ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA lần i năm học 2015 – 2016 bồi dưỡng (11)

SỞ GD & ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: Toán – THPT
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 17 tháng 09 năm 2015

3
2
Câu 1 (3.0 điểm) Cho hàm số: y = mx − 3mx + 3 ( m − 1) , với m là tham số. Chứng minh rằng với mọi

m ≠ 0 , hàm số luôn có hai điểm cực trị A,B . Khi đó tìm các giá trị của tham số m để

(

)

2AB2 − OA 2 + OB2 = 20 (trong đó O là gốc toạ độ).

π
Câu 2 (3.0 điểm) Giải phương trình: cos x + cos3x = 1 + 2 sin  2x + ÷ .
4

Câu

3

(3.0

điểm)

Giải

hệ

phương

trình:

( 2027 − 3x ) 4 − x + ( 6y − 2024 ) 3 − 2y = 0 (1)
(x,y∈ ¡ )

2
( 2)
2 7x − 8y + 3 14x-18y = x + 6x + 13
Câu 4 (4.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có E,F lần lượt thuộc
các đoạn AB, AD sao cho EB = 2EA; FA = 3FD , F(2;1) và tam giác CEF vuông tại F. Biết đường thằng
x − 3y − 9 = 0 qua hai điểm C, E. Tìm toạ độ điểm C biết C có hoành độ dương.
·
·
·
Câu 5 (3.0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AD = a,AB = b,AC = c và BAC
= CAD
= DAB
= 600 .
1. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo a, b, c .
2. Cho a + b + c = 2015 × Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi của tam giác BCD.
1
1 4

1
Câu 6 (2.0 điểm) Tính: S = C02015 + C22015 + C2015
+L +
C2014
3
5
2015 2015
Câu 7 (2.0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
1
P=
−
6 xy + 8 xz + 7z 9 x + y + z
-------------------------- Hết -------------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:..................................................

Số báo danh:....................................


SỞ GD & ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2014 - 2015
Môn: TOÁN; Khối 12
(Đáp án – thang điểm gồm 04 trang)

Câu
Đáp án
1

Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị…..
(3.0 điểm)
Ta có: y ' = m(3x 2 − 6x)

Điểm

 x = 0 ⇒ y = 3m − 3
Với mọi m ≠ 0 , ta có: y ' = 0 ⇔ 
x = 2 ⇒ y = −m − 3

1.0

⇒ Hàm số luôn có hai điểm cực trị.
Vai trò A, B như nhau nên giả sử A(0; 3m − 3), B(2; − m − 3) . Ta có:

(

) (

)

2AB2 − (OA 2 + OB2 ) = 20 ⇔ 2 4 + 16m 2 − 9(m − 1)2 + 4 + (m + 3)2 = 20
m = 1
⇔ 11m + 6m − 17 = 0 ⇔ 
(thỏa mãn đk)
 m = −17

11

1.0

2

Vậy giá trị m cần tìm là: m = 1 và m =

1.0

−17
.
11

2
Giải phương trình:
(3.0 điểm) PT ⇔ cosx + cos 3 x = 1 + sin 2 x + cos 2 x
⇔ 2 cos 2x cos x = 2 cos2 x + 2 sin x cos x
⇔ 2 cos x ( cos 2x − cos x − sin x ) = 0

(

1.0

)

⇔ 2 cos x  cos2 x − sin 2 x − ( cos x + sin x )  = 0


⇔ 2 cos x ( cos x + sin x )  cos x − sin x − 1 = 0

π


π
 x = + kπ
x = + kπ

2
2

 cos x = 0



π
3π

⇔  cos x + sin x = 0 ⇔  2 cos  x − ÷ = 0 ⇔  x =
+ kπ
4
4


 cos x − sin x = 1





 x = − π + k 2π
π
 2 cos  x + ÷ = 1


4
4



1.0

(k ∈ ¢ )

3
Giải hệ phương trình…
(2.0 điểm)
3
ĐKXĐ: x ≤ 4,y ≤ , 7 x − 8y ≥ 0,14x − 18y ≥ 0 (Thiếu điều kiện trừ 0.5)
2

1.0

0.5

PT (1) 3(4 − x) + 2015 4 − x = 3(3 − 2y) + 2015 3 − 2y (3)
Xét hàm số: f(t) = ( 3t + 2015 ) t liên tục trên 0; + ∞ )
3t + 2015
> 0, ∀t > 0
Có f '(t) = 3 t +
2 t

1.0

Suy ra hàm số đồng biến trên ( 0; + ∞ )
Nên pt (3) f ( 4 − x ) = f ( 3 − 2y ) ⇔ 4 − x = 3 − 2y ⇔ y =
Thay y =

x −1
2

x −1
vào pt (2) ta được pt:
2

2 7 x − 4(x − 1) + 3 14x − 9(x − 1) = x 2 + 6x + 13
⇔ 2 3x + 4 + 3 5x+9 = x 2 + 6x + 13
⇔ 2 3x + 4 − 2(x + 2) + 3 5x+9 − 3(x + 3) = x 2 + x
−2x(x + 1)

1.0

3x(x + 1)

= x(x + 1)
3x + 4 + (x + 2)
5x + 9 + (x + 3)


2
3
⇔ x(x + 1) 
+
+ 1 = 0

5x + 9 + (x + 3) 
 3x + 4 + (x + 2)
⇔

−

x = 0
2
3
+
+ 1 > 0 với
⇔ x(x + 1) = 0 ⇔ 
.( Vì
3x + 4 + (x + 2)
5x + 9 + (x + 3)
 x = −1
4
− ≤x≤4)
3

1
Vậy hệ pt có hai nghiệm:  0; − ÷; ( −1; −1) .
2

4
µ =C
µ (vì cùng phụ với
∆AEF và ∆DFC có: F
1
1

(3.0 điểm)
µ =D
µ = 900 ⇒ ∆AEF : ∆DFC
góc Fµ2 ), A
AE AF EF
AB
=
=
mà AE = ,
DF DC FC
3
AD
3AD
AB 3
DF =
, AF =
⇒
= . Do đó:
4
4
AD 4
EF AE
=
= 1 ⇒ EF = FC ⇒ ∆EFC vg cân tại
FC DF

0.5

B
C

H

⇒

1

1.0

E
x-3y-9=0
1

F

A

2
D
F(2;1)

Gọi H là hình chiếu củaF trên EC. Khi đó: CF = 2FH = 2d(F,CE) = 2 5

1.0

Gọi C(3t + 9; t) với t > −3 (vì x C > 0 ). Ta có: CF = 2 5 ⇒ CF 2 = 20

1.0

 t = −1
⇔ (3t + 7)2 + (t − 1)2 = 20 ⇔ t 2 + 4t + 3 = 0 ⇔ 

 t = −3 (L)
Với t = −1 ⇒ C(6; −1) . Vậy C(6; −1)
(không loại nghiệm trừ 0.5)

1.0


5
(3.0
Trên cácđ)cạnh AB, AC lấy các điểm B',C' sao cho:
AB' = AC' = AD = a . Khi đó tứ diện AB'C'D là tứ
diện đều cạnh a có thể tích: ⇒ VAB'C'D
Ta có:

A

a

b

a3 2
=
12

c

B'

D

B

C'

1.5

VAB'C'D AB' AC' a a a
=
=
=
VABCD
AB AC b c bc
2

⇒ VABCD =

C

bc
bc a3 2 abc 2
V
=
=
a2 AB'C'D a2 12
12
Chu vi tam giác BCD:
p = DC + BC + BD = a2 − ac + c2 + b 2 − bc + c 2 + a2 − ab + b 2
3
1
3

1
3
1
(a − c)2 + (a + c)2 +
(b − c)2 + (b + c)2 +
(a − b)2 + (a + b)2
4
4
4
4
4
4
a+c b+c a+b
≥
+
+
= a + b + c = 2015
2
2
2
2015
Vậy p min = 2015 khi a = b = c =
.
3
=

6
(2.0 đ)

Cnk

Cnk ++11
Chứng minh:
=
k +1 n +1
1
2015
Khi đó: S =
C12016 + C32016 + C52016 + ... + C2016
2016

(

Ta lại có: ( 1 + 1)

( 1 − 1)
⇒2

2016

2016

2016

0.5

)

2016
= C02016 + C12016 + C22016 + C32016 + .... + C2015
+ C2016

2016

= C02016 − C12016 + C22016 − C32016 + .... − C 2015
+ C 2016
2016
2016

(

=2 C

1
2016

1.5

+C

3
2016

+C

5
2016

+ .... + C

2015
2016

)

0.5

2015
⇒ C12016 + C32016 + C52016 + .... + C2016
= 22015

22015
2016
Tìm giá trị nhỏ nhất …
Vậy S =

7
(2.0 đ)

Ta có: 6 xy = 2 x.9y ≤ x + 9y ; 8 xz = 2 8x.2z ≤ 8x + 2z
⇒ 6 xy + 8 xz + 7z ≤ 9 ( x + y + z )
⇒P≥

1
1
−
9(x + y + z) 9 x + y + z

Đặt:

1
1

x + y + z = t , đk: t > 0 ⇒ P ≥ 2 − = f(t)
9t 9t
1  −2 1  1
+ 2 ÷ = 3 ( t − 2 ) , f '(t) = 0 ⇔ t = 2
3
t  9t
t

Có f '(t) = 
9

0.5

0.5

0.5

0.5


Lập BBT suy ra f(t) ≥ f(2) = −

Suy ra: Pmin

1
36

 x + y + z = 4 x = 18 / 23



1
⇔ y = 2 / 23
=−
khi  x = 9y
36
8x = 2z
z = 72 / 23



0.5