phương pháp biến phân trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
_____________

Văn Hoàng Hữu Vinh

PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
_____________

Văn Hoàng Hữu Vinh

PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ
Chuyên ngành : Toán Giải Tích
Mã số

: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


1

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy PGS.TS. NGUYỄN BÍCH
HUY đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn
này.
Tôi xin chân thành cám ơn quí Thầy, Cô khoa Toán trường ĐHSP
TP Hồ Chí Minh và trường ĐHKHTN TP Hồ Chí Minh đã trang bị cho
tôi nhiều kiến thức quí báu trong Toán học cũng như trong cuộc sống.
Tôi xin cảm ơn bạn bè và người thân đã động viên giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập và làm luận văn.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2011
Học viên
Văn Hoàng Hữu Vinh


2

LỜI CAM ĐOAN
Mặc dù trong quá trình làm luận văn này, tôi đã nghiên cứu, tìm hiểu và
tham khảo ở sách vở, các bài báo toán học của các tác giả và luận văn của các
khóa trước, tôi có sử dụng các kết quả đã được chứng minh để hoàn thành
luận văn của mình, nhưng tôi xin cam đoan không sao chép các luận văn đã
có và tôi xin hoàn toàn chịu mọi trách nhiệm với lời cam đoan của mình.

3

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... 1
T
0

T
0

LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................. 2
T
0

T
0

MỤC LỤC ......................................................................................................... 3
T
0

T
0

MỘT SỐ KÍ HIỆU ............................................................................................ 4
T
0

T
0

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 5
T
0

T
0

1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................................... 5
T
0

T
0

2. Mục tiêu của luận văn ................................................................................................... 5
T
0

T
0

3. Phương pháp nghiên cứu............................................................................................... 6
T
0

T
0

4. Nội dung của luận văn................................................................................................... 6

T
0

T
0

Chương 1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN KẾT HỢP VỚI THỨ TỰ ............ 7
T
0

T
0

1.1. Các khái niệm ............................................................................................................. 7
T
0

T
0

1.2. Sự tồn tại nghiệm và nhiều nghiệm cho ánh xạ lớp C .......................................... 17
1

T
0

T
0

1.3. Sự tồn tại nghiệm cho lớp ánh xạ lớp C ............................................................... 31

2

T
0

T
0

Chương 2. ĐỊNH LÝ MOUNTAIN PASS TRONG KHOẢNG THỨ TỰ.... 47
T
0

T
0

2.1. Các kết quả chuẩn bị ................................................................................................ 47
T
0

T
0

2.2. Định lý Mountain Pass trong khoảng thứ tự ............................................................ 50
T
0

T
0

KẾT LUẬN ..................................................................................................... 53

T
0

T
0

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 54
T
0

T
0


4

MỘT SỐ KÍ HIỆU
C 1 (U ,  )

Không gian các hàm Φ :U →  có đạo hàm cấp một
liên tục trên U .

C 1 (U ,  )

Không gian các hàm Φ :U →  có đạo hàm cấp một
liên tục trên U .

C ∞ (U ,  )

Không gian các hàm Φ :U →  có đạo hàm mọi cấp

trên U .

I

Ánh xạ đồng nhất.

inf Φ ( C )

Cực tiểu của Φ trên C .

int ( P )

Phần trong của P .

∂B

Biên của tập B .

= Γ

Số phần tử của tập Γ .

L(E)

Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ E → E .

εn  0

(ε n ) là dãy giảm hội tụ đến 0 .

Kc

Cr ( Φ, H , c ) :={u ∈ H | Φ ( u ) =c, Φ ' ( u ) =0}

im ( β )

Tập ảnh của ánh xạ β .

deg loc ( Φ ', u0 , 0 ) Bậc tôpô địa phương của Φ ' trên một lân cận của u0

tại 0 .
F 0 ( x, h )

Đạo hàm theo hướng Clarke của hàm F tại x đối với
hướng h .


5

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhiều bài toán của Khoa học tự nhiên, Y học, Kinh tế học,…đưa đến việc
nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm, cấu trúc của tập nghiệm, xây dựng
nghiệm xấp xỉ cho các phương trình phi tuyến trong các không gian trừu
tượng. Hai phương pháp cơ bản để nghiên cứu các phương trình phi tuyến là
phương pháp điểm bất động và phương pháp biến phân. Sự kết hợp phương
pháp điểm bất động với sử dụng các tính chất thứ tự của không gian đưa tới
sự ra đời của Lý thuyết phương trình trong không gian có thứ tự. Lý thuyết
này hình thành từ những năm 1940 và được phát triển hoàn thiện cho đến
ngày nay. Nó cho phép nghiên cứu sâu hơn các tính chất của nghiệm như tính

dương, tính lồi,… cũng như chỉ ra sự tồn tại của dãy đơn điệu để tính gần
đúng nghiệm.
Sự kết hợp phương pháp biến phân với sử dụng thứ tự mới chỉ bất đầu
được nghiên cứu từ những năm 1980. Hướng nghiên cứu này chưa nhận được
nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học và kết quả thu được cũng chưa
nhiều. Do đó việc tìm hiểu về hướng nghiên cứu này để đi sâu hơn là công
việc có ý nghĩa và hứa hẹn cho những kết quả mới.
2. Mục tiêu của luận văn
Tìm hiểu và trình bày một cách hệ thống, chi tiết các kết quả ban đầu về
phương pháp biến phân trong không gian có thứ tự.


6

3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu mang tính lý thuyết, thu thập tài liệu, phân tích và tổng hợp
các tài liệu thu được để trình bày các kết quả trong tài liệu theo hiểu biết của
mình một cách có hệ thống và chi tiết.
Các phương pháp chứng minh: phương pháp trực tiếp, phương pháp
minimax; sử dụng tính chất của thứ tự sinh bởi nón, sử dụng bậc tôpô.
4. Nội dung của luận văn
Chương 1. Phương pháp biến phân kết hợp với thứ tự
1.1. Các khái niệm
1.2. Sự tồn tại nghiệm và nhiều nghiệm cho ánh xạ lớp C
1.3. Sự tồn tại nghiệm cho lớp ánh xạ lớp C

2

Chương 2. Định lý Mountain Pass cho khoảng thứ tự
2.1. Các kết quả chuẩn bị

2.2. Định lý

1


7

Chương 1. PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN KẾT HỢP VỚI THỨ
TỰ
1.1. Các khái niệm
Ta bắt đầu với bài toán mà cấu trúc thứ tự không được đòi hỏi.
Cho

( H , (.,.) )

là không gian Hilbert thực và Φ ∈ C 1 (U ,  ) , với

∅ ≠ U ⊂ H , U mở. Với hai số thực c, d , và tập ∅ ≠ C ⊂ U , C đóng, ta định

nghĩa
Cr ( Φ, C , d ) := {u ∈ C | Φ ( u ) = d , Φ ' ( u ) = 0}
Cr ( Φ, C )=:  Cr ( Φ, C , e )
e∈

Φ d := Φ −1 ( ( −∞; d ]) ,

Φ c := Φ −1 ([ c; +∞ ) ) , Φ dc := Φ d ∩ Φ c
•

Φ d =: int ( Φ d ) .

Ta nói Φ thỏa điều kiện Palais-Smale trên C (kí hiệu là ( PS )C ) nếu:
với mọi dãy ( un ) ⊂ C , Φ ' ( un ) → 0, Φ ( un ) → d ∈  thì ( un ) tiền compact.
Tập D
= D ( Φ, C ) được định nghĩa
=
D:

{σ : [0,1] × C → C liên tục | σ ( 0,.) = I và ánh xạ

t → Φ (σ ( t , u ) ) không

tăng với mọi u ∈ C } , được gọi là Φ − họ trên C .
Dễ dàng chứng tỏ rằng: nếu σ , σˆ ∈ D thì ánh xạ σ * σˆ xác định bởi
t ∈ [0;1 2]
σˆ ( 2t , u )
σ * σˆ = 
σ ( 2t − 1, σˆ (1, u ) ) t ∈ [1 2;1]

là thuộc D . Do đó “ * ” xác định một ánh xạ từ D × D → D .
Ta có bổ đề sau về tính chất của Φ − họ (chứng minh được cho trong [5]).


8

Bổ đề 1.1.1
Cho H là không gian Hilbert thực, ∅ ≠ C ⊂ U , C đóng và lồi, U mở.
Giả sử Φ ∈ C 1 (U ,  ) thỏa ( PS )C và gradient ∇Φ có thể được phân tích
∇Φ= I − K , KC ⊂ C .

Khi đó Φ − họ trên C , D
= D ( Φ, C ) , có tính chất sau: với mọi số thực
d ∈  , ε 0 > 0 , và lân cận tương đối W ⊂ C của Cr ( Φ, C , d ) thì tồn tại

ε ∈ ( 0, ε 0 ] và một ánh xạ σ ∈ D sao cho

(

(

σ {1} × ( Φ d +ε ∩ C ) \W

)) ⊂ Φ

d −ε

∩C .

Lưu ý 1.1.1
Nếu

 Cr ( Φ, C , e ) =
∅ và giả thiết của bổ đề 1.1.1 đúng thì tồn tại

e∈[ c ,d ]

(

)

σ ∈ D ( Φ, C ) sao cho σ {1} × ( Φ d ∩ C ) ⊂ Φ c ∩ C .
Chứng minh
Thật vậy, do [ c, d ] compact nên tồn tại d i , c ≤ d1 < d 2 < ... < d k ≤ d và

ε i > 0 , i = 1,..., k , sao cho

([ d

i

− ε i , d i + ε i ])i =1,...,k phủ [ c, d ] và σ i ∈ D (áp

dụng bổ đề 1.1.1 trước rồi sử dụng tính compact của [ c, d ] ) thỏa

(

)

σ i {1} × ( Φ d +ε ∩ C ) ⊂ Φ d −ε ∩ C .
i

i

(

i

i

)

Đặt σ := ... ( (σ 1 * σ 2 ) * σ 3 ) * ... * σ k , thì σ thỏa

(

)

σ {1} × ( Φ d ∩ C ) ⊂ Φ c ∩ C . 
Sử dụng bổ đề 1.1.1 ta có kết quả tồn tại đầu tiên của điểm tới hạn.


9

Mệnh đề 1.1.1
Cho H là không gian Hilbert thực, ∅ ≠ C ⊂ U , C đóng và lồi, U mở.
Giả sử Φ ∈ C 1 (U ,  ) thỏa ( PS )C và gradient ∇Φ có thể được phân tích
∇Φ= I − K , KC ⊂ C , và Φ | C bị chặn dưới.

Khi đó ∅ ≠ Cr ( Φ, C , d ) = Φ dd ∩ C , trong đó =
d inf Φ ( C ) .
Chứng minh
Cr ( Φ, C , d ) =
∅.
 Giả sử Cr :=

Khi đó tồn tại ε > 0 (do bổ đề 1.1.1) và σ ∈ D := D ( Φ, C ) với

(

)

σ {1} × ( Φ d +ε ∩ C ) ⊂ Φ d −ε ∩ C , điều này vô lý vì Φ d +ε ∩ C ≠ ∅ và
d inf Φ ( C ) ).
Φ d −ε ∩ C =
∅ (do =

Do đó Φ dd ∩ C ⊃ Cr ≠ ∅ ( Cr ⊂ Φ dd ∩ C là hiển nhiên).

 Để chứng tỏ bao hàm thức ngược lại, ta giả sử rằng tồn tại
u ∈ ( Φ dd ∩ C ) \Cr .

Khi đó, vì H là không gian Hilbert nên là không gian tách, suy ra tồn
tại một lân cận tương đối W ⊂ C của Cr sao cho u ∉W .
Theo bổ đề 1.1.1, tồn tại σ ∈ D và ε > 0 mà σ (1, u ) ∈Φ d −ε ∩ C = ∅ ,
điều này lại vô lý. 
Cho đến giờ chúng ta đã không sử dụng cấu trúc thứ tự. Bây giờ ta giới
thiệu khái niệm này.


10

Cho X là tập khác rỗng. Một thứ tự trong X, kí hiệu là “ ≤ ”, là một
quan hệ trong X mà có tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu. Cặp ( X , ≤ )
được gọi là một tập có thứ tự.
Với mọi x, y ∈ X , tập [ x, y ] := {z ∈ X : x ≤ z ≤ y} được gọi là khoảng
thứ tự giữa x và y .
Nếu X là không gian tuyến tính thực, một thứ tự tương thích với cấu
trúc tuyến tính, tức là thỏa mãn
i. x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z, ∀z ∈ X ,
ii. x ≤ y ⇒ α x ≤ α y , ∀α ∈  + =

[0, ∞[ ,

được gọi là một thứ tự tuyến tính. Cặp ( X , ≤ ) được gọi là không gian vectơ
có thứ tự (viết tắt là OVS).
Xét một OVS X và một tập P :=
{x ∈ X : 0 ≤ x}. Tập P có những tính
chất sau
C1 . P + P ⊂ P ,
C2 .  + P ⊂ P ,

C3 . P ∩ ( − P ) ={0} .

Một tập con khác rỗng P của một không gian vectơ thực thỏa mãn các
tính chất C1 − C3 được gọi là một nón. Ta có nhận xét
i. Mỗi nón là tập lồi.
ii. Với một nón P trong không gian vectơ thực X, ta có thể xác định
một thứ tự tuyến tính bởi

x ≤ y ⇔ y − x∈P,
mà được gọi là thứ tự cảm sinh bởi nón P .
Ta viết x > y :⇔ y ≤ x và y ≠ x .
x  y :⇔ x − y ∈ int ( P )


11

Tập P \ {0} =
{x ∈ X | x > 0} được gọi là nón dương.
Khi X = ( X , .

) là không gian Banach được sắp thứ tự bởi một nón P,

thì X sẽ là một không gian Banach có thứ tự ( viết tắt là OBS) nếu thứ tự
cảm sinh bởi P là tương thích với cấu trúc tuyến tính của X và với tôpô của
nó; tức là, " ≤ " là thứ tự tuyến tính và nón P là đóng.
Một nón được gọi là toàn phần (total) nếu X= P − P và được gọi là
nón sinh nếu X= P − P .
Một toán tử T : U ⊂ X → X được gọi là bảo toàn thứ tự (hoặc tăng)
nếu
x ≤ y ⇒ Tx ≤ Ty ,

được gọi là bảo toàn thứ tự ngặt (hoặc tăng ngặt) nếu

x > y ⇒ Tx > Ty ,
và được gọi là bảo toàn thứ tự mạnh (hoặc tăng ngặt) nếu

x ≤ y ⇒ Tx  Ty , tức là Ty − Tx ∈ int P .
Với kết quả chính trong phần này thì Mệnh đề 1.1.2 là hữu ích.
Mệnh đề 1.1.2
Cho ( H , P ) là không gian Hilbert thực có thứ tự, ∅ ≠ U ⊂ H , U mở,
và Φ ∈ C 1 (U ,  ) và gradient ∇Φ có thể được phân tích ∇Φ= I − K , trong
đó K compact và bảo toàn thứ tự. Hơn nữa, giả sử u0 ∈U là một điểm tới
hạn của Φ . Khi đó với mọi ε > 0 mà Bε := {u ∈ H | u − u0 ≤ ε } ⊂ U thì tồn
tại u + ≥ u0 , u − ≤ u0 , u ± ∈ Bε và λ ± ∈  + sao cho
Φ ' ( u ± ) + λ ± ( u ± − u0 ) =
0


12

(
inf Φ ( B

)
∩ {u ∈ H | u ≤ u }) =
Φ (u ) .

inf Φ Bε ∩ {u ∈ H | u ≥ u0 } =
Φ (u+ )
ε

−

0

Chứng minh
Ta có thể giả sử u0 = 0 và chỉ xét trường hợp u + .
Từ giả thiết suy ra Φ là nửa liên tục dưới yếu theo dãy.

(

Suy ra tồn tại u + ∈ Bε ∩ P thỏa Φ ( u + ) =inf Φ Bε ∩ P

)

(1.1.1)

Nếu u + = 0 ta có đpcm.
Do đó ta có thể giả sử u + > 0 và đặt=

ρ:

(

(

)

Đặt w :=− Φ ' ( u + ) − Φ ' ( u + ) , u + ρ −2 u +

u + > 0 (vì u + ≠ 0 ).

)

( ⇒ ( w, u + ) =
0)

Tồn tại ρˆ > 0 thỏa u + + tw ≠ 0 và

((

)

)

t Φ ' ( u + ) , u + ρ −2 − 1 + 1 ≥ 0 ∀t ∈ [0; ρˆ ]

(chọn ρˆ <

u+

w

và ρˆ > 0 đủ nhỏ).

Vì Φ ' = I − K nên u + + tw =

(1 − t (1 − (Φ ' (u ) , u ) ρ )) u
+

−2

+

+ tKu + > 0

∀t ∈ [0; ρˆ ] .

Đặt
a (t ) =
u + + tw

−1

ρ ( u + + tw )

⇒ a ∈ C 1 ([0; ρˆ ] , H ) và a ( t ) ∈ P ∩ B ε .

Ta dễ dàng tính được rằng

d

2
Φ (a (t )) =
− w ≤ 0 . (do ( w, u + ) = 0 )
dt
t =0


13

Mặt khác vì t → Φ ( a ( t ) ) là khả vi liên tục và do

(

Φ ( u + ) =inf Φ Bε ∩ P

)

nên
Φ ( u + ) = Φ ( a ( 0 ) ) ≤ Φ ( a ( t ) ) ∀t ∈ [0; ρˆ ]
⇒

d
Φ (a (t )) ≥ 0 .
dt
t =0

Do đó w = 0 .
Suy ra
Φ ' (u+ ) + λ +u+ =
0 (với λ + = − ( Φ ' ( u ) , u + ) ρ −2 )

(

(1.1.2)

)

Do u + thỏa Φ ( u + ) =inf Φ Bε ∩ P và Bε ∩ P lồi, suy ra

( Φ ' ( u ) , u − u ) ≥ 0 , ∀u ∈ B
+

+

ε

∩P

(1.1.3)

Cho u = 0 và do (1.1.2), (1.1.3) ta đạt được

(

)

0=
Φ ' (u+ ) + λ +u+ , u+ ≤ λ + ρ 2 ( u+

2

= ( u + , u + ) ).

Vì ρ > 0 ta suy ra λ + ≥ 0 . 

(

)

(hoặc cho u = 0 ⇒ Φ ' ( u + ) , −u + ≥ 0 ⇒ λ + ≥ 0 do ρ > 0 )
Trước khi ta đưa ra một sự phân loại các điểm tới hạn, ta giới thiệu khái
niệm E-chính quy cho một toán tử T : H ⊃ U → H .
Cho E, F là các không gian Banach thực. Nếu E ⊂ F và ánh xạ
E → F : u → u là liên tục thì ta viết E

F.


14

Định nghĩa 1.1.1
Ta gọi một toán tử T : H ⊃ U → H là E-chính quy nếu tồn tại một
dãy hữu hạn ( Ei=
)i

0... n +1

(i) E = E0

E1

các không gian Banach thực thỏa mãn
…

En

En +1 = H .

(ii) Toán tử T cảm sinh những toán tử liên tục Ti ∈ C (U i , Ei −1 ) , với
=
i 1...n + 1 , trong đó U=
i : Ei ∩ U được trang bị Ei − tôpô.

Ta có bổ đề sau
Bổ đề 1.1.2
Cho T : H ⊃ U → H là E-chính quy. Giả sử

( wk ) ⊂ E

( uk ) ⊂ U , ( vk ) ⊂ E ,

và ( λk ) ⊂ [1; +∞ ) là các dãy, và w0 ∈ E , v0 ∈ E , u0 ∈U ∩ E sao

cho
Tuk + w=
λk ( uk − vk ) ,
k

và uk → u0 trong H, vk → v0 trong E, wk → w0 trong E.
Khi đó ( uk ) ⊂ E ∩ U và uk → u0 trong E.

Chứng minh
Ta chỉ cần chứng minh ( uk ) ⊂ E ∩ U .
Vì Tuk + w=
λk ( uk − vk ) nên uk =
vk +
k

1

λk

(Tuk + wk ) .

Vì vk → v0 trong E, wk → w0 trong E nên vk → v0 trong Ei , wk → w0
trong Ei , với mọi
=
i 0... n + 1 .
Vì uk → u0 trong H = En +1 , và Ti ∈ C (U i , Ei −1 ) nên ta có
=
T ( uk ) Tn +1 ( uk ) → T ( u0 ) trong En .


15

Suy ra ( uk ) ⊂ En , và do đó uk → u0 trong En .
Lập luận tương tự, vì uk → u0 trong En nên T=
( uk ) Tn ( uk ) → T ( u0 )
trong En−1 . Suy ra ( uk ) ⊂ En−1 , và do đó uk → u0 trong En−1 .
Tiếp tục như vậy, ta có ( uk ) ⊂ E0 =
E và uk → u0 trong E . 

Kết hợp mệnh đề 1.1.2 và bổ đề 1.1.2 mang lại điều có ích sau
Hệ quả 1.1.1
Cho giả thiết như trong mệnh đề 2 và giả sử thêm K là E-chính quy với
không gian Banach thực E

H . Giả sử u0 ∈ E ∩ U là điểm tới hạn của Φ

và không là cực tiểu địa phương của
Φ + :=
Φ |U + , với U + :=
{u ∈U | u ≥ u0 } . ( ={u ∈ H | u ≥ u0 } ∩ U )

Khi đó tồn tại một dãy ( un ) ⊂ U + ∩ E sao cho Φ ( un ) < Φ ( u0 ) ∀n ∈ 
và un → u0 trong E .
Kết quả tương tự đúng cho Φ − nếu u0 ko là cực tiểu địa phương của
Φ− .

Chứng minh
Do u0 ko là cực tiểu địa phương của Φ + , áp dụng mệnh đề 1.1.2 tồn tại
một dãy ( un ) ⊂ U + sao cho un − u0 ≤ n −1 ( un → u0 trong H ) và

(

)

Φ ( un=
) inf Φ ∂B un ( u0 ) ∩ U + < Φ ( u0 )
Φ ' ( un ) + λn ( un − u0=
) 0, λn ≥ 0 .

Đặt µn := 1 + λn ( ≥ 1) , suy ra Kun − u=
0 ).
µn ( un − u0 ) ( Φ ' ( u0 ) =
0


16

Do điều kiện K là E-chính quy, theo bổ đề 1.1.2 ta được un → u0 trong
E. 
Ta xét điều kiện ( Φ ) như sau:

(Φ ) ( H , P )

là không gian Hilbert thực có thứ tự, ∅ ≠ U ⊂ H , U mở, và

Φ ∈ C 1 (U ,  ) và gradient ∇Φ có thể được phân tích ∇Φ= I − K , trong đó
K compact, bảo toàn thứ tự và E -chính quy với không gian Banach thực
E

H thỏa int E ( P ∩ E ) ≠ ∅ . Thế năng b của K là ánh xạ biến mỗi khoảng

thứ tự [u, v ] ⊂ U thành tập bị chặn và toán tử K 0 : U ∩ E → E cảm sinh bởi
K là bảo toàn thứ tự mạnh.

Chú ý rằng điều kiện ( Φ ) suy ra điều kiện ( PS )[u ,v ] đúng với mọi khoảng
thứ tự trong U.
Lưu ý 1.1.2
Cho Φ ∈ C 1 (U ,  ) thỏa điều kiện ( Φ ) và giả sử
=

C:

[u0 , u ] ⊂ U

là

khoảng thứ tự sao cho KC ⊂ C và u > u0 , Φ ' ( u0 ) =
0 , u ∈ E . Khi đó, nếu u0
là cực tiểu địa phương của Φ | C thì nó là cực tiểu địa phương của Φ |U + .
Chứng minh
Ta có thể giả sử u0 = 0 .
Dùng phản chứng, giả sử 0 không là cực tiểu địa phương của Φ |U + .
Do hệ quả 1.1.1, tồn tại một dãy ( un ) ⊂ U + ∩ E sao cho
Φ ( un ) < Φ ( 0 ) ∀n ∈  và un → 0 trong E

(với U + :=
{u ∈U | u ≥ 0}).


17

( )

Do u > 0 nên tồn tại unk sao cho unk ∈ C :=
[0, u ] và Φ un k < Φ ( 0 ) ,
mâu thuẫn 0 là cực tiểu địa phương của Φ | C . 
Trong phần sau, ta gọi một tập W ⊂ H là một E-lân cận của u0 ∈ E nếu
u0 ∈ int E ( E ∩ W ) .

Bây giờ ta đưa ra một sự phân loại các điểm tới hạn của những hàm thỏa

điều kiện ( Φ ) .
1.2. Sự tồn tại nghiệm và nhiều nghiệm cho ánh xạ lớp C 1
Định nghĩa 1.2.1
Cho Φ ∈ C 1 (U ,  ) thỏa ( Φ ) . Giả sử u0 là điểm tới hạn của ( Φ ) trong
U. Đặt U + :=
{u ∈U | u ≥ u0 } và U − :=
{u ∈U | u ≤ u0 } và Φ ± :=Φ |U ± .
Ta nói rằng u0 thuộc kiểu
• I:

⇔ u0 là cực tiểu địa phương của Φ + và Φ − .

• 0+ : ⇔ u0 là cực tiểu địa phương của Φ + nhưng không của Φ − .
• 0− : ⇔ u0 là cực tiểu địa phương của Φ − nhưng không của Φ + .
• X:

⇔ u0 là không là cực tiểu địa phương của Φ + và Φ − và với mọi E-

lân cận W của u0 tồn tại một ánh xạ liên tục γ : [0,1] → H , γ ⊂ W ∩ U , với

γ ( 0 ) < u0 < γ (1) và sup Φ ( γ ) < Φ ( u0 ) , trong đó γ := γ ([0,1]) .
• − I : ⇔ u0 không thuộc các kiểu trên.
Ta kí hiệu t ( u0 ) ∈Ξ 0 :=

{− I ,0− ,0+ , X , I } là kiểu của điểm tới hạn

Với một tập con Ξ ⊂ Ξ 0 , ta đặt
Cr ( Φ, C , d )Ξ=:

Cr ( Φ, C )Ξ=:

{u ∈ Cr ( Φ, C , d ) | t ( u ) ∈Ξ}

{u ∈ Cr ( Φ, C ) | t ( u ) ∈Ξ}.

Nếu Ξ ={a} với một a ∈Ξ 0 , ta đặt

u0 .


18

Cr ( Φ, C )a :=Cr ( Φ, C )Ξ và
Cr ( Φ, C , d )a :=Φ
Cr ( , C , d )Ξ .

Kết quả chính của ta trong phần này là định lý sau
Định lý 1.2.1
Cho Φ ∈ C 1 (U ,  ) thỏa ( Φ ) .

(Φ )

(A) Giả sử u < u là các điểm tới hạn của
=
C:

[ u, u ] ⊂ U

trong U thỏa

và Cr ( Φ, C ) là hữu hạn. Khi đó

(i) Nếu ( t ( u ) , t ( u ) ) ∈ {− I , X ,0− } × {− I , X ,0+ } thì tồn tại w ∈ Cr ( Φ, C ) I .
(ii) Nếu ( t ( u ) , t ( u ) ) ∈ {I ,0+ } × {I ,0− } thì tồn tại w ∈ Cr ( Φ, C )− I .
(B) Giả sử u < ui , i =
1, 2 là những điểm tới hạn của Φ trong U và u1 , u2
không so sánh được. Hơn nữa, giả sử C := [u, u1 ] ∩ [u, u2 ] ⊂ U , Cr ( Φ, C ) là
hữu hạn và t ( u ) ∈{− I , 0− , X }.
Khi đó, tồn tại w ∈ Cr ( Φ, C ) I .
Nếu u > u i , i =
1, 2 và t ( u ) ∈{− I , 0+ , X } thì ta cũng có kết quả tương
tự.
(C) Giả sử
C=:

u ∈U là điểm tới hạn của

[u, + ∞]=: {u ∈ H | u ≥ u} ⊂ U ,

và

với

Φ

t ( u ) ∈ {0+ , I } ,

Cr ( Φ, C ){I , 0 } =
{u} . Hơn
+

nữa

Cr ( Φ, C ) là hữu hạn, điều kiện ( PS )C được thỏa mãn và tồn tại e > u thỏa

Φ (e) < Φ (u ) .

Khi đó, tồn tại w ∈ Cr ( Φ, C )− I .


19

Nếu e < u và t ( u ) ∈{0− , I } thì ta cũng có kết quả tương tự.
(D) Giả sử u1 , u2 là hai điểm tới hạn không so sánh được sao cho
t ( u i ) ∈ {0+ , I } . Hơn nữa C=
i :

[ui , + ∞] ⊂ U ,

i = 1, 2 và Cr ( Φ, Ci ) là hữu

hạn, điều kiện ( PS )C được thỏa mãn.
i

Khi đó, tồn tại các điểm tới hạn u3 , u4 kiểu − I sao cho u1 < u3 , u 2 < u4 ,
u1 không so sánh được với u4 và u 2 không so sánh được với u3 .

Để chứng minh định lý 1.2.1 ta cần bổ đề sau
Bổ đề 1.2.1
Cho Φ ∈ C 1 (U ,  ) thỏa ( Φ ) .

(i) Giả sử u < w < u là ba điểm tới hạn trong U sao cho=
C:
thêm

nữa

Cr ( Φ, C ){0

+ , 0− ,

( t ( u ) , t ( u ) ) ∈{0 , I } × {0 , I } ,
+

I}

−

Cr ( Φ, C )

là

[ u, u ] ⊂ U ,
hữu

hạn,

⊂ {u, u } và t ( w ) = X .

Khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục γ : [0, 1] → Φ Φ( w) ∩ C với γ ( 0 ) = u ,
•

γ (1) = u .
(ii) Giả sử u là điểm tới hạn của Φ với t ( u ) ∈{0+ , I } . Hơn nữa giả sử
C=:

[ u, + ∞ ] ⊂ U , Φ

thỏa mãn điều kiện ( PS )C và w > u là điểm tới hạn kiểu

X, Cr ( Φ, [ w, + ∞ ]) ={w} và Cr ( Φ, [u, w]) =
{u, w} .
Khi đó với mọi số thực a < Φ ( w ) , tồn tại một ánh xạ liên tục

γ : [0, 1] → Φ Φ( w) ∩ C với γ ( 0 ) = u , γ (1) ∈Φ a .
•

Chứng minh định lý 1.2.1


20

Chứng minh (A) (i)
Theo hệ quả 1.1.1 (lưu ý 1.1.2) ta có inf Φ ( C ) < min {Φ ( u ) , Φ ( u )} .
Áp dụng mệnh đề 1.1.1, tồn tại w ∈ Cr ( Φ, C ) sao cho
inf Φ ( C ) =
Φ ( w) .

Do đó u < w < u .
Do ( Φ ) nên u, w, u ∈ E và u 
w u.

E

E

Theo hệ quả 1.1.1, ta suy ra t ( w ) = I .
Chứng minh (A) (ii)
Do Cr ( Φ, C ) là hữu hạn, cho u0 = u < u1 < u2 < ... < uk = u là một dãy
các điểm tới hạn trong C thỏa t ( ui ) ∈ {0+ , 0− , I } và Ci := [ui , ui +1 ] ,
=
i 0...k − 1 , không chứa điểm tới hạn u mà t ( u ) ∈ {0+ , 0− , I } và ui < u < ui +1 .

(Một dãy như thế có thể được xây dựng một cách quy nạp vì Cr ( Φ, C ) là
hữu hạn)
Ta sẽ chứng minh

( t (u ) , t ( u )) ∈{0 , I }× {0 , I } ,
i0

i0 +1

+

−

với một

i0 ∈{0, 1, ..., k − 1}.

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp đối với k.
+ với k = 1 đúng do giả thiết trên u, u .

+ giả sử đúng với n = k .
+ ta chứng minh đúng với n= k + 1 .

•

nếu

t ( uk ) ∈ {0− , I } ta áp dụng giả thiết quy nạp cho

u0 = u < u1 < u2 < ... < uk và có đpcm.


21

• nếu t ( uk ) = 0+ , chọn i0 = k .

Để đơn giản kí hiệu ta giả sử C = Ci0 và u = ui0 , u = ui0 +1 .
Vì u, u là cực tiểu địa phương ngặt của Φ | C nên ta chọn được các quả
cầu đóng Bε ( u ) và Bε ( u ) sao cho
∅,
Bε ( u ) ∩ Bε ( u ) =
Φ ( u ) < Φ ( u ) , ∀u ∈ ( C ∩ Bε ( u ) ) \ {u} ,
Φ ( u ) < Φ ( u ) , ∀u ∈ ( C ∩ Bε ( u ) ) \ {u },
a=: inf Φ ( ∂Bε ( u ) ∩ C ) > Φ ( u ) ,
a=: inf Φ ( ∂Bε ( u ) ∩ C ) > Φ ( u ) .

( a > Φ ( u ) , a > Φ ( u ) xem [4])
Đặt
=
∑:

γ (0)
{γ : [0, 1] → C lieân tuïc | =
d : infγ ∈∑ sup Φ ( γ
=

u,=
γ (1) u } và số thực

),

d > max {a , a } .

Chú ý rằng với mọi σ ∈ D := D ( Φ, C ) và mọi γ ∈ ∑ ta có

σ (1, . )  γ ∈ ∑ (do lý luận ở trên).
▫ Nếu Cr ( Φ, C , d ) =
∅ ta tìm được σ ∈ D và ε > 0 sao cho

(

)

σ {1} × ( Φ d +ε ∩ C ) ⊂ Φ d −ε ∩ C .
Tồn tại γ ∈ ∑ sao cho γ ⊂ Φ d +ε ∩ C .
Do đó γˆ := σ (1, . )  γ thỏa mãn γˆ ⊂ Φ d −ε ∩ C , mâu thuẫn vì
d − ε ≥ sup Φ ( γˆ ) ≥ d .

▫ Do đó Cr ( Φ, C , d ) ≠ ∅ .

22

Vì Cr ( Φ, C , d ){0

+ , 0− ,

I}

=
∅ ta có Cr ( Φ, C , d=
) Cr ( Φ, C , d ){− I , X } ≠ ∅ .

Lấy w ∈ Cr ( Φ, C , d ){− I , X } và giả sử t ( w ) = X .
Do bổ đề 1.2.1, tồn tại γ ∈ ∑ mà sup Φ ( γ ) < Φ ( w ) (mâu thuẫn).
Do đó Cr ( Φ, C , d )=
Cr ( Φ, C , d ) ≠ ∅ .
−I
Chứng minh (B)
Do ( Φ ) , sử dụng hệ quả 1.1.1 ta suy ra inf Φ ( C ) < Φ ( u ) .
Do mệnh đề 1.1.1 tồn tại w ∈ Cr ( Φ, C ) mà inf Φ ( C ) =
Φ ( w) .
Ta suy ra u 
w ui , i = 1, 2 .
E

E

Áp dụng hệ quả 1.1.1 ta suy ra t ( w ) = I .
Chứng minh (C)

Ta có thể giả sử rằng không tồn tại điểm tới hạn u > u mà t ( u ) = 0− vì
trong trường hợp này ta có thể áp dụng (A) (ii).
Do đó theo giả thiết ta có Cr ( Φ, C ) \ {u} =Φ
Cr ( , C ){− I , X } .
Đặt ∑=:

{γ : [0, 1] → C lieân tuïc | γ ( 0)=

}

u, Φ (γ (1) ) < Φ ( u ) .

Do giả thiết suy ra ∑ ≠ ∅ .
Đặt d : infγ ∈∑ sup Φ ( γ ) , ta có d > Φ ( u ) vì u là cực tiểu cô lập của
=
Φ | C , xem [4]).

Như trong (A) (ii) ta có Cr ( Φ, C , d ) ≠ ∅ .
Vì u ∉ Cr ( Φ, C , d ) ta suy ra
Cr ( Φ, C , d ){− I , =
Cr ( Φ, C , d ) ≠ ∅ .
X}


23

Ta sẽ chứng tỏ Cr ( Φ, C , d )− I =Φ
Cr ( , C , d ){− I , X } .
Dùng phản chứng, giả sử tồn tại w ∈ Cr ( Φ, C , d ) mà t ( w ) = X .
Xét A

=
=
2 : Cr ( Φ , [ w, + ∞ ]) .
1 : Cr ( Φ , [ u, w ]) và A
Nếu A1 ≠ {u, w} ta tìm một điểm tới hạn v, u < v < w .
Do giả thiết ta có t ( v ) ∈{0− , X , − I } .
Vì t ( w ) = X , áp dụng (A) (i) ta tìm một điểm tới hạn u kiểu I với
v < u < w , mâu thuẫn vì Cr ( Φ, C ){I , 0 } =
{u} .
+

Do đó A1 = {u, w} .
Tương tự ta có thể chứng tỏ A2 = {w}.
Áp dụng bổ đề 1.2.1 (ii) ta tìm được γ ∈ ∑ sao cho
sup Φ ( γ ) < Φ ( w ) =d (mâu thuẫn).

Chứng minh (D)
Đặt C= C1 ∩ C2 . Xét hai trường hợp
 Trường hợp 1: Cr ( Φ, C ) ≠ ∅ .

Suy ra tồn tại một điểm tới hạn u ∈ Cr ( Φ, C ) .
Vì Cr ( Φ, C ) là hữu hạn ta tìm được một điểm tới hạn u* ∈ C , u* ≤ u
sao cho với mọi u ∈ Cr ( Φ, C ) mà u ≤ u* ⇒ u =
u* .
Đặt
=
C * u1 , u*  ∩ u 2 , u*  , C * ≠ ∅ , theo mệnh đề 1.1.1 ta tìm được
u ∈ Cr ( Φ, C * ) sao cho Φ ( u ) =infΦ ( C * ) .

Do đó u = u* (do cách xác định của u* ở trên).

Áp dụng hệ quả 1.1.1, ta suy ra t ( u* ) ∈ {0− , I } .
Do (A) (ii) ta tìm được trong u1 , u*  và u 2 , u*  các điểm tới hạn