nghiên cứu khái niệm sai lầm trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-------------------------------------------

Nguyễn Thị Ngân Châu

NGHIÊN CỨU KHÁI NIỆM SAI LẦM
TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-------------------------------------------

Nguyễn Thị Ngân Châu

NGHIÊN CỨU KHÁI NIỆM SAI LẦM
TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành : Lí luận và PPDH môn Toán
Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS TS LÊ VĂN TIẾN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Văn Tiến, người
đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ
cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho
chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn:
Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN - SĐH, ban chủ nhiệm và giảng
viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi cho
chúng tôi trong suốt khóa học vừa qua.
Ban giám hiệu và các giáo viên các trường THPT Bình Mỹ, Trường Phổ
Thông Thực Hành Sư Phạm, Trường THPT Long Xuyên (An Giang) đã hỗ trợ tôi
thực hiện các thực nghiệm đối với giáo viên và thực nghiệm đối với học sinh
Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẽ cùng tôi
những buồn vui và khó khăn trong quá trình học tập.
Bên cạnh đó, tôi cũng gửi lời cám ơn đến anh Trần Minh – giáo viên trường
THPT Võ Thị Sáu, người đã chia sẽ và góp ý cho tôi rất nhiều.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong
gia đình tôi, họ luôn động viên, giúp đỡ tôi về mọi mặt.


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SGK

: Sách giáo khoa

SGKC

: Giải tích 12

SGKN

: Giải tích 12 nâng cao

SBT

: Sách bài tập

SBTC

: Sách bài tập giải tích 12

SBTN

: Sách bài tập giải tích 12 nâng cao

SGV

: Sách giáo viên

SGVC

: Sách giáo viên giải tích 12

SGVN

: Sách giáo viên giải tích 12 nâng cao

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

PHHS

: Phụ huynh học sinh

CNV – VC : Công nhân viên – viên chức
MTBT

: Máy tính bỏ túi

ĐHSP

: Đại học sư phạm

TP.HCM

: Thành phố Hồ Chí Minh

DANH MỤC CÁC BẢNG


Bảng 3.1: Tóm tắt sự lựa chọn giá trị của biến trong các bài toán .....................................51
Bảng 3.2: Thống kê kết quả thực nghiệm của bài 1 ..........................................................58
Bảng 3.3: Bảng thống kê kết quả thực nghiệm bài 2 .........................................................60
Bảng 3.4: Thống kê kết quả thực nghiệm của bài 3 ..........................................................60
Bảng 3.5: Số lượng các GV lựa chọn các mức độ nguyên nhân của sai lầm .....................69
Bảng 3.6: Thống kê cách quản lý sai lầm của GV khi chấm bài kiểm tra ..........................70
Bảng 3.7: Thống kê cách quản lý sai lầm của GV sửa bài tập tại lớp ................................71
Bảng 3.8: Thống kê cách quan tâm của PH đến việc học của con ....................................78
Bảng 3.9: Thống kê chú ý của PH khi xem bài kiểm tra môn toán của con .......................78
Bảng 3.10:Thống kê số lượng PH đánh giá nguyên nhân của sai lầm ...............................79
Bảng 3.11:Thống kê cách khắc phục sai lầm của PH ........................................................80


MỤC LỤC

Lời cảm ơn
Danh mục các chữ viết
Danh mục các bảng
Mục lục
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ................................................ 1

I.

II. Phạm vi lý thuyết tham chiếu ............................................................................. 1
1. Lý thuyết nhân chủng học .............................................................................. 2
2. Quan niệm và quy tắc hành động .................................................................... 2

2.1 Quan niệm ................................................................................................. 2
2.2 Quy tắc hành động ..................................................................................... 3
III. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................ 3
IV. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................. 4
V. Tổ chức luận văn ................................................................................................ 5
Chương 1: SAI LẦM CỦA HỌC SINH NHÌN TỪ GÓC ĐỘ CÁC LÝ THUYẾT
VỀ HỌC TẬP ............................................................................................................. 7
1.1

Quan điểm của thuyết hành vi ..................................................................... 7

1.1.1 Cơ sở lý luận ............................................................................................. 7
1.1.2 Quan niệm sai lầm...................................................................................... 7
1.13 Phân loại sai lầm ......................................................................................... 9
1.2

Quan điểm của thuyết kiến tạo.................................................................... 10

1.2.1 Cơ sở lý luận ............................................................................................ 10
1.2.2 Quan niệm sai lầm.................................................................................... 11
1.2.3 Phân loại sai lầm ...................................................................................... 13
1.3 Quan điểm của didactic toán ........................................................................... 13
1.3.1 Cơ sở lý luận ............................................................................................ 13
1.3.2 Quan niệm sai lầm.................................................................................... 14
1.3.3

Phân loại sai lầm .................................................................................. 17

Chương 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI KHÁI NIỆM LOGARIT................... 21
2.1 Khái niệm logarit trong sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản ........................... 21

2.1.1 Định nghĩa, tính chất của khái niệm logarit ............................................. 21
2.1.2 Các tổ chức toán học ................................................................................ 27


2.1.3 Dự đoán và giải thích nguyên nhân dẫn đến sai lầm ............................... 33
2.2 Khái niệm logarit trong sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao ....................... 34
2.2.1 Định nghĩa, tính chất của khái niệm logarit ............................................. 34
2.2.2 Các tổ chức toán học ............................................................................... 39
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ......................................................................................... 45
Chương 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .......................................................... 46
THỰC NGHIỆM 1 ............................................................................................... 47
3.1 Mục đích thực nghiệm ............................................................................... 47
3.2 Hình thức thực nghiệm............................................................................... 47
3.3 Phân tích tiên nghiệm (apriori) các câu hỏi thực nghiệm .......................... 47
3.3.1 Xây dựng thực nghiệm ....................................................................... 47
3.3.2 Nội dung bài toán thực nghiệm ........................................................... 48
3.3.3 Các chiến lược có thể và câu trả lời có thể quan sát ........................... 50
3.3.4 Sự lựa chọn giá trị của biến và ảnh hưởng đến các chiến lược ........... 51
3.3.5 Phân tích chi tiết bài toán .................................................................... 55
3.4 ) Phân tích hậu nghiệm................................................................................ 58
THỰC NGHIỆM 2 ............................................................................................... 64
3.5 Mục đích thực nghiệm ................................................................................ 64
I – THỰC NGHIỆM CỦA GIÁO VIÊN .............................................................. 64
I.3.6 Nội dung thực nghiệm .............................................................................. 64
I.3.7 Phân tích câu hỏi thực nghiệm.................................................................. 67
I.3.8 Phân tích kết quả thực nghiệm.................................................................. 68
II – THỰC NGHIỆM CỦA PHỤ HUYNH HỌC SINH ...................................... 75
II.3.6 Nội dung thực nghiệm ............................................................................. 75
II.3.7 Phân tích câu hỏi thực nghiệm ................................................................ 77
II.3.8 Phân tích kết quả thực nghiệm ................................................................ 78

KẾT LUẬN ............................................................................................................ 842
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 84


MỞ ĐẦU
 Những ghi nhận ban đầu. Câu hỏi xuất phát
 Khung lý thuyết tham chiếu
 Mục đích nghiên cứu
 Phương pháp nghiên cứu
 Cấu trúc luận văn
I. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Là một giáo viên, ai cũng có sự quan tâm đặc biệt đến sai lầm của học sinh
trong học tập. Thậm chí rất lúng túng không biết xử lí thế nào trước những sai lầm
mà học sinh thường gặp phải, vì nhiều gợi hỏi vẫn rất khó có câu trả lời thỏa đáng,
chẳng hạn: Giáo viên nên tìm cách dạy sao cho học sinh ít mắc sai lầm hay cố tình
để họ gặp phải sai lầm càng nhiều càng tốt? Nếu học sinh mắc sai lầm thì giáo viên
phải ứng xử thế nào? Nguyên nhân của sai lầm là gì? Nói cách khác, sai lầm có
nguồn gốc từ đâu? Sử dụng các sai lầm của học sinh như thế nào trong quá trình họ
dạy?...
Các chuyên đề được giảng dạy trong chương trình Thạc sĩ “Lí luận và
phương pháp dạy học môn toán” ở Trường ĐHSP TP.HCM đã cho tôi thấy rõ hơn
rằng có các quan niệm khác nhau về sai lầm. Nhưng tôi tự hỏi, những nhân tố bao
hàm trong hệ thống dạy học như Giáo viên, Học sinh, Phụ huynh học sinh có quan
niệm như thế nào về sai lầm? Các quan niệm này có sự tương đồng và khác biệt
nào? Chúng có mối quan hệ nào với nhau không? Đặc biệt, quan niệm về sai lầm
của phụ huynh học sinh – với tư cách là người gần gũi nhất với học sinh, ảnh hưởng
thế nào trên sai lầm của học sinh cũng như quan niệm của họ về sai lầm?
II. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Nghiên cứu chúng tôi sẽ vận dụng các yếu tố công cụ của lý thuyết didactic
toán, với việc vận dụng các yếu tố lý thuyết sau đây:

1. Lý thuyết nhân chủng học
Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm: “quan
hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”.
Mối quan hệ thể chế R(I, O), quan hệ cá nhân R(X, O) được xác định thông
qua nghiên cứu các tổ chức toán học. Theo Chevallard, mỗi tổ chức toán học là một
bộ phận gồm bốn thành phần [T, 𝜏, 𝜃, Θ], trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, 𝜏 là kỹ

thuật cho phép giải quyết T, 𝜃 là công nghệ giải thích cho kỹ thuật 𝜏,

là lý thuyết

giải thích cho công nghệ .

2. Quan niệm và quy tắc hành động (Theo [1])
2.1 Quan niệm
Ta gọi quan niệm là một mô hình được nhà nghiên cứu xây dựng để phân
tích ứng xử nhận thức của học sinh trước một kiểu vấn đề liên quan đến một khái
niệm toán học. Mô hình này cho phép:
- Vạch rõ sự tồn tại nhiều quan điểm có thể về cùng một khái niệm, những
cách thức xử lý được kết hợp với chúng, sự thích ứng của chúng với lời giải của
một lớp nào đó các bài toán;
- Phân biệt tri thức mà thầy giáo muốn truyền thụ với những kiến thức thực
tế được học sinh xây dựng.
G.Brousseau định nghĩa quan niệm là: “Một tập hợp các quy tắc, cách thực
hành, tri thức cho phép giải quyết một cách tương đối tốt một lớp tình huống và vấn
đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình huống khác mà trong đó quan niệm dẫn đến
thất bại, hoặc nó gợi lên những câu trả lời sai, hoặc kết quả thu được một cách khó
khăn trong điều kiện bất lợi”.

Việc nghiên cứu quan niệm có thể được làm từ hai sự tiếp cận (bổ sung cho
nhau):
- Phân tích những chiến lược và sản phẩm của học sinh;
- Nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liên hệ với các định
nghĩa và tính chất khác nhau.


2.2 Quy tắc hành động
Quy tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ
những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một
nhiệm vụ xác định. Quy tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất
toán học gắn bó chặt chẽ với các quy trình hay câu trả lời của học sinh.
Tổng quát hơn, quy tắc hành động là một sự mô hình hóa kiến thức của một
học sinh. Những kiến thức này có phạm vi hợp thức của nó. Trong phạm vi hợp
thức của mình, các kiến thức được vận hành một cách nhất quán và tạo ra kết quả
chính xác. Thông thường thì phạm vi hợp thức này không rỗng, thậm chí nó có thể
dường như rất rộng đối với học sinh, bởi vì những tình huống mà học sinh gặp lại
gia cố thêm cho nó. Một câu trả lời sai thường đến từ việc áp dụng một quy tắc
hành động ở ngoài phạm vi hợp thức của nó.
III. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là tìm câu trả lời cho những câu hỏi nêu
trên. Điều này dẫn tới hai phương án lựa chọn :
- Phương án 1 : nghiên cứu sai lầm gắn liền với các kiến thức toán học nói
chung được giảng dạy từ lớp 10 đến lớp 12.
- Phương án 2 : nghiên cứu sai lầm xoay quanh một đối tượng tri thức toán
học cụ thể trong chương trình toán THPT.
Phương án 1 cho phép một nghiên cứu khá phong phú và toàn diện về sai
lầm. Tuy nhiên, nó lại gây khó khăn cho việc nghiên cứu quan niệm của giáo viên,
vì có rất ít giáo viên đảm nhận dạy cả ba cấp lớp.
Ngược lại, phương án 2 hạn chế phần nào tính đa dạng của sai lầm, nhưng lại

đảm bảo tính khả thi và độ sâu sắc trong nghiên cứu quan niệm của giáo viên.
Vì những lí do trên, chúng tôi đã quyết định chọn phương án 2. Đối tượng tri
thức được chọn là khái niệm logarit. Kết quả nghiên cứu sai lầm của học sinh gắn
liền với khái niệm logarit sẽ là điểm tựa cho nghiên cứu so sánh quan niệm của giáo
viên và phụ huynh về sai lầm.


Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu nêu ở mục II, chúng tôi trình bày hệ
thống câu hỏi sau đây mà việc tìm câu trả lời hình thành nên mục tiêu của luận văn:
Q1: Khái niệm sai lầm được tiếp cận như thế nào trong các lý thuyết về học tập?
Q2: Mối quan hệ thể chế với khái niệm logarit được hình thành và phát triển như
thế nào trong chương trình toán phổ thông? Những quy tắc hợp đồng didactic nào
có thể được hình thành giữa GV và HS trong quá trình tiếp cận với khái niệm
logarit?
Q3: Những sai lầm nào gắn liền với khái niệm logarit mà học sinh có thể gặp phải
khi tiếp cận với khái niệm này?
Q4: Quan niệm của giáo viên, phụ huynh học sinh về sai lầm? Có sự tương đồng và
khác biệt nào trong mối quan hệ giữa quan niệm về sai lầm của GV và phụ huynh;
có mối quan hệ nào giữa quan niệm về sai lầm của giáo viên và chính những sai lầm
mà học sinh gặp phải về khái niệm logarit?
IV. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi xác định phương pháp
nghiên cứu được sơ đồ hóa như sau:
NC KHÁI NIỆM
SAI LẦM
(lý thuyết học tập)

NC QUAN HỆ
THỂ CHẾ
(khái niệm Logarit)

THỰC NGHIỆM 1

THỰC NGHIỆM 2

Có thể diễn giải sơ đồ phương pháp nghiên cứu như sau:
- Trước hết, chúng tôi nghiên cứu khái niệm sai lầm thông qua việc phân
tích sai lầm của học sinh nhìn từ góc độ các lý thuyết về học tập. Nghiên cứu này


nhằm tìm hiểu các quan niệm sai lầm, cách xử lý khi phát hiện sai lầm cũng như
phân loại các sai lầm theo các quan điểm khác nhau.
- Sau khi đã tìm hiểu khái niệm sai lầm, chúng tôi sẽ nghiên cứu thể chế dạy
học toán ở Việt Nam liên quan đến khái niệm logarit. Qua đó, chúng tôi biết được
khái niệm logarit được hình thành và phát triển như thế nào trong chương trình toán
phổ thông, những quy tắc hợp đồng didactic được hình thành giữa GV và HS trong
quá trình tiếp cận với khái niệm logarit, những sai lầm gắn liền với khái niệm
logarit mà học sinh có thể gặp phải khi tiếp cận khái niệm này.
- Tiếp theo, chúng tôi đề ra giả thuyết nghiên cứu mà tính thích đáng của
chúng sẽ được kiểm chứng bằng các thực nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất nhằm
kiểm chứng giả thuyết về sai lầm của học sinh được dự đoán khi phân tích quan hệ
thể chế với khái niệm logarit; thực nghiệm thứ hai nhằm biết được giáo viên và phụ
huynh học sinh có quan niệm như thế nào về sai lầm, có sự tương đồng và khác biệt
nào trong quan điểm của họ. Các sai lầm của HS được giáo viên sửa chữa và khắc
phục ra sao?
V. Tổ chức luận văn
Luận văn gồm 5 phần: Phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận chung.
Phần mở đầu: Trình bày những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát dẫn
đến việc lựa chọn đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết
tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và tổ chức của luận văn.

Chương 1: Sai lầm của học sinh nhìn từ góc độ các lý thuyết về học tập
Trong chương này, chúng tôi trình bày quan niệm, cách sửa chữa và phân
loại sai lầm trong các lý thuyết về học tập
Chương 2: Mối quan hệ thể chế với khái niệm logarit
Mục đích chương là phân tích chương trình và SGK hiện hành để làm rõ mối
quan hệ thể chế đối với khái niệm logarit, đặc biệt là các ràng buộc của thể chế và
các quy tắc hợp đồng liên quan đến khái niệm này.


Từ kết quả nghiên cứu trong chương một và kết quả phân tích quan hệ thể
chế nêu trên chúng tôi sẽ dự đoán các sai lầm và nguồn gốc dẫn đến sai lầm mà học
sinh có thể gặp phải khi học tập các kiến thức gắn liền với khái niệm logarit.
Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm.
Thực nghiệm 1: Nhằm kiểm chứng giả thuyết về sai lầm của học sinh gặp
phải khi học tập các kiến thức gắn liền với khái niệm logarit.
Thực nghiệm 2: Nghiên cứu quan niệm về sai lầm của GV, Phụ huynh học
sinh.
Phần kết luận: Trình bày tóm tắt các kết quả đạt được ở chương 1, 2, 3 và mở
ra hướng nghiên cứu mới của luận văn.


Chương 1: SAI LẦM CỦA HỌC SINH
NHÌN TỪ GÓC ĐỘ CÁC LÝ THUYẾT VỀ HỌC TẬP
 Quan điểm của thuyết hành vi
 Quan điểm của thuyết kiến tạo
 Quan điểm didactic toán
Mục tiêu của chương:
Mục tiêu của chương này là phân tích và tổng hợp một số nghiên cứu về sai
lầm của HS nhìn từ góc độ các lý thuyết về học tập nhằm làm rõ các quan niệm
khác nhau về sai lầm. Cụ thể chúng tôi trả lời cho câu hỏi sau:

Khái niệm sai lầm được tiếp cận như thế nào trong các lý thuyết về học tập?
1.1 Quan điểm của thuyết hành vi
1.1.1 Cơ sở lý luận
Thuyết hành vi quan niệm chủ thể (người học) như chiếc hộp đen, mà hoạt
động trí tuệ của họ nội tại trong chiếc hộp đen này là không thể quan sát được. Từ
đó, học tập một kiến thức được xem như là việc thiết lập mối quan hệ bên ngoài,
giữa tác nhân kích thích S và phản xạ đáp lại (câu trả lời) R của chủ thể.
Trong thuyết hành vi, người ta không chú trọng đến quy trình tư duy của
chủ thể, mà chỉ quan tâm tới ứng xử quan sát được từ chủ thể do tác nhân kích
thích gây ra. Nói cách khác, người ta chỉ quan tâm tới mối quan hệ giữa đặc điểm
của tình huống đặt ra cho chủ thể và cách ứng xử của chủ thể trong tình huống ấy.
Sự tích lũy những phản ứng đối với những tác nhân kích thích khác nhau sẽ tạo
nên một hệ thống hành vi của chủ thể, làm cho chủ thể có khả năng thích nghi với
môi trường xung quanh.
Như vậy, kiến thức là kết quả của sự tích lũy nối tiếp các dữ liệu và việc
học được xem như một chuỗi các giai đoạn từ dễ đến khó và như thế là tăng dần
mức độ kiến thức.
1.1.2 Quan niệm sai lầm
Thuyết hành vi quan niệm rằng: “Sai lầm chỉ là phản ánh sự thiếu hụt kiến
thức hay sự vô ý” [1, trang 57].


Theo [17], quan niệm cổ điển này xem hoạt động học tập của HS chỉ đơn
giản là nghe, nhìn, làm theo mẫu sẵn có. Nó không có tính gì đến lịch sử, kiến thức
đã có, quy trình tư duy của chủ thể. Do đó, thuyết này quan niệm rằng sai lầm là
một hiện tượng tiêu cực, có hại cho việc lĩnh hội kiến thức, cần tránh và nếu gặp thì
cần khắc phục. Còn nguyên nhân của sai lầm thường được cho là do học sinh mơ
hồ, không nắm vững kiến thức đã học, do thiếu hụt kiến thức, do vô ý, không thận
trọng,… Đôi khi lại quy cho giáo viên trình bày không chính xác, dạy quá nhanh
hay giải thích không rõ ràng,…

Xu hướng dạy học tương thích với quan niệm trên về sai lầm thường được
gọi là “Sư phạm từng bước nhỏ”. Theo đó, mục tiêu dạy học một kiến thức được
phân nhỏ thành các mục tiêu bộ phận đến lượt nó phân thành các mục tiêu con,…
để làm sao cho HS có thể lĩnh hội kiến thức cần giảng dạy bằng cách đi dần dần, lần
lượt từ đơn giản đến phức tạp mà không phạm sai lầm nào. Người ta tìm mọi cách
có thể để tránh sai lầm. Còn nếu lỡ sai lầm xuất hiện, thì cách giải quyết thông
thường là dạy lại, ôn luyện lại hay cung cấp các kiến thức bổ trợ cho đến khi học
sinh có được lời giải hay câu trả lời đúng.
Chẳng hạn, theo [8], nguyên nhân sai lầm của HS khi giải toán hình học
không gian ở lớp 11 là: do không nắm vững các khái niệm, định lý, không nghiên
cứu đề bài, tính toán nhầm lẫn, vẽ hình sai,… Biện pháp sửa chữa sai lầm là: truyền
thụ đầy đủ và chính xác các khái niệm, định lý; dự đoán và phòng tránh sai lầm; rèn
luyện cho HS tránh ngộ nhận trực quan, biết sử dụng các quy tắc suy luận,…
Ngoài ra, theo [11], tác giả khẳng định nguyên nhân của các sai lầm của HS
do: hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính của các khái niệm toán học,
không nắm vững cấu trúc định lý, thiếu các kiến thức cần thiết về logic, không nắm
vững thuât giải các bài toán cơ bản. Đồng thời, tác giả đề ra năm biện pháp sư phạm
như sau: trang bị đầy đủ, chính xác các kiến thức về bộ môn toán; trang bị các kiến
thức về phương pháp giải toán, đặc biệt là việc kiểm tra phát hiện lời giải có sai
lầm; học sinh được thử thách thường xuyên với những bài toán dễ mắc sai lầm; hình


thành hoạt động học cho học sinh; xây dựng uy tín của giáo viên nhằm tăng cường
hiệu quả giáo dục.
Bên cạnh đó, những người theo quan điểm này còn nghĩ rằng việc chú ý tới
các sai lầm của HS trong giờ học ảnh hưởng xấu đến việc tiếp thu bài giảng. Đặc
biệt, có người còn đề nghị không viết lời giải sai lên bảng vì sợ rằng điều này sẽ
củng cố thêm sai lầm trong tiềm thức của HS. Đây là một quan niệm có tính chất
máy móc giáo điều, không dựa trên quy luật tiếp thu kiến thức một cách có ý thức
của HS. Nhiều giáo viên đã cho rằng “cần phải tránh sai lầm hay ít nhất cũng phải

sửa sai lầm ngay khi nó xuất hiện”.
Trong bài báo tóm tắt công trình của RoLand Charnay, với tiêu đề “GV Toán
và những sai lầm của HS”. Các giáo viên được thực nghiệm có quan điểm cổ điển
về sai lầm. Họ cho rằng sai lầm do thiếu kiến thức, việc sửa chữa sai lầm chỉ tập
trung vào câu trả lời đúng, hoặc giải thích qua loa về sai lầm không hướng tới mục
đích tìm nguồn gốc của sai lầm. Vì thế, HS có thể mắc lại các sai lầm tương tự.
Chính điều này đã làm hạn chế khả năng phát triển tư duy của HS, các em
chỉ làm theo khuôn mẫu của GV, mà đôi khi còn không biết vì sao. Bởi vì, các em
chỉ biết rập khuôn theo lời giải, hướng dẫn của GV, và các em chưa đủ khả năng để
hiểu được những sai lầm mà mình đã tạo ra cũng như sai lầm đó có khi vượt qua
tầm kiểm soát của các em.
1.13 Phân loại sai lầm
Theo quan điểm của chủ nghĩa hành vi, có các loại và mức độ sai lầm khác
nhau như sau: (trích theo [22, trang 5])
- Do việc làm chủ kiến thức và kỹ năng
- Do tính sẵn có của kiến thức: dùng một kiến thức đã biết trả lời đúng trong
một hoàn cảnh xác định
- Do khả năng suy luận và logic: Nó gắn liền với khả năng riêng của mỗi
người khi đưa ra câu trả lời.


Cách phân loại này trình bày dưới dạng nguyên nhân của sai lầm, và chỉ
dừng lại ở sự thừa nhận sai lầm là do sự thiếu hiểu biết hay bất cẩn nơi học sinh,
chứ chưa chỉ ra nguồn gốc thực sự của sai lầm.
1.2 Quan điểm của thuyết kiến tạo
1.2.1 Cơ sở lý luận
Trong khi các lý thuyết hành vi về học tập không chú ý tới sự tham gia có ý
thức của chủ thể vào việc xây dựng những câu trả lời mong đợi, thì ngược lại, quan
điểm kiến tạo lại nhấn mạnh vai trò của chủ thể trong việc tìm kiếm những câu trả
lời đó.

Thuyết kiến tạo về học tập quan niệm rằng trí tuệ của HS không bao giờ
trống rỗng. Ngay cả khi một đối tượng kiến thức nào đó chưa được giảng dạy, thì
họ cũng đã có những biểu tượng, những dạng thức hành động ngầm ẩn liên quan tới
đối tượng kiến thức này. Một số biểu tượng có trong cấu trúc trí tuệ của HS tạo nên
những điều kiện thuận lợi cho việc học tập kiến thức mới. Nhưng cũng có những
biểu tượng, dạng thức hành động khá bền vững tạo nên những chướng ngại và
thường là nguyên nhân dẫn HS tới những sai lầm.
Theo các môn đệ của Piaget, sự kiến tạo tri thức hoạt động theo kiểu thích
nghi (đồng hóa và điều ứng). Nghĩa là, khi chủ thể làm việc với những tình huống
mới phát sinh từ trong môi trường, nếu họ có thể áp tình huống mới theo mô hình
kiến thức sẵn có của mình thì đó là sự đồng hóa. Trường hợp kiến thức cũ không
còn đáp ứng được yêu cầu (tức là có sự mất cân bằng), khi đó, chủ thể phải điều
chỉnh lại kiến thức cũ, hình thành một kiến thức mới và giải quyết được vấn đề đặt
ra. Ta nói, chủ thể đã thực hiện sự điều ứng để thiết lập sự cân bằng.
Như vậy, Kiến thức được hình thành là do chính chủ thể hành động trong
những tình huống nhất định. Trong những công trình gần đây, Piaget xem tiến triển
của kiến thức là kết quả của sự chỉnh lí giữa các dạng thức đồng hóa và những nội
dung mà các dạng thức ấy phải thích nghi thông qua cái ông gọi là sự làm mất cân
bằng gia tăng.


1.2.2 Quan niệm sai lầm
Trên cơ sở đó, những người theo khuynh hướng này đã đưa ra một quan
niệm tích cực hơn về sai lầm. Theo họ “Sai lầm là sự thể hiện của một kiến thức (tự
phát hay đã có từ trước) của học sinh, kiến thức mà cần phá hủy hay làm mất sự ổn
định để thay thế nó bằng kiến thức thích ứng hơn” [17]
Như vậy, sai lầm không phải là điều gì sai mà chính là sự thể hiện của một
kiến thức. Quá trình đi đến nó có thể xuất phát từ chính những kiến thức tự phát hay
sẵn có của học sinh mà nó không còn thích hợp nữa. Khi một sai lầm xuất hiện sẽ
thể hiện sự mất cân bằng trong hệ tư duy của chủ thể. Việc nhận ra sai lầm, tạo điều

kiện thuận lợi để vượt qua nó làm nảy sinh một thế cân bằng gia tăng mới và kiến
thức mới được hình thành. Vì thế, sai lầm là một bước đệm quan trọng trong quá
trình học.
Ngoài việc chỉ ra một nguồn gốc căn bản khác của sai lầm thuyết kiến tạo
cũng xét đến một số nguồn gốc quan trọng khác như do hạn chế của chủ thể (về tâm
lý, về nhận thức,.., hay hậu quả của hợp đồng didactic,…), thuyết kiến tạo còn có
cái nhìn tích cực về nó. Sai lầm thực sự đóng vai trò quan trọng và cần thiết cho học
tập, nhất là khi nó là hậu quả của những chướng ngại hình thành từ kiến thức cũ. Do
đó, vấn đề không phải là phòng tránh sai lầm, mà là chủ động tổ chức cho HS gặp
sai lầm và sửa chữa nó như thế nào. Như G. Bachelard [19] nhấn mạnh: “Cần phải
tổ chức dạy học thông qua việc phá hủy một cách có hệ thống các sai lầm”.
Mặt khác, trước một sai lầm của HS, nếu như thuyết hành vi đi tìm nguyên
nhân từ những kiến thức mà người ta cho rằng HS không nắm vững hay thiếu hụt
hoặc từ sự bất cẩn, vụng về,…của chủ thể thì thuyết kiến tạo lại nhấn mạnh vào việc
tìm câu trả lời cho những câu hỏi sau (theo [17]):
- Những quy trình (hay dạng thức) hành động nào, những quan niệm nào
được HS vận dụng đã góp phần tạo ra sai lầm này?
- Những giả thuyết nào có thể đặt ra về nguồn gốc của những quy trình hay
quan niệm đó?


Một điểm khác biệt căn bản khác giữa thuyết hành vi và thuyết kiến tạo nằm
ở cách thức sửa chữa sai lầm. Trong khi thuyết hành vi nhấn mạnh vào việc dạy lại,
gia tăng luyện tập củng cố và nhấn mạnh vai trò chủ đạo của GV; thuyết kiến tạo
chủ trương sửa chữa sai lầm bằng cách đặt HS vào trong những tình huống học tập
mới gắn liền với sai lầm đó. Tình huống nhắm tới tạo ra ở HS những xung đột nhận
thức, cho phép họ tự nhận ra không chỉ sai lầm mà chủ yếu là nhận ra rằng các quy
trình hay quan niệm mà họ đã vận dụng sẽ dẫn tới những kết quả mâu thuẫn hay
nghịch lí. Các tình huống cũng phải tạo thuận lợi cho họ tự phá hủy hay điều chỉnh
quy trình, quan niệm cũ của mình để xây dựng kiến thức mới thích ứng hơn.

Như vậy, thuyết kiến tạo đặc biệt nhấn mạnh trên vai trò chủ động của chủ
thể (người học) trong việc sửa chữa sai lầm. Điều này hoàn toàn phù hợp với quan
điểm nền tảng của thuyết kiến tạo như V.Glaserfeld đã nhấn mạnh: “Tri thức được
tạo nên một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không phải tiếp thu một cách
thụ động từ bên ngoài (…).
Nhận thức là một quá trình thích nghi và tổ chức lại thế giới quan của chính
mỗi người. Nhận thức không phải là khám phá một thế giới độc lập đang tồn tại bên
ngoài ý thức của chủ thể” [trích dẫn lại theo (3)]
Hiện nay, người ta dần chấp nhận rằng sai lầm mắc phải trong quá trình học
tập không còn được xem là một trở ngại nữa, điều mà họ quan tâm là học sinh cứ
tiếp diễn sai lầm, mặc dù họ đã đưa ra câu trả lời đúng cũng như đã phân tích, giải
thích các sai lầm. Vì vậy, để khắc phục các sai lầm này cần xây dựng “Tình huống
xung đột nhận thức” hay “Những sai lầm có mục đích”, cho phép làm mất ổn định
và dẫn tới phá hủy các kiến thức cũ, địa phượng, bộ phận – nguồn gốc của sai lầm.
Từ đó, học sinh biết được nguyên nhân sai lầm của chính bản thân và tự chiếm lĩnh
tri thức. Với cách dạy này, học sinh sẽ năng động, tích cực, sáng tạo trong quá trình
tự chiếm lĩnh tri thức.
Tuy nhiên, để sửa một sai lầm không phải là dễ dàng. Bởi vì, các kiến thức
mà học sinh tạo ra thường mang tính địa phương và được liên hệ với các kiến thức
khác một cách ngẫu nhiên, tùy tiện. Những kiến thức ấy thường có tính tạm thời và


“Không đúng đắn”. Hơn nữa, những kiến thức ấy đã được cá thể hóa, vì chúng được
sinh ra từ chính hành động của mỗi học sinh và do đó chúng thường kháng cự kịch
liệt lại mọi thay đổi. Bên cạnh đó, xét về phía giáo viên, để sửa chữa thành công
một sai lầm của học sinh cần phải xét tới nguồn gốc của sai lầm, phải so với tính
riêng biệt trong từng lĩnh vực nghiên cứu, phải tùy tình huống sư phạm cũng như
trình độ hiểu biết… vì theo đó việc giải thích có thể sẽ rất đa dạng.
1.2.3 Phân loại sai lầm
Theo quan điểm của thuyết kiến tạo, tác giả GODINHO – AMAND A.,

GODINHO – AMAND S. (trích theo [22, trang 6]) phân loại sai lầm như sau:
- Sai lầm gắn liền với hạn chế của HS ở một giai đoạn cụ thể trong sự phát
triển trí tuệ: do tác nhân bên trong ảnh hưởng đến quá trình tiếp thu kiến thức của
HS.
- Sai lầm được tìm thấy lời giải thích trong quá trình giải bài toán.
- Sai lầm đến từ chính kiến thức: Kiến thức cũ đã in sâu trong trí nhớ của HS
nên khi tiếp thu kiến thức mới các em còn bị ảnh hưởng bởi kiến thức cũ, chẳng
hạn: theo (1), khi nghiên cứu kiến thức số thực của HS chỉ ra sự tồn tại dai dẳng của
quan niệm coi số thập phân như cặp số nguyên như 1,2 + 5,9 = 6,11, (0.3)2 = 0,9,
(…).
- Sai lầm được giải thích do đặc tính cá nhân của từng HS (về mặt tâm lý –
tác nhân bên ngoài).
1.3 Quan điểm của didactic toán
1.3.1 Cơ sở lý luận
Có hai giả thuyết về học tập được thừa nhận trong didactic toán:
Giả thuyết tâm lý: “Chủ thể học bằng cách tự thích nghi (đồng hóa và điều
ứng) với một môi trường gây ra những mâu thuẫn, khó khăn, và mất cân bằng”.
Giả thuyết nhận thức: “Một môi trường không có chủ ý dạy học (tức là môi
trường không được cố ý tổ chức để dạy một tri thức) không đủ để tạo ra cho chủ thể
mọi kiến thức mà xã hội muốn chủ thể đó lĩnh hội được”.


Học bằng cách tự thích nghi (đồng hóa và điều ứng) chúng ta đã được tìm
hiểu ở quan điểm của chủ nghĩa kiến tạo. Còn giả thuyết nhận thức thì không công
nhận một quá trình học tập dựa trên hoạt động tự phát của học trò trong một môi
trường tùy tiện không được thiết kế với dụng ý sư phạm [10, trang 25]. Do đó,
người thầy phải làm phát sinh ở học sinh những sự thích nghi mong muốn bằng
cách lựa chọn những vấn đề thích hợp đặt ra cho người học.
Như vậy, quan điểm này dựa trên thuyết kiến tạo nhưng được xem xét ở mức
độ cao hơn, được đặt trong môi trường có chủ ý sư phạm. Hơn nữa, những người

theo quan điểm didactic toán, điển hình là G.Brousseau đã cho rằng:
“Nghĩa của một kiến thức toán được xác lập không chỉ qua hệ thống các tình
huống trong đó kiến thức ấy được nhận thức như một kiến thức toán,…, cũng không
phải chỉ qua các tình huống trong đó chủ thể đã gặp kiến thức như là phương tiện
giải quyết, mà còn qua tập hợp những quan niệm, những sự lựa chọn cũ bây giờ đã
bị kiến thức ấy bác bỏ, những sai lầm mà nó tránh, những lợi ích do nó mang lại,
những cách phát biểu mà nó tái lập” [21, 4.2, trang 170]
Điều đó có nghĩa là người học hiểu một kiến thức thông qua việc áp dụng nó
vào những tình huống nhất định.
1.3.2 Quan niệm sai lầm
Theo [1], chúng ta đã đặt vào hai thế đối lập:
Một bên, học thuyết hành vi dựa trên sự củng cố đến từ bên ngoài, được xem
là nhân tố chủ yếu cho sự phát triển kiến thức. Học thuyết này coi sai lầm chỉ là sự
phản ánh của sự thiếu hiểu biết, sự vô ý hay bất cẩn mà thôi.
Bên kia, học thuyết kiến tạo gán cho sai lầm và sự nhận ra sai lầm một vai
trò có tính xây dựng trong hoạt động nhận thức, vì khi tạo ra sự mất cân bằng trong
hệ tư duy của chủ thể, việc nhận ra sai lầm tạo điều kiện thuận lợi để vượt qua nó
làm nảy sinh một thế cân bằng gia tăng mới và kiến thức mới được hình thành.
Nét độc đáo của didactic là đã liên kết được quan điểm kiến tạo và định đề
của phái Bachelard [20] – định đề khẳng định rằng trong lịch sử các bộ môn khoa


học, sai lầm không phải là một sự kiện thứ yếu xảy ra trong một quá trình: nó không
nằm ngoài kiến thức mà chính là biểu hiện của kiến thức.
Bên cạnh đó, Brousseau cũng đưa ra quan điểm về sai lầm của học sinh và
đây cũng là quan điểm của didactic toán về sai lầm: “Sai lầm không chỉ đơn giản là
do thiếu hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra (…), mà còn là hậu quả một kiến
thức trước đây đã từng tỏ ra có ích, đem lại thành công, nhưng bây giờ lại tỏ ra sai
hoặc đơn giản là không còn thích hợp nữa”. [21]
Như vậy, ngoài những sai lầm nào đó của học sinh mang tính hời hợt, hết

sức riêng biệt thì cũng có những sai lầm khác khiến chúng ta phải quan tâm, đó
chính là những sai lầm mà không phải ngẫu nhiên học sinh phạm phải, nó là hậu
quả của những kiến thức, quan niệm không còn thích hợp nữa.
Một đặc trưng khác của sai lầm là, “Những sai lầm ấy, ở cùng một chủ thể,
thường liên hệ với nhau trong một nguồn gốc chung: một cách nhận thức, một quan
niệm đặc trưng, nhất quán – nếu không muốn nói là đúng đắn, một “Kiến thức” cũ
đã từng đem lại thành công trong một lĩnh vực hoạt động nào đó”. [21]
Điều đó giải thích vì sao các sai lầm của cùng một chủ thể thường liên quan
với nhau, tạo ra một mạng lưới hệ thống các sai lầm. Khi một sai lầm không được
sửa chữa kịp thời sẽ kéo theo các sai lầm khác. Nghĩa là nó có tính dai dẳng và lặp
lại.
Ví dụ: theo [1], trong một số công trình nghiên cứu kiến thức về số thực của
học sinh trung học đã chỉ ra sự tồn tại dai dẳng của quan niệm coi số thập phân như
một cặp số nguyên. Quan niệm này cho phép giải thích nhiều sai lầm trong các phép
tính trên các số thập phân, chẳng hạn:
1,2 + 5,9 = 6,11
(0,3)2 = 0,9
5,32 = 25,9
12,8 > 12,4 vì 8 > 4


Một trong những công trình đầu tiên tán thành quan điểm của Brousseau
[25], Salin đã vạch ra các đặc trưng nhận thức của sai lầm, những đặc trưng được
xem là chủ yếu cho sự phát triển của hệ sai lầm trong didactic. Ông cho rằng trước
một thành quả không phù hợp với mục đích – hoặc do chính học sinh đưa ra, hoặc
do thầy giáo yêu cầu nó, ta có thể nói về “Thất bại”. Nhưng việc phân tích theo
thuật ngữ sai lầm đòi hỏi phải phân biệt quan điểm của thầy giáo và quan điểm của
học sinh. Theo ông, những đặc trưng ấy là: “Một mặt, sai lầm là một phương diện
của một kiến thức đối với một kiến thức khác (ở cùng một chủ thể, có thể đó là một
kiến thức mới đối với kiến thức cũ), mặt khác chỉ có thể hiểu sự tồn tại của một sai

lầm nếu như tác động trở lại của môi trường được xem như bằng chứng của một
thất bại”.
Trong nghiên cứu của mình, Brousseau cho rằng, một số kiến thức sai là cần
thiết cho học tập: “Con đường đi của học sinh phải trải qua việc xây dựng (tạm thời)
từ một số kiến thức sai, bởi vì việc ý thức được đặc trưng sai lầm này sẽ là yếu tố cấu
thành nên nghĩa của kiến thức mà ta muốn xây dựng cho học sinh” [1, trang 59].
Kế thừa Bachelard [20, trang 13 - 22], Brousseau gọi những điểm buộc phải
trải qua này là những chướng ngại khoa học luận - nguyên nhân của tính trơ ỳ, của
sự trì trệ.
Để hiểu rõ khái niệm chướng ngại, điều quan trọng là phải phân biệt hai từ
dường như đồng nghĩa trong từ điển, đó là khó khăn và chướng ngại. Khi một vấn
đề mới được đặt ra, việc giải quyết nó có thể cần hay không cần sự tổ chức lại một
lý thuyết hay sự điều chỉnh quan niệm về một số khái niệm toán học có liên quan.
Ta nói rằng có một khó khăn nếu vấn đề được giải quyết mà không đòi hỏi xem xét
lại quan điểm của lý thuyết đang xét hay những quan niệm hiện hành. Ta nói có một
chướng ngại nếu vấn đề chỉ được giải quyết sau khi ta đã cấu trúc lại những quan
niệm hay thay đổi quan điểm lý thuyết. [9, trang 224]
Người ta đã đưa ra những tiêu chuẩn để xác định một chướng ngại như sau:
- Một chướng ngại là một kiến thức, một quan niệm chứ không phải là một
khó khăn hay một sự thiếu kiến thức.


- Kiến thức này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong một bối cảnh nào đó
mà ta thường gặp.
- Nhưng khi vượt ra khỏi bối cảnh này thì nó sản sinh những câu trả lời sai.
Để có câu trả lời đúng cho mọi bối cảnh cần phải có một thay đổi đáng kể trong
quan điểm.
- Hơn nữa, kiến thức này chống lại những mâu thuẫn với nó và chống lại sự
thiết lập một kiến thức hoàn thiện hơn. Việc có một kiến thức khác hoàn thiện hơn
chưa đủ để kiến thức sai này biến mất, mà nhất thiết phải xác định được nó và đưa

việc loại bỏ nó vào tri thức mới.
- Ngay cả khi chủ thể đã ý thức được sự không chính xác của kiến thức
chướng ngại này, nó vẫn tiếp tục xuất hiện dai dẳng và không đúng lúc.
Ví dụ: Trong hình học phẳng: hai đường thẳng không có điểm chung thì
song song với nhau. Kiến thức này có thể trở thành chướng ngại khi học sinh học
hình học không gian.
1.3.3 Phân loại sai lầm
J.Colomb đưa ra một phân loại sai lầm như sau (trích theo [26, trang 11]):
- Sai lầm có nguồn gốc từ tri thức tham chiếu (sai lầm quan niệm).
Ví dụ: Theo [17], HS thường biến đổi sai lầm
, các em cho rằng bỏ dấu giá

HS biết được

trị tuyệt đối chỉ cần thêm dấu “-” là được. Vì thế, khi yêu cầu tìm

, các em cho

rằng –x là một số âm. Do đó, chỉ cần thêm dấu “-” trước –x thu được kết quả là x.
- Sai lầm có nguồn gốc từ tri thức được dạy (chướng ngại didactic như cách
gọi của Brouseau).
Ví dụ:

đúng hoàn toàn trong tập hợp số tự nhiên. Nhưng

khi vượt qua khỏi số tự nhiên, xét trong tập hợp số nguyên thì tính chất này sai, nó
tạo thành chướng ngại.
- Sai lầm có nguồn gốc từ kiến thức của học sinh (quan niệm sai lầm về một
khái niệm, chẳng hạn định lí hành động).

Khi học khái niệm logarit HS sử dụng quy tắc hành động sau:
hoặc

. Điều này sẽ

được kiểm chứng ở chương 3.
- Sai lầm có nguồn gốc từ việc hiểu nhiệm vụ.
- Sai lầm có nguồn gốc từ hợp đồng didactic
Ví dụ: Theo luận văn của Trần Lương Công Khanh phát biểu quy tắc hợp
đồng như sau:
“RP3: Thông qua bài học, các ví dụ và các bài tập được giải, giáo viên có
trách nhiệm giới thiệu cho HS các kỹ thuật tính tích phân tiêu biểu nhưng không có
trách nhiệm kiểm tra tính hợp thức của các kỹ thuật tính tích phân trong phần bình
bày lời giải của mình.
RE3: HS có trách nhiệm vận dụng những kỹ thuật tính tích phân đã tiếp thu
trong bài học, trong luyện tập nhưng không có trách nhiệm kiểm tra tính hợp thức
của các kỹ thuật này ”
Vì thế, khi yêu cầu tính tích phân
Các em dùng kỹ thuật đặt
Khi đó,
Tuy tính tích phân I = 1 nhưng thực tế tích phân này không tồn tại.
Rõ ràng, đẳng thức

chỉ đúng với t > 0 nhưng không đúng với t = 0

Ở đây, HS được đặt vào tính huống ngắt quãng hợp đồng nên dẫn đến sai
lầm.
- Sai lầm do suy luận.