tính artin của môđun đối đồng điều địa phương phân bậc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRẦN THỊ THÙY LINH

TÍNH ARTIN CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG
ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành Phố Hồ Chí Minh - 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRẦN THỊ THÙY LINH

TÍNH ARTIN CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG
ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn: PGS.TS. Trần Tuấn Nam

Thành Phố Hồ Chí Minh - 2011


Mục lục
Lời nói đầu ........................................................................................................... 1

Lời Cảm Ơn ......................................................................................................... 5
Danh mục các kí hiệu .......................................................................................... 6
Chương 1 .............................................................................................................. 8
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .............................................................................. 8
1.1.Giới hạn ngược ........................................................................................... 8
1.2. Tô pô và đầy đủ ......................................................................................... 8
1.3. A – đại số .................................................................................................. 10
1.4. Các khái niệm về iđêan........................................................................... 10
1.5. Hom, Ext, Tenxơ và Tor......................................................................... 11
1.6. Các khái niệm về vành............................................................................ 13
1.7. Các khái niệm về môđun ........................................................................ 13
1.8. Đối ngẫu Matlis ....................................................................................... 20
1.9. MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ....................................... 22
Chương 2 ............................................................................................................ 26
TÍNH ARTIN CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN
BẬC .................................................................................................................... 26
2.1 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG PHÂN BẬC. ................. 26
2.1.1 Đa thức Hilbert .................................................................................. 35
2.2 TÍNH ARTIN CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
PHÂN BẬC. .................................................................................................... 41
Kết luận .............................................................................................................. 52
Tài liệu tham khảo ............................................................................................ 53


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

Lời nói đầu
Cho R =

⊕ n ≥0 R n ,n ∈ N là vành Noether thuần nhất với vành địa phương cơ
bản (R 0 ,m 0 ) và gọi M là R- môđun phân bậc hữu hạn sinh.
Môđun đối đồng điều địa phương phân bậc H iR + (M) và thành phần phân bậc
của chúng có liên quan mật thiết đến cụm đối đồng điều trên sơ đồ xạ ảnh .
Do đó nó thật sự rất quan trọng cho việc nghiên cứu tính Artin của các
môđun phân bậc này.
Brodmann, Fumasoli và Tajarod trong [BFT] đã chứng minh được nếu vành
địa phương R 0 có dim R 0 ≤ 1 , thì với mọi i và với tất cả ideal m 0 - nguyên
sơ q 0 , các R – môđun phân bậc H iR + (M) q 0 H iR + (M),(0 :Hi

R+

(M)

q 0 ) là Artin ,

do đó chiều dài của các thành phần phân bậc của những môđun này hình
thành một đa thức. Tiếp theo, tác giả trong [BRS] đã chứng minh được bậc
của các đa thức này không phụ thuộc vào việc chọn q 0 . Trường hợp
dim R 0 = 2 , vấn đề được chuyển sang tình huống khác. Ở đây, các R –

môđun phân bậc H iR + (M) m 0 H iR + (M),(0 :Hi

R+

(M)

m 0 ) nhìn chung không cần

Artin ([BFT], ví dụ 4.1, 4.2). Hơn thế nữa, số các hàm ở trên không cần là đa

thức, điều này được chứng minh bởi ví dụ của Katzman và Sharp.
Đặt g= g(M) là số nguyên lớn nhất sao cho R 0 - môđun H iR + (M) n có độ dài
vô hạn với vô hạn số nguyên n. Tác giả trong [BRS] chứng minh được nếu
i ≤ g , thì Γ m0 (H iR + (M)) là Artin. Đặt c = c(M) là số nguyên i lớn nhất sao
cho H iR + (M) ≠ 0 . Rotthaus và Sega trong [RS] đã chứng minh được
H cR + (M) m 0 H cR + (M) là Artin. Chúng ta sẽ ứng dụng kết quả này với số

nguyên a lớn nhất sao cho H aR + (M) không là Artin.
Đặt a = a R + (M) là số nguyên lớn nhất sao cho H aR + (M) không là Artin.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng H iR + (M) m 0 H iR + (M) là Artin ∀i ≥ a . Ta sẽ
chỉ ra có một đa thức P ∈ Q[x] có bậc bé hơn a sao cho
Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 1


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…


length R 0 (H aR + (M) n m 0 H aR + (M)
=
P(n),
∀n  0 .
n)

Tiếp theo ta suy luận rằng H iR + (M) q 0 H iR + (M) là Artin với mọi ideal m 0 nguyên sơ q 0 , độ dài các thành phần phân bậc của môđun phân bậc này hình
thành một đa thức và bậc của nó không phụ thuộc vào q 0 .
Với mỗi ideal phân bậc a của R và mỗi R – môđun phân bậc N, ta gọi N là I

– cofinite nếu Supp(N) ⊂ V(I) và Ext iR (R I, N) phân bậc hữu hạn sinh
∀i ≥ 0 . Ta định nghĩa s = c I (N) là số nguyên đầu tiên sao cho môđun đối

đồng điều địa phương H sI (N) không là I – cofinite. Chúng ta sẽ chứng minh
∀i ≤ s =c R + (M) môđun phân bậc Γ m0 (H iR + (M)) là Artin và tồn tại một đa
*
 :
thức P ∈ Q[x] có bậc dim R ( D(0
Γ

m0

(Hs + (M))

m 0 )) sao cho

R


length(Γ m0 (H sR + (M))) =
P(n),
∀n  0 .

Nội dung luận văn được chia làm hai chương cụ thể như sau:
Chương 1: Kiến thức cơ sở.
Trong chương này, nhắc lại các khái niệm và một số mệnh đề sử dụng trong
chương 2.
Chưng 2: Tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương phân bậc.
Chương này gồm ba phần:
Phần một: Môđun đối đồng điều địa phương phân bậc

Định nghĩa môđun đối đồng điều địa phương phân bậc và các thành phần
phân bậc của chúng.
Trình bày tính chất các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa
phương phân bậc ở Mệnh đề 2.1.1.
Trình bày một số nội dung cần thiết để sử dụng trong phần hai, cụ thể là
Mệnh đề 2.1.1, Định lí 2.1.1, Bổ đề 2.1.1, Bổ đề 2.1.2, Định lí 2.1.2, Hệ quả
2.1.1, Mệnh đề 2.1.2, Định lí 1.3.
Phần hai: Đa thức Hilbert

Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 2


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

Định nghĩa đa thức Hilbert, đồng thời đưa ra mối liên hệ của đa thức này với
độ dài các thành phần phân bậc của môđun Artin đối đồng điều địa phương
phân bậc cụ thể ở Định lí 2.2.1, Định lí và định nghĩa 2.2.2, Mệnh đề 2.2.1.
Phần ba: Tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương phân bậc
Bổ đề 2.3.1. Cho x ∈ M là phần tử không là ước của 0 và thuần nhất của M,
khi đó ta có a R + (M xM) ≤ a R + (M) .
Với
a I (M) = sup {i | H iI (M) không Artin} .

Định lí 2.3.1. Cho a = a R + (M) . Khi đó H iR + (M) m 0 H iR + (M) là Artin với
i≥a.

Mệnh đề 2.3.1. Cho a = a R + (M) và m ∉ Att R (H aR + (M) m 0 H aR + (M)) . Khi đó
tồn tại phần tử x ∈ R1 sao cho a R + (M xM)= a − 1.
Định lí 2.3.2. Đặt a = a R + (M) . Khi đó tồn tại một đa thức P ∈ Q[x] có bậc

bé hơn a sao cho length R 0 (H aR + (M) n m 0 H aR + (M)
=
P(n),
∀n  0 .
n)

Hệ quả 2.3.1. Cho a = a R + (M) và q 0 là ideal m 0 - nguyên sơ của R 0 . Khi đó
H aR + (M) q 0 H iR + (M) là Artin và tồn tại một đa thức P ∈ Q[x] sao cho
deg P = deg P và length R 0 (H aR + (M) n q 0 H aR + (M)=
P(n), ∀n  0 .
n ))

Định lí 2.3.3. Đặt s = c R + (M) với i > 0 và i < s . Khi đó Γ m0 (H iR + (M)) là
Artin.
Hệ quả 3.2 . Cho s < ∞ . Khi đó ta có các điều kiện sau:
a) Tồn tại đa thức P ∈ Q[x] sao cho

length R 0 (Γ m0 (H sR + (M) n ) =
P(n),
∀n  0 .

Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 3

Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

b) Nếu q 0 là ideal m 0 - nguyên sơ của R 0 , thì tồn tại đa thức P ∈ Q[x] sao
cho
 :
 dim ( * D(0
deg(P)
= deg(P)
=

Γ
R

và length R 0 ((0 :Hs

R+

(M) n

m0

(HsR + (M))

m0 )

q=
P(n), ∀n  0 .
0 ))

{

Đặt q(M) := sup i | H iR + (M) không là Artin

}

Nếu H iR + (M) là Artin với mọi i, ta quy ước q(M) = −∞ .
Định lí 2.3.4. Giả sử R 0 là vành địa phương cơ bản với ideal tối đại m 0 và
* q(M)
M là R – môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó H q(M)
R + (M) m H R + (M) là

môđun Artin.
Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình của thầy Trần Tuấn
Nam. Mặt dù bản thân có nhiều cố gắng nhưng với số lượng thời gian và
kiến thức có hạn nên không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong những
ý kiến đóng góp, phê bình và bổ sung của quý Thầy Cô và các bạn để luận
văn được hoàn chỉnh hơn.

Trần Thị Thùy Linh

Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 4


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

Lời Cảm Ơn
Luận Văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình của thầy TS. Trần Tuấn
Nam. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố
Hồ Chí Minh, lãnh đạo khoa Toán Tin, lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN –
SĐH của Trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ
học tập của mình.
Cuối cùng,tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS Mỵ
Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS. Trần Huyên và các quý thầy cô tham
gia giảng dạy cho lớp Cao Học chuyên ngành Đại Số và Lí Thuyết Số khóa 20.

Trần Thị Thùy Linh

Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 5


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

Danh mục các kí hiệu
BẢNG KÍ HIỆU
lim
 A i : Giới hạn ngược của họ R – môđun A i .
i∈I

 : Đầy đủ của vành R.

R
I : Radical của iđêan I.

V(I): Tập tất cả các iđêan nguyên tố của R chứ I.
Ass R (M) : Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với R – môđun M.

Ann R (M) : Linh hóa tử của R – môđun M.
Supp R (M) : Giá của R – môđun M.
Att R (M) : Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với R – môđun M.
Hom R (X,Y) : Tập tất cả các R – đồng cấu từ môđun X vào Y.

Ext n (C,A) : Mở rộng bậc n của môđun A bởi C.
X ⊗ Y : Tích tenxơ của môđun X và Y.
TornR (A,B) : Tích xoắn n – chiều trên R của các môđun A và B.
length R M : Độ dài của R – môđun M.
ht R M : Độ cao của R – môđun M.
depth R (M) : Độ sâu của R – môđun M.

E(M) : Bao nội xạ của R – môđun M.
*

E(M) : Bao nội xạ của R – môđun phân bậc M.

D(M) : Đối ngẫu Matlis của R – môđun M.
*

D(M) : Đối ngẫu Matlis của R – môđun phân bậc M.

Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 6


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

Γ I (M) : Hàm tử I – xoắn của R – môđun M.

H iR (M) : Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của R – môđun M ( Môđun

đối đồng điều địa phương phân bậc thứ i của R – môđun phân bậc M).

ε (R) : Phạm trù các R – môđun và R – đồng cấu.
ε (R ′) : Phạm trù các R’ – môđun và R’ – đồng cấu.
ε (R) : Phạm trù các R – môđun phân bậc và R – đồng cấu.

*

Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 7


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

Chương 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong suốt luận văn này ta xem R là vành Noether giao hoán có đơn vị.

1.1.Giới hạn ngược
Định nghĩa 1.1.1. Tập thứ tự bộ phận và thỏa với mọi i, j ∈ I thì tồn tại
k ∈ I sao cho i ≤ k và j ≤ k được gọi là tập định hướng.

Trong phạm trù các R – môđun cho họ các R – môđun (R i )i∈I trên tập định
hướng I. Với j ≤ i có một đồng cấu ϕij : A j → A i thỏa:

ϕki ϕij = ϕkj

ϕii = i d , ∀i ≤ j, ∀k ≤ i.

Trong phạm trù mới mà các vật là cặp (A,ϕi ) với ϕi : A → A i sao cho ∀i, j
sơ đồ sau giao hoán:

ϕj
Aj

A

ϕij

ϕi
Ai

Vật tận cùng trong phạm trù mới trên gọi là giới hạn ngược của hệ trên.
Kí hiệu:
C = lim
 A i

i∈I

Tính phổ dụng của giới hạn ngược chính là tính phổ dụng của vật tận cùng.
1.2. Tô pô và đầy đủ
Định nghĩa 1.2.1. Nhóm giao hoán tô pô là tập G có cấu trúc nhóm
giao hoán và cấu trúc tô pô thỏa:
Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 8


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

i) Ánh xạ

ii) Ánh xạ

G×G →G
(x, y)  x + y

G→G
x  −x

liên tục.

liên tục.

Ánh xạ (x, y)  x + y liên tục có nghĩa là với lân cận W của x + y, tồn tại

lân cận U của x, V của y sao cho U + V ⊆ W .
Ánh xạ x  − x liên tục có nghĩa là với lân cận U của –x, tồn tại lân cận V
của x sao cho −V ⊆ U .
Giả sử 0 ∈ G có một cơ sở lân cận đếm được. Dãy Cauchy trong G là dãy
các phần tử của G sao cho với mọi lân cận U của 0, tồn tại số nguyên dương
s(U) thỏa x μ − x v ∈ U, ∀μ,v ≥ s(U) .
Hai dãy Cauchy (x v ) và (y v ) được gọi là tương đương nếu
x v − y v → 0 trong G.
ˆ . Khi đó
Tập tất cả các lớp tương đương của dãy Cauchy được kí hiệu là G
ˆ được gọi là đầy đủ của G.
G

Mệnh đề 1.2.1. Cho (R,m) là vành Noether địa phương và Rˆ là đầy đủ m –
adic của R. Khi đó dim R = dim Rˆ .
Định nghĩa 1.2.2 Giả sử 0 ∈ G (G là nhóm cộng aben) có một cơ sở lân
cận gồm các nhóm con của G
G = G 0 ⊇ G1 ⊇ G 2 ⊇ .... ⊇ G n ....

U ∈ G là cơ sở lân cận của 0 ⇔ U ⊇ G n với n nào đó.

Lấy
=
G A,G
=
an với A là vành và a là ideal của A.
n
Tô pô xác định trên A được gọi là tôpô a-adic hay a- tô pô. Dễ kiểm tra A
là vành tô pô, nghĩa là các phép toán của vành là liên tục.
ˆ của A với tô pô này gọi là đầy đủ a-adic. Khi đó A

ˆ cũng là vành
Đầy đủ A
tô pô.
Cho M là A-môđun, lấy
=
G M,G
=
an M
n
ˆ của M với tô pô này gọi
Điều này xác định một a- tô pô trên M. Đầy đủ M
ˆ -module.
ˆ là tô pô A
đầy đủ a-ađic. Khi đó M

Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 9


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

1.3. A – đại số
Định nghĩa 1.3.1. Cho f : A → B là đồng cấu vành với a ∈ A,b ∈ B ta xác
định phép nhân: a.b = f (a).b .
Phép nhân vô hướng cùng sự xác định này làm B trở thành một A-môđun.
Khi đó B vừa có cấu trúc môđun vừa có cấu trúc vành.
Vành B được trang bị một cấu trúc A-môđun được gọi là A-đại số.

1.4. Các khái niệm về iđêan
Định nghĩa 1.4.1. Cho R là vành giao hoán và I là ideal của R. Radical của
I , là tập tất cả các phần tử x ∈ R sao cho tồn tại số nguyên
dương n để x n ∈ I .

I, kí hiệu

Gọi V(I) là tập tất cả các ideal nguyên tố của R chứa a. Khi đó

I=



p

p∈V(I)

Định nghĩa 1.4.2.1. Cho M là môđun trên vành giao hoán Noether R và p
là ideal nguyên tố của R. Khi đó p là ideal nguyên tố liên kết với M nếu thỏa
một trong các điều kiện tương đương sau:
i) Có một phần tử x ∈ M : Ann(x) =
p ⇔ {a ∈ R : ax =
0} = p.
ii) M chứa các môđun con đẳng cấu với R/p.
Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết với M kí hiệu là Ass R (M) hay
Ass(M).
Mệnh đề 1.4.1. Cho M là môđun khác không trên vành Noether giao hoán
R. Nếu p là phần tử tối đại của tập {Ann(M) | m ∈ M,m ≠ 0} thì
p ∈ Ass(M) .

Mệnh đề 1.4.2. Cho M là môđun trên vành Noether giao hoán R và S là tập
−1
con nhân của R. Khi đó AssS−1R (S
=
M) Ass R M ∩ Spec(S−1R) .
Mệnh đề 1.4.3. Cho M là môđun trên vành Noether R. Khi đó
Ass R (M) ⊆ Supp R (M) và phần tử tối tiểu của Supp R (M) thuộc vào
Ass R (M) .

Mệnh đề 1.4.4. Cho R là vành Noether, M là R – môđun hữu hạn sinh và p
là ideal nguyên tố bất kì của R. Khi đó các kết quả sau tương đương:
i) p ∈ Supp R (M).
Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 10


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

ii) Tồn tại p / ∈ Ass R (M) sao cho p / ⊆ p .
iii) Ann R (M) ⊆ p.
Mệnh đề 1.4.5. Nếu 0 → L → M → N → 0 là dãy khớp các R – môđun thì
Ass R (M) ⊆ Ass R (L) ∪ Ass R (N).
Mệnh đề 1.4.6. Cho R là vành Noether và M là R – môđun hữu hạn sinh.
Khi đó Ass R (M) là tập hữu hạn.
Định nghĩa 1.4.3. Cho R là vành giao hoán và M là R – môđun. Ideal
nguyên tố p của R được gọi là ideal nguyên tố gắn kết với M khi tồn tại một
môđun con L sao cho p = (L :R M)

Tập hợp tất cả các ideal nguyên tố gắn kết với M kí hiệu là Att R (M) (hay
Att(M) ).

Định nghĩa 1.4.4. Cho q là ideal nguyên tố trên vành A. q được gọi là ideal
nguyên sơ nếu q khác A và xy ∈ A ⇒ x ∈ q hay y n ∈ q.
Nếu q =r(p) ={x ∈ A : x n ∈ p,n > 0} . Khi đó q được gọi là p-nguyên sơ.
1.5. Hom, Ext, Tenxơ và Tor
Định nghĩa 1.5.1. Cho X và Y là các R – môđun. Tập tất cả các đồng cấu từ
X vào Y, kí hiệu là Hom(X,Y).
Mệnh đề 1.5.1. Cho R là vành giao hoán, I là iđêan của R và M là R –
môđun . Khi đó Hom R (R  , M) ≅ (0 :M I).
I
Định nghĩa 1.5.2. Cho R là vành giao hoán, A, C là các R – môđun.
Xét phép giải xạ ảnh của C:
∂

ε

∂

∂

0
n
n −1
X :... 
→ X n 
→ X n −1 → ... → X1 
→ X 0 
→C → 0

Phức thu gọn tương ứng của X là :

∂

∂

∂

0
n
n −1
→ X n 
→ X n −1 → ... → X1 
→ X0 → 0
X :... 

Đưa hàm tử Hom(X,-) vào phức trên ta có dãy nữa khớp sau:
δ0

δ1

Hom(X,A) : 0 → Hom(X 0 ,A) → Hom(X1,A) → ...
δ n −1

→ Hom(X n −1,A) 
→ Hom(X n ,A) → ...

Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 11

Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

Trong đó các đồng cấu δ n = (−1) n +1∂*n +1; ∀n ≥ 0 .
Với mọi số tự nhiên n, nhóm đối đồng điều thứ n của phức này
H n (Hom(X,A)) = ker δ n / imδ n −1 gọi là mở rộng bậc n của môđun A bởi C,
kí hiệu Ext n (C,A).
n
=
Ext n (C,A) H=
(Hom(X,A)) ker δ n / imδ n −1

Định nghĩa 1.5.3. Cho X R và R Y là các môđun phải và trái trên cùng vành
hệ tử R. Tích Tenxơ của các môđun X và Y là các nhóm aben, kí hiệu
X ⊗ Y sao cho có ánh xạ song tuyến tính Γ : XxY → X ⊗ Y có tính chất phổ
dụng đối với bất kì ánh xạ song tuyến tính α : XxY → G thỏ mãn: α = fΓ

XxY

X⊗Y

Γ

α

∃!f
G

Mệnh đề 1.5.2. Cho A là vành, I là ideal của A, M là A – môđun. Khi đó
(A / I) ⊗A M ≅ M / IM .
Định nghĩa 1.5.4. Cho A là R – môđun phải và
X :... → X n → X n −1 → ... → X1 → X 0 → A → 0
là phép giải xạ ảnh bất kì của A.
Phức thu gọn tương ứng với phép giải xạ ảnh X là
α

α

α

n
n −1
1
→ ... → X1 
→ X0 → 0
X :... → X n →
X n −1 
Với R – môđun trái B chúng ta có dãy nữa khớp

α ⊗i

n
X ⊗ B :... → X n ⊗ B 
→ X n −1 ⊗ B → ... → X 0 ⊗ B → 0
Trong đó α* là tích tenxơ α ⊗ i của đồng cấu α và tự đồng cấu đồng nhất i

của môđun B. Với mỗi n ≥ 0 ta định nghĩa H n (X ⊗ B) =

ker α*n imα*n +1 là
tích xoắn n – chiều trên R của các môđun A và B và kí hiệu là
TornR (A,B).
Bổ đề 1.5.1. Cho H là R – môđun Artin và M 0 là R 0 - môđun hữu han sinh.
Khi đó ∀i > 0 R – môđun ToriR 0 (M 0 ,H) là môđun Artin.

Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 12


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

1.6. Các khái niệm về vành
Định nghĩa 1.6.1. Cho vành địa phương (R,m) . Vành R được gọi là vành
địa phương đầy đủ nếu
n
R ≅ lim
 R m , ∀n.
i∈I

Định nghĩa 1.6.2. Vành giao hoán R được gọi là dây chuyền nếu với mỗi
cặp iđêan nguyên tố q ⊂ q ' dây chuyền tối đại của các iđean nguyên tố
q = q 0 ⊂ q1 ⊂ ... ⊂ q l = q '

có độ dài hữu hạn như nhau với l ∈ N .
Một vành R được gọi là vành dây chuyền mở rộng nếu mỗi R – đại số hữu
hạn sinh là dây chuyền. Nói cách khác, R là dây chuyền mở rộng nếu mỗi

vành đa thức R[X1 ,X 2 ,...X n ],n ∈ N là dây chuyền.
Định lí 1.6.1. Bất kì thương của vành CM đều là dây chuyền mở rộng.
Định lí 1.6.2. Một vành địa phương đầy đủ là thương của vành địa phương
chính quy, đặt biệt nó là dây chuyền mở rộng.
Định nghĩa 1.6.3. Cho M là R – môđun. Một phép giải nội xạ bé nhất của M
là một phép giải nội xạ
α

I : 0 → M → I → I → ... → I → Ii +1 → ...
*

0

d0

1

i

di

của M sao cho I n là khai triển cốt yếu của ker d n , ∀n ≥ 0.
Vành R được gọi là vành Gorenstien khi và chỉ khi phép giải nội xạ bé nhất
I* : 0 → R → I0 → ... → Ii → Ii +1 → ...
di

của R thỏa Ii = ⊕ E(A p).
htp =i

1.7. Các khái niệm về môđun

Định nghĩa 1.7.1. Cho R là vành giao hoán, M là một R – môđun và N , N’

là các môđun con của M. Tập {x ∈ R / xN ' ⊆ N} là một ideal của R, kí hiệu

(N :

R

N' ) .

Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 13


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

Tương tự, nếu I là ideal của R thì {m ∈ M / mN ⊆ I} là một môđun con của
M, kí hiệu là ( I :M N ) .
Ideal ( 0 :R M ) :=
0} gọi là linh hóa tử của M, kí hiệu
{x ∈ R / xM =
Ann R M (hoặc AnnM ).

Định nghĩa 1.7.2. Cho R là vành giao hoán S là tập con nhân của R và M là
R – môđun. Trên tập M x S ta định nghĩa quan hệ  như sau:
Với (m,s),(m ' ,s ' ) ∈ MxS : (m,s)  (m ' ,s ' ) ⇔ ∃t ∈ S : (ms ' − m 's)t =0
Dễ thấy rằng  là một quan hệ tương đương trên M x S.

Kí hiệu tập thương MxS /

 là S M và lớp tương đương cùa (m,s) là m / s .
−1

Tập S−1M có cấu trúc môđun trên vành S−1R với phép toán sau:
m m ' s 'm + sm ' r m ' rm '
=
+ '
=
, '
s
s
ss'
s s
ss'

thì S−1M là S−1R - môđun được gọi là mô các môđun các thương của M đối
với S.
Đặc biệt, nếu p là một ideal nguyên tố của R, S = R

p

thì môđun S−1M

thường được kí hiệu là M p .
Cho M là môđun trên vành giao hoán R. Tập tất cả các ideal nguyên tố p của
R sao cho M p ≠ 0 gọi là giá của M và được kí hiệu Supp R (M) .
Với I là ideal của R, khi đó tập hợp Supp(R I) =
{p ∈ Spec(R) : p ⊇ I} được

kí hiệu là Var(I).
Mệnh đề 1.7.1. Cho R là vành giao hoán và M là R – môđun hữu hạn sinh.
Khi đó:
i) Supp(M) ={p ∈ spec(R) : (0 : M) ⊆ p} = V(ann(M) .
ii) Với S là tập con nhân của R thì
−1
−1
1
SuppS−=
R (S M) Supp R (M) ∩ Spec(S R) .

Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 14


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

iii) Với I là ideal của R, ta có: Supp R (M) ⊂ V(I) ⇔ ∃k ∈ N* : I k M =0 .
iv) Nếu R là vành Noether và I là ideal của R thì Supp R (R / I) ⊂ V(I) .
v) Với I là ideal của R thì
Supp R (M IM) ⊂ V(I) ∩ V(Ann(M)) =V(I + Ann(M)) .
Định nghĩa 1.7.3. Cho R là vành, R – môđun M được gọi là thứ cấp nếu
M ≠ 0 , ∀a ∈ R , phép nhúng

ϕa : M → M
m  am, ∀m ∈ M.

Là toàn cấu ( aM = M ) hoặc tồn tại n ∈ N sao cho a n M = 0.
Nếu M là thứ=
cấp thì p

=
Ann(M)

(0 :R M) là ideal nguyên tố của R.

Khi đó M dược gọi là p – thứ cấp.
Khai triển thứ cấp của R – môđun M là sự biểu diễn M thành tổng hữu hạn
các môđun con thứ cấp:
M = N1 + .... + N n (*)

Khai triển trên là nhỏ nhất nếu:
1) Các ideal ngyên tố pi = Ann(N i ) phân biệt.
2) Các N i đều phân biệt.
Tổng của hai môđun con p - thứ cấp là môđun p – thứ cấp, do đó nếu M có
khai triển thứ cấp thì nó là khai triển bé nhất.
Định lí 1.7.1. Nếu (*) là khai triển thứ cấp của M và pi = Ann(N i ) thì
Att(M) = {p1 ,...,p n } .

Định lí 1.7.2. Nếu 0 → M ' → M → M '' → 0 là khớp các R – môđun thì
Att(M '' ) ⊂ Att(M) ⊂ Att(M ' ) ∪ Att(M '' ) .

Bổ đề 1.7.1. Nếu M là môđun Artin và có tổng bất khả quy, thì nó có thứ
cấp.
Định lí 1.7.3. Nếu M là môđun Artin, thì nó có khai triển thứ cấp.
Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 15


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

Định nghĩa 1.7.4. Cho M là môđun khác không trên vành giao hoán R.
Chuỗi tăng ngặt M 0 ⊂ M1 ⊂ M 2 ⊂ ...M n −1 ⊂ M n các môđun con của M sao
cho M 0 = 0 và M n = M gọi là chuỗi hữu hạn các môđun con của M.
Chuỗi hữu hạn gồm n + 1 môđun con của M:
M 0 =⊂
0 M1 ⊂ M 2 ⊂ ...M n −1 ⊂ M n =
M

trong đó Mi Mi +1 là môđun đơn với mọi i = 1,...,n, được gọi là chuỗi hợp
thành độ dài của M.
Nếu M có chuỗi hợp thành thì hai chuỗi hợp thành bất kì của M có cùng độ
dài.
Cho M là môđun khác không trên vành giao hoán R. Môđun M có chuỗi hợp
thành được gọi là môđun có độ dài hữu hạn và độ dài của chuỗi hợp thành
được gọi là độ dài của môđun M, kí hiệu lengthM.
Quy ước:
i) Nếu M = 0 thì lengthM = 0 .
ii) Nếu M không có chuỗi hợp thành thì lengthM = ∞ .
Mệnh đề 1.7.2. Cho R là vành giao hoán và 0 → L → M → N → 0 là dãy
khớp ngắn các R – môđun và R – đồng cấu. Khi đó:
+ M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi L, N có độ dài hữu hạn.
+ Nếu L, M, N cùng có chiều dài hữu hạn thì lengthM
= lengthL + lengthN.

Mệnh đề 1.7.3. Cho R là vành Noether giao hoán, M là R – môđun hữu hạn
sinh và N là R – môđun bất kì. Nếu lengthM < ∞ thì
length(Hom(M, N)) < ∞ . Do đó nếu N là R – môđun Artin thì Hom(M, N)

cũng là môđun Artin.
Mệnh đề 1.7.4. Vành R có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi R là Artin.
Định nghĩa1.7.5. Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Một dây chuyền các
iđêan nguyên tố của R là một dãy tăng thực sự những iđêan nguyên tố
p0 ⊂ p1 ⊂ p 2 ⊂ ...p n −1 ⊂ p n của R. Số nguyên n được gọi là độ dài của dây
chuyền.

Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 16


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

Cho M là R – môđun khác không. Khi đó chiều của M, kí hiệu dimM, là cận
trên đúng của tất cả độ dài của các dây chuyền các iđêan nguyên tố của
SuppM .
Nếu M là R – môđun hữu hạn sinh thì dimM còn được xác định như sau:
+ Nếu M là môđun khác không thì dim M = dim(R AnnM).
+Nếu M là môđun không thì dim M = −1.
Mệnh đề 1.7.5. Cho R là vành Noether giao hoán có đơn vị và M là R –
môđun khác không hữu hạn sinh. Khi đó:
i) lengthM < ∞ ⇔ dim M =0.
ii) Nếu R là vành địa phương thì dim M < ∞.

Mệnh đề 1.7.6. Cho (R,m) là vành Noether địa phương. Nếu x ∈ M khác
ước không thì dim R=
(x) dim R − 1.
Định nghĩa1.7.6. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và p là iđêan nguyên tố
của R. Chiều cao của p kí hiệu ht R p (hoặc htp ), là cận trên đúng của tất cả
độ dài của các dây chuyền các iđêan nguyên tố
p0 ⊂ p1 ⊂ p 2 ⊂ ...p n −1 ⊂ p n =
p của R.
Cho M là R – môđun khác không. Chiều cao của M, kí hiệu ht R M (hoặc
htM ), là cận trên đúng cảu tất cả độ dài của các dây chuyền các iđêan
nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ p 2 ⊂ ...p n −1 ⊂ p n =
p của SuppM .
Chú ý:
Nếu ht R M = 0 thì p là iđêan nguyên tố tối tiểu của R.
=
dim R sup{ht R p : p ∈ Spec(R)}.

Với p ∈ Spec(R) thì ht R p = dim R p và ht M p = dim M p .
Với I là iđêan thực sự của R,=
ta có ht R I min{ht R p : p ∈ V(I)}.
Định nghĩa1.7.7. Cho (R ,m) là vành CM; đặt n := ht m . C là R – môđun
phân bậc hữ hạn sinh. C là môđun chính tắc trên R khi có đẳng cấu thuần
nhất:

Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 17


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…
0
Ext iR (R m,C) ≅ 
R m

i≠n
i=n

Hệ quả 1.7.1. Cho (R ,m) là vành phân bậc địa phương Gorenstien. Khi đó
tồn tại a ∈ Z sao cho R(a) là môđun chính tắc trên R.
Định nghĩa 1.7.8. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là R
– môđun. Phần tử x ∈ R được gọi là M – phần tử chính quy nếu xz = 0 thì
z =0.
Nói cách khác, phần tử x ∈ R được gọi là M – phần tử chính quy nếu x
khác ước không của M.
Định nghĩa 1.7.9. Cho M là môđun trên vành Noether giao hoán địa phương
R. Dãy x1 , x 2 ,....x n các phần tử của R được gọi là M – dãy chính quy nếu nó
thỏa hai điều kiện sau:
i) x i là M (x1 , x 2 ,....x i−1 )M - phần tử chính quy ∀i =1,2,...,n.
ii) M (x1 , x 2 ,....x i−1 )M ≠ 0.
Nếu dãy x1 , x 2 ,....x n chỉ thỏa i) thì nó gọi là một M – dãy chính quy yếu.
Cho I là ideal thực sự của R, nếu x1 , x 2 ,....x n thuộc I thì x1 , x 2 ,....x n gọi là M
– dãy chính quy trong I.
Định nghĩa 1.7.10. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là
R – môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R. M – dãy chính quy x1 , x 2 ,....x n
trong I gọi là tối đại nếu x1 , x 2 ,....x n , x n +1 không là M – dãy chính quy với
bất kì x n +1 ∈ I.
Mệnh đề 1.7.7. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là R –
môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R sao cho IM ≠ M. Khi đó tất cả các

M – dãy chính quy tối đại trong I có cùng chiều dài n được xác định như
sau:
=
n : min{i : Ext iR (R I,M) ≠ 0}.

Định nghĩa 1.7.11. Cho (R, m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là
R – môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R sao cho IM ≠ M. thì chiều dài
chung của tất cả các M – dãy chính quy tối dại trong I được gọi là độ sâu của
I trên M, kí hiệu depth(I,M).
Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 18


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

Định nghĩa1.7.12. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là R
– môđun hữu hạn sinh thì độ sâu của M trên R được gọi là độ sâu của M, kí
hiệu depth(M) ( hay depthR M ) .
Định nghĩa 1.7.13. Cho (R,m) là vành Noether địa phương giao hoán, R –
môđun M hữu hạn sinh khác không gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu
depthM = dim M . Nếu R là R – môđun Cohen-Macaulay thì R gọi là vành
Cohen-Macaulay (hay vành CM).
Định nghĩa 1.7.14. Một vành phân bậc là vành A cùng với họ (A n ) n ≥0 các
nhóm con của nhóm cộng A, sao cho A = ⊕∞n =0 A n và
A m A n ⊆ A m+ n , ∀m,n ≥ 0 .
Định nghĩa 1.7.15. Nếu A là vành phân bậc, một A-môđun phân bậc là một
A-môđun M cùng với họ (M n ) n ≥0 các nhóm con của M thỏa M = ⊕∞n =0 M n và

A m M n ⊆ M m+ n , ∀m,n ≥ 0 . Như vậy mỗi M n là một A 0 -môđun.
Một phần tử x ∈ M là thuần nhất nếu x ∈ M n với n là bậc của x. Bất kì
phần tử y ∈ M có thể viết được duy nhất dưới dạng

∑

y n ; y n ∈ M n ; ∀n ≥ 0 chỉ một số hữu hạn khác không, ngoài ra điều bằng
không. Thành phần y n khác không được gọi là phần tử thuần nhất củ y.
Mệnh đề 1.7.8. Cho R là R 0 - đại số phân bậc dương và x1 , x 2 ,....x n là các
phần tử thuần nhất có bậc dương. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
a) Mỗi iđêan phân bậc của R là hữu hạn sinh.
b) R 0 là Noether và R là R 0 - đại số hữu hạn sinh.
n

c) R 0 là Noether và S1 = ⊕ i=0R i và S2 = ⊕ i=0R − i là R 0 - đại số hữu hạn
sinh.
Định nghĩa 1.7.16. Cho A là vành , I là ideal của A, M là một A-module.
Một dây chuyền (vô hạn)
M = M 0 ⊇ M1 ⊇ .... ⊇ M n ⊇ ....
trong đó M n là các module con của M được gọi là một lọc của M và kí hiệu
(M n ) . Nó được gọi là I-lọc nếu aM n ⊆ M m+1 , ∀n .
Cho A là vành không phân bậc, a là ideal của A. Chúng ta có thể lập thành
vành phân bậc A* = ⊕∞n =0 an .
Tương tự nếu M là A-module và M n là I-lọc của M thì M* = ⊕∞n =0 M n là một
A* module phân bậc, vì I m M n ⊆ M m+ n .
∞

Luận văn thạc sĩ Toán học

∞

Trang 19


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

Mệnh đề 1.7.9. (Bổ đề Nakayama)
Cho M là R – môđun hữu hạn sinh và I là iđêan của R được chứa trong
radical Jacobson của R. Khi đó, nếu IM=M thì M = 0.
1.8. Đối ngẫu Matlis
Định nghãi 1.8.1. Cho R là vành Noether giao hoán có đơn vị. M là môđun
con của R– môđun L.
i) Ta nói L là mở rộng cốt yếu của M nếu B ∩ L ≠ 0 với mọi môđun con
B ≠ 0 của M.
ii) Ta nói L là bao nội xạ của M nếu L vừa là A – môđun nội xạ vừa là mở
rộng cốt yếu của M.
Giả sử (R, m) là vành địa phương, kí hiệu E := E(A m) là bao nội xạ của
R – môđun đơn R

m

 là m – adic đầy đủ lim R m n của R.
,R


Ta gọi D là hàm tử Hom R (−,E) . Với mọi R – môđun M, ta gọi D(M) là đối
ngẫu Matlis của M.
Mệnh đề 1.8.1. Giả sử (R, m) là vành Noether giao hoán địa phương, đặt

E = E(R ) . Lấy M là R – môđun, khi đó M là Artin khi và chỉ khi M đẳng
m
cấu với một môđun con E t , tổng trực tiếp của t bản sao của E, với t ∈ N .
Mệnh đề 1.8.2 . Cho (R, m) là vành Noether giao hoán địa phương, đặt
E = E(R ) . Khi đó R – môđun E là Artin hơn nữa có cấu trúc R – môđun.
m
Đồng cấu R – môđun tự nhiên:
 → Hom (E,E)
Γ: R
R

a  a1
E

là đẳng cấu. Nói cách khác, với mỗi f ∈ Hom R (E,E) tồn tại duy nhất một
 : f (x)= a f x, ∀x ∈ E.
a f ∈ R
Mệnh đề 1.8.3. ( Định lí đối ngẫu Matlis ) Giả sử (R, m) là vành Noether
giao hoán địa phương và đầy đủ. Khi đó:
i) Với mỗi f ∈ Hom R (E,E) , tồn tại duy nhất rf ∈ R : f (x) =∀
rf x, xE.

Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 20


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

ii) N là R – môđun hữu hạn sinh, đồng cấu tự nhiên Γ N :N → DD(N) là
đẳng cấu và D(N) là Artin.
iii) N là R – môđun Artin, đồng cấu tự nhiên Γ N :N → DD(N) là đẳng
cấu và D(N) là Noether.
Mệnh đề 1.8.4. Giả sử (R, m) là vành Noehter giao hoán địa phương (không
 là ideal tối đại của
cần đầy đủ), kí hiệu
=
E E(R =
),D Hom R (−,E) và m
m
 Khi đó R – môđun có cấu trúc tự nhiên như là R
 - môđun và:
R.
i) Do mệnh đề 3.2 với mỗi f ∈ Hom R (E,E) tồn tại duy nhất một
 : f (x)= a f x, ∀x ∈ E.
a f ∈ R
ii) Khi N là R – môđun hữu hạn sinh, đồng cấu tự nhiên
Γ N :N → DD(N) là đơn ánh, D(N) là Artin và sơ đồ sau giao hoán:

N ⊕ R Rˆ

N
ΓN

≅

DD(N)
 - môđun (Artin) và

iii) Khi M là R – môđun Artin thì nó có cấu trúc R
 - môđun Noether đẳng cấu với đối ngẫu Matlis của M trên
D(M) là một R
.
R

Định lí 1.8.1. (Định lí đối ngẫu địa phương phân bậc) Giả sử (R, m) là
vành phân bậc địa phương với ht m = n . Giả sử thêm có một vành Noether
giao hoán phân bậc địa phương Gorenstien (R ' ,m ' ) và một toàn cấu vành
f : R ' → R . Đặt ht m ' = n ' . Gọi * D là hàm tử * Hom R (., * E(R m)) từ *ε (R)

vào chính nó.
Gọi M là R – môđun phân bậc, N ' là R ' - môđun phân bậc, với j ≥ 0 . Khi
đó M được xem là R ' - môđun phân bậc bởi ánh xạ f: khi đó * Ext Rj ' (M, N ' )
có cấu trúc như R – môđun phân bậc.
Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 21


Trần Thị Thùy Linh

Tính Artinh của môđun đối đồng điều…

Từ [BS 13.3.8], tồn tại a ' ∈ Z sao cho R ' (a ' ) là một R ' - môđun chính tắc .
Khi đó có một đống cấu
=
ϕ (ϕ i )i≥0 : (H im )i≥0 → ( * D(Ext nR '−i (.,R ' (a ' ))))i≥0
'

Từ *ε (R) vào chính nó mà ϕMi là đẳng cấu với M là R – môđun phân bậc hữu
hạn sinh.
Mệnh đề 1.8.5. Giả sử (R, m) là vành địa phương và đầy đủ. Cho G là R –
môđun có chiều dài hữu hạn. Theo định lí đối ngẫu Matlis, đối ngẫu Matlis
D(G) cũng có độ dài hữu hạn. Khi đó lengthD(G) =lengthG.
1.9. MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
Định nghĩa 1.9.1. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là ideal khác không
của R, M là R-môđun.

{

}

Đặt: Γ I (M) = (0 :M I n ) =m ∈ M : I n m =
0 ≅ Hom R (R I n  , M)
n∈N

Là tập hợp các phần tử của M bị linh hóa bởi I. khi đó Γ I được gọi là hàm
tử I-xoắn.
f

g

Bổ đề 1.9.1. Nếu 0 → L 
→ M 
→ N → 0 là dãy khớp các R – môđun
Γ (f )

Γ (g)

I
I
và R – đồng cấu thì 0 → Γ I (L) 
→Γ I (M) 
→Γ I (N) → 0 cũng là
một dãy khớp.

Định nghĩa 1.9.2. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là ideal khác không
của R và M là R môđun.
+) M gọi là I – không xoắn khi Γ I (M) =
0.
+) M gọi là I –xoắn khi Γ I (M) =
M.
Bổ đề 1.9.1. (Bổ đề Melkersson) Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là
ideal khác không của R và M là R môđun. Nếu M là R – môđun I – xoắn và
(0 :M I) là môđun Artin, thì M là môđun Artin.
Bổ đề 1.9.2. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là ideal khác không của R
và M là R môđun.
i) Nếu M là R – môđun hữu hạn sinh thì M là I – không xoắn khi và chỉ khi
I chứa một M – phần tử chính quy.
ii) M Γ I (M) là I – không xoắn.

Luận văn thạc sĩ Toán học

Trang 22