nhiêu người khi phát hiện ra 20 người mù màu? Có trung bình
bao nhiêu người bị mù màu khi kiểm tra 100 nữ? Rất nhiều người phạm sai lầm
bằng cách đưa ra câu trả lời 400 cho câu hỏi đầu tiên. Nhưng nếu có một cái nhìn
nghiêm túc hơn, chúng ta không thể biết chính xác là đang khảo sát nam, nữ hay cả
hai. Ngay cả khi giả định rằng ta đang khảo sát là nam cũng không thể chắc chắn

12
rằng 400 là đủ. Tại sao? Bởi vì ngay cả khi khảo sát một triệu người, ta có thể sẽ rất
không may mắn và không tìm thấy một người mù màu. Trong câu hỏi thứ hai, mặc
dù câu hỏi đã đưa vào cụm từ "trung bình" để nói rằng đang dựa vào số liệu thống
kê, nhưng chúng ta lại không cho biết chính xác tỉ lệ nữ bị mù màu là bao nhiêu. Vì
vậy, sẽ không thể có câu trả lời chính xác cho câu hỏi này.
Một ví dụ khác cho thấy tính cẩn thận là rất cần thiết: mỗi người chớp mắt khoảng
17.000 lần một ngày, và như vậy trong một ngày thông qua nhấp nháy ta nhắm mắt
trong hơn 1/2 giờ. 1/2 giờ nhắm mắt trong một ngày thông qua chớp mắt là một tỷ
lệ khá dễ nhớ với HS. Do đó, để thực hành sự hiểu biết về khái niệm này GV có thể
hỏi những câu hỏi sau đây: Một người chớp mắt bao nhiêu lần (theo số liệu thống
kê) trong một tuần? Và như vậy thông qua chớp mắt, khoảng thời gian mà họ nhắm
mắt trong một tuần? Một người chớp mắt bao nhiêu lần (theo số liệu thống kê)
trong một giờ? Thông qua chớp mắt khoảng thời gian mà họ nhắm mắt trong một
giờ? GV khá là an toàn với hai câu hỏi đầu tiên, nhưng hai câu hỏi sau cùng lại gây
ra rất nhiều vấn đề. Bởi vì khi GV hỏi về một khoảng thời gian ngắn hơn một ngày,
GV phải nêu chính xác giờ đang xét (ngày hay đêm). Hơn nữa GV phải thiết lập
bao nhiêu giờ trong một ngày (tức là thời gian sau khi đã trừ đi thời gian ngủ chứ
không phải theo khái niệm vật lý thông thường). Bây giờ nó không phải là một tỷ lệ
đơn giản.

GV cũng nên xem xét bối cảnh bao quanh nhiệm vụ cũng như kinh nghiệm của HS
đối với bối cảnh. Nếu HS phải giải
quyết bài toán: Có 8 lá cờ được cắm
cách đều nhau trong trường đua xe.
Hùng cần 30 giây để chạy từ điểm xuất
phát đến lá cờ thứ ba. Sử dụng thông tin
này để tìm ra khoảng thời gian cần thiết
để Hùng chạy từ điểm xuất phát tới lá
cờ thứ sáu? (Quan sát hình đi kèm).
HS cần phải thiết lập mối quan hệ khi
giải quyết vấn đề, phải dựa vào bối cảnh vấn đề được nêu ra trong đề bài và trên
hình ảnh minh họa (nếu có). Thực tế cho thấy HS làm việc với những vấn đề có
hình ảnh minh họa tỏ ra hào hứng và nghiêm túc hơn so với những vấn đề không có
hình ảnh minh họa đi kèm.

13
Vấn đề tiếp theo là các kinh nghiệm của HS, mà kinh nghiệm đó ảnh hưởng trực
tiếp lên sự hiểu biết của vấn đề. HS phân tích các vấn đề nêu lên chủ yếu dựa trên
kinh nghiệm của bản thân mình (kinh nghiệm trong trường học và kinh nghiệm
trong cuộc sống). Do đó, sẽ cảm thấy không chắc chắn khi giải quyết vấn đề
trong những bối cảnh không quen thuộc (những chuyển động mà HS biết từ
trong thế giới thực đa số là thẳng chứ không tròn). Vì vậy, GV nên cố gắng nắm
bắt các vấn đề kết nối với kinh nghiệm trước đây của HS. GV nên tạo ra những
bối cảnh mà HS có thể đáp ứng trong chính cuộc sống của mình.
Tất nhiên, một GV kinh nghiệm có thể dự đoán được các sai lầm phổ biến trong
lĩnh vực giảng dạy toán và sử dụng nó theo ý đồ của mình. Điều này có thể giúp
HS có ý thức hơn về những sai lầm, giúp các em tránh phạm phải sai lầm khi
giải quyết một vấn đề tương tự. Nhưng nếu không dự đoán được hết các tình
huống thì có thể gây ra vấn đề cho chính bản thân GV. Điều này rất thường thấy
khi giảng dạy thông qua những vấn đề trong thế giới thực.

Chúng tôi đánh giá cao sự cần thiết phải kết nối toán học với thế giới thực trong
dạy học phổ thông, đồng hành với nó là ý thức về sự cần thiết phải làm cho HS
nhận thức các ứng dụng thực sự của toán học. Làm thế nào để điều này trở nên
hợp lý và hiệu quả, là một trong những vấn đề chính được nhiều nhà nghiên cứu
giáo dục đã và đang quan tâm.
1.3. Một số quy trình toán học hóa
Với những gì vừa đề cập, chúng tôi tin rằng người đọc sẽ cảm nhận được những
khó khăn khi giảng dạy thông qua việc giải quyết các vấn đề trong thế giới thực.
Nhưng để đưa toán học gần gũi với cuộc sống; để đưa việc giải quyết các vấn đề
trong thế giới thực vào trong dạy học toán và để nhiều người thấy được tính hữu
dụng thực sự của toán học, chúng tôi tin rằng đó là con đường duy nhất. Đó cũng
là cách để trả toán học về với bản chất của nó. Trong nhiều thập niên qua, các
nhà nghiên cứu giáo dục trong và ngoài nước luôn tình kiếm, xây dựng các mô
hình; các quy trình mô hình hóa toán học để hỗ trợ đắc lực cho GV trong việc
giảng dạy các vấn đề trong thế giới thực. Dưới đây là một vài quy trình toán học
hóa tiêu biểu trong những thập niên qua.

14
Quy trình 1: Quy trình toán học hóa của OECD/PISA được tác giả Trần Vui
trình bày [5, tr.35] như sau:

Sơ đồ 2.1. Quy trình toán học hóa 1
Trong đó:
(1) Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế;
(2) Tổ chức nó theo các khái niệm toán học;
(3) Không ngừng cắt tỉa thực tế;
(4) Giải quyết bài toán;
(5) Làm cho lời giải toán có ý nghĩa theo bối cảnh thực tế.
Quy trình 2: Quy trình mô hình hóa toán học được Kaiser và Blum [3, tr.100] đề
xuất như sau:

Sơ đồ 2.2. Quy trình mô hình hoá toán học 2
Mô hình thực tế



(a)


Tình huống thực tế
Mô hình toán học



(c)


Kết quả toán học
(b)
(d)

15
Quy trình 3: Quy trình mô hình hóa toán học được Frank Swetz và J. S. Hartzler
[5, tr.3] đề xuất như sau:

Sơ đồ 3.3. Quy trình mô hình hoá toán học 3
Quy trình 4: Quy trình mô hình hóa toán học được trình bày trong luận văn luận
văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Văn Dũng [17, tr.170]) như sau:

Sơ đồ 2.4. Quy trình mô hình hoá toán học 4

Quy trình 5: Quy trình mô hình hóa toán học được tác giả Lê Văn Tiến [4, tr.170]
đề xuất như sau:
Hiện tượng ở
thế giới thật
Mô hình
toán học
Kết luận
dự đoán
Kết quả
toán học
Lý giải
Phân tích
Áp dụng
Quan sát,
thành lập

16

Sơ đồ 2.5. Quy trình mô hình hoá toán học 5
Nhìn chung, các quy trình toán học hóa có thể phân chia làm năm bước: (1) là một
quá trình được bắt đầu bởi một tình huống thực tế, tình huống này thường được cấu
trúc lại (đơn giản hóa, lý tưởng hóa bằng cách cắt tỉa) để được một mô hình phỏng
thực tiễn; (2) mô hình phỏng thực tiễn được phát biểu lại bằng ngôn ngữ toán học;
(3) được giải quyết trong môi trường toán học để được một kết quả toán học; (4) kết
quả này được phiên dịch lại để có câu trả lời trong tình huống thực tế ban đầu; (5)
sự phù hợp kết quả phải được kiểm tra, trong trường hợp mà lời giải không thỏa
đáng thì quá trình này phải được lặp lại.
Trong luận văn này, chúng tôi tập trung vào phân tích làm rõ quy trình toán học hóa
1 cũng như cách thức vận dụng quy trình này vào giải quyết vấn đề trong thế giới
thực trong dạy học để phát triển năng lực về "thay đổi và các mối quan hệ" cho HS

mười lăm tuổi.
2. Nền tảng lý thuyết
2.1. Toán học hóa
Trong OECD/PISA, một quá trình cơ bản mà các HS dùng để giải quyết các vấn đề
thực tế được đề cập là "toán học hóa".
2.1.1. Khái niệm toán học hóa
Toán học hóa là một quá trình cơ bản mà các HS dùng để giải quyết các vấn đề thực
tế được đề cập [10].

17
Để dễ hình dung khái niệm toán học hóa một cách cụ thể, ta xem xét thông qua vấn
đề Đèn đường [11] sau đây: Hội đồng thành phố quyết định dựng một cây đèn
đường trong một công viên nhỏ hình tam giác sao cho nó chiếu sáng toàn bộ công
viên. Người ta nên đặt nó ở đâu?
Vấn đề mang tính xã hội này có thể được giải quyết bằng phương án chung được sử
dụng bởi các nhà toán học, mà cơ sở toán học sẽ xem như là toán học hóa.
Toán học hóa có thể được đặc trưng qua năm khía cạnh:
1. Bắt đầu bằng một vấn đề có tình huống thực tế;
Đặt cây đèn đường ở chỗ nào trong công viên.
2. Tổ chức vấn đề theo các khái niệm toán học;
Công viên có thể được thể hiện như là một tam giác, và việc chiếu sáng từ một
cây đèn như là một hình tròn mà cây đèn là tâm của nó.
3. Không ngừng cắt tỉa để thoát dần ra khỏi thực tế thông qua các quá trình như
đặt giả thiết về các yếu tố quan trọng của vấn đề. Tổng quát hóa và hình thức
hóa (nó coi trọng các yếu tố toán học của tình huống và chuyển thể vấn đề thức
tế sang bài toán đại diện trung thực cho tình huống);
Vấn đề chuyển thành việc xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
4. Giải quyết bài toán;
Dùng kiến thức tâm của một đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm các
đường trung trực của các cạnh tam giác, dựng hai đường trung trực của hai

cạnh tam giác. Giao điểm của hai đường trung trực là tâm của đường tròn.
5. Làm cho lời giải của bài toán là có ý nghĩa đối với tình huống thực tế.
Liên hệ kết quả này với công viên thực tế. Phản ánh về lời giải và nhận ra rằng
nếu một trong ba góc của công viên là tù, thì lời giải này sẽ không hợp lý vì cây
đèn sẽ nằm ra ngoài công viên. Nhận ra rằng vị trí, và kích thước của các cây
xanh trong công viên là những yếu tố khác ảnh hưởng đến tính hữu ích của lời
giải toán học.
Những quá trình toán học hóa theo một nghĩa rộng là đặc trưng cho việc các nhà
toán học thường làm toán như thế nào, con người sử dụng toán học như thế nào
trong nhiều nghề nghiệp hiện nay. Những công dân có hiểu biết và biết phản ánh
nên dùng toán học để tham gia một cách hoàn toàn và có năng lực vào thế giới thực
tế. Thực ra, học cách để toán học hóa nên là mục đích giáo dục đầu tiên cho HS.

18
2.1.2. Quy trình toán học hóa của PISA
Sơ đồ 2.1 là quy trình toán học hóa của PISA. Trong quy trình này, để giải quyết
một vấn đề thực tế, HS cần chuyển vấn đề thành một dạng toán, toàn bộ quá trình
được tiếp tục trong toán học. Các em sẽ nỗ lực làm việc trên mô hình của mình về
bối cảnh vấn đề, để điều chỉnh nó, để thiết lập các quy tắc, để xác định các nối kết
và để sáng tạo nên một lập luận toán học đúng đắn.
Mặt khác, 5 bước của quy trình toán học hóa có thể được chia làm ba giai đoạn:
Giai đoạn thứ nhất: Toán học hóa trước hết liên quan đến việc chuyển thể vấn đề từ
thực tế sang toán học. Quá trình này bao gồm các hoạt động như:
 Xác định toán học phù hợp tương ứng với một vấn đề thực tế được đặt ra;
 Biểu diễn vấn đề theo một cách khác, bao gồm việc tổ chức nó theo các khái
niệm toán học và đặt những giả thiết phù hợp;
 Hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề, ngôn ngữ ký hiệu và hình
thức cần thiết để hiểu vấn đề một cách toán học;
 Tìm những quy luật, mối quan hệ và những bất biến;
 Nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn đề đã biết;

 Chuyển thể vấn đề thành một bài toán.
Giai đoạn thứ hai: Phần suy diễn của quy trình mô hình hóa. Một khi HS đã chuyển
thể được vấn đề thành một dạng toán, toàn bộ quá trình có thể tiếp tục trong toán
học. HS sẽ đặt những câu hỏi như: "liệu có…không?", "nếu như vậy, thì có bao
nhiêu…?", "làm thế nào tôi có thể tìm…?", bằng cách dùng các kỹ năng và khái
niệm toán học đã biết. Các em sẽ nỗ lực làm việc trên mô hình của mình về bối
cảnh vấn đề, để điều chỉnh nó, thiết lập các quy tắc, xác định các nối kết và sáng tạo
nên một lập luận toán học đúng đắn. Trong phần này, những quá trình khác với suy
diễn cũng có thể tham gia. Phần này của quá trình toán học hóa bao gồm:
 Dùng và di chuyển giữa các biểu diễn khác nhau;
 Dùng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán;
 Hoàn thiện và điều chỉnh, kết hợp và tích hợp các mô hình toán;
 Lập luận;
 Tổng quát hóa.

19
Giai đoạn thứ ba: Giai đoạn cuối cùng trong việc giải quyết một vấn đề liên quan
đến việc phản ánh về toàn bộ quy trình toán học hóa và các kết quả. Ở đây, HS phải
giải thích các kết quả với một thái độ nghiêm túc và công nhận toàn bộ quy trình.
Phản ánh như vậy xảy ra ở tất cả các giai đoạn của quy trình, nhưng nó đặc biệt
quan trọng ở giai đoạn kết luận. Những khía cạnh của quá trình phản ánh và công
nhận này là:
 Hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học;
 Phản ánh về các lập luận toán học, giải thích và kiểm tra các kết quả;
 Giao tiếp quá trình đó và lời giải;
 Phê phán mô hình và các hạn chế của nó.
2.1.3. Bài toán tính thể tích khối tròn xoay
Một ví dụ cho thấy cách khai thác quy trình toán học hoá của PISA để giải quyết
một vấn đề thực tế: Một người thợ thủ
công cần thổi một lọ hoa bằng thủy tinh.

Lọ hoa có đặc điểm: mặt ngoài và mặt
trong có dạng mặt nón cụt; mặt ngoài có
bán kính đáy nhỏ là 6cm; bán kính đáy
lớn là 15cm; mặt trong có bán kính đáy
nhỏ là 17/3cm; bán kính đáy lớn là
14cm; khoảng cách giữa mặt trên và mặt
dưới phía trong là 25cm; đáy lọ hoa dày
2cm. Hỏi người thợ thủ công cần ít nhất
bao nhiêu cm
3
thủy tinh để có thể làm
được lọ hoa?
Quy trình toán học hóa 5 bước được thể
hiện trong bài toán này như sau:
Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế: tính thể tích thủy tinh tối
thiểu để có thể làm được lọ hoa.
Bước 2: Tổ chức nó theo các khái niệm toán học và xác định lĩnh vực toán học phù
hợp. Mặt trong và mặt ngoài của lọ hoa có dạng mặt nón cụt. Phần không gian trong
lọ hoa có dạng khối nón cụt. Phần không gian trong lọ hoa cùng với phần thủy tinh
của lọ hoa có dạng khối nón cụt.

20
Bước 3: Thực hiện các quá trình đặt giả thuyết, tổng quát và hình thức hóa, khuyến
khích những khía cạnh toán học của vấn đề và chuyển thể vấn đề thực tế thành một
bài toán đại diện trung thực cho hoàn cảnh thực tế. Vấn đề được chuyển thành việc
xác định hiệu thể tích của hai khối nón cụt.
Bước 4: Giải quyết bài toán: sử dụng công thức tính thể tích của khối nón cụt:
 
22
1

,
3
V R Rr r h

  

trong đó:
 R, r lần lượt là bán kính của đáy lớn và đáy nhỏ của khối nón cụt;

 h là chiều cao của khối nón cụt.
Thể tích phần không gian phía trong lọ hoa là:
2
2
1
1 17 17
14 14 .25 8044,8
3 13 13
V



   





3
()cm

Thể tích phần không gian hình khối nón cụt có mặt nón cụt là mặt ngoài của lọ hoa là:
 
22
2
1
15 15.6 6 .27 9919,26
3
V

   
3
()cm

Thể tích thủy tinh tối thiểu để làm lọ hoa là:
21
9919,26 8044,46 1874,46V V V    
3
()cm

Bước 5: Làm cho lời giải bài toán có ý nghĩa theo nghĩa của bối cảnh thực tế, bao
gồm việc xác định những hạn chế của lời giải. Bề mặt phía trong và bề mặt phía
ngoài của lọ hoa ảnh hưởng đến tính thực tiễn của lời giải toán học. Nếu hai bề mặt
này không phải là mặt nón thì việc tính toán có thể phức tạp hơn, hoặc sử dụng công
thức tính thể tích của nhiều khối đa diện, khối trụ, khối tròn xoay khác cùng với
nhiều bước biến đổi trung gian.
Năm bước của quy trình toán học hóa trong bài toán này có thể được chia theo 3
giai đoạn như sau:
Giai đoạn thứ nhất: Xác định lĩnh vực toán học phù hợp với vấn đề đặt ra trong
thực tế: Tính thể tích khối thủy tinh có hình dạng các khối nón cụt. Biểu diễn vấn đề
theo một cách khác, bao gồm việc tổ chức nó theo các khái niệm toán học và đặt

những giả thiết phù hợp. Vấn đề được chuyển thành việc xác định hiệu thể tích của
hai khối nón cụt. Bài toán chỉ giải quyết được khi bề mặt của bình thủy tinh nhẵn.
Tìm những quy luật, mối quan hệ và những bất biến: thể tích khối thủy tinh luôn
bằng hiệu thể tích hai khối nón cụt.

21
Giai đoạn thứ hai: Tổng quát hóa, có thể tính được thể tích phần thủy tinh khi xác
định được mặt ngoài của vật liệu và mặt trong của vật liệu là các mặt tròn xoay hoặc
mặt xung quanh của đa diện đặc biệt. Một cách tổng quát, nếu khối hình T nằm
trong khối hình N mà ta có thể xác định được thể tích khối hình T và khối hình N thì
ta có thể xác định được thể tích của mọi vật liệu là phần bù của khối hình T trong
khối hình N bằng cách lấy thể tích của khối hình N trừ đi thể tích của khối hình T.
Giai đoạn thứ ba: Hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học, phê
phán mô hình và các hạn chế của nó: Nếu hai bề mặt thủy tinh phía trong và bề mặt
thủy tinh phía ngoài không phải là mặt nón thì việc tính toán có thể phức tạp hơn
hoặc sử dụng nhiều công thức tính thể tích với nhiều bước biến đổi trung gian. Nếu
đã biết khối lượng riêng của vật liệu làm bình hoa thì ta không cần sử dụng công
thức toán học vẫn có thể xác định được thể tích vật liệu làm bình hoa bằng cách đo
khối lượng bình hoa và lấy khối lượng thực tế của bình hoa chia cho khối lượng
riêng của vật liệu. Trong bài này, ta có thể bớt đi giả thiết về một số đại lượng và
tìm lại được nó bằng các định lí của hình
học. Chẳng hạn, ta có thể bỏ qua điều kiện
"Mặt trong của lọ hoa có bán kính đáy
nhỏ là 17/3
cm
". Đại lượng này được tìm
ra như sau:
25
15 6 25 2
25 25

9 27 3
AN CN AN
AM BM
AN
AN
  

   

suy ra:
25 20
15
33
ON OA AN    
( ).cm

Vậy bán kính đáy nhỏ của lọ hoa là:
20 17
1
33
r KH KC HC     
( ).cm

2.2. Đánh giá toán trong PISA
2.2.1. Các ý tưởng bao quát
Trong nhiều thế kỷ, toán học nổi bật như là một khoa học về số, cùng với hình học
không gian tương đối. Giai đoạn những năm 500 TCN ở Mesopotamia, Ả Rập và
Trung Quốc người ta thấy nguồn gốc về khái niệm số. Các phép toán về số và đại
lượng, bao gồm các đại lượng thu được từ những đo đạc hình học đã được phát

22
triển. Từ năm 500 TCN đến năm 300 SCN là giai đoạn của toán học Hy Lạp, nó chú
trọng chủ yếu vào việc nghiên cứu hình học như một lý thuyết tiên đề. Những người
Hy Lạp đã đảm nhận trách nhiệm xác định lại toán học như là một khoa học hợp
nhất về số và hình. Thay đổi chính kế tiếp xảy ra từ năm 500 đến 1300 trong thế
giới Hồi Giáo, Ấn Độ, Trung Quốc, nó đã thiết lập nên đại số như là một ngành của
toán học. Điều đó đã mở ra việc nghiên cứu về các mối quan hệ. Với những phát
minh độc lập về phép tính vi tích phân (nghiên cứu về thay đổi, sự phát triển và giới
hạn) bởi Newton và Leibniz vào thế kỷ XVII, toán học đã trở thành một nghiên cứu
được tích hợp về số, hình, thay đổi và các mối quan hệ.
Trong hai thế kỷ XIX và XX người ta thấy sự bùng nổ của tri thức toán học. Các
hiện tượng và vấn đề có thể được tiếp cận bằng công cụ toán học. Những điều đó
bao gồm tính ngẫu nhiên và tính không xác định. Những phát triển này làm cho việc
trả lời câu hỏi "Toán học là gì?" ngày càng khó trả lời. Vào thời điểm của thế kỷ
mới, nhiều người thấy toán học như là một khoa học của các quy luật (theo nghĩa
tổng quát). Như vậy, một lựa chọn về các ý tưởng bao quát có thể được thực hiện
sao cho nó phản ánh những phát triển này: các quy luật về đại lượng, về không gian
và hình và về thay đổi và các mối quan hệ tạo nên các khái niệm trung tâm và chính
yếu cho bất kỳ một mô tả nào về toán học, và chúng tạo nên "trái tim" của bất kỳ
chương trình toán nào ở trung học, cao đẳng hay đại học. Nhưng hiểu biết toán có
hàm ý rộng hơn. Việc xử lý tính không chắc chắn từ một quan điểm khoa học và
toán học là chính yếu. Với lý do này, các yếu tố của lý thuyết xác suất và thống kê
sản sinh ra ý tưởng bao quát thứ tư: tính không chắc chắn.
Với bốn ý tưởng này, nội dung toán học được tổ chức thành một số các lĩnh vực đủ
lớn để bảo đảm trải rộng các câu hỏi xuyên suốt chương trình toán phổ thông,
nhưng đồng thời đủ nhỏ để tránh một sự phân chia quá chi tiết mà có thể đi ngược
lại trọng tâm vào các vấn đề dựa trên các bối cảnh thực.
Như vậy, danh sách các ý tưởng bao quát được sử dụng trong OECD/PISA đáp ứng
được những đòi hỏi về phát triển có tính lịch sử, phủ được phạm vi và phản ánh
được các mạch kiến thức toán chính yếu của chương trình ở nhà trường.

2.2.2. Các năng lực
Những quá trình toán học mà HS áp dụng khi các em nỗ lực giải quyết các vấn đề
được hiểu là các năng lực toán học. Mỗi năng lực có thể đạt được ở các mức độ
thành thạo khác nhau. Những phần khác nhau của toán học hóa sẽ huy động các
năng lực khác nhau. Để xác định và kiểm tra những năng lực này, OECD/PISA đã

23
quyết định sử dụng tám năng lực toán học đặc trưng theo công trình của Niss (1999)
và các đồng nghiệp Đan Mạch của ông bao gồm:
1. Tư duy và suy luận: Điều này liên quan đến việc đặt các câu hỏi đặc trưng
toán ("Có hay không…?", "Nếu như vậy, có bao nhiêu?", "Làm thế nào
chúng ta tìm ?"); biết loại câu trả lời mà toán học có thể đáp ứng cho những
câu hỏi như vậy; phân biệt các loại mệnh đề khác nhau (định nghĩa, định lý,
phỏng đoán, giả thuyết, ví dụ, khẳng định có điều kiện); hiểu và xác định
phạm vi cũng như các hạn chế của các khái niệm toán đã cho.
2. Lập luận: Điều này liên quan đến việc biết các chứng minh toán học là gì và
chúng khác với các loại suy luận khác như thế nào; theo dõi và đánh giá các
chuỗi lập luận toán của nhiều loại khác nhau; thu được cảm nhận về giải
quyết vấn đề bằng kinh nghiệm ("điều có thể (không thể) xảy ra, và tại
sao?"); tạo nên và trình bày các lập luận toán.
3. Giao tiếp: Điều này liên quan đến việc bộc lộ mình, theo nhiều cách, về
những vấn đề với một nội dung toán, theo dạng nói cũng như dạng viết, hiểu
được những mệnh đề được nói hay viết bởi những người khác về những vấn
đề như vậy.
4. Mô hình hóa: Điều này liên quan đến việc cấu trúc lĩnh vực hay bối cảnh
được mô hình hóa; chuyển thể "thực tế" thành các cấu trúc toán; giải thích
các mô hình toán học theo nghĩa "thực tế"; làm việc với một mô hình toán;
làm cho mô hình thỏa đáng; phản ánh, phân tích và đưa ra sự phê phán cũng
như các kết quả của nó; giao tiếp về mô hình và các kết quả của nó (bao gồm
hạn chế của các kết quả như vậy); và giám sát và điều khiển quá trình mô

hình hóa.
5. Đặt vấn đề và giải: Điều này liên quan đến việc đặt, định dạng và xác định
những loại khác nhau của các vấn đề toán (ví dụ: "thuần túy toán", "ứng
dụng", "kết thúc mở" và "đóng"); và giải quyết nhiều dạng bài toán khác
nhau theo nhiều cách.
6. Biểu diễn: Điều này liên quan đến việc giải mã, mã hóa, chuyển thể, giải
thích và phân biệt giữa các dạng khác nhau của các biểu diễn của những đối
tượng và bối cảnh toán học, và những mối quan hệ bên trong giữa các biểu
diễn khác nhau; chọn và chuyển dịch giữa các dạng khác nhau của biểu diễn
tùy theo bối cảnh và mục đích.

24
7. Sử dụng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán: Điều này
liên quan đến việc giải mã và giải thích các ngôn ngữ ký hiệu và hình thức,
và hiểu được mối quan hệ của nó với ngôn ngữ tự nhiên; chuyên thể ngôn
ngữ tự nhiên thành ngôn ngữ ký hiệu hay hình thức; xử lý các mệnh đề và
biểu thức chứa các ký hiệu và công thức; dùng các biến số, giải các phương
trình và thực hiện các phép tính.
8. Sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ: Điều này liên quan đến việc biết và
có khả năng sử dụng nhiều loại phương tiện hỗ trợ khác nhau (bao gồm công
cụ công nghệ thông tin) có thể trợ giúp cho hoạt động toán, và biết các hạn
chế của những loại công cụ đó.
2.2.3. Các cụm năng lực
Để mô tả và báo cáo một cách hiệu quả các năng lực của HS, cũng như thế mạnh và
điểm yếu theo một quan điểm quốc tế thì người ta cần đến một vài cấu trúc dễ hiểu
và quản lý được, đó là mô tả theo các cụm năng lực, dựa trên các loại nhu cầu nhận
thức cần đến để giải quyết các bài toán khác nhau.
a) Cụm năng lực tái tạo
Những năng lực trong cụm năng lực tái tạo liên quan chủ yếu đến sự tái tạo của kiến
thức đã được thực hành. Chúng bao gồm những điều thường hay được dùng nhiều

nhất trong các đánh giá chuẩn hóa và kiểm tra ở lớp.
Những năng lực này là:
- Kiến thức về các sự kiện và các biểu diễn vấn đề chung;
- Sự nhận ra các tương đồng;
- Thu thập lại những đối tượng và tính chất toán học quen thuộc;
- Sự thể hiện các quy trình quen thuộc;
- Áp dụng các thuật toán tiêu chuẩn và kỹ năng có tính kỹ thuật;
- Thao tác với các biểu thức chứa ký hiệu và công thức theo dạng chuẩn;
- Tiến hành các tính toán.
Các câu hỏi thuộc cụm năng lực tái tạo có thể được mô tả với những chỉ số mô tả
chính sau đây: tái tạo lại tài liệu và thể hiện các phép toán quen thuộc.
b) Cụm năng lực liên kết
Năng lực thuộc cụm năng lực liên kết xây dựng trên các năng lực của cụm năng lực
tái tạo bằng cách đưa giải quyết vấn đề vào các bối cảnh không hoàn toàn quen

25
thuộc nhưng vẫn có liên quan đến cấu trúc gần như quen thuộc. Những câu hỏi kết
hợp với cụm này thường đòi hỏi một vài chứng cứ về sự tích hợp và liên kết tài liệu
từ nhiều ý tưởng bao quát hay từ các mạch kiến thức chương trình khác nhau, liên
kết giữa các biểu diễn khác nhau của một vấn đề. Các câu hỏi đánh giá các nặng lực
cụm năng lực liên kết có thể được mô tả bởi các chỉ số mô tả sau: tích hợp, liên kết
và mở rộng khiêm tốn các tài liệu đã thực hành.
c) Cụm năng lực phản ánh
Năng lực trong cụm năng lực phản ánh liên quan đến khả năng của HS vạch
chiến lược giải và tìm công cụ giải các vấn đề không quen thuộc. Ngoài các năng
lực được mô tả trong cụm năng lực liên kết, đối với cụm năng lực phản ánh còn
bao gồm:
Tư duy và suy luận: Điều này liên quan đến việc hiểu và thao tác các khái niệm
toán học trong các tình huống mới hoặc phức tạp; tổng quát hóa kết quả.
Lập luận: Điều này liên quan đến suy luận toán đơn giản, phân biệt giữa các chứng

minh và các dạng rộng hơn của lập luận và suy luận; theo dõi được và đánh giá
chuỗi các lập luận toán học theo các dạng khác nhau, sử sụng phương pháp giải
quyết vấn đề bằng kinh nghiệm (như "điều gì có thể hay không thể xảy ra, hay
trường hợp nào và tại sao?", "chúng ta biết gì và chúng ta cần thu được gì?").
Giao tiếp: Điều này liên quan đến việc giải thích các vấn đề bao gồm các mối quan
hệ phức tạp.
Mô hình hóa: Điều này liên quan đến việc chuyển thể "thực tiễn" thành các cấu
trúc toán học trong bối cảnh phức tạp và khác xa so với những gì HS thường làm
quen ở nhà trường.
Đặt vấn đề và giải quyết vấn đề: Điều này liên quan đến việc giải quyết vấn đề
bằng cách dùng các tiếp cận và quy trình tiêu chuẩn, nhưng các quá trình giải quyết
vấn đề này là không quen thuộc và đòi hỏi sự kết nối giữa các miền toán học khác
nhau, các loại biểu diễn khác nhau và các giao tiếp khác nhau (giản đồ, biểu đồ, đồ
thị, hình, chữ).
Biểu diễn: Điều này liên quan đến việc tạo ra sự kết nối giữa các biểu diễn và phát
minh ra những biểu diễn không tiêu chuẩn.
Sử dụng ngôn ngữ ký hiệu hình thức, kỹ thuật và các phép toán: Điều này liên
quan đến việc xử lý các mệnh đề và các biểu thức phức tạp bằng các ký hiệu không
quen thuộc hay ngôn ngữ hình thức; và cũng liên quan đến việc hiểu và chuyển đổi
giữa ngôn ngữ đó với ngôn ngữ đời thường.