sử dụng số phức để nghiên cứu một số tính chất trong tam giác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC

Đề tài :

SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ NGHIÊN CỨU
MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRONG TAM
GIÁC

GVHD : Th.S LÊ NGÔ HỮU LẠC THIỆN
SVTH : TRẦN HUỲNH ANH
LỚP :

TOÁN 5C – VŨNG TÀU

Niên khóa 2007 – 2012
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, THÁNG 5 NĂM 2012


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Mục lục
LỜI MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1 : MỘT SỐ LÝ THUYẾT CƠ BẢN ................................................................ 2
I. TỔNG QUAN VỀ SỐ PHỨC ....................................................................................... 2
1. Biễu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ. ................................................................ 2

2. Tọa độ liên hợp. ....................................................................................................... 2
3. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức. .............................................................. 2
4. Vectơ và số phức. ..................................................................................................... 3
5. Các phép toán số phức. ............................................................................................. 3
5.1 Phép cộng. ........................................................................................................... 3
5.2 Phép trừ. .............................................................................................................. 3
5.3 Phép nhân. ........................................................................................................... 4
5.4 Phép chia. ........................................................................................................... 5
6. Căn bậc n của đơn vị. ................................................................................................ 5
6.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức. ...................................................................... 5
6.2 Căn bậc n của đơn vị. .......................................................................................... 6
II. NHỮNG PHÉP BIẾN HÌNH CƠ BẢN ....................................................................... 8
1. Phép biến hình. ......................................................................................................... 8
2. Phép tịnh tiến............................................................................................................ 8
3. Phép quay. ................................................................................................................ 9
4. Phép vị tự. ................................................................................................................ 9
5. Hệ thức giữa ba điểm. ............................................................................................ 10
6. Đối xứng trục. ........................................................................................................ 10
7. Phép nghịch đảo. .................................................................................................... 11
8. Điểm vô tận trong mặt phẳng Gauss. ..................................................................... 11
9. Tích của các phép biến hình. ................................................................................... 12
10. Phép đối hợp.......................................................................................................... 13


III. TỈ SỐ KÉP ................................................................................................................ 14
1. Định nghĩa và giải thích. ........................................................................................ 14
2. Các tính chất. .......................................................................................................... 14
3. Trường hợp có một điểm ở vô tận. ........................................................................ 15
4. Tỉ số kép thực. ........................................................................................................ 15
IV. ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN .................................................................. 17

1. Đường thẳng. ........................................................................................................... 17
1.1. Điểm chia đoạn thẳng. ...................................................................................... 17
1.2. Phương trình tham số. ...................................................................................... 18
1.3. Phương trình tổng quát. .................................................................................... 18
1.4. Điều kiện trực giao, thẳng hàng. ...................................................................... 20
2. Đường tròn. ............................................................................................................ 20
2.1. Phương trình tổng quát. .................................................................................... 20
2.2. Phương trình tham số. ...................................................................................... 21
CHƯƠNG 2 : SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT
TRONG TAM GIÁC .......................................................................................................... 23
1. Tích thực của hai số phức. ...................................................................................... 23
2. Tích phức của hai số phức....................................................................................... 24
3. Tâm tỉ cự và một số điểm đặc biệt trong một tam giác. .......................................... 27
4. 9 điểm của đường tròn Euler. ................................................................................ 29
5. Các khoảng cách đặc biệt trong tam giác. .............................................................. 31
5.1 Các bất biến cơ bản của tam giác. .................................................................... 32
5.2 Khoảng cách OI. ................................................................................................ 33
5.3 Khoảng cách ON. .............................................................................................. 34
5.4 Khoảng cách OH. ............................................................................................. 35
6 Khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng của tam giác. ................................... 36
6.1 Tọa độ tỷ cự. ...................................................................................................... 36
6.2 Khoảng cách giữa hai điểm theo các tọa độ tỷ cự. ........................................... 37
7. Diện tích của một tam giác theo tọa độ tỷ cự......................................................... 38
8 Các tam giác trực giao............................................................................................. 41


8.1 Đường thẳng Simpson và tam giác thủy túc. ................................................... 41
8.2 Điều kiện cần và đủ về tính trực giao. .............................................................. 45
CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ............ 47
1. Dạng 1: Sử dụng tích thực và tích phức để chứng minh tính vuông góc, thẳng

hàng và song song. ...................................................................................................... 47
2. Dạng 2 : Các bài toán liên quan đến đường tròn 9 điểm Euler. .............................. 51
3. Dạng 3: Chứng minh các tam giác trực giao........................................................... 54
4. Dạng 4: Một số bài toán tổng hợp. .......................................................................... 57
KẾT LUẬN ........................................................................................................................ 69
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 70


LỜI MỞ ĐẦU
Số phức xuất hiện từ thế kỷ XIX do nhu cầu phát triển của toán học về giải
những phương trình đại số. Kể từ khi ra đời, số phức đã có rất nhiều ứng dụng trong
các lĩnh vực khác nhau của Toán học. Một trong những ứng dụng quan trọng là dùng
số phức như một công cụ để đưa ra cách giải một số dạng toán trong tam giác ngắn
gọn và đơn giản hơn cách giải thông thường. Tuy nhiên, việc nắm vững các khái niệm,
tính chất liên quan và việc sử dụng số phức để giải các bài toán là một vấn đề khó đòi
hỏi chúng ta phải tìm tòi và biết vận dụng kiến thức đa dạng của số phức trong toán
học.
Vì vậy, em đã chọn đề tài ‘‘SỬ DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ NGHIÊN CỨU MỘT
SỐ TÍNH CHẤT TRONG TAM GIÁC’’ trong bài khóa luận tốt nghiệp của mình.
Bài khóa luận nhằm mục đích bổ sung các kiến thức cơ bản về số phức, sử dụng số
phức như là một công cụ để tìm hiểu các tính chất và giải các dạng toán trong tam
giác.
Nội dung của bài khóa luận gồm ba chương :
Chương I : Giới thiệu một số lý thuyết cơ bản về số phức.
Chương II : Sử dụng số phức để nghiên cứu một số tính chất trong tam giác.
Chương III : Sử dụng các lý thuyết trong chương II giải một số dạng toán trong tam
giác.
Do hạn chế về thời gian và kiến thức nên bài khóa luận không tránh khỏi những
thiếu sót và hạn chế. Em rất mong nhận được ý kiến nhận xét, đóng góp quý báu của
Quý thầy cô và các bạn.

Em đặc biệt cảm ơn thầy LÊ NGÔ HỮU LẠC THIỆN đã dành nhiều thời gian
và công sức để đọc, hướng dẫn và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn
thành bài khóa luận này.
Em cũng xin chân thành cảm ơn QUÝ THẦY CÔ và BAN CHỦ NHIỆM
KHOA TOÁN đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn chúng em trong suốt quá trình học
tập tại trường và đã tạo điều kiện cho em thực hiện bài khóa luận này.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2012.
Sinh viên thực hiện
Trần Huỳnh Anh


CHƯƠNG 1 : MỘT SỐ LÝ THUYẾT CƠ BẢN
I. TỔNG QUAN VỀ SỐ PHỨC
1. Biễu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ.
Xét số phức z  x  iy ( x , y   ).
Trong mặt phẳng cho hai trục tọa độ Ox , Oy vuông góc nhau. Điểm Z (x , y )
được gọi là điểm biểu diễn, hay là ảnh hình học (ảnh) của số phức z .
Ngược lại, với mỗi điểm thực Z 1(x 1, y1 ) trong mặt phẳng tọa độ cho ta duy nhất
một số phức z 1  x 1  iy1 , z 1 được gọi là tọa độ phức của điểm Z 1 .
Mặt phẳng mà trong đó mỗi điểm thực được xem như ảnh của một số phức
được gọi là mặt phẳng Gauss, mặt phẳng Cauchy, hoặc là mặt phẳng biến phức.
Hệ quả.
10. Trục Ox là quỹ tích ảnh của các số thực. Trục Oy là quỹ tích ảnh của các
số ảo. Đó là lí do tại sao Ox và Oy thỉnh thoảng được gọi là trục thực và trục ảo của
mặt phẳng Gauss.
20. Số –z là tọa độ phức của điểm đối xứng với điểm Z qua gốc tọa độ O.
2. Tọa độ liên hợp.
Số phức liên hợp với z  x  iy luôn xác định và được kí hiệu z  x  iy đọc
là “ z ngang”. Ảnh Z của số phức z là điểm đối xứng với điểm Z qua trục Ox .
3. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức.

Cho một số phức z  x  iy , ta có thể viết z ở dạng lượng giác

z  r (cos q  i sin q ),
trong đó r  x 2  y 2  [0, ) được gọi là mođun của z và q  [0, 2p) là số đo của

góc giữa vectơ OZ và trục Ox theo chiều dương được gọi là argument của z .
Cho z  0 , môđun và argument của z được xác định duy nhất.
Xét z  r (cos q  i sin q ) và đặt t  q  k 2p , k   .
Khi đó

z  r [cos(t  k 2p)  i sin(t  k 2p)]  r (cos t  i sin t ),
nghĩa là số phức bất kì z được biễu diễn dưới dạng
z  r (cos t  i sin t ), trong đó r  0, t  .
Đặt Argz  t : q  2k p, k   được gọi là argument mở rộng của số phức z .
Do đó, hai số phức z 1, z 2  0 có biễu diễn dạng lượng giác
z 1  r1(cos t1  i sin t1 );

z 2  r2 (cos t2  i sin t2 )



r1  r2
bằng nhau khi và chỉ khi 


t  t  2k p, k  .

1 2
* Sử dụng công thức Euler cos q  i sin q  e iq , số phức z  x  iy có thể
được viết như sau z  re iq được gọi là dạng mũ của z .

Khi z  0 , ta chọn r  0 và q tùy ý.
Ta có : z  re iq .
4. Vectơ và số phức.


Ảnh Z của số phức z được xác định khi ta biết vectơ OZ . Khi đó ta nói rằng
số phức z được biểu diễn bởi vectơ này. Số phức và vectơ có môđun bằng nhau và ta
có thể nói rằng argument của số phức cũng chính là argument của vectơ.
5. Các phép toán số phức.
5.1 Phép cộng.
Nếu n số phức z k  x k  iyk (k  1, 2,.., n ) có n ảnh Z k thì tổng của chúng là
z  z 1  z 2  ...  z n (1)

có ảnh Z được xác định bởi phương trình hình
  

học OZ  OZ 1  OZ 2  ...  OZ n (2).
Giả sử Z x , y  . Ta tìm tọa độ của Z dựa
vào phương trình (2). Bằng cách lấy đại số trên
trục Ox , sau đó trên trục Oy , ta có được hai
phương trình đại số x   x k , y = yk .
phương trình (1).

Do đó x  iy   (x k  iyk ) , đây chính là

5.2 Phép trừ.
Nếu các số phức z 1, z 2 được biểu thị
 
bởi các vectơ OZ 1, OZ 2 thì hiệu số
z  z1  z 2

được biểu thị bởi hiệu số hình học
  
OZ  OZ 1  OZ 2
của những vectơ tương ứng.


Ta có z  z 1  (z 2 )  z 1  z 2 .
Điểm Z 2 đối xứng với Z 2 qua O.
    
Từ mục 5.1, ta có OZ  OZ 1  OZ 2  OZ 1  OZ 2 (3).
Hệ quả:


 

Phương trình (3) được viết lại OZ  Z 2Z 1 , vì vậy Z 2Z 1 giống như OZ biểu thị

hiệu z 1  z 2 .
5.3 Phép nhân.
Nếu các số phức z 1, z 2 được biểu thị bởi
 
các vectơ OZ 1, OZ 2 thì tích
z  z 1z 2


được biểu thị bởi vectơ OZ có được từ vectơ


OZ 1 theo cách như sau:


0
1 . Quay vectơ OZ 1 quanh O một góc bằng với

argument của vectơ OZ 2 .

20. Nhân vectơ vừa thu được với mođun của

vectơ OZ 2 .
Nếu r1, r2 và q1, q2 lần lượt là mođun và argument của z 1, z 2 thì ta có
iq

iq

z 1  r1e 1 , z 2  r2e 2 .
Vì vậy z  z 1z 2  r1r2e

i (q1 q2 )

.

Khi đó arg z   q1  q2 và mođun của z là r1r2  OZ 1.OZ 2 .
Ta lấy điểm U trên trục Ox có hoành độ 1 . Điểm Z mà ta tìm kiếm chính là đỉnh
thứ ba trong tam giác OZ 1Z đồng dạng với tam giác OUZ 2 với


OZ 1
OZ

(Ox ,OZ )  q1  q2,

.
OZ 2 OU  1


5.4 Phép chia.

 
z
Nếu các số phức z 1, z 2 được biểu thị bởi các vectơ OZ 1, OZ 2 thì tỉ số z  1
z2


được biểu thị bởi vectơ OZ được tạo ra từ vec tơ OZ 1 theo cách như sau:

0
1 . Quay OZ 1 quanh O một góc bằng

với  arg(OZ 2 ) .

20. Chia vectơ vừa thu được cho

mođun của vectơ OZ 2 .
Sử dụng mục 5.3, dựng điểm Z là ảnh hình
học của z và z 

r1 i (q1 q2 )
.
e
r2

Điểm Z là đỉnh thứ ba của tam giác OZ 1Z
đồng dạng với tam giác OZ 2U .
Như vậy ta đã thực hiện phép chia như là trường hợp ngược lại của phép nhân.
6. Căn bậc n của đơn vị.
6.1 Định nghĩa căn bậc n của số phức.
Xét số nguyên dương n  2 và một số phức z 0  0 . Phương trình
Z n  z0  0

(1)

được dùng định nghĩa căn bậc n của số phức z 0 . Ta gọi nghiệm Z của phương trình
(1) là một căn bậc n của z 0 .
Định lí. Đặt z 0  r (cos q  i sin q ) là một số phức với r  0 và q  [0, 2p).
Căn bậc n của z 0 gồm n nghiệm phân biệt được cho bởi công thức

Z k  n r (cos

q  2k p
q  2k p
 i sin
), k  0,1,..., n  1.
n
n

Chứng minh.
Biểu diễn số phức Z dạng lượng giác, tức là Z  r (cos j  i sin j ) .
Theo định nghĩa, ta có Z n  z 0  r n (cos nj  i sin nj )  r (cos q  i sin q )


r  n r

n


r

r
 


q
2p


nj  q  2k p, k  
, k  .

jk   k


n
n




Vậy nghiệm của phương trình (1) là

Z k  n r (cos jk  i sin jk ), k   .

Lưu ý rằng 0  j 0  j1  ...  jn 1  2p, do đó jk , k  0,1,..., n  1 là các

argument. Ta có n nghiệm phân biệt của z 0 là Z 0 , Z 1,..., Z n 1.
Ta chứng minh phương trình có đúng n nghiệm phân biệt.

Xét số nguyên k bất kì, và đặt r  0,1,..., n  1 là phần dư của k chia cho n . Khi
đó k  nq  r , q   và jk 
Rõ ràng Z k  Z r . Do đó

Z

k

q
q
2p
2p
 (nq  r )
 r
 2q p  jr  2q p.
n
n
n
n

: k    Z 0, Z 1,..., Z n 1  .

Nói cách khác phương trình có đúng n nghiệm phân biệt.
Biểu diễn hình học của các căn bậc n của số phức z 0  0 là các đỉnh của một

n giác đều nội tiếp đường tròn có tâm tại gốc tọa độ và bán kính n r .
Để chứng minh điều này, ta kí hiệu các điểm M 0 , M 1,..., M n 1 với các tọa độ

phức Z 0 , Z 1,..., Z n 1 . Vì OM k  Z k  n r , k  0,1,..., n  1 nên M k  C (0; n r ) .


Mặt khác, số đo của cung M
M k 1 bằng với
k

arg Z k 1  arg Z k 

q  2(k  1)p  (q  2k p) 2p

, k  0,1,..., n  2
n
n

2p
2p


p


2
(
n
1)
.
suy ra M
bằng
M

n 1
0
n
n



Bởi vì tất cả các cung M
M 1, M
M 2 ,...., M
M 0 đều bằng nhau nên đa giác
0
1
n 1
M 0M 1...M n 1 đều.

6.2 Căn bậc n của đơn vị.
Một nghiệm của phương trình Z n  1  0 gọi là một căn bậc n của đơn vị.
Vì 1  cos 0  i sin 0 , từ công thức tìm căn bậc n của số phức, ta suy ra căn bậc n
của đơn vị là

ek  cos

2k p
2k p
 i sin
, k  0,1, 2,..., n  1
n
n

Suy ra, ta có

e0  cos 0  i sin 0  1; e1  cos

2p
2p
 i sin
 e;
n
n


e2  c os

2(n  1)p
2(n  1)p
4p
4p
 i sin
 e 2 ; en 1  c os
 i sin
 e n 1;
n
n
n
n

Kí hiệu U n  1, e, e 2 ,..., e n 1  . Mỗi phần tử của U n là lũy thừa của e .

Biểu diễn hình học của căn bậc n của đơn vị là các đỉnh của một đa giác đều

với n cạnh nội tiếp đường tròn đơn vị với gốc O và bán kính 1.
Ta xét một vài giá trị đặc biệt của n .
i. Với n  2 , căn bậc hai của 1 là (nghiệm của phương trình Z 2  1  0 ) 1 và 1 .
ii. Với n  3 , căn bậc 3 của đơn vị (nghiệm của phương trình Z 3  1  0 ) được
cho bởi

ek  cos
Do đó e0  1, e1  cos

2k p
2k p
 i sin
, k  0,1, 2 .
3
3

2p
2p
1
3
 i sin
  i
e
3
3
2
2

4p
4p

1
3
 i sin
  i
 e 2.
3
3
2
2
Ta biểu diễn tam giác đều nội tiếp đường tròn C (0;1) như hình dưới đây.
và e2  cos

iii. Với n  4 , căn bậc 4 của đơn vị là

ek  cos

2k p
2k p
 i sin
, k  0,1, 2, 3 .
4
4

p
p
 i sin  i
2
2
3p
3p

e2  cos p  i sin p  1; e3  cos
 i sin
 i.
2
2

 e0  cos 0  i sin 0  1; e1  cos


Tức là U 4  1, i, i 2, i 3   1, i,  1,  i  . Biểu diễn hình học của chúng là hình
vuông nội tiếp đường tròn C (0;1) .

II. NHỮNG PHÉP BIẾN HÌNH CƠ BẢN
1. Phép biến hình.
Phép đặt tương ứng với mỗi điểm Z cho duy nhất một điểm Z  trong mặt
phẳng Gauss tạo thành một phép biến hình trong mặt phẳng và được kí hiệu là w .
Ta chỉ xét đến một phép biến hình mà trong đó:
10. với mỗi điểm Z có tương ứng một điểm duy nhất Z  ;
20. mỗi điểm Z  là sự tương ứng của một điểm Z .
Như vậy phép biến hình w là một - một; điểm Z  là ảnh của điểm Z .
Phép đặt tương ứng mỗi điểm Z  cho ta điểm Z được gọi là phép biến hình
ngược của w , kí hiệu w 1 và Z  được gọi là ảnh ngược của Z .
Phương trình của một phép biến hình w là sự liên hệ giữa tọa độ phức z của
điểm Z tùy ý trong mặt phẳng và tọa độ phức z  của điểm Z  tương ứng với Z .

2. Phép tịnh tiến.
Đặt A là một điểm cho trước và Z là một điểm tùy ý trong mặt phẳng và đặt a
và z là các tọa độ phức của chúng.
 




Điểm Z mà ZZ  OA được gọi là ảnh của Z trong phép tịnh tiến theo vectơ OA .
  
Khi đó, ta có OZ   OZ  OA .
Phương trình của phép tịnh tiến là
z  z a
Khi a  , a  0 , phép tịnh tiến trên song
song với trục Ox . Nếu a  0 , phép tịnh tiến quy về


phép biến hình đồng nhất với phương trình z   z biến mỗi điểm trong mặt phẳng
thành chính nó.

3. Phép quay.
Gọi A là một điểm cho trước với tọa độ phức
là a , và a là một số thực cho trước, dương, bằng 0,
hoặc âm. Phép quay quanh A một góc có giá trị đại
số a biến mỗi điểm Z trong mặt phẳng thành điểm
Z .
 
Các vectơ AZ , AZ biểu thị các số phức


z   a, z  a . Khi đó AZ  thu được từ AZ bằng
phép quay, ta có
z   a  (z  a )e ia .
Khi đó, phương trình của phép quay góc a quanh điểm có tọa độ phức a là
z   ze ia  a(1  e ia )
Hệ quả. Khi ta quay một góc a  p (hoặc a  p) quanh A , ta có phép đối

xứng tâm A , khi đó

e ip  cos p  i sin p  1 ,
Phương trình của nó là z   z  2a .
4. Phép vị tự.
Một điểm A cho trước có tọa độ phức a
và một số thực k  0 .Ta đặt một trục tùy ý trên
đường thẳng chứa điểm A và một điểm Z bất kì.
Lấy điểm Z  bất kì trên trục sao cho

AZ 

k .

AZ
Khi đó, Z  được gọi là ảnh của Z qua phép vị tự
tâm A tỉ số k.


Ta có AZ   kAZ
hay z   a  k (z  a ).
Phương

trình

của

phép

vị

tự

z   kz  a(1  k ) .

Chú ý. Giá trị 1,  1 của k cho ta phép đồng nhất và phép đối xứng tâm A.

là


5. Hệ thức giữa ba điểm.

Ba điểm cho trước A, B, C với các tọa độ phức
lần lượt là a, b, c . Nếu AB, AC là giá trị đại số của
các đoạn trên trục a1, a2 được đặt một cách tùy ý trên
đường thẳng AB, AC thì

c  a  (b  a )e

i (a1 ,a 2 )

AC

,
AB
trong đó (a1, a2 ) là góc định hướng có a1 là cạnh đầu và
a2 là cạnh cuối.

Ta có phương trình
c  a  AC .e

b  a  AB.e

Suy ra

i (x ,a 2 )

i (x ,a1 )

c a
AC i[(x ,a2 )(x ,a1 )]

e
.
b a
AB

Theo hệ thức Mobius (a1,a2 )  x , a2  – x , a1  ta thu được phương trình cần tìm.
6. Đối xứng trục.
Trên một đường thẳng cho trước lấy hai điểm A, B . Gọi điểm Z  là điểm đối
xứng với điểm Z qua đường thẳng AB. Gọi d1, d2 là các trục được đặt một cách tùy ý
trên đường thẳng AZ và BZ . d1 và d2 lần lượt là các trục đối xứng với d1, d2 qua
đường thẳng AB. Ta có

a  z  (b  z )e

i (d2 ,d1 )

a  z   (b  z )e

.

ZA

(1)

ZB

i (d2 ,d1 )

.

ZA  Z A, ZB  Z B,

Z A
(2)
Z B

(d2, d1)  (d2, d1 ) (3)

Ta thay mỗi số trong phương trình (1) bằng
dạng liên hợp của nó, ta được:

a  z  (b  z )e

i (d2 ,d1 )

.

ZA
ZB

(4)


Nếu ta chia phương trình (2) cho phương trình (4), vế theo vế, kết hợp với (3),
ta có được phương trình của phép đối xứng có dạng
a z b z

a z
b z

a z a z

b z b z

hoặc
hoặc

z 

a b

z

(5)

ab  ab

.
(6)

a b
a b
Chú ý. Nếu đường thẳng AB trùng trục Ox thì a, b   , suy ra

a  a, b  b. Khi đó, phương trình (6) trở thành z   z .

7. Phép nghịch đảo.
Gọi p là phương tích của phép nghịch đảo cực
M có tọa độ phức m ; d là một trục được đặt một cách
tùy ý trên đường thẳng chứa điểm M và một điểm Z
nào đó trong mặt phẳng.
Z  là nghịch đảo của Z qua phép nghịch đảo có
phương tích p cực M nếu MZ .MZ   p (7)
Ta có

z  m  MZ .e i (x ,d )

(8)

z   m  MZ .e i (x ,d )

(9)

Thay mỗi số trong phương trình (8) bằng dạng liên hợp của nó, ta được:
z  m  MZe i (x ,d ) (10)
Ta nhân phương trình (9) với phương trình (10), vế theo vế và kết hợp (7), ta nhận
được phương trình của phép nghịch đảo cực M phương tích p là

(z   m )(z  m )  p
hoặc

z 

mz  p  mm

.
z m
Chú ý. Khi M trùng O và p  1 , phương trình của phép nghịch đảo là

z 

1
z

.

8. Điểm vô tận trong mặt phẳng Gauss.
Mặt phẳng Gauss (được gắn với hệ tọa độ phức) chỉ chứa một điểm tại vô tận
tương ứng với z bằng vô cực.


Do cực M của phép nghịch đảo không có ảnh nên ta bổ sung cho mặt phẳng
Gauss một điểm tại vô tận và điểm này chính là ảnh của cực M .
9. Tích của các phép biến hình.
Xét phép biến hình w1 biến điểm Z thành điểm Z 1 , ta viết Z 1  w1[Z ] và phép
biến hình w2 biến điểm Z 1 thành một điểm Z 2 ta viết Z 2  w2 [Z 1 ].
Khi đó, ta có Z 2  w2 w1[Z ] hay ta có thể viết Z 2  w2w1[Z ] (11)
Phép biến hình w cho phép ta biến trực tiếp điểm Z thành điểm Z 2 được gọi là tích
các phép biến hình w1, w2 được thực hiện theo thứ tự này.
Phương trình (11) và Z 2  w(Z ) cho phép ta quy ước w  w2w1 .

Trong kí hiệu tích w2w1 , thừa số thứ hai w1 được thực hiện đầu tiên trong phép biến
đổi.
Thí dụ:
10. Tích của hai phép tịnh tiến. Gọi a1, a2
là các số phức được biểu thị bởi các vectơ
 
OA1, OA2 Xét hai phép tịnh tiến w1 theo


vectơ OA1 và w2 theo vectơ OA2 .
Nếu điểm Z biến thành Z 1 qua w1 và
Z 1 biến thành điểm Z 2 qua w2 , tức là

z 1  z  a1 (12)
z 2  z 1  a2 (13)

thì phương trình của phép biến hình w2w1 cho phép biến đổi trực tiếp từ điểm Z
thành Z 2 là:
z 2  z  a1  a 2 .

 
Điều này chứng tỏ rằng tích w2w1 là một phép tịnh tiến của vectơ OA1  OA2 .

Điều này cũng được suy ra bởi vì ta có
    
ZZ 2  ZZ 1  Z 1Z 2  OA1  OA2 .
20 . Tích của hai phép quay.


Gọi a1, a2 lần lượt là tọa độ phức của các tâm A1 và A2 của phép quay góc có

giá trị đại số a1, a2 .
Nếu phép quay w1 biến điểm Z thành Z 1
và phép quay w2 biến điểm Z 1 thành điểm Z 2 ,
tức là

z 1  ze

ia1

z 2  z 1e

ia2

ia

 a1(1  e 1 )
ia

 a2 (1  e 2 )

thì phương trình của phép biến hình w2w1 mà
biến điểm Z thành điểm Z 2 là

z 2  ze

i (a1 a2 )

ia

 a1(1  e 1 )e

ia2

ia

 a2 (1  e 2 ) (14).

+ Trường hợp 1: Các phép quay w1 , w2 có cùng tâm nghĩa là A1  A2  A hay
a1  a2  a ( a là tọa độ phức của A ) thì (14) biểu diễn một phép quay tâm A , góc

quay là a1  a2 .
+ Trường hợp 2: Các phép quay w1 , w2 khác tâm.
Nếu e

i (a1 a2 )

 1 hay a1  a2  2k p (k  ) thì (14) biểu diễn một phép tịnh

tiến.
Nếu a1  a2  2k p (k  ) thì (14) biểu diễn một phép quay tâm A(a ) , góc
ia

quay là a1  a2 , trong đó a 

a1(1  e 1 )e

ia2

1 e

 a2 (1  e

i ( a1 a2 )

ia2

).

10. Phép đối hợp.
Một phép biến hình w được gọi là phép đối hợp nếu qua w điểm Z biến thành
điểm Z  và điểm Z  cũng biến thành Z .
Tích của hai phép biến hình đối hợp w là phép đồng nhất nghĩa là

ww  1 hoặc w 2  1 .
Hơn nữa, ta thấy rằng một phép biến hình là đối hợp nếu bình phương của nó là phép
đồng nhất.
Nếu nhân hai vế của phương trình trên với w 1 , ta được
www 1  w 1 hay w  w 1 .

Do đó, một phép biến hình là đối hợp nếu nó đồng nhất với nghịch đảo của nó.


Phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép nghịch đảo là các phép đối hợp.
III. TỈ SỐ KÉP
1. Định nghĩa và giải thích.
Tỉ số kép (A.R.) của bốn điểm phân biệt Z 1, Z 2 , Z 3 , Z 4 trong mặt phẳng
Gauss, theo thứ tự đó được định nghĩa thông qua
các tọa độ phức z 1, z 2, z 3, z 4 được kí hiệu
(Z 1Z 2Z 3Z 4 ) hoặc (z 1z 2z 3z 4 ) và

(z 1z 2z 3z 4 ) 

z1  z 3 z1  z 4
:
.
z2  z 3 z2  z 4

Ta đặt các trục tùy ý a13 , a14 , a23, a24
trên các đường thẳng Z 1Z 3 , Z 1Z 4 , Z 2Z 3, Z 2Z 4
có thể phân biệt hoặc trùng nhau. Giả sử

(x , y )  

p
, ta có (II. 5)
2
z1  z 3
Z Z i (a ,a ) z  z 4
Z Z i (a ,a )
 3 1 e 23 13 ; 1
 4 1 e 24 14 .
z2  z 3
z2  z 4
Z 3Z 2
Z 4Z 2

Khi đó

(z 1z 2z 3z 4 )  (Z 1Z 2Z 3Z 4 )  (

Z 1Z 3

:

Z 1Z 4

Z 2Z 3 Z 2Z 4

Nếu ta chọn các trục a13 , a14 , a23, a24 sao cho

)e

i [(a23 ,a13 )(a24 ,a14 )]

Z 1Z 3

:

Z 1Z 4

Z 2Z 3 Z 2Z 4

dương thì tỉ số này là

mođun của tỉ số kép và một argument là (a23, a13 )  (a24 , a14 ).
Điều này xảy ra tương tự nếu ta lấy
( z 1z 2z 3z 4 )  (Z 1Z 2Z 3Z 4 )  (

Z 1Z 3
Z 2Z 3

:

Z 1Z 4
Z 2Z 4

)e

 
 
i [(Z 2Z 3 ,Z1Z 3 )(Z 2Z 4 ,Z1Z 4 )]

.

2. Các tính chất.
10. Tỉ số kép của bốn điểm có giá trị không thay đổi nếu ta thay đổi vị trí hai
điểm bất kì và cùng lúc ta thay đổi vị trí hai điểm còn lại; ta nhận được giá trị nghịch
đảo nếu thay đổi vị trí hai điểm đầu hoặc hai điểm cuối; ta nhận được phần bù đối với
đơn vị nếu ta thay đổi vị trí hai điểm chính giữa hoặc hai điểm ngoài cùng.
20. Với 4 điểm ta có thể có tạo thành 24 tỉ số kép, biểu thị nhiều nhất 6 giá
trị và 3 trong số những giá trị này nghịch đảo với 3 giá trị kia.


(Z 1Z 2Z 3Z 4 )  (Z 2Z 1Z 4Z 3 )  (Z 3Z 4Z 1Z 2 )  (Z 4Z 3Z 2Z 1 )  l;
1
;
l
(Z 1Z 3Z 2Z 4 )  (Z 3Z 1Z 4Z 2 )  (Z 2Z 4Z 1Z 3 )  (Z 4Z 2Z 3Z1 )  1  l;

(Z 1Z 2Z 4Z 3 )  (Z 2Z 1Z 3Z 4 )  (Z 4Z 3Z 1Z 2 )  (Z 3Z 4Z 2Z 1 ) 

(Z 1Z 3Z 4Z 2 )  (Z 3Z 1Z 2Z 4 )  (Z 4Z 2Z 1Z 3 )  (Z 2Z 4Z 3Z 1 ) 

1
;
1l

(Z 1Z 4Z 2Z 3 )  (Z 4Z 1Z 3Z 2 )  (Z 2Z 3Z1Z 4 )  (Z 3Z 2Z 4Z1 ) 

l 1
;
l

(Z 1Z 4Z 3Z 2 )  (Z 4Z 1Z 2Z 3 )  (Z 3Z 2Z 1Z 4 )  (Z 2Z 3Z 4Z1 ) 

l
.
l 1

1
l 1
, (Z 1Z 4Z 2Z 3 ) 
của tỉ số kép có
1l
l
được bằng cách giữ có định điểm đầu tiên và hoán vị vòng tròn ba điểm còn lại là ba tỉ
số cơ bản của tỉ số kép.
40. Nếu bốn điểm phân biệt thì tỉ số kép của chúng khác 1, 0,  .
30. (Z 1Z 2Z 3Z 4 )  l , (Z 1Z 3Z 4Z 2 ) 

1
1

z  z 2 z1  z 4
50. Ta có (Z 1Z 2Z 3Z 4 )  1
.
1
1

z1  z 2 z1  z 3

3. Trường hợp có một điểm ở vô tận.
Ta kí hiệu  cho cả điểm ở vô tận trong mặt phẳng Gauss và tọa độ phức
của nó.
Ta định nghĩa
 z  z z  z  z  z
3
4
1
3
(Z 1Z 2Z 3)  lim (z 1z 2z 3z 4 )  lim  1
: 1
.
 
Z 4 
Z 4   z  z
z2  z 4  z2  z 3
 2
3
Do đó, để xây dựng tỉ số kép cho các điểm ở vô cực không phải ở vị trí thứ tư ta sẽ

mang điểm đó thay vào vị trí này. Vì vậy,
(Z 1Z 3Z 4 )  (Z 3Z 4Z 1) 

z 3  z1
.
z 4  z1

Hệ quả. Với mỗi số phức z , tỉ số kép được xác định bởi điểm Z , điểm U
trên trục Ox có hoành độ bằng 1, gốc O, và một điểm ở vô tận cho ta
(ZUO )  (Z 10)  z .
4. Tỉ số kép thực.
Để tỉ số kép của bốn điểm Z 1, Z 2 , Z 3, Z 4 trong mặt phẳng phức là thực điều
kiện cần và đủ là những điểm này phải cùng thuộc một đường thẳng hoặc cùng thuộc


một đường tròn. Khi đó tỉ số kép này cũng được xét tương tự như tỉ số kép được xét
trong hình học sơ cấp.
Ta có
 Z Z Z Z 

i [(a ,a )(a ,a )]
(Z 1Z 2Z 3Z 4 )   1 3 : 1 4 e 23 13 24 14 (1),
 Z Z Z Z 
2 3
2 4
điều kiện cần và đủ để tỉ số này thực là với n   ta có
(a23 , a13 )  (a24 , a14 )  np

(2)

Trường hợp 1: Các điểm Z 1, Z 2 , Z 3 thẳng hàng.
Với n1   ta có (a23, a13 )  n1p
Suy ra (a24 , a14 )  (n1  n )p.
Suy ra Z 4 thuộc đường thẳng Z 1Z 2 .
Chọn các trục a13 , a14 , a23, a24 sao cho chúng trùng nhau. Khi đó phương trình (1)
trở thành
(Z 1Z 2Z 3Z 4 ) 

Z 1Z 3

:

Z 1Z 4

Z 2Z 3 Z 2Z 4

và nó giống với định nghĩa tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng được cho trong hình học
sơ cấp.
Trường hợp 2: Các điểm Z 1, Z 2 , Z 3 không thẳng hàng.
Các điểm cùng xác định trên đường tròn g .
Định hướng a13, a23, a14 từ Z 3 về phía Z 1 , từ
Z 3 về phía Z 2 , và từ Z 4 về phía Z 1 ; chọn

chiều dương của a24 sao cho trong phương
trình (2) số nguyên n là chẳn. Khi đó phương
trình trở thành
(a24 , a14 )  (a23, a13 )  2n2p, (n2  )
và suy ra
điểm Z 4 nằm
trên đường

tròn g .
Các điểm Z 3, Z 4 có thể thuộc hoặc không thuộc một
cung chung xác định bởi các điểm Z 1, Z 2 .


Nếu điểm M là điểm chính giữa của cung không chứa Z 3 thì các đường thẳng
MZ 3 , MZ 4 là đường phân giác trong của các góc (a23 , a13 ), (a24 , a14 ) và giao với

đường thẳng Z 1Z 2 tại Z 3, Z 4 .
Trong cả hai trường hợp (Hình 16 và hình 17) ta đều có
Z 1Z 3
Z 2Z 3



Z 1Z 3
Z 2Z 3

,

Z 1Z 4
Z 2Z 4



Z 1Z 4
Z 2Z 4

.

Và phương trình (1) trở thành (Z 1Z 2Z 3Z 4 )  (Z 1Z 2Z 3Z 4 ).
Ta kết luận rằng tỷ số kép là thực bằng với tỉ số kép xác định bởi bốn điểm
Z 1, Z 2 , Z 3 , Z 4 của đường tròn g trong hình học sơ cấp.
Ngược lại, nếu các điểm Z 1, Z 2 , Z 3, Z 4 thẳng hàng hoặc cùng nằm trên cùng một
đường tròn thì ta có phương trình (2) và từ phương trình (1) suy ra tỉ số kép
(Z 1Z 2Z 3Z 4 ) là thực.
IV. ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
1. Đường thẳng.
1.1. Điểm chia đoạn thẳng.
Nếu z 1, z 2 , z lần lượt là tọa độ phức của các điểm Z 1, Z 2 và Z . Khi đó Z
chia đoạn thẳng Z 1Z 2 theo tỉ số là k 

Z 1Z
ZZ2

.

z 1  kz2
(1)
1k
Trong hình học giải tích, ta biết rằng nếu (x 1, y1 ), (x 2, y2 ), (x , y ) lần lượt là tọa độ của

Ta có z 

Z 1, Z 2 , Z trong hệ tọa độ Descartes thì

x

x 1  kx2
,

1k

y

y1  ky2
.
1k

Vì z  x  iy, z 1  x 1  iy1, z 2  x 2  iy2
nên ta có phương trình (1).



 OZ  kOZ
1
2
Kết quả này cũng suy ra từ phương trình vectơ OZ 
.
1k

Hệ quả. Với k  1 ta có tọa độ phức trung điểm của đoạn thẳng Z 1Z 2 là
z

z1  z 2
.
2


1.2. Phương trình tham số.

Nếu một đường thẳng đi qua điểm A a  và song song với đường thẳng nối gốc

O và điểm B b  thì phương trình tham số của nó
là

z  a  bt  

(2)
trong đó t là tham số thực xác định trong khoảng
(, ) .
Nếu Z là điểm bất kì của đường thẳng thì
  
OZ  OA  AZ ,


Nhưng vì AZ  tOB với t là biến số thực ứng
 

với điểm Z nên OZ  OA  tOB.
Suy ra z  a  bt  , đây chính là phương trình (2).
Kết quả này cũng có thể suy ta từ phương trình tham số của đường thẳng


x  a1  b1t


y  a2  b2t


trong đó (a1, a2 ) , (b1, b2 ) là các tọa độ Descartes của hai điểm A, B.

Hệ quả:
10. Mỗi đường thẳng thực chứa điểm vô tận của mặt phẳng Gauss.
20. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm Z 1(z 1 ), Z 2 (z 2 ) là:
z  z 1  (z 1  z 2 )t

30. Ba điểm Z 1, Z 2 , Z 3 thẳng hàng, với t là một số thực, ta có:
z 3  z 1  t(z 1  z 2 )


 Z 1Z 3  tZ 2Z 1 .

1.3. Phương trình tổng quát.
Phương trình tổng quát của đường thẳng trong mặt phẳng Gauss có dạng:

az  az  b  0 (b  ) (3).
Đường thẳng này luôn đi qua điểm có tọa độ phức là 

b
và vuông góc với véctơ
2a

biểu diễn số a .
Thật vậy, phương trình tổng quát của đường thẳng trong tọa độ Descartes là
ax  b y  g  0 (a, b , g  ).
Khi đó các điểm thực Z (z ) của đường thẳng này thỏa mãn phương trình:


a(z  z ) 

b

(z  z )  2g  0  a(z  z )  i b (z  z )  2g  0
i

 (a  i b )z  (a  i b )z  2g  0
Nếu đặt a  a  i b , a  a  i b , b  2g thì ta được phương trình (3).

b
.
2a
Đường thẳng song song với đường thẳng có phương trình (3) và qua gốc O có
phương trình
Vì b là số thực nên b  b suy ra phương trình (3) đi qua điểm 

az  az  0
và qua những điểm có tọa độ phức là ia và do đó vuông góc với véctơ kẻ từ O đến
điểm có tọa độ phức là a .
Hệ quả:
10. Phương trình đường thẳng qua hai điểm Z 1(z 1 ), Z 2 (z 2 ) là:

z
z1
z2

z 1
z1 1  0
z 1

(4)

2

Phương trình (3) chứa Z 1, Z 2 nếu

az 1  az 1  b  0

(5)

az 2  az 2  b  0

(6)

Hệ phương trình tuyến tính (3), (5), (6) có nghiệm (a, a, b) không tầm thường nên ta
có phương trình (4).
20. Ba điểm Z 1, Z 2 , Z 3 thẳng hàng nếu:

z1
z2
z3

z1

1

z2 1  0
z 1
3

30. Đường thẳng qua điểm Z 1(z 1 ) và song song với vectơ biểu diễn số phức c
là:

z z 1
z1 z 1  0
1
c c 0


Thật vậy, đường thẳng chứa điểm có tọa độ phức z 1  c và nó thỏa mãn phương trình
(4).
1.4. Điều kiện trực giao, thẳng hàng.

Trong mục này ta xét 4 điểm phân biệt M i (z i ), i  1, 2, 3, 4 .
Tính chất 1. Các điểm M 1, M 2, M 3 thẳng hàng khi và chỉ khi

z 3  z1
 .
z 2  z1

Chứng minh.


Ta có M 1, M 2, M 3 thẳng hàng khi và chỉ khi M
M 1M 3  0, p .
2
Suy ra arg

z 3  z1
z  z1
 0, p  3
   , thỏa yêu cầu.
z 2  z1

z 2  z1

Tính chất 2. Các đường thẳng M 1M 2 và M 3M 4 trực giao khi và chỉ khi
z1  z 2
 i .
z3  z4

Chứng minh.
 p 3p 


Ta có M 1M 2  M 3M 4  (M 1M 2, M 3M 4 )  
 , 


2 2 



 arg

z1  z 2 
z  z2
 p 3p 


 i .
 , 
 1
z3  z4 

z3  z4
2 2 




Chú ý. Giả sử M 2  M 4 . Khi đó M 1M 2  M 3M 4 

z1  z 2
 i .
z 3  z2

2. Đường tròn.
2.1. Phương trình tổng quát.
Phương trình tổng quát của đường tròn trong mặt phẳng Gauss có dạng:

zz  az  az  b  0

(1)

trong đó b   , tọa độ phức của tâm là ( a ) và bình phương bán kính là ( aa  b ).
Trong hệ trục tọa độ Descartes, mỗi đường tròn có phương trình dạng

x 2  y 2  2ax  2b y  g  0 , a, b , g   .
Tọa độ của tâm là (a,  b ) và bình phương bán kính là a 2  b 2  g . Nếu

a 2  b 2  g  0 ta có đường tròn thực và nếu a 2  b 2  g  0 thì ta có đường tròn
ảo.

Trong mặt phẳng phức, phương trình của đường tròn là

zz  a(z  z )  i b (z  z )  g  0
 zz  (a  i b )z  (a  i b )z  g  0
Nếu ta đặt a  i b  a, a  i b  a, g  b (2) thì ta được dạng phương trình (1).
Từ các phương trình (2) ta tìm được tọa độ phức của tâm và bình phương bán kính là

a  i b  a, a 2  b 2  g  (a  i b )(a  i b )  g  aa  b.
2.2. Phương trình tham số.
Trong mặt phẳng Gauss, phương trình
at  b
(3)
ct  d
trong đó a, b, c, d là các hằng số phức thỏa ad  bc  0 (4) và t là tham số có thể
lấy tất cả các giá trị thực, biểu diễn:
z

d
là số thực.
c
20. một đường tròn trong tất cả các trường hợp còn lại.

10. một đường thẳng nếu c  0 hoặc

* Khi c  0 , ta có ad  0 ( do (4)), và phương trình (3) trở thành z 
biểu diễn một đường thẳng.

a
b
t ,

d
d

1
* Khi d  0 , ta có bc  0 . Ta đặt T  , phương trình (3) trở thành
t
b
a
z  T  , phương trình này cũng biểu diễn một đường thẳng.
c
c
* Khi cd  0 . Xét các giá trị t, 1, 0,  của tham số t tương ứng với việc tìm
quĩ tích các điểm Z (z ) , Z 1(z 1 

a
b
a b
) , Z 0 (z 0  ) , Z  (z   ).
c
d
c d

Với các điểm Z 1, Z 0, Z  phân biệt, ta có:

z1  z 0 

bc  ad
bc  ad
ad  bc
, z1  z  

, z0  z  
,
c(c  d )
d (c  d )
cd

thỏa mãn (4).
Hơn nữa, (zz 1z 0z  ) 

z  z0 z  z
:
z1  z 0 z1  z 

(ad  bc)t bc  ad
d (ct  d ) c(ct  d )
:

 t.
ad  bc
bc  ad
d (c  d ) c(c  d )