phương pháp lặp cho những điểm bất động của ánh xạ không giãn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Võ Thanh Thảo

PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO NHỮNG ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Võ Thanh Thảo

PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO NHỮNG ĐIỂM BẤT
ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

MỤC LỤC
LỜI CÁM ƠN ....................................................................................................................... 4
LỜI MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 5
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................................ 7
1.1 Không gian lồi đều ..................................................................................................... 7
1.2 Không gian lồi chặt .................................................................................................... 8
1.3 Môđun lồi của không gian Banach ........................................................................... 8
1.4 Không gian trơn ....................................................................................................... 10
1.5 Ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach ........................................................... 10
1.6 Các định nghĩa.......................................................................................................... 12
1.6.1 Dãy chấp nhận được ......................................................................................... 12
1.6.2 Nửa compact ...................................................................................................... 12
1.6.3 Nửa đóng ............................................................................................................ 12
1.6.4 Không gian Opial .............................................................................................. 12
CHƯƠNG 2:MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 13
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG
GIÃN ................................................................................................................................... 19
3.1 Tiệm Cận Đều ........................................................................................................... 19
3.2 Các định lý điều kiện đủ để ..................................................................................... 26
3.3 Các định lý về sự hội tụ của dãy lặp về điểm bất động......................................... 32
3.4 Hai định lý hội tụ yếu............................................................................................... 37
3.5 Phương pháp lặp kiểu Halpern .............................................................................. 39
3.5.1 Giới thiệu về phương pháp lặp kiểu Halpern ........................................ …….40
3.5.2 Các định lý hội tụ theo điều kiện Halpern ...................................................... 40
3.5.2.1 Định lý của Shioji và Takahashi ............................................................... 40
3.5.2.2 Định lý của Xu ............................................................................................ 45
3.5.2.3 Định lý 3.21 ................................................................................................. 48
3.5.2.4 Định lý hội tụ trong trường hợp ánh xạ không đi vào chính tập nền ... 56
KẾT LUẬN ......................................................................................................................... 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 61


LỜI CÁM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Hoàn Hóa, người đã
nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cám ơn PGS.TS Đậu Thế Cấp, PGS.TS Nguyễn Bích Huy, TS
Trần Huyên, PGS.TS Đặng Đức Trọng, PGS.TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Nguyễn Anh
Tuấn, TS Trịnh Công Diệu đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho tôi những kiến thức quý
báu làm công cụ để thực hiện việc nghiên cứu.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn:
-

Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN-SĐH trường Đại học Sư phạm TP.HCM
đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học.

-

Các thành viên trong lớp giải tích khóa 20 đã cùng tôi vượt qua những khó khăn
trong thời gian học tại trường.

-

Các bạn trong lớp Toán Tin K31(2005-2009) - Đại học Cần Thơ đã thường xuyên
hỏi thăm, động viên cho tôi.

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ, anh chị và những người thân
trong gia đình đã luôn động viên, nâng đỡ cho tôi về mọi mặt.

Võ Thanh Thảo


LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động đã ra đời từ những năm đầu tiên của thế kỷ XX. Từ khi ra
đời đến nay nó có nhiều ứng dụng trong toán học nói riêng và trong khoa học kỹ thuật nói
chung. Trong rất nhiều trường hợp, việc giải một phương trình được quy về việc tìm điểm
bất động của một ánh xạ thích hợp. Chẳng hạn, nếu X là một không gian tuyến tính, f là một
ánh xạ trong X , y là một phần tử cố định của X thì nghiệm của phương trình f (x ) = y chính
là điểm bất động của ánh xạ T xác định bởi: Tx = f (x ) + x − y với mọi x ∈ X .
Cho (M , d ) là không gian mêtric. Ánh xạ T : M → M được gọi là ánh xạ không giãn
nếu với mọi x, y ∈ X ta có d (Tx, Ty ) ≤ d (x, y ) . Các kết quả cơ bản về điểm bất động của ánh
xạ không giãn chỉ xuất hiện cách đây vài chục năm, và kể từ đó đến nay lĩnh vực này là một
mảnh đất màu mỡ thu hút rất nhiều nhà toán học lao vào nghiên cứu. Chính vì sự mới mẽ
của vấn đề này nên việc nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ không giãn chắc chắn sẽ
hứa hẹn nhiều điều thú vị.
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu về phương pháp lặp cho điểm bất động của
ánh xạ không giãn, các định lý hội tụ của dãy về điểm bất động, đồng thời cũng nghiên cứu
về phương pháp lặp kiểu Hapern, một phương pháp mà dãy lặp

{x }

∞

n

n =0

⊂ K được định

nghĩa như sau:

 x0 ∈ K

 xn +1 = α nu + (1 − α n ) Txn , n ≥ 0
với K là tập con lồi, đóng của không gian Banach E, dãy {α n } ⊂ [ 0,1] và u tùy ý thuộc K .
Luận văn gồm có 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trình bày một số kiến thức chuẩn bị giúp cho việc
nghiên cứu luận văn được rõ ràng, dễ hiểu.
Chương 2: Một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ không giãn. Trong chương
này chúng tôi trình bày một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ không giãn và được
chứng minh rõ ràng, chi tiết.
Chương 3: Phương pháp lặp cho điểm bất động của ánh xạ không giãn. Trong
chương này chúng tôi trình bày về tiệm cận đều, sự hội tụ của dãy lặp về điểm bất động, các


định lý hội tụ mạnh về điểm bất động, hai định lý hội tụ yếu về điểm bất động, phương pháp
lặp kiểu Halpern và các định lý hội tụ theo điều kiện của Halpern.


CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này tôi trình bày về cấu trúc hình học của không gian Banach như:
không gian lồi điều, không gian lồi chặt, môđun lồi của không gian Banach, không gian
trơn… Tài liệu tham khảo chương này, xem [6].
1.1 Không gian lồi đều
Định nghĩa 1.1
Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại δ ( ε ) > 0
sao cho với mọi x, y ∈ X mà x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε ta luôn có

x+ y
2

≤ 1 − δ (ε ).

Mọi không gian Hilbert là không gian lồi đều
Thật vậy, đặt ε > 0 .
Lấy x, y ∈ H sao cho

x ≤ 1; y ≤ 1
x− y ≥ε

1
4−ε2
2

Đặt δ = δ ( ε ) =
1−

Khi đó δ > 0 và theo đẳng thức hình bình hành ta có:

x+ y = x+ y + x− y − x− y
2

2

2

= 2 x +2 y − x− y
2

2

≤ 4 − ε 2 = 4 (1 − δ )
Từ đây ta suy ra:

2

2

2

x+ y
≤1−δ .
2

Định lý 1.2
Cho X là không gian lồi đều.
Khi đó, với bất kỳ d > 0, ε > 0 và x, y là các véctơ tùy ý thuộc X thỏa

x ≤ d , y ≤ d , x − y ≥ ε sẽ tồn tại δ > 0 sao cho

x+ y 
 ε 
≤ 1 − δ    d .
2
 d 


Chứng minh
Lấy tùy ý x, y ∈ X .
Đặt
z1
=

x
y
.
=
, z2
d
d

Đặt ε 1 =

ε
d

. Khi đó ε 1 > 0 .

Hơn nữa, z1 ≤ 1, z2 ≤ 1, z1 − z2 =

1
ε
x − y ≥ = ε1 .
d
d

z1 + z2

ε 
≤ 1 − δ (ε1 )
 > 0 thỏa
2
d 

Do X là lồi đều nên tồn tại δ = δ 
Nghĩa là
Vậy

x+ y
ε 
≤1−δ  
2d
d 

x+ y 
 ε 
≤ 1 − δ    d
2
 d 


Định lý đã được chứng minh.
Mệnh đề 1.3
Cho X là một không gian lồi đều, lấy α ∈ ( 0,1) và ε > 0 . Khi đó với bất kỳ d > 0 , nếu

ε 
tại δ δ   > 0 sao cho
x, y ∈ X mà x ≤ d , y ≤ d , x − y ≥ ε , khi đó tồn =

d 



ε 
α x + (1 − α ) y ≤ 1 − 2δ   min {α ,1 − α } d
d


 



1.2 Không gian lồi chặt
Định nghĩa 1.4
Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu với mọi x ≠ y mà x ≤ 1, y ≤ 1 ta có

x+ y
< 1.
2
Điều kiện này tương đương với: nếu x + y = x + y và y ≠ 0 thì x = λ y với một

λ > 0 nào đó.
Định lý 1.5
Mọi không gian Banach lồi đều thì lồi chặt.
1.3 Môđun lồi của không gian Banach


Định nghĩa 1.6
Môđun lồi của không gian Banach X là hàm số δ X : [ 0,2] → [ 0,1] được xác định bởi

công thức:

 x+y

δ X ( ε ) inf 1: x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε 
=
2


Đặc trưng lồi của không gian Banach X được xác định bởi:

ε0 ( X ) =
sup {ε ∈ [ 0,2] : δ X ( ε ) =
0}
Hai đại lượng δ X và ε 0 ( X ) cho ta nhiều thông tin về tính chất của không gian X.
Chẳng hạn, X lồi đều khi và chỉ khi ε 0 ( X ) = 0 ; X lồi chặt khi và chỉ khi δ X ( ε ) = 2 ; nếu

ε 0 ( X ) < 2 thì X là không gian phản xạ.
Mệnh đề 1.7
Với mỗi không gian định chuẩn X, hàm số δ X ( ε ) ε là hàm không giảm trên ( 0,2] .
Định lý 1.8
Không gian Banach X lồi đều khi và chỉ khi δ X ( ε ) > 0 , với mọi ε ∈ ( 0,2] .
Chứng minh

(⇒)

X là không gian lồi đều, với ε > 0 , tồn tại δ > 0 sao cho với x, y ∈ X mà

x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε thì δ ≤ 1 −

x+ y
.
2

Vì vậy δ X ( ε ) > 0 .

( ⇐ ) giả sử δ (ε ) > 0 , với mọi ε ∈ ( 0,2] .
X

Cố định ε ∈ ( 0,2] và lấy x, y ∈ X sao cho x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε . Khi đó

0 < δ X (ε ) ≤ 1 −
Do đó

x+ y
2

x+ y
≤ 1 − δ , với δ = δ X ( ε ) không phụ thuộc vào x hoặc y .
2

Vậy X là không gian lồi đều.
Định lý 1.9
Nếu X là không gian Banach lồi đều, khi đó X phản xạ.
Chứng minh


Giả sử X là không gian Banach lồi đều nhưng X không phản xạ.
Khi đó với ε > 0 , tồn tại x** ∈ X ** , x** = 1 thỏa mãn x** − x =
2ε , với x ∈ B ( X ) là

hình cầu đóng đơn vị của X.
Chọn δ sao cho nếu x, y ∈ X mà x ≤ 1, y ≤ 1, 2 − δ ≤ x + y . Khi đó x − y ≤ ε .
Lấy x* ∈ X * , x* = 1 sao cho x** , x* = 1
Xét lân cận trù mật V của x** có dạng:

δ

V= u ** ∈ X ** : x* , u ** − 1 < 
2

Nếu x, y ∈ B ( X ) ⊂ V

khi đó

x* , x + y > 2 − δ , do đó 2 − δ ≤ x + y . Vì vậy

x− y ≤ε .
Cố định x ta được V ∩ B ( X ) ⊂ x + ε B ( X ** ) .
Theo định lý Goldstine, ta có V ∩ B ( X ) trù mật trong V ∩ B ( X ** ) .
Vì x + ε B ( X ** ) đóng trù mật nên x** ∈ x + ε B ( X ** ) .
Điều này chứng tỏ x** − x ≤ ε . Mâu thuẩn với cách chọn x** .
Định lý đã được chứng minh.
1.4 Không gian trơn
Định nghĩa 1.10
Không gian Banach X được gọi là trơn nếu với mỗi x ∈ X , x =
1 , tồn tại duy nhất

x* ∈ X * sao cho x* = 1 và x, x* = x .
Định nghĩa 1.11
Không gian Banach X được gọi là trơn đều nếu với ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với

mọi x, y ∈ X mà=
x 1, y ≤ δ khi đó x + y + x − y < 2 + ε y .
1.5 Ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach
Định nghĩa 1.12
Một hàm số liên tục và tăng chặt φ : R + → R + thỏa mãn φ ( 0 ) = 0 và lim φ ( t ) = ∞
t →∞

được gọi là hàm đo được.
Định nghĩa 1.13


Cho không gian Banach X, ánh xạ J φ : X → 2 X định nghĩa bởi:
*

{

}

Jφ x =
u * ∈ X * : x, u * =
x u* ; u* =
φ( x ) , x∈ X *
được gọi là ánh xạ đối ngẫu với hàm đo được φ : R + → R + .
Nếu φ ( t ) = t , ánh xạ đối ngẫu J = J φ được gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.
Đặt B =
1} là hình cầu đơn vị của X.
{x ∈ X : x =
Không gian Banach X có chuẩn khả vi Gâteaux nếu giới hạn lim
t →∞

x + ty − x
tồn
t

tại với mọi x, y ∈ B .
Không gian Banach X có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ B , giới hạn

lim
t →∞

x + ty − x
tồn tại đều với x ∈ B .
t

Bổ đề 1.14
Cho X là không gian Banach thực và J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trên X. Khi đó,
với bất kỳ x, y ∈ X ta có:

x + y ≤ x + 2 y, j ( x + y ) , ∀j ( x + y ) ∈ J ( x + y ) .
2

2

Chứng minh
Từ định nghĩa của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc và bất đẳng thức tam giác ta có:

x + y = x + y, j ( x + y )
2

≤ x . x + y + y, j ( x + y )

≤

(

1
2
x +( x+ y
2

) )+
2

y, j ( x + y )

Vì thế x + y ≤ x + 2 y, j ( x + y ) , ∀j ( x + y ) ∈ J ( x + y ) .
2

2

Định lý 1.15
Cho X là không gian Banach thực trơn đều. Khi đó ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

J : X → X * là liên tục đều theo chuẩn trên các tập con bị chặn của X trong tôpô mạnh.
Định lý 1.16
Cho X là một không gian Banach thực với chuẩn khả vi Gâteaux đều. Khi đó ánh xạ
đối ngẫu J : X → 2 X là liên tục đều theo chuẩn trên các tập con bị chặn của X trong tôpô
*

yếu.

1.6 Các định nghĩa
1.6.1 Dãy chấp nhận được
Cho tập A và x0 ∈ A , dãy { xn }n =0 gọi là dãy chấp nhận được nếu có một dãy không
∞

tăng {Cn }n =0 ⊂ ( 0,1) thỏa:
∞

xn +1 =
0,1,2,...
(1 − Cn ) xn + CnTxn , n =
với T là ánh xạ không giãn.
1.6.2 Nửa compact
Cho C là một tập con của không gian tuyến tính định chuẩn X. Ánh xạ f : C → X
được gọi là nửa compact tại h ∈ X nếu với bất kỳ dãy bị chặn

{ }

xn − f ( xn ) → h khi n → ∞ sẽ tồn tại một dãy con xn j

∞
j =0

{x }

∞

n

n =0

trong C thỏa

và x ∈ C sao cho xn j → x

khi j → ∞ và x − f ( x ) = h .
1.6.3 Nửa đóng
Ánh xạ T : K → X được gọi là nửa đóng tại y nếu với bất kỳ dãy { xn }n =0 ⊆ K hội
∞

tụ yếu đến x ∈ K , dãy {T ( xn )}n =0 hội tụ mạnh đến y ∈ K , ta có Tx = y .
∞

1.6.4 Không gian Opial
Không gian Banach X được gọi là không gian Opial nếu với tất cả các dãy { xn }n =0
∞

trong X thỏa { xn }n =0 hội tụ yếu đến x ∈ X nào đó thì:
∞

liminf
xn − y > liminf
xn − x ,
n →∞
n →∞

∀y ≠ x .

CHƯƠNG 2:MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH
XẠ KHÔNG GIÃN
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày về một số kết quả của ánh xạ không giãn,
trong đó có hai định lý cơ bản là: định lý của Kirk và định lý của Browder – Gohde. Tài liệu
tham khảo chương này, xem [1] và [3].
Định nghĩa 2.1
Tập hợp K trong không gian định chuẩn X được gọi là có cấu trúc chuẩn tắc nếu mọi
tập hợp con, lồi, đóng, bị chặn H của nó với diamH > 0 đều chứa một điểm x ∈ H sao
cho:

sup { x − z : z ∈ H } < diamH
( ở đây diam ký hiệu là đường kính của tập hợp ).
Nhận xét:
+ Mọi tập hợp compact trong không gian Banach đều có cấu trúc chuẩn tắc.
Thật vậy, ta sẽ chứng minh điều này bằng phản chứng.
Giả sử tồn tại một tập hợp lồi, đóng, bị chặn H ⊂ K với diamH > 0 mà không có tính
chất trên.
Lấy x1 tùy ý trong H và chọn x2 ∈ H sao cho x1 − x2 =r =diamH ( ở đây ta sử dụng tính
compact của H suy ra từ tính compact của K ).
Vì

x1 + x2
x +x
r.
∈ H nên tồn tại x3 ∈ H sao cho 1 2 − x3 =
2
2

Giả sử đã có x1 , x2 ,..., xn ∈ H với xi − x j = r , i ≠ j ,1 ≤ i, j ≤ n . Khi đó tồn tại xn +1 ∈ K
sao cho:

x1 + x2 + ... + xn
− xn +1 =
r.
n
Từ đây ta được

=
r

x1 − xn +1
x − xn +1 1 n
+ ... + n
≤ ∑ xi − xn +1 ≤ r
n
n
n i =1

Vậy xi − xn +1 =
r , với mọi i = 1,2,..., n .


Tiếp tục quá trình này ta được một dãy trong H mà không chứa dãy con hội tụ, điều này
mâu thuẩn với tính compact của H.
+ Một tập hợp bất kỳ trong không gian Banach X với ε 0 ( X ) < 1 có cấu trúc chuẩn tắc.
Thật vậy, cho K là một tập bất kỳ trong X và H là một tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong K với

=
d diamH > 0 .
Chọn ε > 0 sao cho r= δ X (1 − ε ) > 0 .

Khi đó tồn tại u , v ∈ H sao cho u − v ≥ d (1 − ε ) .
Lấy x ∈ H bất kỳ, ta có x − u ≤ d , x − v ≤ d .
Đặt z
=

u +v , x−u , x−v
thì ta có:
=
,x
=
,y
2
d
d
,
x , ≤ 1; y , ≤ 1; x , − y=

x−u x−v 1
−
=
u − v ≥1− ε .
d
d
d

x, + y ,
x, + y ,
Vì r= δ X (1 − ε ) > 0 nên ta có 1 −
≥ r , tức là
≤1− r .

2
2

x, + y ,
z−x
, nên z − x ≤ d (1 − r ) < d , ∀x ∈ H .
Mặt khác ta có
=
2
d
Do đó sup { x − z : z ∈ H } < diamH , ∀x ∈ H .
Vậy K có cấu trúc chuẩn tắc.
Từ đây ta suy ra một kết luận quan trọng sẽ dùng cho phần chứng minh ở phần sau
là: Không gian lồi đều có cấu trúc chuẩn tắc.
Định lý 2.2 ( Kirk, 1965)
Cho X là không gian Banach phản xạ và giả sử K là tập lồi, đóng, bị chặn trong X và
có cấu trúc chuẩn tắc. Khi đó với bất kỳ ánh xạ không giãn T : K → K đều có điểm bất
động.
Chứng minh
Đặt F = { D ⊂ K : D lồi, đóng; D ≠ φ ; T ( D ) ⊂ D }
Khi đó F ≠ φ vì K ∈ F . Với quan hệ thứ tự là bao hàm thức, (F, ⊂ ) trở thành tập hợp hợp
được sắp thứ tự bộ phận.


Đặt ℵ ={ Dα } với các Dα ∈ F và lồng nhau. Khi đó  Dα ≠ φ vì K compact yếu và
α

( )

T  Dα ⊂  Dα . Vậy  Dα là cận dưới của ℵ . Theo bổ đề Zorn, F chứa một phần tử cực

α

α

α

tiểu, gọi là H.
Ta sẽ chứng minh H chỉ gồm một điểm bằng phản chứng.
Giả=
sử d diamH > 0 .
Do K có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn tại z ∈ H sao cho:

=
r sup { z − x : x ∈ H } < d
Vậy tập hợp C =
{ z ∈ H : H ⊂ B ( z, r )} ≠ φ , trong đó B ( z, r ) là hình cầu đóng tâm z bán
kính r .
Lấy z bất kỳ trong C, do T là ánh xạ không giãn nên T ( H ) ⊂ B (Tz , r ) . Vì vậy,

coT ( H ) ⊂ B (Tz , r ) , trong đó co ký hiệu bao lồi, đóng của một tập hợp.
Vì coT ( H ) là một tập lồi, đóng trong K nên là tập compact yếu và vì

(

)

coT ( H ) ⊂ coH =
H nên T coT ( H ) ⊂ T ( H ) ⊂ coT ( H ) .
Vậy coT ( H ) ∈F .
Vì coT ( H ) ⊂ H và H là cực tiểu nên coT ( H ) = H . Do đó, H ⊂ B (Tz , r ) , nghĩa là

Tz ∈ C . Vậy T ( C ) ⊂ C , do z bất kỳ thuộc C.
Ta sẽ kiểm tra C lồi và đóng.
+ Kiểm tra C lồi:
Cho z1 , z2 ∈ C và z = α z1 + (1 − α ) z2 , với α ∈ [ 0,1] .
Khi đó x − zi ≤ r , i =
1,2 , với mọi x ∈ H .
Từ đó x − z ≤ r , với mọi x ∈ H , do đó z ∈ C .
Vậy C lồi.
+ Kiểm tra C đóng:
Nếu zn ∈ C và zn → z . Do x − zn ≤ r , với mọi x ∈ H , suy ra x − z ≤ r với mọi

x ∈ H nên z ∈ C .
Vậy C đóng.


Tóm lại ta có C ⊂ K là tập hợp lồi, đóng và bất biến đối với T nên C ∈ F . Vì C ⊂ H và H
là cực tiểu nên C = H . Khi đó, với mọi u , v ∈ C =
H ta có

=
d diamH
= diamC ≤ r < d , ta gặp mâu thuẩn.
Vậy H chỉ gồm một điểm, tức là H = { x0 } .
Vì H bất biến đối với T nên ta có Tx0 = x0 .
Định lý đã được chứng minh.
Định lý 2.3 (Browder-Gohde, 1965)
Cho K là một tập lồi đóng, bị chặn trong không gian lồi đều X và T : K → K là ánh
xạ không giãn. Khi đó tập hợp các điểm bất động của T là lồi, đóng và không rỗng.
Chứng minh

Vì X là không gian lồi đều nên X phản xạ, do đó K compact yếu và có cấu trúc chuẩn tắc.
Do đó, theo định lý 2.2, tập hợp các điểm bất động của T không rỗng và đóng do T liên tục.
Ta chỉ còn phải chứng minh tính lồi của tập hợp này.
Cho
=
u Tu
=
, v Tv và m = λu + (1 − λ ) v , với một λ ∈ [ 0,1] nào đó.
Khi đó u − m = (1 − λ )( u − v ) và v − m= λ ( v − u ) .
Do T là ánh xạ không giãn nên ta có:

u − Tm + Tm − v ≤ u − m + m − v = u − v
Do u − v =

(2.1)

( u − Tm ) + (Tm − v ) nên
u − v ≤ u − Tm + Tm − v

(2.2)

Từ (2.1), (2.2) ta có:

u − v = u − Tm + Tm − v
Đặt x =
u − Tm, y =−
Tm v . Ta có x + y = x + y .
Vì X là không gian lồi đều nên X cũng lồi chặt nên từ đẳng thức trên chứng tỏ tồn tại α > 0
để cho u − Tm= α (Tm − v ) . Từ đây ta có:

Tm =

1
α
1
.
u+
v = β u + (1 − β ) v , với β =
1+α
1+α
1+α

Cuối cùng ta sẽ chứng minh β = λ bằng phản chứng.
+ Giả sử β > λ
Khi đó ta có


Tv − Tm = v − Tm = β u − v > λ u − v = v − m
Điều này mâu thuẫn với tính không giãn của T.
+ Giả sử β < λ
Khi đó ta có

Tu − Tm =u − Tm =u − β u − (1 − β ) v
=−
(1 β ) u − v
> (1 − α ) u − v = u − m
Ta gặp mâu thuẩn vì T là ánh xạ không giãn.
Vậy β = λ nên Tm = m .
Vì mọi điểm trên đoạn nối hai điểm bất động cũng là điểm bất động nên tập hợp các điểm
bất động là tập hợp lồi.

Định lý đã được chứng minh.
Hệ quả 2.4
Cho K là một tập lồi, đóng, bị chặn, không rỗng trong không gian Hilbert H. Khi đó
mỗi ánh xạ không giãn T : K → K có ít nhất một điểm bất động.
Chứng minh
Vì H là không gian Hilbert nên H là không gian lồi đều. Mặt khác, theo định lý 2.3
thì tập hợp các điểm bất động của ánh xạ không giãn T : K → K là lồi, đóng và không rỗng
nên ánh xạ không giãn T : K → K sẽ có ít nhất một điểm bất động.
.Định lý 2.5
Cho K là tập lồi, đóng, không rỗng của không gian định chuẩn E. T : K → K là ánh
xạ không giãn và T ( K ) là tập compact trong K. Khi đó T có điểm bất động.
Chứng minh
Lấy x0 ∈ K . Với n = 2,3... , ta định nghĩa:

1
 1
Tn =
1 −  T + x0
n
 n
Từ K là tập lồi và x0 ∈ K nên Tn : K → K và Tn là ánh xạ co.
Vì vậy theo nguyên lý ánh xạ co mỗi Tn có duy nhất điểm bất động xn ∈ K , nghĩa là

1
 1
xn =
Tn ( xn ) =
1 −  T ( xn ) + x0
n
 n

Hơn nữa, do T ( K ) là tập compact trong K nên tồn tại một dãy con S của các số nguyên và

u ∈ K sao cho T ( xn ) → u khi n → ∞ trong S.
Vì vậy

1
 1
xn =
1 −  T ( xn ) + x0 → u khi n → ∞ trong S.
n
 n
Theo tính liên tục của T ta có

T ( xn ) → T ( u ) khi n → ∞ trong S.
Vậy u = T ( u ) .
Định lý đã được chứng minh.
Nhận xét:
Định lý 2.5 là một trường hợp riêng của định lý sau ( xem [2], trang 41):
Cho K là một tập lồi, đóng trong không gian Banach E và f : K → K liên tục sao cho
f ( K ) là tập compact tương đối. Khi đó f có điểm bất động trong K.

Thật vậy, đặt K1 = co f ( K ) thì K1 lồi, compact chứa trong K.
Xét ánh xạ f : K1 → K1 thì f liên tục và compact trong K1 . Như vậy các giả thiết của định
lý 2.5 đều thõa mãn.


CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

3.1 Tiệm Cận Đều
Tài liệu tham khảo mục này, xem [6], [10].
Chúng ta bắt đầu mục này với định nghĩa sau:
Định nghĩa 3.1
Cho không gian mêtric ( M , d ) , ánh xạ f : M → M được gọi là tiệm cận đều tại

x ∈ M nếu f n +1 ( x ) − f n ( x ) → 0 khi n → ∞ .
Ánh xạ f : M → M được gọi là tiệm cận đều trên M nếu nó tiệm cận đều tại mọi

x∈M .
Khái niệm tiệm cận đều là một khái niệm quan trọng trong các định lý của ánh xạ
không giãn. Định lý sau đây là một kết quả cơ bản đầu tiên về tiệm cận đều của ánh xạ
không giãn.
Định lý 3.2
Cho X là không gian Banach lồi đều, T : X → X là ánh xạ không giãn. Đặt

Sλ = λ I + (1 − λ ) T , ∀λ ∈ ( 0,1) , với I là ánh xạ đồng nhất của X. Khi đó Sλ là tiệm cận
đều và có cùng tập điểm bất động với T.
Chứng minh
Đầu tiên ta chứng minh tập điểm bất động của Sλ và T là trùng nhau.
Thật vậy, giả sử với mọi u ∈ X là điểm bất động của Sλ . Khi đó ta có:

S=
u λ I ( u ) + (1 − λ ) Tu
λ
= λu + (1 − λ ) Tu = u
Suy ra, (1 − λ ) Tu =
(1 − λ ) u hay Tu = u, ∀u ∈ X .
Đặt u ∈ X là điểm bất động của T, với x ∈ X đặt xn = Sλn ( x ) .
Từ Sλ là không giãn và u là điểm bất động của Sλ ta có

x n +1 =
−u

Sλn +1 ( x )=
−u

Sλ ( S λn ( x ) ) − Sλ ( u )

≤ S λn ( x ) − u = x n − u , ∀n
Vì vậy, xn − u hội tụ đến giới hạn không âm d 0 . Giả sử d 0 > 0 .


(

( )

Ta có x n +1 − =
u S λ x n −=
u λ ( xn − u ) + (1 − λ ) Tx n − u
và x n − u → d 0 ,

x n +1 − u → d 0 ,

)

Tx n − u ≤ x n − u .

Do tính lồi của X, ta có:

(x

n

− u ) − (Tx n − u ) → 0

nghĩa là, x n − Tx n → 0 trong X.
Vì vậy, x n +1 − x n → 0 trong X hay S λn +1 x − S λn x → 0 trong X.
Vậy Sλ là tiệm cận đều.
Tiếp theo chúng ta đưa ra một định lý về phương pháp lặp cho ánh xạ không giãn
nhưng không có giả thiết về tính lồi của không gian Banach.
Định lý 3.3
Cho K là một tập con của không gian Banach X và T : K → X là ánh xạ không giãn.

{ }

Với x0 ∈ K , dãy x n

∞
n =1

được định nghĩa như sau:

x n +1 =−
0,1,2,...
(1 tn ) x n +t nTx n , n =

{ }

với t n

∞
n =1

⊂ ( 0,1) là dãy số thực thỏa các điều kiện sau:
∞

(1)

∑t

( 2)

0 ≤ tn ≤ b < 1 ,

n =1

n

= ∞

và xn ∈ K ,
Khi đó, nếu

{x }

∞

n

n =1

n nguyên dương

n nguyên dương.
bị chặn thì x n − Tx n → 0 khi n → ∞ .

Kết quả sau đây sẽ được dùng để chứng minh định lý trên.
Bổ đề 3.4
Cho {si }i =1 là một dãy các số thực và {ui }i =1 là một dãy số trong không gian Banach
∞

∞

X. Khi đó với bất kỳ số nguyên dương N, ta có

 N −1 s  N 1 − s u 
 ∏ i  ∑(
i) i 

 i =1   i =1
1 − N s  u − N −1  N −1 s 1 − i s  u − u s 
=
 ∏ i  N ∑  ∏ j  ∏ j  ( i +1 i i ) 
i =1  j =
i=
1
i +1
j=
1







(3.1)


Khi X là một đường thẳng thực và ui = 1 , chúng ta có trường hợp đặc biệt

 N −1 s  N 1 − s 
 ∏ i  ∑(
i )

 i =1   i =1
i
 N −1 


1 − ∏ si − ∑  ∏ s j 1 − ∏ s j  (1 − si ) 
=
i =1  j =
1
1
i=
i +1
j=




N

ở đây ta thừa nhận

N −1

n

∑ si = 0 và
i =m

n

∏s
i =m

i

(3.2)

= 1 khi n < m .
Chứng minh

Với N = 1 , kết quả trên là hiển nhiên.
Giả sử (3.1) đúng với N ≥ 1 , nghĩa là:

 N −1 s  N 1 − s u 
 ∏ i  ∑(
i) i 


 i =1   i =1
1 − N s  u − N −1  N −1 s 1 − i s  u − u s 
=
 ∏ i  N ∑  ∏ j  ∏ j  ( i +1 i i ) 
i =1  j =
1
1
i=
i +1
j=





Ta sẽ chứng minh (3.1) đúng với N + 1 . Ta có:
i
 N



s
1
−
s
u
−
u
s

(
)
 ∏ j  ∏ j  i +1
∑
i i 
i =1  j =
1
i +1
j=



N +1
N
N +1

= 1 − ∏ si  u N +1 −  ∏ si 
  ∑ (1 − si ) ui 

i 1=
=


 i 1   i =1
N +1
N −1
N

= 1 − ∏ si  u N +1 − sN  ∏ si 
  ∑ (1 − si ) ui + (1 − sN +1 ) u N +1 


i 1=
=


 i 1   i =1
N

1 − N +1 s  u − s  N −1 s   N 1 − s u  − s  N −1 s  1 − s
=
 ∏ i  N +1 N  ∏ i   ∑ (
i) i 
N  ∏ i (
N +1 ) u N +1

i =1
=


 i 1=
  i =1
i1 
Theo giả thiết quy nạp, ta được:


i
 N




s
1
−
 ∏ j  ∏ s j  ( ui +1 − ui si ) 
∑
i =1  j =
1
i +1
j=



N

1 − N +1 s  u − s  N −1 s   N 1 − s u  − s  N −1 s  1 − s
=
 ∏ i  N +1 N  ∏ i   ∑ (
i) i 
N  ∏ i (
N +1 ) u N +1

=
i 1=


 i 1   i =1 =
i1 
1 − N +1 s  u − s 1 − N s  u
=
 ∏ i  N +1 N  ∏ i  N

=
i 1=
i 1




i
N −1
N −1
 N −1 



+ sN ∑  ∏ s j 1 − ∏ s j  ( ui +1 − siui )  − sN  ∏ si  (1 − sN +1 ) u N +1
i =1  j =
j =1
i +1
1
 i=




i
N −1
 N −1 


= sN ∑  ∏ s j 1 − ∏ s j  ( ui +1 − siui ) 

i =1  j =
i +1
j=
1



N
N +1
N
N +1


− sN 1 − ∏ si  u N + u N +1 − u N +1 ∏ si − u N +1 ∏ si + u N +1 ∏ si
i 1


=
=i 1 =i 1 =i 1

i
N
N
N −1
 N −1 


= sN ∑  ∏ s j 1 − ∏ s j  ( ui +1 − siui )  − sN 1 − ∏ si  u N + 1 − ∏ si  u N +1
i =1  j =
j =1

i +1
i=
1
i=
1








{

}

N
N −1
N
N
N
sN 1 − ∏ si  u N −  ∏ si   ∑ (1 − si ) ui  − sN 1 − ∏ si  u N + 1 − ∏ si  u N +1 T
=
=
i 1=
i 1
i 1
=



 i 1   i =1

=


N
N
 N

=
−  ∏ si   ∑ (1 − si ) ui  + 1 − ∏ si  u N +1
i 1
 i 1=
  i =1

 

ừ vế phải của (3.1) ta thay N bởi N+1 ta được

1 − N +1 s  u − N  N s 1 − i s  u − u s 
 ∏ i  N +1 ∑  ∏ j  ∏ j  ( i +1 i i ) 
i =1  j =
1
1
i=
i +1
j=






 1 − s N s  u +  N s   N 1 − s u  − 1 − N s  u
=

 ∏ i  ∑(
 ∏ i  N +1
N +1 ∏ i  N +1
i) i
i =1


=
i 1
 
 i 1=
  i =1

 N  N +1

=  ∏ si   ∑ (1 − si ) ui 

 i =1   i =1

 N  N +1

Vế trái của (3.1) sẽ bằng  ∏ si   ∑ (1 − si ) ui  nếu ta thay N bởi N+1.

 i =1   i =1

Vậy (3.1) đúng với N+1.
Thay ui = 1 vào (3.1) ta sẽ được (3.2).
Bổ đề đã được chứng minh.
Chứng minh định lý 3.3
Từ T là ánh xạ không giãn, ta có


xn+1 − Txn+1 =
(1 − tn ) xn + tnTxn − Txn+1
= (1 − tn )( xn − Txn ) + Txn − Txn+1
≤ (1 − tn ) xn − Txn + xn − xn+1
=(1 − tn ) xn − Txn + xn − ( (1 − tn ) xn + tnTxn )
≤ xn − Txn .
Do đó dãy

{x

n

− Txn }n=1 là dãy không tăng và bị chặn dưới.
∞

Vì thế lim xn − Txn
n →∞

tồn tại.

Giả sử lim xn − Txn =
r > 0 , nghĩa là với bất kỳ
n →∞

ε > 0 , tồn tại một số nguyên m sao

cho:

r ≤ xm+i − Txm+i ≤ (1 + ε ) r

(3.3)

Khi đó, từ T là ánh xạ không giãn, ta có

Txm+i +1 − Txm+i
= (Txm+i +1 − xm+i +1 ) − (1 − tm+i )(Txm+i − xm+i )

= T ( (1 − tm+i ) xm+i + tm+iTxm+i )
− ( (1 − tm+i ) xm+i + tm+iTxm+i ) − (1 − tm+i )(Txm+i − xm+i )

(3.4)

=
T ( (1 − tm+i ) xm+i + tm+iTxm+i ) − Txm+i
≤ tm+i xm+i − Txm+i
≤ tm+i (1 + ε ) r
Do

{ xn }n=1 bị chặn và {tn }n=1 thỏa (1) nên tồn tại số nguyên N sao cho:
∞

∞

N −1

N

≤ δ ( M ) + 1 ≤ r∑t

r∑t

m +i
m +i
=i 1 =i 1

{

(3.5)

}

ở đây δ=
( M ) sup xi − x j ;0 < i, j < ∞ .
Đặt si =
1 − tm+i , ui =−
Txm+i xm+i với mọi i nguyên dương.
Từ ( 3.4 ) chúng ta có:

ui +1 − s=
u
Txm +i +1 − xm +i +1 − (1 − tm+i )(Txm+i − xm+i )
i i
≤ tm+i (1 + ε ) r =

(1 − si )(1 + ε ) r

(3.6)


và

∑
{((1 − tm+i ) xm+i + tm+iTxm+i ) − xm+i }
i =1
N

xm+ N +1 − xm+1=

N

=∑ t

(Tx

(3.7)

N

) = ∑ (1 − si ) ui

−x

m +i
m +i

m +i
=i 1 =i 1

Áp dụng bổ đề 3.4 và theo (3.1), (3.3), (3.6), (3.7) ta có:

 N −1 
 N −1  N
− xm+1  ∏ si   ∑ (1 − si ) ui 
 ∏ si  xm+ N +1=

 i 1=

 i 1   i =1
N −1



i =1

i +1

 j =

N −1



i









≥ (1 − si ) u N − ∑  ∏ s j 1 − ∏ s j  ui +1 − ui si 
N −1



i =1

i +1

 j =

N −1





N −1

i

1
j=









≥ (1 − si ) r − ∑  ∏ s j 1 − ∏ s j  (1 − si )(1 + ε ) r 
j=
1



N



i =1
i=
1
j=
i +1
j=
1



N −1

i









=−
1 ∏ si − ∑  ∏ s j 1 − ∏ s j  (1 − si )  r




N −1  N −1

i




− ε r ∑  ∏ s j 1 − ∏ s j  (1 − si ) 
i =1  j =
j=
1



 i +1 

Từ điều kiện (2) ta có si = 1 − tm +i ≥ 1 − b > 0 .
Từ (3.2) và (3.5) ta có:

xm + N +1 − xm+1

−1

{

}

N −1
N
N −1
N




≥ r ∑ (1 − si ) − ε r  ∏ si  1 − ∏ si −  ∏ si   ∑ (1 − si ) ui 

=
 i 1 =i 1 =
 i 1   i =1
i =1

N

N −1
≥ r ∑ (1 − si ) −ε r  ∏ si 
i =1
 i =1 
N

N

N −1

i =1

i =1

−1

= r ∑ tm+i − ε r ∏ (1 − tm+i )
N −1

−1

≥ δ ( M ) + 1 − ε r ∏ (1 − tm+i )

−1

i =1

Vì log (1 + y ) ≤ y, ∀y ∈ ( −1, ∞ ) nên theo (2), (3) và (3.5) ta được

(3.8)

N −1

∏ (1 − t )

N −1

(

= ∏ 1 + tm+i (1 − tm+i )

−1

m +i

=i 1 =i 1

−1

)

{
≤ exp {∑ t (1 − t ) }
≤ exp {(1 − b ) ∑ t }

= exp

∑ log (1 + t (1 − t )
N −1

m +i

i =1

N −1
i =1

−1

m +i

)}

−1

m +i

m +i

-1

N −1
i =1

{

m +i

≤ exp (1 − b ) (δ ( M ) + 1) r −1

-1

}

Do đó theo (3.8) ta nhận được:

δ ( M ) +1- ε rexp {(1 − b ) (δ ( M ) + 1) r −1} ≤ δ ( M )
-1

Vì

ε > 0 tùy ý nên: δ ( M ) + 1 ≤ δ ( M ) . Ta gặp mâu thuẩn.

Vậy lim xn − Txn =
0 hay x n − Tx n → 0 khi n → ∞ .
n →∞

Định lý đã được chứng minh.
Tiệm cận đều còn được dùng để chứng minh sự tồn tại của điểm bất động. Điều đó
được thể hiện trong định lý sau:
Định lý 3.5
Giả sử M là một không gian mêtric và T : M → M liên tục và tiệm cận đều tại

x0 ∈ M . Khi đó với bất kỳ điểm tụ (cluster point) của dãy {T n ( x0 )}n =1 là điểm bất động của
∞

T.
Chứng minh
Lấy {T n ( x0 )}i =1 là dãy con của {T n ( x0 )}n =1 hội tụ đến y ∈ M .
∞

∞

i

Do T liên tục nên T n +1 ( x0 ) → T ( y ) ,
i

∀y ∈ M .

Mặt khác, do T : M → M là tiệm cận đều tại x0 ∈ M nên ta có:

T
n i +1

n i +1

(x ) −T (x ) < ε
ni

0

( x ) → y,

0

∀y ∈ M .

Hay

T

Vậy

T ( y )= y, ∀y ∈ M .

0

Để kết thúc mục này ta đưa ra một kết quả thể hiện rằng dãy lặp tại một điểm hội tụ
về điểm bất động.