sử dụng bất biến tôpô tuyến tính để nghiên cứu tính chỉnh hình của hàm chỉnh hình theo từng biến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN MINH TRÍ

SỬ DỤNG BẤT BIẾN TÔPÔ TUYẾN TÍNH
ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH CHỈNH HÌNH CỦA HÀM
CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành Phố Hồ Chí Minh - 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN MINH TRÍ

SỬ DỤNG BẤT BIẾN TÔPÔ TUYẾN TÍNH ĐỂ
NGHIÊN CỨU TÍNH CHỈNH HÌNH CỦA HÀM
CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN
Chuyên ngành: Hình Học – TôPô
Mã số: 604610

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS: NGUYỄN THÁI SƠN

Thành Phố Hồ Chí Minh – 2011

LỜI CẢM ƠN

Tôi vô cùng biết ơn Tiến sĩ NGUYỄN THÁI SƠN đã định hướng tôi trong việc nghiên cứu
luận văn này, một vấn đề đang được quan tâm do những ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh
vức của Toán học; thầy là người trực tiếp hướng dẫn tôi trong việc thực hiện luận văn này
Tôi gửi lời tri ân đến các thầy cô giáo trong khoa Toán- Tin đã hướng dẫn tôi nghiên cứu
Toán học trong những năm học tại trường Đại Học Sư Phạm TPHCM. Đồng thời tôi cũng
gởi lời tri ân đến gia đình và bạn bè đã hiểu, chia sẻ và động viên tôi trong quá trình thực
hiện đề tài.

Nguyễn Minh Trí.


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 3
MỤC LỤC .................................................................................................................... 4
DANH MỤC KÍ HIỆU ................................................................................................ 7
LỜI NÓI ĐẦU............................................................................................................... i
1. Lý do chọn đề tài: ..................................................................................................................i
2. Mục đích nghiên cứu: ............................................................................................................i
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: ........................................................................................i
4. Phương pháp nghiên cứu: .................................................................................................... ii
5. Cấu trúc luận văn: 4 chương: .............................................................................................. ii

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÔPÔ VÀ GIẢI TÍCH HÀM .................. 1
1.1 Không gian vectơ tôpô. ......................................................................................................1
1.1.1 Định nghĩa. .................................................................................................................1
1.1.2 Tính chất. ....................................................................................................................1

1.1.3 Mệnh đề. ......................................................................................................................2
1.1.4 Hệ quả. ........................................................................................................................2
1.1.5 Tập bị chặn và hoàn toàn bị chặn. ..............................................................................3
1.2 Không gian lồi địa phương. ................................................................................................3
1.2.1 Định nghĩa. .................................................................................................................3
1.2.2 Bổ đề. .........................................................................................................................3
1.2.3 Bổ đề. ..........................................................................................................................4
1.2.4 Hệ cơ bản các lân cận và các nửa chuẩn. ..................................................................4
1.2.5 Định lý. ........................................................................................................................4
1.2.6 Ánh xạ tuyến tính liên tục............................................................................................5
1.3 Đối ngẫu của không gian lồi địa phương. ..........................................................................6
1.3.1 Không gian đối ngẫu. ..................................................................................................6
1.3.2 Hệ đối ngẫu. ................................................................................................................6
1.3.3 Ánh xạ đối ngẫu. .........................................................................................................7
1.3.4 Không gian phản xạ và không gian thùng. .................................................................8
1.4 Tôpô xạ ảnh và tôpô quy nạp. ............................................................................................8
1.4.1 Tôpô xạ ảnh.................................................................................................................9
1.4.2 Tôpô qui nạp . Giới hạn quy nạp. ...............................................................................9


1.4.3 Không gian chặn nội và siêu chặn nội. .....................................................................10
1.5 Không gian Fretchet và DF- không gian. .........................................................................10
1.5.1 Hệ cơ bản tăng các nửa chuẩn. ................................................................................10
1.5.2 Không gian Frechet. .................................................................................................11
1.5.3 DF- Không gian. .......................................................................................................11
1.6 Định lý Baire. ...................................................................................................................11

Chương 2: CÁC KIẾN THỨC VỀ HÀM CHỈNH HÌNH ..................................... 12
2.1 Hàm chỉnh hình. ...............................................................................................................12
2.1.1 Hình cầu và đa dĩa. ...................................................................................................12

2.1.2 Chuỗi hội tụ và hàm chỉnh hình. ...............................................................................13
2.1.3 Các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình. ...............................................................14
2.1.4 Hàm chỉnh hình theo từng biến. ................................................................................17
2.1.5 Hàm đa điều hòa dưới. .............................................................................................19
2.1.6 Thác triển chỉnh hình. ...............................................................................................20
2.1.7 Miền chỉnh hình và lồi chỉnh hình. ...........................................................................21
2.1.8 Hàm vét cạn và miền giả lồi. ....................................................................................22
2.2 Tập giải tích: .....................................................................................................................22
2.2.1 Tập con giải tích. ......................................................................................................22
2.2.2 Thành phần bất khả quy. ...........................................................................................23
2.2.3 Quỹ tích kì dị. ............................................................................................................24
2.3 Các khái niệm trong đa tạp phức. .....................................................................................25
2.3.1 Hàm chỉnh hình. ........................................................................................................25
2.3.2 Vành các mầm hàm. ..................................................................................................25
2.3.3 Mặt Riemann. ............................................................................................................25
2.3.4 Tập con giải tích và siêu mặt giải tích. .....................................................................25
2.4 Phủ giải tích nhánh. ..........................................................................................................26
2.4.1 Ánh xạ riêng. .............................................................................................................26
2.4.2 Ánh xạ hữu hạn. ........................................................................................................26
2.4.3 Phủ giải tích nhánh. ..................................................................................................26
2.5 Lý thuyết Stein. ................................................................................................................26
2.5.1 Đa tạp Stein...............................................................................................................27
2.5.2 Mệnh đề. ....................................................................................................................27
2.5.3 Mệnh đề. ....................................................................................................................28
2.5.4 Tập đa cực. ................................................................................................................28


2.5.5 Bó giải tích coherent trên đa tạp Stein. ....................................................................29
2.5.6 Nhóm đối đồng điều với giá trị trong một bó. ..........................................................31
2.6 Không gian giải tích. ........................................................................................................32

2.6.1 Không gian vành. ......................................................................................................32
2.6.2 Không gian giải tích..................................................................................................32
2.7 Điểm chuẩn tắc của không gian giải tích và không gian chuẩn tắc. ................................32
2.8 Chuẩn tắc hóa. ..................................................................................................................32

Chương 3: CÁC BẤT BIẾN TÔPÔ TUYẾN TÍNH. ............................................. 34
3.1 Không gian chuỗi lũy thừa. ..............................................................................................34
3.2 Không gian có tính chất

( DN ) .........................................................................................35

3.2.1 Định nghĩa. ...............................................................................................................35
3.2.2 Bổ đề: ........................................................................................................................36
3.2.3 Bổ đề. ........................................................................................................................37
3.3 Không gian có tính chất ( Ω ) . ...........................................................................................38
3.3.1 Định nghĩa. ...............................................................................................................38
3.3.2 Bổ đề. ........................................................................................................................38
3.4 Một số bất biến tôpô tuyến tính khác. ..............................................................................39

Chương 4: CÁC KẾT QUẢ VỀ TÍNH CHỈNH HÌNH CỦA HÀM CHỈNH
HÌNH THEO TỪNG BIẾN ...................................................................................... 40
4.1 Định lý. .............................................................................................................................41
4.2 Bổ đề.................................................................................................................................41
4.3 Bổ đề.................................................................................................................................44
4.4 Bổ đề.................................................................................................................................45

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 49

DANH MỤC KÍ HIỆU

U : cơ sở lân cận của 0 ∈ E .

E ' : Không gian đối ngẫu của không gian vectơ E .

( z z ) n : tích vô hướng chuẩn tắc trong  n .
Dw f ( zo ) : đạo hàm có hướng phức của f tại zo theo hướng w .

D v f ( zo ) : đạo hàm riêng cấp cao của f tại zo .
rk z ( f1 ,.., f q ) : hạng của ma trận Jacobi J ( f f ) .
1,.., q
Cop (  n ) : không gian các hàm lớp C p trên  n với giá compact.

 G : bao lồi chỉnh hình của K trong G .
K
N ( f1 ,.., f q ) : tập không chung của f1 ,.., f q .
H (G ) : không gian các hàm chỉnh hình trên G .
R ( A) : tập các điểm chính quy của A .

S ( A ) : tập các điểm kì dị của A .
R ( f1 ,.., f q ) : bó quan hệ giữa f1 ,.., f q .

H Y : bó cấu trúc của Y .

H p (U , J ) : nhóm p - đối đồng điều của U với giá trị trong J .
Γ ( Ω, J ) : tập tất cả các nhát cắt của J trên U .
J x : thớ của J tại x .

LỜI NÓI ĐẦU
Vào những năm 80 của thế kỉ trước, D.Vogt đã đưa ra và có nhiều kết quả nghiên cứu về
các bất biến tôpô tuyến tính. Các bất biến này mở ra nhiếu ứng dụng cho giải tích phức. Một
trong những ứng dụng của chúng là nghiên cứu tính chỉnh hình của các ánh xạ chỉnh hình
theo từng biến, một bài toán nổi tiếng được đặt ra vào năm 1906 bởi Hartogs. Bài toán này
đã được nghiên cứu từ lâu và đã có nhiều kết quả quan trọng.
1. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành hình học có nhiều nội dung đề cập đến
hình học giải tích phức trong đó chủ yếu nói về các đa tạp phức. Ta biết rằng một hàm
chỉnh hình trên các đa tạp phức X × Y →  thì chỉnh hình theo từng biến. Tuy nhiên,
điều ngược lại có đúng không? Khi xét thêm một tập K ⊂ X , K ≠ ∅ thì một hàm chỉnh
hình theo từng biến thì chưa chắc là hàm chỉnh hình. Và với điều kiện nào thì một hàm
chỉnh hình theo từng biến f : K × Y →  có thể thác triển chỉnh hình? Việc tìm hiểu các
điều kiện cần và đủ về các không gian để các hàm chỉnh hình theo từng biến thì chỉnh
hình, và có thể thác triển chỉnh hình là một vấn đề mang tính chất thời sự. Công cụ để
nghiên cứu các kết quả này là các kiến thức về tôpô đại cương và giải tích hàm có liên
hệ mật thiết với hình học giải tích phức. Do đó tôi chọn đề tài này để củng cố kiến thức
của mình và bước đầu tìm hiểu về hình học giải tích phức hiện đại như hình học
hyperbolic. Theo chúng tôi đề tài này có tính hiện đại, thời sự và thiết thực đối với sự
phát triển của giải tích phức
2. Mục đích nghiên cứu:
Tương tự như lý do chọn đề tài tức là tìm hiểu các điều kiện cần và đủ về các không gian
để các hàm chỉnh hình theo từng biến thì chỉnh hình
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
1. Định nghĩa các không gian có tính chất DN , Ω, LB ∞ ..
2. Nghiên cứu các tính chất của các không gian này


3. Ứng dụng các tính chất của các không gian DN để nghiên cứu tính chỉnh hình của
những hàm chỉnh hình theo từng biến.

4. Phương pháp nghiên cứu:
Tiếp cận các kiến thức hiện đại về tôpô, giải tích hàm, giải tích phức để nghiên cứu các
không gian DN , Ω,..
5. Cấu trúc luận văn: 4 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ bản về tôpô và giải tích hàm.
Chương 2: Các kiến thức về hàm chỉnh hình.
Chương 3: Các bất biến tôpô tuyến tính.
Chương 4: Các kết quả về tính chỉnh hình của hàm chỉnh hình theo từng biến.


Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÔPÔ VÀ GIẢI TÍCH HÀM
Nội dung chính của luận văn này là sử dụng các kiến thức về bất biến tôpô tuyến tính để
nghiên cứu tính chỉnh hình của những hàm chỉnh hình theo từng biến. Các kiến thức về bất
biến tôpô tuyến tính là những kiến thức mới hiện đại và đang được phát triển bởi nhiều nhà
khoa học trong nước và quốc tế. Do đó để tiếp cận được các khái niệm này, chúng tôi bắt
đầu từ những kiến thức nền tảng để xây dựng các định nghĩa, tính chất về bất biến tôpô
tuyến tính. Các kiến thức này liên hệ mật thiết với các kiến thức về tôpô và giải tích hàm.
Do đó để thuận tiện cho việc theo dõi trong chương này chúng tôi giới thiệu các khái niệm
cơ bản về tôpô và giải tích hàm:
1. Không gian vectơ tôpô.
2. Không gian lồi địa phương.
3. Đối ngẫu của không gian lồi địa phương.
4. Tôpô xạ ảnh và tôpô quy nạp.
5. Không gian Fretchet và DF-không gian.
6. Định lý Baire.
1.1 Không gian vectơ tôpô.
1.1.1 Định nghĩa.
Cho E là một không gian vectơ trên trường K . Một tôpô τ trên E gọi là tương thích (với
phép toán đại số của E ) nếu phép cộng +: E × E → E và phép nhân vô hướng .: K × E → E
liên tục .

Ta gọi một không gian vectơ cùng một tôpô tương thích trên nó là một không gian vectơ
tôpô.
1.1.2 Tính chất.
Cho E là không gian vectơ tôpô. Khi đó:
a) Với mọi a ∈ E , phép tịnh tiến x  x + a là phép đồng phôi E lên E . Đặc biệt, U là
một cơ sở lân cận của 0 ∈ E thì a + U = { a + U : U ∈ U } là cơ sở lân cận của
a∈E .

b) Với mọi λ ∈ K , λ ≠ 0 , ánh xạ x  λ x là phép đồng phôi E lên E . Đặc biệt U là lân
cận của 0 ∈ E thì λU , λ ≠ 0 là lân cận của 0 .


Theo tính chất trên toàn bộ cấu trúc tôpô của E được xác định bởi một cơ sở lân cận của 0.
Sau này lân cận của 0 được viết tắt là lân cận.

Tập con A của một không gian vectơ E gọi là hút nếu

∞

 nA = E ; gọi là cân nếu

x ∈ A thì

n =1

với mọi λ ∈ K , λ ≤ 1 đều có λ x ∈ A .
1.1.3 Mệnh đề.
Nếu U là một cơ sở lân cận trong E thì với mọi U ∈ U
a) U là tập hút .
b) Tồn tại V ∈ U

sao cho V + V ⊂ U .

c) Tồn tại lân cận cân W sao cho W ⊂ U .

Chứng minh:
a) Mọi x ∈ E , ánh xạ f (λ ) = λ x liên tục tại λ = 0 , do đó tồn tại ε > 0 sao cho λ x ∈ U
với mọi λ ∈ K , λ ≤ ε . Chọn n sao cho

1
< ε ta có x ∈ nU .
n

b) Ánh xạ g ( x, y )= x + y liên tục tại =
x 0,=
y 0 nên tồn tại V1 , V2 ∈ U sao cho
V1 + V2 ⊂ U . Vì V1 ∩ V2 cũng là lân cận nên tồn tại V ∈ U , V ⊂ V1 ∩ V2 . Khi đó
V +V ⊂ U .

c) Ánh xạ h(λ , x) = λ x liên tục tại =
x 0 nên tồn tại lân cận V và ε > 0 sao cho
λ 0,=
λ x ∈ U khi λ ≤ ε , x ∈ V , hay λV ⊂ U khi λ ≤ ε . Do đó εV ⊂ µU khi µ ≥ 1 . Đặt
W =  µU . Ta có εV ⊂ W ⊂ U nên W là một lân cận chứa trong U . Nếu x ∈ W và
µ ≥1

µ
0 < λ ≤ 1 thì với µ ≥ 1 ta có x ∈ U . Suy ra λ x ∈ µU với µ ≥ 1 hay λ x ∈ W . Vậy
λ
W là tập cân.

1.1.4 Hệ quả.
Cho U là một cơ sở lân cận của không gian vectơ tôpô E . Khi đó E là Hausdorff nếu và
chỉ nếu

 U = {0} .

U ∈U


1.1.5 Tập bị chặn và hoàn toàn bị chặn.
Một tập con A của không gian vectơ tôpô E gọi là bị chặn nếu mọi lân cận U (của 0), tồn
tại λ ∈ K sao cho A ⊂ λU ( ta nói U hút tập A ).
Tập con A của một không gian vectơ tôpô E gọi là hoàn toàn bị chặn nếu mọi lân cận U
n

của 0 trong E , tồn tại hữu hạn các điểm x1 ,.., xn ∈ E sao cho A ⊂  ( xi + U ) .
i =1

1.2 Không gian lồi địa phương.

1.2.1 Định nghĩa.
Không gian vectơ tôpô Hausdorff gọi là không gian lồi địa phương nếu E có một cơ sở lân
cận gồm các tập lồi. Một tôpô biến E thành không gian lồi địa phương gọi là một tôpô lồi
địa phương (trên E ).
Tập A lồi và cân được gọi là tập tuyệt đối lồi.

1.2.2 Bổ đề.
Cho E là một không gian vectơ tôpô Hausdorff. Khi đó các điều kiện sau đây tương đương:
a) E là không gian lồi địa phương.

b) E có một cơ sở lân cận gồm các tập tuyệt đối lồi.
c) E có một cơ sở lân cận gồm các tập đóng tuyệt đối lồi.

Chứng minh:
c) ⇒ b) ⇒ a) là hiển nhiên.
Ta sẽ chứng minh a) ⇒ c). Giả sử U là một lân cận lồi. Do hệ quả 1.1.4 ta có thể giả thiết
U đóng. Chọn W như trong chứng minh c) của mệnh đề 1.1.3, ta có W cân. Mọi λ , λ ≥ 1 ,

λU là tập lồi và đóng. Vì W bằng giao của một họ các tập lồi và đóng nên cũng lồi và đóng.

Vậy W là lân cận đóng tuyệt đối lồi, W ⊂ U
Cho A là một tập con hút của không gian vectơ E . Khi đó
x A= inf {λ > 0 : x ∈ λ A} xác định một hàm từ E vào  , gọi là hàm cở hay phiếm hàm

Minkowski của tập A .


1.2.3 Bổ đề.
Cho E là một không gian lồi địa phương và p là một nửa chuẩn trên E . Khi đó
a) p liên tục nếu và chỉ nếu p liên tục tại 0 ∈ E .
b) p = . U ,U là một tập tuyệt đối lồi và hút thì p liên tục khi U là lân cận của 0 ∈ E và
0

U=
{ x ∈ E : p( x) < 1} ,U =
{ x ∈ E : p( x) ≤ 1} .

1.2.4 Hệ cơ bản các lân cận và các nửa chuẩn.
Cho không gian lồi địa phương E . Một họ U các lân cận của E gọi là một hệ cơ bản các
lân cận nếu thỏa mãn các điều kiện:

1) Mọi x ∈ E , x ≠ 0, tồn tại U ∈ U sao cho x ∉ U .
2) Mọi lân cận V của 0 ∈ E , tồn tại U ∈ U và ε > 0 sao cho εU ⊂ V .

{. }

Họ

α α ∈Λ

các nửa chuẩn trên E gọi là một hệ cơ bản các nửa chuẩn nếu hệ các tập

Uα =
{x ∈ E : x

< 1} là một hệ cơ bản các lân cận của E .

α

1.2.5 Định lý.
Mọi không gian lồi địa phương E đều có một hệ cơ bản các nửa chuẩn. Mọi hệ cơ bản các
nửa chuẩn { . α }α ∈Λ của E có các tính chất sau:
1) Mọi x ∈ E , x ≠ 0, tồn tại α ∈ Λ sao cho x α > 0

{

}

2) Mọi α , β ∈ Λ tồn tại γ ∈ Λ và C > 0 sao cho max . α , . β ≤ C . γ

Chứng minh:

Theo bổ đề 1.2.2, E có một cơ sở lân cận tuyệt đối lồi U . Theo bổ đề 1.2.3,

{. }U∈ U
U

là một họ các nửa chuẩn liên tục. Mọi lân cận V của 0, tồn tại U ∈ U

sao

cho U ⊂ V . Từ đó theo bổ đề 1.2.3 { x : x U < 1} ⊂ U ⊂ V
Vậy { . U } U ∈ U là một hệ cơ bản các nửa chuẩn của E .
Bây giờ giả sử

{. }

α α ∈Λ

là một hệ cơ bản các nửa chuẩn của E . Giả sử x ∈ E , x ≠ 0, do E

Hausdorff nên tồn tại lân cận W của 0 sao cho x ∉ W . Chọn α ∈ Λ và ε > 0 sao cho


εUα ⊂ W . Theo bổ đề 1.2.3,

1

ε

x ∉ U nên

1

ε

≥ 1 hay x

x
α

α

≥ ε > 0 . Ta có tính chất 1). Với

α , β ∈ Λ tùy ý, do Uα ∩ U β là lân cận của 0 nên tồn tại γ ∈ Λ và ε > 0 sao cho
εU γ ⊂ Uα ∩ U β . Đặt C =

1

ε

ta có tính chất 2)

Trường hợp đặc biệt hệ cơ bản các nửa chuẩn của không gian lồi địa phương E chỉ gồm
một nửa chuẩn thì dễ thấy nửa chuẩn đó phải là chuẩn và E lúc đó gọi là không gian khả
định chuẩn.

1.2.6 Ánh xạ tuyến tính liên tục.
Cho E và F là các không gian lồi địa phương với hệ cơ bản các nửa chuẩn ( pα )α∈A trong
E và ( qβ ) β ∈B trong F . Khi đó những điều sau đây là tương đương với mỗi ánh xạ tuyến

tính H : E → F :
1. H liên tục .
2. H liên tục tại 0.
3. Với mỗi β ∈ B tồn tại α ∈ A và C > 0 sao cho qβ ( Hx ) ≤ Cpα ( x ) với mọi x ∈ E .

Chứng minh:
1 ⇒ 2 là hiển nhiên.
2 ⇒ 3 Lấy β ∈ B bất kì, do H liên tục tại 0 nên tồn tại α ∈ A và ε > 0 sao cho

H (U α ,ε ( 0 ) ) ⊂ U β ,1 ( 0 ) . Vì vậy với x ∈ E sao cho pα ( x ) = 0 , tx ∈ U α ,ε ( 0 ) ∀t > 0 . Do đó
=
tqβ ( Hx ) qβ ( H ( tx ) ) < 1

∀t > 0 . Điều này suy ra qβ ( Hx )= 0 ≤ pα ( x ) . Với x ∈ E sao

cho pα ( x ) ≠ 0 , ta có:

=
qβ ( Hx )
Đặt C :=

2

ε

  ε x  2
pα ( x ) qβ  H 
  ≤ pα ( x ) .

ε

2
p
x
(
)
 ε
  α
2

ta có điều phải chứng minh.

3 ⇒ 1 Nếu xo ∈ E và lưới ( xτ )τ ∈T hội tụ đến xo , khi đó từ 3 suy ra với mỗi β ∈ B ,

qβ ( Hxτ − Hx
=
qβ ( H ( xτ − xo ) ) ≤ Cpα ( xτ − xo )
o)
Do ( xτ )τ ∈T hội tụ đến xo nên limτ ∈T pα ( xτ − xo ) =
0 với mỗi α ∈ A nên suy ra


limτ ∈T qβ ( Hxτ − Hxo ) =
0 suy ra H liên tục.
Cho E và F là các không gian lồi địa phương.
Ánh xạ tuyến tính A : E → F gọi là bị chặn địa phương nếu A ( B ) bị chặn trong F với
mọi tập con bị chặn B trong E .
Dễ thấy rằng nếu A liên tục thì A bị chặn địa phương.
Một ánh xạ tuyến tính A : E → F được gọi là đẳng cấu nếu A là một đồng phôi, E và F
được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một đẳng cấu A : E → F . Khi đó ta viết E ≅ F .
1.3 Đối ngẫu của không gian lồi địa phương.

1.3.1 Không gian đối ngẫu.
Cho E là một không gian vectơ tôpô trên trường K . Kí hiệu E ' = L ( E , K ) là không gian
các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E , E * = L ( E , K ) là không gian các phiếm hàm tuyến
tính trên E . Ta có E ' và E ∗ là các không gian vectơ trên K , E ' gọi là đối ngẫu của E , E ∗ gọi
là không gian đối ngẫu đại số của E .

1.3.2 Hệ đối ngẫu.
Cho E là một không gian vectơ. Không gian con F của E ∗ gọi là phân biệt các điểm của
E nếu mọi x1 , x2 ∈ E , x1 ≠ x2 tồn tại y ∈ F sao cho y ( x1 ) ≠ y ( x2 ) . Ta gọi cặp ( E , F ) trong đó
F là một không gian con của E ∗ phân biệt các điểm của E là một hệ đối ngẫu.

Cho ( E , F ) là một hệ đối ngẫu. Đồng nhất E với j ( E ) qua ánh xạ j : E → F *, j ( x)( y ) =
y ( x)
với mọi x ∈ E , y ∈ F , j là đơn ánh tuyến tính (do F phân biệt các điểm E ). Hiển nhiên
j ( E ) phân biệt các điểm của F . Do đó ( E , F ) là hệ đối ngẫu thì ( F , E ) cũng là hệ đối ngẫu.

Cho ( E , F ) là một hệ đối ngẫu. Tôpô lồi địa phương τ trên E sao cho ( E ,τ ) ' = F gọi là
tôpô của hệ đối ngẫu. Kí hiệu σ ( E , F ) là tôpô yếu nhất để mọi y ∈ F liên tục. Tôpô đó là
tôpô lồi địa phương sinh bởi họ các nửa chuẩn x  y ( x) hay là tôpô xác định bởi các hệ cơ


bản các nửa=
chuẩn pM ( x) sup y∈M y ( x) , M ∈ ε ( F ) , ε ( F ) là tập hợp của tất cả các tập con hữu
hạn của F .
Cho ( E , F ) là một hệ đối ngẫu và A ⊂ E . Ta gọi pôla của A ( trong F ) là tập


Ao =
 y ∈ F : sup y ( x) ≤ 1 .
A




1.3.3 Ánh xạ đối ngẫu.
Cho ánh xạ tuyến tính liên tục A : E → F . Ánh xạ đối ngẫu của A là ánh xạ A ' : F ' → E ' xác
định bởi: A '( y ) = y A với mọi y ∈ F ' .

Định lý Schauder: Cho E , F là các không gian Banach và A∈ L ( E , F ) Khi đó A
compact nếu và chỉ nếu A ' : F ' → E ' compact.

Chứng minh:
Ký hiệu U là hình cầu đơn vị của E . Nếu A compac thì
=
M

{y

A (U )

}

: y ∈ F ', y ≤ 1 ⊂ C ( A(U )) là bị chặn và đồng liên tục. Theo định lí Ascoli, M

compact tương đối. Với mọi y, z ∈ F ', A '( y ) =
A '( z ) ta có
=
y ( A( x)) ( =
A '( y )( x)) (=
A '( z ))( x) z ( A( x)) với mọi x ∈ E .

Từ đó ánh xạ tuyến tính ϕ : A '( F ') → C ( A(U )) xác định bởi ϕ ( A '( y )) = y
=
A '( y ) sup=
y ( A ( x ) ) sup
=
y (ξ ) sup
=
y (ξ )
y ≤1

ξ ∈A(U )

ξ ∈A(U )

A (U )

với mọi y ∈ F '

ϕ ( A '( y ))

Nên ϕ là đẳng cự.
Đặt V =
{ y ∈ F ' : y ≤ 1} , ta có ϕ ( A '(V ) ) = M . Do M compact tương đối nên A '(V ) compact
tương đối. Vậy A ' compact
Bây giờ nếu A ' là ánh xạ compact thì theo trên A '' : E '' → F '' compact. Kí hiệu
jE : E → E '', jF : F → F '' là phép nhúng chính tắc. Ta có A '' jE = jF  A là ánh xạ compact.

Do jF là phép đẳng cự nên suy ra A compact

1.3.4 Không gian phản xạ và không gian thùng.

1.3.4.1 Không gian phản xạ.
Cho E là một không gian lồi địa phương, ta kí hiệu E ' = ( E ', b∗ ) với tôpô mạnh
b∗ = b ( E ', E ) . Khi đó E '' = ( E ') ' cũng là một không gian lồi địa phương và ta có thể so sánh
E với E ''

Với mọi x ∈ E ta có phiếm hàm tuyến tính J ( x ) trên E ' xác định bởi: J ( x )( x ') = x ' ( x ) với
mọi x ' ∈ E ' . Vì J ( x=
)( x ') x '( x) ≤ p{x} ( x ') với mọi x ' ∈ E ' , ta có J ( x) ∈ E '' . Dễ thấy rằng
J : E → E '', x  J ( x) là đơn ánh tuyến tính

Tương tự trường hợp không gian định chuẩn, có thể đồng nhất E với không gian con
J ( E ) ⊂ E '' . Tuy nhiên tôpô trên E ≡ J ( E ) có thể không trùng với tôpô trên E cảm sinh bởi

tôpô trên E '' .
Không gian lồi địa phương E gọi là nửa phản xạ nếu E = E '' như các không gian vectơ và
gọi là phản xạ nếu E = E '' như là các không gian lồi địa phương.

Định lí: Không gian lồi địa phương E nửa phản xạ nếu và chỉ nếu mọi tập bị chặn trong E
là compact yếu tương đối.

1.3.4.2 Không gian thùng.
Cho E là một không gian lồi địa phương. Ta gọi b** là tôpô địa phương trên E cảm sinh
bởi tôpô trên E '' .
Cho tập M ⊂ E . M gọi là một cái thùng của E nếu M tuyệt đối lồi, đóng và hút, M gọi là
hút các tập bị chặn nếu mọi tập bị chặn B trong E , tồn tại λ > 0 sao cho B ⊂ λ M .
Không gian lồi địa phương gọi là không gian tựa thùng nếu mọi cái thùng hút các tập bị
chặn là lân cận của 0. Không gian lồi địa phương gọi là không gian thùng nếu mọi cái thùng
đều là lân cận của 0.

Bổ đề: Nếu E là không gian tựa thùng và mọi tập tuyệt đối lồi, đóng và bị chặn của E đều
là đĩa Banach thì E là không gian thùng.
Mọi không gian tựa thùng, đầy đủ theo dãy là không gian thùng.
1.4 Tôpô xạ ảnh và tôpô quy nạp.


1.4.1 Tôpô xạ ảnh.
Ta gọi một hệ xạ ảnh là một hệ có dạng {π i : E → Ei }i∈I trong đó E là không gian vectơ và
với mọi i ∈ I , Ei là không gian lồi địa phương, π i : E → Ei là ánh xạ tuyến tính.
Cho {π i : E → Ei }i∈I là một hệ xạ ảnh. Họ các nửa chuẩn


p



p

π
:
M
∈
ε
I
(
)
 với pi là nửa chuẩn liên tục trên Ei , i ∈ M là hệ cơ bản các
i
i

max
i∈M


nửa chuẩn của một tôpô lồi địa phương trên E , gọi là tôpô xạ ảnh trên E ứng với hệ xạ ảnh
đã cho.
Dễ thấy rằng ánh xạ tuyến tính Φ : E → Π X i , Φ ( x) =
(π i ( x))i∈I là một đẳng cấu giữa E với
i∈I

tôpô xạ ảnh và Φ ( E ) với tôpô tích. Tôpô xạ ảnh là tôpô yếu nhất để tất cả các ánh xạ π i liên
tục.

Định lý: Mọi không gian lồi địa phương E đều có tôpô xạ ảnh ứng với một hệ xạ ảnh phù
hợp của các không gian Banach.

Chứng minh:
Giả sử

{ }

α α ∈Λ

là một hệ cơ bản các nửa chuẩn của E . Ký hiệu Eα là không gian Banach

địa phương theo nửa chuẩn . α . Gọi τ là tôpô trên E tương ứng với hệ xạ ảnh

{λ

α

: E → Eα }

α ∈Λ

. Vì tất cả các ánh xạ λ α liên tục trên E nên τ yếu hơn tôpô trên E . Mặt

khác . α là τ - liên tục với mọi α ∈ Λ nên tôpô trên E yếu hơn tôpô τ . Vậy τ trùng với
tôpô xuất phát trên E .
1.4.2 Tôpô qui nạp . Giới hạn quy nạp.
Ta gọi một hệ quy nạp là một hệ có dạng { ji : Ei → E}i∈I , trong đó E là không gian vectơ và
với mọi i ∈ I , Ei là không gian lồi địa phương, ji : Ei → E là ánh xạ tuyến tính.
Cho hệ quy nạp { ji : Ei → E}i∈I . Nếu tồn tại một tôpô lồi địa phương mạnh nhất trên E để tất
cả các ánh xạ ji liên tục thì tôpô đó gọi là tôpô quy nạp trên E ứng với hệ quy nạp đã cho.
Cho hệ quy nạp đếm được { jn : En → E}n∈ thỏa mãn:
1) En là không gian con của E và jn : En → E là phép nhúng.
2) En ⊂ En +1 và phép nhúng En → En +1 liên tục với mọi n ∈  .


Nếu tồn tại tôpô quy nạp của hệ thì ( E ,τ ) gọi là giới hạn quy nạp của hệ

{ jn : En → E}n∈ .

Ký hiệu ( E ,τ ) = ind n→ En
Nếu 2) được thay bởi
2’) En là không gian tôpô con của En +1 với mọi n ∈  thì giới hạn quy nạp lúc đó gọi là giới
hạn quy nạp chặt.
1.4.3 Không gian chặn nội và siêu chặn nội.
Không gian lồi địa phương ( E , t ) gọi là không gian chặn nội nếu t là tôpô quy nạp ứng với
hệ { ji : Ei → E}i∈I của các không gian định chuẩn.

Không gian chặn nội còn có tên gọi là không gian bonologic hay không gian Mackey.

Định lý: Mọi không gian lồi địa phương khả mêtric là không gian chặn nội. Nếu E là
không gian chặn nội thì E ' là không gian đầy đủ.
Không gian lồi địa phương E gọi là không gian siêu chặn nội nếu E có tôpô của một hệ
quy nạp của một hệ { ji : Ei → E}i∈I của các không gian Banach.

Không gian Schwartz:
Không gian lồi địa phương E gọi là không gian Schwartz nếu mọi lân cận tuyệt đối lồi U
trong E , tồn tại lân cận tuyệt đối lồi V sao cho mọi ε > 0 , tồn tại các điểm x1 ,..., xn ∈ V để
n

cho V ⊂  ( xi + εU ) .
i =1

Không gian Montel:
Ta gọi không gian Montel là một không gian tựa thùng, mọi tập con bị chặn đều compact
tương đối.

Định lý: Nếu E là không gian Montel thì E ' cũng là không gian Montel.
1.5 Không gian Fretchet và DF- không gian.
1.5.1 Hệ cơ bản tăng các nửa chuẩn.
Cho E là không gian lồi địa phương có một hệ cơ bản các nửa chuẩn
thay . n bởi max .
1≤ j ≤ n

j

ta có thể giả thiết x n ≤ x

tính chất trên là hệ cơ bản tăng các nủa chuẩn.

n +1

{. }

n n∈

. Bằng cách

với mọi x ∈ E , n ∈  . Ta gọi một hệ có


1.5.2 Không gian Frechet.
Ta gọi một không gian lồi địa phương E cùng một mêtric đầy đủ sinh ra tôpô của E là
không gian Frechet.

Định lý: E là không gian Frechet, F là không gian con đóng của E thì E / F là không gian
Frechet.
1.5.3 DF- Không gian.
Một dãy các tập bị chặn {U n }n∈ của không gian lồi địa phương E gọi là một dãy cơ bản
các tập bị chặn nếu mọi tập bị chặn B của E tồn tại n ∈  và λ > 0 sao cho B ⊂ λU n .
Một không gian lồi địa phương E gọi là DF- không gian nếu có các tính chất sau:
1) E có một dãy cơ bản các tập bị chặn .
2) Nếu V ⊂ E là một tập hút các tập bị chặn và bằng giao của một dãy các lân
cận tuyệt đối lồi thì V là lân cận của 0 .

Định lý: Nếu E là không gian lồi địa phương khả mêtric thì E ' là DF- không gian đầy đủ.
Nếu E là DF- không gian thì E ' là không gian Frechet .

Hệ quả: Nếu E là không gian Frechet thì E '' là không gian Frechet và E có thể coi là
không gian con đúng của E '' .
1.6 Định lý Baire.
Cho ( X , Τ ) là một không gian tôpô Hausdorff, thỏa mãn một (hoặc hai) tính chất sau đây:
(A) Tồn tại một mêtric d trên X với ( X , d ) là một không gian mêtric đầy và Τ là một
tôpô mêtric.
(B) X là compact địa phương.
Giả sử có một dãy ( Fn )n≥1 các tập con đóng của X sao cho X =  n =1 Fn . Khi đó tồn tại số
∞

nguyên n ≥ 1 sao cho Int ( Fn ) ≠ ∅ .


Chương 2: CÁC KIẾN THỨC VỀ HÀM CHỈNH HÌNH
Như chương 1 chúng tôi đã trình bày, nội dung của luận văn là nghiên cứu tính chỉnh hình
của những hàm chỉnh hình theo từng biến. Các kiến thức về hàm chỉnh hình đã được học
trong chương trình giải tích phức. Tuy nhiên khi phối hợp với các kiến thức về giải tích hàm
để sử dụng các kiến thức về bất biến tôpô tuyến tính cần thêm nhiều kiến thức cơ bản hơn
nữa. Trong chương này, chúng tôi trình bày về lý thuyết các hàm chỉnh hình, các hàm chỉnh
hình theo từng biến để làm nền tảng cho các chương sau:
1. Định nghĩa của hàm chỉnh hình.
2. Các tính chất của hàm chỉnh hình.
3. Định nghĩa hàm chỉnh hình theo từng biến.
4. Hàm điều hòa, hàm đa điều hòa, hàm đa điều hòa dưới, hàm vét cạn.
5. Miền chỉnh hình, miền lồi chỉnh hình, miền giả lồi.
6. Tập giải tích, thành phần bất khả quy, quỹ tích kì dị.
7. Các khái niệm trong đa tạp phức.
8. Lý thuyết Stein.
9. Không gian giải tích, bó giải tích coherent trên đa tạp Stein.
2.1 Hàm chỉnh hình.

2.1.1 Hình cầu và đa dĩa.

Định
=
z :

nghĩa:
=
zz

Chuẩn

( z z)

n

Euclide

của

một

vectơ

z ∈ n

được

cho

bởi

.

Khoảng cách Euclide giữa hai vectơ z , w được cho bởi: dist ( z , w )=:

z−w .

Một chuẩn tương đương là chuẩn sup hoặc modun của một vectơ:
z := max zv
v =1,.., n

Br ( zo ) :=
{ z ∈ n : dist ( z, zo ) < r} được gọi là hình cầu bán kính r tâm zo

=
Đặt r

rv > 0 , zo ( z1(0) ,..., zn(0) ) ∈  n . Khi đó
( r1 ,.., rn ) ∈  n , tất cả=

{

}

P n ( zo , r ) :=z ∈  n : zv − zv(0) < rv , v =
1,..., n được gọi là đa đĩa (mở) với đa bán kính r và tâm
zo . Nếu D kí hiệu một đa đĩa trong C thì P n := P1n (0) = D × ... × D được gọi là đa đĩa đơn vị

quanh 0.

{

}

Biên đánh dấu của đa đĩa P n ( zo , r ) là tập hợp T n ( zo , r ) =z ∈  n : zv − zv(0) =rv , v =
1,.., n .
2.1.2 Chuỗi hội tụ và hàm chỉnh hình.
n

Đa thức:=
Cho v ( v1 ,..., vn ) ∈  n và z ∈  n định nghĩa v := ∑ vi và z v := z1v ...znv

n

1

i =1

Khái niệm v ≥ 0 ( tương ứng v > 0 ) nghĩa là vi ≥ 0 với mỗi i ( tương ứng v ≥ 0 và vi > 0 với ít
nhất một i ).
Một hàm có dạng: z  p ( z ) = ∑ av z v , với av ∈  được gọi là một đa thức( cấp nhỏ hơn
v ≤m

hoặc bằng m ). Nếu có một v với v = m và av ≠ 0 thì p( z ) được nói là có cấp m .
Cho M ⊂  n là một tập con bất kì, và { f v : v ∈  n } là một họ các hàm giá trị phức trên M .
Ta kí hiệu f v

M

:= sup f v .
M

Chuỗi

∑

v≥0

∑
fv

v >0

M

f v được gọi là hội tụ chuẩn tắc trên M nếu chuỗi những số thực dương

hội tụ.

Cho {av : v ∈  n } là một họ những số phức và zo ∈  n là một điểm. Khi đó

∑a (z − z )
v≥0

v

v

o

được gọi là chuỗi hội tụ về zo . Đây là một chuỗi các đa thức.
Ta nói chuỗi lũy thừa

∑a (z − z )
v≥0

v

o

v

hội tụ compact trong miền G nếu nó hội tụ chuẩn tắc

trên mỗi tập con compact K ⊂ G .
Cho B ⊂  n là một tập mở. Một hàm f : B → C được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi
=
U U ( zo ) ⊂ B và chuỗi lũy thừa=
zo ∈ B có một lân cận
S ( z) :

∑a (z − z )
v≥0

v

o

v

hội tụ trên U

đến f ( z ) .
Tập hợp các hàm chỉnh hình trên B được kí hiệu là H ( B ) .

Hàm khả vi phức:
Định nghĩa: Cho B ⊂  n là một tập mở, zo ∈ B . Một hàm f : B → C được gọi là khả vi
phức tại zo nếu tồn tại một ánh xạ ∆ : B →  n sao cho những điều sau đây đúng:
1. ∆ liên tục tại zo
2. f ( =
z ) f ( zo ) + ( z − zo ) .∆ ( z ) với z ∈ B
t


f khả vi phức tại zo thì f liên tục tại đó.

Một hàm f được gọi là khả vi phức trong một tập mở B nếu nó khả vi phức tại mỗi điểm
của B . Khi đó đạo hàm từng phần của f được kí hiệu là f z trên B .
v

Tổng, tích, và thương của các hàm khả vi phức là khả vi phức.

Hàm chỉnh hình yếu:
Cho B ⊂  n là một tập mở, zo ∈ B và f là một hàm giá trị phức trên B . Với w ∈  n , w ≠ 0
đặt ϕ w :  →  n được xác định: ϕ w (ζ )=: zo + ζ w
Khi đó f  ϕ w (ζ ) xác định với ζ

đủ nhỏ. Nếu f khả vi phức tại zo thì ta có

f (=
z ) f ( zo ) + ( z − zo ) .∆ ( z ) , với ∆ liên tục tại zo . Suy ra:
t

f (ϕ w ( ζ ) ) − f (ϕ w ( 0 ) ) =
ζ w.∆ (ϕ w (ζ ) ) , và f  ϕ w là khả vi phức tại ζ = 0 với
t

1

w. ( zo ) =
( f  ϕw ) ' ( 0 ) =∆
lim
ζ →0 ζ
t

 f (ϕ w (ζ ) ) − f (ϕ w ( 0 ) ) 

Đây là đạo hàm có hướng phức của f tại zo theo hướng w . Ta kí hiệu Dw f ( zo ) . Đặc biệt
f zv ( zo ) = Dev f ( zo ) với v = 1,.., n .

Một hàm f được gọi là khả vi từng phần tại zo nếu tất cả các đạo hàm từng phần De f ( zo )
v

tồn tại với v = 1,.., n .
Một hàm f được gọi là chỉnh hình yếu trên B nếu nó liên tục và khả vi từng phần trên B .
Nếu f khả vi phức trên B thì f chỉnh hình yếu trên B .
2.1.3 Các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình.

Mệnh đề: Nếu B ⊂  n là một tập mở, và f : B →  là một hàm chỉnh hình khi đó f là khả
vi phức trên B .

Chứng minh: Cho zo ∈ B là một điểm bất kì. Do f chỉnh hình nên có một chuỗi lũy thừa
S ( w)

hội

tụ

compact

gần

0

đến

một

hàm

chỉnh

hình

g sao

cho

f ( zo + w=
) g ( w=) g (0) + w1.∆1 ( w) + ... + wn .∆ n ( w) với các hàm ∆1 ,..., ∆ n liên tục. Suy ra f khả

vi phức tại zo .

Tích phân Cauchy:


n
Cho r = ( r1 ,.., rn )=
∈  n+ , P P=
( 0, r ) , T T n ( 0, r ) và f là một hàm liên tục trên T . Khi đó:

k f ( z, ζ ) :
=

f (ζ )
=
(1,.., n )
(ζ − z )

f (ζ 1 ,.., ζ n )
xác định một hàm liên tục k f : P × T →  .
(ζ 1 − z1 ) ... (ζ n − zn )

Định nghĩa:
dζ n
dζ 1
 1 
 1 

...
C f ( z ) : =
 ∫ k f ( z, ζ ) dζ : 
 ∫ ... ∫ f (ζ )
(ζ 1 − z1 ) (ζ n − zn )
 2π i  T
 2π i =
 ζ1 r1=
ζ n rn
n

n

được gọi là tích

phân Cauchy của f trên T . Rõ ràng C f là hàm liên tục trên P .

Định lý ( Công thức tích phân Cauchy):
Cho P, T như trên và U = U ( P) là lân cận mở của tập đóng của P . Nếu f chỉnh hình yếu
trên U thì C f

T (z)

= f ( z ) với z ∈ P .

Chứng minh:
Nếu =
P Dr (0) × ... × Dr (0) , ta giả sử rằng U = U1 × ... × U n , với lân cận mở U i = U i ( Dr (0) ) , với
n

1

i

lấy z '
i = 1,..., n . Vì f là chỉnh hình yếu, ta có thể =

( z1 ,.., zn−1 ) ∈U1 × ... × U n−1 cố định và áp

dụng công thức tích phân Cauchy cho hàm một biến ζ n  f ( z ', ζ n ) . Với zn ∈ Dr ( 0 ) , suy ra
n

f ( z ', zn ) =

=
z ''

f ( z ', ζ n )
1
dζ n .
2π i ζ n∫= rn ζ n − zn

Tương

tự

với

biến

gần

cuối

zn −1

và

( z1 ,..., zn−2 ) ∈U1 × ... × U n−2 , ta đạt được :

f ( z '', zn −1 , zn )

f ( z '', ζ n −1 , zn )
f ( z '', ζ n −1 , zn )
1
 1 
d ζ n −1 
d ζ n d ζ n −1
=

∫
∫
∫
2π=
i ζ n−1 rn−1 ζ n −1 − zn −1
 2π i =
ζ n−1 rn=
ζ n rn (ζ n −1 − zn −1 )(ζ n − zn )
−1

và sau n bước, f ( z ) = C f

2

T ( z)

với z ∈ P .

Định lý (Osgood): Cho B ⊂  n là một tập mở. Những phát biểu sau đây về hàm
f : B →  là tương đương:

1. f chỉnh hình.
2. f khả vi phức .
3. f chỉnh hình yếu.

Chứng minh:
Ta đã biết rằng một hàm chỉnh hình f là khả vi phức và do đó f chỉnh hình yếu.


Ngược lại cho f : B →  chỉnh hình yếu và zo ∈ B là điểm bất kì. Có một đa đĩa nhỏ P
quanh zo mà nó compact tương đối trong B . Nếu T là biên đánh dấu của nó, thì
f

P

= Cf

T

và Công thức Cauchy là giới hạn của một chuỗi lũy thừa. Vì vậy f chỉnh hình.

Hơn nữa f chỉnh hình yếu trên B , zo ∈ B và P compact tương đối trong B . Khi đó có một
chuỗi lũy thừa
=
S ( z)

∑

av ( z − zo ) hội tụ đến f trên P .
v

v≥0

Định lý duy nhất:
Cho f1 , f 2 là hai hàm chỉnh hình trên miền G ⊂  n . Nếu có một tập con khác rỗng U ⊂ G
sao cho f1

U

= f2

U

thì khi đó f1 = f 2 .

Chứng minh: Ta có các định nghĩa sau:
Cho v
=

( v1 ,..., vn ) ∈  n . Khi đó

v !:= v1 !...vn ! .

f khả vi phức tại zo thì khi đó D v f ( zo ) :=

∂ f
( zo ) .
v1
∂ z1 ...∂ vznn
v

Ta xét f=: f1 − f 2 và tập N :=
0, ∀v} . Khi đó N ≠ ∅ vì U ⊂ N . Cho zo ∈ G
{z ∈ G : Dv f ( z ) =
là một điểm bất
kì và f ( z )
=

1

∑ v !D
v≥0

v

f ( zo ) ( z − z0 ) là khai triển thành chuỗi lũy thừa của f

=
V V ( zo ) ⊂ G . Nếu zo ∈ N thì f
trong lân cận

v

V

≡ 0 và V ⊂ N . Suy ra N là tập mở. Vì tất

cả các đạo hàm D v f liên tục, N là đóng. Vì G là một miền nên nó liên thông. Do đó ta có
N = G và f1 = f 2 .

Nguyên lý cực đại:
Cho G ⊂  n là một miền, f : G →  là một hàm chỉnh hình. Nếu có một điểm zo ∈ G sao
cho f đạt cực đại địa phương tại zo thì f là hằng số.

Chứng minh:
Ta xét ánh xạ ϕ w :  →  n với ϕ w (ζ =
) zo + ζ w , với w ≠ 0 bất kì. Khi đó f  ϕw là hàm chỉnh
hình môt biến phức, xác định gần ζ = 0 . Vì f  ϕ w đạt cực đại tại gốc, hàm này phải là
hằng số trong một lân cận của gốc. Nhưng hướng w được chọn tùy ý vì vậy f cũng là hằng
số trong một lân cận của 0 ∈  n . Theo định lý duy nhất suy ra rằng f là hằng số trên G .