iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương có đối chiều bé

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-------------------------

Lê Đình Nghĩa

IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH
PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU
ĐỊA PHƯƠNG CÓ ĐỐI CHIỀU BÉ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-------------------------

Lê Đình Nghĩa

IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH
PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU
ĐỊA PHƯƠNG CÓ ĐỐI CHIỀU BÉ

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012


Mục Lục
Lời cảm ơn ....................................................................................................... 3
Phần mở đầu .................................................................................................... 4
Bảng kí hiệu ..................................................................................................... 8
Chương 1: Kiến thức cơ sở ............................................................................. 9
1.1. Iđêan nguyên tố liên kết ......................................................................... 9
1.2. Độ cao của một iđêan ........................................................................... 10
1.3. Chiều của một iđêan ............................................................................. 10
1.4. Độ sâu của mô đun ............................................................................... 11
1.5. Vành Cohen – Macaulay ...................................................................... 13
1.6. Vành phân bậc ...................................................................................... 13
1.7. Hàm tử xoắn ......................................................................................... 14
1.8. Mô đun đối đồng điều địa phương ....................................................... 16
1.9. Tính không xoắn của mô đun đối đồng điều địa phương .................... 18
Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của mô
đun đối đồng điều địa phương có đối chiều bé ........................................... 20
2.1. Khái niệm về sự ổn định tiệm cận........................................................ 20
2.2. Sự ổn định tiệm cận của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần
phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương. ........................................... 21
2.3. Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc có đối chiều 1. 21
2.4. Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc trong mô đun đối
đồng điều nửa địa phương có số chiều 2......................................................... 28
KẾT LUẬN .................................................................................................... 35
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 36

Lời cảm ơn
Sau hai năm học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm Thành
phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn và hỗ trợ tận tình của PGS. TS. Trần
Tuấn Nam thì bài luận văn tốt nghiệp của tôi đã được hoàn thành. Nhân dịp
này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ cho tôi hoàn thành
luận văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, T.S Trần
Huyên, PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xuân Hải, cùng quý thầy trong
Khoa Toán – Tin Trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận
tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Cuối cùng tôi xin gởi lời cám ơn đến người thân, bạn bè và tất cả
những người đã giúp đỡ và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2012
Học viên
Lê Đình Nghĩa


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Cho R = ⊕ Rn trong đó họ (R n )n ≥0 là họ các vành Noether, R + =
n≥0

⊕ R n là một iđêan của R và M là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh.

n >0

HiR + (M) là mô đun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với R + được

trang bị tính phân bậc tự nhiên. Với mỗi n ∈ ta có HiR + (M)n là thành phần

(

)

phân bậc thứ n của mô đun HiR + (M) , tập hợp AssR 0 HiR + (M)n là tập hợp các
iđêan nguyên tố liên kết của HiR + (M n ) . Trong quá trình nghiên cứu và tìm
hiểu về mô đun đối đồng điều địa phương HiR + (M) các nhà toán học đã thu
được nhiều kết quả hết sức thú vị và đặc biệt về mô đun HiR + (M) và một trong
những tính chất thú vị đó là tính ổn định tiệm cận của tập hợp

(
(H

)
(M) )

AssR 0 HiR + (M)n . Đi đầu trong việc nghiên cứu sự ổn định tiệm cận của
AssR 0

i
R+

n

là nhà toán học M. Brodmann, M. Brodmann đã chứng

minh được một số kết quả quan trọng:
(1) [2.2.1] “ Nếu R – mô đun H Rj + (M) là hữu hạn sinh với mọi j < i, thì ta có

(

)

sự ổn định tiệm cận thứ i của AssR 0 HiR + (M)n ”.
(2) [2.2.2] “ Nếu R 0 là vành (nửa địa phương) địa phương và có dim(R 0 ) ≤

(

)

1 thì chúng ta có tập hợp AssR 0 HiR + (M)n ổn định tiệm cận tại mọi i”,
Vấn đề đặt ra ở đây là trong kết quả (2) khi mở rộng thêm giả thiết thì

(

sự ổn định tiệm cận của AssR 0 HiR + (M)n

)

thay đổi như thế nào? Trong


trường hợp R 0 không là địa phương thì chúng ta có sự ổn định tiệm cận hay
không hoặc cần bổ sung những điều kiện gì nữa để tính ổn định tiệm cận vẫn
còn? Trong trường hợp không có điều kiện địa phương thì cần những điều

(

)

kiện gì của R 0 để cho AssR 0 HiR + (M)n vẫn ổn định tiệm cận?
Năm 2003 trong một bài báo của M. Bordmann, S. Fumasoli, và C.S.
Lim đã trả lời cho những câu hỏi trên một cách chính xác. Kết quả được thể
hiện trong các định lý sau.
Để mở rộng (2) trong trường hợp bỏ đi tính địa phương R 0 , chúng ta
cần thêm một số điều kiện nhỏ thể hiện trong các kết quả sau:
(3) [2.3.3] Giả sử R 0 là mở rộng nguyên hữu hạn của miền nguyên A 0 sao cho

q0 ∩ A0 =
0 với mỗi iđêan tối tiểu q0 của R 0 . Thì với mỗi i∈ .
(i) Τi =Τi (M) :={p∈ AssR (HiR + (M)) | ht(p ∩ R) ≤ 1} là hữu hạn.
(ii) Τin =Τin (M) :={p0 ∈ AssR 0 (HiR + (M)n ) | ht(p0 ) ≤ 1} ổn định tiệm cận.
(4) [2.3.6] Giả sử R 0 chủ yếu hữu hạn trong một trường. Thì với mỗi i∈ 0 .
(i) Τi =Τi (M) :={p∈ AssR (HiR + (M)) | ht(p ∩ R) ≤ 1} là hữu hạn.
(ii) Τin =Τin (M) :={p0 ∈ AssR 0 (HiR + (M)n ) | ht(p0 ) ≤ 1} ổn định tiệm cận.
Trong trường hợp đặc biệt, khi dim(R 0 ) ≤ 1 ta có kết quả:
(5) [2.3.9] Giả sử dim(R 0 ) ≤ 1 và R 0 hoặc là vành nữa đơn hoặc là mở rộng
của một miền nguyên hoặc là loại chủ yếu hữu hạn trên một trường. Thì với
mỗi i∈ .
(i) AssR (HiR + ( M )) là hữu hạn.
(ii) AssR (HiR + ( M )n ) ổn định tiệm cận.
Ngoài ra còn có một hướng mở rộng (2) trong trường hợp dim ( R 0 ) =2
nhưng vẫn giữ nguyên tính địa phương của R 0 , ta có kết quả yếu hơn:


(6) [2.4.7] Giả sử R 0 là vành nửa địa phương với dim ( R 0 ) = 2 . Với i∈ . Thì
HiR + (M) là thuần hóa.

Đặc biệt, khi thêm vài điều kiện nhỏ thì ta có kết quả:
(7) [2.4.8] Giả sử R 0 là vành nửa địa phương với dimR 0 ≤ 2 . Nếu R 0 hoặc
mở rộng nguyên hữu hạn của một miền nguyên hoặc là loại chủ yếu hữu hạn

(

)

trong một trường. Thì với mọi i∈ tập hợp AssR 0 HiR + (M)n ổn định tiệm
cận.
Những vấn đề trên có vai trong quan trọng trong chuyên ngành đại số,
đại số giao hoán và đại số đồng điều, vì thế nó thu hút sự quan tâm của nhiều
nhà toán học.
2. Mục đích của đề tài
Mục đích của luận văn này là hệ thống lại một số kiến thức cần thiết về
đại số giao hoán, đại số đồng điều có liên quan đến vấn đề tìm hiểu và nghiên
cứu, sau đó trình bày lại chi tiết các bài chứng minh cho các kết quả (3), (4).
Bên cạnh đó sẽ trình bày một cách hệ thống các bổ đề tính chất để đi đến kết
quả (6), (7).
3. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu
Bài nghiên cứu sẽ trình bày một vài khái niệm cơ bản cùng các kiến
thức hỗ trợ và tập trung làm việc trên tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của
các thành phần phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương

(

)

AssR 0 HiR + (M)n để thấy rõ tính chất ổn định tiệm cận hoặc những tính chất
khác của nó. Đặc biệt là bài nghiên cứu dừng ở mức độ số chiều của R 0 thấp

0,1,2 cũng như chỉ thêm vào R 0 những điều kiện nhỏ và cần thiết.
Luận văn được chia làm hai chương:


Chương 1 trình bày lại các kiến thức cơ sở về đại số giao hoán, đại số
đồng điều nhằm phục vụ việc chứng minh các kết quả của chương sau.
Chương 2 gồm hai phần, phần 1 phần chính của bài luận văn, phần
này trình bày các bổ đề liên quan sau đó trình bày chi tiết bài chứng minh các
kết quả (3), (4) cùng với hệ quả liên quan. Phần 2 trình bày các bổ đề liên
quan sau đó dẫn đến kết quả (6), (7).


Bảng kí hiệu

= {0,1,2...} - tập hợp các số tự nhiên

 = {...,-1,0,1,2...} - tập hợp các số nguyên

⊕ R n - tổng trực tiếp của họ các vành R n

n ≥0

R/p – vành thương của R theo p
Spec(R) - tập hợp các iđêan nguyên tố của R
V(a ) - tập hợp các iđêan nguyên tố chứa a

S−1R - vành các thương của vành R theo tập con nhân S
R p - vành địa phương tại p.

SuppR 0 ( M ) =

{p ∈ Spec(R 0 ) | M p ≠ 0}

(

Var( m ) = Supp R m

)

Ann(M) - linh hóa tử của M

dim ( R 0 ) - số chiều của vành R 0
R 0 [l1 ,l2 ,...,lr ] - vành đa thức lấy hệ số trên R 0
...} - cận dưới đúng của một tập hợp
inf{i ∈

sup{i ∈
...} - cận trên đúng của một tập hợp

Hom ( A,B) - tập hợp tất cả các đồng cấu từ A đến B


Chương 1: Kiến thức cơ sở
1.1. Iđêan nguyên tố liên kết
Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành Noether và M là một R – mô đun. Một
iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu nó
thỏa một trong hai điều kiện tương đương sau:
(i) Tồn tại một phần tử x ∈ M sao cho Ann(x) = p .
(ii) M chứa một mô đun con đẳng cấu với R/ p .
Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu Ass R (M).
Tính chất 1.1.2. Cho R là vành, giả sử p là phần tử tối đại của {Ann(x) |

x ∈ M, x ≠ 0}. Thì p ∈ Ass R (M).
Hệ quả 1.1.3. Ass R (M) = 0 ⇔ M = 0
Hệ quả 1.1.4. Giả sử S là tập con nhân của R. Đặt R ' = S−1R , M ' = S−1M . Thì
AssR (M ') =f (AssR ' (M ')) =AssR (M) ∩ {p | p ∩ S =∅}

Trong đó f :Spec(R ') → Spec(R) là một đồng cấu.
Đặc biệt, AssR p ( M p ) =
{qR p | q ∈ AssR (M), q ⊆ p}
Định lý 1.1.5. Cho R là vành Noether và M là một R – mô đun. Thì Ass R (M)
⊆ Supp R (M), và với mọi phần tử tối tiểu của Supp R (M) đều nằm trong

Ass R (M).
Hệ quả 1.1.6. Giả sử I là iđêan của vành R. Thì iđêan nguyên tố liên kết tối
tiểu của R- mô đun R/I là iđêan nguyên tố tối tiểu của I.


Định lý 1.1.7. Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh,
M ≠ 0 . Thì tồn tại dãy các mô đun con (0) = M 0 ⊂ ... ⊂ M n −1 ⊂ M n = M sao

cho

Mi

Mi−1 ≅

R

pi với mọi pi ∈ Spec(R),1 ≤ i ≤ n.

Bổ đề 1.1.8. Nếu 0 → M ' → M → M '' → 0 là một dãy khớp các R – mô đun

thì khi đó Ass(M ') ⊆ Ass(M) ⊆ Ass(M ') ∪ Ass(M '') .
Tính chất 1.1.9. Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh.
Thì Ass R (M) là hữu hạn. Hơn nữa, AssR (M) ⊆ V(Ann(M)) và mỗi phần tử tối
tiểu của V(Ann(M)) đều thuộc AssR (M) . Vì thế Ann(M) là giao các iđêan
nguyên tố liên kết của M.
Tính chất 1.1.10. Nếu N là R – mô đun con của M. Thì
AssR (N) ⊆ AssR (M) ⊆ AssR (M / N) ∪ AssR (N) .

1.2. Độ cao của một iđêan
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử R là một vành. Một chuỗi hữu hạn của n + 1 iđêan
nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ .... ⊃ pn được gọi là chuỗi nguyên tố có độ dài n.
Nếu p∈Spec(A) , thì cận trên của chuỗi nguyên tố với p = p0 được gọi là độ
cao của p kí hiệu là: ht( p ).
Nhận xét 1.2.2.
(i) Nếu ht( p ) = 0 điều đó có nghĩa p là một iđêan nguyên tố tối tiểu
của R.
(ii) Nếu I là một iđêan của R. Độ cao của I là độ cao thấp nhất của
iđêan nguyên tố chứa I. Tức=
là: ht(I) inf{ht(p)|p ⊇ I}
1.3. Chiều của một iđêan


Định nghĩa 1.3.1. Cho R là vành, chiều của R được định nghĩa là cận trên của
độ cao của các iđêan nguyên tố trong R.
=
dim(R) sup{ht(p) | p ∈ Spec(R)}

Nếu dim(R) là hữu hạn thì nó chính là chiều dài của chuỗi nguyên tố dài nhất
trong R.
Nhận xét 1.3.2.

=
(i) ht(p) dim(R p ), p ∈ Spec(R)
(ii) Với mọi iđêan I của R ta có: dim(R I ) + ht(I) ≤ dim(R)
Tính chất 1.3.3. Giả sử M ≠ 0 là một R – mô đun khi đó số chiều của mô đun
M được định nghĩa là chiều của vành thương R Ann(M) . Tức là:

dim(M) = dim  R Ann(M) 




Khi M = 0 ta qui ước dim(M) = -1.
Tính chất 1.3.4. Với R là vành Noether và M ≠ 0 là hữu hạn trên R thì ta có
các điều kiện tương đương sau:
(i) M là một R – mô đun có chiều dài hữu hạn.
(ii) Vành R

Ann(M) là vành Artin.

(iii) dim(M) = 0.
1.4. Độ sâu của mô đun
Định nghĩa 1.4.1. Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu
hạn sinh khác 0. Dãy các phần tử a1,...,a n ∈ R được gọi là dãy M – chính quy
nếu:
(i) M

(a1,...,a n )M

≠0

(ii) a i là phần tử M

(a1,...,a n )M - chính quy, với mọi i = 1,..,n .

Độ dài của M – dãy là số phần tử của dãy. M – dãy không có phần tử nào gọi
là M – dãy có độ dài 0.
Lưu ý 1.4.2.
(i) a ∈ R là phần tử M – chính quy nếu a không là ước của 0 trong M.
(ii) a1,...,a n ∈ R được gọi là M – dãy chính quy khi và chỉ khi

M

(a1,...,a n )M

≠ 0 và a i ∉p với mọi p∈ AssR (M
)
(a1,...,a n )M với mọi

i = 1,..,n .
Định nghĩa 1.4.3. Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu
hạn sinh khác 0. Lấy a là iđêan của R sao cho M ≠ aM và a1,...,a n là M –
dãy chính quy tối đại trong a nếu không tồn tại phần tử a n +1 ∈a sao cho

a1,...,a n ,a n +1 là M – dãy chính quy có độ dài n + 1.
Định nghĩa 1.4.4. Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu
hạn sinh khác 0. Lấy a là iđêan của R sao cho M ≠ aM . Khi đó mọi dãy
chính quy của M trong a đều có thể mở rộng thành dãy chính quy tối đại
trong a và các dãy chính quy tối đại của M trong a có cùng độ dài. Độ dài

này gọi chung là độ sâu của M trong a .
Kí hiệu là depth( a , M).
Nhận xét 1.4.5.
Nếu R là vành địa phương với iđêan tối đại m . Khi đó mọi M – dãy
chính quy a1,...,a n phải có các phần tử thuộc m , đơn giản vì

M ≠ (a1,...,a n )M . Chú ý ta có M ≠ mM theo bổ đề Nakayama. Do đó dãy
các phần tử của R là M – dãy chính quy khi và chỉ khi nó là M – dãy chính
quy trong m . Trong trường hợp này, độ sâu của M trong m gọi là độ sâu của
M và kí hiệu là: depth(M).


1.5. Vành Cohen – Macaulay
Định nghĩa 1.5.1. Cho R là vành Noether địa phương và M là R – mô đun
hữu hạn sinh. M được gọi là Cohen – Macaulay (CM) nếu M ≠ 0 và depth(M)
= dim M.
Nếu R là R – mô đun Cohen – Macaulay thì R được gọi là vành Cohen –
Macaulay.
Định nghĩa 1.5.2. Cho R là vành Noether ta gọi R là vành CM nếu R m là
vành CM địa phương với mọi iđêan tối đại m của R.
Tính chất 1.5.3. Cho R là vành Noether địa phương. M là CM R – mô đun.
Thì
(i) Với mọi p ∈ Ass ( M ) , depth M = dim R/p.
(ii) x = x 1 , x 2 ,…x n là một M – dãy nếu và chỉ nếu dim M/xM = dim M – r.
Tính chất 1.5.4. R là vành Noether M là R – mô đun hữu hạn sinh. Giả sử x
là một M – dãy. Nếu M là CM thì M/xM cũng CM.
Đặc biệt, nếu R là vành địa phương và M/xM là CM thì M là CM.
Tính chất 1.5.5. Cho M là CM và S là tập con nhân đóng trong R. Thì S−1M
là CM S−1R - mô đun. Đặc biệt, Nếu p ∈ SuppM thì M p là CM R p - mô đun.
Tính chất 1.5.6. Cho R là vành Noether và M là CM R – mô đun hữu hạn

sinh. Thì =
dim M dim M p + dim M / pM với mọi p ∈ Supp ( M ) .
1.6. Vành phân bậc
Định nghĩa 1.6.1. Vành R được gọi là vành phân bậc nếu R có dạng:
R = ⊕ R n trong đó R n R m ⊆ R n + m
n ≥0


Định nghĩa 1.6.2. Một R - mô đun phân bậc là một R – mô đun M nếu
M = ⊕ M n sao cho R n M m ⊆ M n + m
n∈Z

Nhận xét 1.6.3.
Một đồng cấu của R – mô đun phân bậc là một đồng cấu f : M → N sao
cho f (M n ) ⊆ N n với mọi n ≥ 0 .
Một mô đun con N của M được gọi là mô đun con phân bậc nếu
N=
⊕(N ∩ M n ) .

Nếu N là mô đun con phân bậc của M thì M N cũng là R - mô đun
phân bậc M N = ⊕ M n N ∩ M .
n
Nếu R là vành phân bậc thì R + = ⊕ R n là một iđêan của R.
n >0

Tính chất 1.6.4. Cho R là vành phân bậc, các mệnh đề sau tương đương:
(i) R là vành Noether.
(ii) R 0 là vành Noether và R là R 0 – đại số hữu hạn sinh.
Nhận xét 1.6.5.
Cho R là một vành phân bậc R = ⊕ R n thì tồn tại các phần tử l1 ,l2 ,...,lr

n ≥0

∈ R1 sao cho R = R 0 [l1 ,l2 ,...,lr ] .

Tính chất 1.6.6. Cho R là một vành Noether phân bậc và M là một R – mô
đun phân bậc khi đó.
(i) Mọi iđêan nguyên tố liên kết p của M là iđêan phân bậc và tồn tại
một phần tử thuần nhất x của M sao cho p = Ann(x).
(ii) Với mỗi p∈ Ass(M) chúng ta có thể chọn một p – nguyên sơ phân
bậc Q(p) sao cho (0) =
1.7. Hàm tử xoắn



p∈Ass(M)

Q(p) .


Định nghĩa 1.7.1. Cho M là một R – mô đun, tập hợp
Γa (M)=

 (0 : a n )= {m ∈ M | ∃n ∈ , a n m= 0} là mô đun con của M.

n∈N

Nếu f : M → N là đồng cấu các R - mô đun.
Thì ta có f Γa (M)  ⊆ Γa (N)
Thật vậy với mọi x ∈Γa (M) ⇒ ∃n ∈  : a n x = 0
Khi đó a n f (x) =

0 ⇒ f (a n x) =
0.
Ta định nghĩa ánh xạ =
Γa (f ) f |Γa (M): Γa (M) → Γa (N) .
Thì Γa (−) là một hàm tử hiệp biến trong phạm trù các R – mô đun.
Ta gọi Γa (−) là hàm tử a – xoắn.
Bổ đề 1.7.2. Cho a là một iđêan của vành Noether R. Giả sử M là hữu hạn
sinh. Các phát biểu sau đây là đúng:
(i) Γa (M) ≠ 0 nếu và chỉ nếu a ⊆ ZD(M) .
Trong đó ZD(M) = {a ∈ R:∃0 ≠ m ∈ M sao cho a.m = 0}
(ii) Ass ( Γa (M) ) =
Ass(M)  V(a ) và Ass ( M / Γa (M) ) =
Ass(M) \ V(a ) .
Tính chất 1.7.3. Γa (−) bảo toàn tính khớp trái của dãy khớp ngắn.
Chứng minh
g
f
Cho 0 
→ M 
→ N 
→ L là dãy khớp.

Tác động Γa (−) và ta được
Γa (f )
Γa (g)
Γa (N) →
Γa (L)
0 
→ Γa (M) →

Khi đó Γa (f ) là đơn cấu. Ta chứng minh kerΓa (g) ⊇ ImΓa (f )
Thật vậy Γa (g)Γa (f ) =
Γa (gf ) =
0
Giả sử x ∈ ker Γa (g) ⊆ ker g =
Imf .
n
∃m ∈ M,n ∈  : f (m)
= x, a=
x 0
n
Khi đó=
0 a=
x a n f (m)
= f (a n m)


Do f đơn cấu nên a n m = 0 ⇒ m ∈Γa (M), x ∈Γa (f )
⇒ kerΓa (g) =
imΓa (f ) .

1.8. Mô đun đối đồng điều địa phương
Định nghĩa 1.8.1. Cho M là R – mô đun và a là iđêan của R. Cho giải nội xạ
của M
µ
d
d
0 
→ M 
→ I0 →

I1 → .... → Ii 
→ I → .....
0

i

Tác động hàm tử a - xoắn Γa (−) vào dãy khớp trên ta được phức.
Γa (d )
0 
→ Γa (I0 ) → .... → Γa (Ii ) 
→ Γa (Ii +1 ) → ..... là dãy khớp
i

i
Khi đó ker(Γa (d ))

Im(Γa (di−1))

là mô đun đối đồng điều thứ i của phức và

được gọi là mô đun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với iđêan a .
i
Kí hiệu là Hai (M) = ker(Γa (d ))

Im(Γa (di−1))

.

Nhận xét 1.8.2.
(i) Nếu M là R – mô đun nội xạ thì Hai (M) = 0, ∀i > 0

(ii) Γa (M) ≅ Ha0 (M) .
(iii) Mọi phần tử của Hai (M) linh hóa bởi a n với n nào đó.
Tính chất 1.8.3. Cho R là vành Noether S là tập đóng nhân của R, M là R –
mô đun, a là ideal của R. Thì
S−1 (Γa (M)) =
ΓS−1a (S−1M)
S−1 (Hai (M)) ≅ HSi −1a (S−1M) với mọi i.

Đặc biệt (Hai (M)) p ≅ Hai R p (M p ) với mọi iđêan nguyên tố p của R.
Tính chất 1.8.4. Giả sử (R, m ) là vành địa phương, M là R – mô đun hữu
hạn sinh. Thì Him (M) là mô đun Artin với mọi i.


g
f
Tính chất 1.8.5. Cho dãy khớp ngắn 0 → L 
→ N 
→ M → 0 khi đó với

→ Hai+1 (L) và những đồng cấu
mỗi i∈ 0 . Tồn tại một đồng cấu nối Hai (N) 

nối tạo nên một dãy khớp dài
Ha (f )
Ha (g)
0 → Ha0 (L) 

→ Ha0 (M) 
→ Ha0 (N)
0

0

1

1

i

i

Ha (f )
Ha (g)
E

→ H1a (L) 

→ H1a (M) 
→ H1a (N)
E

→ ....
Ha (f )
Ha (g)
E

→ Hai (L) 

→ Hai (M) 
→ Hai (M)

E

→ Hai+1 (L) 
→ ...

Định nghĩa 1.8.6. Cho R = ⊕ R n là vành Noether, R là  – phân bậc, R 0 là
n ≥0

vành Noether. R + =
⊕ R n ⊆ R là một iđêan của R.
n >0

Giả sử M = ⊕ M n là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh.
n∈Z

Với i∈ ta có HiR + (M) là mô đun đối đồng điều địa phương của M đối với
iđêan R + .
Khi đó HiR + (M) là R - mô đun phân bậc và HiR + (M) = ⊕ HiR + (M)n .
n∈Z
Tính chất 1.8.7. Giả sử (R, m ) là vành địa phương và M là R – mô đun phân
bậc hữu hạn sinh. Thì
(i) Him (M)n = 0, ∀i ∈ và n đủ lớn.
(ii) Him (M)n là R 0 – mô đun Artin với mọi i, với mọi n.
Tính chất 1.8.9. Cho (R, m ) là vành Noether địa phương với số chiều d, a
là một iđêan của R và M là R – mô đun hữu hạn sinh. Thì

(

)

(

)

(i) AssR Hai (M) = AssR HomR R / a,Hai (M) .

(

)

(ii) AssR Hai (M) hữu hạn với i = 0,1.

(

)

(iii) SuppR Hai (M) hữu hạn với mọi i nếu dim(R / a ) ≤ 1 .


Tính chất 1.8.10. Với mọi i ∈  thì R – mô đun HiR (Γ m0R (M) là mô đun
+

Artin. Định lý: Giả sử dim(R 0 ) ≤ 1 , với mọi i ∈  thì Γ m0R ( HiR M ) và
+

H1m R (HiR (M) là các R – mô đun Artin.
0

+

Tính chất 1.8.11. Cho R là vành địa phương và M là R – mô đun hữu hạn

(

)

sinh với số chiều d ≤ 3 . Thì AssR Hai (M) hữu hạn với mọi iđêan a của R.
Tính chất 1.8.12. Với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có

p∈ Ass ( Hai (M) ) ⇔ pR p ∈ Ass ( Hai R p (M p ) )
Tính chất 1.8.13. Cho R = ⊕ R n là vành Noether, R là  – phân bậc, R 0 là
n ≥0

vành Noether. R + =
⊕ R n ⊆ R là một iđêan của R.
n >0

Giả sử M = ⊕ M n là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó với mỗi
n∈Z

i∈ ta có:

(

)







i
AssR HiR + (M) =
p0 + R + | p0 ∈  Ass R 0 (H R + (M)n ) 


n∈Z



1.9. Tính không xoắn của mô đun đối đồng điều địa phương
Định nghĩa 1.9.1. Cho M là R – mô đun. Một phần tử x của M được gọi là
phần tử xoắn khi nó có một phần tử linh hóa khác không.
Nếu R là miền nguyên, tập hợp các phần tử xoắn của M kí hiệu : T(M)
là một R – mô đun xoắn con của M.
Khi T(M) = M thì M được gọi là mô đun xoắn.
Khi T(M) = 0 thì M được gọi là mô đun không xoắn.
Định nghĩa 1.9.2. Cho R là một vành tùy ý, M là một R – mô đun, S là tập
con nhân của R. Một phần tử m của M được gọi là phần tử S – xoắn nếu tồn
tại s trong S linh hóa m.


Định lý 1.9.3. Cho R 0 là miền nguyên, giả sử s ∈ R 0 \{0} và giả sử i∈ . Thì
=
R s (R 0 )s ⊗R 0 R và ( R
=
R=
s )+
+Rs

( R + )s

ta có các mệnh đề tương đương

sau:
(i) HiR (M)s là (R 0 )s - mô đun không xoắn.
+

(ii) Hi(R ) (Ms ) là (R 0 )s - mô đun không xoắn.
s +

(iii) Nếu p∈ AssR (HiR + (M)) thì s∈ p hoặc p ∩ R 0 =
0
Bổ đề 1.9.4. Giả sử R 0 là một miền nguyên vô hạn với trường các thương K.

=
d dim K ⊗R R (K ⊗R 0 M) ≥ 0 và x1, x 2 ,..., x d là những phần tử bất kì.
Nếu
0

Thì tồn tại phần tử t ∈ R 0 \{0} và một đồng cấu:

( R 0 )t  x  = ( R 0 )t  x1, x 2 ,...x d  → R t sao cho
dim K x  (K ⊗(R 0 )t M t ) =
d và Hi (R
 

0 )t  x  +

(M t ) ≅ Hi (R t )+ (M t ), ∀i ∈

Bổ đề 1.9.5. Giả sử R 0 là miền nguyên vô hạn với trường các thương K và

=
d dim K ⊗R R (K ⊗R 0 M) .
0

Thì tồn tại t ∈ R 0 \{0} sao cho Hi(R t )+ (M t ) = 0, ∀i > d
Bổ đề 1.9.6. Giả =
sử R R=
0
 x  R 0  x1, x 2 ,...x d  là vành đa thức trên miền
Noether R 0 với trường các thương K và giả sử M là R – mô đun phân bậc hữu

K  x  - mô đun tự do thì tồn tại
hạn sinh. Khi đó nếu K ⊗R 0 M là K ⊗R 0 R =
một phần tử s ∈ R 0 \{0} sao cho:
Nếu i = d thì Hi(R ) (Ms ) là ( R 0 )s - mô đun tự do.
s +

Nếu i ≠ d thì Hi(R ) (Ms ) = 0 .
s +

Định lý 1.9.7. Giả sử R 0 là một miền nguyên. Thì tồn tại phần tử s ∈ R 0 \{0}
sao cho HiR (M)s là ( R 0 )s - mô đun không xoắn ∀i ∈ .
+


Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết của

các thành phần phân bậc của mô đun
đối đồng điều địa phương có đối chiều
bé
2.1. Khái niệm về sự ổn định tiệm cận
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử (Sn )n∈Z là họ các tập hợp. Ta nói S n là ổn định tiệm
cận khi n → −∞ nếu tồn tại n 0 ∈ sao cho Sn = Sn0 với mọi n ≤ n 0 .
Như vậy, tập hợp AssR 0 (HiR + (M)n ) được gọi là ổn định tiệm cận khi n → −∞
nếu tồn tại n 0 ∈ sao cho:
i
i
Ass
=
R 0 (H R + (M) n ) Ass R 0 (H R + (M) n 0 ), ∀n ≤ n 0

Lưu ý 2.1.2.
S n là ổn định tiệm cận khi n → −∞ ta có thể gọi ngắn gọn là ổn định
tiệm cận.
Định nghĩa 2.1.3. Giả sử (Sn )n∈Z là họ các tập hợp. Ta nói S n là thuần hóa
nếu Sn = 0 với n đủ nhỏ hoặc Sn ≠ 0 với n đủ nhỏ.
Tập HiR + (M) được gọi là thuần hóa khi HiR + (M)n = 0 với n đủ nhỏ hoặc
HiR + (M)n ≠ 0 với n đủ nhỏ.


Nhận xét 2.1.4.
Nếu AssR 0 (HiR + (M)n ) ổn định tiệm cận thì HiR + (M) là thuần hóa.
Trước khi đi vào nội dung chính của luận văn chúng ta nhìn lại một số
kết quả đã có về tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của mô
đun đối đồng điều địa phương mà các nhà toán học đã nghiên cứu được.
2.2. Sự ổn định tiệm cận của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần
phân bậc của mô đun đối đồng điều địa phương.

Định lý 2.2.1. Cho R 0 là vành địa phương và M là R – mô đun phân bậc hữu
hạn sinh. Giả sử i∈ sao cho H Rj + (M) là R – mô đun hữu hạn sinh với mọi j
< I thì AssR 0 (HiR + (M)n ) ổn định tiệm cận.
Định lý 2.2.2. Cho M là R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh. Đặt
=
f f R + (M)
= inf{i ∈ | HiR + (M) không höõu haïn sinh} .

Khi đó AssR 0 (H fR + (M)n ) ổn định tiệm cận.
Định lý 2.2.3. Nếu R 0 là vành địa phương (nữa địa phương) có số chiều
dim(R 0 ) ≤ 1 thì AssR 0 (HiR + (M)n ) ổn định tiệm cận với mọi i∈ .

Định lý 2.2.4. Nếu R là một vành Cohen – Macaulay với dim(R 0 ) = 1 và M là
Cohen – Macaulay R – mô đun thì AssR 0 (HiR + (M)n ) ổn định tiệm cận với mọi
i∈ .

Tiếp theo ta sẽ đi tìm hiểu phần chính của luận văn, phần mở rộng (4)
về hướng bỏ qua tính địa phương của R 0 đồng thời thêm vào một số điều kiện
nhỏ cho R 0 . Trong trường hợp đặc biệt dim R 0 = 1 chúng ta có một kết quả
hoàn chỉnh hơn về sự mở rộng của (4).
2.3. Iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc có đối chiều 1.


Chú ý 2.3.1.
Giả sử i∈ ta kí hiệu
Τi =Τi (M) ={p∈ AssR (HiR + (M)) | height(p ∩ R) ≤ 1}

Với n ∈
ta kí hiệu

Τin =Τin (M) ={p0 ∈ AssR 0 (HiR + (M)n ) | height(p0 ) ≤ 1}
Ta có Τin =∅ với n đủ lớn. Hơn thế nữa

Τi=

{p + R
0

+

| p0 ∈  Tni
n∈Z

}

Bổ đề 2.3.2. Giả sử i∈ và S ⊆ Τi . Khi đó với mọi số nguyên n đặt
i
S=
n {p0 ∈Τn |p0 +R + ∈ S} thì

(i) S {p0 +R + |p0 ∈  Sn } .
=
n∈Z

(ii) S là hữu hạn khi và chỉ khi S n ổn định tiệm cận.
Chứng minh
(i) Nếu p0 +R + ∈{p0 +R + |p0 ∈  Sn } ⇒ ∃n ∈  : p0 ∈ Sn ⇒ p0 +R + ∈ S
n∈Z

Ngược lại, lấy p0 +R + ∈ S ⇒ ∃n ∈  p0 ∈ Tni

⇒ p0 ∈ Sn ⇒ p0 ∈  Sn ⇒ p0 +R + ∈ {p0 +R + |p0 ∈  Sn }
n∈Z

n∈Z

⇒ S {p0 +R + |p0 ∈  Sn }
=
n∈Z

~

~

(ii) Cho S hữu hạn. Đặt S =  Sn thì S là tập hữu hạn.
n∈Z

Giả sử p0 ∈ S thì ( R 0 )p là vành địa phương.
~

0

Ta có dim ( R 0 )p = ht( p0 ) ≤ 1
0





Theo định lý 2.2.3 thì Ass R  Hi  (M p0 )n  ổn định tiệm cận
( 0 )p   R p 


0
0





+




Mặt khác, ta có HiR + (M n ) p0 ≅ Hi


 Rp 
0 +


(M p0 )n

Nên hoặc p0 ∈ Ass R ( HiR + (M n ) ) với n đủ nhỏ hoặc p0 ∉ Ass R ( HiR + (M n ) ) với n
0

0

đủ nhỏ.
Điều đó có nghĩa p0 ∈ Sn với mọi n đủ nhỏ hoặc p0 ∉ Sn với mọi n đủ nhỏ.
~

Vì S hữu hạn nên Sn ổn định tiệm cận.
Ngược lại,
Cho S n ổn định tiệm cận. Nên S n hữu hạn với mỗi n nguyên dương
Và S n = 0 với mọi n đủ lớn. suy ra  Sn hữu hạn.
n∈Z

Vậy S {p0 +R + |p0 ∈  Sn } hữu hạn.
=
n∈Z

Tính chất 2.3.3. Giả sử R 0 là mở rộng nguyên hữu hạn của miền nguyên A 0
sao cho q0 ∩ A 0 =
0 với mỗi iđêan tối tiểu q0 của R 0 thì với mỗi i∈ ta có:
(i) Τi (M) là hữu hạn.
(ii) Tni (M) ổn định tiệm cận.
Chứng minh
Theo bổ đề 2.3.2. ta chỉ cần chứng minh (i) là đủ.
Gọi l0 ,l1,....lr ∈ R1 sao cho R = R 0[l0 ,l1,...lr ] và đặt A := A 0[l0 ,l1,...lr ] .
Khi đó, A là một vành con Noether của R và A + R = R + như vậy R là mở rộng
nguyên hữu hạn của A.
Trong trường hợp M là A – mô đun phân bậc hữu hạn sinh.
Ta có HiR + (M) ≅ HiA+ (M) . Theo định lý 1.9.7 và định lý 1.9.3 đối với M
hữu hạn sinh ta có s ∈ A 0 \{0} sao cho τ ∩ A 0 = 0 hoặc s ∈τ ∩ A 0 với mỗi
τ∈ AssA (HiR + (M))

Vì q0 ∩ R 0 =
0 với mọi q0 nguyên tố tối tiểu của R 0 . Ta có height(sR 0 ) ≥ 1 .

Giả sử lấy p∈Τi (M) . Thì p ∩ A ∈ AssA (HiR + (M)) và do đó p ∩ A0 =
0
hoặc s ∈ p ∩ A0
Nếu p ∩ A 0 =
0 thì p ∩ R 0 là một trong hữu hạn các iđêan nguyên tố
tối tiểu của R 0 .
Nếu s ∈ p ∩ A0 thì height(p ∩ R 0 ) ≤ 1 ≤ height(sR 0 ) do đó p ∩ R 0 là một
trong hữu hạn iđêan nguyên tố tối tiểu hữu hạn của sR 0 .

{

}

Vậy p ∩ R 0 | p ∈Τi (M) là hữu hạn nên Τi (M) cũng là tập hữu hạn.
Hệ quả 2.3.4. Giả sử R 0 là một miền nguyên thì với mỗi i∈ những kết luận
trong tính chất trên vẫn đúng.


Bổ đề 2.3.5. Giả sử với i∈ , Τi (Γq0R ( M )) và Τi  M
Γ



 là những tập
q0 R ( M ) 

hữu hạn với mọi ideal tối tiểu q0 của R 0 với q0 ⊇ (0 : M) . Thì Τi (M) là hữu
hạn.
Chứng minh
Giả sử q0(1) , q0(2) ,..., q0(t) = q0 là những iđêan nguyên tố tối tiểu khác nhau của R 0

chứa (0:R 0 M),(t ∈ 0 ) .
Với mỗi p∈Τi (M) thì height(p ∩ R 0 ) ≤ 1 và p ∩ R 0 ⊇ (0 :R 0 M) .
Đặt M := M Γ

q0R (M)

rõ ràng (0:R 0 M) ⊄ q0 .

Theo giả thiết Τi (M) là hữu hạn. Ta chỉ cần chứng minh Τi (M) \ Τi (M) hữu
hạn là được.
Lấy p∈Τi (M) \ Τi (M) và giả sử p0= p ∩ R 0 .
Xét dãy khớp
δ
→ HiR + (Γq R (M)) → HiR + (M) → HiR + (M)
HiR−+1 (M) 
0