các mức năng lượng kích thích bậc thấp của nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

BÙI NGUYỄN NGỌC THÚY

CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG KÍCH
THÍCH BẬC THẤP CỦA NGUYÊN
TỬ HYDRO THEO PHƯƠNG PHÁP
TOÁN TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

BÙI NGUYỄN NGỌC THÚY

CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG KÍCH
THÍCH BẬC THẤP CỦA NGUYÊN
TỬ HYDRO THEO PHƯƠNG PHÁP
TOÁN TỬ
Chuyên ngành: VẬT LÝ NGUYÊN TỬ HẠT NHÂN
VÀ NĂNG LƯỢNG CAO
Mã số: 60 44 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN VĂN HOA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc đến TS. Nguyễn
Văn Hoa – người hướng dẫn khoa học của luận văn – thầy đã tận tình hướng
dẫn, truyền thụ cho tác giả những kiến thức bổ ích và đóng góp những kinh
nghiệm quý báu để tác giả thực hiện luận văn này. Là người định hướng cho tác
giả bước vào con đường khoa học lý thuyết, thầy đã để lại trong lòng tác giả tinh
thần làm việc hăng say, thái độ làm việc nghiêm túc. Những ấn tượng này sẽ là
nguồn động lực lớn trong con đường học vấn và nghiên cứu mà tác giả đang
theo đuổi.
Xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô của khoa Vật lý, trường Đại học Sư
phạm TP. HCM vì những buổi trao đổi thú vị và bổ ích, những nhận xét sắc bén,
những bài giảng chất lượng. Tất cả đã tạo tiền đề cho tác giả có thể hoàn thành
luận văn này. Đặc biệt, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Lê Văn Hoàng
đã gợi ý đề tài và tận tình giúp đỡ.
Cuối cùng tác giả cũng xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân
yêu trong gia đình đã luôn quan tâm, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá
trình theo học chương trình cao học và thực hiện luận văn.
Trong quá trình thực hiện đề tài không thể tránh khỏi nhiều thiếu sót, tác
giả rất mong nhận được sự góp ý tận tình của quý thầy cô và các bạn.
Học viên thực hiện
Bùi Nguyễn Ngọc Thúy


MỤC LỤC
TRANG PHỤ BÌA ........................................................................................................... 1
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................. 3

MỤC LỤC ........................................................................................................................ 4
DANH MỤC CÁC BẢNG............................................................................................... 6
MỞ ĐẦU .......................................................................................................................... 7
Chương 1. NĂNG LƯỢNG CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO .......................................... 12
1.1. Phương trình Schrödinger của nguyên tử hydro .................................................. 12
1.2. Năng lượng của nguyên tử hydro ........................................................................ 13
1.3. Hàm sóng của nguyên tử hydro ........................................................................... 15
Chương 2. LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO
TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ .......................................................................... 16
2.1. Các bước cơ bản của phương pháp toán tử ......................................................... 16
2.2. Phương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro .................................... 17
2.2.1 Xây dựng bộ hàm cho bài toán nguyên tử hydro ........................................... 17
2.2.2 Phương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro .............................. 19
2.2.3. Tính yếu tố ma trận của toán tử Hamiltonian ................................................ 24
2.3. Nghiệm của bài toán nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn ........................ 27
2.3.1. Sơ đồ Rayleigh – Schrödinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng ............... 27
2.3.2. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro............................................... 30
2.3.3. Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro ........................... 31
2.3.4. Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro ............................. 33
2.4. Kết luận chương 2 ................................................................................................ 34
Chương 3. CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ THEO SƠ ĐỒ VÒNG LẶP ........................................... 35
3.1. Sơ đồ vòng lặp cho bài toán nguyên tử hydro ..................................................... 35
3.2. Nghiệm chính xác bằng số của bài toán nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp .. 39
3.2.1. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro............................................... 39
3.2.2. Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro ........................... 41


3.2.3. Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro ............................. 42
3.3. Kết luận chương 3 ................................................................................................ 43

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI ....................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................. 47
PHỤ LỤC 1: Xây dựng bộ hàm cơ sở đối xứng cầu của nguyên tử hydro ................... 49
PHỤ LỤC 2: Hàm GAMMA ( Γ ) .................................................................................. 51
PHỤ LỤC 3: Tính yếu tố ma trận H nn(0) , Vnk .................................................................. 52
PHỤ LỤC 4: Chương trình MAPLE tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử
hydro bằng lý thuyết nhiễu loạn trong phương pháp toán tử ......................................... 58
PHỤ LỤC 5: Chương trình FORTRAN tính các mức năng lượng của nguyên tử
hydro bằng lý thuyết nhiễu loạn trong phương pháp toán tử ......................................... 82
PHỤ LỤC 6:Sơ đồ vòng lặp nhằm tính số trên máy tính các hệ số khai triển C k và
giá trị năng lượng E k .................................................................................................... 101
PHỤ LỤC 7: Các công thứcdùng để lập trình tính số trên Fortran 9.0 ....................... 105
PHỤ LỤC 8: Chương trình FORTRAN nhằm tính số trên máy tính các hệ số khai
triển C k và giá trị năng lượng E k .................................................................................. 110


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu
loạn
………………………………………………………………………..…….………31
Bảng 2.2. Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro theo lý
thuyết nhiễu loạn………….……………………………………………..…..……..33
Bảng 2.3: Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro theo lý
thuyết nhiễu loạn………….………………………………………………….…....34
Bảng 3.1. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp.40
Bảng 3.2. Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro theo sơ đồ
vòng lặp………………………………………………………………………….....43
Bảng 3.3. Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro theo sơ đồ
vòng lặp………………………………………………………………………….....44

MỞ ĐẦU
1. Tình hình nghiên cứu
Bài toán nguyên tử hydro đã có lời giải chính xác nên đó là một mô hình lý
tưởng cho việc kiểm chứng hiệu quả của các phương pháp gần đúng giải phương
trình Schrödinger [6], [7], [8]. Kể từ những năm 1970 đã có rất nhiều nghiên cứu
với nhiều phương pháp khác nhau như sử dụng phương pháp biến phân [6], gần
đúng Hartree-Fock [8], giải trực tiếp phương trình Schrödinger bằng phương pháp
số [7], phương pháp lý thuyết nhiễu loạn [1]…
Những ý tưởng về phương pháp toán tử (Operator Method, viết tắt là OM) đã
xuất hiện vào những năm 1979. Tuy nhiên, OM được đưa ra đầu tiên vào năm 1982
bởi một nhóm các giáo sư ở trường đại học Belarus [5] và được ứng dụng thành
công cho một nhóm rộng rãi các bài toán như các polaron, bipolaron trong trường
điện từ, bài toán tương tác các chùm điện tử với cấu trúc tinh thể... trong vật lý chất
rắn; bài toán tương tác hệ các boson trong lý thuyết trường [2], [5]. Phương pháp
này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro, Gerryva Silverman, Wistchel
và nhiều tác giả khác. Phương pháp toán tử với các tính toán thuần đại số xây dựng
cho nhóm các bài toán vật lý nguyên tử đang là một phương pháp có tính thời sự
[1], [3].
Một trong các khó khăn khi vận dụng phương pháp toán tử cho bài toán
nguyên tử chính là thành phần tương tác Coulomb có các biến số nằm trong mẫu số.
Trong công trình [2], khó khăn này được giải quyết bằng cách sử dụng phép biến
đổi Kustaanheimo-Stiefel để đưa bài toán về không gian bốn chiều. Tuy nhiên chính
phép biến đổi này đã làm phát sinh những khó khăn khác khi giải bài toán, đó là làm
cho nó khó phát triển cho các trạng thái kích thích và các bài toán nguyên tử nhiều
điện tử.
Qua đó chúng tôi nhận thấy việc sử dụng phương pháp toán tử kết hợp với
phép biến đổi Laplace và sơ đồ vòng lặp giúp ta thu được nghiệm chính xác bằng số

cho một số mức năng lượng kích thích bậc thấp của nguyên tử hydro. Đây chính là
ưu điểm của phương pháp này [1].
Ngoài ra, qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể, phương pháp
toán tử đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết
như sau
Thứ nhất, đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp thông
thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt. Thực vậy, trong suốt quá trình tính
toán, ta chỉ sử dụng thuần nhất các phép biến đổi đại số. Và vì vậy có thể sử dụng
các chương trình tính toán bằng các phần mềm tính toán trên biểu tượng như
Matlab, Mathematica để tự động hóa quá trình tính toán.
Thứ hai, cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài với cường độ
bất kì, nghĩa là xác định giá trị năng lượng và hàm sóng của hệ trong toàn miền thay
đổi tham số trường ngoài (hệ phi nhiễu loạn).
Từ những ưu điểm trên thì việc lựa chọn phương pháp toán tử là rất cần thiết.
2. Lý do chọn đề tài
Bước đầu, năng lượng trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro thu được chính
xác bằng số theo sơ đồ vòng lặp đã chứng tỏ ưu điểm của phương pháp toán tử. Tuy
nhiên phương pháp này còn một số vấn đề cần làm rõ như giá trị của các mức năng
lượng cao hơn cũng như bậc suy biến của chúng. Do đó, đề tài “CÁC MỨC NĂNG
LƯỢNG KÍCH THÍCH BẬC THẤP CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO THEO
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ” là bước đầu thử nghiệm của phương pháp toán tử,
góp phần hoàn chỉnh và khẳng định sự đúng đắn của phương pháp khi áp dụng để
tính các mức kích thích của nguyên tử hydro trong các bài toán phức tạp hơn như
nguyên tử trong từ trường, điện trường với cường độ bất kì, bài toán phân tử nhiều
nguyên tử hay bài toán tinh thể…
3. Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành,
sơ đồ tính toán, ưu điểm... và áp dụng để giải bài toán nguyên tử hydro. Phạm vi

nghiên cứu của luận văn là tính mức năng lượng cơ bản và một số mức kích thích
bậc thấp của nguyên tử hydro. Các kết quả thu được so sánh với kết quả chính xác
và kết quả của các tác giả khác [1].
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Thứ nhất, tìm hiểu thuật toán và viết chương trình tính số theo sơ đồ vòng lặp
cho mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.
Thứ hai, xây dựng bộ hàm cơ sở cho các trạng thái kích thích của nguyên tử
hydro trong biểu diễn của dao động tử điều hòa bằng giải tích. Từ đó xác định các
mức năng lượng kích thích của nguyên tử hydro bằng phương pháp toán tử.
Thứ ba, tính một số mức năng lượng kích thích bậc thấp của nguyên tử hydro
bằng phương pháp tính số theo sơ đồ vòng lặp và so sánh với phương pháp cổ điển
trong cơ học lượng tử cũng như các kết quả tính toán mới nhất trên các tạp chí khoa
học bằng các phương pháp khác.
Thứ tư, trên cơ sở đó khẳng định sự thành công của phương pháp toán tử khi
giải quyết nhóm bài toán hệ nguyên tử và chỉ ra khả năng áp dụng phương pháp
toán tử cho các bài toán phức tạp hơn.
5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết với công cụ chính là
phương pháp toán tử, phương pháp giải tích để tính toán và phương pháp lập trình
tính số trên máy tính.
6. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn “CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG
KÍCH THÍCH BẬC THẤP CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO THEO PHƯƠNG
PHÁP TOÁN TỬ” gồm có ba chương:
 Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ NGUYÊN TỬ
HYDRO
1.1. Phương trình Schrödinger của nguyên tử hydro
1.2. Năng lượng của nguyên tử hydro

1.3. Hàm sóng của nguyên tử hydro
Trong chương này chúng tôi trình bày những kết quả mà cơ học lượng tử
đã đạt được về bài toán nguyên tử hydro, mức năng lượng cơ bản và các
mức năng lượng kích thích của nguyên tử hydro tính chính xác bằng phương
pháp cổ điển trong cơ học lượng tử.
 Chương 2: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN CHO BÀI TOÁN NGUYÊN
TỬ HYDRO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ
2.1. Các bước cơ bản của phương pháp toán tử
2.2. Phương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro
2.2.1. Xây dựng bộ hàm cho bài toán nguyên tử hydro
2.2.2. Phương trình Schrodinger cho bài toán nguyên tử hydro
2.2.3. Tính yếu tố ma trận của toán tử Hamiltonian
2.3. Nghiệm của bài toán nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn
2.3.1. Sơ đồ Rayleigh - Schrödinger cho phương pháp nhiễu loạn dừng
2.3.2. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro
2.3.3. Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro
2.3.4. Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro
2.4. Kết luận chương 2
Trong chương này chúng tôi sử dụng phương pháp toán tử theo sơ đồ lý
thuyết nhiễu loạn cho bài toán nguyên tử hydro, tính mức năng lượng cơ bản
và một số mức năng lượng kích thích.
 Chương 3: CÁC MỨC NĂNG LƯỢNG CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO
TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ THEO SƠ ĐỒ VÒNG LẶP
3.1. Sơ đồ vòng lặp cho bài toán nguyên tử hydro
3.2. Nghiệm chính xác bằng số của bài toán nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng
lặp
3.2.1. Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro
3.2.2. Mức năng lượng kích thích thứ nhất của nguyên tử hydro

3.2.3. Mức năng lượng kích thích thứ hai của nguyên tử hydro
3.3. Kết luận chương 3
Chương này là kết quả chính của luận văn. Trong chương này chúng tôi
giới thiệu phương pháp toán tử theo sơ đồ vòng lặp cho bài toán nguyên tử
hydro, đối với trạng thái cơ bản, trạng thái kích thích thứ nhất, thứ hai, và
nhận được nghiệm năng lượng bằng số. Kết quả có thể tính đến bổ chính bất
kì và hội tụ đến giá trị với độ chính xác cho trước nên ta gọi là nghiệm chính
xác bằng số. Đây là một bước kiểm tra hiệu quả của việc ứng dụng phương
pháp toán tử theo sơ đồ vòng lặp vào việc tính các mức năng lượng của
nguyên tử hydro. Do bài toán nguyên tử hydro có nghiệm chính xác nên ta dễ
dàng so sánh và đánh giá phương pháp để chỉ ra khả năng ứng dụng phương
pháp toán tử theo sơ đồ vòng lặp vào các bài toán không có nghiệm chính
xác như bài toán nguyên tử hydro trong trường ngoài.
Ngoài ra trong chương này chúng tôi so sánh kết quả của việc sử dụng
sơ đồ vòng lặp so với lý thuyết nhiễu loạn, từ đó khẳng định những ưu điểm
nổi bật của phương pháp toán tử theo sơ đồ vòng lặp khi giải quyết các bài
toán phi nhiễu loạn.
Phần kết luận: Tóm tắt lại những kết quả đã đạt được của luận văn, hướng
phát triển sắp tới của đề tài.
Phần tài liệu tham khảo gồm có trên 10 công trình khoa học cũng như sách
có liên quan.
Kết quả thu được đã được báo cáo ở Hội nghị Vật lý lý thuyết toàn quốc lần
thứ 36.


Chương 1.

NĂNG LƯỢNG CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO
1.1. Phương trình Schrödinger của nguyên tử hydro
Ta có thể đưa bài toán hai hạt electron - hạt nhân về bài toán một hạt có khối

lượng rút gọn là µ =

mM
, chuyển động trong trường thế Coulomb (trường lực
m+M

dừng xuyên tâm với tâm của trường lực đặt ở khối tâm của hệ - hạt nhân).
Ze 2
U (r ) = −
r

(1.1)
Trong đó Ze là điện tích của hạt nhân.
Tuy nhiên trường Coulomb này không mô tả chính xác bức tranh vật lý. Đó là
sự phân bố hữu hạn điện tích của hạt nhân và cả hiệu ứng chắn gây ra bởi các
electron khác (trường hợp Z > 1 ) đã được ta bỏ qua.
Có thể coi nguyên tử hydro là trường hợp riêng của bài toán thế xuyên tâm.
Phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro được viết như sau
 2
Ze 2  

∆−
−
 Ψ (r ) = E Ψ (r )
r 
 2m

(1.2)
Trong tọa độ cầu, toán tử ∆ có dạng
∆=

1 ∂  2 ∂ 1  1 ∂ 
1
∂2 
∂ 
sin
+
r
θ
+






∂θ  sin 2 θ ∂ϕ 2 
r 2 ∂r  ∂r  r 2  sin θ ∂θ 

(1.3)
Từ đó suy ra phương trình (1.2) trở thành
ˆ2
 2  1 ∂
2

 2 ∂  L  Ze 


−
−

−
r

 Ψ = EΨ

 2 2
2
∂
∂
2
m
r
r
r
r

r









(1.4)


Đây chính là phương trình Schrödinger của nguyên tử hydro trong hệ tọa độ

cầu.
Trong công thức (1.4) toán tử bình phương moment xung lượng đã cho là
ˆ 2
∂2 
1
1
∂ 
∂ 
2
L = − 
+
 sin θ

∂θ  sin 2 θ ∂ϕ 2 
 sin θ ∂θ 

(1.5)
Vì ở đây trường −

Ze 2
của hạt nhân là trường xuyên tâm nên ta biểu diễn
r

nghiệm của phương trình (1.4) dưới dạng
Ψ ( r ,θ , φ ) =
R ( r ) Yl m (θ , φ )

(1.6)
Trong đó hàm bán kính R ( r ) được xác định khi giải phương trình bán kính
(phương trình cho hàm xuyên tâm trong hệ tọa độ cầu)

1 d  2 dR  l ( l + 1)
2m 
Ze 2 
r
−
R
+
E
+
0

R =


r 2 dr  dr 
r2
2 
r 

(1.7)
1.2. Năng lượng của nguyên tử hydro
Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của nguyên tử
hydro
me 4 Z 2
En =
−E =
− 2 2
2 n

(1.8)

Công thức (1.8) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử
hydro. Theo (1.8) thì năng lượng này gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các
số nguyên. Tính gián đoạn này là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sóng ở
vô cực.


a) Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên
kết, bắt đầu ứng với năng lượng

m Z 2e4
và kết thúc ứng với năng lượng 0.
2 2

b) Ứng với một giá trị đã cho của n thì l có thể có những giá trị
=
l 0,1, 2,..., n − 1 . Như vậy có tất cả n giá trị của l ; l gọi là lượng tử số quỹ đạo và nó

xác định độ lớn moment xung lượng

=
L

l ( l + 1) 

c) Ba số nguyên n, l , m duy nhất xác định một hàm riêng
Ψ nlm ( r , θ , φ ) =
Rnl ( r ) Ylm (θ , φ )

gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ. Ứng với một giá trị đã cho của l thì
m có thể nhận các giá trị m =−l , −l + 1,..., −1, 0,1,..., l − 1, l . Tất cả có ( 2l + 1) giá trị của

m . Lượng tử số m xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z

Lz = m

(1.9)
Như vậy, ứng với một mức năng lượng En có nhiều trạng thái khác nhau Ψ nlm ,
ta nói có sự suy biến.
Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có cùng giá trị năng
lượng En là
n −1

n
∑ ( 2l + 1) =
2

l =0

(1.10)
Nếu không tính đến spin, mức năng lượng cơ bản E1 không suy biến, mức kích
thích thứ nhất E2 suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai E3 suy biến bậc 9...
Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng 2 n 2
d) Phổ năng lượng của nguyên tử hydro xác định bởi phương trình (1.8)
Khi so sánh các tính toán năng lượng từ (1.8) với các số liệu thực nghiệm, ta
thấy có một vài điểm khác nhau vì ta đã bỏ qua các tương tác khác trong nguyên tử
hydro.


Ứng với n = 1 , năng lượng có giá trị thấp nhất E1 = −13, 6eV .
Khi n càng tăng thì các mức En liên tiếp càng gần nhau hơn. Khi n → ∞ thì
En → 0 .

Một số mức năng lượng kích thích
E2 =
−3, 4eV , E3 =
−1,5eV ,...

1.3. Hàm sóng của nguyên tử hydro
Hàm sóng chuẩn hóa của nguyên tử hydro có dạng
Ψ nl m ( r , θ , φ ) =
R nl ( r ) Yl m (θ , φ )

(1.11)
Với
1

 2 Z  3 ( n − l − 1) !  2  2 Zr l − Z r
 2 Zr 
n ao
 
R nl ( r ) = − 
Ln +21l +1 

 e

3
 nao  2n ( n + 1) !   nao 
 nao 

α=

2 Zr
nao

ao =

2
me 2

( a0 là bán kính Bohr thứ nhất)


Chương 2.

LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN CHO BÀI TOÁN NGUYÊN
TỬ HYDRO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ
Phương pháp toán tử được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi một nhóm các
giáo sư ở trường đại học Belarus [5] và được ứng dụng thành công cho một nhóm
rộng rãi các bài toán như các polaron, bipolaron trong trường điện từ, bài toán tương
tác các chùm điện tử với cấu trúc tinh thể... trong vật lý chất rắn; bài toán tương tác
hệ các boson trong lý thuyết trường [2], [5]. Phương pháp này được phát triển bởi
Fernandez, Meson và Castro, Gerryva Silverman, Wistchel và nhiều tác giả khác.
Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể đó, phương pháp toán tử
đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau
[3].
Thứ nhất, đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp thông
thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt. Thực vậy, trong suốt quá trình tính
toán, ta chỉ sử dụng thuần nhất các phép biến đổi đại số. Và vì vậy có thể sử dụng
các chương trình tính toán bằng các phần mềm tính toán trên biểu tượng như
Matlab, Mathematica để tự động hóa quá trình tính toán.
Thứ hai, cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài với cường độ

bất kì, nghĩa là xác định giá trị năng lượng và hàm sóng của hệ trong toàn miền thay
đổi tham số trường ngoài.
Trong phần này chúng tôi sử dụng phương pháp toán tử theo sơ đồ lý thuyết
nhiễu loạn cho bài toán nguyên tử hydro, tính mức năng lượng cơ bản và một số
mức năng lượng kích thích. Do bài toán có nghiệm chính xác nên ta dễ dàng so sánh
và đánh giá phương pháp.
2.1. Các bước cơ bản của phương pháp toán tử
(1) Biểu diễn Hamiltonian dưới dạng các toán tử sinh, hủy

Hˆ ( xˆ , pˆ x ) → Hˆ (aˆ , aˆ + )


=
aˆ (ω )
với

ˆ + (ω )
a=

ω

1

 xˆ + ipˆ x 
ω
2


ω

1

 xˆ − ipˆ x 
ω 
2

 aˆ , aˆ +  = 1


(2) Tách Hamiltonian thành hai thành phần

=
Hˆ (aˆ , aˆ + ) Hˆ 0 (aˆ + aˆ , ω ) + Vˆ (aˆ + , aˆ , ω )
Với thành phần trung hòa Hˆ 0 (aˆ + aˆ , ω ) , trong đó nˆ = aˆ + aˆ , có trị riêng chính
xác, Vˆ (aˆ + , aˆ , ω ) “đủ nhỏ” để có thể xem như là nhiễu loạn, ω là tham số tự do đưa
vào nhằm tăng tốc độ hội tụ của phương pháp.
(3) Giải tìm nghiệm gần đúng bậc không

Ψ n (0) = n =

1 +n
aˆ 0
n!

En (0) = H 0 (n, ω )
(4) Tính các yếu tố ma trận và thu được nghiệm gần đúng thông qua sơ đồ lý
thuyết nhiễu loạn hoặc nghiệm chính xác bằng số theo sơ đồ vòng lặp.
2.2. Phương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro
2.2.1. Xây dựng bộ hàm cho bài toán nguyên tử hydro
Ta định nghĩa các toán tử sinh hủy như sau [3]

ω1 
ω1 
1 ∂ 
1 ∂ 
+
aˆ1 =
x+
 , aˆ1 =  x −
,
ω1 ∂x 
ω1 ∂x 
2 
2 
ω 
1 ∂ 
ω2 
1 ∂ 
+
aˆ2 =2  y +
 , aˆ2 =  y −
,
ω2 ∂y 
ω2 ∂y 
2 
2 

ω3 
ω3 
1 ∂ 

1 ∂ 
+
aˆ3 =
z+
 , aˆ3 =  z −
,
ω3 ∂z 
ω3 ∂z 
2 
2 
với các tham số tự do ω1 , ω2 , ω3 là các tham số thực dương.

(2.1)


Một cách tổng quát ta có thể viết
aˆα
=

ωα 

1 ∂ 
α+

2 
ωα ∂ α 

(2.2)
aˆα +
=

ωα 

1 ∂ 
α−

2 
ωα ∂ α 

trong đó α , β = 1, 2, 3 tương ứng với 3 trục x, y, z .
Do bài toán có tính đối xứng cầu và chỉ xét đối với trạng thái cơ bản nên

ω=
ω=
ω=
ω.
x
y
z
Các toán tử (2.2) thỏa mãn hệ thức giao hoán

 aˆi , aˆ +j  = δ ij ,



(2.3)

trong đó δ ij là ký hiệu delta Krôneckơ.
Hệ thức này giúp ta đưa các toán tử sinh, hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các toán
tử sinh nằm về phía bên trái và các toán tử hủy nằm về phía bên phải, thuận lợi cho

các tính toán đại số sau này. Từ đây về sau ta gọi nó là dạng chuẩn của toán tử.
Ta đặt
Aˆ = Aˆ1 + Aˆ 2 + Aˆ3

Aˆ + = Aˆ1+ + Aˆ 2+ + Aˆ3+

(2.4)

Nˆ = Nˆ 1 + Nˆ 2 + Nˆ 3

Với

Aˆα = aˆα aˆα
Aˆα+ = aˆα+ aˆα+
ˆ
N
=
2nˆα + 1
α

trong đó α , β = 1, 2, 3 tương ứng với 3 trục x, y, z ; ω là tham số thực dương.
Dễ dàng kiểm chứng rằng ba toán tử Aˆ + , Aˆ , Nˆ tạo thành một đại số kín [trang
16] thỏa mãn các hệ thức giao hoán


 Aˆ , Aˆ +  = 2 Nˆ


 Aˆ , Nˆ  = 4 Aˆ



 Nˆ , Aˆ +  = 4 Aˆ +



(2.5)

Bộ hàm sóng cơ sở của nguyên tử hydro có dạng

n1 , n2 , n3 =

1
aˆ1+ 2 n1 aˆ2+ 2 n2 aˆ3+ 2 n3 0 .
(2n1 )!(2n2 )!(2n3 )!

(2.6)

Trong đó trạng thái chân không 0 được xác định bởi các phương trình sau

aˆ1 0 = 0
aˆ2 0 = 0

(2.7)

aˆ3 0 = 0
Do bài toán có tính đối xứng cầu và bảo toàn đại lượng bình phương mô-men
quỹ đạo cũng như hình chiếu mô-men quỹ đạo nên ta cần xây dựng bộ hàm cơ sở
thỏa mãn

Lˆ2 n, l , m= l (l + 1) n, l , m

Lˆ z n, l , m = m n, l , m

(2.8)

Các toán tử Lˆ2 , LˆZ khi biểu diễn qua các toán tử sinh hủy có dạng

1
3
Lˆ2 =
− Aˆ + Aˆ + Nˆ 2 − Nˆ +
4
4

(

=
Lˆ z i aˆ2+ aˆ1 − aˆ1+ aˆ2

)

(2.9)
(2.10)

Ta chọn
=
l 0,
=
m 0 , thu được bộ hàm cơ sở chuẩn hóa của nguyên tử hydro
[phụ lục 1]

( )

+
1

n =
A
(2n + 1)!

n

0

(2.11)

2.2.2 Phương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro
Phương trình Schrödinger của nguyên tử hydro theo hệ đơn vị nguyên tử
( = m= e= 1 )


Hˆ ϕn = En ϕn , n = 0, 1, 2, 3, ...

Với

∂2
∂2
1  ∂2
−  2+ 2+ 2
Hˆ =
2  ∂x

∂y
∂z

(2.12)


Z
− 2
x + y2 + z2


(2.13)

trong đó Z là điện tích hạt nhân.
Ta biểu diễn Hamiltonian Hˆ trong hình thức luận toán tử sinh hủy như sau
Thành phần động năng

∂2
∂2 
1  ∂2
ˆ
−  2+ 2+ 2
HT =
2  ∂x
∂y
∂z 
có dạng sau

(

1
− ω Aˆ + + Aˆ − Nˆ
Hˆ T =
4

)

(2.14)

Thành phần thế năng chứa biến động lực ở mẫu số sẽ gây khó khăn cho quá
trình tính toán. Để loại trừ khó khăn trên ta sử dụng phép biến đổi Laplace [4] như
sau
 =−
U

Z

Z +∞
1 −t ( x
dt
e
=
−
∫
t
π 0
x2 + y2 + z 2

2

+ y +z )
2

2

(2.15)

 được đưa về dạng
Thế năng U

Z
Uˆ = −

+∞

π ∫0

dt

1
t

e

−

(

t ˆ+ ˆ ˆ
A + A+ N

2ω

)

(2.16)

(

1
Toán tử Hamiltonian =
Hˆ Hˆ T + Uˆ được biểu diễn qua các toán tử sinh hủy Hˆ =
− ω Aˆ + +
4
Thành phần có dạng hàm mũ trong (2.17) có thể đưa về dạng chuẩn nhờ vào
(2.3) và (2.5) như sau [3]

, A
 +, N
 tạo thành một đại số kín bằng cách
Bước 1: Chứng minh ba toán tử A
, A
 + , A
, N
  , N
, A
+
kiểm tra các giao hoán tử sau:  A
 

 


Ta có các giao hoán tử

 Aˆ , Aˆ +  = 2 Nˆ




 Aˆ , Nˆ  = 4 Aˆ


 Nˆ , Aˆ +  = 4 Aˆ +


Bước 2: Do các toán tử là đại số kín nên ta có thể viết Sˆ dưới dạng

(

 + + A + N
−η A

)

=
S e= e f (η ) A e g (η ) N e h (η ) A
với η =

t
2ω

+





(2.18)

, f (η ), g (η ), h(η ) là các hàm số cần tìm với điều kiện biên

f (η )

η =0

=0

g (η )

η =0

=0

h (η )

η =0

=0

(2.19)

Bước 3: Xây dựng hệ phương trình cho các hàm số cần tìm như sau
Lấy đạo hàm hai vế của (2.18) theo η ta thu được

)

(

+
 + e f (η ) A e g (η ) N e h(η ) A +
=
+N
 e −η ( A + A+ N ) f ′ (η ) A
− A
+A

+  

+ g ′ (η ) e


f (η ) A

+

+


Ne



g (η ) N

e


h(η ) A

+ h′ (η ) e


f (η ) A

+

e


g (η ) N


Ae

(2.20)


h(η ) A

−1
 − g (η ) N
 − f (η ) A

− h(η ) A
e
e
Tiếp theo ta nhân hai vế với toán tử nghịch đảo S = e

thu được

)

(

+ + A
+N
 =
 + e f (η ) A e g (η ) N e h(η ) A e − h(η ) A e − g (η ) N e − f (η ) A
− A
f ′ (η ) A
+

+

+

 h(η ) 
 − f (η ) 
f (η ) 
A  g (η ) N
A − h(η ) 
A − g (η ) N
A

+ g ′ (η ) e
Ne
e
e
e
e

+ h′ (η ) e


f (η ) A

+

e


g (η ) N


Ae

 − h(η ) A − g (η ) N
h(η ) A

e

e

e

+


− f (η ) A

+

+

Ta suy ra

(

)

+ + A
=

− A
+N

 + g ′ (η ) e
f ′ (η ) A
+

+ h′ (η ) e

Ta có


f (η ) A

+

e


g (η ) N


f (η ) A

+


Ne


− f (η ) A

+

 − g (η ) N e − f (η ) A
Ae

+

(2.21)

  , C  ABC
   − C AB

 AB
 =

   − AC
  B + AC
  B − C AB

= ABC
 , C  B
  B , C  +  A
= A


 



Tương tự giao hoán tử

 =
  ABC
   − BC
A

A
 , BC


   − B AC
  + B AC
  − BC
A

= ABC
 A
 , C 
 , B  C + B
= A








 − t A , đạo hàm theo ta được
Xét hàm f ( t ) = et A Be


df
dt



 t A Be
 − t A − et A B

 Ae
 − t A = et A  A
 , B  e − t A
= Ae
















Tương tự ta có đạo hàm bậc k của f(t) như sau

dk f
dt

,A
 ,...  A
,A
,B
     e−t A

= et A  A








k







trong đó giao hoán tử lấy k lần.
Mặc khác, khai triển Taylor hàm f(t) tại điểm t 0 =0 ta có
∞
tk  d k f 
tk         
f (t ) ∑
A, A,... A,  A, B 
=
=
∑

k 


 


k !  dt  t =0 k 0 k !
k 0=
=
∞

0

Khi t=1 thì

 −A =
 + A
,B
 +
e A Be
B








1    
A,  A, B  + ...

2!  

Sử dụng công thức tổng quát

 −A =
 + A
,B
 +
e A Be
B


ta có







1    
A,  A, B  + ...

2!  


e

f (η ) 
A

e
e

+

+
 − f (η ) A= N
 − f (η ) 4 
Ne
A
+


g (η ) N

+
f (η ) 
A


−g η N
−4 g η

Ae ( ) = e ( ) 
A

(2.22)

+
−f η 

A


 + 4 f 2 (η ) 
Ae ( ) =
A − 2 f (η ) N
A
+

Thay (2.21) vào (2.22) ta được

(

)

(

+
+

 − 4 f (η ) A+
− A + A=
+N
f ′ (η ) A + g ′ (η ) N

+ h′ (η ) e

−4 g (η )

)

 A − 2 f (η ) N
 + 4 f 2 (η ) A+ 



(2.23)

Ta suy ra

(

)

+
+
  f ′ (η ) − 4 g ′ (η ) f (η ) + 4h′ (η ) e −4 g (η ) f 2 (η )  
− 
A +
A +=
N
A


−4 g η
−4 g η

+ h′ (η ) e ( ) 
A +  g ′ (η ) − 2h′ (η ) e ( ) f (η )  N




Đồng nhất hệ số trước các toán tử giống nhau ta có hệ phương trình
f ′ (η ) − 4 g ′ (η ) f (η ) + 4h′ (η ) e

−4 g (η )

f 2 (η ) =
−1

−4 g η
h′ (η ) e ( ) = −1

g ′ (η ) − 2h′ (η ) e

−4 g (η )

(2.24)
(2.25)

f (η ) =
−1

(2.26)

Bước 4: Giải hệ phương trình (2.24), (2.25), (2.26) với các điều kiện (2.19) ta
được
− (1 + 2 f (η ) ) ,
f ′ (η ) =

f (η ) = −

2

η
1 + 2η

Tương tự ta có
g ′ (η ) =

Và

−1
1 + 2η

h′ (η ) = −

1
− ln (1 + 2η )
g (η ) =
2

,
1

(1 + 2η )

2

h (η ) = −

,

η
1 + 2η

Thay các kết quả vừa tìm được vào (2.22) ta được
 +   

−η  A + A+ N 


=
S e=
e

−

η +
A

1+ 2η

e

η 
1
A
− N
ln (1+ 2η ) −

1+ 2η
2

e

(2.27)


η=

với

t
2ω

Khai triển Sˆ theo chuỗi Taylor, ta được Hamiltonian (2.17) như sau [3]

1
2ω Z +∞ +∞ (−1) j + k
Hˆ =
− ω Aˆ + + Aˆ − Nˆ −
∑∑
4
π =j 0=k 0 j !k !

(

)

+∞

∫0

t j + k −1/2 ˆ + j − 2 Nˆ ln(1+ 2t ) ˆ k
dt
A e
A
j +k
1

(1 + 2t )

(2.28)
Sử dụng tư tưởng phương pháp toán tử ta tách toán tử Hamiltonian (2.28)
thành hai thành phần
0
Hˆ Hˆ ( ) + βVˆ .
=

(2.29)

Phần “trung hòa” có dạng như sau

1 ˆ Z ω
Hˆ (0)
ωN −
=
4
π

2−2 j +∞ t 2 j −1/2 ˆ + j − 2 Nˆ ln(1+t ) ˆ j
A
∑ ( j !)2 ∫0 dt (1 + t )2 j A e
j =0
+∞

1

(2.30)

chứa số thừa số các toán tử sinh, hủy bằng nhau.
Còn toán tử “nhiễu loạn” Vˆ có dạng

1
Z ω
Vˆ =
− ω Aˆ + + Aˆ −
4
π

(

)

(−1)i + j −i − j +∞ t i + j −1/2 ˆ + j − 2 Nˆ ln(1+t ) ˆ i
A
∑ ∑ i ! j ! .2 ∫0 dt (1 + t )i+ j A e
=j 0=i 0,i ≠ j
+∞

+∞

1

Nghiệm gần đúng bậc zero của phương trình Schrödinger chính là nghiệm
0
riêng chính xác của toán tử Hˆ ( ) , còn các bổ chính bậc cao hơn ta có thể tính theo

sơ đồ thích hợp (sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn hay sơ đồ vòng lặp).
2.2.3. Tính yếu tố ma trận của toán tử Hamiltonian
Với bộ hàm sóng trên, ta có các biểu thức thường dùng như sau được chứng
minh trong phần phụ lục 1

( )

n

+

A =
0

+

A n =


A n=

(2n + 1)! n

(2n + 2)(2n + 3) n + 1

2n(2n + 1) n − 1

+


A=
A n 2n(2n + 1) n


(2n + 1)!
n− j
(2n − 2 j + 1)!

j

=
A n

( )

(2n + 2 j + 1)!
n+ j
(2n + 1)!

j

+


=
A
n

+j
j

A 
A n =

(2n + 1)!
n
(2n − 2 j + 1)!

=
N
n (4n + 3) n

(2.32)

Bây giờ ta đi tính các yếu tố ma trận của các toán tử

1 
Z

H
=
ωN − ω
4
π

(0)

(

)

∞

2 j−

1

( )

2−2 j
t 2  + j − 12 N ln(1+t )  j
A e
A dt
∑
2 ∫
2j
(
j
!)
(1
t
)
+
j =0
0

∞

+
1
Z ω
V =
− ω 
A +
A −
4
π

(−1)i + j − i − j
.2
∑
∑
=j 0=i 0,i ≠ j i ! j !
+∞

+∞

+∞

∫
0

i+ j−

(2.33)

1

t 2  + j − 12 N ln(1+t )  i
dt
A e
A
(1 + t )i + j

(2.34)

Tích phân trong biểu thức (2.33) có thể tính được bằng cách sử dụng hàm
Gamma [phụ lục 2].
Ví dụ tích phân trong (2.33) được tính như sau
+∞

I=

∫ dt
0

t

2 j−

(1 + t )

1
2

2n+

3
2

1

Γ  2 j +  Γ ( 2n − 2 j + 1)
2
= 
3

Γ  2n + 
2

(4 j − 1)!!(2n − 2 j )! 2 n − 2 j +1
2
=
(4n + 1)!!

Tương tự tích phân trong (2.34) được tính như sau

(2.35a)