ôn tập hình học lớp 12

ÔN TẬP HÌNH HỌC LỚP 12 (Chương I và II)
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) và SA  a 3
1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
2. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
3. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)
4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC
S

Bài giải.
1.Thể tích khối chóp S.ABCD
Ta có: SA   ABCD , VS . ABCD

1
a3 3
 SA.S ABCD 
(đvtt)
3
3

E
H

2. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB  AH  SB

K
A

SA   ABCD   SA  BC 


  BC   SAB   BC  AH
O
BA  BC 

B
C
 AH  SB
.
Do
đó:

AH

SBC
AH

d
A
,(
SBC
)





 AH  BC
1
1

1
1
1
4
a 3
 2
 2  2  2  AH 
Tam giác SAB vuông tại A, ta có:
2
2
AH
SA
AB
3a
a
3a
2
a 3
Vậy: AH  d  A, ( SBC )  
(đvđd)
2

3. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)
Gọi O  AC  BD
và K là hình chiếu vuông góc của A trên SO  AK  SO
SA   ABCD   SA  BD 

  BD   SAO   BD  AK
AC  BD 


 AK  SO
 AK   SBD  . Do đó: AK  d  A,(SBD) 

 AK  BD

a 2
2
1
1
1
1
2
7
a 3
Tam giác SAO vuông tại A, ta có:
 2
 2  2  2  AK 
2
2
AK
SA AO
3a a
3a
7
a 21
Vậy: AK  d  A, ( SBD)  
(đvđd)
7

AC là đường chéo hình vuông cạnh a  AC  a 2  OA 

4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
AD / / BC  AD / /  SBC   d  AD, SB   d  AD, ( SBC )   d  A, ( SBC )  

5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

AB / /CD  AB / /  SCD  d  AB, SC   d  AC,(SCD)   d  A,(SCD) 

Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SD  AE  SD

a 3
(đvđd)
2

D


SA   ABCD   SA  CD 

  CD   SAD   CD  AE
AD  CD 

 AE  SD
 AE   SCD  . Do đó: AE  d  A,(SCD) 

 AE  CD
1
1
1
1

1
4
a 3
 2
 2  2  2  AE 
2
2
AE
SA
AD
3a
a
3a
2
a 3
Vậy: AE  d  A, ( SCD)   d  AB, SC  
(đvđd)
2

Tam giác SAD vuông tại A, ta có:

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SC tạo với đáy một góc bằng 600
1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
2. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
3. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)
4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

1.Thể tích khối chóp S.ABCD

Ta có: SA   ABCD , VS . ABCD

S

1
 SA.S ABCD
3

AC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD)
 góc giữa SC và (ABCD) là SCA  600
Tam giác SAC vuông tại A, ta có:
tan SCA  tan 600 

E
H

SA
AC

K
A

AC là đường chéo hình vuông cạnh a  AC  a 2
 SA  AC tan 60  a 6

0
O 60

(

0

VS . ABCD

1
a3 6
 SA.S ABCD 
(đvtt)
3
3

2. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB  AH  SB

D

B

SA   ABCD   SA  BC 

  BC   SAB   BC  AH
BA  BC 

 AH  SB
 AH   SBC  . Do đó: AH  d  A,(SBC) 

 AH  BC
1
1
1

1
1
7
a 6
Tam giác SAB vuông tại A, ta có:
 2
 2  2  2  AH 
2
2
AH
SA
AB
6a a
6a
7
a 42
Vậy: AH  d  A, ( SBC )  
(đvđd)
7

3. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)
Gọi O  AC  BD
và K là hình chiếu vuông góc của A trên SO  AK  SO

C


SA   ABCD   SA  BD 

  BD   SAO   BD  AK

AC  BD 

 AK  SO
 AK   SBD  . Do đó: AK  d  A,(SBD) 

 AK  BD
a 2
2
1
1
1
1
2
13
a 6
Tam giác SAO vuông tại A, ta có:
 2
 2  2  2  AK 
2
2
AK
SA AO
6a a
6a
13
a 78
Vậy: AK  d  A, ( SBD )  
(đvđd)
13

AC là đường chéo hình vuông cạnh a  AC  a 2  OA 

4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
AD / / BC  AD / /  SBC   d  AD, SB   d  AD, ( SBC )   d  A, ( SBC )  

a 42
(đvđd)
7

5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

AB / /CD  AB / /  SCD  d  AB, SC   d  AC,(SCD)   d  A,(SCD) 

Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SD  AE  SD

SA   ABCD   SA  CD 

  CD   SAD   CD  AE
AD  CD 

 AE  SD
 AE   SCD  . Do đó: AE  d  A,(SCD) 

 AE  CD
1
1
1
1
1
7

a 6
Tam giác SAD vuông tại A, ta có:
 2
 2  2  2  AE 
2
2
AE
SA AD
6a a
6a
7
a 42
Vậy: AE  d  A, ( SCD)   d  AB, SC  
(đvđd)
7

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB  2a, BC  3a , SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA  4a
1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
2. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
3. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC
S

1.Thể tích khối chóp S.ABCD
1
3
Diện tích hình chữ nhật ABCD: S ABCD  AB.BC  12a 2

Ta có: SA   ABCD , VS . ABCD  SA.S ABCD

VS . ABCD

K

1
48a 3
 SA.S ABCD 
 16a 3 (đvtt)
3
3

H

A

D

2. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB  AH  SB
B

C


SA   ABCD   SA  BC 

  BC   SAB   BC  AH
BA  BC 


 AH  SB
 AH   SBC  . Do đó: AH  d  A,(SBC) 

 AH  BC

Tam giác SAB vuông tại A, ta có:
Vậy: AH  d  A, ( SBC )  

1
1
1
1
1
5
4a 5
 2

 2 
 AH 
2
2
2
2
AH
SA
AB
16a
4a
16a

5

4a 5
(đvđd)
5

3. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SD  AK  SD

SA   ABCD   SA  CD 

  CD   SAD   CD  AK
AD  CD 

 AK  SD
 AK   SCD  . Do đó: AK  d  A,(SCD) 

 AK  CD
1
1
1
1
1
25
12a
Tam giác SAD vuông tại A, ta có:
 2

 2 
 AK 

2
2
2
2
AK
SA
AD 16a 9a 144a
5
12a
Vậy: AK  d  A, ( SCD)   d  AC , SB  
(đvđd)
5

4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB
AD / / BC  AD / /  SBC   d  AD, SB   d  AD, ( SBC )   d  A, ( SBC )  

4a 5
(đvđd)
5

5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC
AB / /CD  AB / /  SCD   d  AB, SC   d  AC , (SCD)   d  A, (SCD)  

12a
(đvđd)
5

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SC tạo với đáy một góc bằng 600
1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD

2. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD

S

1.Thể tích khối chóp S.ABCD
1
3

Ta có: SA   ABCD , VS . ABCD  SA.S ABCD
AC là hình chiếu vuông góc của SC trên (ABCD)
 góc giữa SC và (ABCD) là SCA  600
Tam giác SAC vuông tại A, ta có:
tan SCA  tan 600 

K

H

SA
AC

AC là đường chéo hình vuông cạnh a  AC  a 2
 SA  AC tan 600  a 6
3

1
a 6
VS . ABCD  SA.S ABCD 
(đvtt)

3
3

A

E

B
0
O 60 (

D

d

C


2. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SD  AH  SD

SA   ABCD   SA  CD 

  CD   SAD   CD  AH
AD  CD 

 AH  SD
 AH   SCD  . Do đó: AH  d  A,(SCD) 

 AH  CD

1
1
1
1
1
7
a 6
Tam giác SAD vuông tại A, ta có:
 2
 2  2  2  AH 
2
2
AH
SA
AB
6a a
6a
7
a 42
Vậy: AH  d  A, ( SCD)  
(đvđd)
7

3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD
Qua điểm D, dựng đường thẳng d song song với AC. Dụng hình bình hành AODE
AC / / ED  AC / /  SED  d  AC, SD   d  AC,(SED)   d  A,(SED) 

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên SE  AK  SE
 ED / /OA
 ED  EA


 EA / /OD

SA   ABCD   SA  ED 

  ED   SAE   ED  AK
AE  ED 

 AK  SE
 AK   SED  . Do đó: AK  d  A,(SED)   d  AC, SD

 AK  ED

Tam giác SAE vuông tại A, ta có:
Vậy: AK  d  AC , SD  

1
1
1
1
2
13
a 6
 2
 2  2  2  AK 
2
2
AK
SA AE
6a a

6a
13

a 78
(đvđd)
13

Bài 5. Cho hình chóp đ u S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a cạnh bên tạo
với đáy một góc bằng 600
1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
2. ọi  H1  là hình nón có đ nh t ng với đ nh S của hình chóp và đáy là đường
n
ng i iế hình vuông ABCD
a.
nh diện t ch ung uanh và diện t ch toàn ph n của hình nón đó
b.
nh thể t ch của hối nón đư c tạo i hình nón đó.
3. ọi  H 2  là hình nón có đ nh t ng với đ nh S của hình chóp và đáy là đường
n i iế
a.
b.

hình vuông ABCD
nh diện t ch ung uanh và diện t ch toàn ph n của hình nón đó
nh thể t ch của hối nón đư c tạo i hình nón đó.

n


1.Thể tích khối chóp S.ABCD

Gọi O  AC  BD
Ta có: SO   ABCD , VS . ABCD

S

1
 SO.S ABCD
3

OB là hình chiếu vuông góc của SB trên (ABCD)
 góc giữa SB và (ABCD) là SBO  600
Tam giác SOB vuông tại O, ta có:
tan SBO  tan 600 

SO
OB

60

A

BD là đường chéo hình vuông cạnh a  BD  a 2

0

( B

O

a 6

D
C
 SO  OB tan 600 
2
1
a3 6
VS . ABCD  SO.S ABCD 
(đvtt)
3
6
2. Hình nón  H1  có đ nh S và có đáy là đường tròn ngo i tiếp hình vuông ABCD, ta có:

- Đường sinh của hình nón: l  SB  SO2  OB2  a 2
- Đường cao của hình nón: h  SO 
- Bán

nh đáy: r  OB 

a 6
2

a 2
2

a. Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq   rl   a2 (đvdt)
Diện t ch đáy: Sd   r 2 

 a2
2

Diện tích toàn phần của hình nón: Stp  S xq  Sd   a 2 

 a2
2



3 a 2
(đvdt)
2

S

1 2
 a3 6
b. Thể tích của khối nón: V   r h 
(đvtt)
3
12

3. Hình nón  H 2  có đ nh S và có đáy là đường tròn n i tiếp
hình vuông ABCD
Gọi M, N l n lư t là t ung điểm của AD và BC
- Đường sinh của hình nón: l  SN  SO 2  ON 2 

M

a 7
2

Diện t ch đáy: Sd   r 2 

D

 a2 7

(đvdt)

4

 a2
4

Diện tích toàn phần của hình nón: Stp  S xq  Sd 
1
3

b. Thể tích của khối nón: V   r 2 h 

a

3

24

6



 a2 1  7

(đvtt)

N

O

a 6
- Đường cao của hình nón: h  SO 
2
AB a

- Bán nh đáy: r  ON 
2
2

a. Diện tích xung quanh của hình nón: S xq   rl 

60

A

4

 (đvdt)

C

0

( B


Bài 6. Cho hình chóp đ u S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , cạnh

n ằng

a 3

1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
2. ọi  H1  là hình nón có đ nh t ng với đ nh S của hình chóp và đáy là đường

n

ng i iế hình vuông ABCD
a.
nh diện t ch ung uanh và diện t ch toàn ph n của hình nón đó
b.
nh thể t ch của hối nón đư c tạo i hình nón đó.
3. ọi  H 2  là hình nón có đ nh t ng với đ nh S của hình chóp và đáy là đường

n

n i iế
a.
b.

hình vuông ABCD
nh diện t ch ung uanh và diện t ch toàn ph n của hình nón đó
nh thể t ch của hối nón đư c tạo i hình nón đó.

1.Thể tích khối chóp S.ABCD
Gọi O  AC  BD

S

1
3

Ta có: SO   ABCD , VS . ABCD  SO.S ABCD
Tam giác SOB vuông tại O, ta có:
a 2 a 5 a 10


2
2
2
a 3 10

(đvtt)
6

SO  SB 2  OB 2  3a 2 

1
VS . ABCD  SO.S ABCD
3
2. Hình nón  H1  có đ nh S và có đáy là đường tròn

A

B
O

D

C

ngo i tiếp hình vuông ABCD, ta có:
- Đường sinh của hình nón: l  SB  a 3
- Đường cao của hình nón: h  SO 
- Bán

nh đáy: r  OB 

a 10
2

a 2
2

a. Diện tích xung quanh của hình nón:
Diện t ch đáy: Sd   r 
2

(đvdt)
S

 a2
2

Diện tích toàn phần của hình nón:
 a2  a2
Stp  S xq  Sd   a 2 

6  1 (đvdt)
2

2





1 2
 a 3 10
V


r
h

b. Thể tích của khối nón:
(đvtt)
3
12

A

3. Hình nón  H 2  có đ nh S và có đáy là đường tròn n i tiếp

hình vuông ABCD
Gọi M, N l n lư t là t ung điểm của AD và BC

B

M
N

O
D

C


- Đường sinh của hình nón: l  SN  SO 2  ON 2 
- Đường cao của hình nón: h  SO 
- Bán

nh đáy: r  ON 

a 11
2

a 10
2

a
2

a. Diện tích xung quanh của hình nón: S xq   rl 

Diện t ch đáy: Sd   r 2 

 a 2 11
4

(đvdt)

 a2
4

Diện tích toàn phần của hình nón: Stp  S xq  Sd 
1
3

b. Thể tích của khối nón: V   r 2 h 

 a 10
3

24



 a 2 1  11
4

 (đvdt)

(đvtt)

Bài 7. Cho hình l ng t ụ tam giác đ u ABC.A B C . Biết AB  a và góc giữa hai mặt phẳng
(A BC) và (ABC) ằng 600
1. Tính thể tích khối l ng t ụ ABC.A B C
2. ọi ( ) là hình t ụ có đáy là đường t n ngoại tiếp tam giác ABC và A B C
a.
nh diện t ch ung uanh và diện t ch toàn ph n của hình t ụ đó
b.
nh thể t ch của hối t ụ đư c tạo i hình t ụ đó.
1. Thể tích khối lăng
AA '   ABC 

ụ ABC.A’B’C’

A’

C’
M’

VABC . A ' B 'C '  AA '.S ABC

B’

ong tam giác đ u ABC cạnh a . Gọi M là trung điểm của BC
 AM  BC

Ta có: 
a 3
 AM 

2

Diện tích tam giác ABC: S ABC 

1
a2 3
AM .BC 
2
4

 BC  AA '
 BC   AA ' M   A ' M  BC

 BC  AM

A

C

600 (

M
B

 A ' BC    ABC   BC

0
 A ' M   A ' BC  , A ' M  BC  Góc giữa (A BC) và (ABC) là A ' MA  60

 AM   ABC  , AM  BC
AA '

3a
 AA '  AM .tan 600 
am giác AA M vuông tại A, ta có: tan A ' AM  tan 600 
AM
2
3
3 3a
VABC . A ' B 'C '  AA '.S ABC 
(đvtt)
8

2. Hình trụ (H) ngoại tiếp hình trụ ABC.A B C có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai
tam giác đ u ABC và A B C


Gọi O và O l n lư t là trọng tâm của tam giác ABC và A B C

A’

M’
B’

3a
 Đường sinh của hình trụ (H): l  AA ' 
2
3a
 Đường cao của hình trụ (H): h  OO ' 
2
a 3
 Bán nh đáy của hình trụ (H): r  OA 

3
a. Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq  2 rl   a2 3 (đvdt)

Diện tích một đáy: Sd   r 2 

C’

O’

2
a 3
Ta có: AO  AM 
, do đó:
3
3

A

C
O

M

B

 a2
3



2

Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp  S xq  2Sd   a 2  3   (đvdt)
3
b. Thể tích của khối trụ: V   r 2 h 

a
2

3



(đvtt)

Bài 8. Cho hình l ng t ụ tam giác đ u ABC.A B C . Biết AB  a và hoảng cách giữa đường
thẳng A B đến mặt phẳng (ABC ) ằng

a
2

1. Tính thể tích khối l ng t ụ ABC.A B C
2. ọi ( ) là hình t ụ có đáy là đường t n ngoại tiếp tam giác ABC và A B C
a.
nh diện t ch ung uanh và diện t ch toàn ph n của hình t ụ đó
b.
nh thể t ch của hối t ụ đư c tạo i hình t ụ đó.
1. Thể tích khối lăng
AA '   ABC 

ụ ABC.A’B’C’

A’

C’
M

VABC . A ' B 'C '  AA '.S ABC

B’

ong tam giác đ u ABC cạnh a . Gọi M là t ung điểm của BC
 AM  BC

Ta có: 
a 3
 AM 

2

Diện tích tam giác ABC: S ABC 
A ' B '/ / AB  A ' B '/ /  ABC '

H

1
a2 3
AM .BC 
2
4

Gọi M, N l n lư t là t ung điểm của A B và AB.
vuông góc của điểm M t n C N

A

C
N

là hình chi u

 MH  C ' N
 AB  MN
 AB   C ' MN   AB  MH

 AB  C ' N
MH  AB
 MH   ABC '  MH  d  M ,( ABC '

MH  C ' N
A ' B '/ /  ABC '  d  A ' B ', ( ABC ')   d ( M , ( ABC ')  MH 

a
(vì M  A ' B ' )
2

B


1

1
1
1
1
1





2
2
2
2
2
MH
MN
C 'M
MN
MH
C 'M 2
1
4
4
8
a 3 a 6
 2  2  2  MN  AA ' 

2
MN

a 3a
3a
4
2 2

am giác C MN vuông tại M, ta có:

VABC . A ' B 'C '  AA '.S ABC 

3 2a 3
(đvtt)
16

2. Hình trụ (H) ngoại tiếp hình trụ ABC.A B C có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai
tam giác đ u ABC và A B C
Gọi O và O l n lư t là trọng tâm của tam giác ABC và A B C
A’
O’

2
a 3
Ta có: AO  AM 
, do đó:
3
3

C’

M
B’

a 6
4
a 6
Đường cao của hình trụ (H): h  OO ' 
4
a 3
Bán nh đáy của hình trụ (H): r  OA 
3

 Đường sinh của hình trụ (H): l  AA ' 



a. Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq  2 rl 
Diện tích một đáy: Sd   r 2 

A

C
O

a

2

2

2

N

(đvdt)

B

 a2
3

 2 2
  (đvdt)
 2 3

Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp  S xq  2Sd   a 2 
b. Thể tích của khối trụ: V   r 2 h 

 a3 6

(đvtt)

12
3
1
 a 10
b. Thể tích của khối nón: V   r 2 h 
(đvtt)
3
24

Bài 9. Cho hình l ng t ụ tam giác đ u ABC.A B C . Biết AB  4 và tam giác A BC có diện

tích bằng 8
1. Tính thể tích khối l ng t ụ ABC.A B C
2. ọi ( ) là hình t ụ có đáy là đường t n ngoại tiếp tam giác ABC và A B C
a.
nh diện t ch ung uanh và diện t ch toàn ph n của hình t ụ đó
b.
nh thể t ch của hối t ụ đư c tạo i hình t ụ đó.
1. Thể tích khối lăng
AA '   ABC 

ụ ABC.A’B’C’

A’

VABC . A ' B 'C '  AA '.S ABC

C’
B’

ong tam giác đ u ABC cạnh AB  4 .
Gọi M là t ung điểm của BC
 AM  BC

Ta có: 
4 3
2 3
 AM 

2

A

1
2

Diện tích tam giác ABC: S ABC  AM .BC  4 3

C
M
B



 AA '   ABC   AA '  BC
 BC   AA ' M   A ' M  BC


 BC  AM
1
Diện t ch tam giác A BC ằng 8: S A' BC  A ' M .BC  8  A ' M  4
2

am giác AA M vuông tại A: AA '  A ' M 2  AM 2  16 12  2
VABC. A' B 'C '  AA '.SABC  8 3 (đvtt)
2. Hình trụ (H) ngoại tiếp hình trụ ABC.A B C có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai
tam giác đ u ABC và A B C
Gọi O và O l n lư t là trọng tâm của tam giác ABC và A B C
A’
O’

2
4 3
Ta có: AO  AM 
, do đó:
3
3

M’
B’

 Đường sinh của hình trụ (H): l  AA '  2
 Đường cao của hình trụ (H): h  OO '  2
 Bán

nh đáy của hình trụ (H): r  OA 

4 3
3

a. Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq  2 rl 
Diện tích một đáy: Sd   r 2 

16
3

b. Thể tích của khối trụ: V   r 2 h 

16 3
(đvdt)
3

A

C
O

M

B

Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp  S xq  2Sd 
32
(đvtt)
3

16
2  3 (đvdt)
3





Bài 10. Cho hình l ng t ụ tam giác đ u ABC.A B C . Biết góc giữa hai mặt phẳng (A BC) và
(ABC) bằng 300 và tam giác A BC có diện tích bằng 8
1. Tính thể tích khối l ng t ụ ABC.A B C
. ọi ( ) là hình t ụ có đáy là đường t n ngoại tiếp tam giác ABC và A B C
a.
nh diện t ch ung uanh và diện t ch toàn ph n của hình t ụ đó
b.

nh thể t ch của hối t ụ đư c tạo i hình t ụ đó.
1. Thể tích khối lăng
AA '   ABC 

C’

ụ ABC.A’B’C’

A’

C’

VABC . A ' B 'C '  AA '.S ABC

B’

ong tam giác đ u ABC cạnh BC .
Gọi M là t ung điểm của BC
 AM  BC

Ta có: 
BC 3
 AM 

2

 AA '   ABC   AA '  BC
 BC   AA ' M   A ' M  BC



 BC  AM

A

300

C

(
M

B


 A ' BC    ABC   BC

0
 A ' M   A ' BC  , A ' M  BC  Góc giữa (A BC) và (ABC) là A ' MA  30

 AM   ABC  , AM  BC
2a 3
a 3
Đặt: BM  a  0  a    BC  2a  AM 
2

am giác AA M vuông tại A, ta có:
AM
AM
2 AM
 A'M 


 2a
0
A' M
cos 30
3
AA '
 tan A ' AM  tan 300 
 AA '  AM t an300  a
AM
a  2
1
1
Diện t ch tam giác A BC ằng 8: S A' BC  A ' M .BC  8  2a.2a  8  2a 2  8  
2
2
a  2 (loại)



cos A ' AM  cos 300 

 AA '  2

 S ABC  4 3

vậy: VABC. A' B 'C '  AA '.SABC  8 3 (đvtt)

2. Hình trụ (H) ngoại tiếp hình trụ ABC.A B C có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai
tam giác đ u ABC và A B C

Gọi O và O l n lư t là trọng tâm của tam giác ABC và A B C
A’
Ta có: AO 

O’

2
4 3
AM 
, do đó:
3
3

M’
B’

 Đường sinh của hình trụ (H): l  AA '  2
 Đường cao của hình trụ (H): h  OO '  2
 Bán

nh đáy của hình trụ (H): r  OA 

4 3
3

a. Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq  2 rl 
Diện tích một đáy: Sd   r 2 

C’

16
3

Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp  S xq  2Sd 
b. Thể tích của khối trụ: V   r 2 h 

32
(đvtt)
3

16 3
(đvdt)
3

A

C
O

M

B

16
2  3 (đvdt)
3





Bài 11. Cho hình l ng t ụ đ ng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông c n tại A. Biết
BC  a 2 và A ' B  3a
1. Tính thể tích khối l ng t ụ ABC.A B C
2. ọi ( ) là hình t ụ có đáy là đường t n ngoại tiếp tam giác ABC và A B C
a.
nh diện t ch ung uanh và diện t ch toàn ph n của hình t ụ đó
b.
nh thể t ch của hối t ụ đư c tạo i hình t ụ đó.


1. Thể tích khối lăng

ụ ABC.A’B’C’

AA '   ABC 

A’

VABC . A ' B 'C '  AA '.S ABC

C’

Tam giác ABC vuông cân tại A và BC  a 2 .
Ta có: 2 AB2  BC 2  2a 2  AB  a
Diện tích tam giác ABC: S ABC

B’

AB 2 a 2



2
2

am giác AA B vuông c n tại A:
AA ' 

A

A ' B 2  AB 2  2 2a

C

Vậy: VABC. A' B 'C '  AA '.S ABC  a3 2 (đvtt)

B

2. Hình trụ (H) ngoại tiếp hình trụ ABC.A B C có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai
tam giác vuông c n ABC và A B C
Gọi M và M l n lư t là t ung điểm của BC và B C
A’

C’

BC a 2
AM  BM  CM 

, do đó:
2

2
 Đường sinh của hình trụ (H): l  AA '  2 2a
 Đường cao của hình trụ (H): h  MM '  2 2a
a 2
 Bán nh đáy của hình trụ (H): r  AM 
2
a. Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq  2 rl  4 a2 (đvdt)

C

Diện tích một đáy: Sd   r 2 

M’
B’

A

 a2

M

2

Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp  Sxq  2Sd  5 a2 (đvdt)

B

b. Thể tích của khối trụ: V   r 2 h   a3 2 (đvtt)
Bài 12. Cho hình l ng t ụ đ ng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông c n tại B. Biết
AC  a 2 và góc giữa hai mặt phẳng (A BC) và (ABC) ằng 600

1. Tính thể tích khối l ng t ụ ABC.A B C
2. ọi ( ) là hình t ụ có đáy là đường t n ngoại tiếp tam giác ABC và A B C
a.
nh diện t ch ung uanh và diện t ch toàn ph n của hình t ụ đó
b.
nh thể t ch của hối t ụ đư c tạo i hình t ụ đó.
1. Thể tích khối lăng

ụ ABC.A’B’C’

AA '   ABC 

A’

C’

VABC . A ' B 'C '  AA '.S ABC

B’

Tam giác ABC vuông cân tại B và AC  a 2 .
Ta có: 2 AB2  AC 2  2a 2  AB  a
Diện tích tam giác ABC: S ABC 

AB 2 a 2

2
2

AA '   ABC   AA '  BC 


  BC   ABB ' A '
AB  BC 


A

C
600

(
B


 A ' B  BC

 A ' BC    ABC   BC 

A ' B   A ' BC  ; A ' B  BC   góc giữa 2 mặt phẳng  A ' BC  và  ABC  là

AB   ABC  ; AB  BC 

A ' BA  600

am giác AA B vuông tại A , ta có: AA '  AB.tan 600  a 3
Vậy: VABC . A ' B 'C '  AA '.S ABC 

a3 3
(đvtt)
2

2. Hình trụ (H) ngoại tiếp hình trụ ABC.A B C có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai
tam giác vuông c n ABC và A B C
M’
Gọi M và M l n lư t là t ung điểm của AC và A C
A’
AC a 2

, do đó:
2
2
Đường sinh của hình trụ (H): l  AA '  a 3

C’

AM  BM  CM 

B’


 Đường cao của hình trụ (H): h  MM '  a 3
a 2
2
a. Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq  2 rl   a2 6 (đvdt)

 Bán

nh đáy của hình trụ (H): r  AM 

Diện tích một đáy: Sd   r 2 

a

M

A

2

2

Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp  S xq  2Sd   a
b. Thể tích của khối trụ: V   r 2 h 

 a3 3
2

(đvtt)

2





6  1 (đvdt)

B

C