nghiên cứu didactic về tính đơn điệu của hàm số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-----------------------------------

Võ Thị Loan

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ TÍNH
ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC.

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012.


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
------------------------------------------

Võ Thị Loan
NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ TÍNH
ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Chuyên ngành: Lí Luận và Phương Pháp Dạy Học Toán
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC.

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012.

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn:
 Tiến sĩ Trần Lương Công Khanh đã tận tình hướng dẫn và có những góp ý chân
thành trong quá trình làm luận văn.
 Phó giáo sư Tiến sĩ Lê Thị Hoài Châu đã tận tình giảng dạy các môn học đặc
biệt là phương pháp luận nghiên cứu, giúp chúng tôi có những bước đi đầu tiên
trong nghiên cứu khoa học
 Tiến sĩ Lê Văn Tiến, Tiến sĩ Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình giảng dạy
và hướng dẫn chúng tôi trong quá trình học tập và làm luận văn.
 Tập thể giáo viên và học sinh trường THPT Nguyễn Trãi, THPT Ninh Hải, tỉnh
Ninh Thuận, đã tạo điều kiện cho tôi thực nghiệm trong quá trình làm luận văn.
 Các bạn lớp didactic khóa 20 đã động viên giúp đỡ tôi trong những lúc khó
khăn, giúp tôi có thêm niềm tin để tiếp tục học tập và theo đuổi chuyên ngành này.
 Các thầy cô giáo phòng đào tạo sau đại học trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí
Minh đã tạo điều kiện cho chúng tôi trong công tác học tập và làm luận văn.

Võ Thị Loan.


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT.
∀ : với tất cả.
∃ : tồn tại ít nhất.
∈ : thuộc.

⇒ : suy ra.
⇔ : tương đương.
∞ : vô cùng.

( ; ) : khoảng.

( ; ] : nửa khoảng.
[ ; ] : đoạn.
GV : giáo viên.
HS: Học sinh.
THPT: Trung học phổ thông.
THCS: Trung học cơ sở.


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Danh mục các kí hiệu, các chữ viết tắt
Mục lục
Trang
PHẦN MỞ ĐẦU
1 - Ghi nhận ban đầu ....................................................................................................... 1
2 - Câu hỏi xuất phát ....................................................................................................... 1
3 - Khung lí thuyết tham chiếu. ...................................................................................... 1
4 - Câu hỏi nghiên cứu ..................................................................................................... 3
5 - Cấu trúc luận văn ...................................................................................................... 4
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Ở BẬC ĐẠI HỌC
1.1 - Các khái niệm về tính đơn điệu của hàm số.......................................................... 5
1.2 – Các định lí về về tính đơn điệu của hàm số ......................................................... 8
1.3- Các kiểu nhiệm vụ trong 2 giáo trình ................................................................... 12
1.4- Những nhận xét và kết luận từ việc phân tích các giáo trình ............................. 17
CHƯƠNG 2
MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ20
2.1 Sơ lược quá trình tiếp cận khái niệm tính đơn điệu của hàm số ......................... 20
2.2 - Phân tích sách giáo khoa toán giải tích 12 .......................................................... 27

2.3 – Đối chiếu giữa [M1], [M2] và tri thức đại học.................................................... 48
2.4 - Những ảnh hưởng của sự chuyển đổi .................................................................. 57
CHƯƠNG 3
NHỮNG QUI TẮC HỢP ĐỒNG DẠY HỌC VÀ SAI LẦM CỦA HỌC SINH
TRONG XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
3.1- Những qui tắc của hợp đồng trong quá trình dạy - học khảo sát sự biến thiên
của hàm số. ..................................................................................................................... 60
3.2- Những sai lầm của học sinh trong việc xét tính đơn điệu của hàm số. .............. 68
CHƯƠNG 4


THỰC NGHIỆM
4.1 – Mục đích thực nghiệm chung .............................................................................. 78
4.2- Giới thiệu thực nghiệm........................................................................................... 78
4.3 - Mục đích thực nghiệm cho các câu. ..................................................................... 80
4.5 - Phân tích hậu nghiệm. ........................................................................................... 95
PHẦN KẾT LUẬN
1.

Những kết quả nghiên cứu .................................................................................. 103

2.

Hướng mở rộng cho nghiên cứu ......................................................................... 103

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 104
PHỤ LỤC ......................................................................................................................... 105


PHẦN MỞ ĐẦU

1 - Ghi nhận ban đầu
- Tính đơn điệu của hàm số là một phần chủ yếu trong việc khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số và là công cụ rất hữu hiệu để giải quyết các bài toán. Nó là yếu tố đầu tiên
trong ứng dụng của đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ở trường
phổ thông.
- Trong quá trình dạy học, học sinh đã mắc những sai nào trong xét tính đơn điệu
của hàm số? giáo viên đã thực hành giảng dạy tri thức này như thế nào? Giữa họ có
những qui tắc ngầm ẩn nào? Chính vì vậy trong phạm vi có thể, chúng tôi quyết
định chọn đề tài “ Nghiên cứu didactic về tính đơn điệu của hàm số” để tìm hiểu
rõ hơn tri thức đã tồn tại và được vận hành như thế nào trong thể chế dạy học Việt
Nam.
2 - Câu hỏi xuất phát
Thông qua việc phân tích bộ sách giáo khoa lớp 12 hiện hành, các giáo trình ở bậc
đại học, và thực tế giảng dạy ở trường THPT. Chúng tôi muốn tìm câu trả lời cho
các câu hỏi sau:
1. Khái niệm tính đơn điệu của hàm số được trình bày ở thể chế dạy học bậc đại học
như thế nào?
2. Tri thức đã được giảng dạy như thế nào ở trường THPT ở Việt Nam?
3. Những khó khăn của học sinh khi tiếp cận tri thức này là gì?
4. Những sai lầm về khảo sát sự biến thiên của hàm số của học sinh như thế nào?
5. Những qui tắc hợp đồng nào được hình thành khi dạy và học khái niệm này?
3 - Khung lí thuyết tham chiếu.
Cơ sở lí thuyết để thực hiện trả lời các câu hỏi trên là thuyết nhân học sư phạm và
khái niệm hợp đồng dạy học .
3.1. Thuyết nhân học sư phạm
Lý thuyết nhân học sư phạm dựa vào ba thuật ngữ ban đầu không định nghĩa là đối
tượng, cá thể, thể chế.
Quan hệ thể chế đối với một tri thức

“Trong khoa học sư phạm, vấn đề trung tâm là vấn đề nghiên cứu mối quan hệ thể
chế, các điều kiện và những hiệu ứng của nó. Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân
cũng là một vấn đề của khoa học sư phạm, cơ bản về mặt thực hành nhưng thứ yếu
về mặt khoa học luận” (Chevallard 1989b, trang 93).
Tổ chức toán học
Theo lý thuyết nhân học sư phạm, mỗi hoạt động bất kỳ của con người đều nhằm
hoàn thành một nhiệm vụ t nào đó. Nhiều nhiệm vụ t có thể xếp vào một kiểu nhiệm
vụ T nếu chúng được giải quyết bằng cùng một kỹ thuật τ. Công nghệ θ là những gì
cho phép nghĩ đến, tạo ra hoặc lý giải cho kỹ thuật τ. Đến lượt mình, công nghệ θ
được giải thích, biện minh bằng lý thuyết Θ.
Bộ bốn phần tử [T/ τ/ θ/ Θ] gọi là một praxéologie, vốn được cấu thành bởi hai từ
Hy Lạp là praxis (thực hành) và logos (lý lẽ, lập luận). Thật vậy, trong một
praxéologie, khối [T/ τ] thuộc về thực hành và khối [θ/ Θ] thuộc về lý lẽ, lập luận.
Nếu T là một kiểu nhiệm vụ toán học, praxéologie liên quan sẽ gọi là một tổ chức
toán học.
Chuyển hóa sư phạm
“Mọi tri thức S đều gắn với ít nhất một thể chế I mà trong đó tri thức được vận dụng
vào một lĩnh vực thực tiễn D nào đó. Điều chủ yếu là một tri thức không tồn tại một
cách riêng lẻ bên lề xã hội: mọi tri thức đều xuất hiện vào một thời điểm nhất định,
trong một xã hội nhất định như đã ăn sâu vào một hoặc nhiều thể chế” (Chevallard
1989).
Như vậy:
- Mỗi tri thức đều là tri thức của một thể chế.
- Cùng một đối tượng tri thức có thể sống trong những thể chế khác nhau.
Để có thể sống được trong một thể chế, mỗi tri thức đều phải tuân theo một số ràng
buộc nào đó. Điều đó dẫn đến tri thức bị biến đổi để tri thức có thể tồn tại trong một
thể chế nào đó
Chevallard chấp nhận tiên đề về sự tồn tại của các thể chế chuyển hóa cho phép một
tri thức chuyển từ thể chế này sang thể chế khác: thiết chế chuyển hóa là một thiết

chế vô hình mà Chevallard gọi là noosphère (1985). Khi thể chế đích là thể chế dạy
học,sự chuyển hóa tri thức sẽ được gọi là chuyển hóa sư phạm. Đối với tri thức toán
học, chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ tri thức bác học để chỉ tri thức tham chiếu
(savoir de référence) được huy động để hợp thức hoá một tri thức nào đó trong thể
chế dạy học.
3.2. Khái niệm hợp đồng dạy học
- Hợp đồng dạy học là tập hợp những qui tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của
mỗi bên, học sinh và giáo viên đối với một tri thức toán học được giảng dạy.
- Những điều khoản của hợp đồng không bao giờ được công bố hoặc nếu có cũng
không phải dưới dạng toàn văn. Chúng tổ chức nên các mối quan hệ mà giữa thầy
và trò nuôi dưỡng đối mặt với tri thức.
• Để xác định hiệu lực của hợp đồng ta thường tiến hành như sau:
- Tạo một sự biến loạn trong hệ thống dạy học, sao cho đặt giáo viên và học sinh
trong một tình huống khác lạ mà ta gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng.
- Phân tích các thành phần của hệ thống dạy học trong thực tế.
• Để đặt những thành viên chủ chốt vào tình huống không quen thuộc ta tiến hành
như sau:
- Thay đổi những điều kiện của tri thức, có thể biến đổi các đặc trưng của bài toán.
- Lợi dụng khi học sinh chưa biết cách vận dụng một số tri thức nào đó, những thay
đổi về thể chế, làm thay đổi cách vận dụng tri thức.
- Đặt ra ngoài phạm vi của tri thức đang bàn đến hoặc sử dụng những tình huống mà
tri thức đó không giải quyết được.
- Đặt giáo viên trước những ứng xử của học sinh không phù hợp với những điều
giáo viên mong đợi.
4 - Câu hỏi nghiên cứu
- Các em học sinh ở bậc THCS được tiếp cận khái niệm cơ bản về tính đơn điệu của
hàm số nhưng chỉ dừng ở yêu cầu là hiểu được định nghĩa, biết nhìn đồ thị để xác
định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số. Khi lên THPT yêu cầu cao hơn,
chương trình đã cung cấp cho học sinh công cụ mới để giải toán ngoài việc học định

nghĩa về tính đơn điệu của hàm số. Điều đó có nghĩa là các em phải học một kiến
thức toán học mới trong việc khảo sát sự biến thiên của hàm số, và các em sẽ gặp
không ít những khó khăn trong việc hiểu rõ những công cụ giải toán mới này, việc
tiếp thu tri thức mới cũng thường xuất hiện những sai lầm trong việc sử dụng nó để
giải các bài toán.
Từ đó, chúng tôi đã đặt ra các câu hỏi nghiên cứu sau đây.
Q1. Khái niệm tính đơn điệu của hàm số được trình bày như thế nào ở bậc đại học?
Q2. Mối quan hệ thể chế đối với tính đơn điệu của hàm số trong trường trung học
phổ thông là gì?
Q3. Sự chuyển đổi didactic về tính đơn điệu của hàm số, có sự chênh lệch nào giữa
tri thức bác học và tri thức cần dạy?
Q4. Những quy tắc hợp đồng dạy học nào được hình thành giữa giáo viên (GV) và
học sinh (HS) trong quá trình tiếp cận với khái niệm tính đơn điệu của hàm số?
Q5. Sai lầm của học sinh trong học tập khái niệm tính đơn điệu của hàm số là gì?
5- Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm: có 3 phần: phần mở đầu, phần nội dung, phần kết luận.
• Phần mở đầu: trình bày các ghi nhận ban đầu, câu hỏi xuất phát, khung lí thuyết
tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, cấu trúc luận văn.
• Phần nội dung: gồm 4 chương.
Chương 1: Khái niệm tính đơn điệu của hàm số ở bậc đại học.
Chương 2: Mối quan hệ thể chế với tính đơn điệu của hàm số.
Chương 3: Những qui tắc hợp đồng dạy học và sai lầm của học sinh trong xét tính
đơn điệu của hàm số.
Chương 4: Thực nghiệm
Thực nghiệm trên học sinh lớp 12, giáo viên đã và đang giảng dạy chương trình toán
giải tích 12.
• Phần kết luận:
- Những kết quả nghiên cứu đã đạt được.

- Hướng mở rộng cho nghiên cứu.


PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Ở BẬC ĐẠI HỌC
Xem tri thức ở đại học như vết của tri thức bác học, chúng tôi sẽ phân tích trong
chương này khái niệm tính đơn điệu của hàm số được trình bày trong hai giáo trình
toán dưới đây:
- Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ (1998),
Toán cao cấp tập 1, NXBGD, Thành phố Hồ Chí Minh.
- Jean-Marie Monier (1999), Giải tích toán tập 1, NXB Giáo dục,Thành phố Hồ Chí
Minh.
Chúng tôi sử dụng hai giáo trình trên vì chúng được một nhóm tác giả có kinh
nghiệm giảng dạy ở bậc đại học biên soạn và là giáo trình được nhiều giảng viên và
sinh viên sử dụng trong học tập.
Mục đích của chương này là trả lời câu hỏi nghiên cứu Q1:
Q1. Khái niệm tính đơn điệu của hàm số được trình bày như thế nào ở bậc đại học?
1.1 - Các khái niệm về tính đơn điệu của hàm số
1.1.1 - Định nghĩa 1:
Hàm số f : E → R gọi là tăng (tăng nghiêm ngặt) trên tập hợp E ⊂ R, nếu với mọi
x 1 , x 2 ∈ E, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) (f(x 1 ) < f(x 2 ))
Và hàm số gọi là giảm (giảm nghiêm ngặt) trên tập hợp E ⊂ R, nếu với mọi
x 1 , x 2 ∈ E, x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) ≥ f(x 2 ) (f(x 1 ) > f(x 2 )).
Ta bảo f là hàm đơn điệu (đơn điệu nghiêm ngặt) trên E nếu nó tăng hoặc giảm
(tăng nghiêm ngặt, hoặc giảm nghiêm ngặt) trên E.
Nếu ta sử dụng thuật ngữ này mà không nói tới E thì E = D f
D f là tập xác định của hàm số.
- Thông thường khi biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ, các khoảng tăng nghiêm ngặt
(giảm nghiêm ngặt) được mô tả là đường đi lên và đi xuống của đồ thị.

Đối với các hàm số thường gặp trong giải tích, tập xác định có thể chia thành hữu
hạn (như đối với hàm số x2) hoặc vô hạn (như đối với hàm sinx, sin

1
) các khoảng
x

đơn điệu nghiêm ngặt.
Tuy nhiên cũng tồn tại các hàm số f: E → R không đơn điệu trong bất kì khoảng
nào.
Hàm số f tăng nhưng không tăng nghiêm ngặt trong khoảng < α , β > thì sẽ có
những đoạn không đổi.
Thật vậy, nếu trong < α , β > có 2 điểm x 1 , x 2 sao cho x 1 < x 2 và f(x 1 ) = f(x 2 )
thì vì [x 1 , x 2] ⊂< α , β > và f(x 1 ) ≤ f(x) ≤ f(x 2 ) với ∀x ∈ [ x1 , x2 ] nên f không đổi
trên đoạn [x 1 , x 2].
- Hàm số duy nhất vừa tăng vừa giảm trên E chính là hàm hằng trên E.
[2, tr39-40].
- Định nghĩa 1 đề cập đến khái niệm đơn điệu, đơn điệu nghiêm ngặt của hàm số
trên một tập (là tập con của R).
- Như vậy để biết được tính đơn điệu của hàm số trên một tập, ta phải thực hiện so
sánh 2 biểu thức f(x 1 ) và f(x 2 ) bằng các phép toán thông thường, mà không có yếu
tố khả vi hay liên tục của hàm số trên tập.
- Qua đây đã cho ta thấy được sự khác biệt giữa hàm số đơn điệu trên một tập xác
định với hàm số đơn điệu trên khoảng mà nó xác định. Bởi có những hàm số đơn
điệu trên các khoảng mà nó xác định, nhưng không đơn điệu trên miền xác định (tập
xác định) của nó. Ví dụ sau cho ta thấy được sự khác biệt này.
Ví dụ 1: hàm số y = 1/x giảm trên mọi khoảng xác định nhưng không giảm trên
miền xác định của nó.

 x 2
,x≥0
Ví dụ 2: hàm số y =  3
tăng trên các khoảng (-∞, 0), (0, +∞) nhưng
 x +2 , x < 0
không tăng trên miền xác định của nó.
Chẳng hạn lấy x 1 = -1, x 2 = 0, ta thấy x 1 < x 2 nhưng f(x 1 ) = 1> f(x 2 ) = f(0) = 0 điều
này chứng tỏ hàm số không tăng trên miền xác định của nó.


Ví dụ 3: hàm số y = x2, giảm trên khoảng (-∞, 0), tăng trên khoảng (0, +∞), nhưng
không đơn điệu trên miền xác định R.
1.1.2. Định nghĩa 2

Cho X ∈ P(R) và f ∈RX .
RX là tập các ánh xạ từ X vào R, P(R) là tập các tập con của R.
1)Ta nói f tăng khi và chỉ khi ∀(x 1, x 2 ) ∈X2, ((x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1 )≤ f(x 2 )).
2) Ta nói f giảm khi và chỉ khi ∀(x 1, x 2 ) ∈X2, ((x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1 )≥ f(x 2 )).
3) Ta nói f tăng nghiêm ngặt khi và chỉ khi ∀(x 1, x 2 ) ∈X2, ((x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 )).
4) Ta nói f giảm nghiêm ngặt khi và chỉ khi ∀(x 1, x 2 ) ∈X2,((x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) >f(x 2 )).
5) Ta nói f đơn điệu khi và chỉ khi f tăng hoặc giảm.
6) Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ khi f tăng nghiêm ngặt hoặc giảm
nghiêm ngặt.
Một ánh xạ có thể không đơn điệu. Ví dụ
1) f: R→ R ;

2) χ Q : R→ R

x  x2

1 ; x ∈ Q
x 
0 ; x ∉ Q

;

3) *: R*→ R
x

1
x

[8, tr 103].
- Định nghĩa 2 đã đề cập tính đơn điệu, đơn điệu nghiêm ngặt của một ánh xạ trên
một tập (là tập con của R).
- Các ví dụ muốn nhấn mạnh rằng một ánh xạ có thể đơn điệu trên những khoảng
mà nó xác định, nhưng có thể không đơn điệu trên tập xác định của nó, chẳng hạn
các ví dụ sau định nghĩa này, các ánh xạ này được xem là không đơn điệu trên tập
xác định của nó, nhưng có thể đơn điệu trên những khoảng mà nó xác định.
Ở ví dụ 1): ánh xạ y = f(x) = x2 nghịch biến trên khoảng (-∞, 0), và đồng biến trên
khoảng (0, +∞) nhưng không đơn điệu trên R.
Ví dụ 2): Trên Q ánh xạ là ánh xạ hằng (χ Q (x)= 1) nên được xem là vừa tăng vừa
giảm trên Q.
Trên R\Q ánh xạ là ánh xạ hằng (χ Q (x)= 0) được xem là vừa tăng vừa giảm trên
R\Q.


Nhưng không được xem là đơn điệu trên miền xác định R.
Ví dụ 3) ánh xạ y = *(x) =

1
giảm trên các khoảng (-∞, 0), (0, +∞) nhưng không
x

đơn điệu trên miền xác định R*.
 Ở đây người ta có tính đến sự đơn điệu nghiêm ngặt, không nghiêm ngặt và cả
sự không đơn điệu của hàm số trên một tập con của số thực.
Xét trên phương diện công cụ thì khái niệm này là một phương tiện cho phép việc
khảo sát tính đơn điệu của một hàm số trên một tập khi chưa có công cụ đạo hàm.
Sau khi xuất hiện khái niệm đạo hàm, thì người ta đã sử dụng nó để nghiên cứu một
số tính chất của các hàm số, đặc biệt là việc ứng dụng đạo hàm trong việc khảo sát
tính đơn điệu của hàm số.
Trên phương diện đối tượng, chúng tôi sẽ tiếp tục xem xét các định lí về tính đơn
điệu của hàm số qua công cụ đạo hàm, đặc biệt là tìm hiểu những đặc trưng khoa
học luận của tri thức này.
1.2 – Các định lí về về tính đơn điệu của hàm số
1.2.1- Giáo trình thứ nhất – kí hiệu [a]
Định lí 1:
Cho hàm số f liên tục trên <a, b>, khả vi trên khoảng (a, b). Khi đó để f(x) không
đổi trên <a, b> khi và chỉ khi f’(x) = 0 với mọi x∈ (a, b).
{<a, b> là khoảng nói chung, không phân biệt khoảng đóng, hay mở, hay nửa mở}.
Chứng minh :
Điều kiện cần: Ta có f(x) = const thì f’(x) = 0.
Điều kiện đủ: Cho f’(x) = 0, ∀ x∈ (a, b). Lấy một điểm x 0 cố định tùy ý thuộc
<a, b>, gọi x là điểm tùy ý khác của <a, b>.
Trên đoạn [x 0 , x] (nếu x > x 0 ) hoặc [x, x 0] (nếu x < x 0 ) hàm số f thỏa định lí
Lagrange nên f(x) - f(x 0 ) = f’(c).(x- x 0 ), với c nằm giữa x 0 và x tức là c∈ (a, b).
theo giả thiết f’(c) = 0, do đó với mọi x ∈ <a, b> ta có f(x) = f(x 0 ) = const.
Định lí 2:

Cho f khả vi trên (a, b). Khi ấy f(x) tăng trên khoảng (a, b) khi và chỉ khi f’(x) ≥ 0
với mọi x ∈ (a, b).
Chứng minh:
Điều kiện cần: Cho f(x) tăng thì f’(x) = f + (x) = lim
∆x →0

+

f ( x + ∆x) − f ( x)
≥ 0.
∆x

Vì khi ∆x > 0 thì f(x+∆x) ≥ f(x).
Điều kiện đủ: Nếu f’(x) ≥ 0, ∀x∈(a, b), thì với x 1 , x 2 ∈(a, b), x 1 < x 2 .
Theo định lí Lagrange ta có: f(x 2 ) - f(x 1 ) = f’(c)(x 2 - x 1 )≥ 0 với c∈ (x 1 , x 2 ).
Định lí 3:
Cho f khả vi trên (a, b). Hàm số f (x) tăng nghiêm ngặt trên (a,b)
khi và chỉ khi:
i) f’(x) ≥ 0, x ∈ (a, b).
ii) không tồn tại khoảng (α, β) ⊂ (a, b) sao cho f’(x) = 0, x ∈ (α, β).
Chứng minh:
Điều kiện đủ: Giả sử f thỏa (i) và (ii). Theo định lí 2) f(x) tăng trên (a, b).
Ta chứng minh f(x) tăng nghiêm ngặt.
Thật vậy nếu tồn tại x 1 , x 2 ∈(a, b) sao cho x 1 < x 2 và f(x 1 ) = f(x 2 ) thì từ tính tăng
của f ta có f(x) = f(x 1 ), ∀x∈ (x 1, x 2 ). Suy ra f’(x) = 0 ∀ x ∈ (x 1 , x 2 ) trái với (ii).
Điều kiện cần: Cho f là hàm số tăng nghiêm ngặt thì (i) thỏa theo định lí 3) và ii)
cũng thỏa vì nếu tồn tại một khoảng (α, β) ⊂ (a, b) sao cho f’(x) = 0, x ∈ (α,β) thì
theo định lí 1) f(x) = const ∀x ∈ (α, β), trái với giả thiết f tăng nghiêm ngặt.

[2, tr153-155]
 Các định lí ở đây chỉ tính đến việc xét sự đơn điệu của hàm số trên khoảng
(a, b) nói chung, (các khoảng nói chung ở đây bao gồm cả các khoảng mở rộng).
Một số lí do theo chúng tôi là:
- Các hàm số mà họ xét đến thuộc lớp các hàm số khả vi và liên tục trên khoảng cần
xét sự biến thiên. Quan điểm của việc trình bày tính đơn điệu của hàm số trên các
khoảng là muốn người đọc chỉ ra các “khoảng biến thiên của hàm số” khi khảo sát
sự biến thiên của hàm số, và giải các bài toán có liên quan đến sự biến thiên của


hàm số chủ yếu sử dụng công cụ đạo hàm trên những khoảng cần khảo sát. Phần lớn
các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số phụ thuộc chủ yếu vào sự khả vi của hàm
số và dấu của biểu thức đạo hàm của hàm số trên các khoảng xác định. Một mặt
giáo trình nói đến sự biến thiên của hàm số trên khoảng sao cho phù hợp với tựa đề
mục “6.1.1. khoảng biến thiên của hàm số” của giáo trình trước khi trình bày các
định lí điều kiện cần và đủ tính đơn điệu của hàm số.
Mặt khác, thường người ta hay nói đến các khoảng biến thiên của hàm số, mà không
nói đến các “tập biến thiên” của hàm số.
 Điều kiện đầu tiên để xét sự biến thiên của hàm số trên một khoảng là sự khả vi
của hàm số trên khoảng đó. Việc ngầm hiểu hàm số khả vi trên khoảng (a, b) thì
hàm số cũng liên tục trên khoảng (a,b), giáo trình cũng chưa đề cập đến tính đơn
điệu của những hàm số liên tục trên khoảng (a, b) nhưng không có đạo hàm hay
hàm số không có đạo hàm tại một số điểm trên khoảng (a, b) và những yếu tố công
nghệ nào được sử dụng để giải quyết kiểu nhiệm vụ xét tính đơn điệu của những
hàm số này. Khi đó còn lại yếu tố công nghệ duy nhất để giải quyết kiểu nhiệm vụ
xét tính đơn điệu của những hàm số này chỉ có thể là định nghĩa tính đơn điệu của
hàm số. Tuy nhiên không phải loại hàm số nào ta cũng có thể sử dụng định nghĩa
trên để khảo sát tính đơn điệu của chúng, bởi sự phức tạp trong việc so sánh hai
biểu thức f(x 1 ), f(x 2 ).
1.2.2 – Giáo trình thứ 2- kí hiệu [b]

Mệnh đề
Nếu hàm số f : I → R liên tục trên I, f khả vi liên tục trên Io
và với ∀x ∈ I o , f’(x) = 0 thì f không đổi trên I.
Chứng minh: Cho (x 1 , x 2 ) ∈I2 sao cho x 1 < x 2 .
Theo định lí số gia hữu hạn; tồn tại số c ∈ [x 1 , x 2] sao cho
f(x 2 ) - f(x 1 ) = (x 2 - x 1 ).f’( c) = 0
Kết quả trên vẫn đúng trong trường hợp f : I → C.
Định lí 1: Cho hàm số f : I → R liên tục trên I, f khả vi liên tục trên Io
Để f tăng trên I thì điều kiện cần và đủ là ∀x ∈Io, f’(x) ≥ 0.


Chứng minh: giả sử f tăng trên I, cho x o ∈I , ∀ h ∈R* sao cho x o + h ∈I
Ta có :

f ( xo + h) − f ( xo )
≥0
h

Chuyển qua giới hạn khi h → 0 ta suy ra f’(x o ) ≥ 0.
Ngược lại: giả sử ∀ x ∈I, f’(x) ≥ 0. Cho (x 1 , x 2 ) ∈I2 sao cho x 1 < x 2 .
Áp dụng định lí số gia hữu hạn đối với hàm số f, tồn tại số c ∈ [x 1 , x 2]
sao cho f(x 2 ) - f(x 1 ) = (x 2 - x 1 ).f’( c) ≥ 0.
Vậy f tăng trên I. Tương tự cho hàm số giảm trên I.
Định lí 2: Cho hàm số f : I → R liên tục trên I, f khả vi liên tục trên Io
Để f tăng nghiêm ngặt trên I thì điều kiện cần và đủ là ∀ x ∈Io, f’(x) ≥ 0 và
{x ∈Io, f’(x) = 0} không chứa bất kì một khoảng có phần trong không rỗng
Chứng minh: giả sử f tăng nghiêm ngặt trên I.
Theo định lí 1 ta có ∀ x ∈Io, f’(x) ≥ 0.
Lập luận phản chứng. Giả sử {x ∈Io, f’(x) = 0} chứa một khoảng có phần trong
không rỗng. Khi đó tồn tại số c ∈{x ∈Io/ f’( x) = 0} và α > 0 sao cho

[c − α , c + α ] ⊂ {x ∈Io, f’(x) = 0 }.
Điều này có nghĩa là ∀ x ∈ [ c − α , c + α ] , f’(x) = 0.
Theo mệnh đề trên, f không đổi trên [ c − α , c + α ] do đó f không tăng nghiêm ngặt
trên I (mâu thuẫn với giả thiết).
Như vậy {x ∈Io, f’(x) = 0} không chứa bất kì một khoảng có phần trong không
rỗng.
Ngược lại: ∀ x ∈Io, f’(x) ≥ 0 và {x ∈Io, f’(x) = 0} không chứa bất kì một khoảng có
phần trong không rỗng.
Theo định lí 1: ta có f tăng trên I.
Lập luận phản chứng: giả sử f không tăng nghiêm ngặt trên I như vậy tồn tại
(x 1 , x 2 ) ∈I2 sao cho x 1 < x 2 và f(x 1 ) = f(x 2 ).
Vì f tăng trên I nên ta có ∀ x ∈ [ x1 , x2 ] , f(x 1 ) = f(x 2 ) và [ x1 , x2 ] ∈ {x ∈Io, f’(x) = 0}
(trái với giả thiết).


Vậy f tăng nghiêm ngặt trên I.
Trường hợp riêng: nếu f khả vi trên I và ∀ x ∈ I, f’(x) > 0 thì f tăng nghiêm ngặt
trên I.
Các định lí 1, 2 thường được sử dụng để khảo sát sự biến thiên của hàm số. Các kết
quả trình bày trong bảng gọi là bảng biến thiên của hàm số f. [8, tr164-165]
 Tính khả vi và liên tục của hàm số trên I là một trong những điều kiện luôn đi
kèm với định lí về điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên I.
1.3- Các kiểu nhiệm vụ trong 2 giáo trình
Trong điều kiện có thể, chúng tôi chỉ nêu ra các kiểu nhiệm vụ tìm thấy trong 2 giáo
trình, cùng với kỹ thuật giải tương ứng và chỉ ra các yếu tố công nghệ được sử dụng
trong các kỹ thuật để giải quyết các kiểu nhiệm vụ này.
 T 1 : Chứng minh hàm số tăng (giảm), tăng nghiêm ngặt (giảm nghiêm ngặt) trên
các tập R+, R. nếu thỏa một số tính chất nào đó.
Các hàm số trong kiểu nhiệm vụ này thường không cho rõ biểu thức của hàm số cụ

thể như ở cấp phổ thông, mặc dù yêu cầu cùng một kiểu nhiệm vụ nhưng hình thức
cho giả thiết bài toán rất khác nhau.
Ví dụ 4.17. [8, tr 104].
Cho hàm f : R → R sao cho f o f tăng và f o f o f giảm.
Chứng minh rằng f giảm nghiêm ngặt.
Lời giải:
Với ∀ x 1 , x 2 ∈ R, giả sử x 1 < x 2 .
Ta có: f o f o f là hàm số giảm nên f o f o f(x 1 ) > f o f o f(x 2 ) ⇔ f o f (f(x 1 )) > f o f o (f(x 2 )).
Và f o f o tăng nên suy ra f(x 1 ) > f(x 2 ).
Vậy f giảm nghiêm ngặt.
• Kỹ thuật τ 1 :
- Với ∀ x 1 , x 2 ∈ D, giả sử x 1 < x 2 .
- Xuất phát từ sự tăng giảm của các hàm số cho trong giả thiết bài toán để đi đến
f(x 1 ) < f(x 2 ) hoặc f(x 1 ) > f(x 2 )
- Kết luận hàm số tăng (giảm) hay tăng(giảm) nghiêm ngặt.


• Yếu tố công nghệ được sử dụng: định nghĩa về tính tăng (giảm), tăng (giảm)
nghiêm ngặt của hàm số.
 T 2 : Chứng minh bất đẳng thức A(x) > B(x) hay A(x) < B(x).
1
2

Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức: cox > 1- x 2 , với x > 0. [2, tr115]
Lời giải:
1
2

Xét hàm số f(x) = cosx - 1- x 2 trên [0, +∞).
f’(x) = -sinx +x > 0, với x > 0. (vì sinx < x với x > 0).

Suy ra hàm số f tăng trên nửa khoảng [0, +∞).
do đó với x > 0 thì f(x) > f(0) = 0.
1
2

Như vậy: cosx > 1- x 2 với x > 0.
• Kỹ thuật: τ 2
- Xét hàm số y = f(x) = A(x) - B(x) xác định trên D.
- Tìm điểm x o ∈ D sao cho f(x o ) = 0.
- Theo định nghĩa tăng (giảm) của hàm số: với ∀ x ∈ D, x < x o ( hay x > x o )
+ Giả sử x > x o suy ra f(x) > f(x o ) = 0 nếu hàm số tăng trên D. Do đó A(x) > B(x).
+ Giả sử x > x o suy ra f(x) < f(x o ) = 0 nếu hàm số giảm trên D. Do đó A(x) < B(x).
Trong kiểu nhiệm vụ này, các hàm số thường xét là những hàm số đơn điệu trên
định D.
• Công nghệ để giải quyết kiểu nhiệm vụ này là: định nghĩa tính đơn điệu của hàm
số, và định lí điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.
 T 3 : Giải phương trình.
Phương trình trong kiểu nhiệm vụ này, với các ẩn có số mũ khá lớn. Kiểu nhiệm vụ
T 3 hơi khó hơn ở chỗ là người học phải nhận ra một số giá trị nghiệm của phương
trình trên các khoảng thuộc tập xác định, và chứng minh sự duy nhất của từng
nghiệm đó trong từng khoảng biến thiên của hàm số. Thông thường thì người ta có
thể cho các phương trình mà có thể tìm được các giá trị nghiệm không quá khó


khăn, vì mục đích của việc giải phương trình này là áp dụng sự biến thiên của một
hàm số trên khoảng để chứng minh sự duy nhất của một nghiệm x 0 trên khoảng đó.
Ví dụ 4.16 [8, tr 168]. Giải phương trình : x18 + x10 = 544 , x ∈ R +
Ta nhận thấy x =

2 là nghiệm của phương trình.

Ta chứng minh phương trình chỉ có 1 nghiệm trên khoảng (0, +∞).
Xét hàm số f(x) = x18 + x10 - 544 , trên R+
Hàm số liên tục trên R và f( 2 ) = 0.
f’(x) = 18x17 + 10x9 = x9(18x8 + 10).
f’(x) = 0 ⇔ x = 0.
Bảng biến thiên:
x

0

f’(x)

+∞

2

+

0

+
+∞

f(x)
0
-544
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Hàm số tăng trên khoảng (0,+∞) và f( 2 ) = 0,
nên x =

2 là nghiệm duy nhất của f(x) trên khoảng (0, +∞).

Thật vậy:
Trên khoảng (0,+∞), nếu x <

2 hay x > 2 thì f(x) < f( 2 ) hay f(x) > f( 2 ) (do

hàm số tăng trên khoảng (0,+∞).
Do đó f(x) < 0 hoặc f(x) > 0 như thế thì x18 + x10 < 544 hay (x18 + x10 > 544).
Kết luận: phương trình chỉ có 1 nghiệm x = 2 trên R+.
• Kỹ thuật τ 3 : giải phương trình h(x) = g(x).
- Xét hàm số f(x) = h(x) – g(x) trên tập xác định D.
- Tìm các x 0 ∈ D sao cho f(x 0 ) = 0.


- Chứng minh phương trình f(x) = 0 chỉ có các nghiệm x 0 , không còn nghiệm nào
khác x 0 bằng cách:
+ Tính đạo hàm f’(x) , suy ra tính đơn điệu của hàm số f(x) trên các khoảng xác
định chứa x 0 trong D.
+ Dựa vào sự biến thiên của hàm số f(x) trên các khoảng, ta suy ra sự duy nhất của
từng nghiệm x 0 trên các khoảng biến thiên.
- Kết luận nghiệm của phương trình f(x) = 0 hay h(x) = g(x).
• Công nghệ giải quyết kiểu nhiệm vụ này là định lí về tính đơn điệu của hàm số,
định nghĩa tính đơn điệu của hàm số.
 T 4 : Chứng minh hàm f thõa một số tính chất là hàm hằng.
Sử dụng điều kiện cần và đủ để hàm f là hàm hằng.
Ví dụ: [8, tr 168].
Cho hàm số f : R→ R, g : R + → R * sao cho

∀( x, y ) ∈ R 2 , f ( x) − f ( y ) ≤ x − y g ( x − y ) và lim g = 0 .
x → 0+

Chứng minh f là hàm hằng.
Lời giải:
Cho x ∈ R cố định.
Ta có: ∀( x, y ) ∈ R 2 , f ( x) − f ( y ) ≤ x − y g ( x − y )
⇔

f ( x) − f ( y )
≤ g ( x − y ) → 0 khi y→x
x− y

Nên f khả vi tại 0 và f’(x) = 0.
Vậy f(x) = c (c là hằng số).
• Kỹ thuật: τ 4
- Từ giả thiết bài toán và sự khả vi của hàm số chứng minh f’(x) = 0,
với mọi x ∈ D.
- Suy ra f(x) = const.
- Kết luận f là hàm hằng.
• Công nghệ: định lí điều kiện cần và đủ để hàm số là một hàm hằng.


 T 5 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Ví dụ : [1, tr185].
Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
a) y =

x2 + x −1
x2 − 2 x + 1

b) =
y

x2 + 1 − 2 x + 1

c) y = ex – x

d) y =

ln x
.
x

-Kỹ thuật: τ 5
- Tìm tập xác định.
- Xét chiều biến thiên: tìm các khoảng tăng, giảm của hàm số.
- Tìm cực trị.
- Xét khoảng lồi lõm, điểm uốn (nếu có).
- Tìm tiệm cận.
- Lập bảng biến thiên.
- Vẽ đồ thị. (để đơn giản người ta xét tính chẵn lẻ, tuần hoàn của hàm số).
 Công nghệ: các định lí điều kiện cần và đủ về tính đơn điệu, cực trị, tính lồi lõm,
giới hạn, của hàm số.
 T 6 : Tìm các khoảng tăng giảm của hàm số.
Ví dụ 2.42: [2, tr 183].
Tìm các khoảng tăng giảm của hàm số:
a) y = (x-1)3.(2x+3)2
c) y = arctgx – lnx d) y =

b) y = xe-3x
x
.
ln x

Ví dụ 2.43 [2, tr 183].
Tìm các khoảng tăng giảm của hàm số y = f(x) cho bởi phương trình tham số.

x=

e−t
et
, y=
,t>1
1− t
1− t

• Kỹ thuật: τ 6
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính f’(x), tìm các x 0 sao cho f’(x 0 ) = 0 hoặc tìm các điểm mà tại đó hàm số
không có đạo hàm.
- Xét dấu f’(x).


- Suy ra các khoảng biến thiên của hàm số.
• Kỹ thuật τ 6 ’ : giải quyết kiểu nhiệm vụ “Tìm các khoảng tăng giảm của hàm số
y = f(x) cho bởi phương trình tham số t.”
- Tìm tập xác định và các điểm gián đoạn của các hàm số x = x(t), y = y(t).
- Xét sự biến thiên của x, y theo t bằng cách xét dấu x’(t), y’(t).
Và y 'x =

y 't
xt

- Suy ra sự biến thiên của hàm số y = f(x).
• Lí thuyết giải thích cho tất cả các công nghệ trên là lí thuyết về hàm một biến với
biến số thực, và phép tính vi phân của hàm số một biến.
 Qua tìm hiểu các kiểu nhiệm vụ, không có kiểu nhiệm vụ khảo sát tính đơn điệu
của hàm số trên một tập bất kì. Tuy các định nghĩa có đề cập đến tính đơn điệu của
hàm số trên một tập con bất kì của số thực. Các kiểu nhiệm vụ chủ yếu đi sâu vào
việc ứng dụng của đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng mà
hàm số xác định.
1.4- Những nhận xét và kết luận từ việc phân tích các giáo trình
Ở đây người ta có tính đến sự đơn điệu của hàm số trên tập, thông thường là các tập
con của số thực (R+ , R-, Q+, Q-, Q, R), nhưng các bài toán liên quan đến tính đơn
điệu của hàm số chủ yếu được xét trên các khoảng nói chung, bao gồm các khoảng
mở rộng trên. Cụ thể:
 Các giáo trình đã đưa ra định nghĩa tính đơn điệu của hàm số, và của ánh xạ trên
một tập con bất kì của tập xác định của nó.
 Cả hai đều nhấn mạnh sự khác biệt giữa khái niệm hàm số tăng (giảm) với hàm
số tăng (giảm) nghiêm ngặt trên một tập. Các điều kiện cần và đủ để hàm số tăng
(giảm), và tăng (giảm) nghiêm ngặt.
 Mặc dù định nghĩa tính đơn điệu được phát biểu trên một tập bất kỳ, nhưng các
định lý và các bài tập đều liên quan đến tính đơn điệu trên khoảng nói chung (theo
nghĩa rộng, bao gồm cả nửa khoảng, nửa đoạn). Điều này có thể xuất phát từ một lý


do là: việc khảo sát tính đơn điệu của hàm số phần lớn dựa vào việc xét dấu đạo
hàm trên một khoảng.
+ Các định lí hướng đến việc xét tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng, đoạn,

nửa khoảng, và các khoảng mở rộng nói chung (R+, R*, R) là những tập con của tập
R, mà trên đó hàm số liên tục và khả vi.
 Điều kiện trước hết để một hàm số đơn điệu trên một khoảng là tính liên tục và
khả vi của hàm số trên khoảng đó, sau là xét dấu của biểu thức đạo hàm trên khoảng
đó.
Bước chuyển từ nhận biết tính chất tăng giảm của hàm số dựa vào hình dáng đồ thị
hàm số sang nhận biết tính tăng giảm của hàm số thông qua các phép toán trên các
biểu thức đại số, cụ thể là dựa vào việc xét dấu biểu thức đạo hàm, là một bước tiến
trong lịch sử hình thành các công cụ toán học để giải quyết một lớp các bài toán
nghiên cứu tính chất của hàm số. Cụ thể, các định lí về điều kiện cần và đủ về tính
đơn điệu của hàm số là công cụ mang lại lợi ích lớn trong việc xét tính đơn điệu của
hàm số, cho phép giảm bớt sự phức tạp của việc so sánh các biểu thức đại số (f(x 1 )
và f(x 2 )) trong ứng dụng định nghĩa tính đơn điệu của một hàm. Công cụ này cho
phép giải quyết tốt các bài toán về xét sự đơn điệu của những hàm số khả vi trên
khoảng cần khảo sát.
Tuy nhiên không phải một công cụ toán học nào ra đời cũng giải quyết hết tất cả
các lớp bài toán có liên quan đến tri thức này, bên cạnh những lợi ích to lớn của nó
là một số hạn chế nhất định trong quá trình vận hành nó. Cụ thể, là đối với những
hàm số liên tục, không có đạo hàm trên khoảng, hay những hàm số có biểu thức đạo
hàm phức tạp, khó có thể xét được dấu của biểu thức đạo hàm thì việc xác định
được tính đơn điệu của hàm số và cả việc xác định được các khoảng mà hàm số đơn
điệu trên đó không dễ dàng, đây cũng là một khó khăn gặp phải trong quá trình vận
hành tri thức này, mà các nhà nghiên cứu tri thức này liệu có tính đến. Và còn lại
một lớp các hàm số liên tục nhưng không khả vi hoặc những hàm số không thõa
những điều kiện của các định lí về tính đơn điệu thì việc xét tính đơn điệu của
chúng sẽ nhờ vào yếu tố công nghệ nào? Những kỹ thuật nào để giúp cho người


đang sử dụng và thực hành toán giải quyết các bài toán này? Đó là một chướng ngại
khoa học luận trong quá trình hình thành tri thức. Đây cũng là những câu hỏi đặt ra

ở nhiều thể chế dạy học. Để tìm hiểu tri thức đã được sử dụng và vận hành như thế
nào trong thể chế dạy học hiện nay, những mục đích của việc đưa tri thức vào cấp
trung học và những điều kiện ràng buộc đối với tri thức này ở thể chế dạy học Việt
Nam, chúng tôi tiếp tục phân tích mối quan hệ thể chế đối với tri thức tính đơn điệu
của hàm số ở chương 2.