Bài tập giới hạn hàm số toán đại học có đáp án

Bài tập giới hạn hàm số
1 Giới hạn hàm phân thức hữu tỉ
- Nếu tử và mẫu số đều có nghiệm x  a thì ta đơn giản tử và mẫu cho x  a .
- Một số hằng đẳng thức thường dùng:
1. a 2  b 2   a  b a  b
2. a3  b3   a  ba 2  ab  b 2 
3. a 3  b3  a  ba 2  ab  b 2 
4. a n  bn   a  ba n1  a n2b  ...  ab n2  b n1 

5. a n  b n  a  b a n1  a n2b  a n3b 2  ...  ab n2  b n1  với n lẻ.
Tính các giới hạn:
2 x 2 11x  21
a. lim 2
x  7 x  9 x  14

b.lim
x 1

 1
3 

e.lim 

x1 1  x
1 x 3 
 a
b 

f .lim 
 ; a, b  
a


x 1 1 x
1 x b 

x 4  x 3  x 2  3x  2
x 3  x 2  x 1

 x n 1 x n1 1... x nk 1 1
g .lim
x1
 x 1 x2 1... x k 1
 xn  a n   na n1  x  a

x4  2x2  3
c.lim 2
x 1 x  3 x  2
x m 1
; m, n  
d .lim n
x 1 x 1

h.lim

,n  

 x  a

2

xa

Giải:

 x  72 x  3
2 x 2 11x  21
2 x  3 17
 lim
 lim

2
x 7 x  9 x  14
x  7  x  7  x  2
x7 x  2
5

a.lim

 x 1  x 2  x  2
x 4  x 3  x 2  3x  2
x2  x  2
 lim
 lim
2
b.lim
2
x 1
x 1
x1
x 3  x 2  x 1
x 1

 x 1  x  1
2

 x 1 x3  x 2  3x  3
x4  2x2  3
 lim
 8
c.lim 2
x 1 x  3 x  2
x 1
 x 1 x  2
d .lim
x 1

2
x m1  x m
 ...  x 


1

 x 1 x  x  ...  x 1
x 1
m
m so hang
 lim
 lim n1

n
n

2

n
1
n
2


x1 x
x 1 x1  x 1 x  x  ...  x  1
 x 
 ...  x 

1 n
m

m1

m2

n so hang

 1
 x 1 x  2
3 
x  x2
e.lim 


lim


lim
 1

3
2
x1 
1 x 1 x  x1 1 x 1  x  x  x1 1 x 1  x  x 2 
2

f. Phân tích:

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức



a
b
1 
a
b





1 x a 1 x b 1 x 1  x  x 2  ...  x a1 1  x  x 2  ...  x b1 


a 1  x  ...  xb1   b 1  x  ...  x a1 

1 x 1  x  ...  x a1 1  x  ...  xb1 

Khi thay x  1 vào đa thức f  x   a 1  x  ...  x b1   b 1  x  ...  x a1  thì x  1 là nghiệm.
Dùng sơ đồ Hoocne ta phân tích được :
f  x    x 1  a  x b2  2 x b3  ...  b  2 x  b 1  b  x a2  2 x a3  ...  a 1 Vậy :


b2
b3
a2
a3
a  x  2 x  ...  b  2 x  b 1  b  x  2 x  ...  a 1
a
b



1  x a 1  xb
1 x  ...  x a1 1  x  ...  xb1 
a 1  2  3  ...  b 1  b 1  2  ...  a 1
 a
b 



lim 

a
b

x1 1  x
a.b
1 x 
b b 1
a a 1
 b.
a b
2
2


ab
2
g. Ta có phân tích:
x n 1   x 1 x n1  x n2  ...  1
a.

x n1 1   x 1 x n2  x n3  ... 1
...
x nk 1 1   x 1 x nk  x nk 1  ... 1
  x n 1 x n1 1... x nk 1 1   x 1  x n1  ... 1 x n2  ... 1... x nk  ... 1
k

x 1
x 2 1   x 1 x  1
x 3 1   x 1 x 2  x 1
...
x k 1   x 1 x k 1  x k 2  ...  1
  x 1 x 2 1... x k 1   x 1  x  1 x 2  x 1... x k 1  x k 2  ... 1
Vậy:

k
 x 1  x n1  ... 1 x n2  ... 1... x nk  ... 1
 x n 1 x n1 1... x nk 1 1
lim
 lim
k
x1
x 1
 x 1 x 2 1... x k 1
 x 1  x  1 x 2  x  1... x k 1  x k 2  ... 1
k

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức


 x n1  ... 1 xn2  ... 1... xnk  ... 1 n.n 1...n  k 1

x1
1.2...k
 x  1 x 2  x  1... x k 1  x k 2  ...  1

 lim


n. n 1...n  k  1



n  n 1...n  k  1n  k !

k!
k ! n  k !
h. Đặt x  a  t  x  t  a; t  0, x  a , ta có:

 Cnk

 xn  a n   na n1  x  a  t  an  a n  na n1t
 Cn0t n  Cn1t n1.a  ...  Cnn2t 2 .a n2  Cnn1t.a n1  Cnn a n   a n  na n1.t
 t 2 Cn0 t n2  Cn1t n3.a  ...  Cnn2 a n2 
Vậy:
lim

x n  a n  na n1  x  a 

 x  a

2

x a

t  a   a n  na n1t
n

 lim
t 0

t

2

 lim Cn0t n2  Cn1t n3 .a  ...  Cnn2 a n2 
t 0

 Cnn2 a n2

2 Giới hạn của các biểu thức vô tỉ
1. Tính các giới hạn:
1  x  x 2 1
a. lim
x0
x

1
2
2
3  x  x  9  2x  x2
b. lim
x2
x 2  3x  2
5x
15
c. lim 3
KQ :
x0 1  x  3 1 x
2
3

d. lim
x0

e.
f.
g.
h.
i.
j.


lim 

1  3x  3 1  2 x
x  x2

3

x 


lim 
lim 
lim 
lim

x 

x 

x 

KQ :



x 2  1  x 2 1

lim

x 

x 

KQ :

1 x 3  x




x  5 x  x
x  2 x  x
x  2 x  x
x 2  5x  x

1
2

5
3

KQ : 0

KQ : 0
KQ : 
5
2

2

KQ : 

2

KQ :1

2

KQ : 

2
2

k. lim  x 13  x 13 
x  



KQ :

KQ : 0

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức


Giải:

1  x  x 2 1
 lim
a. lim
x0
x0
x
x



x  x2



1  x  x 2 1

 lim
x 0

1 x
1  x  x 1
2

3  x  x2  9  2 x  x 2
 lim

x 2
x 2  3x  2
 x  2 x  1

b. lim



x2

 lim
x2

3

 x  1 3  x  x 2  9  2 x  x 2 





1
2

3x  6
3  x  x 2  9  2 x  x2



1

2

1/3
2/3
2/3
5 x 1  x  1  x 2   1  x  
5x

c. lim
 lim 
3
x0 3
x0
1  x  1  x
1  x  1 x
1/3
5
15
2/3
2/3
 lim 1  x   1  x 2   1  x   
x 0 2 

2
3
3
1  3 x  1  2 x
1  3x  1  2 x
 lim
d. lim

2
1/3
2/3
2/3
x0
x 0
xx
x 1  x 1  3 x  1  3 x1  2 x   1  2 x  


5
5
 lim

1/3
2/3
2/3
x 0
1  x 1  3 x  1  3 x1  2 x  1  2 x  3


2
2
e. lim x 2  1  x 2  1  lim
 lim
0
2
2
x 
x 

x 

1
1
x  1  x 1
x  1  2  1  2 

x
x 
1
f. lim 3 1  x 3  x  lim x  3 x3  1  lim
0
2/3
x 
x
x  2
x  x 3 x 3 1   x3  1

















5
5
x 2  5 x  x  lim x  1   1  lim x  1   1  
x 
x

x
x
 x 

5x
5x
x 2  5 x  x  lim
 lim
h. lim
x 
x
x 2  5 x  x x x 1  5  x
x
5x
5
5
 lim
 lim

x

x
2
5
5
x 1   x
 1  1
x
x
2
x
2
x 2  2 x  x  lim
 lim
1
i. lim
x 
x
x 
2
2
1  1
x 1  x
x
x




2
2

j. lim
x 2  2 x  x  lim  x 1   x  lim x  1   1  
x 
x  
x
x

 x


g.

lim

















Phóng to hơn hoặc dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức


2
2

1/3
1/3
1/3
1/3
k. lim  x  13   x 13   lim  x  1   x  1   x  1   x 1 
x  
x







1/3
1/3
2  x  1   x  1 


 lim
0
1/3
2/3
2/3

x
2
 x  1   x 1   x 1

2. Tính các giới hạn:
5
1  3x 4  1 2 x
a. lim
3
x0
1 x  1 x

KQ : 6

a x  n ax
2 1
b. lim
, n   KQ : a n
x0
x
n
3
5
7
1  3x  1  x  1  x  1  x
c. lim
4
x0
1  2x  x  6 1  x
1

n

3

d. lim

a 2  ax  x 2  3 a 2  ax  x 2



 
n

1  x2  x 

1



1  x2  x

n

KQ : 2n

x0

f.

313
280

2
KQ : a 6
3

a x  ax

x0

e. lim

KQ :

x
n
k
1  ax  1  bx
lim
, n, k  , a, b  0
x0
x

KQ :

ak  bn
nk

Giải:

Ta sử dụng các giới hạn :
Với lim u x   0
x x 0

n



lim
x0

1  x 1 1

x
n

1  x 1

n

;

lim

x x0

1  u  x  1
u  x

1 u  x







1
 .
n

1


x x0
x
u  x
Hoặc thay vô cùng bé (VCB) tương đương : (VCB  )
u  x
x
n 1  u  x  1 
 n 1  x 1  , x  0;
, u  x  0
n
n


lim



1  x  1   x, x  0 ;

x0

;



1  u  x



 1   u  x , u  x   0

1  3x 4  1  2 x
x
.
3
3
x0
x 0
x
1 x  1 x
1 x  1 x
 5 1  3x 4 1  1  1  2 x 
x




 lim 
 3 1  x 1  1  1  x 
x 0 
x


5

a. lim

1  3x 4  1  2 x

lim

 lim

5

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức









4
5

1


2
x

1



3
1

x

1
1


.
 lim 3x 3 .


2
.



4


x 0 
3



3x
2 x    1  x  1 1  x  1 

 





x
x




 1


1
1
  6
 0.  2. 
 5

2 1 / 3 1 / 2 


x
x
n
a  n 1   1  1  n 1  
n

a
a 
a x  n ax
 lim
b. lim
x0
x 0
x
x
a.
a


x
x

 n 1   1 n 1   1
1
1
n
1  1

1  2 1

a
a
a
lim 


  a n     a n
x
x
 n n n
a x0 



a
a 

1  3x  3 1  x  5 1  x  7 1  x

c. lim
x0

4

 lim



1  2x  x  6 1  x

  1  x 1   1  x 1  
 1  2 x 1  x   1  x 1

1  3x 1 

x 0

 lim

3

5

4

x 1 / 2  1  1 / 6



d. lim

a  ax  x  a  ax  x
2

2

3

2

2

 lim

a x  ax

x0

1
6

 a lim

3x x x x
  
2
3 5 7
 lim
x 0
x
2x
 x
4
6

VCB 

313
280
3

3



1  x 1

6

x 3 / 2  1 / 3  1 / 5  1 / 7

x 0

7

2
2


a 2  3 1  x  x 2  3 1  x  x 2 
a
a
a
a 


x 0

a

 1 x a 

1 x a




 

 3 1  x  x 2 2 1   3 1   x  x 2 2 1

a
a

a
a
 










 1  x a 1  1 x a 1

x0

1  x x 2  1  x 2 x 
2x
  2    2  
1
1
VCB  1
3
a
a
3
a
a




2
 a 6 lim
 a 6 lim 3a  a 6
x 0
x 0 x
x  x 
3
  

a
2a  2a 
e. lim
x0



 
n

1  x2  x 
x

1  x2  x



n

1 

 lim 
x 0





1  x 2  x  1   1 


x

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức

n





1  x 2  x  1 


n


1 

 lim 



x 0

VCB 

 lim

n





1  x 2  x  1   1  1  1 


x
n

 

1  x2  x 1  n

x 0



x 0





1  ax 1  1  bx 1
1  ax  k 1  bx
 lim
x0
x0
x
x
ax
bx


VCB 
k  ab
 lim n
x 0
x
n k
n

lim

k

3 Giới hạn hàm lượng giác
Các giới hạn lượng giác thường dùng:
Với lim u x   0 :
x x 0



lim

sin u x 
sin x
 1 ; lim
1
x x 0
x
u x 



lim

tan x
 1;
x



lim

arctan x
 1;
x



lim

arcsin x
 1;
x



lim



lim

x 0

x 0

x 0

x 0

1  cos x
1
 ;
2
x 0
2
x

1  cos x
 0;
x 0
x

lim

x x 0

lim

x x 0

lim

x x 0

lim

x x 0

lim

x x 0

tan u x 
u x 

1

arctan u x 

1

u x 
arcsin u x 
u x 

1

1  cos u x 
u x 




2

1  cos u x 
u x 

n

  lim 2nx  2n

1  x2  x 1

x

n

f.



1  x 2  x 1 




1
2

0

Tính các giới hạn:
x
2
a. lim
KQ : 0
x 
x
arctan x
b. lim
KQ : 0
x 
2x
sin

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức

x


c.

x2  4
x 2 arctan x  2
 

d. lim
x 0

tan x  sin x
x2

e. lim x cot 5x
x 0

f.

KQ : 4

lim

lim 1  x  tan
x 1

KQ :
x
2

KQ : 0

1
5
KQ :

2


1  x2
2

KQ :
x 1 sin x

sin x
1
h. lim 2
KQ :
x    x 2
2
cos mx  cos nx
1
i. lim
KQ : n 2  m 2
2
x 0
2
x

1
3
j. lim x 2 cos  cos 
KQ : 4
x 
x
x 

g. lim



k. lim
x 0

l.

lim

sin a  x   sin a  x   2 sin a

1  cos x



m. lim sin x 2  1  sin x 2  1
cos x  1
x 0
x2
x
x
cos  sin
2
2
o. lim

cos
x
x

r.

lim
x 0

2 cos x  1
1  tan2 x

KQ : 0

1

KQ :
KQ :

1
4

2

3

3


x
4

KQ : 2 cos a

1

KQ :

2



sin x  

3 
p. lim

x  1  2 cos x



KQ : 

n. lim

q. lim

KQ :  sin a

x2
cos a  x   cos a  x   2 cos a

x 0

x 



1
4

1  tan x  1  tan x
sin x

KQ : 1

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức


s.

m

cos ax  m cos bx
lim
x 0
x2

KQ :

t.

cos x  3 cos x
lim
x 0
sin2 x

1
3

KQ : 

1  cos x cos 2x
x 0
tan x 2

u. lim

1  x sin x  cos x
x
sin 2
2

v. lim
x 0

KQ :

b2  a 2
2m

3
2

KQ : 4

Giải:

x
1
là đại lượng bị chặn,
là một vô cùng bé khi x   . Tích của một đại
2
x
lượng bị chặn và vô cùng bé là một vô cùng bé.
x
sin
2 0
 lim
x 
x

b. Chứng minh: lim arctan x 
x 
2

Ta có lim tan t   đặt x  tan t   nên t  arctan x 

2
t
a. Ta có sin

2

arctan x


 lim
0
x 
x  4x
2x
x2  4
x 2
 lim
.x  2  1.4  4
c. lim
x 2 arctan x  2

 x 2 arctan x  2
Vậy: lim

 1

 1
sin x 
tan x  sin x
sin x 1  cos x 1
 cos x

 lim
 lim
.
.
 1.0.1  0
d. lim
2

2
x 0
x 0
x 0
x
x
cos x
x
x
x
1
5x
1
1
 lim
 .1 
e. lim x cot 5x  lim
x 0
x  0 tan 5x
x

0
5
tan 5x
5
5
f. Đặt t  1  x  x  1  t  x  1  t  0 .


Ta có: tan      cot 

 2

 tan

  
x

t
 tan 1  t   tan   t   cot
2
2
2
 2 2 

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức


t
2 . 2  1. 2  2
t 


tan
2
g. Ta có sin      sin   sin x  sin   x   sin  1  x 

x
t
 lim t cot
 lim

Vậy: lim 1  x  tan
x 1
t 0
t 0
2
2

 1  x  1  x
1 x2
2
2
 lim
.
 1. 
x 1 sin x
x 1 sin  1  x


  

Vậy: lim

h. Tương tự câu g. : lim
x 

i.

sin   x  1
sin x
1

.
 lim

2
2
x 
 x
   x    x 2

1  cos nx  1  cos mx 
cos mx  cos nx
 lim
2
x 0
x 0
x
x2


2
2
 2 1  cos nx
2 1  cos mx 
  n  m
.
m
 lim n .

2
2


x 0 

nx 
mx   2 2
lim

1
x t  0
x
a b
a b
sin
Ta có: cos a  cos b  2 sin
2
2
1
3
 cos  cos  cos t  cos 3t  2 sin 2t  sin t 
x
x

1
3
cos t  cos 3t
2 sin 2t sin t
Vậy: lim x 2 cos  cos   lim
 lim
2
x 

t 0
x
x  t 0
t
t2

j.

Đổi biến: t 

sin 2t sin t
.
4
t 0
2t
t
a b
a b
cos
k. Ta có: sin a  sin b  2 sin
2
2
 sin a  x   sin a  x   2 sin a cos x
 4.lim

Vậy: lim

sin a  x   sin a  x   2 sin a
2

x 0

1
  sin a
2
x
a b
a b
Ta có: cos a  cos b  2 cos
cos
2
2
 cos a  x   cos a  x   2 cos a cos x
 lim
x 0

l.

x
2 sin a 1  cos x 

2 sin a cos x  2 sin a
x 0
x2

 lim

2

 2 sin a.

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức


Vậy: lim

cos a  x   cos a  x   2 cos a
1  cos x

x 0

m. Ta có: sin a  sin b  2 cos

 lim
x 0

2 cos a cos x  2 cos a
 2 cos a
1  cos x

a b
a b
sin
2
2
x2  1  x2 1
x2  1  x2 1
sin
2
2

x2  1  x2 1
1
 2 cos
. sin
2
x2  1  x2  1

 sin x 2  1  sin x 2  1  2 cos

Khi x   thì sin

1

 0 tức là một vô cùng bé. cos

x2  1  x2 1
2

x2  1  x2  1
là một đại lượng bị chặn, do đó tích của một vô cùng bé và đại lượng bị chặn là một vô cùng
bé





Vậy: lim sin x 2  1  sin x 2  1  0
x 

n. lim

x 0

1  cos x  1  1 cos x  1 1  1 
cos x  1
1

lim
.
 .    
2
2
x 0
cos x  1
2  2 
4
x
x




x  x  t  x   t  0
2
2
2
sin a  b   sin a cos b  sin b cos a

o. Đổi biến: t 
Ta có:

cos a  b   cos a cos b  sin a sin b

 t 
 t 
x
x
 sin  cos     sin   
 4 2 
 4 2 
2
2
1 
t
t
1 
t
t
t

cos  sin  
cos  sin   2 sin
2
2 
2
2 
2
2
2
 t 
 t 

x
x
t
cos     sin   
cos  sin
2 sin




4
2
4
2


2
2  lim
2. t  1
Vậy: lim
 lim

t 0
t 0


cos x
sin t
t
x

2
2.
2
cos   t 

 2
2
 cos




x t  x  t  0
3
3
3
Ta có: cos a  b   cos a cos b  sin a sin b
p. Đổi biến: t  x 



 2 cos x  2 cos t    cos t  3 sin t
3 


Phóng to hơn hoặc dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức





sin x  

3 
sin t
sin t
1
1
.
 lim
 lim

Vậy: lim
 1  2 cos x
t 0
t 0
t 1  cos t
x
1  cos t  3 sin t
3 sin t
3
3

t
t



q. Đổi biến: t  x   x  t   x   t  0
4
4

4



Ta có: 2 cos x  2 cos t    cos t  sin t
4 



2t   
2
cos

2 

2 sin 2t
cos2 x  sin 2 x
2 cos 2x
Và : 1  tan2 x 



2

1  cos 2x
cos x
  1  sin 2t
1  cos 2t  

2 

Vậy: lim

x
4

2 cos x  1
cos t  sin t  1
 lim
.1  sin 2t 
2
t

0
2 sin 2t
1  tan x

 sin t 1  cos t  2t
1 sin t  1  cos t 2t
1
 .
 lim .
.
.1  sin 2t   lim 

. 1  sin 2t 
t 0 2
2t
sin 2t
4 t 0  t
t

 sin 2t


r.

1
1
. 1  0.1.1 
4
4
1  tan x  1  tan x
1  tan x  1  tan x tan x
.
 lim
x

0
sin x
tan x
sin x
 1  tan x

1  tan x  1

 lim 

 1 / 2  1 / 2.1  1

x 0 
 tan x  cos x

 tan x
lim
x 0

m 1  cos ax  1  1  1  m 1  cos bx  1




cos ax  m cos bx

lim
x 0
x 0
x2
x2
m

m
 1  cos ax  1  1 cos ax  1 2 1  1  cos bx  1 cos bx  1 2 
 lim 
.
.a 
.
.b 
2
2
x 0 
cos
bx


1

cos ax  1

ax
bx
 
 

2
2
 1  1 
1  1
b a
 .   .a 2      .b 2 
  2 
 m 
m  2 
2m
m

s.

t.

lim

cos x  1  1  3 1  cos x  1
cos x  3 cos x


lim
x 0
x 0
sin2 x
sin2 x


 cos x  1 1  3 1  cos x  1 

 lim 

2

x 0  sin 2 x
sin
x


lim

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức




 cos x  1 x 2
1  3 1  cos x  1 cos x  1 x 2 
 lim 
. 2 

.
. 2 
2
2
x 0 
cos

1
x
x
sin
x
x
sin x 


1
 1 / 2.1  1 / 3 .1 / 2.1  
3
1  cos x  cos x  cos x 1  cos 2x  1
1  cos x cos 2x

lim
x 0
x 0
tan x 2
tan x 2


 1  cos x

1  1  cos 2x  1 

 lim 
 cos x .
2

x 0  tan x 2
tan
x




1  1  cos 2x  1 cos 2x  1 4x 2 
 1  cos x
x2

 lim 
 cos x .
.
.
.
2
2
2
2
x 0 
x
x
x

tan
tan
x

cos
2
1


2x 






1
1
1
3
 .1  1.   .  .4 
2
2
 2   2 

u. lim

1  x sin x  cos x
1  x sin x  1  1  cos x
 lim

x 0
x 0
x
x
sin2
sin2
2
2



 1  x sin x  1 1  cos x 

 lim 

x 0 

2 x
2 x 


sin
sin

2
2 
2
2

 x 

 x  



4. 
4.   
 1  x sin x  1  2  sin x 1  cos x
 2   1
1

 lim 
.
.

.

.4.1

.4  4

2
x 0 

x
sin
x
x
x
x
2

2
x
2
2

sin
sin 

2
2 



v. lim

4 Giới hạn hàm lũy thừa
Khử dạng vô định mũ:



x 
 e  với   lim  f x   1 . x 
Vô định 1 : lim  f x 


x x 0 
x x 0 


 e  với   lim  x  ln f x 

Vô định 00 , 0 : lim  f x 

x x 0 
x x 0
Các giới hạn  có thể tính bằng các phương pháp tính giới hạn trên.


Tính giới hạn:
x 1
 2x  3 


a. lim 
x  
 2x  1 

x

KQ : e

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức


x4

 x 2  1


b. lim  2 
x   x




KQ : 0
cot x

c. lim 1  tan x 
x 0



d. lim 1  3 tan x
x 0

2

cot2 x



KQ : e
KQ : e 3

1

 cos x x 2

e. lim 
x 0 
 cos2x 

f.

1
cot x

lim sin x 

x


2

KQ : e

3

2

KQ : 1

Phóng to hơn hoặc dùng Foxit reader để hiển thị tốt công thức