ứng dụng phép biến đổi laplace giải một lớp các phương trình toán lý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
-----PHẠM TIẾN PHÁT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TP. Hồ Chí Minh, năm 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
-----PHẠM TIẾN PHÁT

NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ
MÃ SỐ: 102

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
Ths. NGUYỄN VŨ THỤ NHÂN

TP. Hồ Chí Minh, năm 2012


MỤC LỤC
MỤC LỤC ...................................................................................................................1
DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT ................................................................3
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................4
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị ....................................................................................8
1.1. Một số khái niệm .........................................................................................8
1.1.1. Hàm gốc ...............................................................................................8

1.1.2. Hàm Heaviside .....................................................................................8
1.1.3. Hàm Delta Dirac ..................................................................................8
1.2. Phép biến đổi Laplace 1 phía .....................................................................10
1.2.1. Định nghĩa ..........................................................................................10
1.2.2. Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace 1 phía ......................................10
1.3. Phép biến đổi Laplace 2 phía .....................................................................11
1.3.1. Định nghĩa ..........................................................................................11
1.3.2. Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace 2 phía ......................................11
1.4. Các tính chất của phép biến đổi Laplace ...................................................13
1.4.1. Tính tuyến tính ...................................................................................13
1.4.2. Tính đồng dạng ..................................................................................13
1.4.3. Tính chất dịch chuyển ảnh .................................................................14
1.4.4. Tính chất trễ .......................................................................................14
1.4.5. Ảnh của một hàm tuần hoàn ..............................................................14
1.4.6. Đạo hàm gốc ......................................................................................15
1.4.7. Tích phân gốc .....................................................................................18
1.4.8. Đạo hàm ảnh (Luật nhân với tn) .........................................................19
1.4.9. Tích phân ảnh (Luật chia cho t) .........................................................19
1.4.10. Ảnh của tích chập.............................................................................19
1.4.11. Định lý giá trị đầu-cuối ....................................................................22
1.5. Công thức Mellin xác định hàm gốc từ hàm ảnh .......................................22


1.5.1. Định lý................................................................................................22
1.5.2. Ảnh của tích hai gốc...........................................................................23
1.6. Phép biến đổi Laplace 2 phía n-chiều ........................................................23
1.6.1. Định nghĩa ..........................................................................................23
1.6.2. Miền hội tụ .........................................................................................23
1.6.3. Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace 2 phía n-chiều ........24
1.7. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 ............................................29

1.7.1. Định nghĩa ..........................................................................................29
1.7.2. Dạng chính tắc của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 ....30
1.7.3. Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 ....................31
Chương 2. Áp dụng phép biến đổi Laplace giải một lớp các phương trình đạo hàm
riêng tuyến tính cấp 2 hệ số hằng ..............................................................................34
2.1. Áp dụng phép biến đổi Laplace giải các phương trình đạo hàm riêng cấp 2
không điều kiện đầu và điều kiện biên ......................................................................34
2.1.1. Phương pháp giải chung.....................................................................34
2.1.2. Ví dụ áp dụng .....................................................................................35
2.2. Áp dụng phép biến đổi Laplace giải các phương trình đạo hàm riêng cấp 2
có điều kiện đầu, điều kiện biên ................................................................................38
2.2.1. Phương pháp giải chung.....................................................................38
2.2.2. Ví dụ áp dụng .....................................................................................39
Chương 3. Kết luận và hướng phát triển ...................................................................53
3.1. Các kết quả đạt được ..................................................................................53
3.2. Hướng phát triển ........................................................................................54
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................55
PHỤ LỤC ..................................................................................................................56


DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
L n : phép biến đổi Laplace tác dụng lên n biến số
L x : phép biến đổi Laplace tác dụng lên biến số x
L : phép biến đổi Laplace tác dụng lên tất cả các biến số
L∞ : phép biến đổi Laplace 2 phía
L0 : phép biến đổi Laplace 1 phía

L−1 : phép biến đổi Laplace ngược
R : tập số thực
C : tập số phức

■: kí hiệu đánh dấu giới hạn của phần chứng minh một công thức, định lý


MỞ ĐẦU
Các phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng đóng vai trò to lớn
trong Vật lý, là công cụ đắc lực mô tả các hiện tượng Vật lý vì nó cho phép biểu
diễn sự biến đổi của các đại lượng theo không gian và thời gian. Chẳng hạn phương
trình truyền sóng mô tả sự truyền các dao động trong các môi trường, phương trình
truyền nhiệt mô tả sự truyền nhiệt lượng, phương trình Navier-Stokes mô tả các chế
độ chảy của chất lưu, hệ phương trình Maxwell-Ampere mô tả trường điện từ và
cách thức truyền các nhiễu loạn điện từ,... Như vậy, nhu cầu tìm hiểu tường tận về
các hiện tượng vật lý đòi hỏi việc giải các phương trình vi phân và phương trình đạo
hàm riêng. Các kĩ thuật giải loại phương trình này xuất hiện từ rất sớm và phát triển
rất đa dạng, trong đó, phải kể đến phương pháp tách biến, phương pháp tích phân,
phương pháp hàm Green,...[5]. Việc tìm hiểu ưu-nhược điểm và phạm vi ứng dụng
của mỗi phương pháp là điều không thể thiếu để giải quyết các phương trình vi
phân và phương trình đạo hàm riêng. Trong các phương pháp tích phân hay gặp có
phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Laplace. Phép biến đổi Laplace có những
ứng dụng quan trọng trong giải tích và áp dụng trên một lớp rộng các hàm số trong
việc giải các phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình đạo hàm
riêng, phương trình sai phân riêng phần và các hệ của chúng. Hay gặp nhất là phép
biến đổi Laplace một phía đã được nghiên cứu từ rất sớm và phát triển đa dạng để
đáp ứng nhu cầu giải quyết các vấn đề của khoa học tự nhiên. [1]
Trong việc giải các phương trình đạo hàm riêng, ý tưởng của phép biến đổi
Laplace là dùng một phép tích phân có thể làm mất đạo hàm trong các phương
trình. Mặt khác nó chuyển không gian hàm gốc sang không gian ảnh. Nhờ đó, ảnh –
với tư cách là một hàm với biến số thuộc không gian mới không chịu tác động của
các toán tử (tích phân, đạo hàm) tác dụng lên các biến của không gian cũ. Như vậy,
phép biến đổi Laplace có thể đơn giản hóa được các phương trình vi phân và

phương trình đạo hàm riêng.


Trên cơ sở lý luận trên, luận văn được trình bày với mục đích tìm hiểu về
phép biến đổi Laplace và phát triển nó để giải các phương trình đạo hàm
riêng.
Với mục đích như thế, chúng tôi thực hiện các mục tiêu sau:
- Nghiên cứu cơ sở lí thuyết của phép biến đổi Laplace cùng các tính chất của
nó
- Dựa trên đặc thù của phép biến đổi, thử áp dụng nó cho một lớp các phương
trình đạo hàm riêng thích hợp
- Rút ra ưu-nhược điểm của phép biến đổi Laplace
- Các đề xuất phát triển của đề tài
Trên thế giới đã có các giáo trình trình bày qui mô và nghiêm túc phép biến
đổi Laplace cũng như áp dụng nó để giải các phương trình vi phân, điển hình như là
[3-5]. Trong các công trình này, các tác giả đã tập trung nghiên cứu và giải quyết
các vấn đề cơ bản như sự tồn tại phép biến đổi Laplace, điều kiện áp dụng, các kĩ
thuật toán học và mở rộng bảng đối chiếu gốc-ảnh. Ở Việt Nam, chỉ mới thấy các
giáo trình viết về phép biến đổi Laplace ở mức độ đơn giản như: phép biến đổi
Laplace 1 phía, phép biến đổi Laplace 1 chiều, áp dụng giải phương trình vi phân
đơn giản, chỉ một biến số. Các mục tiêu của luận văn sẽ được cụ thể hóa bằng việc
đi sâu hơn vào phép biến đổi Laplace 2 phía, nhiều chiều mà biến đổi Laplace 1
phía như là một trường hợp riêng của nó và ứng dụng nó để giải các phương trình
đạo hàm riêng nhiều biến số. Phép biến đổi Laplace 2 phía có nhiều ưu điểm hơn so
với phép biến đổi Laplace 1 phía như là lớp hàm áp dụng rộng hơn, các tính chất và
biến đổi đơn giản hơn [1]. Trong quá trình khảo sát, phép biến đổi Laplace 1 phía
xuất hiện như một trường hợp riêng của phép biến đổi Laplace 2 phía giúp ta có cái
nhìn sâu sắc và bản chất. Cuối cùng, chúng tôi mở rộng phép biến đổi ra nhiều
chiều để giải các phương trình đạo hàm riêng nhiều biến.

Phương pháp nghiên cứu chúng tôi sử dụng chủ yếu là:
- Thu thập thông tin: tham khảo các giáo trình và đề tài liên quan để có cái
nhìn sơ bộ về tình hình nghiên cứu phép biến đổi Laplace, các kết quả, ứng dụng đã
có
- Phương pháp toán học: cấu trúc logic các kiến thức, chứng minh và làm rõ
một số kiến thức mới
- Phương pháp đàm thoại, trao đổi với Giảng viên hướng dẫn và các đồng
nghiệp để hiểu rõ vấn đề hơn
Luận văn sẽ là một đóng góp cho hệ thống phương pháp và kinh nghiệm giảikhảo sát các phương trình đạo hàm riêng đồng thời trang bị cho bản thân cũng như
các sinh viên quan tâm những hiểu biết cần thiết để giải quyết các bài toán Vật lý
liên quan đến các phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng.
Cấu trúc luận văn gồm 3 chương chính:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Áp dụng phép biến đổi Laplace giải một lớp các phương trình đạo
hàm riêng tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
Chương 3: Kết luận và hướng phát triển
Chương 1 trình bày các kiến thức cần thiết về phép biến đổi Laplace bao gồm
định nghĩa, điều kiện tồn tại và các tính chất quan trọng của phép biến đổi. Khái
niệm về phép biến đổi Laplace gắn liền với khái niệm “hàm gốc”, mà sản phẩm của
nó qua phép biến đổi gọi là “ảnh”. Phép biến đổi Laplace 1 phía được trình bày
trước làm cơ sở để định nghĩa phép biến đổi Laplace 2 phía. Sau đó là liệt kê và
chứng minh các tính chất của phép biến đổi Laplace, quan trọng nhất là tính chất về
đạo hàm và tích phân ảnh, đây là cơ sở để sử dụng phép biến đổi, đưa một phương
trình đạo hàm riêng về dạng đại số. Đồng thời, nhờ tính chất này mà các đòi hỏi về


điều kiện đầu, điều kiện biên xuất hiện ngay từ những bước đầu giải phương trình
như những dữ kiện đầu vào để tiếp tục thuật giải. Như thế, sẽ giảm được một lượng
lớn các tính toán phức tạp. Lưu ý rằng chương này không đi sâu vào trình bày các

thủ thuật tìm ảnh, tìm gốc, vốn rất phổ biến trong các giáo trình về phép biến đổi
Laplace. Cũng trong chương này, chúng tôi trình bày tổng quan về lớp phương trình
đạo hàm riêng tuyến tính bậc 2 hệ số hằng: định nghĩa, phân loại, dạng chính tắc.
Việc nghiên cứu lớp phương trình này đóng vai trò quan trọng vì rất nhiều bài toán
trong Vật lý quy về việc giải các phương trình đạo hàm riêng bậc 2 như bài toán dao
động trong môi trường đàn hồi, sự truyền nhiệt, truyền sóng điện từ, sự chuyển
động của chất lưu,...
Chương 2 trình bày việc áp dụng phép biến đổi Laplace để giải các phương
trình đạo hàm riêng bậc 2 trên cơ sở lựa chọn nhiều phương trình Toán-Lý điển
hình để giải ở mức độ tổng quát hơn. Qua đó, phân tích và đánh giá tác dụng của
phép biến đổi. Vì thế, chúng tôi không đi sâu vào giải chi tiết ra kết quả sau cùng
mà chú trọng vào quá trình biến đổi. Trong thực tế, các phương trình này rất phức
tạp và cần giải bằng phương pháp số sau khi đã đơn giản hóa bằng phép biến đổi
Laplace.
Chương cuối cùng tổng kết các kết quả đạt được: kinh nghiệm thao tác với
phép biến đổi, khả năng giải lớp phương trình đã đề xuất, hướng phát triển cho đề
tài,...
Xin chân thành cám ơn:
- Thầy Nguyễn Vũ Thụ Nhân đã hướng dẫn tận tình, cho nhiều góp ý quý báu.
- Các thành viên trong lớp SP Vật Lý K34 đã giúp đỡ về mặt kiến thức, chia sẻ
nhiều kinh nghiệm và khích lệ về mặt tinh thần.
Tp. Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 5 năm 2012
Tác giả


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số khái niệm
1.1.1. Hàm gốc
Hàm số f(t) (t ∈ R) là một hàm gốc, nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
+ Liên tục từng khúc trên R

 f (t) ≤ M1eω1t ∀t ≥ 0,
+ ∃(M1; M 2 ) ∈ R + × R + ,(ω1; ω2 ) ∈ R 2 : 
ω2 t
∀t < 0.
 f (t) ≤ M 2e

(nghĩa là f(t) tăng không nhanh hơn một hàm mũ khi t tiến tới ∞)

1.1.2. Hàm Heaviside
a. Hàm Heaviside đơn vị
Hàm Heaviside đơn vị (hàm bậc thang đơn vị) được định nghĩa bởi
0 khi t < 0,
H(t) = 
1 khi t ≥ 0.

b. Hàm Heaviside đơn vị trễ t o
Hàm Heaviside đơn vị trễ t o (hàm bậc thang đơn vị trễ t o ) được định nghĩa bởi
0 khi t < t o ,
H(t − t o ) =

1 khi t ≥ t o .

khi t < t o ,
0
Nếu f(t) là một hàm bất kì thì f (t)H(t − t o ) =

f (t) khi t ≥ t o .

1.1.3. Hàm Delta Dirac
0 khi t < −ε,

1

Xét họ hàm =
f ε (t)  (t + ε) khi − ε ≤ t ≤ ε, với ε > 0 ,
 2ε
1 khi t > ε

ta thấy ∀ε > 0 , họ hàm f ε (t) liên tục với mọi t và lim f ε (t) = H(t) .
ε→0+


0 khi t < −ε,
1

Xét họ đạo hàm theo t của f(t):=
f 'ε (t) 
khi − ε ≤ t ≤ ε,
 2ε
0 khi t > ε,

ta luôn có
+∞

−ε

ε

+∞

ε

ε

−∞

−∞

−ε

ε

−ε

−ε

1

1,
∫ f 'ε (t)dt =∫ f 'ε (t)dt + ∫ f 'ε (t)dt + ∫ f 'ε (t)dt =∫ f 'ε (t)dt =∫ 2ε dt =


δ(t) = 0 ∀t ≠ 0,

khi đó, lim f 'ε (t) = δ(t) với δ(t) thỏa δ(t) = +∞ khi t = 0,
ε→0+
 +∞
1,
 ∫−∞ δ(t) =
δ(t) được gọi là hàm Delta Dirac. Lưu ý rằng hàm này không phải là một hàm số
đúng nghĩa – nó là một hàm suy rộng. Ta có thể định nghĩa hàm Delta Dirac bởi

biểu thức
+∞
(t) 0
∀t ≠ 0
δ=
dH(t)
hay δ(t) 
δ(t) =
và ∫ δ(t) 1 hay bằng tích phân
=
=
(t)
khi
t
0
δ
=
+∞
=
dt

−∞
+∞

1
Fourier δ(t) = ∫ eikt dk.
2π −∞

Các tính chất cơ bản của hàm Delta Dirac:
● H(t)=

t

∫ δ(k)dk

(suy trực tiếp từ định nghĩa)

−∞

● Nếu f(t) liên tục tại t = t o thì f(t)δ(t - t o ) = f(t o )δ(t - t o )
f (t o ) khi a < t o < b
● ∫ f (t)δ(t − t o )dt =

khi t o∉ [a;b]
0
a
b

● δ(at) =

1
δ(t)
|a|

● Delta Dirac là hàm chẵn: δ(-t) = δ(t)


1.2. Phép biến đổi Laplace 1 phía
1.2.1. Định nghĩa
Cho p = ω + s.i là một số phức, f(t) là một hàm gốc, xét ánh xạ R → C biến

f(t) thành F(p) với F(p) =

+∞

∫ f (t)e

− pt

dt .

0

Ta gọi ánh xạ trên là phép biến đổi Laplace 1 phía biến f(t) thành F(p) và kí
hiệu là L{f(t)}. Khi đó, F(p) được gọi là ảnh của f(t) qua phép biến đổi Laplace, f(t)
được gọi là gốc. Theo kí hiệu trên, ta có L{f (t)} =

+∞

∫ f (t)e

− pt

dt .

(1.1)

0

Ánh xạ ngược biến F(p) thành f(t) được gọi là phép biến đổi Laplace ngược, kí
hiệu là L-1, như vậy L−1{F(p)} = f (t) .

1.2.2. Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace 1 phía
Định lý: Hàm ảnh F(p)
+ Tồn tại trong miền Re(p) = ω > ω o
+ Giải tích trong miền Re(p) = ω > ω o
+ F(p) → 0 khi p → ∞ sao cho Re(p) → ∞
■ Chứng minh:
Với ∀p: Re(p) > ωo , ∀t ≥ 0 , vì f(t) là một hàm gốc nên ta có
t − ist
o t . e − pt
f (t) ≤ Meωo t ⇔ f (t)e − pt ≤ Meω=
Meωo t e −ω
=
e
Me( ωo −ω)t ,
+∞

⇒

∫

f (t)e

0
+∞

⇔

∫
0

− pt

+∞

dt ≤

∫

Me

( ωo −ω)t

0

f (t)e − pt dt ≤

M
⇒
ωo − ω

Me( ωo −ω)t
dt =
ωo − ω

+∞

∫

+∞

=
0

M
ωo − ω

do Re(p) = ω > ωo ,
+∞

− pt
f (t)e − pt dt hội tụ ⇒ F(p) =
∫ f (t)e dt hội tụ

0

0

(tức là tồn tại) trên miền Re(p) = ω > ω o .
Khi p → ∞ sao cho Re(p) = ω → ∞ thì

M
→ 0 ⇒ F(p) → 0 .
ωo − ω


Sau cùng, chúng tôi chứng minh tính giải tích của hàm ảnh bằng định lý
Weierstrass,
+∞

∫ f (t)e

− pt

+∞

dt ≤ M ∫ t.e

0

( ωo −ω)t

+∞

dt < M ∫ t.e(ωo −ω ')t dt =

0

0

+∞

M
, ω ' ∈ R : ωo < ω ' ≤ Re(p) = ω.
(ω '− ωo ) 2

+∞

∂
Chú ý là − ∫ t.f (t)e − pt dt =

f (t)e − pt dt , theo định lý Weierstrass, F(p) hội tụ đều
∫
∂p 0
0

trên miền Re(p) = ω > ω o . ■

1.3. Phép biến đổi Laplace 2 phía
1.3.1. Định nghĩa
Cho p = ω + s.i là một số phức, f(t) là một hàm gốc, xét ánh xạ R → C biến
f(t) thành F(p) với F(p) =

+∞

∫ f (t)e

− pt

dt .

−∞

Ta gọi ánh xạ trên là phép biến đổi Laplace 2 phía biến f(t) thành F(p) và kí
hiệu là L{f(t)}. Khi đó, F(p) được gọi là ảnh của f(t) qua phép biến đổi Laplace, f(t)
được gọi là gốc, với kí hiệu trên thì L{f (t)} =

+∞

∫ f (t)e

− pt

dt .

(1.2)

−∞

Ánh xạ ngược biến F(p) thành f(t) được gọi là phép biến đổi Laplace ngược, kí
hiệu là L-1, theo đó L−1{F(p)} = f (t) .

1.3.2. Sự tồn tại của phép biến đổi Laplace 2 phía
Định lý: Hàm ảnh F(p)
+ Tồn tại trong miền −∞ ≤ ω1 < Re(p) = ω < ω2 ≤ +∞
+ Giải tích trong miền với −∞ ≤ ω1 < Re(p) = ω < ω2 ≤ +∞
Miền hội tụ này là có dạng một dải bao bởi 2 đường thẳng song song với trục
ảo trong mặt phẳng phức là Re(p) = ω 1 và Re(p) = ω 2 .


■ Chứng minh:
Với ∀p : −∞ ≤ ω1 < Re(p) = ω < ω2 ≤ +∞ , ta có
+∞

F(p)=

∫

0

f (t)e − pt dt=

−∞

∫

f (t)e − pt dt +

−∞
+∞

0

=
− ∫ f (− t)e pt dt +
+∞

∫

+∞

∫

+∞

0

f (t)e − pt dt=

∫

f (− t)e pt d(− t) +

+∞

0
+∞

− ( − p)t
f (t)e − pt dt =
∫ f (− t)e dt +

∫ f (t)e

− pt

dt

0
+∞

∫ f (t)e

− pt

dt.

0
0

 

0

I2

I1

Trong phần 1.2.2, chúng tôi đã chứng minh được tích phân I 1 hội tụ trên miền

Re(p) = ω > ω1 (ω 1 là một số thực nào đó). I 2 cũng là một phép biến đổi Laplace
một chiều với biến số (-p) nên cũng hội tụ trên miền Re(− p) = ω > ω ' := −ω2 tức là

Re(p) < ω2 .
- Nếu ω1 < ω2 : miền hội tụ là một dải bao bởi 2 đường Re(p) = ω1 và

Re(p) = ω2

hay

phép

biến

đổi

2

phía

xác

định

trên

miền

−∞ ≤ ω1 < Re(p) = ω < ω2 ≤ +∞
- Nếu ω1 > ω2 : không tồn tại một miền nào cho I 1 và I 2 cùng hội tụ nên hàm
f(t) không có phép biến đổi Laplace 2 phía
- Nếu ω1 =ω2 : phép biến đổi Laplace 2 chiều có miền hội tụ chỉ là một đường
thẳng Re(p) =ω1 =ω2
Tính chất sau chứng minh tương tự phép biến đổi Laplace 1 chiều. ■
Phép biến đổi Laplace 1 phía là trường hợp riêng của phép biến đổi
Laplace 2 phía, thật vậy
+∞

=
L∞ {f (t)H(t)}

f (t)H(t)e − pt dt
∫=

−∞

+∞

f (t)H(t)e dt
∫=
− pt

L 0{f (t)H(t)} .

0

Như vậy, để chuyển phép biến đổi Laplace 2 phía của một hàm thành phép
biến đổi Laplace 1 phía, ta chỉ cần nhân hàm đó với hàm Heaviside H(t) hay nói
cách khác, với mọi hàm dạng f (t)H(t) , L∞ = L0 .


1.4. Các tính chất của phép biến đổi Laplace
1.4.1. Tính tuyến tính
Cho f(t) và g(t) là 2 hàm gốc và ảnh tương ứng của chúng là L{f(t)} = F(p) với
ω 1 < Re(p) < ω 2 và L{g(t)} = G(p) với ω’ 1 < Re(p) < ω’ 2 ; a và b là 2 số phức bất kì,
khi đó

L{af (t) + bg(t)}= a.L{f (t)} + b.L{g(t)} ,
với max(ω 1 ;ω’ 1 ) < Re(p) < min(ω 2 ;ω’ 2 ) là miền hội tụ.
■ Chứng minh:
+∞

L{af (t) + bg(t)}=

∫ [af (t) + bg(t)]e

−∞

− pt

+∞

+∞

− pt

dt = a ∫ f (t)e dt + b ∫ g(t)e− pt dt = a.L{f (t)} + b.L{g(t)}.
−∞

−∞

Do đó, L{af (t) + bg(t)}= a.L{f (t)} + b.L{g(t)} .

Dễ thấy max(ω 1 ;ω’ 1 ) < Re(p) < min(ω 2 ;ω’ 2 ) là miền hội tụ đảm bảo. ■

1.4.2. Tính đồng dạng
L{f(t)} = F(p) với ω 1 < Re(p) < ω 2 ,
- Cho α ∈ R + , thì
=
L{f (αt)}

1 p
F 
α α

- Cho α ∈ R − , thì L{f (αt)} = −

1 p
F 
α α

αω1 < Re(p) < αω2
αω2 < Re(p) < αω1

■ Chứng minh:
Theo định nghĩa L{f (αt)}=

+∞

∫ f (αt)e

− pt

dt .

−∞

+∞

p

− u
1
1 p
α du
=
f
(u)e
F  .
Nếu α > 0, đặt u = αt thì dt = du/α,
có L{f (u)} =

∫
α −∞
α α

1 p
Vậy, L{f (αt)} =F   .
α α

Trường hợp α < 0 chứng minh tương tự (do cận bị đảo nên xuất hiện dấu “-”).
Miền hội tụ được nhân thêm α là do phép đổi biến u = αt. ■


Ví dụ: L{H(t)} = 1 với miền hội tụ là 0 < Re(p) < +∞.

L{− H(− t)} =
1 với miền hội tụ là -∞ < Re(p) < 0.

1.4.3. Tính chất dịch chuyển ảnh
Cho α ∈ C , L{f(t)} = F(p) với ω 1 < Re(p) < ω 2
thì L{eαt f (t)}
= F(p − α) với ω1 − Re(α) < Re(p) < ω2 − Re(α) .
■ Chứng minh:
αt

+∞

=
L{e f (t)}

∫ f (t)e

+∞

αt − pt

∫ f (t)e

=
dt

e

−∞

− (p −α )t

=
dt F(p − α) .

−∞

Dễ thấy, do số mũ bị đổi thành (p – α) nên miền hội tụ bị tịnh tiến như trên. ■

1.4.4. Tính chất trễ
Cho a ∈ R , L{f(t)} = F(p) với ω 1 < Re(p) < ω 2 thì L{f (t + a)} =
e pa F(p) với

ω1 < Re(p) < ω2 .
■ Chứng minh:
+∞

L{f (t + a)}=

∫

+∞

f (t + a)e − pt dt=

∫

−∞

f (u)e − p(u −a)du= e pa

−∞

+∞

∫ f (u)e

−∞

với miền hội tụ không đổi ω 1 < Re(p) < ω 2 . ■
Ví dụ: Nếu L{H(t).f(t)} = F(p) với ω 1 < Re(p) < ω 2 thì:
- Với a > 0, L{H(t).f(t + a)} = epaF(p) với ω 1 < Re(p) < ω 2
- Với a < 0, L{H(t + a).f(t + a)} = epaF(p) với ω 1 < Re(p) < ω 2

1.4.5. Ảnh của một hàm tuần hoàn
Nếu f(t) là một hàm gốc có chu kì T tức là f(t) = f(t + T) thì

T

L{f =
(t)} F(p)
=

∫e

−∞

− pT

f (t)dt

1 − e − pT
T

L{f (t)H(t)}
= F(p)
=

∫e
0

− pT

,

f (t)dt

1 − e − pT

.

− pu

du= e pa F(p)


■ Chứng minh:
+∞

T

− pt

f (t)e dt ∫ f (t)e
∫=

=
F(p)

−∞

− pt

+∞

dt +

−∞

∫ f (t)e

− pt

dt .

T

Đặt t = u + T thì dt = du, khi đó
+∞

+∞

+∞

T

0

0

− pt
=
∫ f (t)e dt

− pu
− pT
pT

f (t)e − p(u +T)du e −=
∫=
∫ f (t)e du e F(p) .

T
T

Do đó,=
F(p)

∫ f (t)e

− pt

dt + e

− pT

F(p) ⇔=
F(p)

∫ f (t)e

−∞

1 − e − pT

−∞

T

Công thức L{f (t)H(t)}
= F(p)
=

∫e
0

− pT

− pt

dt
.

f (t)dt
chứng minh hoàn toàn tương tự. ■

1 − e − pT

1.4.6. Đạo hàm gốc
a. Công thức đạo hàm gốc
Cho f(t) là hàm gốc và có đạo hàm f’(t) cũng là hàm gốc, L{f(t)} = F(p) thì
L{f’(t)} = pF(p).
■ Chứng minh:
Theo định nghĩa (1.2) L{f '(t)} =

+∞

∫ f '(t)e

− pt

dt .

−∞

u = e − pt
du = − pe − pt
Đặt 
thì
⇒
'(t)dt  v f (t)
=
dv f=
+∞

L{f '(t)} =
∫ f '(t)e

− pt

dt =
f (t)e

−∞

− pt +∞
−∞

+∞

+ p ∫ f (t)e − pt dt =
f (t)e − pt
−∞

Theo định nghĩa hàm gốc ở mục 1.1.1, ta có
f (t)e − pt

+∞
−∞

= lim e − pt f (t) − lim e − pt f (t) = 0 .
t→ + ∞

Vậy, L{f’(t)} = pF(p).

t→ − ∞

+∞
−∞

+ pF(p) .


Cũng có thể chứng mình bằng cách khác như sau:
pε
 f (t) − f (t − ε)  1 − e
Ta có L 
F(p) ω1 < Re(p) < ω2 mà

=

ε
ε



+∞

lim

ε→0

∫

f (t,
=
ε)e − pt dt

−∞

+∞

1 − e pε
 f (t) − f (t − ε) 
− pt
e
lim
f
(t,

ε
)dt
⇒
lim
L
=
lim
F(p)


∫ ε→∞
ε→0 
ε→0
ε
ε


−∞
=p

f (t) − f (t − ε) 

⇔ L  lim
=
 pF(p) ω1 < Re(p) < ω2 .■
ε
ε→0

Nếu f(n)(t) vẫn là hàm gốc thì áp dụng liên tiếp kết quả trên, ta được
L{f(n)(t)} = pnF(p).

b. Công thức đạo hàm gốc cho phép biến đổi Laplace 1 chiều
Cho f(t) là hàm gốc và có đạo hàm f’(t) cũng là hàm gốc, L{f(t)H(t)} = F(p)
thì L{f’(t)H(t)} = pF(p).
■ Chứng minh:
Theo công thức định nghĩa (1.1) L{f '(t)H(0)} =

+∞

∫ f '(t)e

− pt

dt .

0

u = e − pt
du = − pe − pt
Đặt 
thì
⇒
'(t)dt  v f (t)
=
dv f=
+∞

L{f=
'(t)H(t)}

∫

f=
'(t)e − pt dt f (t)e − pt

0

= f (t)e − pt

+∞
0+

+∞
0

+∞

+ p ∫ f (t)e − pt dt
0

+ pF(p) = pF(p) − f (0+ ).

Vậy, L{f '(t)H(t)}
= pF(p) − f (0+ ) .
Nếu f(n)(t) vẫn là hàm gốc thì áp dụng liên tiếp kết quả trên, ta được

=
L{f
''(t)H(t)} pL{f '(t)H(t)} − f '(0+ )
= p[pF(p) − f (0+ )] − f '(0+ ) = p 2 F(p) − pf (0+ ) − f '(0+ ),
..........................................................................................................

L{f (n ) (t)H(t)}
= p n F(p) − [p n −1f (0+ ) + p n − 2f '(0+ ) + ... + p 0f (n −1) (0+ )],

(1.3)


(n )
hay L{f
=
(t)H(t)} p n L{f (t)H(t)} −

k= n −1

∑p

n − k −1 (k )

f

(t)

.

k =0

(1.4)

t = 0+

Hệ quả:
Lấy giới hạn 2 vế của (1.3) và chú ý

lim L{f (t)H(t)} = 0 (định lý về sự tồn

p →∞
Re(p) →∞

tại của ảnh – xem tiểu mục (1.2.2)), ta có

lim L{f '(t)H(t)}
= lim pF(p)
=
⇔ 0 lim pF(p) ⇔ lim=
pF(p) 0 .

p →∞

p →∞

p →∞

p →∞

c. Mở rộng cho hàm trễ Heaviside
+∞

− pt
Ta có L{f (t)H(t − t o )} =
∫ f (t)e dt .

to

Áp dụng tính chất trễ L{H(t + a).f(t + a)} = epaL{f(t)H(t)} (a = -t o < 0)
và thay f(t) bằng hàm f(t + t o ) thì f(t + a) chuyển thành
f(t + t o + a) = f(t + t o – t o ) = f(t).
Vậy, L{f (t)H(t − =
t o )} e − pt o L{f (t + t o )H(t)} .
Xem (1.4), ta có
(n )
=
L{f
(t)H(t)} p n L{f (t)H(t)} −

k= n −1

∑p

n − k −1 (k )

f

(t)

k =0

⇒ L{f (n ) (t + t o )H(t)} = p n L{f (t + t o )H(t)} −
mà L{f

(n )

− t o )} e
(t)H(t=

− pt o

L{f

(n )

,
t =0

k= n −1

∑p

+

n − k −1 (k )

f

k =0

(t + t o )

,
t =0

+

(t + t o )H(t)},

⇒ e pt o L{f (n ) (t)H(t − t o =
)} p n L{f (t + t o )H(t)} −

k= n −1

∑p

f

k =0

⇒ L{f (n ) (t)H(t=
− t o )} p n e − pt o L{f (t + t o )H(t)} − e − pt o

= L{f (t )H(t )}

Vậy, L{f (n ) (t)H(t
=
− t o )} p n L{f (t)H(t)} − e − pt o

n − k −1 (k )

k= n −1

∑p
k =0

(t + t o )

,
t = 0+

k= n −1

∑p

n − k −1 (k )

f

(t)

k =0

n − k −1 (k )

f

.
t =to

(t)

.
t =to

1.4.7. Tích phân gốc
a. Công thức tích phân gốc
Cho L{f(t)} = F(p):

 t
 F(p)
- Nếu Re(p) > 0 thì L  =
f
(t)dt
max(ω1 ,0) < Re(p) < ω2

∫
p
 −∞

 t
 F(p)
- Nếu Re(p) < 0 thì L  ∫ f (t)dt
=
ω1 < Re(p) < min(ω2 ,0)

p
 +∞

■ Chứng minh:
Với Re(p) > 0 thì L{H(t)} = 1 hay L-1{1} = H(t). Khi đó
−1  1


L  f=

(p).1
p


+∞

+∞

t

−∞

−∞

−∞

− x)dx ∫ f (x)H[− x − (=
− t)]dx ∫ f (x)dx .
∫ f (x)H(t =

Với Re(p) < 0 thì L-1{1} = -H(-t). Khi đó
−1  1

+∞

+∞


L  f (p).1 =
− ∫ f (x)H(x − t)dx =

− ∫ f (x)dx =
∫ f (x)dx .■
p

−∞
+∞
t
t

Một cách tổng quát, ta có thể mở rộng tính chất trên như sau:
−1 


1
1
- Với Re(p) > 0 thì L=
f (x)(t − x) n −1 dx
 n f (p) 
∫
p
 n − 1 −∞
t

−1 

t


1
1

- Với Re(p) < 0 thì L=
f (x)(t − x) n −1 dx
 n f (p) 
∫
p
 n − 1 +∞

b. Mở rộng cho hàm trễ Heaviside
Cho L{H(t – t o )f(t)} = F(p).
t

1
1 1
Với Re(p) > 0 thì L−=
F(p)
f (x)(t − x) n −1 dx
 n

∫
p
 n − 1 to
−1 


1
1
Với Re(p) < 0 thì L =
f (x)(t − x) n −1 dx
 n F(p) 
∫

p
 n −1 t
t

o


1.4.8. Đạo hàm ảnh (Luật nhân với tn)
Nếu L{f(t)} = F(p) thì L{t.f (t)} = −

dF(p)
.
dp

(1.5)

■ Chứng minh:
+∞

−

+∞

+∞

dF(p)
d
de − pt
− pt
f

(t)e
dt
f
(t)
dt =
tf (t)e − pt dt =
L{tf (t)} .■
=
−
=
−
∫
∫
∫
dp
dp −∞
dp
−∞
−∞

Áp dụng liên tiếp kết quả (1.5) ta được L{tnf(t)} = (-1)nF(n)(p).
Tương tự, ta cũng có L{H(t – t o ).tnf(t)} = (-1)nF(n)(p).

1.4.9. Tích phân ảnh (Luật chia cho t)
+∞

Nếu

∫
p

 f (t) 
F(p)dp hội tụ thì L 
=
 t 

+∞

∫ F(p)dp .
p

■ Chứng minh:
+∞

Ta có

+∞

+∞

∫ F(p)dp = ∫ dp ∫ f (t)e
p

p

− pt

dt .

(1.6)

−∞

Đổi thứ tự lấy tích phân trong (1.6), khi đó,
+∞

+∞

+∞

p

p

−∞

=
∫ F(p)dp

− pt

+∞

+∞

−∞

p

− pt

+∞

f (t)

− pt

dp ∫ f (t)e dt ∫=
f (t)dt ∫ e dp=
∫=
∫ t e dt
−∞

 f (t) 
L
 .■
 t 

1.4.10. Ảnh của tích chập
a. Tích chập của 2 hàm gốc
Tích chập của 2 hàm gốc f(t) và g(t) được kí hiệu là f*g và được định nghĩa
bởi f=
(t) * g(t)

+∞

∫ f (x).g(t − x)dx .

−∞

b. Các tính chất cơ bản của tích chập
- Tính giao hoán: f*g = g*f
- Tích chập của 2 hàm gốc là một hàm gốc


c. Ảnh của tích chập qua phép biến đổi Laplace
Nếu L{f(t)} = F(p) trên ω 1 < Re(p) < ω 2 và L{g(t)} = G(p) trên

ω1, < Re(p) < ω,2 thì
L{f*g} = F(p).G(p) trên max(ω 1 , ω’ 1 ) < Re(p) < min(ω 2 , ω’ 2 ).
■ Chứng minh:
+∞

Ta có L{f
* g}
=

∫e

− pt

+∞

dt

−∞

+∞ +∞

x)dx ∫ ∫ f (x)g(t − x)e

∫ f (x)g(t −=

−∞
+∞

− px
mặt
khác F(p)G(p) G(p).
=
=
∫ e f (x)dx
−∞

− pt

dxdt , (1.7)

−∞ −∞

+∞

∫e

− px

G(p)f (x)dx ω1 < Re(p) < ω2 .

(1.8)

−∞

Theo tính chất dịch chuyển ảnh L−1{e − px G(p)f (x)dx}
= f (x)g(t − x)dx .

(1.9)

Áp dụng phép biến đổi Laplace vào 2 vế của (1.9), ta có

=
LL−1{e − px G(p)f
(x)dx} L{f (x)g(t − x)dx}
+∞

− px
⇔ e − px G(p)f (x)dx =
∫ f (x)g(t − x)e dxdt

(1.10)

−∞

Thay (1.10) vào (1.8) ta thu được
+∞

=
F(p)G(p)

∫e

− px

+∞ +∞

G(p)f
=
(x)dx

−∞

∫ ∫ f (x)g(t − x)e

− pt

dxdt

−∞ −∞

Từ (1.7) và (1.11), định lý được chứng minh. ■
d. Công thức Duhamel cho phép biến đổi Laplace 2 phía
Nếu L{f(t)} = F(p); L{g(t)} = G(p) thì
L-1{ pF(p)G(p)} = f’*g; L-1{ pF(p)G(p)} = f*g’.
■ Chứng minh:
Ta có L{f’(t)} = pF(p) nên L{f’*g} = L{f’}L{g} = pF(p)G(p). ■

(1.11)


e. Công thức Duhamel cho phép biến đổi Laplace 1 phía
Nếu L{H(t)f(t)} = F(p) và L{H(t)g(t)} = G(p) thì
L-1{pF(p)G(p)} = H(t)[f(0).g(t) + f’*g],

L-1{pF(p)G(p)} = H(t)[g(0).f(t) + f*g’].
■ Chứng minh:
Ta có pF(p)G(p) = f(0).G(p) + [pF(p) – f(0)].G(p).
Mặt khác L{H(t)f’(t)} = pF(p) – f(0) và L{H(t).f’*g} = L{H(t)f’(t)}.L{H(t)g(t)}
= [pF(p) – f(0)].G(p) = pF(p)G(p) – f(0)L{H(t)g(t)} = pF(p)G(p) – L{f(0).H(t)g(t)}.
Vậy, L{H(t)[f’*g + f(0).g(t)]} = pF(p)G(p) suy ra các công thức Duhamel. ■
f. Công thức tích chập mở rộng
Cho L{f 1 (t)} = F 1 (p) trên ω’ 1 < Re(p) < ω 1 ;
L{f 2 (t)} = F 2 (p) trên ω’ 2 < Re(p) < ω 2 ;…;
L{f n (t)} = F n (p) trên ω’ n < Re(p) < ω n .
Khi đó,
L−1=
{F1 (p)F2 (p)...Fn (p)}

+∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

∫ dx 2 ∫ dx 3... ∫ dx n .f1 (t − x 2 − x 3 − ... − x n )f 2 (x 2 )f3 (x 3 )...f n (x n )

max(ω , ω ,..., ω ) < Re(p) < min(ω1 , ω2 ,..., ωn ).
,

1

,
2

,
n

Thêm hàm f o (t) = H(t) trong nhóm n hàm trên thì L{H(t)} = 1 trên 0 < Re(p)
+∞

−1

L=
{F1 (p)F2 (p)...Fn (p)}

+∞

+∞

∫ dx ∫ dx ... ∫ dx .H(t − x
1

−∞

2

−∞

n

1

− x 2 − x 3 − ... − x n )f1 (x1 )f 2 (x 2 )...f n (x n )

−∞

max(0, ω1, , ω,2 ,..., ω,n ) < Re(p) < min(ω1 , ω2 ,..., ωn ).

Vì H(t – x 1 – x 2 - …. – x n } = 1 khi t > x 1 + x 2 +… + x n nên
+∞

−1

L {F1 (p)F2 (p)...Fn (p)} =

+∞

+∞

∫ dx ∫ dx ... ∫
1

dx n f1 (x1 )f 2 (x 2 )...f n (x n ).

2



−∞

−∞

−∞

x1 + x 2 +...+ x n < t
t

t − x1

t − x1 − x 2

t − x1 − x 2 −...− x n −1

−∞

−∞

−∞

−∞

⇔ L {F1 (p)F2 (p)...Fn (p)} =
∫ dx1 ∫ dx 2 ∫ dx 3...
−1

∫

dx n f1 (x1 )f 2 (x 2 )...f n (x n ).

Ví dụ: Cho L{f(t)H(t)} = F(p); L{g(t)H(t)} = G(p). Áp dụng tích chập ta có


+∞

L−1{F(p)G(p)}
=

t

f (x)H(x)g(t − x)H(t −=
x)dx H(t) ∫ f (x)g(t − x)dx

∫

−∞

0

(max(ω1 , ω2 ) < Re(p) < ∞).

1.4.11. Định lý giá trị đầu-cuối
+∞

∫ f (t)e

Cho L{f (t)} =

− pt

dt . Đổi biến u = pt thì t = u/p. Khi đó,

0

L{f (t)H(t)}
=

1
p

+∞

 u  −u
pF(p)
∫0 f  p  e du ⇔=

+∞

u

e du
∫ lim f  p =

pF(p)
⇒ lim=
p →∞

0

−u

p →∞
+∞

u

p →0

0

p →0

+

−u

u

∫ f  p  e

−u

du ,

0

lim f (t),

t →0+

lim f   e du
∫=
p

hay lim+ pF(p)
=

+∞

lim f (t),
t →∞

hoặc có thể viết pF(p) p = +∞ = f (0+ ) và pF(p) p =0+= f (+∞) .

1.5. Công thức Mellin xác định hàm gốc từ hàm ảnh
1.5.1. Định lý
Nếu F(p) là một hàm phức thỏa mãn các tính chất sau:
- Giải tích trong miền ω1 < Re(p) < ω2
- F(p) → 0 khi p → ∞ trong miền ω1 < Re(p) < ω2
a +i.∞

- Tích phân

∫

e pt F(p)dp hội tụ tuyệt đối với a là một số thực thuộc miền

a −i.∞

ω1 < Re(p) < ω2

Khi đó, F(p) là hàm ảnh của một hàm gốc f(t) xác định bởi công thức Mellin
a +i.∞

f (t) =

∫

e pt F(p)dp

với ω 1 < a < ω 2 ,

a −i.∞
a +i.∞

và f (t)H(t) =

∫

a −i.∞

e pt F(p)dp với ω 1 < a < ∞.


1.5.2. Ảnh của tích hai gốc
Do tính tương ứng của tích chập, dễ dàng chứng minh rằng:
Nếu L{f(t)} = F(p) trên ω’ 1 < Re(p) < ω 1 ; L{g(t)} = G(p) trên ω’ 2 < Re(p) < ω 2 thì
c +i.∞

L{f
=

(t)g(t)}

∫

F(x)G(p − x)dx, ω,2 + c < Re(p) < ω2 + c, c ∈ (ω1, , ω1 ) .

c −i.∞

1.6. Phép biến đổi Laplace 2 phía n-chiều
Để tăng tính tổng quát, ta khảo sát phép biến đổi Laplace n-chiều 2 phía mà
một trường hợp riêng của nó là phép biến đổi Laplace 4-chiều 2 phía.

1.6.1. Định nghĩa
Cho hàm gốc

f (r) = f (r1 , r2 ,..., r n )

là một hàm số thực n biến,

F(p) = F(p1 , p 2 ,..., p n ) là một hàm phức n biến. Khi đó, ánh xạ từ R n → C n biến
f (r) = f (r1 , r2 ,..., r n ) thành F(p) = F(p1 , p 2 ,..., p n ) kí hiệu là L{f(r)} được gọi là một
phép biến đổi Laplace n-chiều nếu
n

∑ pi .ri
=
L{f (r)} ∫=
... ∫ f (r).e i =1 dr1dr2 ....drn F(p 1 , p 2 ,..., p n ) .
−∞ −∞


+∞

+∞

−

n times

Hiển nhiên L-1{F(p)} = f(r) là một phép biến đổi Laplace ngược.

1.6.2. Miền hội tụ
Tồn tại một miền hội tụ dạng g(p i ) = 0 để L{f(r)} tồn tại duy nhất, khi đó, để
tìm hàm gốc, chỉ cần tìm gốc theo biến rk (k bất kì) sẽ được hàm F 1 (p i , i ≠ k) rồi lại
tìm gốc theo biến rj (j bất kì) sẽ được hàm F 2 (p i , i ≠ j ≠ k), cứ như thế cho đến khi
được f(r i , i = 1,2,…,n) = f(r). Hay nói cách khác, trên một miền hội tụ xác định, có
thể tìm ảnh qua phép biến đổi Laplace n-chiều bằng cách áp dụng liên tiếp các phép
biến đổi Laplace 1 chiều lên các biến bất kì không quan tâm đến thứ tự. Khi tìm gốc
từ một ảnh, cũng làm tương tự nhờ phép biến đổi Laplace ngược.