Ebook bài tập giải tích toán học i nguyễn xuân viên

Học viện kỹ thuật quân sự
Bộ môn toán khoa công nghệ thông tin

Nguyễn xuân viên

Bài tập giải tích toán học
I
Dùng cho sinh viên các trờng
đại học kỹ thuật

Hà nội 2005


Mục lục
Mục lục ..................................................................................................................3
Ký hiệu...................................................................................................................9
Lời nói đầu...........................................................................................................11
Phần 1. Bài tập giải tích toán học...................................................13
Chơng I. Vi phân hàm số một biến số.............................................13
Đ 1. Số thực.................................................................................................13
I. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................13
a. Tập đếm đợc, tập tơng đơng........................................................13
b. Nguyên lý quy nạp toán học .............................................................13
c. Định lý chia Euclid ...........................................................................13
d. Số hữu tỷ và số thực ..........................................................................14
e. Sup, inf. Định lý Bolzano ..................................................................14
f. Trị tuyệt đối của số thực....................................................................15
II. Bài tập ..................................................................................................15
Đ 2. Giới hạn dãy số ...................................................................................16
I. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................16
a. Dãy số ...............................................................................................16

b. Tiêu chuẩn Cauchy về hội tụ dãy số .................................................17
c. Hội tụ đơn điệu .................................................................................17
d. Dãy riêng, giới hạn riêng ..................................................................17
II. Bài tập ..................................................................................................18
Đ 3. Giới hạn hàm số, hàm liên tục...........................................................22
I. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................22
a. Giới hạn hàm số theo và dãy....................................................22
b. Giới hạn một phía .............................................................................22
c. Các tính chất số học của giới hạn hàm số.........................................23
d. Một số giới hạn quan trọng...............................................................23
e. Hàm liên tục......................................................................................23
f. VCB, VCL .........................................................................................24
II. Bài tập ..................................................................................................25
3


Đ 4. Đạo hàm và vi phân ...........................................................................31
I. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................31
a. Khái niệm đạo hàm, đạo hàm trái, đạo hàm phải .............................31
b. Các quy tắc tính đạo hàm .................................................................32
c. Bảng đạo hàm các hàm cơ bản..........................................................32
d. Đạo hàm hàm hợp, hàm ngợc và hàm ẩn........................................33
e. Vi phân cấp một và vi phân cấp cao .................................................34
f. Các định lý trung bình......................................................................36
II. Bài tập ..................................................................................................36
Đ 5. Các ứng dụng của đạo hàm ...............................................................43
I. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................43
a. Công thức Taylor ..............................................................................43
b. Các quy tắc LHospital khử dạng bất định .......................................44
c. ứng dụng đạo hàm, khảo sát hàm số ................................................45

c.1. Cực trị ....................................................................................45
c.2. Lồi, lõm, điểm uốn .................................................................46
c.3. Tiệm cận.................................................................................46
c.4. Tiếp tuyến, tiếp xúc ................................................................47
II. Bài tập ..................................................................................................47
Chơng II. Tích phân hàm số một biến số ......................................55
Đ 6. Tích phân bất định.............................................................................55
I. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................55
a. Nguyên hàm và tích phân bất định ...................................................55
b. Bảng các tích phân cơ bản ................................................................56
c. Các phơng pháp cơ bản tính tích phân ............................................57
c.1. Tích phân bằng phơng pháp thế (đổi biến)..........................57
c.2. Phơng pháp tích phân từng phần .........................................57
d. Tích phân các hàm hữu tỷ.................................................................59
e. Tích phân các hàm vô tỷ ...................................................................61
f. Tích phân các hàm siêu việt ..............................................................64
II. Bài tập ..................................................................................................66
a. Nguyên hàm và tích phân bất định ...................................................66
b. Các phơng pháp cơ bản tính tích phân............................................67
4


c. Tích phân các hàm hữu tỷ .................................................................72
d. Tích phân các hàm vô tỷ...................................................................73
e. Tích phân các hàm siêu việt..............................................................75
Đ 7. Tích phân xác định và ứng dụng.......................................................77
I. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................77
a. Tích phân xác định, điều kiện khả tích .............................................77
b. Tính chất tích phân ...........................................................................79
c. Công thức Newton-Leibniz...............................................................80

d. Các phơng pháp tính tích phân xác định.........................................82
d.1. Phơng pháp đổi biến............................................................82
d.2. Phơng pháp tích phân từng phần ........................................82
e. Các ứng dụng của tích phân xác định ...............................................84
e.1. Diện tích bản phẳng...............................................................84
e.2. Độ dài đờng cong.................................................................87
e.3. Thể tích của vật và diện tích mặt cong ..................................88
II. Bài tập ..................................................................................................91
a. Tích phân xác định, công thức Newton-Leibniz ...............................91
b. Các phơng pháp tính tích phân xác định.........................................96
c. Các ứng dụng của tích phân xác định .............................................103
Đ 8. Tích phân suy rộng ..........................................................................114
II. Tóm tắt lý thuyết................................................................................114
a. Tích phân suy rộng cận hữu hạn, vô hạn ........................................114
b. Các tiêu chuẩn hội tụ ......................................................................118
b.1. Tiêu chuẩn so sánh bất đẳng thức.......................................118
b.2. Tiêu chuẩn so sánh giới hạn................................................118
b.3. Các tiêu chuẩn Dirichle và Abel .........................................118
II. Bài tập ................................................................................................120
Chơng III. Chuỗi số và chuỗi hàm..................................................129
Đ 9. Chuỗi số.............................................................................................129
I. Tóm tắt lý thuyết .................................................................................129
a. Tổng riêng và tổng của chuỗi số .....................................................129
b. Điều kiện cần hội tụ của chuỗi .......................................................130
c. Tiêu chuẩn Cauchy .........................................................................131
5


d. Các dấu hiệu hội tụ chuỗi số dơng................................................131
d.1. Dấu hiệu so sánh bất đẳng thức ..........................................131

d.2. Dấu hiệu so sánh giới hạn...................................................132
d.3. Dấu hiệu tích phân ..............................................................133
d.4. Phơng pháp tách phần chính.............................................134
d.5. Các dấu hiệu Dalembert và Cauchy..................................135
d.6. Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ..............................................137
II. Bài tập ................................................................................................141
a. Tổng riêng và tổng của chuỗi số, điều kiện cần hội tụ, tiêu chuẩn
Cauchy ................................................................................................141
b. Các dấu hiệu hội tụ chuỗi số dơng................................................144
c. Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ .........................................................149
Đ 10. Chuỗi hàm, dãy hàm .....................................................................150
I. Tóm tắt lý thuyết .................................................................................150
a. Hội tụ đều của dãy hàm ..................................................................150
b. Hội tụ đều của chuỗi hàm...............................................................152
b.1. Hội tụ của chuỗi hàm ..........................................................152
b.2. Hội tụ đều của chuỗi hàm ...................................................154
b.3. Dấu hiệu Dirichle và Abel...................................................155
c. Vi tích phân chuỗi hàm...................................................................157
c.1. Liên tục của chuỗi hàm........................................................157
c.2. Tích phân chuỗi hàm ...........................................................158
c.3. Vi phân chuỗi hàm...............................................................159
d. Chuỗi luỹ thừa ................................................................................160
d.1. Bán kính hội tụ ....................................................................160
d.2. Các định lý Abel ..................................................................160
e. Chuỗi Taylor ...................................................................................162
II. Bài tập ................................................................................................164
a. Hội tụ đều của dãy hàm ..................................................................164
b. Hội tụ đều của chuỗi hàm...............................................................166
c. Vi, tích phân chuỗi hàm..................................................................169
d. Chuỗi luỹ thừa ................................................................................170

e. Chuỗi Taylor ...................................................................................171
6


Đ 11. Chuỗi Fourier.................................................................................175
I. Tóm tắt lý thuyết .................................................................................175
a. Định lý Dirichle ..............................................................................175
b. Định lý Dini ....................................................................................176
II. Bài tập ................................................................................................178

Phần 2. Bài giải và đáp số......................................................................181
Đ 1. Số thực ................................................................................................181
Đ 2. Giới hạn dãy số...................................................................................181
Đ 3. Giới hạn hàm số, hàm liên tục............................................................185
Đ 4. Đạo hàm và vi phân............................................................................189
Đ 5. Các ứng dụng của đạo hàm ................................................................192
Đ 6. Tích phân bất định..............................................................................201
Đ 7. Tích phân xác định và ứng dụng ........................................................211
Đ 8. Tích phân suy rộng.............................................................................224
Đ 9. Chuỗi số..............................................................................................226
Đ 10. Chuỗi hàm, dãy hàm ........................................................................230
Đ 11. Chuỗi Fourier...................................................................................236
Tài liệu tham khảo................................................................................239

7


8

Các Ký hiệu chung
N : tập số tự nhiên, N = {0,1,2, }
N = N \ {0} : tập số tự nhiên thiếu số 0
Q : tập số hữu tỷ
R : tập số thực
R[x]: tập các đa thức hệ số thực
deg P(x ) : bậc của đa thức P(x )

: kết thúc một ví dụ, giải bài tập

9


10


Lời nói đầu
Cuốn giáo trình Bài tập giải tích 1 này đợc biên soạn theo đề cơng đầy
đủ của Bộ Giáo dục và Đào tạo về môn Toán cao cấp dành cho các trờng Đại
học Kỹ thuật học Toán theo chơng trình 1, có thời lợng từ 60 đến 75 tiết ở học
kỳ đầu của năm thứ nhất
Giáo trình gồm 3 chơng:
Chơng I: Vi phân hàm số một biến số
Chơng II: Tích phân hàm số một biến số
Chơng III: Chuỗi số và chuỗi hàm
Với hơn 1100 bài tập đợc phân tỷ mỷ theo từng phần của kiến thức
chung. Trớc mỗi phần bài tập đều có tóm tắt lý thuyết đầy đủ, có nhiều ví dụ
minh hoạ đa dạng.
Phần đáp số, hớng dẫn, trả lời có trình bày lời giải một số bài tập mang
tính khái quát cao hơn.

Hy vọng giáo trình bài tập này sẽ giúp ích đợc nhiều cho các bạn sinh
viên tất cả mọi loại hình đào tạo, giúp cho các thầy cô giáo có thêm một số t liệu
tơng đối đầy đủ để chuẩn bị bài giảng.
Vì kiến thức thì quá bao la mà khả năng bản thân lại có hạn nên không thể
tránh khỏi các thiếu sót. Rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến từ các độc giả
để cuốn sách ngày càng hoàn chỉnh hơn, đáp ứng đợc yêu cầu nâng cao chất
lợng dạy và học môn Toán ở các trờng đại học.
Hà nội, tháng 9 năm 2005
Nguyễn Xuân Viên

11


Phần 1.

Bài tập giải tích toán học
Chơng I

Vi phân hàm số một biến số
Đ 1. Số thực
I.

Tóm tắt lý thuyết

a. Tập đếm đợc, tập tơng đơng
Hai tập A, B gọi là tơng đơng nếu tồn tại song ánh f : A B . Khi A
và B tơng đơng ngời ta nói A và B có cùng lực lợng và viết A = B hay

A~ B.
Tập A gọi là tập đếm đợc (hay tập có lực lợng ) nếu A ~ N . Tập

không tơng đơng với tập số tự nhiên đợc gọi là tập không đếm đợc.
b. Nguyên lý quy nạp toán học
Trên tập số tự nhiên có nguyên lý quy nạp toán học sau đây:
Khẳng định f (n ) phụ thuộc vào số tự nhiên n sẽ đúng cho mọi số tự nhiên
n n0 nếu:

i.

f (n0 ) đúng

ii. Với mọi k n0 , từ f (k ) đúng suy ra f (k + 1) đúng
c.

Định lý chia Euclid
Với mọi số nguyên m, n, tồn tại duy nhất các số nguyên q, r sao cho
n = qm + r , 0 r < m .

Ta nói n chia hết cho m hay m chia hết n (m là thừa số của n) và viết m/n
nếu tồn tại số nguyên q sao cho n = mq. Khi m là thừa số của n thì ta nói m là ớc
của n.
d đợc gọi là ớc số chung lớn nhất của m và n và viết d = USCLN (m, n )
hay đôi khi, nếu không có sự nhầm lẫn ngời ta còn viết đơn giản d = (m, n ) nếu:
i. d/m, d/n
ii. nếu p/m, p/n thì p/d
13


Với mọi số nguyên m, n tồn tại duy nhất USCLN (m, n ) . Nếu (m, n ) = 1 thì
nói m, n nguyên tố cùng nhau.
d. Số hữu tỷ và số thực

Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn cũng nh khoa học, ngời ta phải mở rộng
tập số nguyên Z thành tập số hữu tỷ Q để Q có thể chứa tất cả các nghiệm của
phơng trình bậc nhất hệ số nguyên: ax + b = 0 .
Nh vậy

Q



m
m Z, n N * và Z
= r =
n



Q.

Khác với tập số nguyên Z mà trong đó không có phép chia thì trong Q đã
có đủ 4 phép toán: cộng, trừ, nhân, chia (chia cho số nguyên khác 0).
Khi xét đến phơng trình đơn giản hệ số hữu tỷ, thậm chí hệ số nguyên
x 2 2 = 0 thì dễ dàng thấy phơng trình này không có nghiệm hữu tỷ. Một lần

nữa đặt ra nhu cầu mở rộng tập số hữu tỷ Q thành tập số thực R:

Q

R

Số thực gồm có hai loại: số hữu tỷ và số vô tỷ. Tập số thực R lấp đầy trục

số. Giống nh Q, tập các số thực R tạo thành một trờng.
e.

Sup, inf. Định lý Bolzano
Giả sử E R . Số R đợc gọi là cận trên của tập E nếu x E x .

Tập E mà có cận trên đợc gọi là tập bị chặn trên. Tơng tự nh thế, là số mà
x E x đợc gọi là cận dới của E. Tập có cận dới đợc gọi là tập bị chặn

dới. Tập bị chặn trên, chặn dới đợc gọi là tập giới nội.
Cận trên nhỏ nhất của tập E đợc gọi là cận trên đúng của tập E và viết
= sup E .
Nh vậy = sup E nếu thoả mãn 2 điều kiện sau:
i. x E x : là cận trên của E
ii. > 0 x E < x : là cận trên nhỏ nhất
Tơng tự nh thế, định nghĩa cận dới đúng infE là cận dới lớn nhất của
tập E.
Ta có định lý Bolzano sau:
Mọi tập số thực bị chặn trên đều có cận trên đúng, bị chặn dới đều có
cận dới đúng.
14


f.

Trị tuyệt đối của số thực
Trị tuyệt đối của số thực là thoả mãn điều kiện:
= nếu 0 , = nếu < 0 . Đối với 2 số thực , R ta luôn

có + + .

II.

Bài tập

Bằng phơng pháp quy nạp toán học hãy chứng minh các hệ thức sau đúng
cho mọi n N * (1.1-1.7)
n(n + 1)
2

1.1.

1+ 2 + + n =

1.2.

12 + 2 2 + + n 2 =

1.3.

13 + 23 + + n3 = (1 + 2 + + n )2

1.4.

4 n + 15n 1 chia hết cho 9

1.5.

arctg

1.6.

1 3
2n 1
. . .
<
2 4
2n

1.7.

Chứng minh bất đẳng thức Becnuli: (1 + x1 )(1 + x2 ) (1 + xn ) 1 + x1x2 xn

n(n + 1)(2n + 1)
6

1
1
1
n +1
+ arctg + + arctg
= arctg
2
2
8
n+2
2n
1
2n + 1

với x1 , x2 , xn cùng dấu, lớn hơn -1.
1.8.

CMR, với mọi x > 1 ta có: (1 + x )n 1 + nx

(n > 1)

1.9.

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = 0 .
CMR, nếu USCLN (m, n ) = d thì tồn tại các số nguyên u, v Z sao cho
um + vn = d .

1.10.

CMR, nếu P( x ), Q( x ) là các đa thực hệ số thực, P( x ), Q(x ) R[x ] và
d (x ) = USCLN (P( x ), Q( x )) thì tồn tại các đa thức u ( x ), v( x ) R[x ] sao cho:
d (x ) = u ( x )P(x ) + v( x )Q(x )

1.11.

CMR, nếu a, b là các số thực thì:
a b ab a + b

1.12.

CM các bất đẳng thức sau:
15

c. a 2 = a 2

a. ab = a b
b.
1.13.

a a
=
b b

(b 0)

d.

a2 = a

Ký hiệu A + B = {a + b a A, b B}. Chứng minh các đẳng thức sau:
a. inf ( A + B ) = inf A + inf B
b. sup( A + B ) = sup A + sup B

1.14.

Ký hiệu AB = {ab a A, b B}. Giả sử A = {a a 0}, B = {b b 0}. Chứng
minh các đẳng thức sau:
a. inf ( AB ) = inf A inf B
b. sup( AB ) = sup A sup B

1.15.

CM định lý về sự tồn tại duy nhất căn bậc n của số thực sau:

{

}

Giả sử R, > 0. Gọi A R, A = t R, t > 0 t n < . CMR:
a. A , A bị chặn trên
b. Tồn tại sup A = và n =
Số nh vậy tồn tại duy nhất và gọi là căn bậc n của và ký hiệu là
= n (căn số học).

Đ 2. Giới hạn dy số
I.

Tóm tắt lý thuyết

a. Dãy số
ánh xạ f : N R có ảnh f (n ) = xn R, n = 1,2, đợc gọi là dãy số.
Dãy số đợc ký hiệu là (xn ) hay (xn )n hay {xn }n . x1 là số hạng đầu, xn là số hạng
tổng quát của dãy số ( xn ) .
Ta nói dãy (xn ) có giới hạn a khi n tiến ra và viết lim xn = a (hay có
n

thể viết lim xn = a nếu không có sự hiểu lầm trong ký hiệu chỉ số n) nếu với mọi
> 0 tuỳ ý tồn tại số tự nhiên N để với mọi số tự nhiên n, khi n N thì
xn a < . Hay viết dới dạng vị từ (Logic mệnh đề) là:

16

lim xn = a > 0 N n(n N xn a < )

n

Ngời ta nói dãy

(xn ) là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy nếu

> 0 N mn(m N n N xm xn < ) ).

Ta có bổ đề Bolzano-Weierstrass: Từ dãy giới nội bất kỳ luôn trích ra dãy
con hội tụ.
b. Tiêu chuẩn Cauchy về hội tụ dãy số
Để dãy số ( xn ) có giới hạn, điều kiện cần và đủ: (xn ) là dãy Cauchy.
Vì lý do trong R mọi dãy Cosi đều hội tụ nên ngời ta nói tập số thực R
có tính đầy đủ. Tập số hữu tỷ không đầy đủ, chẳng hạn nh dãy Cosi
n

1
xn = 1 + không hội tụ trong Q vì lim xn = e Q .
n
n

1
2

Ví dụ: Chứng minh dãy xn = 1 + + +

1
không có giới hạn.

n

Giải: Để chứng minh dãy này không có giới hạn ta chỉ cần chỉ ra một số
0 sao cho với mọi N tồn tại m, n, mặc dù m N , n N nhng ta lại có
xm xn 0 .
1
2

Thật vậy, với 0 = ; n = 2m ta có:
1
1 m 1
1
=
x n xm =
+
+ +

2m 2m 2
m +1 m + 2

c.

Hội tụ đơn điệu
Điều kiện hội tụ dãy đơn điệu
Dãy (xn ) đơn điệu tăng có giới hạn khi và chỉ khi nó bị chặn trên, khi đó

lim x n = sup{x n }.

Dãy (xn ) đơn điệu giảm có giới hạn khi và chỉ khi nó bị chặn dới, khi đó
lim xn = inf {xn } .

d. Dãy riêng, giới hạn riêng

Dãy (x nk )k , nk N * , n1 < n2 < , đợc gọi là dãy con của dãy (x n )n

Nếu tồn tại = lim xnk thì ngời ta nói là giới hạn riêng của dãy (xn ) .
k

17


Giới hạn riêng lớn nhất của (xn ) đợc gọi là giới hạn trên và ký hiệu limxn
hay lim sup xn .
Giới hạn riêng nhỏ nhất của ( xn ) đợc gọi là giới hạn dới của (xn ) và ký
hiệu limxn hay lim inf xn . Dễ dàng thấy nếu

{xn } không bị chặn trên thì

limxn = + . Nếu {xn } bị chặn trên thì limxn = sup{xn }. Để tồn tại giới hạn lim xn

điều kiện cần và đủ là limxn = limxn (= lim xn ) .

II.
2.1.

Bài tập
Bằng định nghĩa hãy chứng minh các giới hạn sau:
a. lim
b. lim

2.2.

n 1 1
=
4n + 1 4
n2 1
3n 3 + 1

=0

c. lim sin
d. lim

1
=0
n

( 1)n 1 = 0
n

Tìm các giới hạn lim xn nếu:
a. xn = 1 24 224 32
n lần

b. xn = 0,12123 2 . Từ đó hãy tìm công thức đổi số thập phân vô hạn tuần
n lần

hoàn a0 , a(b ) thành phân số. Tổng quát hoá kết quả cho số thập phân
vô hạn tuần hoàn a0 , a1 am (b1 bn ) .
2.3.

Chứng minh dãy (x n ) với x n = 1 +

2.4.

Tìm giới hạn dãy ( xn ) với:

1
1
1
+
+ +
không có giới hạn.
ln 2 ln 3
ln n


1
1
x n = 1
1 2
2
2 3

2.5.


1
1

n2

Cho a, b > 0; a > b . Các dãy (un ), (vn ) xác định nh sau:
u1 = a, v1 = b

u n 1 + vn 1

u n =
2

vn = u n 1vn 1


CMR
18


a. Dãy (un ) đơn điệu giảm, còn (vn ) đơn điệu tăng
b. lim un = lim vn
2.6.

Cho dãy (un ) xác định bởi hệ thức:
u1 = 1

un + 2

u n +1 = u + 1
n

CMR (u2k ), (u2k 1 ) là các dãy kề nhau (tức là một dãy đơn điệu tăng, một
dãy đơn điệu giảm và có cùng giới hạn).
2.7.
Giả sử f ( x ) : (a; b ) (a, b ) . Dãy (un ) xác định theo công thức:
u1 = (a; b )

u n +1 = f (u n )

Hãy nghiên cứu hội tụ của dãy (un ) trong 2 trờng hợp:
a. f ( x ) đơn điệu tăng
b. f ( x ) đơn điệu giảm
2.8.

Tìm lim un biết:
u1 = 3

a.

u n +1 = 3 + u n

u1 = 3

b.

u n +1 = 3un

Tìm các giới hạn các dãy sau (2.9 2.19)
2.9.

1

2
n 1
+
+ +

lim
n2
n2 n2

2.10.

lim

2.11.

lim

2.12.

lim n 2 + 1 n 2 1

2.13.

lim

n(n + 1)(n + 2 )

(n + 3)3

12 + 2 2 + + n 2

(n + 1)3
n sin n!
n2 + 1

19


2 n +1 3n +1

2.14.

lim

2.15.

lim

2.16.

lim

2.17.

1

1
1
lim +
+ +

(2n 1)(. 2n + 1)
1.3 3.5

2.18.

lim

2 n 3n
3

4 3

2.19.

n + 2 n2 + 1

5

n 4 + 1 4 n3 1

1 2 + 3 2n
n2 + 1

n

2 1

n

2 +1

lim

n

1

1 + n +

n k =1

k

n2

Chứng minh các giới hạn quan trọng sau (2.20 2.25)
2.20.

lim

2n
=0
n!

2.21.

lim

an
=0

n!

2.22.

lim

2.23.

lim n n = 1

2.24.

lim n a = 1

2.25.

lim

2.26.

Chứng minh rằng limxn + lim yn lim(xn + yn ) limxn + lim yn

2.27.

CMR, nếu dãy (xn ) thoả mãn điều kiện 0 xm + n xm + xn với mọi

nk
an

=0

1
n

n!

(a > 1)
(a > 0)

=0

x
m, n = 1,2, thì tồn tại lim n .
n

2.28.

20

Chứng minh các dãy sau hội tụ và tìm giới hạn:


n

(3k + 1)

n

1
k =1 k (k + 1)

a. a n =

b. bn =

k =0
n

2k + 3

k =0

c. c n = 3 + sin n
n

a n+1
= + thì lim n an = + .
an

2.29.

Chứng minh rằng, nếu an R + và lim

2.30.

Cho (un ), (vn ) là hai dãy mà un 0, vn 0 , vn đơn điệu giảm thực sự và
u
u
u
lim n +1 n = l R . CMR lim n = l .

vn +1 vn
n vn
m+n
. Chứng minh rằng lim un = 0 .
mn

2.31.

Cho (un ), 0 um + n

2.32.

Cho dãy (un ) xác định:
0 < u1 < 1

u n+1 = u n u n 2

CMR
a. un <

1
n +1

b. lim u n n = 1
n

Tìm các giới hạn của các dãy sau
2.33.
2.34.
2.35.

lim sin 2 n 2 + n


n
lim sin n 2 + 1



n

Giả sử dãy (a n ) thoả mãn điều kiện
i. n N * a n 1
ii. m, n N * a m+ n a m .a n
Chứng minh rằng dãy (bn ) với bn =

ln a n
có giới hạn.
n

21


Đ 3. Giới hạn hàm số, hàm liên tục
I.

Tóm tắt lý thuyết

a. Giới hạn hàm số theo và dãy
Ngời ta sử dụng ký hiệu y = f ( x ) để chỉ một hàm số có đối số x X , giá

trị y = f (x ) Y . Các ký hiệu thờng dùng khác nhau để chỉ hàm số này là:
f

x f ( x ), x y,

Ta nói hàm số y = f ( x ) xác định trong lân cận của điểm x0 nếu > 0 để
hàm số xác định với mọi x ( x0 ; x0 + ) .
Giới hạn hàm số: Ngời ta nói, hàm số f ( x ) xác định trong lân cận x0 (có
thể trừ x0 ra) có giới hạn A và viết lim f ( x ) = A nếu:
x x0

> 0 > 0 x

( x x0 < f (x ) A < )

Đây chính là định nghĩa giới hạn hàm số theo ngôn ngữ .
Tiêu chuẩn giới hạn theo dãy: Hàm số f ( x ) có giới hạn A khi x x0 khi
và chỉ khi với mọi dãy xn x0 , dãy giá trị hàm số tơng ứng f (xn ) A .
Tiêu chuẩn giới hạn theo dãy này đôi khi ngời ta lấy làm định nghĩa giới
hạn hàm số.
b. Giới hạn một phía
Nếu f ( x ) xác định phía bên trái của điểm x0 thì x x0 (hay x x0 0 )
là ký hiệu quá trình x x0 , x < x0 .
Tơng tự nh vậy x x0+ (hay x x0 + 0 ) chính là x x0 , x > x0 .
Nh vậy

22

( )

f x0 = lim f (x )
x x0
x < x0


( )

f x0+ = lim f ( x )
x x0
x > x0

Ví dụ: Xét hàm số f ( x ) = arctg
Ta có

1
x

lim f ( x ) = lim arctg

1

= , còn
x
2

lim f ( x ) = lim arctg

1
=
x 2

x 0

x 0



x 0
x<0

+

( )

x 0
x >0

( )



cho nên f 0 = , f 0 + =

c.

2

2

Các tính chất số học của giới hạn hàm số

Nếu tồn tại các giới hạn hữu hạn lim f1 (x ) = A, lim f 2 (x ) = B thì:
x x0

i.
ii.

lim [ f1 (x ) + f 2 ( x )] = A + B

x x0

x x0

lim [ f1 ( x ) f 2 ( x )] = AB

x x0

lim f ( x )
f1 (x ) x x0 1
A
iii. lim
=
=

lim f 2 ( x ) B
x x0 f 2 ( x )

(B 0 )

x x0

d. Một số giới hạn quan trọng
i.

sin x
=1
x 0 x
lim

x

1
1
ii. lim 1 + = lim (1 + ) = e
0
x
x

e.

Hàm liên tục
Hàm f ( x ) xác định trong lân cận x0 đợc gọi là liên tục tại x0 nếu

lim f ( x ) = f ( x0 ) .

x x0

Điểm x0 thuộc tập xác định hay điểm giới hạn của tập xác định của hàm
f ( x ) đợc gọi là điểm gián đoạn của hàm f ( x ) nếu tại đó không thoả mãn điều

kiện liên tục của hàm số.

23


Điểm gián đoạn x0 của hàm f ( x ) đợc gọi là gián đoạn loại 1 nếu

( ) ( ) (hoặc f (x0+ ) hay f (x0 ) nếu là điểm biên của X) nhng không thoả
mãn f (x0+ ) = f (x0 ) = f ( x0 ) .
f x0+ , f x0

x0 đợc gọi là điểm gián đoạn loại 2 nếu nó là điểm gián đoạn không phải

loại 1.

( ) ( )

x0 đợc gọi là điểm gián đoạn khắc phục đợc nếu f x0+ , f x0 nhng
chúng không bằng nhau (tồn tại một trong hai nếu là điểm biên của X).
i. Hàm f ( x ) liên tục trên [a; b] thì bị chặn trên [a; b] .
ii. Hàm f ( x ) liên tục trên [a; b] thì nhận các giá trị lớn nhất, bé nhất
trên [a; b] ,

tức

là

tồn

tại

x1, x2 [a, b]

sao

cho

f (x1 ) = min f ( x ), f ( x2 ) = max f ( x ) .
x[a,b ]

x[a,b ]

iii. Hàm f (x ) liên tục trên [a; b] có f (a ) = A, f (b ) = B thì với mọi
C ( A; B ) tồn tại c (a; b ) để f (c ) = C .

iv. Hàm f (x ) liên tục trên [a; b] thì liên tục đều trên [a; b] , tức là:
> 0 x [a; b] x [a; b] > 0

f.

( x x < f (x) f (x) < )

VCB, VCL
Ta nói hàm số ( x ) xác định trong lân cận x = x0 (có thể trừ x0 ra) là một

vô cùng bé (VCB) trong quá trình x x0 và viết ( x ) = 0(1) nếu lim ( x ) = 0 .
x x0

Nói ( x ) xác định trong lân cận x = x0 (có thể trừ x0 ra) là một vô cùng
lớn (VCL) trong quá trình x x0 nếu lim ( x ) = hay .
x x0

Để ( x ) 0 là VCB trong quá trình x x0 , điều kiện cần và đủ là

1
là
(x )

VCL trong quá trình x x0 .
Ta nói ( x ) có bậc cao hơn so với VCB ( x ) trong quá trình x x0 và
(x )
= 0.
x x0 ( x )

viết ( x ) = 0( ( x )) nếu lim

24


Nếu các VCB ( x ) , ( x ) trong quá trình x x0 thoả mãn điều kiện
(x )
= K , K 0 thì ngời ta nói ( x ) , ( x ) là các VCB cùng bậc và viết
x x0 ( x )
lim

( x ) = ( (x )) .

Khi K = 1 thì nói ( x ) , ( x ) là các VCB tơng đơng (trong quá trình
x x0 ) và viết ( x ) ~ ( x ) .
f (x )
= A , điều kiện cần và đủ là f ( x ) = ( A + ( x ))g ( x ) ; trong đó

x x0 g ( x )

Để lim
( x ) = 0(1) .

II.

Bài tập
Tìm tập xác định của các hàm số sau (3.1-3.5):

3.1.

y = sin x 1 + 1 cos x

3.2.

y = arccos 1 x 2

3.3.

y = arccos

3.4.

y = arctgx arctg

3.5.

y = arcsin 1 x 2 + arcsin x

1 x2
1 + x2
1
x

Tìm tập giá trị f ( X ) của hàm số f : X Y (3.6-3.13)
x2 + 2x + 3

3.6.

y=

3.7.

y=

3.8.

y=

3.9.

y = x + 1 x2

3.10.

y = 2sin x + cos x

3.11.

y=

x2 + 1
sin x + cos x

với X = 0;
sin 2 x
2
ex 1
ex +1

1
2

sin x

+

1
cos 2 x

25


3.12.

y = arcsin

3.13.

y = arctg

1 − x2
1 + x2

1 − x2
1 + x2

T×m giíi h¹n sau (3.14-3.25)
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.

x2 − 1

lim

x →1 x 2

+1

x2 + 1

lim

x →1 x 2

−1

x3 − 1

lim

x →1 x 2 − 1

lim

(x − 1)

2x − 1

x2 − 1

x →1

3.18.

3 ⎞
⎛ 1
lim⎜
−
⎟
x→1⎝ 1 − x 1 − x 3 ⎠

3.19.

⎡
⎤
1

1
−
lim ⎢
⎥
x → 2 ⎣⎢ x( x − 2 )2
x 2 − 3 x + 2 ⎦⎥

3.20.

lim

3.21.

xm − 1

x →1 x n − 1

(x + 1)10 + (x + 2)10 + Κ + (x + 100)10

lim

x10 + 1010

x → +∞
5

4 5

3.22.

3.23.

x + 1 − x3 + 1

lim

x →∞

lim

3
3 1+

x →0

3

3.24.

lim

26

x4 + 1

x − 3 1− x
2x

1 + x2 − 4 1 − 2x
x + x2

x →0
3

3.25.

(m, n ∈ Z+ )

7 + x3 − 3 + x 2
x −1
x →1
lim


Tìm giá trị của các giới hạn quan trọng sau:
3.26.

(1 + x )à 1

lim

x 0

x
1

3.27.
3.28.

lim (1 + x ) x

x 0

ax 1
x 0 x

(a > 0)

lim

Tìm các giới hạn sau bằng phơng pháp thay tơng đơng (3.29 3.50)
3.29.

sin (a + 2h ) 2 sin (a + h ) + sin a

lim

h2

h 0

3.30.

tg 2 x
x 0 sin 3 x

3.31.

lim

lim

sin x n

x 0 (sin x )m

; m, n Z+

3.32.

2 arcsin x
3x
x 0

3.33.

lim

3.34.

lim

x 0 tg 3 x sin 3 x

1 sin x

lim
x

3.35.

(1 cos x )2




2 x
2


2



lim x tgx
2

x
2

3.36.
3.37.
3.38.

lim

arccos x

x 1

lim

x 0

x +1

1 cos x cos 2 x
x2

e ax ebx
x
x 0
lim

27