CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH TRONG MIỀN tần số

1
CHƯƠNG 3:

PHÂN TÍCH TRONG MIỀN TẦN SỐ
Tín hiệu và hệ thống rời rạc thời gian có thể phân tích trong miền tần số ta sẽ thấy một đặc điểm quan
trọng của hệ thống là đáp ứng tần số.
Phân tích Fourier liên tục thời gian bao gồm chuỗi Fourier và biến đổi Fourier chúng thì hữu
ích cho sự phân tích và thiết kế của tín hiệu và hệ thống liên tục thời gian. Sự phát triển của lý thuyết
xử lý tín hiệu số đặc biêt, biến đổi Fourier rời rạc, và xử lý tín hiệu số cũng như máy tín có thể phân
tích Fourier duy trì trong việc sử dụng.
Sau đây một sự tóm tắt ngắn gọn biến đổi Fourier liên tục thời gian, chuơng này sẽ đưa ra biến
đổi Fourier rời rạc thời gian bao gồm chuỗi Fourier rời rạc thời gian (DTFS) và biến đổi Fourỉe rời rạc
thời gian (DTFT). Phần kế tiếp sẽ thảo luận một khía cạnh quan trọng của DTFT đó là đáp ứng tần số
của hệ thống. DTFT thì liên quan với nhiều biến đổi phổ biến cho sự phân tích và thiết kế hệ thống rời
rạc thời gian, biến đổi z, một chủ đề của chuơng kế tiếp.
Để hòan thành bức tranh về biến đổi Fourier, phần cuối cùng đưa ra một giới thiệu biến đổi
Fourier rời rạc (DFT), đó là phiên bản tần số đuợc lấy mẫu của DTFT. DFT và những ứng dụng của nó
vuợt trội hơn những phân tích Fourỉe khác. Chúng thì đuợc nêu ra chi tiết trong chuơng 8.
3.1 CHUỖI FOURIER LIÊN TỤC THỜI GIAN (CTFS)

Phân tích Fourier liên tục thời gian bao gồm chuỗi Fourier và biến đổi Fourier, hoặc tích phân Fourier.
Phân tích Fourier liên tục thời gian khơng đuọec trình bày chi tiết nhưng sẽ là cái nhìn tổng qt.
3.1.1: Chuỗi lƣợng giác
Nhà tốn học nổi tiếng người Pháp Jean Baptiste Joseph Fourier đã minh họa rằng một sóng tuần hồn
có thể phân tích thành một chuỗi vơ hạn của những thành phần sin và cosin có những tần số là tích của
tần số cơ bản của sóng.

v(t)
x(t)

+A

0

-T0/2

-A

T0/2

T0

t

Hình
2.1: Dạ
sóngtuầ
tuầ
n ichu
Hình.3.1:
Mộntgsóng
n nhồhoà
n vớ
chu kỳ
kỳ TT0 o
Bắt đầu với tín hiệu thời gian x (t ) (Hình.3.1), tuần hồn tại chu kỳ T0 (s) hoặc tần số gốc
 0  2 / T0 (rad/sec) hoặc tần số F0 = 1/T0 (Hz). Khai triển lượng giác là




n 1

n 1

x( t )  a 0  a n cos n 0 t   bn sin 0 t

Ở đây những hệ số được cho bởi

(3.1)


2
1 T0 / 2
x( t )dt

T0 T0 / 2

a0 

(3.2a)

2 T0 / 2
x( t ) cos n 0 tdt

T0 T0 / 2
2 T0 / 2
bn 
x( t ) sinn 0 tdt

T0 T0 / 2

an 

(3.2b)
(3.2c)

Tích phân trên giới hạn ở –T0/2 và T0/2, nhưng giới hạn khác có thể được sử dụng cùng với khoản cách
giữa chúng là chu kỳ T 0, ví dụ 0 và T0.
Những thành phần khai triển chứa đựng ý nghĩa sau:
 a0 : Trung bình của tín hiệu (hoặc thành phần DC)
 a1cos  0t + b1sin  0t : Thành phần cơ bản (nhớ tổng của hai sin có cùng tần số là sin tại tần
số đó, (xem phần (3.3)) , hoặc họa tần thứ nhất.
 a2cos0t + b2sin0t : Họa tần thứ hai
 a3cos0t + b3sin0t : Họa tần thứ ba
…
Ví dụ 3.1.1
Tìm chuỗi Fourier cho sóng vuông đối xứng hình 3.2
Giải
Ta quan sát trực tiếp rằng thành phần DC là 0 vì phần dương và âm của tín hiệu bằng nhau.
a0 =0
Tất nhiên, khi sử dụng công thức (3.2a), ta sẽ có cùng kết quả. Kế đến, vì sóng là bất đối xứng, có
nghĩa, đối xứng qua gốc, thành phần cosin bằng 0:
an =0 ,
với tất cả n
v(t)

+A

T0/2

0

T0/2

T0

-A
Hình.3.2 : Ví dụ 3.1.1 (sóng vuông đ ố i xứ ng)
Thành phần sin còn lại được cho bởi

bn 

4 A T0 / 2
sin n tdt
0
T0 0



4A 1
cos n0t T00 / 2
T0 n0



4A 1
cos n0t T00 / 2
T0 n0



 4A 1
1  1  0 ,
2 n

n even

t


3
 4A 1
 1  1  4 A 1 , n lẻ
2 n
2 n
Những hệ số bn có thể đặt trong hình thức ngắn gọn:
4A
1
,
n = 1, 2, 3, …
bn 
 (2n  1)
Vì vậy chuỗi Fourier là
 4A
1
n = 1, 2, 3, …
x(t )  
sin(2n  1) 0 t ,
n 1  (2n  1)



4A 
1
1

 sin  0t  sin 3 0t  sin 5 0t  ... 
 
3
5


bn
4A / 

1

1/3

1/5
1/7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

/0

Hình.3.3: Ví dụ 3.1.1 (Phổ biên độ )
Hình 3.3 là hình vẽ những hệ số được chuẩn hóa tương ứng với sự chuẩn hóa tần số gốc.
Ta biết rằng tổng của hai sin có cùng tần số là một sin cùng tần số đó, đặc biệt

b

a cos t  b sin t  a 2  b 2 cos t  tan 1 
a


(3.3)

Vì điều này, công thưc (3.1) có thể thay đổi sang dạng của biên độ và pha:


x( t )  c0   c n cos( n 0 t  Φ0 )

(3.4)

n 1

Với

c0  a0

(3.5a)

c n  a n2  bn2

(3.5b)

 n  tan1

 bn
an

(3.5c)

Trong sự phân tích này ta có thể nhận thấy c 0 là thành phần trung bình, c1 cos(0 t  1 ) thành phần
tần số cơ bản, và c2 cos(20 t   2 ) họa tần thứ hai...
Hình vẽ của những hệ số so với tần số là phổ biên độ (Hình 3.3), và hình vẽ pha  n so với tần
số là phổ pha. Cả hai phổ là rời rạc hoặc phổ đường.
Ví dụ 3.1.2
Tìm phân tích Fourier của sóng trong ví dụ 3.1.1 trong hình thức biên độ và pha.
Giải
Những hệ số là


4

c0  a0
a n2  bn2 = bn

cn =

 bn
= – 90O ( = –/2)
an
Phổ biên độ như trước, phổ pha được cho trong hình 3.4
n = tan-1

n
0



1

2

3

4

5

6

7  / 0


2
Hình.3.4: Ví dụ 3.1.2 (Phổ pha)

Sự phân tích diễn tả như sau:





4A 1
cos ( 2n - 1) 0t  900
n 1  2n - 1

x (t )  





4A 1
cos(2n - 1) 0t
n 1  2n - 1





3.1.2 Khai triển dạng mũ

Khai triển Fourier dạng mũ phức được dùng hơn vì nó thể hiện được biên độ và pha, dẽ liên hệ với
biến đổi Fourier.

x( t ) 



X

n

e jn0t

(Tổng hợp công thức)

(3.6)

n  

Hai thành phần đối xứng X n và X n luôn luôn xuất hiện theo cặp và tổng của mỗi cặp là thực. Sự
liên hệ giữa mũ phức và hệ số lượng giác là
X 0  a0  c0
(3.7a)

an  jbn c n jn

e
2
2
a  jbn c n  jn

Xn  n

e
2
2

Xn 

(3.7b)
(3.7c)

Những hệ số X n có thể được tính trực tiếp từ

Xn 

1
T0



TO

0

x(t)e  jn0t dt

(phân tích công thưc)

(3.8)

Ngưỡng của tích phân có thể là - T0 / 2 và T0 / 2 thay vì 0 và T như trên
Vì những hệ số X n là nói chung là phức, ta viết

X n  X n e jn

(3.9)

Biến thiên của Xn là phổ biên độ, biến thiên của  n là phổ pha của tín hiệu. Với một tín hiệu thực,
phổ biên độ là đối xứng chẵn (đối xứng) và phổ pha là đối xứng lẻ (bất đối xứng)


5
Ví dụ 3.1.3
Tìm khai triển Fourier của chuỗi xung đồng nhất.
Giải
Xét một chuỗi xung đồng nhất A(t ) trong khoản chu kỳ T0 (Hình.3.5a):

x (t ) 



 A(t  kT )
0

k  

Những hệ số khai triển được cho bởi

Xn 

1
T0

x(t)

–2T0

–T0



T0 /2

T0 /2

A(t )e jn0t dt 

1
T0







A(t )e jn0 0 dt 

Xn

A

0
(a)

A
T0

T0

2T0

t

–2

–1

A/T0

0
(b)

1

2

 / 0

Hình.3.5: Ví dụ 3.1.4 (tín hiệu và phổ của nó)

Hình.3.5 là phổ biên độ. Từ những hệ số ta có thể tổng hợp tín hiệu như:
A  jn0t
x(t ) 

e
T0 n  
3.1.3 Hàm sinx/x
Xem sự phân tích Fourier, đây là một hàm đặc biệt sinx/x (hoặc hàm sincx , hoặc hàm Sa(x) ). Chú
ý ở đây ta viết sinx / x to nghĩa hoặc sin(x) / x . Biến thiên trên sinx/x với x được chỉ trong hình 3.6.
Nó là một hàm đối xứng với vùng đơn vị, có giá trị lớn nhất là 1 tại gốc, và 0 xuyên qua tại khoảng .
Khoản cách giữa gốc và điểm không đầu tiên là .
sinx/x

1.0

0.8
0.6
0.4
0.2

–4

–3

–2

–

0

0.1284



2
– 0.2178

Hình.3.6: Hàm sinx/x (hoặc sincx, hoặc Sa(x))

3

4

x


6
Hàm dao động và hủy dần. Đỉnh nhỏ nhất đầu tiên có giá trị -0.2178, và đỉnh lớn nhất có giá trị
0.1284.
Điểm 0 xuyên qua là xác định như sau:
sin x
0
x

 sin x  0

 x  n , n = 1, 2, 3,...

sinx = 1  x = (2n + 1)


,
2

n = 1, 2, 3, …

Một vài giá trị đỉnh đầu tiên là x  3 / 2, x  5 / 2,... Chú ý rằng, đây là giữa của điểm 0. Tuy
nhiên, vì sự hủy 1/x những giá trị đỉnh không xuất hiện chính xác ở giữa mà hơi sớm hơn.
Một số tác giả, vẽ hàm sin  x /  x thay vì sin x / x được sử dụng ở đây.
Ví dụ 3.1.4
(a) Tìm khai triển hệ số Fourier của sóng vuông đối xứng được đưa trong hình 3.7a, và vẽ phổ
biên độ cho trường hợp  / T0  1 / 6 .
(b) Lặp lại câu hỏi trên khi sóng vuông bị làm chậm để xung trung tâm bắt đầu tại t=0
x(t)



A
-T0/2

T0/2

-T0

-/2

0

T0

/2

Hình.3.7a: Ví dụ 3.1.4 (Sóng vuông đối xứng chẵn )
Giải
(a) Những hệ số là

Xn 

1
T0



T0 /2

T0 /2

Ae jn0t dt 

A /2  jn0t
e
dt
T0 /2
 /2

A  e jn0t 
A 2sin n0  / 2
 



T0   jn0   /2 T0
n0
Thay 0  2 / T0 ta có

Xn 

A sin n / T0
T0 n / T0

Cái này có hình thức hàm sinx/x với x  n / T0 . Cực đại xuất hiện tại gốc n = 0 và có
X0 = lim X n =
n 0

A
A
1=
T0
T0

Hình. 3.7b vẽ phổ biên độ cho trường hợp  / T0 = 1/6. Chú ý đường bao sinx/x

t


Xn

A/6

7
envelope

-18 -15 -12

-6 -4 -2 0

2

4

6

 / 0

12 15 18

Hình.3.7b: Ví dụ 3.1.4 (Phổ biên độ khi  / T0  1 / 6 )
(b) Bây giờ, sóng vuông được làm chậm (dịch sang phải) bởi  / 2 và xuất hiện như trong
hình 3.7c. Những hệ số phân tích

1
Xn 
T0



/2

0

Ae

 jn0t

x(t)

-T0

-T0+



 1
 jn0t 
  jn e

0

0
A sin n / T0  jn / T0

e
T0 n / T0

A
dt 
T0



A

T0



0

T0+

t

Hình.3.7c: Ví dụ 3.1.4 (Sóng vuông được dịch)

Xn

A/6

envelope

-18

Vì e

 jn / T0

-12

-6

-2 0

2

6

12

18

n

Hình.3.7d: Ví dụ 3.1.5 (phổ biên độ của sóng vuông được dịch)

 1 biến thiên biên độ giống chính xác như trên. Trong hình 3.7d ta vẽ phổ biên độ thay

vì phổ pha. Độ lớn là giá trị tuyệt đối (chỉ dương), ngược lại biên độ là giá trị có dấu. Vì thừa số pha
xuất hiện trong X n , phổ pha thì khác (xem ví dụ 3.2.1 sau)



8
3.1.4 Hiệu ứng Gibbs (Hiện tƣợng Gibbs)
overshoot

undershoot
Fig.3.8: Gibbs effect in Fourier expansion
Vì chuỗi khai triển là vô hạn, trong thực tế ta phải bỏ những họa tần cao. Đây là sự cắt cụt. Khi tái tạo
(tổng hợp) tín hiệu từ chuỗi được cắt cụt ta sẽ không lấy được lại tín hiệu gốc. Nó minh họa rằng khai
triển Fourier là tối giản, nghĩa là lỗi bình phương trung bình (MSE) giữa tín hiệu gốc và tín hiệu tái tạo
từ chuỗi cắt cụt là nhỏ nhất so với những khai triển khác có cùng hệ số. Vì vậy khai triển Fourier, tất

nhiên số họa tần lấy được ít lỗi hơn. Nhưng một sự thật đáng chú ý là ở đây luôn có hiện tượng
overshot và undershot tại sự thay đổi đột ngột của sóng tín hiệu (hình 3.8), dù số họa tần là lớn. Đây
là hiệu ứng Gibbs, hoặc hiện tượng Gibbs. Với một sống vuông overshoot và undershoot là khoảng
9% (hình 3.8). Trong hình 3.9 sóng gốc tam giác được so sánh với sóng tái tạo từ bẩy thành phần khai
triển đầu tiên. Từ điều này ta có thể đoán sự nẩy sẽ vẫn rõ dù hàng tá hoặc nhiều họa tần được lấy,
được biệt tại thời gian thay đổi đột ngột. Thực ra, hiện tượng Gibbs bao gồm sự nẩy và overshoot,
undershoot.

1/2
Sóng tam giác
gốc

0

-1/2

T0

2T0

t

tt

Sóng tam giác
tái tạo

Hình.3.9: Sóng tam giác gốc và songs tái tạo từ bảy thành phần khai triển đầu tiên.

3.2 BIẾN ĐỔI FOURIER LIÊN TỤC THỜI GIAN (CTFT)

Khai triển chuỗi Fourier của một tín hiệu cho ta cấu trúc tần số tín hiệu. Nhưng không may mắn, khai
triển chuỗi Fourier chỉ áp dụng với tín hiệu tuần hoàn trong khi đó những tín hiệu thực sự hầu như
không tuần hoàn (tuần hoàn trong một thời gian ngắn, không lặp lại…) và biến đổi Fourier (hay tính
phân Fourier) được phát triển cho tín hiệu không tuần hoàn.
3.2.1 Đôi biến đổi Fourier
Hình.3.10 chỉ sự cải tiến từ chuỗi Fourier đến biến đổi Fourier. Trong công thức (3.6) ta thay
 0 bằng 2F0 , và viết X (nF0 ) với X n , thì


9

x(t)
v(t)
Tuần
hoànn
tuaà
n hoaø

Chu kỳ trung tâm

x(t)
v(t)
aperiodic
khoâng tuaàn hoaøn

T0
-T0/2 0 T0/2

t

X(nF0)
)
V(nf
0
FF
 1 /T0 T0
0  1/
f00 =1/T
0

original
triangular wave
reestablished
triangular0

t

X(F)
V(f)

T0

dF
df

-f
-F00 00 fF
00

Ff

nF0

0

f F

f
F

Hình.3.10: Cải tiến từ chuỗi Fourier sang biến đổi Fourier


 X(nF )e

x( t ) 

j2 nF0 t

(3.10)

0

n  

Hệ số phân tích tƣơng ứng (công thức (3.8)) là
1 T0 / 2
 j 2 nF0t
X (nF0 ) 
dt

T0 / 2 x(t )e
T0

(3.11)

Tín hiệu tuần hoàn có phổ rời rạc. Bây giờ ta thay công thức phân tích X (nF0 ) vào công thức tổng
hợp:

1




x(t )e  j 2 nF0t dt e j 2 nF0t
T0 / 2


 T 


x (t ) 

n  

0

T0 / 2

Lấy T0   để đẩy tất cả chu kỳ hai bên của chu kỳ trung tâm x(t) đến vô hạn, điều này biến tín hiệu
tuần hoàn thành một tín hiệu không tuần hoàn. Mặt khác, khi chu kỳ T0   , 1 / T0  dF (một đại

lượng vô cùng nhỏ), nF0  F (tần số tương tự) và sự giới hạn  T0   , phổ rời rạc trở thành liên
tục. Vì vậy khi T0   ,


 dF

x(t) =

n  





x( t )e  j2 Ft dt e j2 Ft


Thành phần trong ngoặc, bằng định nghĩa, là biến đổi Fourier (tích phần Fourier) X (F ) của x (t ) .
Vì vậy



X ( F )    x( t )e  j 2Ft dt

(CTFT) ( công thức phân tích)

(3.12)

Biến đổi ngược

x( t ) 



 dFX(F)e

j2 Ft

n  

Hoặc

x t  =

∞

-∞ x F e

j2πFt

dF

(ICTFT) (công thức tổng hợp)

x(t ) và X (F ) hình thành một đôi biến đổi Fourier (CTFT):
CTFT
x(t ) 
 X (F )

(3.13)

(3.14)


10
3.2.2 Phổ biên độ và phổ pha
Biến đổi Fourier X (F ) nhìn chung là phức, ta viết
(3.15a)
Với X (f ) là phổ biên đ ộ , và (F ) phổ pha

X (F ) 

X R2 ( F )  X I2 ( F )

( F )  tan 1

(3.15b)

X I (F )
X R (F )

(3.15c)

Nó cho thấy nếu tín x (t ) là thực thì X R (F ) đối xứng (cũng được gọi là đối xứng chẵn hoặc đối xứng
dương) và X I (F ) là bất đối xứng (đối xứng lẻ hoặc đối xứng âm), vì vậy phổ biên độ X ( F ) là đối
xứng và phổ pha bất đối xứng:
X(F)  X(  F)

( F )  ( F )

và

(3.16)

Ví dụ 3.2.1
(a) Tìm biến đổi Fourier, phổ biên độ và phổ pha của một xung chũ nhật đối xứng có độ lớn
A và chiều rộng .
(b) Áp dụng kết quả trên để tìm biến đổi của xung đơn vị (t) (Hàm delta Dirac).
(c) Lặp lại câu hỏi khi xung làm chậm đi t0.
Giải
(a) Xung nêu ra được vẽ trong hình Fig.3.11a. Nó được chú thích như
  
x(t) = Ap  , 
 2 2

x(t – t0)

x(t)
A

A






2



0


2

t

0

t0 


2

Hình.3.11a: Ví dụ 3.2.1 (Xung và sự trễ của nó)
Biến đổi Fourier CTFT
X(F) =







x(t)e j 2 Ft dt =



 /2

 /2

Ae j 2 Ft dt
 /2

 e j 2 Ft 
sin F
= A
= A

F
  j 2F  /2

t0

t0+


2

t


11

X f 
A



4




3


2






1


(f)
4



3



2




1


0

1



2


3


4


F


0
–

1


2



3


4


F

Hình.3.11b: Ví dụ 3.2.1 (Phổ biên độ và phổ pha)
Notice that the result has the form of sinx/x function. The magnitude spectrum is
X(F) = A

sin F
sin F
= A
F
F

For the amplitude spectrum we leave its negative part as is (that is,. we do not take the alsolute value)
(Fig.3.11b).
As X(F) is a real function, its phase is zero at all frequency. But in Fourier analysis the phase
spectrum is interpreted differently. That is for a real function, the phase spectrum is zero for positive
value and is  for negative value. Besides, to ensure the phase spectrum is an antisymmetric function,
the phase is understood to be + for positive frequency and - for negative frequency (Fig.3.11b).
(b) In order to find the transform of (t) we consider the amplitude A as 1/, hence the
spectrum of the rectangular pulse of amplitude 1/, width , is
1 sin F
sin F

X(F) = 
=

F
F
Now let   0 then X ( F )  1 which is the transform of (t ) :

(t )  1
The amplitude spectrum is 1 at all frequencies and the phase spectrum is zero. From the amplitude
spectrum of the rectangular pulse of Fig.3.11b, as   0 the points 1/ and -1/ go to  and the
central lobe extends to  and the amplitude spectrum of (t) is 1 for all frequencies.
(c) The delayed pulse is denoted as



x(t – t0) = Ap t 0  , t 0  
2
2


Its CTFT is


12
t0  /2

t0   / 2
Ae  j 2 Ft dt
t0   / 2

X(F) = 

 e j 2 Ft 
= A

  j 2F  t0  /2
= A

sin F  j 2 Ft 0
e
F

Chú ý sự xuất hiện của thừa số pha e  j 2Ft 0 . Đáp ứng biên độ thì chính xác như trong (a). Tuyên nhiên
sự xuất hiện của thừa số pha làm khác phổ pha Nó được hiểu như

 sin F

 2Ft 0 

F




(F) =  

Φ(F)





4




3




2




1


1


2


3


0

4


F
–

Hình.3.11c: Ví dụ 3.2.1 (Phổ pha của xung trễ)
Với  chú thích là phổ pha (hoặc đối số). Phổ pha được chi tiết như sau:
sin F
(F) = – 2Ft0
,
> 0 and F > 0 or F < 0
F
sin F
= – 2Ft0 + 
,
< 0 and F > 0
F
sin F
= – 2Ft0 – 
,
< 0 and F < 0
F
Chú ý rằng phổ pha (hình 3.11c) là bất đối xứng
3.2.3 Một số thuộc tính của CTFT
Biến đổi Fourier liên tục thời gian có nhiều thuộc tính giúp ta tìm biến đổi Fourier nhanh hơn sự sử
dụng định nghĩa của nó. Sau đây chỉ là một vài thuộc tính thông thường được đề cập.
(a) Tuyến tính

a1 x1 ( t )  a2 x2 ( t )  a1 X 1 ( F )  a2 X 2 ( F )

(3.17)

a1, a2 là hằng số
(b) Dịch thời gian

x( t  t0 )



X ( f )e  j 2Ft0

(3.18)

Khi tín hiệu bị chậm bởi t 0 biến đổi của nó dịch pha đi 2Ft 0 .
(c) Dịch tần số (đƣợc gọi là lý thuyết điều biến)

x( t )e j 2F0t



X ( F  F0 )

Khi tín hiệu có pha dịch đi bởi +2Ft0 biến đổi của nó dịch tần số đi F0.
Ví dụ 3.2.2
Tìm phổ biên độ của tín hiệu điều biến biên độ (AM)
x(t) = m(t) cos2Fct

(3.19)

13
Với phổ của tín hiệu tần số thấp trình bày thông tin thì được biết, và cos2Fct là sóng mang (Tần số
của nó là Fc lơn hơn nhiều tần số của m(t)). Điều biến biên độ trên được gọi là DSB-SC (double
sideband with suppressed carrier).

Hình.3.12: Ví dụ 3.2.2 (Phổ của m(t) và x(t))
Giải
Phổ biên độ M(f) của thông tín điều biến m(t) được giả sử như trong hình 3.12 với FM là tần số lớn
nhất của nó. FM nhỏ hơn nhiều so với tần số sóng mang FC. Biểu diễn thành phần cosin trong dạng mũ
phức
1
1
m(t )e j 2 FC t  m(t )e  j 2 FC t
2
2
Áp dụng thuộc tính dịch chuyển tần số sẽ có phổ của tín hiệu AM như

x(t) = m(t) cos2Fct =

X (F ) 

1
1
M ( F  Fc )  M ( F  Fc )
2
2

Vì vậy phổ của x(t) là phổ của m(t) được dịch đến tần số –FC và FC và với biên độ bằng với nửa biên

độ của m(t) (Hình.3.12) ■
(d) Nhân chập thời gian (cũng đƣợc gọi là lý thuyết nhân chập)
Nhân chập của hai tín hiệu x1(t) và x2(t), chú thích x1(t)  x2(t), được định nghĩa như


x1 (t )  x2 (t )   x1 (t ' ) x2 (t  t ' )dt'

(3.20)

Nó có thể được minh họa

x1 ( t )  x2 ( t )  X 1 ( F ) X 2 ( F )

(3.21)

Điều này có nghĩa nhân chập trong miền thời gian tương ứng với nhân thường trong miền tần số.
Liên hệ với nhân chập thời gian, đây là kết liên hệ hữu ích

x( t )  ( t )  x( t )

(3.22)

i.e nhân chập thời gian một tín hiệu x(n) với xung đơn vị (t) là chính tín hiệu x(n). Sự đảo ngược của
nhân chập thời gian được phát biểu như:

x1 ( t ) x2 ( t )  X 1 ( t )  X 2 ( t )

(3.23)

(e) Định lý Parseval

Định lý này cân bằng năng lượng tín hiệu trong miền thời gian so với miền tần số:

E





x( t ) dt  
2





2

X ( F ) dF

(3.24)


14
3.2.4 CTFT của những tín hiệu cơ bản
Đôi biến đổi Fourier thông thường được đề cập với những hình vẽ được minh họa nhưng không có
bằng chứng.
(a) Xung hẹp t
Đây là xung có biên độ 1 và độ rộng rất nhỏ. Biến đổi là

t  t

(3.25)
X(F
)

t
1

t

Siêu nhỏ

t

0

F

0

Hình.3.13: Xung hẹp t
(b) Xung đơn vị (t )
Đây là hàm delta Dirac, không phải xung được đề cập bên trên, biến đổi là

( t )  1
X(f)

(t)

1

1

0

t

F

0

Hình.3.14: Xung đơn vị (t)
(c) Hằng số
Biến đổi là

A  A( F )  A( F )
x(t) = A

(3.26)
X(F) = A(F)

A

0

A(t)
t

0

F

Hình.3.15: Hằng số
(d) Mũ nhân quả
Đây là hàm
x(t) = e–at ,
0 ,

t0
t<0

(3.27)

Biến đổi
X(F) =
Vì vậy phổ biên độ

1
a  j2 F

(3.28)


15

1
=
a  j 2F

X (F ) =

1
a 2  2F 

2

e-at

X(f)

a

a

0

t

0

F

Hình.3.16: Mũ nhân quả
(e) Bậc đơn vị
Sự biến đổi và phổ biên độ tương ứng là
X(F) =

1 1
1
(F) +

2
2 j F

X (F ) 

1 2
 1 
 (F )  

2
 F 

(3.29)
2

X(F)

u(t)
1

0

t

0

F

Hình.3.17: Bậc đơn vị
(f) Cosin và Sin

Cosin Acos2F0t có biến đổi Fourier
A
A
X(F) = (F  F0 )  (F  F0 )
2
2
Nếu cosin được viết AcosΩ0t biến đổi là

(3.30a)

X ()  (   0 )  (   0 )
Acos2f0t

A/2

-T0/2

X(f)

(3.30b)
A/2

T0/2
0

t

-F0

0

F0

Hình.3.18: Hàm cosin
Tương tự, biến đổi của sin sin2F0t và sin sin  0 t tương ứng là
X( f )  j

A
A
( F  F0 )  j ( F  F0 )
2
2

x(Ω)=jπδ(Ω-Ω0 )+jπδ(Ω-Ω0 )

(3.31a)
(3.31b)

t


16
3.3 ĐÁP ỨNG TẦN SỐ CỦA HỆ THỐNG LIÊN TỤC THỜI GIAN
Hệ thống liên tục thời gian có đặc tính là đáp ứng xung. Trong miền thời gian ngõ ra tín hiệu y(t) của
hệ thống là nhân chập của tín hiệu vào x(t) với đáp ứng xung h(t):

y( t )  x( t )  h( t )
Bằng lý thuyết nhân chập, công thức trên được biến đổi sang miền tần số như:

Y ( F )  X ( F )H ( F )

(3.32)

Với H(F) là biến đổi Fourier của đáp ứng xung h(t), là đặc tính của hệ thống và được gọi là đáp ứng
tần số. Từ công thức trên ta viết.
Y (F )
(3.33)
H (F ) 
X (F )
Bây giờ đáp ứng tần số có thể tính như tỉ số của biến đổi Fourier của tín hiệu ngõ ra với biến đổi
Fourier của tín hiệu vào. Đáp ứng tần số, nhìn chung, phức và ta viết.

H ( F )  H ( F ) e j ( F )

(3.34)

Với H (F ) là đáp ứng biên độ và Φ(F) là đáp ứng pha. Ví dụ, với hệ thống tương tự lý tưởng ngõ ra
y(t) tương ứng với ngõ vào là
y(t) = Gx(t – t0)
(3.35a)
Với G là thừa số tỉ lệ (độ lợi), và t 0 thời gian trễ. Công thức trên đưa đến biến đổi Fourier là
Y(F) = GX F e 2Ft O

thì
H (F ) 

Y (F )
 Ge 2 Ft 0
X (F )

(3.35b)

H(F)

(F)
G
0

0

F

F
Hình.3.19: Hệ thống lý tưởng

Vì hệ thống lý tưởng, đáp ứng biên độ H(F) là hằng số, độc lập của tần số, và đáp ứng pha Φ(F) = 2Ft0 = -2t0F tỉ lệ với tần số F (Hình.3.19), hệ thống như có pha tuyến tính. Với hệ thống thực (
nghĩa là hệ thống đáp ứng xung có giá trị thực) đáp ứng biên độ là đối xứng, và đáp ứng pha là bất đối
xứng (3.16).
3.4 CHUỖI FOURIER RỜI RẠC THỜI GIAN (DTFS)
Chuỗi Fourier rời rạc thời gian (DTFS) áp dụng chỉ cho tín hiệu tuần hoàn nhưng hầu hết tín hiệu thực
là không tuần hoàn. Hơn nữa nó không áp dụng cho hệ thống. Ở đây có hai lý do tại sao DTFS hạn chế
sử dụng và ta sẽ đi nhanh qua phần này
Một chuỗi tuần hoàn (tín hiệu rời rạc thời gian) có chu kỳ N (trong hình 3.20 N=8) có thể diễn
tả toán học như
x(n)  x(n  N ) ,
với tất cả n
(3.36)
Tín hiệu có thể mở rộng thành một chuỗi của N thành phần.

17
x n  

N 1

 ak e

j

2
kn
N

k 0

, n = 0, 1, 2,…, N – 1

(Công thức tổng hợp) (3.37)

Để thuận tiện mũ có thể viết như j 2kn / N nhưng viết như trên mang nhiều ý nghĩa hơn. Những hệ
số a k là thành phần tần số (hoặc phổ) (hoặc hệ số) của x(n) và được cho bởi
2

 j kn
1 N 1
 x ne N , k = 0, 1, 2, ..., N – 1 (công thức phân tích) (3.38a)
N n 0
Thừa số 1/N có thể thêm vào công thức tổng hợp, hoặc công thức phân tích như trên. Chú ý một tín
hiệu tuần hoàn N mẫu được mở rộng sang cùng thành phần phổ. Ngược lại một tín hiệu tuần hoàn liên
tục thời gian được mở rộng thành một số vô hạn của sin. Cũng như vậy, chuỗi như định nghĩa bởi

công thức (3.37) là tuần hoàn với chu kỳ N, điều này hoàn toàn ngược với chuỗi liên tục thời gian.

ak 

Chu kỳ N = 8 Mẫu

x(n)
...

1

2

3

3

2

1

-4 -3 -2 -1 0

1

3
1

2 3

2

1

4 5

2

6 7

3
1

8

2

1

9 10

...
n

Hình.3.20: Tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ 8 mẫu
Để tìm những hệ số a k ta thường xem chu kỳ tín hiệu từ n = 0 đến N-1, sau đó tính thành phần
thực Re a k , thành phần ảo Im a k , kế đến là biên độ a k và pha  k :

a k  Re 2 a k   Im2 a k 

 k  tan 1

(3.38b)

Ima k 
Rea k 

(3.38c)

Ví dụ 3.4.1
(a) Xem một chuỗi tuần hòan gồm 64 mẫu với mẫu đầu tiên là mẫu đơn vị (t ) và kế là 63
mẫu zero (Hình.3.21a). Tìm phổ biên độ và phổ pha.
(b) Bây giờ, mẫu đơn vị xuất hiện tại n 0 thay vì tại gốc. Tìm phổ biên độ và phổ pha mới
Giải
(a) Hệ số a k là

ak 

1
N

N 1

 x ( n )e
n 0

j

2 
kn

N

2

 j kn
1 N 1
(n)e n

N n 0
1  j 2  kn
1
1
 e N n 0  
, k  0, 1, 2,..., 63
N
N 64




N=64

(a)

1
x(n)
0

(b)



N=64

...


63

...


64


127

N=64

N=64

...

...



128

k

18

128

k

1/N

ak

(c)

0

Φk

63



64



0

63

64

127


128
127

k

Hình.3.21: Ví dụ 3.4.1 (Chuỗi mẫu đơn vị tuần hoàn với N=64 và
phổ biên độ và phổ pha )
Vì vậy, phổ biên độ bằng 1/64 tại mọi giá trị của k (Hình.3.21b) và phổ pha bằng 0 tại những giá trị
khác k (Hình 3.21c).
(b) Bây giờ, nếu mẫu đơn vị xuất hiện tại n  n0 hệ số phổ trở thành

ak 

2
 j kn
1 N 1
1  j 2N kn0
N

n

n
e

e
, k  0, 1, 2,..., 63




0
N n 0
N

Hình thức của phổ biên độ và phổ pha là
1
ak 
N
2
radians
k  
kn0
N

k

32
0

64

63

-
0

Hình.3.22: Ví dụ 3.4.1 (Phổ biên độ của chuỗi trước khi làm chậm đi một mẫu)
Vì vậy phổ biên độ thì giống như trước nhưng phổ pha thay đổi với k nếu n 0 cố định. Ví dụ n0  1 ,

phổ pha là
2
k  
k radians
64
Pha tăng theo k. Tại k = 0,  0  0 ; tại k  32 ,  32   ; tại k  64 ,  64  2 . Thật ra, pha được
hiểu trong khoản [, ] (ví dụ 1.4.1), Vì vậy tại n =32 pha đạt tới   và  , ngược lại, pha giảm đến
0 thay vì 2 tại n = 64 (Hình.3.22)

3.5 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC THỜI GIAN (DTFT)
Bây giờ ta thảo luận biến đổi Fourier rời rạc thời gian (DTFT) mà giống như biến đổi Fourierr liên tục
thời gian (CTFT) của hệ thống và tín hiệu liên tục.
Ta có thể cải tiến DTFS có phổ rời rạc thành DTFT có phổ liên tục như cách ta đã làm để
CTFS thành CTFT (phần 3.2.1). Đôi biến đổi được chú thích như

k


19
DTFT
x(n) 
 X ()

Với biến đổi và biến đổi ngược tương ứng

X  



 xne

 jn

(DTFT) (công thức phân tích)

(3.39)

n 

x n 

1 
X e jn d



2

(IDTFT) (Công thức tổng hợp)

(3.40)

 là tần số gốc số đơn vị radians/mẫu (phần 1.4.2). Dải của nó [-,] tương ứng với khoảng Nyquist
[-fs/2, fs/2] với tần số tương tự F , với fs là tần số lấy mẫu (tốc độ lấy mẫu). Ta có thể cần nhìn lại
công thức (1.39), (1.40) và (1.41) cho sự liên hệ giữa tần số gốc và tần số tương tự, bao gồm tần số lấy
mẫu.
Bên trên, ta vừa đề cập đôi biến đổi, bây giờ ta sẽ kiểm tra rằng hai công thức thật sự là một
đôi biến đổi. Để làm điều này, ta chỉ đưa ra công thức phân tích, công thức tổng hợp được giữ, hoặc
ngược lại. Để thay RHS của công thức phân tích vào RHS của công thức phân tích:
1 π

1 π 
j ωn
 j ωn j ωn
e dω
π X e d ω 
π  x(m)e
2π
2 π m
Sau đó ta thay đổi trật tự của tích phân và lấy tổng
1 
1 
  j( n  m )
jn
d
 x(m)  e
 X ()e d 
2
2 m

Dựa vào thuộc tính trực giao của mũ , tích phân trên RHS là 0 với n  m và bằng 2 với n = m. Như
kết quả RHS dẫn đến x(n) như mong đợi
DTFT có một đặc điểm quan trọng, đó là, DTFT là tuần hoàn với chu kỳ 2 radians, trong
khi CTFT thì không tuần hoàn tại tất cả thời gian. Ta cần chỉ ra
X(  ) = X(  + 2) ,
all 
(3.41)
Để kết thúc, ta thay  trong công thức phân tích bằng   2 :


X (  2)   x(n)e  j ( 2 ) n

n  


  x(n)e  jn e  j 2 n
n  

Vì e  j 2n  1 , RHS là X () như mong đợi.
DTFT X () của một chuỗi x(n) tồn tại nếu x(n) hội tụ (tổng tuyệt đối):


 x n  

(3.42)

n  

Để minh họa ta lấy giá trị tuyệt đối hai bên của công thức phân tích




n

n

X ()   x(n)e  jn   x(n) e  jn


  x ( n) < 
n  

Thường DTFT X () là đại lượng phức và trong sự tính toán, nó là tổng hợp của phần thực và
phần ảo và sau đó phổ biên độ và phổ pha:
X ()  X R ()  jX 1 ()  X () e j( )

Với

(3.43a)


20

X ()  X R2   X I2 
(  ) =  X(  ) = tan1

(3.43b)

X I 
X R 

(3.43c)

Với tín hiệu thực x(n) phổ biên độ X() đối xứng, và phổ pha () bất đối xứng:
X(-  ) = X(  )

and (-  ) = -(  )

(3.44)

Chú thích X() được sử dụng cho phổ biên độ( chỉ giá trị tuyệt đối) và X () phổ độ lớn có thể

dương hoặc âm
Vì phổ có chu kỳ 2, ta cần tính X () trong dải 2, thường từ - đến , thỉnh thoảng từ 0
đến 2 π . Hơn nữa, vì sự đối xứng được đề cập, ta cần tính X () chỉ cho  từ 0 đến  sau đó lấy đối
xứng chẵn (ảnh gương) cho phổ biên độ và đối xứng lẻ cho phổ pha.
Ví dụ 3.5.1
Tìm phổ của xung chữ nhật số có 2N + 1 mẫu từ n = -N đến n = N và biên độ A (Hình.3.25a). Vẽ phổ
biên độ và phổ pha khi A = 1 và N = 2. Trong chương 5 ta sẽ gọi M thay cho 2N , Vì vậy chiều dài
của xung là 2N + 1 hoặc M + 1.
Giải
Áp công thức phân tích và sắp xếp như sau:
X(  ) = x(0) e-j0 + [ x(1) e-j1 + x(-1) ej1] + [ x(2) e-j2 + x(-2) ej2] +
+ . . . + [ x(N) e-jN + x(-N) ejN]
Ý tưởng là sự liên hệ được biết
e-jn + ejn = 2cosn
Vì

X () = A + 2A(cos  + cos2  + . . . + cos N )
Hoặc hình thức rút gọn
N


X   A1  2 cos n
n 1


Chú ý tại   0 , đáp ứng là lớn nhất và là X (0)  A(2 N  1) . Vì vậy bằng cách chọn
A  1 2 N  1 thì X (0)  1 , nghĩa là, đáp ứng biên độ X ( ) được chuẩn hóa.

Mặc khác, dữ hình thức gốc của công thức phân tích, ta viết

X () 



 x(n)e  jn 

n  

N

 Ae

 jn

n  N

Áp công thức chuỗi hình học (2.8) và (2.11))
N2



n  N1

xn 

x N1  x N 2 1
1 x

N 2  N1

,

(3.45)

x(n)
A
(a)

-2

-N

-1

M
()
2

0

1

2

N
(

M
)
2

n


21

X(  )
1

–

–

2





0

-



–

–

(c)

–

5

5
(  )

-2

2

2 0

-

-2

– -

–

–

(b)

2





Ví dụ.3.23: Ví dụ 3.5.1 (xung chữ nhật A = 0.5, N = 2, và phổ)
Ta lấy

X ( )  A

e jn  e  j ( N 1)
sin 2 N  1) / 2
A
 j
sin  / 2
1 e

,

0

A(2 N  1)

,
0
Chú ý rằng X (0)  A(2 N  1) là lớn nhất như trước. So sánh hai kết quả, ta có sự liên hệ lượng giác.
N

1+ 2 cosnω=

sin  ω(2 N+1) / 2

(3.46)

sin  ω/ 2 

n=1

Đặt X ()  0 ta có thể giải để tìm những điểm không khi:   2 / 5 ,  4 / 5 ... Vì X () hàm đối
xứng, ta cần để ước lượng nó cho 0     sau đó lấy ảnh gương để có được phổ toàn vẹn với
     0 . Chú ý chu kỳ là 2
Hình 3.23b là phổ độ lớn. Với phổ biên độ, ta lấy phần giá trị dương và đảo giá trị âm sang
dương. Phần của phổ từ -2/5 đến 2/5 được gọi là mainlobe, toàn bộ là sidelobes. Dù nếu phổ độ lớn
là thực, nó vẫn có phổ pha định nghĩa theo dấu của nó:
()  0 ,
X ()  0
 ,

X ()  0

Cũng như vậy, ta lý giải phổ pha để nó có một đối xứng lẻ (Hình.3.23c).



Ví dụ 3.5.2
Tìm phổ biên độ của hàm mũ số trong hình 3.24a.
Giải
Xét đặc điểm trễ cảu tín hiệu nhân quả được cho, ta có thể kiểm tra biểu diễn toán học của nso như sau

x(n)  0.5n u(n)


22
DTFT là





n  

n

 x(n)e  jn   (0.5e  j ) n

X () 

Áp dụng công thức chuỗi hình học (công thức (2.8)), ta sẽ có

X () 

1
1  0.5e  j

Chú ý rằng điều kiện hội tụ 0.5e  j  1 được thỏa.
X()

X(n)

1.0

2.0
1.36

0.5

0.89
0.67

0.25
0.225
…

-1

0

1
2
(a)

3

4

n



-




2

4


4

0
(b)


2





Hình.3.24: Ví dụ 3.5.2 (Hàm mũ trễ và phổ biên độ)
Để tính phổ bằng tay ta khai triển mũ phức trong những thành phần của hàm lượng giác:
1
1
X  

1  0.5cos   j sin  1  0.5 cos   j 0.5 sin 
Vì vậy phổ biên độ là
X  

1  0.5 cos 

1
2

 0.5 sin 

2



1


2

1

1.25  cos 

1

2

Tại  = 0, X() = 2 và giá trị lớn nhất tại  = /4, X() = 1.36; tại  = /2, X() = 0.89, và tại
 = , X() = 0.67 và nhỏ nhất. Hình 3.24b là trải phổ của biên độ
3.6 NHỮNG THUỘC TÍNH CỦA DTFT
Biến đổi Fourier rời rạc có nhiều thuộc tính giống với biến đổi Fourier liên tục. Sau đây ta chú thích
đôi biến đổi như sau x(n)  X () .
(a) Tuyến tính
a1x1(n) + a2x2(n)  a1X1() + a2X2()

(3.47)

Với a1 và a2 là hằng số. Tuyến tính là thuộc tính cơ bản nhất của DTFT và nhiều biến đổi khác.

(b) Đảo thời gian
x(-n)

 X(-)

(3.48)

(c) Dịch thời gian
x(n - n0)  X() e
(d) Dịch tần số

 jn0


23
x(n) e j0 n  X(  -  0 )

(3.49)

(e) Nhân chập thời gian( hoặc định lý nhân chập)
Nhân chập trong miền thời gian tương ứng với nhân thường trong miền tần số:

x1 ( n)  x2 ( n)  X 1 () X 2 ()

(3.50)

(f) Nhân chập tần số
Nhân thường trong miền thời gian tương ứng với nhân chập trong miền tần số.

x1 nx2 n  X 1   X 2  

1 
X 1 ( ' ) X 2 (   ' )d'
2 

(3.51)

(g) Định lý Parseval
Cũng được gọi là định lý đồng nhất, điều này bằng với năng lượng trong miền thời gian và
miền biến đổi:


 xn



2

n  

1
2

X  d

2 

(3.52)
2

Phần bên trái là năng lượng của tín hiệu với x(n) là công xuất chuẩn hóa (công suất/đơn vị điện trở)
2

của tín hiệu. Nếu x(n) là thực, ta viết x 2 (n) thay vì x(n) . Phần bên phải là năng lượng tín hiệu dựa
trên phổ tần số với X ()

2

là mật độ phổ công suất (PSD) (công suất trên đơn vị tần số, và

X () / 2 và mật độ phổ năng lượng (ESD). Bảng 3.1 tóm tắt một số thuộc tính chính.
2

Bảng 3.1: Một số thuộc tính chính của DTFT với x(n)  X () là đôi biến đổi

x (n )

X()

1. Tuyến tính

a1 x1 (n)  a2 x2 (n)

a1 x1 ()  a2 x2 ()

2. Đảo thời gian

x (n )

X()

3. Dịch thời gian

x (n  n 0 )

X ()e  jn0

4. Dịch tần số

x(n)e j0n

X (  0 )

5. Nhân chập thời gian

x1 (n)  x2 (n)

X 1 () X 2 ()

x1 (n) x2 (n)

X 1 ()  X 2 ()

6.

Nhân chập tần số

Ví dụ 3.6.1
Tìm DTFT của hàm mũ trễ đối xứng
x(n) = an ,

-1 < a < 1

Giải
Đây là một ví dụ về thuộc tính tuyến tính. Ta tách tín hiệu thành hai phần
x(n) = x1(n) + x2(n)


24
Với một phần là hàm mũ của n và phần khác là -n:
x1 (n)  a n ,
0 ,
x 2 (n)  a  n ,
0 ,

n0
n<0
n<0
n0

Bây giờ







n 0

n 0

X 1    a n e  jn   ae j



n

Áp dụng công thức chuỗi hình học vô hạn ta có
1
ae  j  1
X1(  ) =
,
 j
1  ae
Điều kiện hội tụ ae  j  1 có nghĩa a  1 được thỏa.
Giống như vậy,



1

1

n  

n  

X 2    x2 n e  jn   ae j

Hoặc





n





  ae j
n 1



n



n

X 2   ae j   ae j 
 n 0


Kết quả
ae j
,

1  ae j
Điều kiện hội tụ được thỏa như trên.

X2(  ) =

ae j  1

Kết nối hai tín hiệu ta có biến đổi cuối cùng
X(  ) = X1(  ) + X2(  ) =

1 a2
1  2a cos   a 2

Điều này chú ý rằng với 0 < a < 1 phổ biên độ tập trung tại tần số thấp, ngược lại -1 < a < 0 phổ biên
độ tập trung tại tần số cao■
Ví dụ 3.6.2
Dịch xung chũ nhật số của ví dụ 3.5.1 đến tương lai để thành nhân quả (Hình.3.25a) và tìm phổ.
Giải
Tín hiệu nhân quả từ n = 0 đến n = 2N (M) :
x(n) = A ,
0  n  2N
0 ,
khác
Tổng số mẫu là 2N + 1 (or M + 1).


25
x(n) A

(a)

-2

0 1

-1
1

2

X(  )

3

4

n

(2N)
(M)

(b)
/2

-/2
-

(c)


2

–





2





0
()




2


2








Hình.3.25: Ví dụ 3.6.2 (phổ của xung chữ nhật nhân quả)
Áp dụng thuộc tính dịch thời gian, ta lấy sự biến đổi
N


Xc ()  X()e  jN  A 1  2 cos n  e  jN
n 1



(3.53)

Với A = 0.5 và N = 2 với phổ của hình 3.25. Phổ độ lớn giống như trên. Với phổ pha được hiểu rằng
nếu hàm trong ngoặc dương sau đó pha là ()  2 , ngược lại nếu hàm âm thì pha
()  2   ( thêm trong phần 5.2).
Mặc khác ta cso thể biến đổi trực tiếp tín hiệu nhân quả (không sử dụng thuộc tính thời gian)
thì
2N

X    Ae  jn
n 0

Sử dụng công thức chuỗi hình học hữu hạn ta có:

X ( )  A

1  e  j ( 2 N 1)
sin[ (2 N  1) / 2]  jN
A

e
, 0
 j
sin( / 2)
1 e
 A(2 N  1)

2N được thay bằng M thấy trong nhiều sự phân tích tiếp theo
3.7 DTFT CỦA TÍN HIỆU CỰC
Trong phần này biến đổi DTFT của một số tín hiệu thường thấy được cho bởi
(a) Mẫu đơn vị (n)

(3.54)