tích phân choquet và định lí choquet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Hữu Mạnh

TÍCH PHÂN CHOQUET
VÀ ĐỊNH LÍ CHOQUET

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Hữu Mạnh

TÍCH PHÂN CHOQUET
VÀ ĐỊNH LÍ CHOQUET

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số:
60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

LỜI CẢM ƠN
Lời cảm ơn sâu sắc nhất, tôi xin trân trọng cảm ơn thầy của tôi – cố PGS.TS Đậu Thế
Cấp, người đã giảng dạy tôi trong khóa học, cũng như tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình
thực hiện luận văn Thạc sĩ và nghiên cứu khoa học. Tôi cũng xin gửi lời chia buồn sâu sắc tới
gia đình thầy vì sự ra đi đột ngột của thầy.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Nguyễn Bích Huy đã hỗ trợ tôi trong quá trình hoàn
thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian
đọc và cho tôi những nhận xét quý báu về luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý thầy cô của khoa Toán – Tin học, quý
thầy cô thuộc phòng Sau Đại Học trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM đã trang bị cho tôi kiến
thức cũng như đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tôi cũng xin cám ơn các bạn học viên cùng lớp Cao học Giải Tích khóa 20 đã chia sẻ,
giúp đỡ nhau trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng là lời cảm ơn tôi dành cho những người thân trong gia đình tôi, những người
luôn động viên tôi trong suốt thời gian qua.
TP.HCM, ngày 29 tháng 7 năm 2011
Trần Hữu Mạnh


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................1
MỤC LỤC .......................................................................................................................2
MỞ ĐẦU .........................................................................................................................3
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ...........................................................................5
1.1 Độ đo ....................................................................................................................5
1.2 Tôpô .....................................................................................................................8
1.3 Dung lượng trong không gian tôpô ....................................................................11
1.4 Mối liên hệ giữa dung lượng và độ đo ............................................................15

1.5 Một số dung lượng đặc biệt................................................................................17
1.6 Dung lượng rời rạc .............................................................................................23
Chương 2: TÍCH PHÂN CHOQUET THEO DUNG LƯỢNG ...............................28
2.1 Định nghĩa ..........................................................................................................28
2.2 Tính chất .............................................................................................................28
Chương 3: ĐỊNH LÍ CHOQUET ...............................................................................40
3.1 Hàm dung lượng .................................................................................................40
3.2 Định lí Choquet ..................................................................................................41
KẾT LUẬN ...................................................................................................................54
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................................55


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết dung lượng và tích phân theo dung lượng được đưa ra bởi nhà toán học Pháp
Gustave Choquet (1955) và đã được mở rộng, phát triển bởi nhiều nhà toán học. Hiện nay vấn
đề này vẫn đang có tính thời sự, được nhiều nhà toán học quan tâm. Vì vậy, chúng tôi chọn đề
tài: “Tích phân Choquet và định lí Choquet” nhằm tìm hiểu cũng như bước đầu nghiên cứu
theo lý thuyết nói trên.
2. Mục đích nghiên cứu
Trong luận văn này, chúng tôi đưa ra khái niệm dung lượng, tích phân Choquet theo dung
lượng trong không gian tôpô Hausdorff tổng quát với

σ - đại số Borel và định lí Choquet ứng

với hàm dung lượng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu dung lượng trong không gian tôpô Hausdorff
với

σ - đại số Borel, khảo sát một số trường hợp dung lượng rời rạc, nghiên cứu một số tính

chất của tích phân Choquet theo các dung lượng, dung lượng rời rạc. Định lí Choquet trong
không gian tôpô compắc địa phương, Hausdorff và khả li cũng được chúng tôi nghiên cứu.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Các kết quả có được của luận văn là một trường hợp cho lý thuyết dung lượng trong
không gian tôpô Hausdorff, có nhiều ứng dụng trong lý thuyết độ đo, xác suất.
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn được trình bày 3 chương:
-

Chương 1: Trình bày một số vấn đề về lý thuyết độ đo, tôpô, lý thuyết dung lượng,
dung lượng rời rạc cần thiết.


-

Chương 2: Trình bày định nghĩa tích phân Choquet theo các dung lượng trên không
gian tôpô Hausdorff, một số tính chất của tích phân Choquet theo các dung lượng,
dung lượng rời rạc.

-

Chương 3: Trình bày định nghĩa hàm dung lượng và chứng minh định lí Choquet
trong không gian tôpô compắc địa phương, Hausdorff và khả li.


Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Độ đo
Kí hiệu P ( X ) là họ tất cả các tập con của tập X .

Định nghĩa 1.1.1
Một họ M ⊂ P ( X ) được gọi là một

σ - đại số trên X nếu thỏa mãn các điều kiện

i. ∅ ∈ M .
ii. Mọi dãy { En } ⊂ M

+∞

thì

E

n

∈ M.

n =1

iii. ∀E ∈ M

thì=
E
X \ E∈ M .
c

Nếu điều kiện ii. được thay bởi điều kiện
ii’. E1 , E2 ,..., En ∈ M

n

thì

E

j

∈ M.

j =1

thì M gọi là một đại số.
Cặp (X, M ) gồm tập X và một

σ - đại số trên X gọi là một không gian đo được.

σ - đại số các tập con của X là một σ - đại số.
Nếu C là một họ các tập con của X thì P ( X ) là một σ - đại số chứa C . Do đó ta có σ Ta biết giao của một họ khác rỗng các

đại số M (C) là giao của tất cả các

σ - đại số chứa C và σ - đại số M ( C ) được gọi là σ -

đại số sinh bởi C .
Với các họ tập con C , F của X , ta có

C ⊂ M ( F ) ⇒ M (C ) ⊂ M ( F )
Định nghĩa 1.1.2
Cho X là một không gian tôpô. Ta gọi

σ - đại số Borel trên X là σ - đại số sinh bởi họ

các tập con mở của X , kí hiệu là B ( X ) . Mỗi phần tử thuộc B ( X ) gọi là một tập Borel.


Như vậy tập Borel bao gồm các tập mở, các tập đóng, giao của đếm được các tập mở, hợp
của đếm được các tập đóng…của X . Đặc biệt nếu X là không gian Hausdorff thì mọi tập
compắc là tập Borel. Ta gọi một tập bằng giao của đếm được các tập mở là tập Gδ , một tập
bằng hợp của đếm được các tập đóng là tập Fσ .
Định nghĩa 1.1.3
Họ C các tập con của X gọi là một nửa đại số nếu
i. ∅ ∈ C .
ii. E , F ∈ C ⇒ E ∩ F ∈ C .
iii. E ∈ C thì E bằng hợp của hữu hạn các tập rời nhau của C .
c

Định lí 1.1.4
Nếu C là một nửa đại số thì họ A các hợp hữu hạn của các tập rời nhau của C là một
đại số.
Định nghĩa 1.1.5
Cho M là một

σ - đại số trên X . Một hàm tập µ : M → [ 0; +∞ ] gọi là một độ đo

trên M nếu thỏa mãn các điều kiện

µ (∅) =0 .

i.

 +∞  +∞
ii. { En } là dãy các tập rời nhau thuộc M thì µ   En  = ∑ µ ( En ).
 n=1  n=1
Độ đo

µ trên M gọi là hữu hạn nếu µ ( E ) < +∞, ∀E ∈ M .

Độ đo

µ trên M gọi là độ đo xác suất nếu µ ( X ) = 1 .

Độ đo

µ trên M gọi là σ - hữu hạn nếu tồn tại dãy {En } ⊂ M, µ ( En ) < +∞, ∀n và

+∞

E

n

n =1

=X.


Độ đo

µ trên M gọi là độ đo đầy đủ nếu mọi E ∈ M, µ ( E ) =

0 thì mọi F ⊂ E đều có

F∈M .
Bộ ba ( X , M , µ ) trong đó

M là một σ - đại số trên X , µ là một độ đo trên M gọi

là một không gian độ đo.
Định lí 1.1.1
Cho ( X , M , µ ) là một không gian độ đo. Khi đó
a. Mọi E , F ∈ M, E ⊂ F đều có

µ ( E ) ≤ µ ( F ) (tính chất đơn điệu)
b. Mọi dãy { En } ⊂ M đều có

 +∞  +∞
µ   En  ≤ ∑ µ ( En ) (tính chất cộng tính dưới)
 n=1  n=1
c. Mọi dãy { En } ⊂ M , En ⊂ En+1 , ∀n đều có

 +∞ 
µ   En  = lim µ ( En ) (tính chất liên tục dưới)
 n=1  n→+∞
d. Mọi dãy { En } ⊂ M , En ⊃ En+1 , ∀n, µ ( E1 ) < +∞ đều có

 +∞ 
µ   En  = lim µ ( En ) (tính chất liên tục trên)
 n=1  n→+∞
Định nghĩa 1.1.6

σ - đại số Borel của không gian tôpô X được gọi là độ đo Borel.
Một độ đo Borel µ trên X gọi là chính quy nếu mọi E ∈ B ( X ) ta có

Một độ đo trên

µ ( E ) = inf { µ (U) U ⊃ E và U mở}
= sup { µ ( K ) K ⊂ E và K compắc}


1.2 Tôpô
Định nghĩa 1.2.1
Cho không gian tôpô X và A ∈ X . Một họ G các lân cận của A được gọi là một hệ cơ
bản các lân cận của A nếu với mọi lân cận U của A đều tồn tại một lân cận V ∈ G sao cho

V ⊂U .
Định nghĩa 1.2.2
Không gian X được gọi là không gian (LCS) nếu X là không gian tôpô compắc địa
phương, Hausdorff và khả li.
Định lí 1.2.1
Cho X là không gian (LCS). Khi đó
a. Với mọi tập compắc K ⊂ X , tồn tại một dãy các tập mở {Gn } sao cho

Gn ⊃ Gn+1 và

+∞

G

n

=K.

n =1

b. Với mọi tập mở G ⊂ X , tồn tại một dãy tăng các tập mở và compắc tương đối

{Bn } (nghĩa là với mọi n thì Bn là tập mở và Bn là tập compắc) sao cho Bn ⊂ Bn+1 và
=
G

+∞

+∞

B B
=

n
=
n 1=
n 1

n +1

. Đặc biệt, nếu K ⊂ G thì K ⊂ Bn với n đủ lớn.

c. Với mọi tập Borel V , tồn tại một dãy tăng các tập compắc {K n } sao cho
+∞

K

n

=V .

n =1

Định nghĩa 1.2.3
Cho không gian tôpô X . Một họ các tập { Fα }α∈I được gọi là có tâm nếu mọi tập con
hữu hạn I 0 của I đều có

 Fα ≠ ∅ .

α ∈I 0


Định lí 1.2.2
Không gian tôpô X là compắc nếu và chỉ nếu mọi họ các tập con đóng có tâm

{Fα }α∈I đều có giao  Fα

≠ ∅.

α ∈I

Kể từ đây, trong luận văn này kí hiệu K ( X ), F ( X ), G ( X ), B ( X ) lần lượt là họ tất cả
các tập compắc, tập đóng, tập mở và tập Borel của không gian tôpô X .
Định nghĩa 1.2.4
Cho X là không gian tôpô. Với A, K , G1 ,..., Gn ∈ X , định nghĩa
a.

FA = {F ∈ F ( X ) : F ∩ A ≠ ∅}, FA = {F ∈ F ( X ) : F ∩ A = ∅}

FGK,G ,...,G = FK ∩ FG ∩ FG ∩ ... ∩ FG (nếu n = 0 thì FGK,G ,...,G là FK )
1

2

n

1

b. B ( F) là

2

n

1

2

n

σ - đại số sinh bởi họ {FK : K ∈ K ( X )} và {FG : G ∈ G ( X )} .

Từ định nghĩa, dễ thấy

FG =
FG∅ , F∅ =

∅, F∅ =
F (X ).
Định lí 1.2.3
Cho X là không gian (LCS). Nếu K ∈ K ( X ) và {Gn } là một hệ cơ bản các lân cận mở
+∞

của K thì

F
n =1

Gn

= FK và

+∞

F

Gn

= FK .

n =1

Định nghĩa 1.2.5
Cho không gian tôpô X .Tôpô miss and hit trong F ( X ) là tôpô có cơ sở là họ

{F

K
G1 ,G2 ,...,Gn

}

: K ∈ K ( X ); G1 , G2 ,..., Gn ∈ G ( X ) .

Định lí 1.2.4
Cho X là không gian tôpô. Khi đó không gian tôpô miss and hit F ( X ) là compắc.


Chứng minh:
Rõ ràng họ các tập

{F

Ki

} {

}

: K i ∈ K ( X ), i ∈ I và FG j : G j ∈ G ( X ), j ∈ J là tiền cơ sở của tôpô miss and hit.

Theo định lí Alexandroff, ta chỉ cần chứng minh rằng nếu

{F

Ki

} {

}

: K i ∈ K ( X ), i ∈ I  FG j : G j ∈ G ( X ), j ∈ J là một phủ của F thì nó có phủ con

hữu hạn.
Ta có



 
F ( X ) =   FKi     FG j 
 i∈I
  j∈J 

G

Đặt Ω =

j

thì Ω là tập mở.

j∈J

Ta có




 
∅ =  F ( X ) \ FKi     F ( X ) \ FG j 
 i∈I
  j∈J


 
G 
=   FKi     F j 
 i∈I   j∈J



=   FKi   FΩ
 i∈I 
=  FKΩi

(

)

(

i∈I

Do đó tồn tại i0 ∈ I sao cho K i0 ⊂ Ω .
Thật vậy, giả sử trái lại K i ∩ ( X \ Ω) ≠ ∅, ∀i ∈ I .
Khi đó ∅ ≠ X \ Ω ∈

F

i∈I

Ω
Ki

là điều vô lý.

)


{

Vì K i0 là tập compắc nên tồn tại tập { j1 , j2 ,..., jn } ⊂ J sao cho G j1 , G j2 ,..., G jn

} là một phủ

của K i0 . Với F là một tập con đóng tùy ý của X thì F ∩ K i0 =
∅ hoặc F ∩ G jk ≠ ∅ với
một số k ∈ {1, 2,..., n} .
Do đó

F ∈F

K i0

∪ FG j ∪ ... ∪ FG j
1

n

Định nghĩa 1.2.6
Cho tập Ω . Một lớp A các tập con của Ω được gọi là một lớp compắc nếu với mọi dãy
tập compắc {K n } ⊂ Ω thỏa

+∞

K

n

= ∅ thì tồn tại một số nguyên N sao cho

n =1

N

K

n

= ∅.

n =1

1.3 Dung lượng trong không gian tôpô
Định nghĩa 1.3.1
Cho X là không gian tôpô Hausdorff. Hàm T : B ( X ) → [0, +∞) được gọi là dung
lượng trên X nếu nó thỏa mãn 4 điều kiện sau đây:
1. T (∅) =0 .
2. T đan dấu cấp vô hạn. Nghĩa là với mọi họ tập Borel

=
Ai , i 1,..., k , k ≥ 2 ta có

 k 


T   Ai  ≤ ∑ (−1) #I +1T   Ai 
=
 i 1  I∈I ( k )
 i∈I 
trong đó I ( k )= {I ⊂ {1,..., k}, I ≠ ∅},#I= card ( I ) .
3. T (A) sup{T (C ) : C ∈ K, ( X ), C ⊂ A},∀A ∈ B ( X ) .
=
4. T (C ) inf{T (G ) : G ∈ G ( X ), G ⊃ C},∀C ∈ K, ( X ) .
=
Kể từ đây trong luận văn này nếu không chú thích gì thêm, không gian tôpô X ta xét là
không gian tôpô Hausdorff.
Định lí 1.3.1


Cho T là dung lượng trên X . Khi đó T là hàm không giảm trên B ( X ) .
Chứng minh:
Giả sử A, B ∈ B ( X ), A ⊂ B
Đặt K, ( A) =
{C : C ∈ K, ( X ), C ⊂ A}

K, ( B) =
{C : C ∈ K, ( X ), C ⊂ B}
Thế thì

K, ( A) ⊂ K, ( B )

Theo định nghĩa 1.3.1 thì

=
T ( A)

sup {T (C )} ≤ sup {T (C )}=T ( B )

C∈K,( A )

C∈K,( B )

Vậy T ( A) ≤ T ( B )
Hệ quả 1.3.1
Cho T là dung lượng trên X . Nếu A ∈ B ( X ) và T ( A) = 0 thì

T ( B=
) T ( B ∪ A), ∀B ∈ B ( X )
Chứng minh:
Theo định lí 1.3.1 ta có T ( B ) ≤ T ( B ∪ A)
Vì T là dung lượng trên X nên

T ( B ∩ A) ≤ T ( B ) + T ( A) − T ( B ∪ A)
⇒ T ( B ∪ A) ≤ T ( B ) + T ( A) − T ( B ∩ A)
Mà T ( A) =0 ⇒ T ( B ∩ A) =0
Do đó

T ( B ∪ A) ≤ T ( B)

Vậy T ( B=
) T ( B ∪ A), ∀B ∈ B ( X ) .
Định nghĩa 1.3.2
Hàm T : B ( X ) → [0, +∞) được gọi là cực đại nếu

=
T ( A ∪ B ) max{T ( A), T ( B)},∀A, B ∈ B ( X )


Định lí 1.3.2
Nếu hàm T : B ( X ) → [0, +∞) là cực đại thì với mọi họ tập Borel
=
Ai , i 1,..., k , k ≥ 2
ta có

∑ (−1)

#I +1

I ∈I ( k )



T   Ai  =
min {T ( Ai )}
i∈{1,...,k}
 i∈I 

Chứng minh:
Với k = 2 ta có

T ( A1 ) + T ( A2 ) − T ( A1 ∪ A2 )

= T ( A1 ) + T ( A2 ) − max{T ( A1 ), T ( A2 )}
= min{T ( A1 ), T ( A2 )}
Giả sử đẳng thức trên đúng với=
k n, n ≥ 2 , ta chứng minh đẳng thức trên đúng với

k= n + 1.
Với mọi họ tập Borel=
Ai , i 1,..., n + 1 , không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

T ( A1 ) = min {T ( Ai )} và T ( An+1 ) = max{T ( Ai )} .
1≤i ≤ n +1

1≤i ≤ n +1

Ta có



(−1) #I +1T   Ai 
I ∈I ( n +1)
 i∈I 

∑






=∑ (−1) #I +1T   Ai  + T ( An+1 ) + ∑ (−1) #I '+1T   Ai 
I ∈I ( n )
I '∈( I n ,n +1)
 i∈I 
 i∈I ' 
= T ( A1 ) + T ( An+1 ) + ( −Cn1 + Cn2 − ... + (−1) n Cnn ) T ( An+1 )
= T ( A1 ) + ( Cn0 − Cn1 + Cn2 − ... + (−1) n Cnn ) T ( An+1 )

= T ( A1 )
= min {T ( Ai )}
1≤i ≤ n +1

với ( I n , n + 1) = {I ∪ {n + 1}: I ∈ I ( n)} .


Định lý 1.3.3
Nếu hàm T : B ( X ) → [0, +∞) là cực đại thì T thỏa điều kiện 2. của định nghĩa 1.3.1
Chứng minh:
Với mọi họ tập Borel
=
Ai , i 1,..., k , k ≥ 2 ta có

 k 


T   Ai  ≤ min {T ( Ai )}= ∑ (−1) #I +1T   Ai 
I ∈I ( k )
 i 1  i∈{1,...,k}
 i∈I 

Định nghĩa 1.3.3
Hàm T : B ( X ) → [0, +∞) được gọi là độ đo cực đại nếu T là cực đại và thỏa các điều
kiện 1.,3.,4. của định nghĩa 1.3.1.
Như vậy, một độ đo cực đại là một dung lượng trên X .
Định nghĩa 1.3.4
Hàm T : B ( X ) → [0, +∞) được gọi là có tính liên tục trên nếu mọi dãy

{Cn } ⊂ B ( X ) , Cn ↓ C0 (nghĩa là Cn+1 ⊂ Cn và

+∞

C

n

= C0 ) thì T (Cn ) ↓ T (C0 ) (nghĩa là

n =1

T (Cn+1 ) ≤ T (Cn ) và lim T (Cn ) = T (C0 ) ).
n→+∞

Hàm T : B ( X ) → [0, +∞) được gọi là có tính liên tục dưới nếu mọi dãy

{Cn } ⊂ B ( X ) , Cn ↑ C0 (nghĩa là Cn ⊂ Cn+1 và

+∞

C

n

= C0 ) thì T (Cn ) ↑ T (C0 ) (nghĩa là

n =1

T (Cn ) ≤ T (Cn+1 ) và lim T (Cn ) = T (C0 ) ).
n→+∞

Định nghĩa 1.3.5
Tập S ⊂ X được gọi là giá của dung lượng T nếu S là tập đóng nhỏ nhất trong X thỏa

T ( X \ S ) = 0 . Giá của T được kí hiệu là supp T .
Định lí 1.3.4


Nếu T là dung lượng trên X thì T (suppT ) ≥ T ( A), ∀A ∈ B ( X ) .
Và do đó T (suppT ) = T ( X ) .
Chứng minh:
Với S = suppT và ∀A ∈ B ( X ) thì ta có A = ( A ∩ S ) ∪ ( A ∩ S ) .
c

Theo định nghĩa 1.3.1 thì

0= T ( ( A ∩ S ) ∩ ( A ∩ S c ) ) ≤ T ( A ∩ S ) + T ( A ∩ S c ) − T ( A)
⇒ T ( A) ≤ T ( A ∩ S ) + T ( A ∩ S c )
Mà T ( A ∩ S ) ≤ T ( A) và T ( A ∩ S ) =
0 , do đó T ( A) ≤ T ( S ) .
c

Ta có T (suppT ) ≤ T ( X ) và theo trên thì T ( X ) ≤ T (suppT ) nên được

T (suppT ) = T ( X ) .
Hệ quả 1.3.2
Nếu T là dung lượng trên X thì

suppT = X \ {G : G ∈ G ( X ), T (G ) = 0} .
Định nghĩa 1.3.6
Dung lượng T được gọi là dung lượng xác suất trên X nếu T (suppT ) = 1 .

Định lí 1.3.5
Cho X là không gian (LCS) và T là dung lượng trên X . Cho

G, G0 ∈ G ( X ) , K ∈ K ( X ) , {K n } ⊂ K ( X ) là dãy tập compắc sao cho K n ↑ G ,
{Gn } ⊂ G ( X ) là dãy các tập mở sao cho Gn ⊃ Gn+1 ∈ K ( X ) và Gn ↓ K . Khi đó
lim T (G0 ∪ Gn ∪ K n=
) T (G0 ∪ G ∪ K )

n→+∞

1.4 Mối liên hệ giữa dung lượng và độ đo
Định lí 1.4.1


Nếu

=
Ai , i 1,..., k , k ≥ 2 ta có
µ là độ đo hữu hạn trên B ( X ) thì với mọi họ tập Borel

 k 
µ  =
Ai 
=
i1 

∑ (−1)

I ∈I ( k )

#I +1





 i∈I



µ   Ai 

Chứng minh:

µ là độ đo hữu hạn nên ta có

Với k = 2 , do

µ ( A1 ∩ A2 )= µ ( A1 ) + µ ( A2 ) − µ ( A1 ∪ A2 )
Giả sử đẳng thức trên đúng với=

k n, n ≥ 2 , ta chứng minh đẳng thức trên đúng với

k= n + 1. Kí hiệu I (n + 1)= I (n) ∪ {{n+1} ∪ ( I n , n + 1)} , với

( I n , n + 1) = {I ∪ {n + 1}: I ∈ I (n)} .
Đặt A =

n

A

i

i =1

Ta có


 n+1 
µ   Ai 
 i =1 
= µ ( A ∩ An+1 )
= µ ( A) + µ ( An+1 ) − µ ( A ∪ An+1 )
 n 

µ ( A) + µ ( An+1 ) − µ    Ai  ∪ An+1 
=
  i =1 

 n 

 n

= µ   Ai  + µ ( An+1 ) − µ   ( Ai ∪ An+1 ) 
=
 i 1=

i1





= ∑ (−1) #I +1 µ   Ai  + µ ( An+1 ) − ∑ (−1) #I +1 µ   ( Ai ∪ An+1 ) 
I ∈I ( n )
I ∈I ( n )
 i∈I

 i∈I 
=

∑ (−1)

I ∈I ( n )

#I +1





 i∈I



µ   Ai  + µ ( An+1 ) −

∑ (−1)

I ∈I ( n )

#I +1





 i∈I '



µ   Ai 





=∑ (−1) #I +1 µ   Ai  + µ ( An+1 ) + ∑ (−1) #I '+1 µ   Ai 
I ∈I ( n )
I '∈( I n ,n +1)
 i∈I 

 i∈I ' 
=


#I +1 
(
1)
A
µ
−
∑
 i 
I ∈I ( n +1)
 i∈I 

với I ' =
I ∪ {n+1}, I ∈ I ( n) .
Hệ quả 1.4.1
Độ đo Borel chính quy hữu hạn trên X là dung lượng trên X .
Đặc biệt, với mọi tập con Borel bị chặn A của R , thu hẹp của độ đo Lebesgue trên
n

B ( A) là dung lượng trên A .
Như vậy, lớp các dung lượng trên X chứa lớp các độ đo Borel chính quy hữu hạn và lớp
của những độ đo cực đại.
1.5 Một số dung lượng đặc biệt
Định lí 1.5.1
Cho x ∈ X . Hàm Tx : B ( X ) → [0,+∞) được xác định như sau

1 khi x ∈ A
∀A ∈ B ( X ), Tx ( A) =
0 khi x ∉ A
Khi đó Tx là dung lượng xác suất trên X .
Chứng minh:

Tx (∅) =0 .

Ta có

Tx là cực đại. Thật vậy, ∀A, B ∈ B ( X ) :
Nếu x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A hoặc x ∈ B thì

Tx ( A ∪ B ) =
max{Tx ( A), Tx ( B)}=1.
Nếu x ∉ A ∪ B ⇒ x ∉ A và x ∉ B thì

=
Tx ( A ∪ B ) max{=
Tx ( A), Tx ( B)} 0
Do đó Tx thỏa mãn điều kiện 2. của định nghĩa 1.3.1.
Ta
có Tx ( A) sup{Tx (C ) : C ∈ K, ( X ), C ⊂ A},∀A ∈ B ( X ) . Thật vậy:
=
Nếu x ∈ A thì Tx ( A) = 1. Vì {x} là tập compắc chứa trong A và Tx ({x}) = 1 nên đẳng
thức đúng.
Nếu x ∉ A thì Tx ( A) = 0 . Vì ∀C ∈ K, ( X ), C ⊂ A ⇒ x ∉ C ⇒ Tx (C ) =
0 nên đẳng
thức cũng đúng.
Ta=

có Tx (C ) inf{Tx (G ) : G ∈ G ( X ), G ⊃ C},∀C ∈ K, ( X ) . Thật vậy:
Nếu x ∈ C thì Tx (C ) = 1 và Tx (G ) = 1, ∀G ∈ G ( X ), G ⊃ C nên đẳng thức đúng.
Nếu x ∉ C thì Tx (C ) = 0 . Ta có X \ {x} là một tập mở chứa C . Mà Tx ( X \ {x}) = 0
nên đẳng thức cũng đúng.
Vậy Tx là dung lượng trên X .
Hiển nhiên suppTx = {x} và Tx ({x}) = 1 nên Tx là dung lượng xác suất trên X .

Định lí 1.5.2
Cho C ∈ K, ( X ) . Hàm TC : B ( X ) → [0,+∞) được xác định như sau


1 khi A ∩ C ≠ ∅
∀A ∈ B ( X ), TC ( A) =
∅
0 khi A ∩ C =
Khi đó TC là dung lượng xác suất trên X và suppTC = C .
Chứng minh:
Ta có TC (∅) =0 .
Ta có TC là cực đại. Thật vậy, ∀A, B ∈ B ( X )
Nếu ( A ∪ B ) ∩ C ≠ ∅ thì TC ( A ∪ B ) =
max{TC ( A), TC ( B)}=1.
Nếu ( A ∪ B ) ∩ C =
max{TC ( A), TC ( B)}=0 .
∅ thì TC ( A ∪ B ) =
Do đó TC thỏa mãn điều kiện 2. của định nghĩa 1.3.1
Ta
có TC ( A) sup{TC ( K ) : K ∈ K, ( X ), K ⊂ A},∀A ∈ B ( X ) . Thật vậy:
=
Nếu A ∩ C ≠ ∅ thì TC ( A) = 1 . Gọi x ∈ A ∩ C thì {x} là tập compắc chứa trong A và

TC ({x}) = 1 nên đẳng thức đúng.
Nếu A ∩ C =
∅ thì TC ( A) = 0 . Vì

0 nên đẳng thức cũng đúng.
∀K ∈ K, ( X ), K ⊂ A ⇒ K ∩ C =∅ ⇒ TC ( K ) =
Ta=
có TC ( K ) inf{TC (G ) : G ∈ G ( X ), G ⊃ K },∀K ∈ K, ( X ) . Thật vậy:
Nếu K ∩ C ≠ ∅ thì TC ( K ) = 1 và TC (G ) = 1, ∀G ∈ G ( X ), G ⊃ K nên đẳng thức
đúng.
Nếu K ∩ C =
∅ thì TC ( K ) = 0 . Ta có X \ C là một tập mở chứa K . Mà

TC ( X \ C ) = 0 nên đẳng thức cũng đúng.
Vậy TC là dung lượng trên X .
Hiên nhiên suppTC = C và TC (C ) = 1 nên TC là dung lượng xác suất trên X .
Định nghĩa 1.5.1
Họ số thực không âm {ti }i∈I gọi là khả tổng nếu




s sup ∑ ti : J ⊂ I , #J < +∞  < +∞ ,
=
 i∈J

với sup ∅ =0 .
Nếu họ {ti }i∈I khả tổng thì ta gọi s là tổng của họ, kí hiệu s =

∑t .

i∈I

i

Bổ đề 1.5.1
Nếu

∑t
i∈I

i

{i ∈ I , ti > 0} là tập con đếm được của I .
< +∞ thì J =

Định nghĩa 1.5.2
Hàm ϕ : X → R được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) nếu

ϕ −1 ( (−∞, a) ) ∈ G ( X ) với ∀a ∈ R ( ϕ −1 ( (a, +∞) ) ∈ G ( X ) với ∀a ∈ R ).
Định lí 1.5.3
Cho

ϕ : X → [0,+∞) là hàm nửa liên tục trên, bị chặn. Với ∀A ∈ B ( X ) , đặt

T∞ϕ ( A) = sup ϕ ( A) , với sup ∅ =0
ϕ

Khi đó T∞ là dung lượng trên X .
Chứng minh:
ϕ

Hiển nhiên T∞ (∅) =0 .
ϕ

Ta có T∞ là cực đại. Thật vậy, ∀A, B ∈ B ( X ) thì

T∞ϕ ( A ∪=
B ) sup ϕ ( A ∪ B )

= max
=
{sup ϕ ( A),sup ϕ ( B)} max {T∞ϕ ( A), T∞ϕ ( B)}
Với ∀A ∈ B ( X ), A ≠ ∅ , chọn dãy {xn } ⊂ A sao cho lim ϕ ( xn ) = sup ϕ ( A) . Đặt
n→∞

cn = {x1 , x2 ,..., xn } , ta có


=
T∞ϕ ( A) sup
=
ϕ (cn ) sup T∞ϕ (cn )
n

n

≤ sup {T∞ϕ (C ) : C ∈ K, ( X ), C ⊂ A}
≤ sup ϕ ( A)

= T∞ϕ ( A)

{

ϕ

}

ϕ

Do đó T∞ (=
A) sup T∞ (C ) : C ∈ K, ( X ), C ⊂ A .
Với ∀A ∈ B ( X ) , đặt T∞ ( A) =
α ∈ [0,+∞) . Chọn dãy số {α n } sao cho
ϕ

α n+1 < α n và

Gn ϕ −1 ( (−∞, α n ) ) là tập mở và
lim α n = α . Với mọi n , do ϕ nửa liên tục trên nên=
n→∞

Gn ⊃ A . Ta có
ϕ
T∞=
( A) inf
=
α n inf ( sup ϕ (=
Gn ) ) inf T∞ϕ (Gn )
n

n

n

≥ inf {T∞ϕ (G ) : G ∈ G ( X ), G ⊃ A}
≥ T∞ϕ ( A)

{

ϕ

ϕ

}

Do đó T∞ =
( A) inf T∞ (G ) : G ∈ G ( X ), G ⊃ A .
ϕ

Vậy T∞ là dung lượng trên X .
Định lí 1.5.4
Cho hàm

ϕ : X → [0,+∞) liên tục. Với p ∈ (0, +∞) , đặt

Tpϕ ( A) =

∑
λ ϕ

λ p , với Tpϕ (∅) =0 .

Nếu

∑
λ ϕ

λ p < +∞ thì Tpϕ là dung lượng trên X .

∈ ( A)

∈ (X )

Chứng minh:
ϕ

Hiển nhiên Tp (∅) =0 .
Với ∀A, B ∈ B ( X ) , ta có


Tpϕ ( A ∪ B ) =∑ λ p
λ∈ϕ ( A∪ B )

=

∑
λ ϕ

λp +

∈ ( A)

∑
λ ϕ

∈ (B)

λp −

∑
λ ϕ

λp

∈ ( A∩ B )

= Tpϕ ( A) + Tpϕ ( B ) − Tpϕ ( A ∩ B )
ϕ

Theo định lí 1.4.1 thì Tp thỏa tính chất 2. của định nghĩa 1.3.1
Với ∀A ∈ B ( X ) , ta có

Tpϕ ( A)
=



p
p
λ

sup
λ
:
ϕ
(
A
),
#
=
∆
⊂
∆
<
+∞


∑
∑
λ∈ϕ ( A )
λ∈∆




= sup  ∑ λ p : I ⊂ A, #I < +∞ 
λ∈ϕ ( I )





≤ sup  ∑ λ p : C ∈ K, ( X ), C ⊂ A
λ∈ϕ ( C )

= sup {Tpϕ (C ) : C ∈ K, ( X ), C ⊂ A}
≤ Tpϕ ( A)
ϕ

Do đó Tp thỏa tính chất 3. của định nghĩa 1.3.1
Lấy tùy ý A ∈ B ( X ) . Do tập

ϕ ( X ) đếm được (theo bổ đề 1.5.1) nên có thể đặt

ϕ ( X ) \ ϕ ( A) = {λ1 ,λ2 ,...}
nên Gn
Do ϕ liên tục =

ϕ −1 ([0,+∞)\{λ1 ,λ2 ,...,λn }) là tập mở và Gn ⊃ A . Từ đó

Tpϕ ( A) ≤ inf {Tpϕ (G ) : G ∈ G ( X ), G ⊃ A}
≤ inf Tpϕ (Gn )
n

=

=
∑ λ p Tpϕ ( A)

λ∈ϕ ( A )

ϕ

Do đó Tp thỏa tính chất 4. của định nghĩa 1.3.1


ϕ

Vậy Tp là dung lượng trên X .
Hệ quả 1.5.1
Nếu A là tập con đóng của X thì mọi p ∈ (0, +∞] , Tp A là dung lượng trên X .
1

1 khi x ∈ A
, là hàm đặc trưng)
0
khi
x
∉
A


(Ở đây 1A ( x) = 

1.6 Dung lượng rời rạc
Định nghĩa 1.6.1
Dung lượng T trên X gọi là rời rạc nếu

suppT =
{x ∈ X : T ({x}) > 0} .
Định lí 1.6.1
Cho T là dung lượng rời rạc trên X và sup T ({x}) < +∞ . Với ∀A ∈ B ( X ) , đặt

x∈X

T∞ ( A) = sup T ({x}) và T∞ (∅) =0 .
x∈A

Khi đó T∞ là dung lượng trên X thỏa mãn T∞ ( A) ≤ T ( A) với ∀A ∈ B ( X ) .
Chứng minh:
Dễ dàng thấy rằng
=
T∞ ( A) sup T ({x}) ≤ T ( A) với ∀A ∈ B ( X ) .
x∈A

Hiển nhiên T∞ (∅) =0 .
Ta có T∞ là cực đại. Thật vậy, với ∀A, B ∈ B ( X ) thì

T∞ ( A ∪ B ) =
sup T ({x})
x∈A∪ B

{

}

= max sup T ({x}) ,sup T ({x})
x∈A

x∈B

= max {T∞ ( A), T∞ ( B)}
Do đó T∞ thỏa điều kiện 2. của định nghĩa 1.3.1.