hàm đơn điệu trên trường phi archimedean

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

TẠ HOÀNG ANH

HÀM ĐƠN ĐIỆU TRÊN TRƯỜNG
PHI ARCHIMEDEAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

TẠ HOÀNG ANH

HÀM ĐƠN ĐIỆU TRÊN TRƯỜNG
PHI ARCHIMEDEAN
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin gởi đến PGS.TS. Mỵ Vinh Quang, người thầy đã tận tình
hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn, lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc nhất.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS. Bùi Tường Trí, PGS.TS. Bùi Xuân
Hải, TS Trần Huyên, PGS.TS. Trần Tuấn Nam và tất cả các thầy cô khác đã trực
tiếp giảng dạy, trang bị cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình học tập và
nghiên cứu.
Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý thầy cô phòng Sau Đại học trường Đại học
Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập và
hoàn thành luận văn.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, người thân, đồng nghiệp và bạn bè đã động
viên, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2011

Tạ Hoàng Anh


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN ................................................................................ 3
1.1 Khái niệm cơ bản .................................................................................................... 3
1.2 Chuẩn phi Archimedean ......................................................................................... 5
1.3 Chuẩn trên  .......................................................................................................... 7
1.4 Xây dựng trường số p-adic  p ............................................................................ 10
1.5 Khai triển p-adic của phần tử trong  p ............................................................... 14
Chương 2.HÀM ĐƠN ĐIỆU TRÊN TRƯỜNG PHI ARCHIMEDEAN ................. 18
2.1 Mở đầu .................................................................................................................. 18
2.2 Dấu của một phần tử trong  p ............................................................................ 19

2.3 Hàm đơn điệu loại α ............................................................................................ 27
2.4 Hàm đơn điệu kiểu σ............................................................................................. 30
2.5 Đơn điệu không có loại ....................................................................................... 41
KẾT LUẬN ................................................................................................................... 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 53


BẢNG KÝ HIỆU
:

Tập hợp các số tự nhiên

:

Tập hợp các số nguyên

:

Tập hợp các số hữu tỉ

:

Tập hợp các số thực

* :

Tập hợp các số thực khác 0

+ :

Tập hợp các số thực dương

p:

Trường số p – adic

 p* :

Nhóm nhân các số p – adic khác 0

 p+ :

Tập các phần tử dương của  p

p:

Tập các phần tử của  p có chuẩn bé hơn hoặc bằng 1

:

Chuẩn p – adic

:

Chuẩn trên trường

p

:

Đẳng cấu nhóm

Ba (r − ) : Hình cầu mở tâm a, bán kính r

Ba (r ) :

Hình cầu đóng tâm a, bán kính r


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích phi Archimedean là một chuyên ngành mới của Toán học đang phát
triển và có nhiều ứng dụng, đặc biệt là trong lý thuyết số hiện đại. Vào những năm
40 của thế kỷ XX, giải tích phi Archimedean đã phát triển một cách mạnh mẽ và trở
thành một chuyên ngành độc lập nhờ vào việc phát hiện những mối liên hệ sâu sắc
giữa giải tích p – adic với những vấn đề lớn của số học và hình học đại số.
Trong giải tích phi Archimedean, do trường phi Archimedean khác với
trường số thực là nó không là trường sắp thứ tự nên khái niệm hàm đơn điệu trên
trường phi Archimrdean khó có thể xây dựng tương tự như trên trường số thực.
Đồng thời nó cũng có những tính chất khác lạ so với hàm đơn điệu trên trường số
thực.
Chính vì vậy, chúng tôi quyết định chọn đề tài “ Hàm đơn điệu trên trường
phi Archimedean ”.
2. Mục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Chúng tôi cố gắng xây dựng định nghĩa, các khái niệm hàm đơn điệu trên
trường phi Archimedean.
Nghiên cứu các tính chất của hàm đơn điệu phi Archimedean, trong sự so
sánh với hàm đơn điệu trên trường số thực.
3. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Luận văn sẽ xây dựng được khái niệm mới là hàm đơn điệu trên trường phi

Archimedean và làm sáng tỏ sự giống nhau và khác nhau giữa hàm đơn điệu trên
trường phi Archimedean và hàm đơn điệu trên trường số thực.
4. Cấu trúc luận văn
Luận văn được phân bố trong hai chương với nội dung cụ thể như sau:

Chương I: Kiến thức cơ bản


Chương này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích p –
adic. Chẳng hạn như chuẩn trên một trường, các tính chất chung, đặc biệt là
khái niệm chuẩn phi Archimedean, xây dựng trường phi Archimedean, khai
triển p – adic của phần tử trong  p và một số tính chất cần thiết cho chương
sau.
Chương II: Hàm đơn điệu trên trường phi Archimedean
Trong chương này chúng tôi sẽ xây dựng khái niệm hàm đơn điệu trên
trường phi Archimedean, các khái niệm này được xem như là khái niệm
tương tự phi Archimedean của hàm đơn điệu trên trường số thực. Mặc dù
trên trường phi Archimedean không có cấu trúc thứ tự.
Chương này cũng nghiên cứu các tính chất của hàm đơn điệu trên trường
phi Archimedean.


Chương 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN
Chương này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích p – adic.
Chẳng hạn như chuẩn trên một trường, các tính chất chung, đặc biệt là khái niệm
chuẩn phi Archimedean, xây dựng trường phi Archimedean, khai triển p – adic của
phần tử trong  p và một số tính chất cần thiết cho chương sau.

1.1 Khái niệm cơ bản
1.1.1 Định nghĩa
Cho F là một trường bất kỳ.
Ánh xạ • : F → 

x x
được gọi là một chuẩn trên trường F nếu thỏa các điều kiện sau:
i).

x ≥ 0, ∀x ∈ F. x = 0 ⇔ x = 0

ii). xy
=

x y , ∀x , y ∈ F

iii). x + y ≤ x + y , ∀x , y ∈ F

Nếu e là đơn vị của F thì ta có:

e = e.e = e e ⇔ e

( e − 1) =0

⇔ e = 1.

Nếu x1 , x2 ,..., xn ∈ F thì theo ii) ta có: x1.x2 ...xn = x1 x2 ... x .
n
Đặt biệt, x=

x , ∀x ∈ F .
n

1.1.2 Ví dụ
i). F =  hoặc F =  thì hàm giá trị tuyệt đối thông thường
một chuẩn trên F.
ii). F =  thì hàm modulo

: F →  là chuẩn trên F

iii). Nếu F là một trường bất kỳ. Ta định nghĩa ánh xạ:

: F →  là


• :F →
1, x ≠ 0
x x =
0, x = 0

Khi đó, • là một chuẩn trên F, gọi là chuẩn tầm thường.
1.1.3 Nhận xét
Nếu F là trường hữu hạn (có hữu hạn phần tử) thì trên F có duy nhất một
chuẩn là chuẩn tầm thường.
Chứng minh
Giả sử • : F →  là một chuẩn, trường F có q phần tử với phần tử đơn vị là
e.
+ Nếu x = 0 thì x = 0
+ Nếu ∀x ≠ 0, x ∈ F . Vì F * là nhóm nhân cấp (q – 1)

e ⇒ x
Khi đó: x q −1 =

q −1

=
x q −1 =
e =
1.

Suy ra: x = 1 .
Vậy • là chuẩn tầm thường.
1.1.4 Mệnh đề (các tính chất cơ bản của chuẩn)
Cho • là một chuẩn trên trường F có đơn vị 1, ∀x ∈ F . Khi đó:
i). 1 = −1 =1 ∈ 
ii). − x =
x
iii).=
x −1

1
, x ≠ 0.
x

1.1.5 Định nghĩa (chuẩn tương đương)


Cho • , •
1

2

là hai chuẩn trên trường F. Ta nói chuẩn • và •
1

đương (ký hiệu là: •  • ) nếu {xn} là dãy Cauchy theo chuẩn •
1

2

1

2

tương

khi và chỉ

khi {xn} là dãy Cauchy theo chuẩn • .
2

m ,n →+∞

{xn} ⊂ F là dãy Cauchy theo chuẩn • nếu xm − xn → 0 . Tức

là: ∀ε > 0, ∃no ∈  : n, m > no ⇒

xm − xn < ε

1.1.6 Định lý (các điều kiện tương đương của chuẩn)

Cho F là một trường, • , •
1

là hai chuẩn trên trường F. Các điều sau

2

đây là tương đương:
i). ∀x ∈ F , x < 1 ⇔ x
1

2

ii). ∀x ∈ F , x ≤ 1 ⇔ x
1

iii). ∃c > 0 : ∀x ∈ F , x

2

<1

2

≤1

=x

c
1

iv). •  • .
1

2

1.2 Chuẩn phi Archimedean
1.2.1 Định nghĩa
Cho F là một trường, • là chuẩn trên F. Khi đó • được gọi là chuẩn phi
Archimedean nếu thỏa điều kiện:

{

}

iii′). x + y ≤ max x , y , ∀x , y ∈ F.

Một chuẩn không là chuẩn phi Archimedean gọi là chuẩn Archimedean.
Nếu F là một trường và
cặp ( F ,
*

là một chuẩn phi Archimedean trên F thì ta gọi

) là trường phi Archimedean.
Nguyên

lý

tam

giác

cân:

Nếu

x ≠ y

x+ y =
max { x , y }.
Chứng minh

với

∀x, y ∈ F

thì


Không mất tính tổng quát, giả sử: x > y .

x
Khi đó: x + y ≤ max { x , y } =
Ngược lại: x = ( x + y ) − y ≤ max { x + y , y } = x + y

max { x , y } .
Vậy: x + y =
1.2.2 Ví dụ
i). Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Archimedean.

ii). Mọi chuẩn trên trường hữu hạn F đều là chuẩn phi Archimedean (vì F là
trường hữu hạn nên mọi chuẩn trên F đều là chuẩn tầm thường).
Cho p là một số nguyên tố cố định.

x pα .n
+ x ∈  , x viết được:=

(n,=
p) 1, α ∈ 

m
với m, n, α ∈ ; n ≠ 0, (n, p ) = 1,
+ x ∈  \ {0} , x viết được: x = pα
n

(m, p ) = 1.

α gọi là p chỉ số của x.
Ký hiệu: α = ord p ( x) , quy ước: ord p (0) = +∞ .
1.2.3 Mệnh đề
Cho p là số nguyên tố, ∀x, y ∈  , ta có:

i). ord
=
p ( xy ) ord p ( x ) + ord p ( y )
ii). ord p ( x + y ) ≥ min{ord p ( x ), ord p ( y )}
1.2.4 Chuẩn p – adic trên 
Cho ρ là một số thực thỏa 0 < ρ < 1 và p là một số nguyên tố. Ánh xạ
ρ

: → 
x x

 ord p ( x ) neáu x ≠ 0
= ρ
ρ
neáu x = 0
0

là một chuẩn phi Archimedean trên  với quy ước ρ ∞ = 0 .


Lấy ρ =

1
, với p là số nguyên tố, ta có chuẩn
p
p

:→ 
x x

p

 p −ord p ( x ) neáu x ≠ 0
=
neáu x = 0
0

là chuẩn phi Archimedean trên  . Ta gọi chuẩn

p

là chuẩn p – adic trên  .

Cho no là số tự nhiên lớn hơn 1. Với mỗi x ∈  , ta luôn có

x = ao + a1no +  + as nos (*)
trong đó, 0 ≤ ai < no , as ≠ 0 .
Biểu diễn (*) được gọi là biểu diễn no - phân của x. Ta dễ dàng chứng minh
được nos ≤ x < nos +1 và do đó, s ≤ logn x < s + 1 nên s =  logn x  .
o 
o

1.2.5 Định lý (các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimedean)
Cho F là một trường với e là phần tử đơn vị và

là chuẩn trên F. Các điều

sau là tương đương:
i).

là chuẩn phi Archimedean.

ii). 2 ≤ 1 , với 2 = 2.e = e +e.
iii). n ≤ 1 , vôùi n = ne = e
+ e + ... + e .
n soá e

iv). Tập N=

n
{=

n.e : n ∈ } bị chặn.

1.3 Chuẩn trên 
Định lý Ostrowski
Mọi chuẩn không tầm thường trên  đều tương đương với chuẩn giá trị
tuyệt đối thông thường hoặc chuẩn

p

(p là một số nguyên tố).

Chứng minh


Giả sử

là một chuẩn không tầm thường trên  . Ta xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1: ∃n ∈  để n > 1 .
Gọi no = min{n ∈  : n > 1}
Ký hiệu: no = =
noα , ( α log no no > 1 )
Ta sẽ chứng minh: n= n α , ∀n ∈  .
1). n ≤ n α :
Giả sử n = ao + a1no +  + as nos , trong đó 0 ≤ ai < no , as ≠ 0, nos ≤ n < nos +1 .
Khi đó: n =

a0 + a1n0 + ... + as n0s

≤ ao + a1 . no +  + as . nos 

ai < no ⇒ ai ≤ 1 

⇒ n ≤ 1 + no +  + nos =1 + noα +  + noαs
= noαs (1 +
Do đó: n ≤ noαs (1 +
Đặt: B =1 +

1
1
+
+

)
noα
noαs

1
1
1
+  + αs + α s +1 + )
α
(n0 )
no
no

1
1
1
+  + αs + α s +1 +  là hằng số chỉ phụ thuộc no ,
α
(n0 )
no
no

không phụ thuộc vào n.
Mặt khác:

n ≤ B.noαs 
α
 ⇒ n ≤ B.n , ∀n ∈ 
s
no ≤ n

Khi đó, ∀k ∈ * , ta có: n k ≤ C.(n k )α ⇒ n ≤ k C .n α
Cho k → +∞ , ta được: n ≤ n α
2). n ≥ n α :
Ta có: nos +1 = n + nos +1 − n ≤ n + nos +1 − n


Suy ra: n ≥ nos +1 − nos +1 − n mà n ≤ n α (do chứng minh trên)

noα ⇒ nos +1 =
noα ( s +1)
Do đó: n ≥ nos +1 − (nos +1 − n)α và no =
n ≥ noα ( s +1) − (nos +1 − n)α 

α ( s +1)
− (nos +1 − nos )α
 ⇒ n ≥ no
s
n ≥ no 

⇒

Khi đó:

n ≥ noα ( s +1) [1 − (1 −

1 α
1 
) ] ⇔ n ≥ B ' .noα ( s +1) , B ' =1 − (1 − )α 
no
no  ⇒ n ≥ B ' .n α , ∀n ∈ 
n < nos +1 

Vậy, ∀k ∈ * ta có: n k > C ' (n k )α
Suy ra: n > k C ′.n α
Cho k → +∞ , ta được: n ≥ n α , ∀n ∈ 
Tóm lại, ta đã chứng minh được: n α=
Khi đó, ∀x ∈ , x =±

n , ∀n ∈  .

m
, m, n ∈  , ta có:
n

α

=
x
⇒

m mα  m 
α
= =
x
 =

α
n
n
n



• Trường hợp 2: ∀n ∈ , n ≤ 1 .
không tầm thường nên ∃n ∈ * : n < 1 .

Do

Đặt p =min{n ∈ * : n < 1} . Khi đó p là số nguyên tố.
Thật vậy, vì nếu p = m.n với 0 < m, n < p

⇒

p =m . n =

1.1 =
1 (mâu thuẫn).

Với m ∈  mà (m, p) = 1 thì m = 1 . Thật vậy, giả sử: m < 1

1 . Suy ra: ∃u , v ∈  : u.m k + v. p k =
1
Khi đó: ∀k : (m k , p k ) =


⇒ 1 =1 =u.m k + v. p k ≤ m k + p k
Cho k → +∞ , ta được: 1 ≤ 0 (mâu thuẫn).
Vậy ∀m : (m, p ) =
1 thì m = 1 .

, x p α
Khi đó, ∀x ∈=
x
=
⇒



m
, (m
=
, p ) 1,(=
n, p ) 1, ta được:
n
m

pα .
=
n

pα

p

1.4 Xây dựng trường số p-adic  p
1.4.1 Xây dựng trường số p-adic  p
Theo định lý Ostrowski, ta có mọi chuẩn không tầm thường trên  đều
tương đương với chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường hoặc tương đương với chuẩn
phi Archimedean

p

(p là số nguyên tố). Nếu làm đầy đủ  theo chuẩn giá trị

tuyệt đối thông thường thì ta sẽ được trường số thực  , còn nếu làm đầy đủ 
theo chuẩn

p

thì ta sẽ được một trường mới gọi là trường các số p-adic  p .

Ta xây dựng trường  p như sau:
Ký hiệu: S là tập tất cả các dãy Cauchy hữu tỉ theo
=
S {{xn } ⊂  :{xn } dãy Cauchy theo

p

p

(

}).

Trên S ta xác định một quan hệ tương đương như sau:

{xn }  { yn } ⇔ lim ( xn − yn ) =
0
n →∞

Ta gọi  p là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên:

S=
=
p
~

{{x }:{x } ⊂ S} .
n

n

Ta trang bị hai phép toán cộng và nhân cho  P như sau:
Phép cộng: ∀x= {xn }, y= { yn } ∈  p , x + y= {xn + yn }

x {xn }, =
y { yn } ∈  p , x.=
y {xn . yn } .
Phép nhân: ∀=
Định nghĩa trên là hợp lý vì:
i). {xn + yn }, {xn yn } là dãy Cauchy theo

p

:

Ta có: ( xn+1 + yn+1 ) − ( xn + yn ) p = ( xn+1 − xn ) + ( yn+1 − yn ) p

{

≤ max xn +1 − xn p , yn +1 − yn

} → 0
n →∞

p

xn+1 yn+1 − xn yn p= ( xn+1 yn+1 − xn yn+1 ) + ( xn yn +1 − xn yn ) p
=

yn+1 ( xn+1 − xn ) + xn ( yn +1 − yn ) p

{

≤ max yn+1

p

xn+1 − xn p , xn

p

yn+1 − yn

} → 0
n →∞

p

ii). {xn + yn }, {xn yn } không phụ thuộc vào cách chọn đại diện:
Ta có:
n →∞
{xn }  {xn' } ⇔ xn − xn' 
→0
p

{ yn }  { y } ⇔ yn − y
'
n

'
n p

n →∞


→0

Do đó : ( xn + yn ) − ( xn' + yn' ) = ( xn − xn' ) + ( yn − yn' )
p

{

xn yn − xn' yn'

p

p

p

= ( xn yn − xn' yn ) + ( xn' yn − xn' yn' )

p

=

p

yn ( xn − xn' ) + xn' ( yn − yn' )

{

≤ max yn

p

xn − xn' , xn'
p

p

} → 0
n →∞

≤ max xn − xn' , yn − yn'

p

yn − yn'

} → 0
n →∞

p

Khi đó: ( p , +,.) là một trường, gọi là trường các số p-adic  p với:
Phần tử không: 0 = {0}
Phần tử đơn vị: 1 = {1}
Phần tử đối x = {xn } là: − x ={− xn }


Phần tử nghịch đảo: Với {xn } ≠ {0} ⇔ xn / 0

⇒ ∃N > 0 : ∀n > N , xn p = a ≠ 0
Khi đó, ta có dãy { yn } với

0, n ≤ N
yn =  −1
 xn , n > N

xn +1 − xn
1
1
−
=
Xét: =
xn +1 xn p
xn +1 xn p

xn +1 − xn
xn +1 xn

p

n →∞

→0

p

Vậy: { yn } là một dãy Cauchy trong  p theo chuẩn

p

và {xn }.{ yn } = {1} .

Do đó, phần tử nghịch đảo của {xn } là phần tử { yn } .
Xét ánh xạ i :  →  p , i ( x=
) {x}, ∀x ∈  . Khi đó: i là đơn cấu trường. Do đó,
ta có thể coi  ⊂  p .

∀x ∈  p , x ={xn } , ta định nghĩa: x p = lim xn
n →∞

p

là chuẩn của x trên  p .

Định nghĩa này hợp lý vì:
i). Luôn tồn tại x p :

0 ⇒ lim xn
+ Nếu x = 0 thì lim xn =
n →∞

n →∞

p

0
=

Do đó: x p = 0 .
+ Nếu x ≠ 0 . Khi đó, xn
Do đó: lim xn p = xk

n →∞

⇒

p

p

là dãy dừng.

với k đủ lớn.

xp=
xk p với k đủ lớn.

ii). x p không phụ thuộc vào phần tử đại diện.
Giả sử {xn' } là đại diện khác của x. Khi đó ta có:


xn p = xn − xn' + xn' ≤ xn − xn' + xn'
p

⇒

xn p − xn'

Suy ra: lim xn

p

n →∞

p

p

p

n →∞
≤ xn − xn' 
→0
p

= lim xn' .
p
n →∞

1.4.2 Nhận xét

∀x ∈  p , x ={xn }, {xn } dãy Cauchy trong  theo

p

, khi đó: lim xn = x.
n →∞

Thật vậy:

− x p lim lim xn − xk
Ta có: lim xn=

n →∞

n →∞ k →∞

p

Do {xn } là dãy Cauchy nên ∀ε > 0, ∃N > 0 : xn − xk
Suy ra: lim xn − xk
k →∞

p

p

< ε, ∀n, k > N

≤ ε , ∀n > N ⇒ lim lim xn − xk p =0
n →∞ k →∞

Do đó: lim xn − x p =0 ⇒ lim xn =x trong  p .
n →∞

n →∞

Vậy mọi dãy Cauchy trong (,

( p ,

p

) là một mở rộng của (,

p

p

) đều hội tụ trong ( p ,

p

) , hay

).

{x ∈  p : x p ≤ 1}
Ta định nghĩa:  p =
Cho a ∈  p , r > 0 .
Ba (r − ) = { x ∈  p : x − a < r} là hình cầu mở tâm a, bán kính

r.
Ba (r ) = { x ∈  p : x − a ≤ r} là hình cầu đóng tâm a, bán kính

r.
1.4.3 Mệnh đề

i ).  p là compact.
ii).  p là compact địa phương.
1.4.4 Mệnh đề
i). Mọi hình cầu trong  p đều là những tập vừa đóng, vừa mở.

ii). Hai hình cầu bất kỳ trong  p hoặc chứa nhau hoặc có giao nhau khác
rỗng.
iii). Trong  p chỉ có đếm được các hình cầu.

1.5 Khai triển p-adic của phần tử trong  p
Với a, b ∈  p , ta định nghĩa: a ≡ b(mod p n ) ⇔ a − b p n
1.5.1 Nhận xét

∀a, b ∈  p , a ≡ b(mod p n ) ⇔ a − b p ≤ p − n .
Chứng minh
Giả sử: a ≡ b(mod p n ) ⇔ a − b p n

⇒ a − b = p m c , m ≥ n, ( c , p ) = 1 ⇒ a − b p = p − m ≤ p − n
−n
Ngược lại, giả sử a − b p ≤ p

⇒ a − b = p m c, m ≥ n, (c, p ) =1 ⇒ a − b p n ⇔ a ≡ b(mod p n )
1.5.2 Bổ đề
−i
Cho α ∈  p , α p ≤ 1, ∀i ∈  . Khi đó: ∃r ∈ {0,1,..., p i − 1} để α − r p ≤ p .

1.5.3 Định lý
Cho α ∈  p , α p ≤ 1 . Khi đó, tồn tại duy nhất dãy số tự nhiên {ai }i= 1,∞ thỏa:
i). 0 ≤ ai < p i
ii). ai ≡ ai +1 (mod p i )
iii). α = {ai }.
* Với dãy số tự nhiên {ai } thỏa mãn các điều kiện trong định lý 1.5.3, ta có
thể viết:

a=
b0 , 0 ≤ b0 < p
1
a2 ≡ b0 (mod p ) ⇒ a2 = b0 + b1 p, 0 ≤ a2 < p 2 ⇒ 0 ≤ b1 < p
a3 ≡ a2 (mod p 2 ) ⇒ a3 = a2 + b2 p 2 = b0 + b1 p + b2 p 2 ,0 ≤ a3 < p 3 ⇒ 0 ≤ b2 < p
....
ai ≡ ai −1 (mod p i −1 ) ⇒ ai = ai −1 + bi −1 p i −1 = b0 + b1 p + ... + bi −1 p i −1 ,0 ≤ ai < p i ⇒ 0 ≤ bi −1 < p
Nếu α ∈  p , α = {ai } ⇒ α = lim ai
i →∞

−1
α lim(b0 + b1 p + ... + bi −1 p i=
)
Suy ra:=
i →∞

∞

∑b p .
i

i =0

i

Do đó: Với α ∈  p , α p ≤ 1 thì

α = b0 + b1 p + ... + bi −1 p + ... =
i −1

∞

∑ b p , b ∈ , 0 ≤ b < p
i

i =0

i

i

i

(khai triển p-

adic của α trong  p ).
* Với α = {an }, an = b0 + b1 p + ... + bn−1 p n −1 , 0 ≤ b0 < p

1 ⇒ bo
Nếu b0 ≠ 0 thì (b0 , p ) =
1
b1 p + ... + bn−1 p n−=
p

Do
an

p

p

=
1

p p b1 + ... + bn−1 p n−2 ≤ p −1
p

{

= b0 + b1 p + ... + bn−1 p n −1 = max b0 p , b1 p + ... + bn−1 p n −1
p

p

}= 1

Nếu an = b0 + b1 p + ... + bk −1 p k −1 + bk p k + ... + bn −1 p n−1 ,
trong ñoù b0= b1= ...= bk −1= 0, bk ≠ 0
1
bk p k + bk +1 p k +1... + bn−1 p n−=
p k (bk + bk +1 p + ... + bn−1 p n−k −1 )
Khi đó: a=
n

an p
Suy ra: =
Vì vậy: α
1.5.4 Lưu ý

p

pk

= p−k

p

k −1
bk + bk +1 p + ... + bn−1 p n−=
p − k (vì bk ≠ 0)
p

đó:


Với α ∈  p bất kỳ, α = {an } .

=
α p lim
=
an p an
Ta có:
n →∞

p

với n đủ lớn (vì dãy dừng).

⇒ an p p

Do đó, với an ∈ =

− ord p an

, ord p an ∈ 

⇒ α p = p m ( m ∈ )
Như vậy, ta có thể viết: α = p − m β ⇒ β =

α

Suy ra: β=
p

α
p

p

p
=
−m
p

α
∈p
p−m

pm
= 1 . Do đó:

pm

= β = b0 + b1 p + ... + bn−1 p n−1 + ... =

−m

α b0 p
⇒ =

−m

+ b1 p

− m +1

+ ... + bn −1 p

n − m −1

∞

∑b p
n =0

n

n

+ ...

= c− m p − m + c− m+1 p − m+1 + ... + cn −m−1 p n −m−1 + ...
∞

∑ c p , 0≤c

=

j

j=−m

j

j

< p, c j ∈  (khai triển p-adic của bất kỳ α ).

Nếu α ∈  p , α viết được duy nhất:

=
α b− m p − m + b− m+1 p − m+1 + ... + bn−1 p n−1 =
+ ...
Khi đó: α

p

∞

∑b p ,b
n

n= − m

n

−m

≠0

= pm .

1.5.5 Bổ đề Helsel
n
Cho đa thức f ( x ) = co + c1 x +  + cn x ∈  p [ x ], cn ≠ 0 . Nếu tồn tại phần tử

ao ∈  p thỏa điều kiện

 f (ao ) ≡ 0(mod p)


 f ′(ao ) ≡/ 0(mod p)

Thì tồn tại duy nhất a ∈  p để


a ≡ ao (mod p)
.

 f (a) = 0
1.5.6 Mệnh đề

xi ∈  p có tính chất: x p = x,

Với mỗi 0 ≤ i ≤ p − 1 , luôn tồn tại
ai ≡ i (mod p ) .

Chứng minh

′( x) px p −1 − 1 .
) x p − x , ta có f=
Đặt: f ( x=
Với mỗi i ∈ {0,1,.., p − 1} thì (i, p ) = 1 , theo định lý Fecma nhỏ, ta có:

i p ≡ i (mod p ) ⇔ i p − i ≡ 0(mod p )
⇔ f (i ) ≡ 0(mod p )
′(i ) pi
f=

p −1



− 1 ≡ −1(mod p ) ⇒ f ′(i ) ≡/ 0(mod p) 

 f (ai ) = 0
Theo bổ đề Helsel, suy ra: ∃!ai ∈  p , 
ai ≡ i (mod p )
Tức là, ai là nghiệm của phương trình x p = x . Mà i ∈ {0,1,.., p − 1} nên
phương trình x p = x có p – nghiệm 0, a1 ,.., a p −1 thỏa ai ≡ i (mod p ) .

1.5.7 Khai triển Teichmuller

{

}

Tập căn bậc (p – 1) của 1 trong  p là a1 , a2 ,..., a p −1 . Vì đây là nhóm con
hữu hạn của trường  p nên nhóm xiclic sinh bởi phần tử θ là:

{a , a ,..., a }
1

2

p −1

= < θ > . θ được gọi là căn nguyên thủy bậc (p – 1) của 1.

Với x ∈  p* , x có khai triển duy=
nhất, x

{

}

∞

∑b p , k ∈ 
n

n=k

n

Teichmuller, bn ∈ 0, a1 , a2 ,..., a p −1 gọi là đặc trưng Teichmuller.

gọi là khai triển


Chương 2

HÀM ĐƠN ĐIỆU TRÊN TRƯỜNG PHI
ARCHIMEDEAN
2.1 Mở đầu
Trong chương này chúng tôi sẽ xây dựng khái niệm hàm đơn điệu trên
trường  p , các khái niệm này được xem như là khái niệm tương tự phi
Archimedean của hàm đơn điệu trên trường số thực. Mặc dù trên trường phi
Archimedean không có cấu trúc thứ tự.
Trước hết, ta thấy rằng hàm đơn điệu trên  gắn liền với cấu trúc thứ tự của
trường số thực  . Do đó, để xây dựng tương tự phi Archimedean của hàm đơn điệu
trên trường  p một cách tự nhiên, ta phải xây dựng cấu trúc thứ tự trên trường  p .
Tuy nhiên, vấn đề nảy sinh ra là cấu trúc thứ tự trên trường  p không tồn tại. Cụ
thể ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề: Không tồn tại một quan hệ thứ tự trong  p thỏa các điều kiện sau:
i). −1 ≤ 0 ≤ 1
ii). Nếu a ≥ 0, b ≥ 0 thì a + b ≥ 0
iii). Nếu an ≥ 0 với mọi n, lim an = a thì a ≥ 0 .
n →∞

Chứng minh

pn −1.
Xét dãy số {an } , a=
n
Ta có: Vì 1 ≥ 0 nên p n − 1 = 1
+ 1
+ ... +
1 ≥ 0 (do i) và ii) ).
p n −1 soá 1

−1 lim an ≥ 0 (mâu thuẫn).
Suy ra:=
n →∞

Bởi vậy, ta không thể xây dựng tương tự phi Archimedean của hàm đơn điệu
trên trường  p bằng cấu trúc thứ tự.


Tuy nhiên, ta có thể xây dựng được tính đơn điệu của các hàm số trong  p dựa vào khái

2.2 Dấu của một phần tử trong  p
Trước hết, ta có nhận xét: [x, y] trong  chính là hình cầu bé nhất chứa x và
y, z nằm giữa x và y khi và chỉ khi z ∈ [ x, y ] , z cùng phía với x, y nếu z ∉ [ x, y ] .
Tương tự, trong  p ta có định nghĩa sau:
2.2.1 Định nghĩa
Cho x, y, z ∈  p . Hình cầu nhỏ nhất chứa x và y được ký hiệu là [x, y].
Phần tử z được gọi là nằm giữa x và y nếu z ∈ [ x, y ] ; nếu z ∉ [ x, y ] thì x và y
được gọi là cùng phía của z.
2.2.2 Mệnh đề
Cho x, y, z , u , t ∈  p . Khi đó: [ x, y ] = [ y, x] = Bx (| x − y | p ) = By (| x − y | p ) .

Nếu u nằm giữa z, t và nếu z, t cùng nằm giữa x, y thì u cũng nằm giữa x và y. Hơn
nữa, z ∈ [ x, y ] nếu và chỉ nếu tồn tại một λ ∈  p sao cho λ p ≤ 1 và

z = λ x + (1 − λ ) y.
Chứng minh
• Chứng minh: [ x, y ] = [ y, x] = Bx (| x − y | p ) = By (| x − y | p ) .
+ Ta có: [ x, y ] = [ y, x] (hiển nhiên).

(

)

(

)

+ Lấy z ∈  p , z ∈ [ x, y ] ⇔ z − x p ≤ x − y p ⇔ z ∈ Bx x − y p

(

x, y ] Bx x − y p
Suy ra: [=

)

+ Lấy z ∈  p , z ∈ [ x, y ] ⇔ z − y p ≤ x − y p ⇔ z ∈ By x − y p

(

x, y ] B y x − y p

Do đó: [=

)

Vậy: [ x, y ] = [ y, x] = Bx (| x − y | p ) = By (| x − y | p ) .


• Chứng minh: Nếu u ∈ [ z , t ], z ∈ [ x, y ], t ∈ [ x, y ] thì u ∈ [ x, y ] với
x, y , z , u , t ∈  p .
Ta có: u ∈ [ z , t ] ⇔ u − z p ≤ z − t

p

z ∈ [ x, y ] ⇔ z − x p ≤ x − y p
t ∈ [ x, y ] ⇔ t − x p ≤ x − y p

{

}

Do đó: z − t p = z − x + x − t p ≤ max z − x p , t − x p ≤ x − y p

{

}

{

u − x p = u − z + z − x p ≤ max u − z p , z − x p ≤ max z − t p , z − x p

}

≤ x− y p

Vậy: u ∈ [ x, y ] .
•

Chứng minh: z ∈ [ x, y ] nếu và chỉ nếu tồn tại một λ ∈  p sao cho

λ p ≤ 1 và z = λ x + (1 − λ ) y với x, y, z ∈  p .
+ Ta có:

z ∈  p , z ∈ [ x, y ] ⇔ z − y p ≤ x − y p ⇔
Chọn λ =

z−y p
x− y p

≤1⇔

z−y
≤1
x− y p

z−y
x− y

Khi đó: λ ∈  p , λ p ≤ 1 và z − y = λ ( x − y ) ⇔ z = λ x + (1 − λ ) y .
+ Giả sử tồn tại λ ∈  p , λ p ≤ 1 và z = λ x + (1 − λ ) y với x, y, z ∈  p .
Ta có: z = λ x + (1 − λ ) y ⇔ z − y = λ ( x − y ) ⇔ λ =

z−y
Vì λ p ≤ 1 nên
x− y

≤1 ⇔ z − y

p

≤ x− y

p

z−y
x− y

⇔ z ∈ [ x, y ] .

p

Trong  , ta định nghĩa: x  y nếu và chỉ nếu x, y cùng phía với 0. Khi đó,
quan hệ trên là một quan hệ tương đương trong ∗ , các lớp tương đương của nó là
 + và  − . Đồng thời,  + là lớp tương đương chứa 1 và là nhóm con nhân của ∗ .

=
 /
Nhóm thương
∗

+

{ ,  }  {1, −1} chính là nhóm các dấu của tập số  .
+

−

∗