Bài giảng cơ học công trình xây dựng chương 4 trần minh tú

Trường Đại học Xây dựng

CƠ HỌC
CÔNG TRÌNH
XÂY DỰNG
Trần Minh Tú
Bộ môn Sức bền Vật liệu
Khoa Xây dựng DD & CN
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


1


Chương 4

THANH CHỊU XOẮN THUẦN TÚY
VÀ CHỊU UỐN PHẲNG

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


2

4.1. THANH TRÒN CHỊU XOẮN THUẦN TÚY

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


3


4.1. Thanh chịu xoắn thuần túy

NỘI DUNG
4.1.1. Khái niệm chung

4.1.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang
4.1.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
4.1.4. Điều kiện bền
4.1.5. Điều kiện cứng

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


4

Ví dụ thanh chịu xoắn

A

F
B

x

C

z
y
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


5


Ví dụ thanh chịu xoắn

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu

6


4.1.1. Khái niệm chung (1)
1. Định nghĩa
Thanh chịu xoắn thuần túy
là thanh mà trên các mặt cắt
ngang của nó chỉ có một
thành phần ứng lực là mô
men xoắn Mz nằm trong mặt
phẳng vuông góc với trục
thanh.
Ví dụ: Các trục truyền động, các
thanh trong kết cấu không gian,…

Ngoại lực gây xoắn: mô
men tập trung, mô men
phân bố, ngẫu lực trong
mặt cắt ngang
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


7


4.1.1. Khái niệm chung (2)
2. Biểu đồ mô men xoắn nội lực







Xác định mô men xoắn nội
lực trên mặt cắt ngang –
PHƢƠNG PHÁP MẶT CẮT
Qui ước dấu của Mz
Nhìn từ bên ngoài vào mặt cắt
ngang, nếu Mz có chiều thuận
chiều kim đồng hồ thì nó mang
dấu dƣơng và ngƣợc lại.
Mz nội lực trên mặt cắt ngang
bằng tổng mô men quay đối với
trục thanh của những ngoại lực
ở về một bên mặt cắt

M

z

0

Mz =

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Mz > 0

y

y

z

z
x

x
Tran Minh Tu


8


4.1.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (1)
1. Thí nghiệm
Vạch trên bề mặt ngoài
- Hệ những đường thẳng
// trục thanh
- Hệ những đường tròn
vuông góc với trục thanh
- Các bán kính
QUAN SÁT
- Các đường // trục thanh
=> nghiêng đều góc g so
với phương ban đầu

- Các đường tròn vuông
góc với trục thanh =>
vuông góc, khoảng cách
2 đường tròn kề nhau
không đổi
- Các bk trên bề mặt
thanh vẫn thẳng và có độ
dài không đổi
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

g
Tran Minh Tu


9


4.1.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (2)
GIẢ THIẾT
Gt1 – Gt mặt cắt ngang phẳng: mặt cắt
ngang trước biến dạng là phẳng và
vuông góc với trục thanh thì sau biến
dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục.
Khoảng cách giữa 2 mặt cắt ngang là
không đổi.
Gt2 – Gt về các bán kính: Các bán kính
trước và sau biến dạng vẫn thẳng và có
độ dài không đổi.
Vật liệu làm việc tuân theo định luật Hooke

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


10


4.1.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (3)
2. Công thức tính ứng suất
– Từ gt1 => ez=0 =>z=0
– Từ gt2 => ex=ey=0 => x=y=0
Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng
suất tiếp
– Ứng suất tiếp có phƣơng vuông góc
với bán kính, chiều cùng chiều mô
men xoắn nội lực

Mz
  
Ip

Mz – mô men xoắn nội lực
Ip – mô men quán tính độc cực

Mz



K

O



max

 – toạ độ điểm tính ứng suất
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


11


4.1.2. Ứng suất trên mặt cắt ngang (4)
– Biến thiên của ứng suất tiếp theo
khoảng cách  là bậc nhất => Biểu
đồ ứng suất tiếp
– Những điểm nằm trên cùng đƣờng
tròn thì có ứng suất tiếp nhƣ nhau.
– Ứng suất tiếp cực đại trên chu vi
mặt cắt ngang

 max

Wp 

 D4
32

/  D / 2   0,2 D3

Mz
Mz

.R 
Ip
Wp

– Wp =Ip/R là mô men chống xoắn
của mặt cắt ngang
Wp  0,2 D3 1   4 
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


12


4.1.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
Trƣớc biến dạng : ab//Oz;
• Chịu xoắn: ab => ac
j - góc xoắn tƣơng đối giữa hai mặt
cắt ngang cách nhau chiều dài L

g - góc trƣợt (biến dạng góc)
• Góc xoắn (góc xoay) tương đối
giữa hai mặt cắt ngang A và B
•

L

M z dz
M z dz


GI p
GI p
B
0

g

j AB

A

c
a

b

j

O

A

B
L

 rad 

G – mô-đun đàn hồi khi trƣợt của vật liệu
 GIp – là độ cứng chống xoắn của mặt cắt ngang


National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


13


4.1.3. Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
Mz
 const
 Khi trên đoạn AB chiều dài L có
GI p

j AB


M zL

GI p

Khi đoạn AB gồm n đoạn, trên mỗi đoạn
thứ i có chiều dài li :
n 
 Mz 
Mz 
j AB   

  const
 li

i 1  GI p 
 GI p i
i



Góc xoắn tỉ đối: góc xoắn giữa hai mặt cắt cách nhau 1 đ.v chiều dài

dj M z


[rad / m]
dz GI p
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


14


Bài tập - Ví dụ 4.1
•

Cho trục tròn có diện tích mặt cắt ngang thay
đổi chịu tác dụng của mô men xoắn ngoại lực
như hình vẽ
1. Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực
2. Xác định trị số ứng suất tiếp lớn nhất
3. Tính góc xoắn của mặt cắt ngang D
Biết M=5kNm; a=1m; D=10cm; G=8.103 kN/cm2
3M

C
2a

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

D

B

2D

M

D
a
Tran Minh Tu


15


Bài tập - Ví dụ 4.1

 3M  15kNm

C
2a

D
a

M

Đoạn BC  0  z2  2a 

CD
z

3M

D

z1

M zBC  2M  10kNm

M

BC
z

3M

M

C
z2

D

M

CD
z

B

D

1. Biểu

2D

đồ mô men xoắn
Đoạn CD  0  z1  a 

3M

M

D
a

15
10

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Mz
kNm
Tran Minh Tu


16


Ví dụ 4.1
2. Trị số ứng suất tiếp lớn nhất
CD

 max 

BC

M zBC

0, 2  2 D 

3

B

10  102
2


0,625(
kN
/
cm
)
3
0, 2  20

  max  7,5(kN / cm )
2

C
2a

D

M zCD
15  102
2



7,5(
kN
/
cm
)
3
3
0,2 D
0,2 10

2D

 max

3M

M

D
a

15

10

Mz
kNm

3. Góc xoắn tại D
CD
BC
M

a
M
 2a
j D  j BC  jCD  j D  z CD  z BC
GI p
GI p
15  102 102
10 102  2 102
jD 

 0,02(rad )
3
4
3
4
8  10  0,110 8 10  0,1 20

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu

17


4.1.4. Điều kiện bền - Điều kiện cứng
1.

Điều kiện bền
max  max

  
2.

0
n

Mz
 max
  
Wp

- 0 xác định từ thực nghiệm

Điều kiện cứng
 max

 Mz 

  

 GI 
 p max

 rad / m 

Nếu [] cho bằng độ/m => đổi ra rad/m

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


18


4.1.4. Điều kiện bền - Điều kiện cứng
3. Ba bài toán cơ bản:
a) Bài toán 1: Kiểm tra điều kiện bền (hoặc điều kiện
cứng)
Mz
 max 
  
Wp
b) Bài toán 2: Chọn kích thƣớc thanh theo điều kiện
bền (hoặc điều kiện cứng)
Wp 

Mz

 

c) Bài toán 3: Xác định giá trị cho phép của tải trọng tác
dụng (là giá trị lớn nhất của tải trọng đặt lên hệ mà
thanh vẫn đảm bảo điều kiện bền hoặc điều kiện
cứng)
M z  Wp . 
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


19


4.1.5. Bài toán siêu tĩnh
Bài toán siêu tĩnh
 Là bài toán mà nếu chỉ dùng các phương trình cân
bằng tĩnh học thì ta không thể xác định hết các
phản lực, cũng như các thành phần nội lực trong
thanh.
 Phương pháp giải: Viết thêm phương trình bổ sung
– phương trình biểu diễn điều kiện biến dạng
 Ví dụ: Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực

B
a

National University of Civil Engineering

www.nuce.edu.vn

d

A

2d

M
D

2a
Tran Minh Tu


20


Ví dụ 4.2

M zAB a M zBD 2a
j AD  j AB  j BD 

AB
GI p
GI pBD
MD  M a

M D 2a
j AD 


0
4
4
G  0,1  2d  G  0,1 d

MD 

1
M;
33

MA 

MA

B

d

A

MD

M

2d

• Giả sử phản lực tại ngàm
MA, MD có chiều như hình vẽ.

• Ta có: MA + MD = M
(1)
• Điều kiện biến dạng
jAD = 0
(2)

D

2a

a

CD

M zBD  M D
M

AB
z

Mz

 MD  M

MD
D

z

M/33

Mz

32
M
33
32M/33

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


21


Ôn tập
Kéo (nén) đúng tâm
Nội lực

Nz

Nz
z 
A

Ứng suất

Xoắn thuần túy

Mz
Mz


Ip

Phân bố

ứng suất
 z  const
National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

 max

Mz

Wp

Tran Minh Tu


22


Ôn tập
Kéo (nén) đúng tâm
Định luật
Hooke

 z  Ee z

Xoắn thuần túy

  Gg

Biến dạng
N z dz  N z L 
L  


EA
EA


0
L

n

Biến dạng

n

N zi Li
L   Li  
i 1
i 1  EA i

National University of Civil Engineering

www.nuce.edu.vn

M z dz  M z L 
j



GI p
0
 GI p 
L

n

n

i 1

i 1

j   ji  

M zi Li

 GI 

Tran Minh Tu


p i

23


4.2. THANH CHỊU UỐN PHẲNG

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


24


4.2. Thanh chịu uốn phẳng
NỘI DUNG
4.2.1. Khái niệm chung
4.2.2. Uốn thuần túy thanh thẳng
4.2.3. Uốn ngang phẳng thanh thẳng

National University of Civil Engineering
www.nuce.edu.vn

Tran Minh Tu


25