vai trò của hình vẽ trong hình học giải tích 12
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.08 MB, 118 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
________________
Huỳnh Thị Phước Diễm
VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ
TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
________________
Huỳnh Thị Phước Diễm
VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ
TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 12
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số
: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS.ĐOÀN HỮU HẢI
Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy, TS. Đoàn Hữu Hải,
người đã tận tình hướng dẫn tôi thực hiện luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, TS.Trần Lương
Công Khanh và TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung và các quí thầy cô đã tham gia
giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Didactic Toán khóa 19; PGS. Claude
Comiti, PGS. Annie Bessot, GS. Alain Birebent đã có những ý kiến đóng góp
quí giá định hướng cho đề tài của tôi và các bạn.
Cảm ơn những người bạn thân thiết của tôi : Nguyễn Thị Ngọc Cẩm,
Lê Thị Thúy Hằng, Phạm Thị Tú Hạnh, Nguyễn Thị Bích Hoa. Các bạn đã
giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học cũng như khi làm luận văn.
Xin cảm ơn: Ban Giám Hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường
THPT Lương Thế Vinh, Q1, TPHCM đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi
hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị, các bạn cùng lớp Didactic
Toán khóa 19 luôn sát cánh cùng tôi trong suốt quá trình học tập.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, những người thân yêu
luôn bên cạnh, khích lệ, động viên tôi, giúp tôi vượt qua khó khăn để hoàn
thành luận văn, đặc biệt là chồng tôi, Nguyễn Đình Liêm, người luôn là chỗ
dựa tinh thần vững chắc cho tôi.
TP Hồ Chí Minh năm 2012
Huỳnh Thị Phước Diễm
MỤC LỤC
MỤC LỤC ............................................................................................................................................. 1
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ......................................................................................................... 3
MỞ ĐẦU ................................................................................................................................................ 4
I.
Lý do chọn đề tài: .................................................................................................................... 7
II.
Mục đích nghiên cứu: .............................................................................................................. 8
III.
Phạm vi lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu: .................................................. 8
IV.
Tổ chức của luận văn: ........................................................................................................ 10
Chương 1: VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG DẠY TOÁN HÌNH HỌC QUA CÁC NGHIÊN
CỨU ĐÃ CÓ ........................................................................................................................................ 11
1.1 Hình hình học và hình vẽ: ........................................................................................................ 11
1.2 Hình vẽ trong hoạt động dạy và học hình học: ......................................................................... 12
1.3 Hình vẽ và việc đọc hình vẽ của một hình hình học trong không gian qua công trình nghiên
cứu của Hamid Choachoua ............................................................................................................ 15
Chương 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI ĐỐI TƯỢNG HÌNH VẼ ........................................... 19
2.1 Phần 1: PHÂN TÍCH SGK HIỆN HÀNH ................................................................................ 19
2.1.1 Bài 1: “Hệ tọa độ trong không gian” ................................................................................. 20
2.1.2. Bài 2 “Phương trình mặt phẳng” ...................................................................................... 24
2.1.3 Bài 3: “Phương trình đường thẳng trong không gian” ........................................................ 33
2.2 Phần 2: CÁC TỔ CHỨC TOÁN HỌC CÓ TRONG SGK VÀ SBT HÌNH HỌC 12 HIỆN
HÀNH .......................................................................................................................................... 38
2.2.1
T ptmp : Kiểu nhiệm vụ viết PTMP..................................................................................... 38
2.2.2
T ptdt : Kiểu nhiệm vụ viết PTĐT trong không gian. .......................................................... 43
2.2.3
T kc : Kiểu nhiệm vụ tính khoảng cách................................................................................ 52
2.2.4
T vttd : Kiểu nhiệm vụ xét vị trí tương đối. .......................................................................... 57
2.2.5
T hc : Kiểu nhiệm vụ tìm hình chiếu của một điểm............................................................ 57
2.2.6
T ddx : Kiểu nhiệm vụ tìm điểm đối xứng ........................................................................... 60
2.2.7
T ptmc : Kiểu nhiệm vụ liên quan đến PTMC:.................................................................... 61
2.2.8
T hkg : Kiểu nhiệm vụ giải một bài hình khối không gian bằng phương pháp tọa độ: ........... 63
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2: ......................................................................................................... 66
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM ............................................................................................................. 68
3.1 Giới thiệu thực nghiệm: ........................................................................................................... 68
3.2 Kết quả phiếu khảo sát ý kiến HS: ........................................................................................... 69
2.3
Bài toán thực nghiệm: ........................................................................................................ 73
3.4 Phân tích tiên nghiệm: ............................................................................................................. 74
3.4.1 Phân tích câu hỏi 1, 2: ....................................................................................................... 75
3.4.2 Phân tích câu hỏi 3:........................................................................................................... 78
3.5 Phân tích hậu nghiệm: ............................................................................................................. 80
3.5.1 Phân tích câu hỏi 1:........................................................................................................... 80
3.5.2 Phân tích câu hỏi 2:........................................................................................................... 81
Phân tích câu hỏi 3: ................................................................................................................... 83
3.6 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3: ....................................................................................................... 84
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................................................... 88
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Từ đầy đủ
Từ viết tắt
SGK
Sách giáo khoa
SGKHH
Sách giáo khoa hiện hành
SGV
Sách giáo viên
SBT
Sách bài tập
HS
Học sinh
GV
Giáo viên
PTĐT
Phương trình đường thẳng
PTMP
Phương trình mặt phẳng
PTMC
Phương trình mặt cầu
VTPT
Vectơ pháp tuyến
VTCP
Vectơ chỉ phương
Tr.
Trang
PTTQ
Phương trình tổng quát
PTTS
Phương trình tham số
MỞ ĐẦU
Tìm hiểu sơ lược hình vẽ qua các thời kì lịch sử của hình học:
Điểm qua các thời kì phát triển của hình học trong lịch sử, ta thấy vai trò của
hình vẽ cũng có sự thay đổi nhất định. Tham khảo [3- Tr.7-44, Tr.55-60], chúng tôi
xin tóm tắt lại qua các thời kì sau.
Đầu tiên là thời Ai Cập và Babylon cổ. Có thể xem Ai Cập và Babylon là cái
nôi của hình học, theo các tài liệu cổ để lại. Vào thời này, hình học được sử dụng để
giải quyết các vấn đề thực tiễn như: đo đạc ruộng đất, xây dựng nhà cửa, công trình,
phân chia lại ruộng đất sau mỗi trận lũ của sông Nile, …
Người Ai Cập cổ đã biết xây dựng công thức của một số hình phẳng đơn
giản như hình tam giác, hình chữ nhật, hình thang, hình tròn,…dù những công thức
ấy chưa thật sự chính xác (các công thức cho kết quả gần đúng).
“Hình học Ai Cập và Babylon cổ chỉ là tập hợp một số khái niệm và công
thức tính toán cho phép đo đạc trên các hình” (Theo [3 – Tr.9]). Vì vậy, hình vẽ thể
hiện vai trò tối quan trọng trong hình học giai đoạn này.
Sang đến thời Hy Lạp cổ, hình học nhanh chóng chuyển thành một khoa học
suy diễn và trừu tượng. Một số tên tuổi có thể kể đến trong giai đoạn này là Thalès,
Pythagore, Hypocrate, Platon,…
Thalès là một người có nhiều đóng góp quan trọng cho hình học ở giai đoạn
này. Một số kết quả có thể nhắc đến của ông như cách xác định tam giác khi biết
một cạnh và hai góc kề của nó, phương pháp tính khoảng cách hai điểm cách xa
nhau mà người ta không có điều kiện đo đạc trực tiếp,… Một công trình nổi tiếng
gắn liền với Thalès là tính chiều cao một vật khi biết độ dài bóng của nó trên mặt
đất. Cách làm này đòi hỏi phải có hình vẽ thể hiện mối liên hệ giữa các đại lượng
mà ông muốn đo đạc, tính toán. Bên cạnh đó, còn nhiều tính chất khác cũng được
chứng minh mà hình vẽ không thể nào vắng mặt. Điều này thể hiện sự thống trị của
hình vẽ trong nghiên cứu hình học thời bấy giờ.
“Pythagore là một người mang lại nhiều biến đổi sâu sắc cho hình học” [3Tr.11 ]. Một số phát minh hình học của Pythagore và những người cùng trường phái
gắn liền với việc sử dụng hình vẽ trong hình học như: định lý về tổng các góc trong
một tam giác, chia mặt phẳng thành các đa giác đều, giải phương trình bậc hai bằng
hình học 1, dựng một đa giác có diện tích cho trước và đồng dạng với đa giác cho
trước,...
Có thể nói, hình vẽ vẫn giữ một vai trò vô cùng quan trọng trong giai đoạn
này.
Bước sang thế kỷ thứ III trước Công nguyên: hình học bắt đầu được xây
dựng theo phương pháp tiên đề với nền tảng là tác phẩm “Cơ bản” nổi tiếng của
Euclid.
Thế kỷ XVII, XVIII đánh dấu một sự thay đổi lớn, hình học giải tích ra đời
làm đảo ngược vai trò của hình học đối với đại số vốn được hình thành từ nhiều thế
kỷ. René Descartes và Pierre Fermat được xem là những người cùng sáng lập ra bộ
môn này. Cả hai nghiên cứu một cách độc lập nhưng lại cùng đưa ra những cơ sở
cho môn hình học mới.
Hình học giải tích cũng có thể xem là cách dùng hình học để giải đại số,
nhưng Descartes và Fermat lại thiên về cách nghĩ đó dùng đại số để giải hình học.
Do không phụ thuộc vào hình, một bài hình học được giải theo phương pháp hình
học giải tích trở nên đơn giản hơn, tuy nhiên nó cũng làm mất đi đặc trưng của hình
học là hình vẽ. Chính vì vậy, vai trò của hình vẽ thống trị bấy lâu nay trong hình
học không còn nữa.
1
áp dụng các phép tính về diện tích
Cùng với hình học giải tích, vào cuối thời kì này một dấu ấn khác trong hình
học được điểm thêm vào. Môn “hình học họa hình” 2 ra đời và phát triển mạnh do
yêu cầu của các ngành xây dựng vè kiến trúc. Nó đánh dấu sự trở lại của hình học
tổng hợp trong nghiên cứu hình học. Và nhờ vậy mà hình vẽ vẫn còn cơ hội để thể
hiện mình trong hình học.
Những giai đoạn tiếp theo của lịch sử hình học chịu ảnh hưởng nhiều từ tác
phẩm mà Euclid để lại. Vào thế kỷ XIX , môn hình học phi Euclid ra đời từ mục
đích chứng minh tiên đề 5 trong hệ tiên đề của ông là thừa. Không thành công trong
việc chứng minh, nhưng một số nhà Toán học đã tìm được những kết quả cho việc
hình thành một môn hình học mới: hìmh học phi Euclid. Các nhà toán học gắn với
môn hình học này có thể kể đến như Lobatcheski, Bolyai, Gauss,…
Bộ “Cơ bản” của Euclid vẫn được xem là mẫu mực trong một giai đoạn dài
dù vẫn còn tồn tại thiếu sót. Mãi đến thế kỷ XX, hệ tiên đề của ông mới được hoàn
thiện nhờ công của nhà toán học người Đức, Hilbert. Và từ đây, các tiên đề được
được diễn đạt như cơ sở của một lý thuyết, không có chút trực giác nào được xen
vào.
Như vậy, có thể thấy, hình học giải tích ra đời tạo một sự thay đổi
đáng kể trong quan hệ giữa đại số và hình học trong lịch sử toán học, hay nói cách
khác, đó là sự thay đổi vai trò của hình vẽ trong hình học.
Trước khi hình học giải tích ra đời, hình học đóng vai trò “tối ưu” trong việc giải
một bài toán. Có nhiều lý do dẫn đến điều này. Một phần do hình học phát triển
sớm hơn nên đã có một hệ thống lý thuyết được chứng minh chặt chẽ, cộng với các
phương pháp phát triển khá phong phú. Bên cạnh đó, do đại số chưa có đầy đủ hệ
thống kí hiệu để diễn đạt những vấn đề cần giải quyết. Chính vì thế, để khắc phục
khó khăn trong việc giải một bài toán đại số, người ta thường quy về một bài toán
2
lý thuyết về việc biểu diễn các hình không gian lên mặt phẳng. Cuốn “Hình học họa hình” của Monge
(1746-1818) được xuất bản vào đầu thế kỉ XIX”
hình học. Cũng lưu ý, hình học ở giai đoạn, hình vẽ chiếm ưu thế trong việc nghiên
cứu cũng như giải quyết một bài toán. Chính vì vậy, có thể nói trước khi hình học
giải tích ra đời, hình vẽ giữ vị trí độc tôn trong toán học.
Cũng vì lý do quá phụ thuộc vào hình vẽ, một số bài toán trở nên khó khăn trong
việc tìm ra lời giải. Đôi khi phải phân chia rất nhiều trường hợp mới có thể giải
quyết xong một bài toán. Đó là lý do khiến hình học giải tích ra đời. Lúc này, đại số
đã có những bước phát triển đáng kể. Với hệ thống kí hiệu và phương pháp tương
đối đầy đủ, các bài toán đại số trở nên đơn giản hơn. Việc đưa một bài toán hình
học về đại số được xem là một biện pháp để giải nhiều bài toán hình học được xem
là hóc búa nếu phải sử dụng hình vẽ. Và cũng vì vậy, sử dụng đại số để giải một bài
toán hình học, hình vẽ đã mất dần vị trí của mình trong hình học.
Lý do chọn đề tài:
I.
Xem xét các giai đoạn của lịch sử hình học, chúng tôi nhận thấy sự ra đời
của hình học giải tích đánh dấu một bước ngoặt quan trọng trong việc kết hợp
giữa hình học và đại số. Hơn nữa, nó lại đảo ngược mối quan hệ giữa đại số và
hình học đã được hình thành lúc bấy giờ, thay đổi vai trò của hình vẽ trong hình
học.
Trong thời đại hiện nay, khi đưa hình giải tích vào giảng dạy ở chương trình
phổ thông, những đặc trưng đó có còn được bộc lộ, và vai trò của hình vẽ trong
hình học giải tích được thể hiện như thế nào? Thắc mắc này dẫn chúng tôi đến
việc nghiên cứu đề tài “Vai trò của hình vẽ trong hình học giải tích 12”
Đã có một nghiên cứu đề cập hình vẽ trong hình học giải tích 12. Chúng tôi
muốn nhắc đến luận văn thạc sĩ của Lê Quang Minh (2009) với đề tài “Quan
điểm vectơ trong dạy học hình học giải tích ở trường phổ thông”. Tuy nhiên,
trong luận văn này, tác giả chủ yếu nghiên cứu quan niệm của học sinh về việc
sử dụng vectơ trong quá trình giải một bài toán hình học giải tích. Hơn nữa, luận
văn nghiên cứu chương trình hình học 12 nâng cao. Chưa bằng lòng với những
kết quả ấy, chúng tôi tiến hành tìm hiểu sâu hơn về hình vẽ, đồng thời cũng thay
đổi đối tượng nghiên cứu so với luận văn đã có. Trong luận văn này, chúng tôi
quan tâm đến những nội dung được trình bày trong SGK hiện hành theo chương
trình Cơ bản ([9]), đồng thời cũng kế thừa những nghiên cứu đã có trong [15] để
giải đáp cho những thắc mắc của mình.
Mục đích nghiên cứu:
II.
Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là đi tìm câu trả lời cho những câu
hỏi nêu trên, cụ thể là những mục đích sau:
-
Tìm hiểu đặc trưng khoa học luận khái niệm hình vẽ.
-
Làm rõ những lựa chọn sư phạm của chương trình hình học giải tích lớp
12 Cơ bản về hình vẽ.
-
Xây dựng một tình huống học sinh phải sử dụng hình vẽ để giải một bài
toán giải tích.
-
Quan sát, thu thập và phân tích kết quả thực nghiệm để làm rõ các đặc
trưng hình học của hình vẽ đã xuất hiện ở học sinh như thế nào qua tình
huống thực nghiệm.
III.
Phạm vi lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu một khái niệm qua lịch sử hình thành của nó giúp làm rõ khái
niệm đó xuất hiện thế nào, trong những tình huống nào và có mối quan hệ với
các khái niệm khác ra sao, … Do đó, muốn tìm hiểu vai trò của hình vẽ trong
các bài toán hình học giải tích, chúng tôi thấy việc phân tích khoa học luận, tìm
hiểu về lịch sử hình thành và phát triển của hình vẽ qua các công trình đã có là
một việc hết sức cần thiết.
Ngoài ra, tìm hiểu một đối tượng tri thức còn cần phải xem xét nó trong một
thể chế nhất định và trong các mối liên hệ với các đối tượng khác. Vì thế, chúng
tôi cũng phải tiến hành phân tích vai trò của hình vẽ trong mối liên hệ thể chế
hiện hành của chương trình Toán 12 ở Việt Nam.
Như vậy, nội dung nghiên cứu đề tài này được đặt vào phạm vi của Didactic
Toán. Cụ thể là các kiến thức về lịch sử Toán học, lí thuyết nhân chủng; khái
niệm hợp đồng Didactic trong việc phân tích các ứng xử, câu trả lời của học
sinh; lí thuyết xây dựng và hoạt động trong Toán học dùng để phân tích tiên
nghiệm và hậu nghiệm sản phẩm của học sinh,…
Trong khung lý thuyết tham chiếu này, từ những câu hỏi khởi đầu nêu trên,
chúng tôi xin trình bày lại hệ thống câu hỏi nghiên cứu của luận văn như sau:
1. Vai trò hình vẽ đã thay đổi như thế nào trong lịch sử hình học?
2. Hình vẽ có những đặc trưng gì trong việc dạy học hình học?
3. Thể chế khai thác hình vẽ như thế nào trong hình giải tích?
4. Những ràng buộc của thể chế ảnh hưởng thế nào đến mối quan hệ cá
nhân học sinh với đối tượng hình vẽ?
Trả lời được các câu hỏi nêu trên, chúng tôi sẽ đạt được mục đích đề ra. Từ
đó, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu như sau:
-
Tìm hiểu, tổng hợp và tóm tắt một số công trình đã có về nghiên cứu
khoa học luận khái niệm hình vẽ trong không gian để làm rõ các đặc trưng khoa học
luận của các khái niệm này cũng như sự tiến triển của chúng qua các giai đoạn khác
nhau của lịch sử.
-
Phân tích chương trình, sách giáo khoa và sách giáo viên toán phổ thông
của Việt Nam để làm rõ mối quan hệ của thể chế dạy học Việt Nam đối với khái
niệm hình vẽ, vai trò của hình vẽ trong nội dung hình giải tích 12 chương trình SGK
hiện hành.
-
Xây dựng một bài toán thực nghiệm và phân tích tiên nghiệm tình
huống…
-
Tiến hành thực nghiệm và phân tích hậu nghiệm, đối chiếu với phân tích
tiên nghiệm.
IV.
Tổ chức của luận văn:
Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương sau:
Chương I: Tìm hiểu vai trò hình vẽ trong dạy học toán hình học qua một số
nghiên cứu đã có. Vai trò hình vẽ qua các thời kì lịch sử của hình học đã được
trình bày ở phần đầu luận văn. Vì vậy, trong chương này, chúng tôi không đề
cập đến yếu tố lịch sử mà chỉ xem xét vai trò của hình vẽ được nhìn nhận như
thế nào trong hoạt động dạy – học hình học.
Chương II: Mối quan hệ thể chế với đối tượng hình vẽ: trong chương này,
chúng tôi phân tích cách trình bày của SGKHH, xem xét và rút ra những vai trò
có thể có của hình vẽ qua cách trình bày ấy. Bên cạnh đó, việc phân tích các tổ
chức toán học tồn tại trong SGK và SBT hiện hành 3 cũng giúp chúng tôi phát
hiện được một số hợp đồng Didactic của HS (nếu có). Từ sự phân tích nhiều
mặt, chúng tôi sẽ rút ra giả thuyết của mình luận văn.
Chương III: Thực nghiệm
Để kiểm chứng những giả thuyết đã được đưa ra ở chương 2, chúng tôi tiến
hành thực nghiệm qua 2 phần. Phần 1, chúng tôi phát phiếu khảo sát cho HS, thu
thập ý kiến của các em về mối quan tâm của các em đối với vai trò hình vẽ trong
hình học giải tích. Sau đó, chúng tôi cho các em làm một bài toán thực nghiệm gồm
3 câu để kiểm tra thói quen vẽ hình của các em trong khi làm bài tập.
Cuối cùng, từ những kết quả có được, chúng tôi rút ra kết luận cho luận văn
của mình.
3
Ở đây, SGK và SBT hiện hành là cách mà chúng tôi gọi [9] và [14], thuộc chương trình Cơ bản.
Chương 1: VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG DẠY TOÁN
HÌNH HỌC QUA CÁC NGHIÊN CỨU ĐÃ CÓ
Mục đích nghiên cứu của chương 1:
Qua việc tìm hiểu các công trình nghiên cứu về hình vẽ, chúng tôi muốn phân biệt
rõ hai khái niệm hình hình học và hình vẽ, đồng thời chỉ ra những vai trò vốn có của
hình vẽ trong hình học nói chung và hình học không gian nói riêng. Từ đó dẫn đến
việc liên hệ với chương trình hình học giải tích được giảng dạy ở lớp 12, chương
trình Toán phổ thông, xem xét vai trò của hình vẽ có được khai thác theo những gì
đã được trình bày hay không? Để thực hiện những nhiệm vụ trên, chúng tôi tìm
hiểu các tài liệu sau:
-
“Phương pháp dạy – học hình học ở trường trung học phổ thông” của tác giả
Lê Thị Hoài Châu ([3])
-
“Hình học không gian thực trạng về việc đọc hình vẽ của học sinh cuối cấp
Trung học cơ sở”: Luận văn Thạc Sĩ của Hamid Chaachoua – Đoàn Hữu Hải
dịch ([8])
-
“Nghiên cứu Didactique về hình vẽ trong dạy học hình học, trường hợp:
bước chuyển từ tiểu học sang trung học cơ sở”: Luận văn Thạc Sĩ của Trần
Thị Kim Nhung, năm 2007 ([16])
Nội dung cụ thể mà chúng tôi tìm hiểu như sau:
1.1 Hình hình học và hình vẽ:
Phân biệt giữa hình hình học và hình vẽ:
Hình hình học:
Có thể hiểu hình hình học là:
• một tập hợp khác rỗng các điểm trong không gian
• một đại lượng lí tưởng
• đối tượng nghiên cứu của hình học, được mô tả qua những tiên đề,
định nghĩa, tính chất.
Hình vẽ:
Hình vẽ là hình biểu diễn phẳng của các hình hình học, đối tượng nghiên cứu
của hình học sơ cấp, do đó là một công cụ hết sức cần thiết trong việc giải các bài
toán theo phương pháp tổng hợp. Hình vẽ thường được vẽ cụ thể trên giấy nên số
đo giữ vai trò trung tâm. Có thể nói tất cả các hình vẽ cụ thể của hình hình học được
biểu diễn trên mặt phẳng đều là những biểu diễn không hoàn chỉnh.
1.2 Hình vẽ trong hoạt động dạy và học hình học:
Hai cơ chế của hình vẽ:
•
Là hình biểu diễn cho một đối tượng có thể dựng được của thực tế:
hình vẽ xuất hiện ở cơ chế này trong trường hợp được nghiên cứu bằng quan điểm
thực nghiệm.
•
Là hình biểu diễn của những khái niệm trừu tượng: trong cơ chế này,
hình vẽ xuất hiện trong bước khái quát hóa, trừu tượng hóa các biểu tượng đã được
quan sát, thực nghiệm từ trước.
Trong quá trình chuyển từ quan điểm thực nghiệm sang quan điểm tiên đề,
SGK hiển nhiên công nhận việc HS phải chuyển cách nhìn hình vẽ từ cơ chế thứ
nhất sang cơ chế thứ hai mà không tính đến những khó khăn mà HS gặp phải. Theo
[3 –Tr.204]
Vai trò của hình vẽ trong các phương pháp tiếp cận hình học sơ cấp:
•
Phương pháp tổng hợp: Hình vẽ đóng vai trò quan trọng vì nó là
“điểm tựa trực giác” 4 cho việc tìm tòi lời giải một bài toán. Lời giải phụ thuộc rất
nhiều vào hình vẽ.
•
Phương pháp giải tích: Thông qua trung gian là hệ tọa độ, ta thay thế
các đối tượng và quan hệ hình học thành những đối tượng và quan hệ đại số. Việc
thay thế này giúp cho các bài toán hình học đơn giản hơn, không phải chia nhiều
trường hợp đối với một số bài, lời giải không phụ thuộc vào hình vẽ. Chính vì vậy,
bài toán giải theo phương pháp giải tích thường thoát ly hoàn toàn khỏi phạm vi
hình học.
•
Phương pháp vectơ: trong phương pháp này, ta có thể cộng, trừ, nhân
trực tiếp lên các đối tượng hình học, vừa có thể tận dụng các công cụ đại số, lại
không thoát ly khỏi phạm vi hình học.
Ngoài ra, bằng cách đặt vectơ vào hệ tọa độ, người ta còn có một cách
nghiên cứu hình học mới gọi là phương pháp vectơ – tọa độ (còn gọi tắt là phương
pháp tọa độ hay hình học giải tích). Nó thiết lập mối liên hệ giữa phương pháp giải
tích và phương pháp vectơ. Đây cũng chính là nội dung được trình bày trong SGK,
và là nội dung mà chúng tôi quan tâm trong luận văn này.
Để kết hợp các phương pháp với nhau, [3] đưa ra những con đường trình bày
hình học ở trường phổ thông. Tùy vào mục đích của từng chương trình mà chúng ta
có ba lựa chọn cho việc trình bày hình học:[3- Tr. 61]
PP tổng hợp
PP vectơ
PP giải tích
PP giải tích
PP vectơ
PP vectơ
PP giải tích
Vai trò hình vẽ trong dạy – học hình học không gian:
4
Cách gọi của tác giả Lê Thị Hoài Châu trong [3]
Đại số hóa
hình học
Theo Parzysz, trong dạy – học hình học, hình vẽ có ba chức năng cơ bản là
tóm tắt, chứng tỏ, phỏng đoán. (Parzysz, 1991) (theo [3 – Tr.205])
Tóm tắt: hình vẽ là một bản tóm tắt rõ ràng và trực quan nhất cho một bài
toán, nếu HS biết cách thể hiện. Nó bộc lộ hết những giả thiết, những mối liên hệ
giữa các yếu tố, tạo điều kiện giúp HS giải toán một cách dễ dàng.
Cũng lưu ý, trong hình học phẳng, ta chỉ quan tâm đến hai đối tượng là
“điểm” và “đường thẳng”, trong khi trong hình học không gian xuất hiện thêm một
đối tượng thứ ba là “mặt phẳng”. Do đó, các mối quan hệ trong hình vẽ của một
hình không gian sẽ phức tạp hơn.
Mặt khác, một đối tượng hình học trong không gian được chuyển sang hình
vẽ bằng sự phiên dịch các tính chất hình học của nó sang các quan hệ trên hình.
Việc phiên dịch này thực hiện qua các phép chiếu song song. Chính vì thế, hình vẽ
chỉ giữ lại một số tính chất của đối tượng hình học ban đầu như tính song song, tính
thẳng hàng, các trọng tâm và tỉ lệ giữa các độ dài. Có thể thấy, trong hình học
phẳng, ta luôn luôn vẽ được một hình chính xác với những mối liên hệ: thuộc, song
song, vuông góc, bằng nhau,… Nhưng đối với hình học không gian, điều này không
phải lúc nào cũng thực hiện được. Ví dụ, hai đường thẳng vuông góc nhau theo tính
chất, nhưng trên hình vẽ có thể là không, hai đường thẳng chéo nhau trên thực tế,
nhưng trên hình, ta lại thấy chúng cắt nhau,…
Vì vậy, để thực hiện tốt chức năng tóm tắt của hình vẽ, HS cần phải có một
số kĩ năng vẽ hình nhất định. Bên cạnh đó, việc sử dụng các phần mềm vẽ hình
cũng là một cách giúp HS tìm được những hình vẽ rõ ràng, trực quan nhất có thể.
Chứng tỏ: Trong một số trường hợp,
S
hình vẽ có thể cung cấp cho ta các phản ví dụ
để bác bỏ một mệnh đề nào đó. Ví dụ, ta có thể
bác bỏ mệnh đề “trong không gian, đường
thẳng vuông góc với một đường thẳng bất kì
K
trong mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng
ấy” bằng một hình vẽ. Đây là một mệnh đề mà
HS hay nhầm lẫn (phải vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau thì mệnh đề mới đúng).
Nhìn
vào
hình
vẽ
1.1,
ta
C
A
thấy
H
KH ⊥ AB, AB ⊂ ( ABC ) nhưng KH không thể
vuông góc mặt phẳng (ABC).
Phỏng đoán: Hình vẽ đúng, trực quan
B
Hình 1.1: Hình minh họa phản ví dụ
giúp HS phát hiện ra các tính chất của hình và
hình thành những phán đoán hoặc tìm hướng giải quyết bài toán (có thể là tìm một
đại lượng hay chứng minh một tính chất,…).
1.3 Hình vẽ và việc đọc hình vẽ của một hình hình học trong không gian
qua công trình nghiên cứu của Hamid Choachoua
Theo nghiên cứu của Hamid Choachoua, hình vẽ có thể xem là mô hình của
một đối tượng hình học hay mô hình của một lĩnh vực thực tế.
Hình vẽ khi biểu diễn thường thể hiện một sự mất thông tin vì nhiều tính chất
không biểu thị hết trên mặt giấy, đặc biệt là các hình vẽ về hình học không gian.
Việc biểu diễn các đối tượng hình học trong không gian 3 chiều sang mặt
phẳng giấy 2 chiều được thực hiện bằng một hay nhiều phép chiếu. Điều này chắc
chắn dẫn đến việc mất thông tin về đối tượng hình học ban đầu. Trong chương trình
phổ thông của Pháp, người ta chọn phép phối cảnh song song làm phép chiếu để
biểu diễn các hình. Phép chiếu này giúp bảo toàn được nhiều tính chất như tính
song song, tính chất trung điểm, tỉ lệ giữa các số đo các đoạn thẳng song song,… và
nó tạo ra một hình ảnh gần với đối tượng cần biểu diễn hơn.
Các tính chất không gian mà ta đọc trên hình vẽ thực chất đã trải qua hai
bước chuyển (theo [8]):
Các tính chất hình học của hình hình học trong không gian
Phép chiếu
Các tính chất hình học của hình hình học trong mặt phẳng
Các tính chất không gian của hình vẽ
Q
ua hai bước chuyển này, chỉ có một số tính chất còn được giữ nguyên qua cả 3 giai
đoạn, gồm: tính song song của đường thẳng, tính cắt nhau của đường thẳng, tính
thẳng hàng của các điểm, trọng tâm, tỉ số giữa các độ dài.
Như vậy, để đọc được các tính chất không liệt kê ở trên khi chuyển từ một
hình hình học không gian sang hình vẽ, đòi hỏi chúng ta phải có các qui ước để vẽ
và đọc hình vẽ một cách hợp lí nhất.
Các qui ước được Hamid Choachoua đưa ra trong nghiên cứu SGK để vẽ và
đọc các hình không gian gồm:
• Biểu diễn một mặt phẳng bằng một hình bình hành.
• Biểu diễn đối tượng bị che khuất bằng các nét đứt.
• Các hình biểu diễn đặc thù được trình bày trong SGK:
Vị trí tương đối của một đường thẳng và một mặt phẳng:
Đường thuộc mặt được biểu diễn bằng một đoạn thẳng
nằm trong hình bình hành. (h.1.2)
Hình 1.2
Đường song song với mặt biểu diễn bằng một đường
thẳng song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
Hình 1.3
(h1.3)
Đường cắt mặt (h.1.4)
a)
Hình 1.4
b)
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Mặt cắt mặt: làm nổi rõ giao tuyến nằm trong hình bình hành.
Mặt song song mặt: được biểu diễn bằng hai hình bình hành có các cạnh đôi
một song song.
Kết luận chương 1:
Hình vẽ có ba chức năng cơ bản là tóm tắt, chứng tỏ và phỏng đoán. Để
khai thác tốt các chức năng của hình vẽ, người ta cần phải biết sử dụng cách vẽ và
đọc hình. Đặc biệt, trong hình học không gian, việc đọc hình vẽ lại là một vấn đề
không đơn giản.
Với những bất lợi về vai trò của hình học so với đại số trong môn hình học
giải tích, cộng với khó khăn trong cách vẽ và đọc hình của hình học không gian,
liệu hình vẽ có còn giữ được các chức năng cơ bản của mình hay không? Chúng tôi
tiến hành phân tích chương trình để trả lời cho các câu hỏi “Đối với chương trình
hình học giải tích 12 được giảng dạy ở trường phổ thông, những vai trò nào của
hình vẽ được khai thác, và khai thác như thế nào? HS có trách nhiệm vẽ hình
khi làm một bài toán hình học giải tích hay không?”
Chương 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI ĐỐI TƯỢNG
HÌNH VẼ
2.1 Phần 1: PHÂN TÍCH SGK HIỆN HÀNH
Chương trình HÌNH GIẢI TÍCH LỚP 12
(còn gọi là phương pháp tọa độ trong không gian)
Theo SGV ([10]), nội dung phương pháp tọa độ trong không gian được giảng dạy
với mục tiêu giúp HS:
Hiểu: Cách xây dựng không gian với hệ tọa độ Oxyz
Biết:
o Xác định tọa độ một điểm trong không gian
o Thực hiện các phép toán về vectơ thông qua hệ tọa độ các vectơ
o Viết PTMP, PTĐT, PTMC.
o Xét vị trí tương đối bằng phương pháp tọa độ.
o Tìm khoảng cách
o Ứng dụng các phép toán về vectơ và tọa độ trong nghiên cứu hình học
không gian.
Với mục tiêu đó, [9] đã trình bày các nội dung của chương chỉ trong ba bài: hệ tọa
độ trong không gian, PTMP và PTĐT trong không gian.
Cách trình bày của [9] có nhiều thay đổi so với SGKCL ([5])và [2]. Các nội dung
được trình bày chung trong một bài học, không tách riêng ra từng từng bài nhỏ.
Chúng tôi tiến hành xem xét từng bài và rút ra các nhận xét:
2.1.1 Bài 1: “Hệ tọa độ trong không gian”
Gồm các nội dung:
Tọa độ điểm và vectơ: SGK giới thiệu hệ tọa độ đi kèm một hình vẽ minh họa với
điểm O là gốc tọa độ, các trục Ox, Oy, Oz , các vectơ i, j , k được thể hiện trên hệ
trục tọa độ ấy.
Tọa độ của một điểm: định lí ba vectơ đồng phẳng không được giới thiệu. SGKHH
chỉ nêu:
“Trong không gian Oxyz cho một điểm M tùy ý.Vì ba vectơ i, j , k không đồng
phẳng nên có một bộ ba ( x; y; z ) duy
nhất sao cho:
z
OM =xi + y j + jk . ” [9 - Tr. 69]
M
Kèm theo một hình vẽ minh họa giữ vai trò
k
tóm tắt (hình 2.1.1)
O
i
Nội dung này đã được trình bày trong giáo
trình đại học tuần tự qua các định lí:
j
x
y
Hình 2.1.1
Định lí 4/16:
“Điều kiện cần và đủ để ba vectơ phụ thuộc tuyến tính là chúng đồng phẳng”
Từ việc chứng minh định lí 4, giáo trình cũng nêu “Như vậy, trong không gian, ba
vectơ không đồng phẳng thì độc lập tuyến tính.”
Định lí 5/17:
“Cho ba vectơ e1 , e2 , e3 không đồng phẳng. Bất kì một vectơ a nào trong không
gian cũng có thể khai triển theo ba vectơ ấy, nghĩa là
a = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3
và sự khai triển ấy là duy nhất.”
Trong đó, sự khai triển duy nhất của vectơ được chứng minh dựa trên nhận xét
“trong không gian, ba vectơ không đồng phẳng thì độc lập tuyến tính.”
Cách trình bày các định lí và phần chứng minh trong [2] có liên quan đến khái
niệm phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính. Các khái niệm này không được giới
thiệu ở chương trình phổ thông, song, nội dung định lí lại là một vấn đề cần đề cập,
là nền tảng cho các kiến thức được đưa ra sau đó. Vì vậy, [9] trình bày lại dưới dạng
đơn giản hơn: thừa nhận, không chứng minh. Đây cũng là cơ sở để sang bậc đại
học, HS dễ dàng tiếp thu những kiến thức liên quan.
Cũng như tọa độ một điểm, tọa độ vectơ được [9] giới thiệu một cách trực
tiếp.
Các phần tọa độ của vectơ tổng, vectơ hiệu, tích một số với một vectơ được
trình bày trong một đinh lí, kèm theo đó là phần chứng minh dựa vào tọa độ
của vectơ.
Sau đó là một hệ quả với đầy đủ các nội dung: tọa độ hai vectơ bằng nhau, tọa độ
vectơ-không, tọa độ hai vectơ cùng phương, tọa độ vectơ khi biết điểm gốc, ngọn và
cuối cùng là tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng. Tất cả các nột dung được trình
bày dưới dạng công thức, không chứng minh và không có hình vẽ minh họa.
Đối chiếu với [2], chúng tôi nhận thấy rằng cả hai quyển sách đều trình bày
không có hình vẽ. Một thắc mắc được nêu lên “Tại sao các tác giả lại không sử
dụng hình vẽ trong các trường hợp này. Và nếu có hình vẽ thì sẽ có lợi ích gì cho
việc tiếp thu kiến thức của HS?”
Quay lại với nội dung này trong [9], ta thấy phần chứng minh cho tính chất
a + b = (a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 ) , được trình bày:
“Theo giả thiết: a =a1 i + a2 j + a3 k ; b =b1 i + b2 j + b3 k
⇒ a + b = (a1 + b1 )i + (a2 + b2 ) j + (a3 + b3 )k
Vậy a + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ) ”
Chúng tôi nhận thấy rằng các công thức đã nêu trong phần hệ quả đều có thể
được chứng minh tương tự như trên, không quá phức tạp. Và nếu đưa hình vẽ vào
để minh họa cho các tính chất này, thiết nghĩ phần nào sẽ làm tăng sức ì của tư duy,
điều này là không cần thiết.
Như vậy, có thể thấy, với bản chất tri thức, lựa chọn không đưa hình vẽ vào
trong tình huống này là hợp lí.
Phần tiếp theo của bài là nội dung “tích vô hướng” của hai vectơ. Tích vô
hướng đã được HS làm quen trong chương trình hình học 10 bằng định nghĩa:
“Cho hai vectơ a và b khác 0 . Tích vô hướng của a và b là một số, kí hiệu là
a.b , được xác định bởi công thức sau:
a.b = a . b .cos a, b ” [12 -Tr.41]
( )
Và sau đó, khi gắn tọa độ vào vectơ, tích vô hướng lại được thể hiện qua
công thức =
a.b a1.b1 + a2 .b2
Có lẽ vì vậy, khi chương trình hình học 12 giới thiệu tích vô hướng của hai
vectơ trong không gian, các tác giả chỉ trình bày biểu thức tọa độ của tích vô hướng
bằng một định lí, có thể xem là mở rộng của tích vô hướng trong mặt phẳng
“Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) và
b = (b1 ; b2 ; b3 ) được xác định bởi công thức
a.b = a1b1 + a2b2 + a3b2 ” [9 - Tr.65]
Công thức được chứng minh dựa vào các tính chất của vectơ:
