một số cấu trúc đại số được chứa trong vành ma trận vuông cấp hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
-----  -----

NGÔ THỊ MỸ PHƯỢNG

MỘT SỐ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
ĐƯỢC CHỨA TRONG VÀNH
MA TRẬN VUÔNG CẤP HAI

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
MÃ SỐ: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TRẦN HUYÊN
Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trần Huyên; người
thầy dẫn dắt tôi bước vào con đường nghiên cứu khoa học. Sự tận tình hướng dẫn
cùng những lời động viên, chỉ bảo của Thầy đã giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn:
1. Ban lãnh đạo và các chuyên viên của phòng Sau đại học; ban chủ nhiệm
khoa và các giảng viên khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư phạm
thành phố Hồ Chí minh; các giảng viên trực tiếp giảng dạy lớp Cao học
Đại số và Lý thuyết số khóa 20 đã tạo mọi điều kiện học tập thuận lợi cho
tôi trong suốt khóa học.
2. Thầy Bùi Quang Thịnh (trường Đại học Tiền Giang) đã nhiệt tình giúp đỡ

tôi trong việc soạn thảo luận văn bằng

..

3. Các bạn lớp Cao học Đại số và Lý thuyết số khóa 20 đã luôn cùng tôi
chia sẽ những khó khăn trong quá trình học tập.
Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Cha, Mẹ và những người
thân yêu trong gia đình vì những lời động viên, hỗ trợ, giúp đỡ về mọi mặt để tôi
hoàn thành tốt khóa học.
NGÔ THỊ MỸ PHƯỢNG


MỤC LỤC
Trang phụ bìa .......................................................................................................i
Lời cảm ơn ...........................................................................................................ii
Mục lục ............................................................................................................... iii
Mở đầu ................................................................................................................. 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................................... 2
1.1. Nhóm nhị diện .............................................................................................. 2
1.2. Nhóm Quaternion ......................................................................................... 3
1.3. Mô tả cấu trúc của nhóm hữu hạn có cấp ≤ 8 .............................................. 4
Chương 2. MỘT SỐ NHÓM CON HỮU HẠN VỚI CÁC PHẦN TỬ SINH
CẤP HAI CỦA NHÓM M * (  ) , ⋅ ............................................................................. 7
2

(

)

(

)

2.1. Các phần tử cấp hai của nhóm M 2* (  ) ,⋅ ................................................. 7
2.2. Một số dạng nhóm con hữu hạn với hai phần tử sinh cấp hai của nhóm
M * (  ) , ⋅ ......................................................................................................... 11
2

(

)

(

)

2.3. Vấn đề nhúng  n vào nhóm M 2* (  ) ,⋅ .................................................... 16

(

)

2.4. Vấn đề nhúng nhóm Quarternion Q8 vào nhóm M 2* (  ) ,⋅ ..................... 22
Chương 3. VẤN ĐỀ NHÚNG TRƯỜNG 

( z ) VÀ TRƯỜNG  VÀO

VÀNH M 2 (  ) .............................................................................................................. 27
3.1. Đồng cấu nhúng trường số hữu tỉ  vào vành M 2 (  ) ............................ 27
3.2. Đồng cấu nhúng trường 

( z ) vào vành M

2

(  ) ................................... 30

3.3. Đồng cấu nhúng trường  vào vành M 2 (  ) ........................................... 43
Kết luận và kiến nghị ........................................................................................ 50
Tài liệu tham khảo ............................................................................................ 52


MỞ ĐẦU
Theo Nguyễn Hữu Việt Hưng [3], mọi nhóm G hữu hạn hay vô hạn đều đẳng
cấu với một nhóm các phép thế nào đó trên các phần tử của G ; tức là, tồn tại một
đơn cấu nhúng ϕ : G →  ( G ) nhúng G vào nhóm đối xứng trên tập hợp G . Nói
một cách khác, nhóm đối xứng trên tập hợp G chứa được nhóm G . Ngoài ra, mọi
vành V đều nhúng được vào vành ma trận vuông cấp hai trên V thông qua đơn cấu

a 0 
nhúng φ : V → M 2 (V ) xác định bởi φ ( a ) = 
 với mọi a ∈ V .
0 a 
Nội dung luận văn sẽ tập trung nghiên cứu ``Một số cấu trúc đại số được chứa
trong vành ma trận vuông cấp hai trên trường số thực'' với nội dung gồm 3 chương:
1. Chương 1 – KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. Chương này trình bày các kiến thức
cần thiết về nhóm nhị diện  n , nhóm quaternion Q8 và việc mô tả cấu trúc
các nhóm có cấp ≤ 8 .
2. Chương 2 – MỘT SỐ NHÓM CON HỮU HẠN VỚI CÁC PHẦN TỬ SINH

(

)

CẤP HAI CỦA NHÓM M 2* (  ) ,⋅ . Thông qua việc mô tả nhóm con của

( M (  ) ,⋅)
*
2

với hai phần tử sinh cấp 2, nội dung chương này chứng minh

được rằng nhóm giao hoán Z 2 × Z 2 , nhóm các phép thế 3 và nhóm nhị diện

 n đều nhúng được vào nhóm ( M 2* (  ) ,⋅) ; nhưng nhóm phép thế  n với
n ≥ 4 và nhóm quaternion Q8 thì không.
3. Chương 3 – VẤN ĐỀ NHÚNG TRƯỜNG 

( z ) VÀ TRƯỜNG  VÀO

VÀNH M 2 (  ) . Nội dung chương này luận văn trình bày cụ thể các dạng
đơn cấu nhúng các trường  ,  ,  và 

z ∈  và

z ∉.

( z ) vào vành M

2

(  ) , trong đó


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Nội dung chương này chủ yếu đưa ra cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên cứu
ở những chương sau. Nhiều định lý trong chương chỉ được nêu ra và lược bỏ chứng
minh. Độc giả quan tâm chứng minh chi tiết có thể tham khảo Mỵ Vinh Quang [6]
và Nguyễn Hữu Việt Hưng [3].

1.1. Nhóm nhị diện
Định nghĩa 1.1. Với n > 1 , xét đa giác đều n cạnh Pn trên một mặt phẳng. Gọi a là
phép quay mặt phẳng xung quanh tâm của Pn một góc

2π
; b là phép đối xứng qua
n

đường thẳng đi qua tâm và một đỉnh của Pn . Khi đó, tất cả các phép đối xứng của

Pn (tức là, các phép biến đổi đẳng cự trên mặt phẳng biến Pn thành chính nó) được
liệt kê như sau: e , a , a 2 , …, a n−1 , b , ab , a 2b , …, a n −1b , trong đó phép toán chính
là phép hợp thành. Các phép đối xứng đó lập thành một nhóm, được ký hiệu là  n
và được gọi là nhóm nhị diện cấp 2n .
Có thể thấy rằng  n biểu diễn được dưới dạng

n
=

a, b :=
a n e=
, b 2 e, ( ab
=
) e .
2

Nếu n ≥ 3 thì ab ≠ ba . Do đó,  n là một nhóm không giao hoán; vì thế  n cũng
không là nhóm cyclic.
Ngoài ra,  n còn có thể biểu thị theo một cách khác

=
n

2
2
c, d : c=
d=

( cd )=
n

e ,

trong đó c = ab , d = b .
Ví dụ 1.1.  2 = {e, a, b, ab} với các phần tử a , b , ab có cấp là 2.


Ví dụ 1.2. Nhóm 3 các phép đối xứng của tam giác đều P3 có thể đồng nhất với
nhóm đối xứng 3 trên 3 đỉnh của P3 . Tức là, chúng ta có 3 ≅ 

3 thông qua đẳng
cấu

ϕ : 3 → 
3

a → ϕ (a) =
α = (1 2 3) ,

β = ( 2 3) ,
b → ϕ (b) =

{

}

{

}

trong đó 3 = e, a, a 2 , b, ab, a 2b và 3 = e, α , α 2 , β , aβ , α 2 β .
Nhận xét. Nếu n ≠ 3 thì  n sẽ không đẳng cấu với  n vì chúng có số phần tử
khác nhau.

1.2. Nhóm Quaternion
Định nghĩa 1.2. Nhóm Quaternion là nhóm đuợc cho bởi hai phần tử sinh và ba

Q8
quan hệ xác định như sau:=

a, b =
: a 4 e=
, a 2 b 2 , aba
= b .

Các quan hệ trên đây đã chỉ ra rằng mỗi phần tử của Q8 là một trong tám phần
tử có dạng a s bt , trong đó 0 ≤ s ≤ 3 , 0 ≤ t ≤ 1 . Do đó, Q8 ≤ 8 .
Để chứng minh rằng tám phần tử nói trên đôi một khác nhau trong Q8 , chúng ta

i 0 
 0 1
=
B
xét nhóm M 2* (  ) ,⋅ sinh bởi hai ma trận A = 
và

 −1 0  .


0 −i 

(

)

Rõ ràng, A4 = I 2 , A2 = B 2 , ABA = B . Vì vậy, ánh xạ ϕ : Q8 → A, B tương ứng
biến a , b lần lượt thành A , B là một toàn cấu nhóm. Ngoài ra, vì

 1 0   i 0   0 1   0 i  
A, B =

± 
 ; ± 0 −i  ; ±  −1 0  ; ±  i 0  
0
1
 
 
 

 
có 8 phần tử nên Q8 ≅ A, B có cấp bằng 8.


Một cách khác, chúng ta có thể nói nhóm Quaternion có 8 phần tử ±1 , ±i , ± j ,

i 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1

− ji =
k
ij =
.
±k thỏa 
=
−
=
jk
kj
i

ki =
−ik =j

Dễ dàng chứng minh được Q8 cũng là một nhóm không giao hoán.

1.3. Mô tả cấu trúc của nhóm hữu hạn có cấp ≤ 8
Gọi X là một nhóm hữu hạn có cấp là n ≤ 8
 n = 1 . X = {e} .
 n = 2 . Chúng ta có duy nhất một nhóm cấp 2 là nhóm cyclic Z 2 . Do đó,

X ≅ Z=
2

{a, a= e} .
2

 n = 3 . Chúng ta có duy nhất một nhóm cấp 3 là nhóm cyclic Z 3 . Vì thế,

X ≅=
Z3

, a e} , trong đó a và a
{a , a =
2

3

2

đều có cấp là 3.

 n = 4 . Chúng ta có hai nhóm có cấp bằng 4:

X ≅ Z4
• Nhóm cyclic Z 4 . Do đó, =

, a , a e} , trong đó b
{a , a =
2

3

4

2

có cấp

là 2 và b , b3 có cấp là 4.
• Nhóm cấp 4 - Klein được định nghĩa như sau:

X
=

{I , J , K ,1: K=

2
2
2
IJ , I=
J=
K=

( IJ )=
2

}

1 .

Nhóm cấp 4 - Klein là một nhóm giao hoán và đẳng cấu với nhóm tích
trực tiếp của hai nhóm cyclic cấp 2 Z 2 × Z 2 . Cụ thể:

e) =
( −1,1) × ( b, b 2 =
{1:=(1, b2 ) ; I :=(1, b ) ; J :=( −1, b ) ; K :=( −1, b2 )} .
Ví dụ 1.3. Nhóm cấp 4 - Klein X = { I , J , K ,1} ; trong đó I là phép quay
một góc π xung quanh trục Ox , J là phép quay một góc π xung quanh
trục Oy và K = IJ là phép quay một góc π xung quanh trục Oz .
 n = 5 . Chúng ta chỉ có duy nhất một nhóm cấp 5 là nhóm cyclic Z 5 . Vì thế,


, a , a , a e}
{a , a =

=
X ≅ Z5

2

3

4

5

 n = 6 . Chúng ta có hai nhóm có cấp bằng 6:

a, a , a , a , a , a e} .
{=

• =
Nhóm cyclic Z 6

2

• Nhóm nhị diện =
3

3

4

5

6

{a, a , a , b, ab, a =b
2

3

3

2
ba : a=
b=

2

}

( ba )=

e . Đây

2

là một nhóm không giao hoán. Ngoài ra, chúng ta cũng đã biết 3 ≅ 
3.
 n = 7 . Chúng ta có duy nhất một nhóm cấp 7 là nhóm cyclic Z 7 . Do đó,

=
X ≅ Z7

, a , a , a , a , a e} .
{a , a =
2

3

4

5

6

7

 n = 8 . Chúng ta có năm nhóm có cấp bằng 8:

=
• Nhóm cyclic Z8

a, a , a , a , a , a , a , a e} .
{=
2

3

4

5

6

7

8

i 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1

− ji =
k

ij =
.
• Nhóm Quaternion Q8 = {±1, ±i, ± j , ± k} với 
=
−
=
jk
kj
i

ki =
−ik =j
• Nhóm  2×2×2 là nhóm tích trực tiếp của nhóm cấp 4 - Klein với nhóm Z 2 .
Cụ thể như sau: (1, I , J , K ) × (1, −1) = ( ±1, ± I , ± J , ± K ) ; trong đó 1 ≡ (1,1) ,

−1 ≡ (1, −1) , ± I ≡ ( I , ±1) , ± J ≡ ( J , ±1) , ± K ≡ ( K , ±1) . Đây là một nhóm
giao hoán.
• Nhóm  4×2 là nhóm tích trực tiếp của nhóm cyclic Z 4 và nhóm cyclic Z 2
. Cụ thể như sau:

( a, a , a , a
2

trong

đó

3

4

1 ≡ (1,1) ,

= e ) × (1, −1 ) = ( ±1, ± a, ± a 2 , a 3 ) ;

−1 =

(1, −1) ,

± a ≡ ( a, ±1) ,

± a 2 ≡ ( a 2 , ±1) ,

± a 3 ≡ ( a 3 , ±1) . Đây cũng là một nhóm giao hoán.
• Nhóm =
4

2
4
a, b : a=
b=

( ab )=

này là nhóm không giao hoán.

2

e=

{e, b, b , b , a, ab, ba, ab } . Nhóm
2

3

2


Như vậy, chúng ta có
Mệnh đề 1.1. Có đúng hai nhóm không Abel cấp 8 không đẳng cấu nhau là nhóm
nhị diện  4 và nhóm Quaternion Q8 .


Chương 2
MỘT SỐ NHÓM CON HỮU HẠN VỚI
CÁC PHẦN TỬ SINH CẤP HAI CỦA
NHÓM  M 2*   ,⋅ 




Theo kết quả ở Chương 1, nhóm nhị diện  n và nhóm Quarternion Q8 được
sinh bởi hai phần tử. Bên cạnh đó, trong nhóm các phép thế  n , mọi phép thế bậc n
đều được phân tích thành tích của các chuyển trí có cấp là 2. Do đó, để tìm mối liên

(

)

hệ giữa nhóm  n , nhóm Q8 hay nhóm  n với nhóm M 2* (  ) ,⋅ ; chúng ta cần tìm

(

)

hiểu về nhóm M 2* (  ) ,⋅ với hai phần tử sinh cấp 2.

2.1. Các phần tử cấp hai của nhóm ( M 2* (  ) ,⋅)

(

)

Xét nhóm nhân các ma trận vuông cấp 2 không suy biến M 2* (  ) ,⋅ .

a b 
=
A 
∈ M 2* (  ) với a, b, c, d ∈  ; ad − bc ≠ 0 ; A ≠ I 2 . Khi đó, A là
Gọi

c d 

(

)

phần tử cấp hai của M 2* (  ) ,⋅ khi và chỉ khi A2 = I 2 .

 a 2 + bc b ( a + d )  1 0 

=
A I=
 
2 ⇔ 

2
c ( a + d ) d + bc  0 1 
2


a 2 + bc =
1
 2
1
d + bc =
⇔
0
c ( a + d ) =
b ( a + d ) =
0

a 2 + bc =
1
 2
0
a − d 2 =
⇔
c = 0 ∨ a + d = 0
b = 0 ∨ a + d = 0


a 2 + bc =
1

a − d = 0 ∨ a + d = 0
⇔
c = 0 ∨ a + d = 0
b = 0 ∨ a + d = 0
Chúng ta có 2 trường hợp sau:

a 2 + bc =
1 bc =−
1 a2
.
1. Trường hợp thứ nhất. 
⇔
0
−a
 a+d =
 d=

 a =1
a = −1
1 0 
a. Nếu b = 0 thì 
hoặc 
. Suy ra A = 
 hoặc
d = −1
 d =1
c −1

 −1 0 
A=
với c ∈  . Không khó để kiểm tra lại A2 = I 2 .

 c 1
 a
1− a 2
. Suy ra A = 1 − a 2
b. Nếu b ≠ 0 thì c =

b
 b
Không khó để kiểm tra lại A2 = I 2 .

b
 với a, b ∈  , b ≠ 0 .
−a 



2. Trường

hợp

hai.

a 2 + bc =
1
a= d= 1 a= d= −1


.
∨
c=
0 ⇔
 b=
=
=
=
=
b
c
b
c
0
0


 a−d =
0


Suy

ra

1 0 
 −1 0 
A=
=
A

hoặc
. Không khó để kiểm tra lại A2 = I 2 trong



0 1 
 0 −1
 −1 0 
trường hợp A = 
.
0
−
1


Từ những kết quả trên, chúng ta có

(

)

Mệnh đề 2.1. Các phần tử cấp 2 của nhóm M 2* (  ) ,⋅ chỉ có thể là một trong 4
dạng sau:

1 0 
1. Dạng 1. 
 với c ∈  .
c −1
 −1 0 
2. Dạng 2. 

 với c ∈  .
c
1


 a
3. Dạng 3. 1 − a 2

 b

b
 với a, b ∈  , b ≠ 0 .
−a 


 −1 0 
4. Dạng 4. 
.
 0 −1
Đến đây, câu hỏi được đặt ra: “Cấp của tích hai phần tử cấp 2 có liên quan gì
đến cấp của từng nhân tử trong tích hay không?”. Để trả lời cho câu hỏi trên, chúng

(

)

ta sẽ dựa vào 4 dạng phần tử cấp 2 của nhóm M 2* (  ) ,⋅ ở Mệnh đề 2.1.

 0 b
 1



, B= 1
Ví dụ 2.1. Xét A = 1


−
0
b

 b

0
 với b ∈ * . Chúng ta có:
−1



 −1 −b 
 0
2


AB = 1
, ( AB ) =  1


−
0
b


 b

b
1 0 
3
 , (=
AB ) =
 I2 .
−1
0 1 


(

)

Nhận xét. A và B là hai phần tử cấp 2 của nhóm M 2* (  ) ,⋅ nhưng tích AB lại

(

)

là phần tử cấp 3 của nhóm M 2* (  ) ,⋅ .

Ví dụ 2.2. Nếu

 b1

0

b
2

AB =
=
b2 

0 b 
1


0
A=1

 b1

b1 
0
, B =  1

0

 b2

b2 
 với b , b ∈ * , b ≠ ±b thì
1
2
1 2
0



c 0 
 1  , trong đó c= b1 ≠ ±1 .
0

b2
c


c n
n
Với mọi n ∈ * , hiển nhiên ( AB ) = 
0


0
 1 0 = I .
1≠
2
0 1 

n
c 

(

)

Nhận xét. A và B là hai phần tử cấp 2 của nhóm M 2* (  ) ,⋅ nhưng tích AB lại

(

)

là phần tử cấp vô hạn của nhóm M 2* (  ) ,⋅ .

 sin α
Ví dụ 2.3. Xét A = 
cos α

cos α 
 sin β
=
B
,
cos β
− sin α 


cos β 
với α , β ∈  . Chúng ta
− sin β 

 cos (α − β ) sin (α − β ) 
có AB = 
.
 − sin (α − β ) cos (α − β ) 

2π

Với n ∈ * , nếu chọn α − β =
n
 cos 2π sin 2π 
n
=
( AB ) = I 2 .
 − sin 2π cos 2π 

2π

 cos n
thì AB = 
 − sin 2π
n


2π 
n 
 . Khi đó,
2π 
cos
n 
sin


(

)

Nhận xét. A và B là hai phần tử cấp 2 của nhóm M 2* (  ) ,⋅ nhưng tích AB lại

(

)

là phần tử cấp n của nhóm M 2* (  ) ,⋅ .
Từ đây chúng ta đi đến kết quả sau:

(

)

Mệnh đề 2.2. Cấp của tích hai phần tử cấp hai của nhóm M 2* (  ) ,⋅ có thể hữu
hạn bất kỳ hoặc vô hạn.

(

Từ Mệnh đề 2.2, việc nghiên cứu về nhóm con hữu hạn của nhóm M 2* (  ) ,⋅

)

với các phần tử sinh cấp hai sẽ dễ dàng hơn.

2.2. Một số dạng nhóm con hữu hạn với hai phần tử sinh cấp hai
của nhóm ( M 2* (  ) ,⋅)

(

)

Gọi A và B là hai phần tử cấp hai bất kỳ khác đơn vị của nhóm M 2* (  ) ,⋅ .

= B= 2 nên các phần tử của nhóm
Do A

A, B sẽ thuộc một trong 4 tập:

AB , AB A , BA và B AB . Mà AB ≡ BA vì với mọi k ∈  ,
−1

( AB )k  = ( AB … AB )−1 = B −1 A−1 … B −1 A−1 = BA… BA = ( BA )k ,



suy ra ( AB ) ∈ BA và
k

−1

k
(=
BA ) 



 BA )
( BA=
−1

A−1B −1 

A−1B −1 AB
=
=
 AB

( AB )

k

,

suy ra ( BA ) ∈ AB .
k

Vậy A, B =AB ∪ AB A ∪ B BA .
Giả sử

AB = n , trong đó n là một số nguyên dương hữu hạn. Chúng ta sẽ xét

từng trường hợp cụ thể của n để hình thành nên dạng tổng quát cho nhóm A, B .


1. Trường hợp thứ nhất. Nếu n = 1 thì A = B . Suy ra, A, B là nhóm cyclic
cấp 2

A, =
B

=
A

=
B

A e} .
{ A, =
2

(

)

Ví dụ 2.4. Lấy A là phần tử cấp 2 bất kỳ nào đó của nhóm M 2* (  ) ,⋅ ,

2 1
chẳng hạn A = 
. Rõ ràng, A2 = I 2 . Khi đó,

 −3 −2 
  2 1  1 0  
A, B =  
,
 .
  −3 −2  0 1  
2. Trường hợp thứ hai. Nếu n = 2 thì

=
A, B

AB, e

{=

( AB=
) ,A
2

}

BAB
=
, B ABA .

Chúng ta thấy A, B chính là nhóm giao hoán cấp 4 và mọi phần tử của
nhóm (trừ phần tử đơn vị) đều có cấp bằng 2. Bên cạnh đó, một nhóm hữu
hạn cấp 4 luôn đẳng cấu với một trong hai nhóm: nhóm cyclic cấp 4 và nhóm
giao hoán Z 2 × Z 2 . Vậy A, B ≅ Z 2 × Z 2 .
Ví dụ 2.5. Do

AB = 2 nên A = − B theo Mệnh đề 2.4. Chúng ta chọn

 −1 0 
1 0
 −1 0 
2
A=
=
=
B
AB
,

.
Suy
ra
và ( AB ) = I 2 . Khi đó,





 1 1
 −1 −1
 0 −1
 1 0   −1 0   −1 0   1 0  
A, B =  
,
,
,
.
 0 1   0 −1  1 1   −1 −1 
Ngoài ra, Z 2 × Z 2 =
{( 0,0 ) ; (1,0 ) ; ( 0,1) ; (1,1)} . Để khẳng định A, B ≅ Z 2 × Z 2
, chúng ta sẽ xác định ánh xạ ϕ đi từ nhóm A, B đến nhóm Z 2 × Z 2 như
sau:


ϕ:

A, B → Z 2 × Z 2
1
0


 −1
A=
1

0
→ ( 0,0 ) ,
1 
0
→ (1,0 ) ,
1 

1 0
B=
 → ( 0,1) ,
 −1 −1
 −1 0 
AB 
=
 → (1,1) .
0
1
−


Không khó để kiểm tra ánh xạ ϕ là một song ánh và bảo toàn các phép toán
nên ϕ là một đẳng cấu. Suy ra A, B ≅ Z 2 × Z 2 .
3. Trường hợp thứ ba. Với n = 3 thì

=

A, B

AB, BA
{=

AB ) , e ( AB )
(=
2

3

, A,=
ABA, B

( AB )

2

}

A .

Chúng ta thấy A, B chính là nhóm không giao hoán cấp 6. Bên cạnh đó,
một nhóm hữu hạn cấp 6 luôn đẳng cấu với một trong hai nhóm: Z 6 - nhóm
cyclic cấp 6 và 3 - nhóm các phép thế cấp 3. Suy ra A, B ≅ 3 .

(

Ví dụ 2.6. Chúng ta sẽ chọn A , B là hai phần tử cấp 2 của nhóm M 2* (  ) ,⋅

)

0 1 
sao cho tích AB là phần tử cấp 3 của nhóm M 2* (  ) ,⋅ . Chọn A = 
,
1 0 

(

)

1 0
B=
 . Khi đó,
 −1 −1
 −1 −1
0 1
 −1 −1
1 0 
2
3
AB = 
=
ABA
=
AB
=
AB
,
,

,
(
)
(
)

 −1 −1
 0 1 .
0 1 
1 0






  −1 −1  0 1  1 0  0 1   −1 −1  1 0  
Và A, B =  
,
,
,
,
,
 .
  1 0   −1 −1 0 1  1 0   0 1   −1 −1 


=
3
Xét

α ,α ,α
{=
2

3

e, β , αβ ,α 2 β }

, α 3 e=
, αβ
α 2 = (1 3 2 ) =

(1

với

α = (1 2 3) ,

β = (1 2 ) ,

3) , α 2 β = ( 2 3) .

Để khẳng định A, B ≅ 3 , chúng ta sẽ xác định ánh xạ ϕ : A, B → 3 như
sau:

A, B → 3

ϕ:

 −1 −1
=
AB =
 → (1 2 3) α
1 0
0 1
2
→ (1 3 2 ) = α 2
( AB ) = 

 −1 −1
1 0 
I2 = 
 → e3
0 1 
0 1 
A =
=
 → (1 2 ) β
1 0 
 −1 −1
ABA
= 
) αβ
 → (1 2=
0
1


1 0

2
→ (1 2=
( AB ) A= 
) α 2β .

 −1 −1
Không khó để kiểm tra ánh xạ ϕ là một song ánh và bảo toàn các phép toán
nên ϕ là một đẳng cấu. Suy ra A, B ≅ 3 .
4. Trường hợp thứ tư. Với n = 4 thì

=
A, B

AB, ( AB ) , ( AB ) , e
{=
2

3

( AB )

4

}

, A, ABA, ( AB ) A, ( AB ) A .
2

3

Chúng ta thấy A, B chính là nhóm không giao hoán cấp 8. Bên cạnh đó,
hai nhóm không Abel cấp 8 không đẳng cấu với nhau là nhóm Quaternion và
nhóm  4 theo Mệnh đề 1.1. Không khó để thấy rằng A, B ≅  4 . Suy ra

A, B không đẳng cấu với Q8 . Từ kết quả trên, chúng ta đưa ra dự đoán sau:

(

)

Dự đoán 2.1. Nhóm Quaternion không chứa được trong nhóm M 2* (  ) ,⋅ .


5. Trường hợp năm (Trường hợp tổng quát). Với n là số nguyên dương hữu
hạn bất kỳ. Nhận xét rằng hai nhóm AB A và B AB trùng nhau. Thật
vậy,
AB =n ⇒ ( AB ) =
ABAB … AB =e.
n

n laàn

Do đó,

( AB )

n

A= A= A ( AB ) = B ( AB )
n

( AB ) A = B ( AB )

n−2

n −1

,

,

…,

( AB )

n−2

A = B ( AB ) ,

( AB )

n −1

A= B= B ( AB ) .
n

Suy ra A, B = { AB , AB A} . Hay

{

A, B =
AB, ( AB ) ,…, ( AB )
2

n −1

, e, A, ABA, ( AB ) A,…, ( AB )
2

n −1

}

A

⇒ A, B = AB, A | ( AB ) =e, A2 =e, ( ABA ) =e .
n

2

Vậy A, B ≅  n và có cấp 2n .
Chúng ta có:

(

)

Mệnh đề 2.3. Nhóm nhị diện chứa được trong nhóm M 2* (  ) ,⋅ .

(

)

Bây giờ, chúng ta xét sang nhóm con hữu hạn của nhóm M 2* (  ) ,⋅ với ba phần
tử sinh cấp 2. Khi muốn xem xét nhóm A, B, C (với A , B , C là các phần tử cấp
2 đôi một khác nhau và khác đơn vị), chúng ta cần xét đến cấp của từng tích AB ,

AC và BC . Đây là một bài toán khá phức tạp, chúng ta vẫn chưa tìm ra được dạng
của nhóm A, B, C mà chỉ có thể đưa ra một số chú ý liên quan đến cấp của từng
tích trên.


(

)

Ví dụ 2.7. Xét A = − I 2 và B , C là hai phần tử cấp 2 bất kì của nhóm M 2* (  ) ,⋅ .
Khi đó, cấp của AB bằng 2, cấp của AC bằng 2. Giả sử cấp của BC là n ≥ 3 , trong
đó với n là số nguyên dương hữu hạn (nếu n = 1 hoặc n = 2 thì ta có nhóm

A, B, C tương tự như trong trường hợp 1 và trường hợp 2 đã xét). Vậy nhóm
A, B, C có cấp là 4n . Cụ thể,

{

A, B,C =
− I 2 , B,C =
e, BC, ( BC ) ,…, ( BC )
2

( BC )

2

B,…, ( BC )

n−1

n−1

, B, BCB,

B, −e, − BC, − ( BC ) ,…, − ( BC )
2

n−1

, − B, − BCB, − ( BC ) B,…, − ( BC )
2

n−1

Ngoài trường hợp trên, chúng ta nhận thấy nếu cấp của hai trong ba tích AB ,

AC , BC bằng 2 thì theo Mệnh đề 2.4 nếu A , B là hai phần tử cấp 2 khác ±I 2 của

( M (  ) ,⋅)
*
2

thì A = − B . Do đó, nếu chúng ta giả sử

AB = 2 ,

AC = 2 thì

A = − B và A = −C . Suy ra B = C . Khi đó, A, B, C = A, B . Chúng ta quay lại

(

)

trường hợp xét nhóm con hữu hạn của nhóm M 2* (  ) ,⋅ với hai phần tử cấp 2.
Phần tiếp theo chúng ta nghiên cứu về mối liên quan giữa nhóm các phép thế  n

(

)

và nhóm M 2* (  ) ,⋅ .

2.3. Vấn đề nhúng  n vào nhóm ( M 2* (  ) ,⋅)

(

)

Theo Ví dụ 2.6, nhóm các phép thế 3 nhúng được vào trong nhóm M 2* (  ) ,⋅ .
Khẳng định trên có còn đúng đối với nhóm các phép thế  n với n ≥ 4 hay không?
Nội dung mục này sẽ giải quyết vấn đề nêu trên.

}

B .


Mệnh đề 2.4. Giả sử A , B là hai phần tử cấp 2 bất kỳ đôi một khác nhau và khác

±I 2 của nhóm ( M 2* (  ) ,⋅) . Nếu tích AB là phần tử cấp 2 thì $AB$ chỉ có duy nhất
 −1 0 
một dạng là AB = 
 , tức là A = − B .
 0 −1

(

)

Chứng minh. Với các dạng phần tử cấp 2 của nhóm M 2* (  ) ,⋅ ở Mệnh đề 2.1,
chúng ta sẽ lần lượt xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra đối với A , B . Khi đó A ,

 a
1 0   −1 0  
2
B sẽ có một trong ba dạng: 
 ,  c 1  , 1 − a
c
−
1
 


 
 b

b
 với a, b, c ∈  và
−a 


b ≠ 0.
Cả ba dạng ma trận trên đều có định thức bằng −1 . Vì thế,
det ( AB ) =
det A.det B =
1 ⇒ det ( AB ) =
1.
2

Ngoài ra, BA
=

AB ) ⇒ ( BA ) ( AB )
(=

−1

2

2

−1

2
2
 . Do đó,
=
AB )
I=
I2 .
(
2 ⇔ ( BA )


Như vậy, chúng ta chỉ cần xét tích AB , trường hợp BA hoàn toàn được xét tương
tự. Có tất cả 6 trường hợp sau:

1
1. Trường hợp thứ nhất. Nếu A = 
c1

0
1
, B=

−1
c2

0
, trong đó c1 , c2 ∈ 
−1

1
0
0

2
và ( AB ) = 
 . Do A ≠ B nên c1 ≠ c2 và

2
c
−
c
1
1
(
)
1
2



 1
thì AB = 
c1 − c2

hiển nhiên ( AB ) ≠ I 2 .
2

 −1 0 
 −1 0 

2. Trường hợp thứ hai. Nếu A = 
,
B
=

 c 1  , trong đó c1 , c2 ∈  thì
 c1 1 
 2

0
 1
AB = 
 và
c2 − c1 1 
hiển nhiên ( AB ) ≠ I 2 .
2

( AB )

2

1
0

=
 . Do A ≠ B nên c1 ≠ c2 và
 2 ( c2 − c1 ) 1 


a

3. Trường hợp thứ ba. Với A =  1
 c1

b1 
a
, B= 2

− a1 
 c2

b2 
1− a12
,
trong
đó
c
=
1
− a2 
b1

1− a22
, c2 =
, a1 , a2 , b1 , b2 ∈  và b1 , b2 ≠ 0 . Chúng ta có:
b2

a a + b c
AB =  1 2 1 2
 a2c1 − a1c2

a1b2 − a2b1 
M
2
, ( AB ) = 

a1a2 + b2c1 
P

N
Q 

với
M = ( a1a2 + b1c2 ) + ( a1b2 − a2b1 )( a2c1 − a1c2 ) ,
2

N=

( a1b2 − a2b1 )( 2a1a2 + b1c2 + b2c1 ) ,

P=

( a2c1 − a1c2 )( 2a1a2 + b1c2 + b2c1 ) ,

Q = ( a1b2 − a2b1 )( a2c1 − a1c2 ) + ( a1a2 + b2c1 ) .
2

Nếu ( AB )

2

( a1a2 + b1c2 )2 + ( a1b2 − a2b1 )( a2c1 − a1c2 ) =
1

2
( a1b2 − a2b1 )( a2c1 − a1c2 ) + ( a1a2 + b2c1 ) =
1
. Hệ phương
= I 2 thì 
0
( a1b2 − a2b1 )( 2a1a2 + b1c2 + b2c1 ) =
( a c − a c )( 2a a + b c + b c ) =
0
1 2
1 2
2 1
 2 1 1 2

trình trên tương đương với

( a1a2 + b1c2 )2 + ( a1b2 − a2b1 )( a2c1 − a1c2 ) =
1

0
( b1c2 − b2c1 )( 2a1a2 + b1c2 + b2c1 ) =
( 2.1)

2
0
−
+

+
=
a
b
a
b
a
a
b
c
b
c
(
)(
)
2 1
1 2
1 2
2 1
 1 2
( a c − a c )( 2a a + b c + b c ) =
0
1 2
1 2
2 1
 21 1 2

1 − a22
1 − a12
c1 b1

− b2
=
Xét b1c2 − b2=
b2
b1

(b

2
1

− b22 ) + ( a1b2 − a2b1 )( a1b2 + a2b1 )
b1b2

1 − a12
1 − a22 a2b2 − a1b1 − a1a2 ( a1b2 − a2b1 )
a2c1 − a1=
c2 a2
− a1 =
,
b1
b2
b1b2

,


1 − a22
1 − a12
+ b2

2a1a2 + b1c2 + b2c1 = 2a1a2 + b1
b2
b1
2a1a2b1b2 + b12 − b12 a22 + b22 − a12b22
=
b1b2
b12 + b22 − ( a1b2 − a2b1 )
=
.
b1b2
2

0 thì a1a2 + b1c2 =
− a1a2 − b2c1 . Khi đó, từ phương
Giả sử 2a1a2 + b1c2 + b2c1 =
trình thứ nhất của hệ phương trình (2.1) suy ra

1.
( a1a2 + b1c2 )( −a1a2 − b2c1 ) + ( a1b2 − a2b1 )( a2c1 − a1c2 ) =
Phương trình tương đương với
− a12 a22 − a1a2 ( b1c2 + b2c1 ) − b1b2c1c2 + a1a2 ( b1c2 + b2c1 ) − a12b2c2 − a2 2b1c1 =
1

⇔ − a12 a22 − (1 − a12 )(1 − a22 ) − a12 (1 − a22 ) − a22 (1 − a12 ) =
1

⇔ − a12 a22 − 1 + a12 + a22 − a12 a22 − a12 + a12 a22 − a22 + a12 a22 = 1 ⇔ −1 = 1(!) .
Do đó, 2a1a2 + b1c2 + b2c1 ≠ 0 . Theo phương trình thứ hai, thứ ba và thứ tư
của hệ phương trình (2.1), suy ra
2 2

b12 − b2 2 − b12 a2 2 + b=
0
b2c1 0
b1c2 −=
2 a1


0
0
a1b2 − a2b1 =⇔
a1b2 − a2b1 =
2
a c −=
a b − a b − a 2 a b + a =
0
2 a1b1
 2 1 a1c2 0
 2 2 11 1 2 2

b12 − b2 2 =
0

0
⇔ a1b2 − a2b1 =
a b − a b =
 2 2 11 0
0
( b1 − b2 )( b1 + b2 ) =

0

.
⇔ a1b2 − a2b1 =
a b − a b =
 2 2 11 0
Khi đó,
a. Nếu b1 = b2 thì a1 = a2 . Suy ra A = B (vô lý!).

 −1 0 
b. Nếu b1 = −b2 thì a1 = − a2 . Suy ra A =− B ⇔ AB =
.
 0 −1


1
4. Trường hợp thứ tư. Nếu A = 
c1

0
 −1 0 
, B=

 , trong đó c1 , c2 ∈  thì
−1
 c2 1 

1
0
0

 −1

2
và ( AB ) = 
AB = 
.

2
c
+
c
1
−
c
−
c
−
1
(
)
2
1
 2 1




 −1 0 
2
Nếu ( AB ) = I 2 thì c1 = −c2 . Suy ra AB = 
 và A = − B .
 0 −1

 a
1 0 
, B = 1 − a 2
5. Trường hợp thứ năm. Nếu A = 


c −1
 b

b
 , trong đó
−a 


a, b, c ∈  , b ≠ 0 thì

a


2
AB =
 ac − 1 − a
và
b



a + bc 

b

( AB )

2



b ( 2a + bc )
2a 2 + abc − 1


=

1 − a2 
.
2
2 2
a
bc
ac
a
abc
b
c
2
+
−
2
+
3

+
−
1
(
)




b 




0
2a + bc =
b ( 2a + bc ) =
0
2
. Suy ra a.0 = 2 (vô
Nếu ( AB ) = I 2 thì  2
⇔
2
1 a ( 2a + bc ) =
2a + abc − 1 =
lý!) hay ( AB ) ≠ I 2 .
2

 a
 −1 0 

6. Trường hợp thứ sáu. Nếu A = 
, B = 1 − a 2


 c 1
 b
a, b, c ∈  , b ≠ 0 thì

−a


2
AB =
 ac + 1 − a

b
và

−b 

a − bc 


b
 , trong đó
−a 



( AB )

2



b ( 2a − bc )
2a 2 − abc − 1


.
=

1 − a2 

2
2 2
bc
a
ac
a
abc
b
c
−
2
+
2
−
3
+

−
1
(
)




b 




0
2a − bc =
b ( 2a − bc ) =
0
2
. Suy ra a.0 = 2 (vô
Nếu ( AB ) = I 2 thì  2
⇔
2
1 a ( 2a − bc ) =
2a − abc − 1 =
lý!) hay ( AB ) ≠ I 2 .
2

Vậy với hai phần tử cấp 2 A , B khác nhau và khác ±I 2 , chúng ta đã chứng
minh được rằng nếu AB là phần tử cấp 2 thì AB chỉ có duy nhất một dạng là

 −1 0 
AB = 
 , tức là A = − B .
0
−
1





Mệnh đề 2.5. Nhóm các phép thế  n với n ≥ 4 không nhúng được vào trong nhóm

(

)

nhân các ma trận vuông cấp hai không suy biến M 2* (  ) ,⋅ .

(

)

Chứng minh. Giả sử tồn tại phép nhúng ϕ :  n → M 2* (  ) , ⋅ . Vì  4 nhúng được

(

)

vào trong  n nên chúng ta giả sử tồn tại phép nhúng f :  4 → M 2* (  ) , ⋅ . Xét phép

thế r = (1 2 )( 3 4 ) và s = (1 3)( 2 4 ) là hai phép thế có cùng cấp 2. Suy ra

f ( r ) và f ( s ) cũng có cùng cấp 2. Mặt khác, do=
f ( r ) f (1 2 ) ⋅ f ( 3 4 ) và
=
f ( s ) f (1 3) ⋅ f ( 2 4 )

nên

theo

đề

Mệnh

2.4,

chúng

ta

suy

ra

 −1 0 
f=
( r ) f=
(s) 
 (mâu thuẫn vì f là đơn cấu).

 0 −1

(

)

Vậy không tồn tại phép nhúng từ nhóm  4 vào nhóm M 2* (  ) ,⋅ . Do đó, cũng

(

)

không tồn tại phép nhúng từ nhóm  n vào nhóm M 2* (  ) ,⋅ với mọi n ≥ 4 hay

(

)

nhóm  n không nhúng được vào nhóm M 2* (  ) ,⋅ với mọi n ≥ 4 .
Trước khi kết thúc Chương 2, chúng ta sẽ chứng minh tính đúng đắn của Dự
đoán 2.1.




2.4. Vấn đề nhúng nhóm Quarternion Q8 vào nhóm ( M 2* (  ) ,⋅)

(

)

Theo Định nghĩa 1.2, nhóm Q8 chứa được trong nhóm M 2* (  ) ,⋅ . Tuy nhiên,

(

)

điều này không còn đúng đối với nhóm M 2* (  ) ,⋅ .

(

)

Mệnh đề 2.6. Nhóm Quaternion Q8 không chứa được trong nhóm M 2* (  ) ,⋅ .
Chứng minh. Như đã biết, nhóm Quaternion là nhóm gồm có 8 phần tử và được

Q8
sinh ra bởi hai phần tử cấp 4 thỏa mãn=

A, B =
| A4 e=
, A2 B 2 , ABA
= B . Do

(

)

đó, bước đầu chúng ta sẽ đi tìm dạng các phần tử cấp 4 của nhóm M 2* (  ) ,⋅ . Sau
đó, chúng ta sẽ chứng minh hai phần tử bất kỳ trong các phần tử cấp 4 này không

thỏa các điều kiện của nhóm Q8 .

(

)

1. Bước 1. Tìm dạng các phần tử cấp 4 của nhóm M 2* (  ) ,⋅ .
Bổ đề 2.1. Phần tử cấp 4 của nhóm

 a

2
 −1 − a
 b

( M (  ) ,⋅)
*
2

có một dạng duy nhất

b
 với a, b ∈  , b ≠ 0 .
−a 


a b 
=
A 
∈ M 2* (  ) với ad − bc ≠ 0 , A ≠ I 2 . Chúng ta

Chứng minh. Gọi

c d 
có:

 a 2 + bc b ( a + d ) 
A =
,
2
c ( a + d ) d + bc 
2

 a 3 + 2abc + bcd
A = 2
2
2
 a c + acd + bc + cd
3

M
A4 = 
P
trong đó

a 2b + b 2c + abd + bd 2 
,
d 3 + 2bcd + abc 

N
,

Q 