CÁC bất ĐẲNG THỨC PHỤ HAY DÙNG TRONG các bài THI đại học 1

BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ - THẦY MẪN NGỌC QUANG

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ HAY DÙNG TRONG CÁC
BÀI THI ĐẠI HỌC – THPTQG
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
PHẦN 1 : Nhóm các bất đẳng thức Cosi và hệ quả của nó :
Hệ quả với 2 biến : x,y>0

1 1
1 1
4
1 1
1
1 1 1
( x  y )(  )  4   
 (  )
(4) hay viết kiểu này ( x  y )(  )  4 
x y
x y x y
x y
x y 4 x y
Dấu bằng khi x = y

VÍ DỤ ĐỂ CÁC EM DỄ HÌNH DUNG
BÀI TOÁN ÁP DỤNG LUÔN CHO CÁC EM DỄ HÌNH DUNG :
Câu 1 : Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giac thỏa mãn : 2c  b  abc
Tìm min của : P 

3
4
5



b c  a a  c b a bc

Trước tiên phân tích bài toán này , thầy muốn hỏi các em tại sao người ta lại cho a,b,c là độ dài 3 cạnh
của một tam giác ? Cái này để biết được b  c  a  0, a  c  b  0, a  b  c  0 , như vậy mới áp dụng
được

1 1
4
, Tuy nhiên , tử số của các biểu thức không đồng đều nhau như bđt phụ , ta dùng
 
x y x y

phương pháp đồng nhất hệ số để dung nó như sau :

3
4
5
1
1
1
1
1
1


 m(

)  n(


)  p(

)
bc a a cb a bc
bca a cb
abc bca
a bc a cb
m  n  3
m  1


 m  p  4  n  2
n  p  5
p 3


P

Áp dụng :

1 1
4
 
ta có :
x y x y

Học Toán Thầy Quang – Càng học càng thấy mê

Page 1

BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ - THẦY MẪN NGỌC QUANG

1
1


bca a cb
1
1


bca abc
1
1


a bc a cb

4 2

2c c
4 2

2b b
4 2

2a a

Vậy ta có :

P(

1
1
1
1
1
1
2
2
2
1 2 3

)  2(

)  3(

)   2.  3.  2(   )
bc a ac b
abc bca
abc ac b
c
b
a
c b a

Bây giờ ta mới để ý đến giả thiết xem nó ra sao : 2c  b  abc , chia 2 vế cho b.c ta được

2c  b  abc 

2 1
  a , Ồ hay quá , nhìn thấy thế này ai chả thích!!! , thay vào biểu thức P trên ta
b c

có :

2 1 3
3
P  2(   )  2(a  )  4 3
b c a
a
Một điều quan trọng khi sử dụng bất đẳng thức phụ là các em phải biết đươc điểm rơi khi nào , điểm rơi
ở đây ý nói là dấu bằng xảy ra khi nào , các em nhớ là dấu = nó phải phù hợp và nhất quán từ đầu cho
đến cuối , đúng ở các bất đẳng thức phụ , ví dụ như bài trên chung ta áp dụng các bđt phụ nào các em
nhìn lại nhé :
BĐT PHỤ 1:

1 1
4
 
x y x y

dấu bằng xảy ra khi x = y , ở đây là a  b  c  a  c  b  b  c  a  a  b  c

3
a

BĐT PHỤ 2 : (a  )  2 a.

3
 2 3 , dấu bằn khi a  3
a

Kết hợp 2 cái bđt phụ trên không thấy có gì mâu thuẫn cả , vậy bài toán đã đi đúng hướng và dấu bằng
xảy ra khi : a  b  c  3
KINH NGHIỆM 1 : Nếu các em thấy các bài toán mà cho dạng phân thức mà 3 biến nó tuần hoàn đối
xứng như bài trên ta nghĩ ngay đến điểm rời là a = b = c , từ đó chúng ta nghĩ ngay đến được bất đẳng
thức phụ

1 1
4
 
x y x y

Bài 2 : Cho x,y,z > 0 : xy  xz  yz  4 xyz .Tìm max :

Học Toán Thầy Quang – Càng học càng thấy mê

Page 2


BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ - THẦY MẪN NGỌC QUANG

P

1
1
1



2x  y  z x  2 y  z x  y  2z

Bài toán này tìm max các em nhé , chúng ta nhớ rằng

1 1
4
 
chỉ cho chúng ta giá trị min , vậy
x y x y

làm gì để có cái max , đó là vấn đề sử dụng ngược bđt phụ trên , các em quan sát thầy làm nhé . BĐT phụ

1
x

1
y

trên có thể viết lại như sau : ( x  y )(  )  4 

1
1 1 1
 (  ) . Ồ!!! đến đây chúng ta có thể sử
x y 4 x y

dụng để tìm max rồi .
Nào , đầu tiên chúng ta tìm điểm rơi xem nó ra sao , 3 biến x,y,z đối xứng đẹp thế kia , ở cả giả thiết lẫn
biểu thức P , mà lại cả 3 cùng dương nên chắc chắc một điều dấu bằng xảy ra khi x=y=z các em nhé .

Ta sẽ làm như sau :

1
1 1
1
1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1
 (

)  [ (  )  (  )]= [   ]
( x  y)  ( x  z) 4 x  y x  z
4 4 x y 4 x z 16 x y z
1
1 1
1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 1
 (

)  [ (  )  (  )]= [   ]
( x  y)  ( y  z) 4 x  y y  z
4 4 x y 4 y z 16 x y z
1
1 1
1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 2
 (

)  [ (  )  (  )]= [   ]

( x  z)  ( y  z) 4 x  z y  z
4 4 x z 4 y z 16 x y z
Vậy cuối cùng ta có : P 

1
1
1
1 4 4 4


 [   ]
2 x  y  z x  2 y  z x  y  2 z 16 x y z

Đến đây chúng ta sẽ sử dụng giả thiết như sau : xy  xz  yz  4 xyz thường mà bài toán cho tích xyz
chúng ta hay làm phép chia cả 2 vế cho dễ sử dụng : xy+xz+yz=4xyz 

Vậy ta có được : P 

1 1 1
  4
x y z

1
3
1 1 1
.4.4  1 , Dấu = khí x = y = z và    4  x  y  z 
16
4
x y z

MỞ RỘNG VỚI 3 BIẾN , 4 BIẾN TA CŨNG CÓ :
Khi có 3 biến : x,y,z>0

1 1 1
1 1 1
9
( x  y  z )(   )  9    
x y z
x y z x yz

Học Toán Thầy Quang – Càng học càng thấy mê

Page 3


BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ - THẦY MẪN NGỌC QUANG

1
x

hay viết ( x  y  z )( 

1 1
1
1 1 1 1
 )9
 (   )
y z
x y z 9 x y z

Dấu bằng khi x = y = z
Khi có 4 biến :

1 1 1 1
1
1 1 1 1 1
( x  y  z  t )(    )  16 
 (    )
x y z t
x  y  z  t 16 x y z t
Chú ý , bài toán 2 các em có thể sử dụng bất đẳng thức phụ cho 4 biến , tuy nhiên các em cần phải
chưng minh nó trước khi sử dụng .

BÀI TẬP CHO CÁC EM ÁP DỤNG
Sau đây là bài ví dụ cho các em thực hành , làm nhiều dạng , xuôi rồi ngược nó mới quen các em nhé ,
nếu không làm được thì các em đặt câu hỏi tại group , sẽ co bạn trả lời cho các em .
Bài 3 : Cho a, b, c  0 . Chứng minh rằng

P

ab
bc
ca
abc



a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b
6

Bài 4 : x, y  0 , x  y  1 . Tìm min : P 

1
2

x y
Bài 5 : a, b, c  0, a  2b  2c  4 . Tìm min : P 

Bài 6 : Cho x  0  y ,

2



1 1

x y

1
1

ab  ac  bc
ab  ac  c 2

x2
4 y2
6
 3x  6 y 
4
.

2y
x
xy

Tìm min : P  2 x 4  32 y 4  4 x 2 y 2  2 x 2  8 y 2 

1
1
 2 5
2
x 4y

(CHÚ Ý : TẤT CẢ CÁC BÀI TẬP TRÊN ĐỀU CÓ VIDEO HƯỚNG DẪN CÁC EM LÀM BÀI , TUY NHIÊN CÁC EM
NÊN TỰ VẬN DỤNG CÁC BĐT PHỤ THẦY ĐƯA TRÊN ĐỂ TẬP SUY NGHĨ NHÉ , CÀNG NGHĨ NHIỀU THÌ NÃO
MÌNH CÀNG HOẠT ĐỘNG LINH HOẠT )
PS : Trong các ví dụ các em thực hành đôi khi sử dụng một vài bđt phụ nhỏ khác nữa , có thể các em
đã biết rồi .

Học Toán Thầy Quang – Càng học càng thấy mê

Page 4


BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ - THẦY MẪN NGỌC QUANG

Học Toán Thầy Quang – Càng học càng thấy mê

Page 5