nghiên cứu quy hoạch nguyên với mô hình tuyến tính bất kỳ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Năm 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số

: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. TRỊNH CÔNG DIỆU

Năm 2011


Mở đầu
Nhiều vấn đề của thực tế cuộc sống hoặc trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật, kinh tế…
dẫn đến việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa. Trong số các mô hình tối ưu hóa thì hệ
tuyến tính liên tục là trường hợp đã có các kết quả tương đối trọn vẹn. Tình hình tương tự
cũng xảy ra đối với hệ tuyến tính rời rạc, đó là trường hợp mà tất cả hoặc một số biến chỉ
nhận giá trị nguyên. Tuy nhiên các thuật toán giải hệ tuyến tính rời rạc đều áp dụng cho các
mô hình có tập phương án bị chặn, cơ sở lý luận cho trường hợp không bị chặn chưa có kết
quả nào . Việc hoàn chỉnh cơ sở lý luận cho các thuật toán giải quy hoạch nguyên là một

việc làm cần thiết. Luận văn này sẽ góp phần làm điều đó.
Luận văn được chia làm 4 chương:
Chương 1: Cấu trúc tập ràng buộc của bài toán quy hoạch tuyến tính
Chương 2: Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên
Chương 3: Thuật toán cắt Gomory giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên
Chương 4: Thuật toán nhánh cận giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên.
Luận văn trình bày chi tiết một số kết quả của quy hoạch tuyến tính nguyên. Việc nghiên
cứu quy hoạch nguyên với mô hình tuyến tính bất kỳ đã có thêm một số kết quả (không có
trong các tài liệu, giáo trình về quy hoạch tuyến tính nguyên đang lưu hành) như sau:
+ Mối liên hệ về tính có nghiệm giữa bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên và bài
toán quy hoạch tuyến tính (không có điều kiện nguyên) tương ứng (định lý 2.4,2.5).
+ Mở rộng điều kiện sử dụng phương pháp nhánh cận (định lý 4.6), do đó cho phép
thuật toán nhánh cận giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên có thể áp dụng cho một lớp
bài toán rộng hơn các kết quả đã có.
Trong luận văn này có thể xem các kết quả trên là đóng góp của tác giả cho việc khảo
sát bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Trịnh Công Diệu, Thầy đã tận
tình hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí
Minh đã nhiệt tình giảng dạy tôi trong suốt quá trình học tập.
Tôi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá
trình học tập cũng như thực hiện luận văn này.


Mục lục
Mở đầu ......................................................................................................... 3
Mục lục ........................................................................................................ 4
Chương 1: CẤU TRÚC TẬP RÀNG BUỘC CỦA BÀI TOÁN QUY
HOẠCH TUYẾN TÍNH ............................................................................ 6
1.1. Tập lồi, tập affine và tập nón.................................................................................. 6

1.1.1. Tập lồi ........................................................................................................................6
1.1.2. Tập affine ...................................................................................................................6
1.1.3. Tập nón ......................................................................................................................7

1.2. Tập lồi đa diện ........................................................................................................ 7
1.2.1. Điểm và phương cực biên của tập lồi, đóng ..............................................................7
1.2.2. Tập lồi đa diện ...........................................................................................................9

Chương 2: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUYÊN...... 20
2.1. Khái niệm bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ................................................ 20
2.2. Mối liên hệ giữa dạng chuẩn tắc và chính tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính
nguyên ......................................................................................................................... 20
2.3. Mối liên hệ về tính có nghiệm giữa bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên và bài
toán quy hoạch tuyến tính tương ứng .......................................................................... 22

Chương 3: THUẬT TOÁN CẮT GOMORY GIẢI BÀI TOÁN QUY
HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUYÊN ........................................................ 25
3.1. Bảng đơn hình ...................................................................................................... 25
3.1.1. Khái niệm .................................................................................................................25
3.1.2. Phép biến đổi cơ bản của bảng đơn hình .................................................................26

3.2. So sánh theo nghĩa từ vựng .................................................................................. 27
3.2.1. Các khái niệm cơ bản ...............................................................................................27
3.2.2. Các tính chất cơ bản .................................................................................................27
3.2.3. Tối ưu theo nghĩa từ vựng........................................................................................28

3.3. Bảng đơn hình l-chuẩn ......................................................................................... 29
3.4. Thuật toán đơn hình đối ngẫu từ vựng tìm phương án tối ưu từ vựng................. 30
3.5. Thuật toán cắt Gomory ......................................................................................... 41

3.5.1. Điều kiện để sử dụng thuật toán Gomory ................................................................41
3.5.2. Thuật toán cắt Gomory ............................................................................................42
3.5.3. Cơ sở lí luận của thuật toán......................................................................................43
3.5.4. Ví dụ.........................................................................................................................48

Chương 4: THUẬT TOÁN NHÁNH CẬNGIẢI BÀI TOÁN QUY
HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUYÊN ........................................................ 52
4.1. Thuật toán đơn hình đối ngẫu giải bài toán quy hoạch tuyến tính ....................... 52
4.2. Kỹ thuật tái tối ưu hóa .......................................................................................... 53
4.3. Thuật toán nhánh cận ........................................................................................... 54
4.3.1. Điều kiện để sử dụng thuật toán nhánh cận .............................................................54
4.3.2. Thuật toán nhánh cận ...............................................................................................54
4.3.3. Cơ sở lí luận của thuật toán......................................................................................56
4.3.4. Ví dụ.........................................................................................................................61

Kết luận ..................................................................................................... 65
Tài liệu tham khảo.................................................................................... 66


Chương 1: CẤU TRÚC TẬP RÀNG BUỘC CỦA BÀI TOÁN QUY
HOẠCH TUYẾN TÍNH
1.1. Tập lồi, tập affine và tập nón
1.1.1. Tập lồi
+ Đoạn thẳng:
Tập hợp {λ x + (1 − λ ) y : λ ∈ [ 0;1]} với x, y ∈  n được gọi là đoạn thẳng nối x và y và
được ký hiệu là [ x; y ] .
Nhận xét:

[ x; y ] = [ y; x ] .

+ Tập lồi:
A ⊂  n được gọi là tập lồi nếu

x, y ∈ A ⇒ [ x; y ] ∈ A .

Ví dụ:
∅,  n là các tập lồi.

+ Bao lồi:
Giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi của A . Kí hiệu bao lồi
của A là convA .
Nhận xét:
- Bao lồi của A là tập lồi nhỏ nhất (theo nghĩa bao hàm) chứa A .


k





i =1



- conv { x1 , x2 ,..., xk=
} λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λk xk : ∑ λ=i 1, λi ≥ 0∀=i 1, k 
1.1.2. Tập affine
+ Đường thẳng:
Tập hợp {λ x + (1 − λ ) y : λ ∈ } với x, y ∈  n được gọi là đường thẳng đi qua x và y .

+ Tập affine:
- A ⊂  n gọi là tập affine nếu x, y ∈ A thì đường thẳng đi qua x, y cũng nằm
trong A .
Định lý 1.1: [4, tr.7-8]


Nếu A là tập affine và a ∈ A thì tập L = { y : ∃x ∈ A, y = x − a} là không gian con
của  n đồng thời L là duy nhất đối với A và không phụ thuộc vào a . Ta cũng
viết A= a + L .
- Số chiều của tập affine:
Số chiều của tập affine A là số chiều của không gian con L gắn với A , tức
là A= a + L .Kí hiệu số chiều của A là dim A .
- Bao affine:
Giao của tất cả các tập affine chứa A được gọi là bao affine của A . Kí hiệu bao affine
của A là affA .
Nhận xét:
Bao affine của A là tập affine nhỏ nhất (theo nghĩa bao hàm) chứa A .
+ Số chiều của một tập bất kỳ:
Số chiều của tập A ⊂  n là số chiều của bao affine của A .
1.1.3. Tập nón
+ Tập nón:
A ⊂  n được gọi là là tập nón nếu
x ∈ A ⇒ λ x ∈ A, ∀λ > 0 .

+ Tập nón hữu hạn sinh:
- Tập hợp {λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λk xk : λi ≥ 0, ∀i ∈1, k} với xi ∈  n được gọi là nón sinh bởi

{ x1 , x2 ,..., xk } , ký hiệu là

cone { x1 , x2 ,..., xk } .

- Tổ hợp tuyến tính λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λk xk với λi ≥ 0, ∀i ∈1, k được gọi là tổ hợp nón
của x1 , x2 ,..., xk .
Nhận xét:
Tập nón hữu hạn sinh là một tập nón và cũng là tập lồi.

1.2. Tập lồi đa diện
1.2.1. Điểm và phương cực biên của tập lồi, đóng
Cho A là tập lồi và đóng.
1.2.1.1. Điểm cực biên của tập lồi, đóng


+ x ∈ A được gọi là điểm cực biên của A nếu không tồn tại y, z ∈ A, y ≠ z sao cho
x ∈ [ y; z ] \ { y, z} ,tức là không tồn tại y, z ∈ A, y ≠ z và λ ∈ ( 0;1) sao cho x = λ y + (1 − λ ) z .

+ Tập hợp các điểm cực biên của A được kí hiệu là extA .
1.2.1.2. Phương vô tận của tập lồi, đóng
u ∈  n được gọi là phương vô tận của A nếu u ≠ 0 và x + λu ∈ A, ∀x ∈ A, λ > 0 .

Nhận xét:
Nếu u là phương vô tận của thì λu cũng là phương vô tận của A với mọi λ > 0 . Như
vậy tập hợp các phương vô tận của A là tập nón. Vì thế ta thường gọi tập các phương vô tận
của A là nón các phương vô tận của A .
Định lý 1.2:
Một tập lồi đóng và không bị chặn thì có phương vô tận.
Chứng minh:
Xét A ⊂  n là tập lồi đóng và không bị chặn. Vì A không bị chặn nên tồn tại dãy

{ak } ⊂ A sao cho
compact

{x ∈ 

n

lim ak = +∞ . Xét dãy {bk } xác định bởi bk =
k →∞

ak
. Dãy {bk } nằm trong tập
ak

: x =
1} nên chứa dãy con hội tụ. Không giảm tổng quát, ta có thể

xem lim bk = u . Ta chứng minh u là phương vô tận của A.
k →∞

Đầu tiên, ta thấy u ≠ 0 ( u =
1) do lim bk = u và bk = 1, ∀k .
k →∞

Xét x ∈ A và λ > 0 cho trước. Do lim ak = +∞ nên với k đủ lớn ta có 0 <
k →∞

λ
ak

< 1.

Do A lồi nên ta có

λ 
λ
ak ∈ A .
1 −
 x +
ak 
ak


λ 
λ
Mặt khác, ta có lim 1 −
ak =
x + λu và do A đóng nên x + λu ∈ A .
 x +
k →∞
ak 
ak


Vậy u là phương vô tận của A.
1.2.2.2. Phương cực biên của tập lồi, đóng
+ u ∈  n được gọi là phương cực biên của A nếu u là phương vô tận của A và không
tồn tại 2 phương vô tận độc lập tuyến tính v, w của A và α , β > 0 sao cho =
u αv + β w .
Nhận xét:

Vì nếu u là phương vô tận của A thì λu cũng là phương vô tận của A với λ > 0 nên ta
có thể định nghĩa phương cực biên của tập lồi, đóng như sau:
+ u ∈  n được gọi là phương cực biên của A nếu u là phương vô tận của A và không
tồn tại 2 phương vô tận độc lập tuyến tính v, w của A sao cho u= v + w .
1.2.2. Tập lồi đa diện
1.2.2.1. Khái niệm tập lồi đa diện
+ Tích vô hướng trong  n :
Tích vô hướng của 2 véc tơ x, y ∈  n là số thực
x, y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn ,

với x
=

x1 , x2 ,..., xn ) , y ( y1 , y2 ,..., yn ) .
(=

+ Siêu phẳng:
Tập hợp có thể quy về dạng { x ∈  n : a, x =
b} ( a ≠ 0, b ∈  ) được gọi là siêu phẳng
trong  n .
Nhận xét:
Siêu phẳng là một tập affine.
+ Nửa không gian đóng :
Tập hợp có thể quy về dạng { x ∈  n : a, x ≤ b} ( a ≠ 0, b ∈  ) được gọi là nửa không
gian đóng trong  n .
Nhận xét:
Nửa không gian đóng là một tập lồi và đóng.
+ Tập lồi đa diện:
D ⊂  n được gọi là tập lồi đa diện nếu D là giao của hữu hạn các nửa không gian

đóng.
Nhận xét:
Tập lồi đa diện là một tập lồi và đóng.
m

Cho D ⊂  n là tập lồi đa diện. D =  H i trong đó H i là các nửa không gian đóng.
i =1

Biểu diễn


 b1 
 a11  a1n 


Hi =
{ x ∈  : ai , x ≤ bi } ; ai = ( ai1 , ai 2 ,..., ain ) ; A =      , b =   .
a

b 
 m1  amn 
 m
n

Khi ấy, ta có thể biểu diễn tập lồi đa diện D dưới dạng
D=

{x ∈ 

n

}

: ai , x ≤ bi , ∀i = 1, m

( ∗)

hoặc
D=
{ x ∈  n : Ax ≤ b} .

(∗∗)

Chú ý:
Trong chương này kể từ về sau khi đề cập đến tập lồi đa diện D thì ta hiểu D được
cho dưới dạng ( ∗) hoặc ( ∗∗) .
Như nhận xét trên, tập lồi đa diện là một tập lồi đóng. Do đó tập lồi đa diện cũng có các
khái niệm điểm cực biên, phương vô tận và phương cực biên. Phần tiếp theo ta sẽ nghiên
cứu các khái niệm ấy của tập lồi đa diện

1.2.2.3. Điểm cực biên của tập lồi đa diện
Bổ đề 1.3:
Cho D là tập lồi đa diện khác rỗng và không chứa đường thẳng. Khi ấy, nếu x thuộc
D và x không phải là điểm cực biên thì tồn tại y thuộc D thỏa
+ Nếu ai , x = bi thì ai , y = bi .
+ Tồn tại i ∈1, m sao cho ai , x < bi và ai , y = bi .
Chứng minh:
+ Vì x ∉ extD nên tồn tại y, z ∈ D, y ≠ z và λ ∈ ( 0;1) sao cho x = λ y + (1 − λ ) z .
Vậy nếu ai , x = bi thì ta có
λbi ≥ λ ai , =

y

ai , x − (1 − λ ) ai , z ≥ bi − (1 − λ )=
bi λbi

Suy ra
ai , y = bi .

Tương tự đối với z . Vậy ta có
a=
i, y

=
ai , z

=
ai , x bi .


+

Trước hết ta chứng tỏ tồn tại i ∈1, m sao cho ai , x < bi . Giả sử ngược lại,

ai , x = bi với mọi i ∈1, m . Theo như chứng minh phần trên, ta có
ai , y =

ai , z =

ai , x = bi , ∀i = 1, m .

Vậy với mọi λ > 0 , ta có
ai , λ y + (1 − λ ) z = λ ai , y + (1 − λ ) ai , z = bi , ∀i = 1, m .

Suy ra D chứa đường thẳng qua y,z . Điều này mâu thuẫn với giả thiết D không chứa
đường thẳng. Vậy tồn tại i ∈1, m sao cho ai , x < bi .
Do D không chứa đường thẳng nên đoạn thẳng [ y; z ] không thể kéo dài mãi về 2
phía (mà vẫn còn nằm trong D ). Không mất tính tổng quát ta xem đường thẳng qua y,z
thoát ra khỏi D tại y.
Giả sử với mọi i ∈1, m nếu ai , x < bi thì ta cũng có ai , y < bi . Không mất tính tổng
quát ta giả sử
ai , y =

ai , x = bi , ∀i = 1, k ,

ai , y < bi , ai , x < bi , ∀i = k + 1, m .

Với mỗi t > 0 , ta đặt yt =y + t ( y − x ) .
Với mỗi i ∈ k + 1, m , chọn bi′ < bi sao cho ai , y < bi′ .
Khi ấy, với t > 0 đủ nhỏ, ta có
ai , yt = ai , y + t ai , y − x < bi′ + t ai , y − x < bi , ∀i =k + 1, m .

Mặt khác, ai , yt = bi , ∀i = 1, k do ai , y =

ai , x = bi , ∀i = 1, k .

Vậy nên yt ∈ D với t > 0 đủ nhỏ. Như vậy đoạn thẳng [ y; z ] có thể kéo dài về phía y
tới yt sao cho nó vẫn còn nằm trong D . Điều này mâu thuẫn với giả sử đường thẳng qua y,z
thoát ra khỏi D tại y.
Định lý 1.4:
Tập lồi đa diện khác rỗng nếu không chứa đường thẳng thì có điểm cực biên.

Chứng minh:
Xét D là tập lồi đa diện khác rỗng và không chứa đường thẳng. Chọn x ∈ D bất kỳ.
Nếu x ∈ extD , ta có điều phải chứng minh.Ngược lại, giả sử x ∉ extD . Theo bổ đề 1.3 có
x1 ∈ D sao cho tồn tại i ∈1, m thoả mãn


ai , x < bi và ai , x1 = bi .

Đặt H i =
bi } . Ta có x ∉ H i . Đặt D1 = H i  D .
{ x ∈  n : ai , x =
Ta chứng minh dim D1 < dim D . Thậy vậy, giả sử dim D1 = dim D . Vì D1 ⊂ D nên
affD1 ⊂ affD . Lại có dim D1 = dim D nên affD1 = affD . Vì D1 ⊂ H i nên affD1 ⊂ affH i =
H i . Suy

ra affD ⊂ H i . Điều này mâu thuẫn vì x ∈ D ⊂ affD nhưng x ∉ H i .
Ta chứng minh extD1 ⊂ extD . Xét x ∈ extD1 . Giả sử x ∉ extD . Khi ấy tồn tại
H i  D nên ai , x = bi . Do
y, z ∈ D, y ≠ z và λ ∈ ( 0;1) sao cho x = λ y + (1 − λ ) z . Vì x ∈ D1 =
x = λ y + (1 − λ ) z với λ ∈ ( 0;1) nên ta cũng có a=
i, y

=
ai , z bi . Suy ra y, z ∈ D  H i nghĩa là

y, z ∈ D1 . Vậy tồn tại y, z ∈ D1 , y ≠ z và λ ∈ ( 0;1) sao cho x = λ y + (1 − λ ) z . Điều này mâu

thuẫn với giả thiết x ∈ extD1 . Do đó extD1 ⊂ extD .
Vậy nếu x1 là điểm cực biên của D1 thì x1 cũng là điểm cực biên của D. Ta có điều
phải chứng minh. Ngược lại nếu x1 không phải là điểm cực biên của D1 thì ta lập luận như

trên và giảm được dim D1 vì D1 cũng là tập lồi đa diện khác rỗng và không chứa đường
thẳng. Quá trình lập luận này phải dừng lại ở một bước k nào đó mà xk là điểm cực biên của
Dk . Do extDk ⊂ ... ⊂ extD1 ⊂ extD nên xk là điểm cực biên của D.

Định lý 1.5:
Cho tập lồi đa diện D khác rỗng . Nếu x là điểm cực biên của D thì tồn tại hệ gồm n
vectơ độc lập tuyến tính {a j , a j ,..., a j } lấy từ hệ {a1 , a2 ,..., am } sao cho a j , x = b j , ∀i= 1, n .
1

2

n

i

i

Chứng minh:
Giả sử ngược lại có tối đa k < n vectơ độc lập tuyến tính {a j , a j ,..., a j } lấy từ hệ
1

{a1 , a2 ,..., am } sao cho

2

k

a ji , x = b ji , ∀i= 1, k .

Đặt L = a j , a j ,..., a j . Vì dim L⊥ = n − dim L = n − k ≥ 1 nên tồn tại h ∈ L⊥ , h ≠ 0 . Vậy

1

2

k

với ε > 0 đủ nhỏ, ta có ai , x ± ε h =

ai , x ≤ bi nếu ai ∈ L và ai , x ± ε h < bi nếu ai ∉ L . Như

vậy x ± ε h ∈ D và x + ε h ≠ x − ε h do h ≠ 0 . Mặt khác, ta có x =

1
1
( x + ε h ) + ( x − ε h ) . Điều
2
2

này mâu thuẫn với x là điểm cực biên.
Số cách chọn n vectơ từ m vectơ là hữu hạn. Do đó ta có hệ quả sau
Hệ quả 1.6:


Tập hợp các điểm cực biên của tập lồi đa diện có hữu hạn phần tử.
1.2.2.4. Phương vô tận của tập lồi đa diện
Định lý 1.7:
Cho tập lồi đa diện D khác rỗng. Khi ấy u là phương vô tận của D nếu và chỉ nếu
u ≠ 0 và Au ≤ 0 .

Chứng minh:

Nếu u là phương vô tận của D thì u ≠ 0 và với x ∈ D , ta có A( x + λu ) ≤ b, ∀λ > 0 .
Nghĩa là ai , x + λu ≤ bi , ∀λ > 0 . Nếu ai , u > 0 thì với λ đủ lớn, ta có ai , x + λu > bi . Như
vậy, ta phải có ai , u ≤ 0, ∀i =1, m hay Au ≤ 0 .
Nếu u ≠ 0 và Au ≤ 0 thì với x ∈ D , ta có A( x + λu ) = Ax + λ Au ≤ b, ∀λ > 0 do
Ax ≤ b, Au ≤ 0, λ > 0 . Vậy u là phương vô tận của D.

1.2.2.5. Phương cực biên của tập lồi đa diện
Định lý 1.8:
Cho tập lồi đa diện D khác rỗng. Nếu u là phương cực biên của D thì tồn tại hệ n − 1
vectơ độc lập tuyến tính {a j , a j ,..., a j
1

2

n−1

} lấy từ hệ {a , a ,..., a } sao cho
1

2

m

a ji , u = 0, ∀i = 1, n − 1 .

Chứng minh:
Giả sử ngược lại có tối đa k < n − 1 vectơ độc lập tuyến tính {a j , a j ,..., a j } lấy từ hệ
1

{a1 , a2 ,..., am } sao cho

2

k

a ji , u = 0, ∀i = 1, k .

Đặt L = a j , a j ,..., a j . Ta có u ∈ L⊥ ; ai , u = 0 nếu ai ∈ L và ai , u < 0 nếu ai ∉ L .
1

2

k

Vì dim L⊥ = n − dim L = n − k ≥ 2 nên tồn tại h ∈ L⊥ độc lập tuyến tính với u. Vậy với
0 nếu ai ∈ L và ai , u + ε h < 0 nếu ai ∉ L .Do vậy theo định
ε > 0 đủ nhỏ, ta có ai , u + ε h =

lý 1.4, hai vectơ u ± ε h là các phương vô tận và là các phương vô tận độc lập tuyến tính do 2
vectơ u,h độc lập tuyến tính.
Mặt khác, ta có u =

1
1
( u + ε h ) + ( u − ε h ) . Điều này mâu thuẫn với u là phương cực
2
2

biên.
Hệ quả 1.9:

Tập hợp các phương cực biên của tập lồi đa diện ( không kể các phương cực biên
cùng phương) có hữu hạn phần tử.


1.2.2.6. Cấu trúc của tập lồi đa diện không chứa đường thẳng
Định lý 1.10:
Tập lồi đa diện bị chặn chính là bao lồi của các điểm cực biên của nó.
Chứng minh:
Xét D tập lồi đa diện bị chặn. Ta sẽ chứng minh D = conv ( extD ) .
Vì D là tập lồi chứa extD nên conv ( extD ) ⊂ D . Ta chứng minh D ⊂ conv ( extD ) (*)
bằng quy nạp theo n = dim D .

(*) đúng với

n = 0 vì khi ấy D có một phần tử duy nhất. Giả sử (*) đúng với mọi

n < k , ta chứng minh (*) cũng đúng với n = k . Thật vậy, xét x ∈ D . Nếu x ∈ extD thì ta có

điều phải chứng minh. Giả sử x ∉ extD . Khi ấy tồn tại y, z ∈ D, y ≠ z và λ ∈ ( 0;1) sao cho
x = λ y + (1 − λ ) z . Do D bị chặn nên đường thẳng qua y,z thoát ra khỏi D tại 2 điểm. Không

mất tính tổng quát ta giả sử hai điểm đó là y và z. Theo bổ đề 1.3, ta có tồn tại i ∈1, m thoả
mãn
ai , x < bi và ai , y = bi .

Đặt H i =
bi } . Đặt D1 = H i  D . Như trong chứng minh định lý 1.4, ta
{ x ∈  n : ai , x =
có dim D1 < dim D và extD1 ⊂ extD .Theo giả thiết quy nạp ta có D1 ⊂ conv ( extD1 ) . Suy ra
y ∈ D1 ⊂ conv ( extD1 ) ⊂ conv ( extD ) ( extD1 ⊂ extD ) . Tương tự ta cũng có z ∈ conv ( extD ) . Vậy

x ∈ [ y; z ] ⊂ conv ( extD ) .

Định lý 1.11:
Tập lồi đa diện D khác rỗng và không chứa đường thẳng có thể biểu diễn dưới dạng
=
D conv ( extD ) + {u ∈  n : Au ≤ 0} .

Chứng minh:
Vì

conv ( extD ) ⊂ D

nên

conv ( extD ) + {u ∈  n : Au ≤ 0} ⊂ D .

Ta

chứng

minh

D ⊂ conv ( extD ) + {u ∈  n : Au ≤ 0} (*) bằng quy nạp theo n = dim D .

Rõ ràng (*) đúng với n = 0 . Giả sử (*) đúng với mọi n < k , ta chứng minh (*) cũng
đúng với n = k . Nếu D bị chặn thì theo định lý 1.7, D = conv ( extD ) . Ta có điều phải chứng
minh. Ngược lại, giả sử D không bị chặn thì theo định lý 1.2 , D có phương vô tận hay tồn


tại v ≠ 0, v ∈ {u ∈  n : Au ≤ 0} . Xét x ∈ D . Ta có tia { x − λ v : λ ≥ 0} phải thoát khỏi D tại một

điểm y nào đó vì nếu không D sẽ chứa toàn bộ đường thẳng qua x phương v – đường thẳng

{ x + λ v : λ ∈ } . Theo bổ đề 1.3, ta có tồn tại

i ∈1, m thoả mãn

ai , x + v < bi và ai , y = bi .

Đặt H i =
bi } . Đặt D1 = H i  D . Như trong chứng minh định lý 1.4, ta
{ x ∈  n : ai , x =
có dim D1 < dim D và extD1 ⊂ extD . Vì D1 cũng là tập lồi đa diện không chứa đường thẳng
nên theo giả thiết quy nạp, ta có
D1 ⊂ conv ( extD1 ) + {u ∈  n : Au ≤ 0, ai , u =
0} .

Do extD1 ⊂ extD nên D1 ⊂ conv ( extD ) + {u ∈  n : Au ≤ 0} .
Đặt y =
x − λ0 v ( λ0 > 0 ) . Ta có
x = y + λ0 v ∈ D1 + {u ∈  n : Au ≤ 0} D1 ⊂ conv ( extD ) + {u ∈  n : Au ≤ 0} .

Vậy
D ⊂ conv ( extD ) + {u ∈  n : Au ≤ 0} .

Bổ đề 1.12:
Nếu D là tập lồi đa diện không chứa đường thẳng thì nón các phương vô hạn – tập
hợp {u ∈  n : Au ≤ 0} là tập nón hữu hạn sinh.
Chứng minh:
Ta chứng minh G =
{u ∈  n : Au ≤ 0} là tập nón hữu hạn sinh (*) bằng quy nạp theo

n = dim G .

G
Nếu n = 0 thì =

0}
{=

cone {0} .Vậy (*) đúng với n = 0 .

Giả sử (*) đúng với mọi n < k ( k ≥ 1) , ta chứng minh (*) cũng đúng với n = k . Do
dim G= k ≥ 1 nên tồn tại v ∈ G, v ≠ 0 . Xét x ∈ G . Ta có tia { x − λ v : λ ≥ 0} phải thoát khỏi G tại

một điểm y nào đó vì nếu không sẽ chứa toàn bộ đường thẳng qua x phương v – đường
thẳng { x + λ v : λ ∈ } và khi ấy D cũng chứa đường thẳng. Theo bổ đề 1.3, ta có tồn tại
i ∈1, m thoả mãn

ai , x + v < 0 và ai , y = 0 .


Đặt H i =

{x ∈ 

n

: ai , x = 0} , ∀i = 1, m . Đặt Gi = H i  G . Như trong chứng minh định

lý 1.4, ta có dim Gi < dim G . Vậy theo giả thiết quy nạp, ta có
Gi = coneRi với Ri là tập hữu hạn.

Đặt y =
x − λ0 v ( λ0 > 0 ) . Ta có
x =y + λ0 v ∈ cone ( Ri  {v} ) .

Do số ràng buộc ai , x = 0 là hữu hạn ( m ràng buộc) nên G ⊂ coneR với R là tập hữu
hạn. Vì R ⊂ G nên coneR ⊂ G . Vậy G = coneR .
Định lý 1.13:
Nếu D là tập lồi đa diện không chứa đường thẳng thì nón các phương vô hạn – tập
hợp {u ∈  n : Au ≤ 0} là tập nón sinh bởi các phương cực biên của D.
Chứng minh:
Theo bổ đề 1.12, ta giả sử rằng

{u ∈ 

n

: Au ≤ 0} =
cone { x1 ,..., xk } .

Ta nhận xét rằng nếu x1 có thể biểu diễn thành tổ hợp nón của các xi còn lại thì ta có
thể loại nó ra khỏi { x1 ,..., xk } vì khi ấy ta có cone { x1 , x2 ,..., xk } = cone { x2 ,..., xk } .Vậy ta giả
thiết rằng { x1 ,..., xk } gồm các phần tử mà mỗi phần tử không thể biểu diễn thành tổ hợp nón
của các phần tử còn lại. Khi ấy ta có xi là phương cực biên với mọi i ∈1, k . Thậy vậy, giả sử
x1 không phải là phương cực biên. Vậy tồn tại 2 phương vô tận độc lập tuyến tính y1 , z1 của
A sao cho

x=
y1 + z1 .
1

Vì y1 , z1 ∈ {u ∈  n : Au ≤ 0} =
cone { x1 ,..., xk } nên ta có thể biểu diễn
y1 =λ1 x1 + y2 ; z1 =λ2 x1 + z2

với
y2 , z2 ∈ cone { x2 ,..., xk } .

Khi ấy, ta có
x1 = y1 + z1 = ( λ1 + λ2 ) x1 + ( y2 + z2 ) .

Suy ra

{1 − ( λ + λ )} x
1

2

1

= y2 + z 2 .


Nếu 1 − ( λ1 + λ2 ) < 0 thì
=
− x1

1

{( λ + λ ) − 1}

1

( y2 + z2 ) ∈ cone { x2 ,..., xk } ⊂ {u ∈  n : Au ≤ 0} .

2

Suy ra D chứa đường thẳng. Vậy ta phải có 1 − ( λ1 + λ2 ) ≥ 0 .
Nếu 1 − ( λ1 + λ2 ) > 0 thì
=
x1

1

{1 − ( λ + λ )}
1

( y2 + z2 ) ∈ cone { x2 ,..., xk } .

2

Điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu của ta là x1 không thể biểu diễn thành tổ hợp
0 . Điều này dẫn đến y2 + z2 =
nón của các phần tử x2 ,..., xk . Vậy ta phải có 1 − ( λ1 + λ2 ) =
0.

ra y1 λ=
Mà vì D không chứa đường thẳng nên y=
z=
0 . Suy =
λ2 x1 . Điều này mâu

2
2
1 x1 ; z1
thuẫn với tính độc lập tuyến tính của y1 và z1 . Vậy x1 là phương cực biên. Chứng minh
hoàn toàn tương tự với các xi còn lại, ta có xi là phương cực biên với mọi i ∈1, n . Vậy nón
các phương vô hạn – tập hợp {u ∈  n : Au ≤ 0} là tập nón sinh bởi các phương cực biên của
D.
Từ các định lý 1.10, 1.11, 1.13 ta rút ra kết quả quan trọng sau
Định lý 1.14:
Cho D là tập lồi đa diện khác rỗng và không chứa đường thẳng. Gọi u1 ,..., uk là các
điểm cực biên của D và v1 ,..., vl là các phương cực biên của D. Ta có
+ Nếu D bị chặn thì
k


D
= λ1u1 + λ2u2 + ... + λk uk : ∑ λ=
1, λi ≥ 0∀=
i 1, k  .
i
i =1



+ Nếu D không bị chặn thì
l
k
 k

1,α i ≥ 0∀=

D= ∑ α i ui + ∑ β j v j : ∑ α=
i 1, k , β j ≥ 0∀=
j 1, l  .
i
=
 i 1 =j 1 =i 1


1. Bài toán quy hoạch tuyến tính
1.1 Bài toán tối ưu
Cho hàm số f xác định trên tập hợp X .
Bài toán tối ưu max { f ( x ) : x ∈ X } là bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số f trên
X.


Hàm mục tiêu: Hàm số f được gọi là hàm mục tiêu của bài toán.
Phương án: Nếu x ∈ X thì x được gọi là phương án của bài toán.
Tập ràng buộc: X được gọi là tập ràng buộc hay tập các phương án của bài toán.
Phương án tối ưu và giá trị tối ưu: Nếu tồn tại x∗ ∈ X sao cho f ( x ) ≤ f ( x∗ ) với mọi
x ∈ X thì x∗ được gọi là phương án tối ưu của bài toán và giá trị f ( x∗ ) được gọi là giá trị tối

ưu của bài toán.

1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính
Cho E ={ x ∈  n : Ax ≤ b, x ≥ 0} và c ∈  n , c ≠ 0 .
Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc là bài toán có dạng max { c, x : x ∈ E} .
 c, x → max
.
 Ax ≤ b, x ≥ 0

Bài toán thường được viết dưới dạng 

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc là bài toán có dạng
 c, x → max
.

= b, x ≥ 0
 Ax

Nhận xét:
Vì ràng buộc Ax = b có thể thay thế bởi các ràng buộc Ax ≤ b, ( − A ) x ≤ −b nên một bài
toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc cũng là bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn
tắc.
Định lý sau đưa ra một điều kiện cần và đủ để một bài toán quy hoạch tuyến tính
dạng chuẩn tắc có phương án tối ưu.
Định lý 1.16:
 c, x → max
có phương án tối ưu khi
 Ax ≤ b, x ≥ 0

Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc 

và chỉ khi tập các phương án của bài toán khác rỗng và hàm mục tiêu bị chặn trên trên tập
các phương án của bài toán.
Chứng minh:

⇒ ) Hiển nhiên.

⇐)

+ Nếu D bị chặn thì D là tập compact nên hàm liên tục c, x đạt giá trị lớn nhất
trên D . Vậy bài toán có phương án tối ưu.
+ Nếu D không bị chặn.
Xét v là phương vô tận của D thì ta có c, v ≤ 0 . Thật vậy, giả sử ngược lại

c, v > 0 . Lấy cố định x ∈ D . Ta có c, x +=
λv

c, x + λ c, v → +∞ ( λ → +∞ ) . Điều này

mâu thuẫn với giả thiết hàm mục tiêu bị chặn trên.
Tập các phương án của bài toán D ={ x ∈  n : Ax ≤ b, x ≥ 0} là tập lồi đa diện khác
rỗng, không chứa đường thẳng và không bị chặn. Gọi u1 ,..., uk là các điểm cực biên của D và
v1 ,..., vl là các phương cực biên của D. Theo định lý 1.11, ta có với mỗi x ∈ D tồn tại các số

α i , β j sao cho
x=

k

l





k

∑ α iui + ∑ β j v j  ∑ α=i 1,α i ≥ 0∀=i 1, k , β j ≥ 0∀=j 1, l  .





=i 1 =j 1 =i 1

Suy ra
k

l

k

c, x = ∑ α i c, ui + ∑ β j c, v j ≤ ∑ α i c, ui ≤ max c, ui .

=i 1 =j 1 =i 1

Vậy bài toán có phương án tối ưu.

1≤i ≤ k


Chương 2: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUYÊN
2.1. Khái niệm bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên
Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên ( toàn phần) là bài toán quy hoạch tuyến tính
có thêm ràng buộc các biến phải là các số nguyên.
Dạng chuẩn tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên:
 c, x → max

n

 Ax ≤ b, x ≥ 0, x ∈ 
 c, x → max
được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng với bài
 Ax ≤ b, x ≥ 0

Bài toán 
toán trên.

Dạng chính tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên:
 c, x → max

( P′ ) 

 Ax = b, x ≥ 0, x ∈ 

n

 c, x → max
được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng với
= b, x ≥ 0
 Ax

Bài toán ( P ) 
bài toán ( P′ ) .
Chú ý:

Từ đây về sau ta chỉ xét trường hợp các dữ liệu của bài toán đều là các số nguyên
nghĩa là các ma trận A, b , vectơ c có các thành phần là các số nguyên.

2.2. Mối liên hệ giữa dạng chuẩn tắc và chính tắc của bài toán quy hoạch tuyến

tính nguyên
Vấn đề đặt ra là liệu có thể giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên dạng chuẩn tắc
nếu biết cách giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên dạng chính tắc không.
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên dạng chuẩn tắc
 c, x → max

( P′ ) 

 Ax ≤ b, x ≥ 0, x ∈ 

n

Ta xét bài toán phụ sau
 c, x → max
.

n
m
 Ax + y= b, x ≥ 0, y ≥ 0, x ∈  , y ∈ 


x, y ) , c ( c=
,0 ) , A
(=

Đặt z
=

 A I m  ( I m là ma trận đơn vị cấp m ). Khi đó bài toán

phụ có thể viết lại dưới dạng một bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên dạng chính tắc như
sau
 c, z → max

( P′′ ) 

 Az = b, z ≥ 0, z ∈  n + m

.

Mệnh đề 2.1:
Nếu ( P′ ) có phương án tối ưu thì ( P′′ ) có phương án tối ưu.
Chứng minh:
Giả sử ( P′ ) có phương án tối ưu x∗ .
Đặt y ∗= b − Ax∗ . Vì x∗ là phương án của ( P′ ) nên y ∗ ≥ 0 và y ∗ ∈  m . Ta cũng có

Ax∗ + y ∗ =
b . Vậy z ∗ = ( x∗ , y ∗ ) là phương án của ( P′′ ) .
Xét =
z

( x, y ) ( x ∈  n , y ∈  m ) là phương án

bất kỳ của ( P′′ ) . Ta có

c, z = c, x ≤ c, x ∗ = c, z ∗ .

Vậy z ∗ là phương án tối ưu của ( P′′ ) .
Mệnh đề 2.2:

( x , y )( x

Nếu=
z∗

∗

∗

∗

∈  n , y ∗ ∈  m ) là phương án tối ưu của ( P′′ ) thì x∗ là phương án

tối ưu của ( P′ ) .
Chứng minh:
Xét x là phương án bất kỳ của ( P′ ) . Đặt y= b − Ax . Tương tự như chứng minh trong
mệnh đề 2.1, ta có z = ( x, y ) là phương án của ( P′′ ) .
Ta có
c, x = c, z ≤ c, z ∗ = c, x ∗ .

Vậy x∗ là phương án tối ưu của ( P′ ) .
Như vậy qua hai mệnh đề trên, ta có thể đưa ra lời giải của ( P′ ) dựa trên kết quả
của ( P′′ ) :
+ Nếu ( P′′ ) không có phương án tối ưu thì ( P′ ) cũng không có phương án tối ưu.


+ Nếu ( P′′ ) có phương án tối ưu =
z∗

( x , y )( x

∗

∗

∗

∈  n , y ∗ ∈  m ) thì x∗ là phương án

tối ưu của ( P′ ) .

2.3. Mối liên hệ về tính có nghiệm giữa bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên và
bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng
Bổ đề 2.3:
Nếu D =
{ x ∈  n : Ax ≤ b} là tập lồi đa diện không bị chặn, không chứa đường thẳng
và A có các thành phần là các số hữu tỷ thì các phương cực biên của D có các thành phần là
các số hữu tỷ (nếu u là phương cực biên của D thì có thể chọn λ thích hợp để λu là phương
cực biên của D có các thành phần là các số hữu tỷ) .
Chứng minh:
Đặt dòng thứ i của ma trận A là ai = ( ai1 , ai 2 ,..., ain ) .
Vì D là tập lồi đa diện không bị chặn và không chứa đường thẳng nên D có phương
cực biên u = ( u1 , u2 ,..., un ) . Theo định lý 1.8, không mất tính tổng quát ta coi hệ

{a1 , a2 ,..., an−1} là độc lập tuyến tính và
Đặt

 a11  a1n 


B= 


  .Vì
a

 ( n −1)1  an −1n 

ai , u = 0, ∀i = 1, n − 1 .

hệ

{a1 , a2 ,..., an−1} là độc lập tuyến tính nên

rankB= n − 1. Vậy có thể chọn từ B n − 1 vec tơ cột độc lập tuyến tính. Không mất tính
tổng quát ta giả sử B có n − 1 vec tơ cột đầu tiên độc lập tuyến tính, tức là ma trận
 a11  a1n −1 


C =  
  khả nghịch.
a

 n −1  an −1n −1 

Ta có ai , u = 0, ∀i = 1, n − 1 , nghĩa là
 a1n 
 u1 





C    + un  
0
=
u 
a

 n −1 
 ( n −1) n 

hay
 a1n 
 u1 



−1 
.
  = −unC 
u 
a

 n −1 
 ( n −1) n 


Đặt
 a1n 
 v1 




−1 
C
=
−



.


v 
a

 n −1 
 ( n −1) n 

Ta có
u1 ,..., un −1 , un )
(=

=
u

un ( v1 ,..., vn −1 ,1) .

Do A có các thành phần là các số hữu tỷ nên vi ∈ , ∀i= 1, n − 1 .
Đặt u′ =

1

u . Ta có u ′ là phương cực biên của D có các thành phần là các số hữu tỷ.
un
 c, x → max
và
 Ax ≤ b, x ≥ 0

Xét ( P′ ) là bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên dạng chuẩn tắc 

( P ) là bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng. Hai định lý sau thể hiện mối liên hệ về tính
có nghiệm giữa hai bài toán:

Định lý 2.4:
Nếu ( P ) không có phương án tối ưu thì ( P′ ) cũng không có phương án tối ưu.
Chứng minh:
Nếu ( P′ ) không có phương án thì

( P′ ) không có phương án tối ưu. Định lý được

chứng minh. Giả sử ( P′ ) có phương án là x0 . Đặt D là tập ràng buộc của bài toán ( P ) . D
khác rỗng (chứa x0 ) và vì ( P ) không có phương án tối ưu nên D không bị chặn . Gọi
u1 ,..., uk là các điểm cực biên của D và v1 ,..., vl là các phương cực biên của D. Theo định lý

1.13, ta có với mỗi x ∈ D tồn tại các số α i , β j sao cho
x=

k

l





k

∑ α iui + ∑ β j v j  ∑ α=i 1,α i ≥ 0∀=i 1, k , β j ≥ 0∀=j 1, l  .




=i 1 =j 1 =i 1

Suy ra
=
c, x

k

l

∑ α i c, ui + ∑ β j c, v j .

=i 1 =j 1

Tồn tại phương cực biên v j sao cho c, v j > 0 . Thật vậy, giả sử ngược lại c, v j ≤ 0
0

với mọi j = 1, l . Khi đó với mọi x ∈ D , ta có

0

k

l

k

c, x = ∑ α i c, ui + ∑ β j c, v j ≤ ∑ α i c, ui ≤ max c, ui .
1≤i ≤ k

=i 1 =j 1 =i 1

Điều này mâu thuẫn với ( P ) không có phương án tối ưu .
Theo bổ đề 2.3, v j có các thành phần là các số hữu tỷ. Ta có thể chọn λ > 0 thích hợp
0

để λ v j có các thành phần là các số nguyên và vì v j là phương cực biên nên λ v j cũng là
0

0

0

phương cực biên. Đặt v = λ v j .Ta có v là phương cực biên nguyên và c, v > 0 . Khi ấy
0

x0 + nv ( n ∈  + ) là các phương án nguyên của ( P ) và

c, x0 +

=
nv

c, x0 + n c, v → +∞ ( n → +∞ ) .

Vậy ( P′ ) không có phương án tối ưu.
Định lý 2.5:
Nếu ( P ) có phương án tối ưu và có phương án nguyên thì ( P′ ) cũng có phương án
tối ưu.
Chứng minh:
Giả sử ( P′ ) có phương án là x1 .
Nếu ( P′ ) không có phương án tối ưu thì ( P′ ) có phương án x2 sao cho
c, x1 < c, x2 .

Cứ như vậy ta xây dựng được dãy các phương án của ( P′ ) - dãy { xn } thỏa mãn
c, x1 < c, x2 < ... < c, xn < ...

Vì c có các thành phần là các số nguyên và xn là phương án nguyên nên
dãy các số nguyên tăng ngặt. Do vậy

{ c, x }
n

{ c, x } là
n

không bị chặn trên. Như vậy hàm mục tiêu

c, x không bị chặn trên trên tập các phương án của ( P ) . Điều này mâu thuẫn với giả thiết

( P ) có phương án tối ưu.
Vậy nếu ( P ) có phương án tối ưu và có phương án nguyên thì ( P′ ) cũng có phương
án tối ưu.


Chương 3: THUẬT TOÁN CẮT GOMORY GIẢI BÀI TOÁN QUY
HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUYÊN
Có thể nói tối ưu rời rạc khai sinh lịch sử phát triển của mình từ năm 1985 khi
Gomory công bố thuật toán cắt nổi tiếng để giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên.
Trong chương này ta sẽ nghiên cứu thuật toán cắt Gomory và cơ sở lí luận của nó sử dụng
để giải bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên dạng chính tắc:
 c, x → max

( P′ ) 

 Ax = b, x ≥ 0, x ∈ 

n

trong đó A là ma trận cấp m × n và rankA = m ; các ma trận A, b , vectơ c có các thành phần
là các số nguyên.
Bài toán quy hoạch tuyến tính tương ứng với ( P′ ) là bài toán
 c, x → max

( P ) 

= b, x ≥ 0
 Ax

.

3.1. Bảng đơn hình
3.1.1. Khái niệm
 a1 j 
 
Đặt x0 = c, x , cột thứ j của ma trận A : Aj =    .
 amj 
 

Tập B ⊂ {1,..., n} gồm m phần tử sao cho hệ các vec tơ { Aj : j ∈ B} độc lập tuyến tính
gọi là tập cơ sở.
N = {1,..., n} \ B gọi là tập phi cơ sở.

Các biến x j , j ∈ B gọi là các biến cơ sở.
Các biến x j , j ∈ N gọi là các biến phi cơ sở.
Sử dụng đại số tuyến tính, ta có thể biểu diễn các biến cơ sở qua các biến phi cơ sở.
Như vậy, hàm mục tiêu x0 , các biến x1 ,..., xn đều có thể biểu diễn qua các biến phi cơ sở. Cụ
thể ta có biểu diễn:
xi =xi 0 + ∑ xij ( − x j ), i =0, n .
j∈N

Trong đó xij được xác định như sau