Bài tập toán cao cấp tập 1 đại số tuyến tính và hình học giải tích nguyễn thủy thanh

˜
’ THANH
ˆ N THUY
NGUYE

` TA
ˆ. P
BAI
´ CAO CA
ˆ´P
TOAN
Tˆa.p 1
Da.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh
v`a H`ınh ho.c gia’i t´ıch

’ N DAI HOC QUO
` XUA
ˆ´T BA
ˆ´C GIA HA
` NO
ˆI
NHA
.
.
.

H`
a Nˆ
o.i – 2006

Mu.c lu.c
`au . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
oi dˆ
L`
o.i n´
1 Sˆ
o´ ph´
u.c
- i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´
1.1 D
u.c . . . . . . . . . . . .
1.2 Da.ng d a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´
u.c . . . . . . . . .
˜e n h`ınh ho.c. Mˆod un v`a acgumen
1.3 Biˆe’u diˆ
˜e n sˆo´ ph´
1.4 Biˆe’u diˆ
u.c du.´o.i da.ng lu.o..ng gi´ac
- a th´
2 D
u.c v`
a h`
am h˜
u.u ty’
- a th´
2.1 D
u.c . . . . . . . . . . . . . . . . .
- a th´
2.1.1 D
u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´

u.c C
- a th´
2.1.2 D
u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu..c R
2.2 Phˆan th´
u.c h˜
u.u ty’ . . . . . . . . . . . .
- i.nh th´
3 Ma trˆ
a.n. D
u.c
3.1 Ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . .
- i.nh ngh˜ıa ma trˆa.n . . . . . .
3.1.1 D
3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen
3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n . . . .
3.1.4 Ph´ep chuyˆe’n vi. ma trˆa.n . . .
- .inh th´
3.2 D
u.c . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Nghi.ch thˆe´ . . . . . . . . . . .
- i.nh th´
3.2.2 D
u.c . . . . . . . . . . .
3.2.3 T´ınh chˆa´t cu’a di.nh th´
u.c . . .

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

. . . . .
. . . . .
ma trˆa.n
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.

4

.
.
.
.

6
6
8
13
23

.
.
.
.

44
44
45
46
55

.
.
.
.

.
.
.
.
.

66
67
67
69
71
72
85
85
85
88


2

MU
. C LU
.C

3.3

3.4

3.2.4 Phu.o.ng ph´ap t´ınh di.nh th´
u.c . . . . . .

Ha.ng cu’a ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . .
- i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 D
3.3.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ha.ng cu’a ma trˆa.n .
Ma trˆa.n nghi.ch da’o . . . . . . . . . . . . . . .
- i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 D
3.4.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o

e´n t´ınh
4 Hˆ
e. phu.o.ng tr`ınh tuyˆ
4.1 Hˆe. n phu.o.ng tr`ınh v´o.i n ˆa’n c´o di.nh th´
u.c
4.1.1 Phu.o.ng ph´ap ma trˆa.n . . . . . .
4.1.2 Phu.o.ng ph´ap Cramer . . . . . .
4.1.3 Phu.o.ng ph´ap Gauss . . . . . . .
4.2 Hˆe. t`
uy y
´ c´ac phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh . .
`an nhˆa´t .
4.3 Hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆ

kh´ac
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

0.
. .
. .
. .
. .
. .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

89
109
109
109
118
118
119

.
.
.
.
.
.

132
132
133
134
134
143
165

n
5 Khˆ
ong gian Euclide R
- i.nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆ
`eu v`a mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m co.
5.1 D

`e vecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ba’n vˆ
- ˆo’i co. so’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Co. so’.. D
5.3 Khˆong gian vecto. Euclid. Co. so’. tru..c chuˆa’n . . . . . .
5.4 Ph´ep biˆe´n d ˆo’i tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . .
- .inh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 D
5.4.2 Ma trˆa.n cu’a ph´ep bdtt . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 C´ac ph´ep to´an . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Vecto. riˆeng v`a gi´a tri. riˆeng . . . . . . . . . . . .
6 Da.ng to`
an phu.o.ng v`
au
´.ng du.ng d ˆ
e’
v`
a m˘
a.t bˆ
a.c hai
6.1 Da.ng to`an phu.o.ng . . . . . . . . .
6.1.1 Phu.o.ng ph´ap Lagrange . . .
6.1.2 Phu.o.ng ph´ap Jacobi . . . .

177
177
188
201
213
213

213
215
216

o.ng
nhˆ
a.n da.ng du.`
236
. . . . . . . . . . . 236
. . . . . . . . . . . 237
. . . . . . . . . . . 241


MU
. C LU
.C

6.2

6.1.3 Phu.o.ng ph´ap biˆe´n dˆo’i tru..c giao . . . . . . . . . 244
- u.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a du.`o.ng bˆa.c hai v`a m˘a.t
D
`e da.ng ch´ınh t˘´ac . . . . . . . . . . . . . . . . 263
bˆa.c hai vˆ

3


`au
L`

o.i n´
oi dˆ
Gi´ao tr`ınh B`
ai tˆ
a.p to´
an cao cˆ
a´p n`ay du.o..c biˆen soa.n theo Chu.o.ng
tr`ınh To´
an cao cˆ
a´p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu.. nhiˆen cu’a
Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i v`a d˜a du.o..c Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i thˆong
qua v`a ban h`anh.
Mu.c d´ıch cu’a gi´ao tr`ınh l`a gi´
up d˜o. sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c
Tu.. nhiˆen n˘a´m v˜
u.ng v`a vˆa.n du.ng du.o..c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an cao
cˆa´p. Mu.c tiˆeu n`ay quyˆe´t di.nh to`an bˆo. cˆa´u tr´
uc cu’a gi´ao tr`ınh. Trong
`au tiˆen ch´
mˆo˜ i mu.c, dˆ
y thuyˆe´t
ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a´t nh˜
u.ng co. so’. l´
.
.
`an thiˆe´t. Tiˆe´p d´o, trong phˆ
`an C´
v`a liˆe.t kˆe nh˜
u ng cˆong th´
u c cˆ

ac v´ı du.
ch´
ung tˆoi quan tˆam d˘a.c biˆe.t t´o.i viˆe.c gia’i c´ac b`ai to´an mˆa˜ u b˘a`ng c´ach
`an B`
vˆa.n du.ng c´ac kiˆe´n th´
u.c l´
y thuyˆe´t d˜a tr`ınh b`ay. Sau c`
ung, l`a phˆ
ai
.
.
.
.
.
’
`e
tˆ
a.p. O dˆay, c´ac b`ai tˆa.p du o. c gˆo.p th`anh t`
u ng nh´om theo t`
u ng chu’ dˆ
`an vˆ
`e dˆo. kh´o v`a mˆ˜o i nh´om dˆ
`eu
u. tu.. t˘ang dˆ
v`a du.o..c s˘´ap xˆe´p theo th´
`e phu.o.ng ph´ap gia’i. Ch´
c´o nh˜
u.ng chı’ dˆa˜ n vˆ
ung tˆoi hy vo.ng r˘a`ng viˆe.c
.

.
`an C´
l`am quen v´o i l`o i gia’i chi tiˆe´t trong phˆ
ac v´ı du. s˜e gi´
up ngu.`o.i ho.c
n˘a´m du.o..c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an co. ba’n.
Gi´ao tr`ınh B`
ai tˆ
a.p n`ay c´o thˆe’ su’. du.ng du.´o.i su.. hu.´o.ng dˆ˜a n cu’a
`eu c´o d´ap sˆo´, mˆo.t
gi´ao viˆen ho˘a.c tu.. m`ınh nghiˆen c´
u.u v`ı c´ac b`ai tˆa.p dˆ
.
.
`an C´
sˆo´ c´o chı’ dˆa˜ n v`a tru ´o c khi gia’i c´ac b`ai tˆa.p n`ay d˜a c´o phˆ
ac v´ı du.
`e m˘a.t phu.o.ng ph´ap gia’i to´an.
tr`ınh b`ay nh˜
u.ng chı’ dˆa˜ n vˆ
`ay gi´ao: TS. Lˆe D`ınh
T´ac gia’ gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca’m o.n c´ac thˆ
˜e n Minh Tuˆa´n d˜a do.c k˜
Ph`
ung v`a PGS. TS. Nguyˆ
y ba’n tha’o v`a d´ong


y thuyˆe´t h`am biˆe´n ph´
u.c

Co. so’. l´

5

`eu y
`e cˆa´u tr´
g´op nhiˆ
´ kiˆe´n qu´
y b´au vˆ
uc v`a nˆo.i dung v`a d˜a g´op y
´ cho t´ac
.
`e nh˜
gia’ vˆ
u ng thiˆe´u s´ot cu’a ba’n tha’o gi´ao tr`ınh.
`an dˆ
`au, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho’i sai s´ot. Ch´
M´o.i xuˆa´t ba’n lˆ
ung
tˆoi rˆa´t chˆan th`anh mong du.o..c ba.n do.c vui l`ong chı’ ba’o cho nh˜
u.ng
thiˆe´u s´ot cu’a cuˆo´n s´ach dˆe’ gi´ao tr`ınh ng`ay du.o..c ho`an thiˆe.n ho.n.
H`
a Nˆ
o.i, M`
ua thu 2004
T´
ac gia’

Chu.o.ng 1
Sˆ
o´ ph´
u.c

1.1
1.2
1.3
1.4

1.1

- i.nh ngh˜ıa sˆ
D
o´ ph´
u.c . . . . . . . . . . . . . .
o´ cu’a sˆ
o´ ph´
u.c . . . . . . . . . . .
Da.ng d a.i sˆ

6
8

˜
a acgumen . 13
Biˆ
e’u diˆ
e n h`ınh ho.c. Mˆ
od un v`

˜
o.i da.ng lu.o..ng gi´
ac . 23
Biˆ
e’u diˆ
e n sˆ
o´ ph´
u.c du.´

- i.nh ngh˜ıa sˆ
D
o´ ph´
u.c

u. tu.. (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o..c go.i l`a mˆo.t sˆo´
Mˆo˜ i c˘a.p sˆo´ thu..c c´o th´
ph´
u.c nˆe´u trˆen tˆa.p ho..p c´ac c˘a.p d´o quan hˆe. b˘`ang nhau, ph´ep cˆo.ng v`a
ph´ep nhˆan du.o..c du.a v`ao theo c´ac di.nh ngh˜ıa sau dˆay:
(I) Quan hˆe. b˘a`ng nhau

a = a ,
1
2
(a1, b1) = (a2, b2 ) ⇐⇒
b1 = b2.
(II) Ph´ep cˆo.ng


- .inh ngh˜ıa sˆo´ ph´

1.1. D
u.c

7
def

(a1 , b1) + (a2, b2 ) = (a1 + a2, b1 + b2 ).1
(III) Ph´ep nhˆan
def
(a1, b1 )(a2, b2) = (a1a2 − b1b2, a1 b2 + a2b1 ).
Tˆa.p ho..p sˆo´ ph´
u.c du.o..c k´
y hiˆe.u l`a C. Ph´ep cˆo.ng (II) v`a ph´ep nhˆan
(III) trong C c´o t´ınh chˆa´t giao ho´an, kˆe´t ho..p, liˆen hˆe. v´o.i nhau bo’.i
`an tu’. = (0, 0) dˆ
`eu c´o phˆ
`an tu’. nghi.ch da’o.
luˆa.t phˆan bˆo´ v`a mo.i phˆ
`an
Tˆa.p ho..p C lˆa.p th`anh mˆo.t tru.`o.ng (go.i l`a tru.`o.ng sˆo´ ph´
u.c) v´o.i phˆ
.
.
.
´ du.ng quy
`an tu’ do n vi. l`a c˘a.p (1; 0). Ap
tu’ khˆong l`a c˘a.p (0; 0) v`a phˆ
t˘´ac (III) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆe´u k´
y hiˆe.u i = (0, 1) th`ı
i2 = −1

Dˆo´i v´o.i c´ac c˘a.p da.ng d˘a.c biˆe.t (a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v`a (III) ta
c´o
(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0),
(a, 0)(b, 0) = (ab, 0).
`e m˘a.t da.i sˆo´ c´ac c˘a.p da.ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe.t
T`
u. d´o vˆ
v´o.i sˆo´ thu..c R: v`ı ch´
ung du.o..c cˆo.ng v`a nhˆan nhu. nh˜
u.ng sˆo´ thu..c. Do
`ong nhˆa´t c´ac c˘a.p da.ng (a; 0) v´o.i sˆo´ thu..c a:
vˆa.y ta c´o thˆe’ dˆ
(a; 0) ≡ a ∀ a ∈ R.
D˘a.c biˆe.t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1.
Dˆo´i v´o.i sˆo´ ph´
u.c z = (a, b):
`an thu..c a = Re z, sˆo´ thu..c b go.i l`a phˆ
`an
1+ Sˆo´ thu..c a du.o..c go.i l`a phˆ
a’o v`a k´
y hiˆe.u l`a b = Im z.
2+ Sˆo´ ph´
u.c z
u.c z = (a, −b) go.i l`a sˆo´ ph´
u.c liˆen ho..p v´o.i sˆo´ ph´
1

´t cu’a t`
def. l`
a c´

ach viˆe´t t˘
a
u. tiˆe´ng Anh definition (di.nh ngh˜ıa)


u.c
Chu.o.ng 1. Sˆo´ ph´

8

1.2

Da.ng da.i sˆ
o´ cu’a sˆ
o´ ph´
u.c

`eu c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng
Mo.i sˆo´ ph´
u.c z = (a; b) ∈ C dˆ
z = a + ib.

(1.1)

Thˆa.t vˆa.y, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib
u. (1.1)
Biˆe’u th´
u.c (1.1) go.i l`a da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´
u.c z = (a, b). T`
v`a di.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´

u.c liˆen ho..p ta c´o z = a − ib.
u.c du.o..c thu..c
Du.´o.i da.ng da.i sˆo´ c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa.p ho..p sˆo´ ph´
hiˆe.n theo c´ac quy t˘´ac sau.
Gia’ su’. z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Khi d´o
(I) Ph´ep cˆo.ng: z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2 ).
(II) Ph´ep nhˆan: z1z2 = (a1a2 − b1b2 ) + i(a1b2 + a2b1 ).
(III) Ph´ep chia:

z2
a1 a2 + b1b2
a1b2 − a2 b1
=
+i 2
·
2
2
z1
a1 + b1
a1 + b21
´ V´I DU
CAC
.

V´ı du. 1. 1+ T´ınh in . T`
u. d´o ch´
u.ng minh r˘`ang
a) in + in+1 + in+2 + in+3 = 0;
b) i · i2 · · · i99 · i100 = −1.
2+ T`ım sˆo´ nguyˆen n nˆe´u:

a) (1 + i)n = (1 − i)n ;
1−i n
1+i n
+ √
= 0.
b) √
2
2
Gia’i. 1+ Ta c´o i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i v`a
`au l˘a.p la.i. Ta kh´ai qu´at h´oa. Gia’ su’. n ∈ Z v`a
gi´a tri. l˜
uy th`
u.a b˘a´t dˆ
n = 4k + r, r ∈ Z, 0 r 3. Khi d´o
in = i4k+r = i4k · ir = (i4 )k ir = ir


1.2. Da.ng d a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´
u.c

9

(v`ı i4 = i). T`
u. d´o, theo kˆe´t qua’ trˆen ta c´o

in =



1





i

nˆe´u n = 4k,
nˆe´u n = 4k + 1,

(1.2)



−1 nˆe´u n = 4k + 2,




−i nˆe´u n = 4k + 3.

˜e d`ang suy ra a) v`a b).
T`
u. (1.2) dˆ
u.c (1 + i)n = (1 − i)n suy ra
u. hˆe. th´
2+ a) T`
1+i
1−i

n

= 1.

1+i
1+i n
= i nˆen
= in = 1 ⇒ n = 4k, k ∈ Z.
Nhu.ng
1−i
1−i
1+i n
1−i n
1+i
b) T`
u. d˘a’ng th´
u.c √
+ √
= 0 suy r˘`ang
1−i
2
2
v`a do d´o in = −1 ⇒ n = 4k + 2, k ∈ Z.

n

= −1

V´ı du. 2. Ch´
u.ng minh r˘a`ng nˆe´u n l`a bˆo.i cu’a 3 th`ı
√

√
−1 − i 3 n
−1 + i 3 n
+
=2
2
2
v`a nˆe´u n khˆong chia hˆe´t cho 3 th`ı
√
−1 + i 3
2

n

√
−1 − i 3
+
2

n

= −1.

Gia’i. 1+ Nˆe´u n = 3m th`ı
√
√
−1 − i 3 3 m
−1 + i 3 3 m
+
S=

2 √
2
√
√
√
−1 + 3i 3 + 9 − 3i 3 m
−1 − 3i 3 + 9 + 3i 3
=
+
8
8
m
m
= 1 + 1 = 2.

m


u.c
Chu.o.ng 1. Sˆo´ ph´

10
2+ Nˆe´u n = 3m + 1 th`ı
√
√
−1 + i 3 3 m −1 + i 3
+
S=
2
2

√
√
−1 + i 3 −1 − i 3
+
= −1.
=
2
2

√
−1 − i 3
2

3 m

√
1−i 3
2

ung c´o S = −1.
Tu.o.ng tu.. nˆe´u n = 3m + 2 ta c˜
V´ı du. 3. T´ınh biˆe’u th´
u.c
1+i
σ = 1+
2

1+i
1+
2

1+i
1+
2

2

22

1+i
··· 1 +
2

2n

.

1+i
Gia’i. Nhˆan v`a chia biˆe’u th´
u.c d˜a cho v´o.i 1 −
ta c´o
2
1−
σ=

1 + i 2n
2
1+i
1−
2

2

1 + i 2n+1
2
·
1+i
1−
2

1−
=

`an t´ınh
Ta cˆ
1+i
2

2n+1

=

1+i
2

2 2n

i
=
2

2n

n

i2
1
= 2n = 2n ·
2
2

Do d´o
1
1
2 1 − 2n
n
1+i
2
2
2
×
σ=
=
1+i
1−i
1+i
1−
2
1
= 1 − 2n (1 + i)

2
√
˜e n sˆo´ ph´
V´ı du. 4. Biˆe’u diˆ
u.c 4 − 3i du.´o.i da.ng da.i sˆo´.
`an t`ım sˆo´ ph´
Gia’i. Theo di.nh ngh˜ıa ta cˆ
u.c w sao cho w2 = 4 − 3i.
Nˆe´u w = a + bi, a, b ∈ R th`ı
1−

4 − 3i = (a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi.


1.2. Da.ng d a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´
u.c

11

T`
u. d´o
a2 − b2 = 4,

(1.3)

2ab = −3.

(1.4)

3

T`
u. (1.4) ta c´o b = − . Thˆe´ v`ao (1.3) ta thu du.o..c
2a
4u2 − 16u − 9 = 0, u = a2
√
8 + 10
18
9
8 + 100
=
=
= ,
u1 =
4
4
4
2
⇐⇒
√
8 − 10
1
8 − 100
u2 =
=
=− ·
4
4
2
V`ı a ∈ R nˆen u

0⇒u=

9
v`a do vˆa.y
2

3
1
a = ±√ ⇒ b = ∓√ ·
2
2
T`
u. d´o ta thu du.o..c
1
3
w1,2 = ± √ − √ i
2
2
˜e n sˆo´ ph´
V´ı du. 5. Biˆe’u diˆ
u.c
√
√
5 + 12i − 5 − 12i
√
z=√
5 + 12i + 5 − 12i
√
√
`eu kiˆe.n l`a c´ac phˆ

`an thu..c cu’a 5 + 12i v`a 5 − 12i dˆ
`eu ˆam.
v´o.i diˆ
.
.
´ du.ng phu o ng ph´ap gia’i trong v´ı du. 4 ta c´o
Gia’i. Ap
√
5 + 12i = x + iy ⇒ 5 + 12i = x2 − y 2 − 2xyi

x2 − y 2 = 5,
⇐⇒
2xy
= 12.


u.c
Chu.o.ng 1. Sˆo´ ph´

12

`eu kiˆe.n, phˆ
`an
Hˆe. n`ay c´o hai nghiˆe.m l`a (3; 2) v`a (−3; −2). Theo diˆ
√
√
.
.
.
.

thu. c cu’a 5 + 12i ˆam nˆen ta c´o 5 + 12i = −3 − 2i. Tu o ng tu. ta
√
t`ım du.o..c 5 − 12i = −3 + 2i. Nhu. vˆa.y
z=

2
−3 − 2i − (−3 + 2i)
= i
−3 − 2i + (−3 + 2i)
3

z−1
V´ı du. 6. Gia’ su’. z = a + ib, z = ±1. Ch´
l`a
u.ng minh r˘`ang w =
z+1
`an a’o khi v`a chı’ khi a2 + b2 = 1.
sˆo´ thuˆ
Gia’i. Ta c´o
w=

(a − 1) + ib
a2 + b2 − 1
2b
=
+i
·
2
2
(a + 1) + ib

(a + 1) + b
(a + 1)2 + b2

`an a’o khi v`a chı’ khi
T`
u. d´o suy r˘`ang w thuˆ
a2 + b2 − 1
= 0 ⇐⇒ a2 + b2 = 1.
(a + 1)2 + b2
` TA
ˆP
BAI
.
T´ınh
(1 + i)8 − 1
·
1.
(1 − i)8 + 1

(DS.

15
)
17

2.

(1 + 2i)3 + (1 − 2i)3
·
(2 − i)2 − (2 + i)2

3.

(3 − 4i)(2 − i) (3 + 4i)(2 + i)
−
·
2+i
2−i

1−i
4.
1+ √
2
(DS. 0)

1−i
1+ √
2

(DS. −

2

11
i)
4
(DS. −

1−i
1+ √

2

22

14
)
5

1−i
··· 1 + √
2

´ du.ng c´ach gia’i v´ı du. 3.
˜
Chı’ dˆ
a n. Ap
5. Ch´
u.ng minh r˘a`ng
a) z1 + z2 = z1 + z 2 ; b) z1 z2 = z1 · z 2 ; c)

z1
z2

=

z1
;
z2

2n

.


˜e n h`ınh ho.c. Mˆod un v`a acgumen
1.3. Biˆe’u diˆ
n

d) z n = (z) ; e) z + z = 2Re z; g) z − z = 2Im z.
6. V´o.i gi´a tri. thu..c n`ao cu’a x v`a y th`ı c´ac c˘a.p sˆo´ sau dˆay l`a c´ac c˘a.p
sˆo´ ph´
u.c liˆen ho..p:
1) y 2 − 2y + xy − x + y + (x + y)i v`a −y 2 + 2y + 11 − 4i;
2) x + y 2 + 1 + 4i v`a ixy 2 + iy 2 − 3 ?
(DS. 1) x1 = 1, y1 = 3; x2 = 9, y2 = 5; 2) x1,2 = −5, y1,2 = ±5)
u.c liˆen ho..p khi v`a chı’
u.ng sˆo´ ph´
7. Ch´
u.ng minh r˘a`ng z1 v`a z2 l`a nh˜
u.ng sˆo´ thu..c.
khi z1 + z2 v`a z1z2 l`a nh˜
8. T´ınh:
√
1) −5 − 12i.
√
2) 24 + 10i.
√
3) 24 − 10i.
√
4) 1 + i 3 +

(DS. ±(2 − 3i))
(DS. ±(5 + i))
(DS. ±(5 − i))
√
√
√
1 − i 3.
(DS. ± 6, ±i 2)

9. Ch´
u.ng minh r˘`ang
1) 1 − C82 + C84 − C86 + C88 = 16;
2) 1 − C92 + C94 − C96 + C98 = 16;
3) C91 − C93 + C95 − C97 + C99 = 16.
´ du.ng cˆong th´
˜
u.c Newton dˆo´i v´o.i (1 + i)8 v`a
Chı’ dˆ
a n. Ap
u.c nhi. th´
(1 + i)9.

1.3

˜
Biˆ
e’u diˆ
e n h`ınh ho.c. Mˆ
odun v`

a acgumen

´.ng v´o.i diˆe’m M(a; b) cu’a
Mˆo˜ i sˆo´ ph´
u.c z = a + ib c´o thˆe’ d˘a.t tu.o.ng u
`eu
m˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo. v`a ngu.o..c la.i mˆo˜ i diˆe’m M (a; b) cu’a m˘a.t ph˘a’ng dˆ
tu.o.ng u
´.ng v´o.i sˆo´ ph´
u.c z = a + ib. Ph´ep tu.o.ng u
´.ng du.o..c x´ac lˆa.p l`a
do.n tri. mˆo.t - mˆo.t. Ph´ep tu.o.ng u
´.ng d´o cho ph´ep ta xem c´ac sˆo´ ph´
u.c
nhu. l`a c´
ac diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo.. M˘a.t ph˘a’ng d´o du.o..c go.i l`a
m˘a.t ph˘a’ng ph´
u.c. Tru.c ho`anh cu’a n´o du.o..c go.i l`a Tru.c thu..c, tru.c tung

13


u.c
Chu.o.ng 1. Sˆo´ ph´

14

u.c z = a + ib c´o thˆe’ xem
du.o..c go.i l`a Tru.c a’o. Thˆong thu.`o.ng sˆo´ ph´
−→

`au O(0, 0) v`a
nhu. vecto. OM . Mˆo˜ i vecto. cu’a m˘a.t ph˘a’ng v´o.i diˆe’m dˆ
`eu tu.o.ng u
diˆe’m cuˆo´i ta.i diˆe’m M(a; b) dˆ
´.ng v´o.i sˆo´ ph´
u.c z = a + ib v`a
ngu.o..c la.i.
´.ng du.o..c x´ac lˆa.p gi˜
u.a tˆa.p ho..p sˆo´ ph´
u.c C v´o.i tˆa.p ho..p
Su.. tu.o.ng u
c´ac diˆe’m hay c´ac vecto. m˘a.t ph˘a’ng cho ph´ep go.i c´ac sˆo´ ph´
u.c l`a diˆe’m
hay vecto..
˜e n h`ınh ho.c sˆo´ ph´
V´o.i ph´ep biˆe’u diˆ
u.c, c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a tr`
u.
u. c´ac vecto..
c´ac sˆo´ ph´
u.c du.o..c thu..c hiˆe.n theo quy t˘´ac cˆo.ng v`a tr`
´.ng v´o.i sˆo´ ph´
u.c z
Gia’ su’. z ∈ C. Khi d´o dˆo. d`ai cu’a vecto. tu.o.ng u
du.o..c go.i l`a mˆ
odun cu’a n´o.
Nˆe´u z = a + ib th`ı
r = |z| =

√

√
a2 + b2 = z z.

G´oc gi˜
u.a hu.´o.ng du.o.ng cu’a tru.c thu..c v`a vecto. z (du.o..c xem l`a g´oc
`eu kim dˆ
`ong hˆ
`o) du.o..c go.i l`a
du.o.ng nˆe´u n´o c´o di.nh hu.´o.ng ngu.o..c chiˆ
acgumen cu’a sˆo´ z = 0. Dˆo´i v´o.i sˆo´ z = 0 acgumen khˆong x´ac di.nh.
Kh´ac v´o.i mˆodun, acgumen cu’a sˆo´ ph´
u.c x´ac di.nh khˆong do.n tri., n´o
x´ac di.nh v´o.i su.. sai kh´ac mˆo.t sˆo´ ha.ng bˆo.i nguyˆen cu’a 2π v`a
Arg z = arg z + 2kπ,

k ∈ Z,

`eu
trong d´o arg z l`a gi´
a tri. ch´ınh cu’a acgumen du.o..c x´ac di.nh bo’.i diˆ
kiˆe.n −π < arg z π ho˘a.c 0 arg z < 2π.
˜e n qua
`an thu..c v`a phˆ
`an a’o cu’a sˆo´ ph´
Phˆ
u.c z = a + ib du.o..c biˆe’u diˆ
mˆodun v`a acgument cu’a n´o nhu. sau

a = r cos ϕ,
y = r sin ϕ.

˜e n h`ınh ho.c. Mˆod un v`a acgumen
1.3. Biˆe’u diˆ

15

u.c c´o thˆe’ t`ım t`
u. hˆe. phu.o.ng tr`ınh
Nhu. vˆa.y, acgumen ϕ cu’a sˆo´ ph´

a

,
cos ϕ = √ 2
a + b2
b

sin ϕ = √
·
a2 + b2
´ V´I DU
CAC
.
2
x − y 2 + 2xyi
·
V´ı du. 1. T`ım mˆodun cu’a sˆo´ z = √
xy 2 + i x4 + y 4
Gia’i. Ta c´o

(x2 − y 2 )2 + (2xy)2
x2 + y 2
=
= 1.
√
x2 + y 2
2
4
4
2
(xy 2) + ( x + y )

|z| =

`eu c´o:
V´ı du. 2. Ch´
u.ng minh r˘a`ng ∀ z1, z2 ∈ C ta dˆ
(i) |z1 + z2| |z1 | + |z2|; (ii) |z1 − z2| |z1| + |z2|;
(iii) |z1 + z2| |z1 | − |z2 |; (iv) z1 − z2 | |z1| − |z2.
Gia’i. (i) Ta c´o
|z1 + z2|2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = |z1|2 + |z2|2 + 2Re(z1z 2 ).
V`ı −|z1z2 |

Re(z1 z 2)

|z1 + z2|2

|z1z2| nˆen

|z1|2 + |z2|2 + 2|z1 ||z2| = (|z1| + |z2|)2

⇒ |z1 + z2|

|z1| + |z2 |.

(ii) V`ı |z2 | = | − z2| nˆen
|z1 − z2 | = |z1 + (−z2)| ≤ |z1| + | − z2| = |z1 | + |z2|.
´ du.ng (ii) cho z1 = (z1 + z2 ) − z2 v`a thu du.o..c
(iii) Ap
|z1|

|z1 + z2 | + |z2| → |z1 + z2|

|z1| − |z2|.


u.c
Chu.o.ng 1. Sˆo´ ph´

16

(iv) |z1 − z2| = |z1 + (−z2)| ≥ |z1| − | − z2 | = |z1| − |z2|.
Nhˆ
a.n x´et. C´ac bˆa´t d˘a’ng th´
u.c (iii) v`a (iv) c`on c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i
da.ng
(iii)∗. |z1 + z2 |
|z1| − |z2| ; (iv)∗. |z1 − z2 |
|z1| − |z2| .
Thˆa.t vˆa.y ta c´o |z1 + z2| |z1| − |z2| v`a |z1 + z2| |z2| − |z1 |. C´ac
`e dˆa´u do d´o nˆe´u lˆa´y vˆe´ pha’i du.o.ng th`ı thu du.o..c

vˆe´ pha’i kh´ac nhau vˆ
(iii)∗. Bˆa´t d˘a’ng th´
u. (iii)∗ b˘a`ng c´ach thay z2 bo’.i
u.c (iv)∗ thu du.o..c t`
−z2.
`ong nhˆa´t th´
u.c
V´ı du. 3. Ch´
u.ng minh dˆ
|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2).
Gia’i th´ıch y
´ ngh˜ıa h`ınh ho.c cu’a hˆe. th´
u.c d˜a ch´
u.ng minh.
Gia’i. Gia’ su’. z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 . Khi d´o
z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2),
z1 − z2 = x1 − x2 + i(y1 − y2 ),
|z1 + z2|2 = (x1 + x2 )2 + (y1 + y2)2 ,
|z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2 .
T`
u. d´o thu du.o..c
|z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(x21 + y1 )2 + 2(x22 + y22 ) = 2(|z1 |2 + |z2 |2).
u.c d˜a ch´
T`
u. hˆe. th´
u.ng minh suy r˘`ang trong mˆo˜ i h`ınh b`ınh h`anh tˆo’ng c´ac
b`ınh phu.o.ng dˆo. d`ai cu’a c´ac du.`o.ng ch´eo b˘`ang tˆo’ng c´ac b`ınh phu.o.ng
dˆo. d`ai cu’a c´ac ca.nh cu’a n´o.
V´ı du. 4. Ch´
u.ng minh r˘`ang nˆe´u |z1| = |z2| = |z3| th`ı

arg

z2
1
z3 − z2
= arg ·
z3 − z1
2
z1

Gia’i. Theo gia’ thiˆe´t, c´ac diˆe’m z1 , z2 v`a z3 n˘a`m trˆen du.`o.ng tr`on
n`ao d´o v´o.i tˆam ta.i gˆo´c to.a dˆo.. Ta x´et c´ac vecto. z3 − z2; z3 − z1, z1 v`a
z2 (h˜ay v˜e h`ınh).


˜e n h`ınh ho.c. Mˆod un v`a acgumen
1.3. Biˆe’u diˆ
˜e thˆa´y r˘a`ng
B˘`ang nh˜
u.ng nguyˆen do h`ınh ho.c, dˆ
arg

z3 − z2
= arg(z3 − z2 ) − arg(z3 − z1)
z3 − z1

v`a g´oc n`ay nh`ın cung tr`on nˆo´i diˆe’m z1 v`a z2 v`a g´oc o’. tˆam
arg

z2

= argz2 − argz1
z1

c˜
ung ch˘´an ch´ınh cung tr`on d´o. Theo di.nh l´
y quen thuˆo.c cu’a h`ınh ho.c
.
so cˆa´p ta c´o
arg

z2
z3 − z2
1
= arg ·
z3 − z1
2
z1

V´ı du. 5. Ch´
u.ng minh r˘a`ng nˆe´u |z1| = |z2| = |z3 | = 1 v`a z1 +z2+z3 = 0
`eu nˆo.i tiˆe´p trong
th`ı c´ac diˆe’m z1, z2 v`a z3 l`a c´ac dı’nh cu’a tam gi´ac dˆ
du.`o.ng tr`on do.n vi..
Gia’i. Theo gia’ thiˆe´t, ba diˆe’m z1, z2 v`a z3 n˘a`m trˆen du.`o.ng tr`on
do.n vi.. Ta t`ım dˆo. d`ai cu’a c´ac ca.nh tam gi´ac.
1+ T`ım dˆo. d`ai |z1 − z2|. Ta c´o
|z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2 )2
= x21 + y12 + x22 + y22 − (2x1 x2 + 2y1 y2)
= 2(x21 + y12) + 2(x22 + y22 ) − [(x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2]
= 2|z1 |2 + 2|z2 |2 − 2|z1 + z2 |2.

Nhu.ng z1 + z2 = −z3 v`a |z1 + z2| = |z3|. Do d´o
|z1 − z2|2 = 2|z1 |2 + 2|z2|2 − |z3|2 = 2 · 1 + 2 · 1 − 1 = 3
v`a t`
u. d´o
√
|z1 − z2| = 3 .
√
√
u. d´o suy ra
2+ Tu.o.ng tu.. ta c´o |z2 − z3 | = 3, |z3 − z1 | = 3. T`
`eu.
tam gi´ac v´o.i dı’nh z1 , z2, z3 l`a tam gi´ac dˆ

17


u.c
Chu.o.ng 1. Sˆo´ ph´

18

`eu kiˆe.n n`ao th`ı ba diˆe’m kh´ac nhau t`
V´ı du. 6. V´o.i diˆ
u.ng dˆoi mˆo.t z1,
z2 , z3 n˘a`m trˆen mˆo.t du.`o.ng th˘a’ng.
Gia’i. 1+ Nˆe´u c´ac diˆe’m z1, z2, z3 n˘`am trˆen du.`o.ng th˘a’ng cho tru.´o.c
th`ı vecto. di t`
u. z2 dˆe´n z1 c´o hu.´o.ng nhu. cu’a vecto. di t`
u. diˆe’m z3 dˆe´n
`eu d´o c´o ngh˜ıa l`a c´ac g´oc nghiˆeng cu’a

z1 ho˘a.c c´o hu.´o.ng ngu.o..c la.i. Diˆ
c´ac vecto. n`ay dˆo´i v´o.i tru.c thu..c ho˘a.c nhu. nhau ho˘a.c sai kh´ac g´oc π.
Nhu.ng khi d´o ta c´o
arg(z1 − z2 ) = arg(z1 − z3 ) + kπ,

k = 0, 1.

T`
u. d´o suy ra
arg

z1 − z2
= arg(z1 − z2 ) − arg(z1 − z3) = kπ,
z1 − z3

k = 0, 1.

z1 − z2
u.c
c´o acgumen b˘a`ng 0 ho˘a.c b˘a`ng π, t´
u.c l`a sˆo´
Nhu. vˆa.y sˆo´ ph´
z1 − z3
z1 − z2
`eu kiˆe.n thu du.o..c l`a diˆ
`eu kiˆe.n cˆ
`an.
l`a sˆo´ thu..c. Diˆ
z1 − z3
`eu kiˆe.n du’. Gia’ su’.

u.ng minh r˘`ang d´o c˜
ung l`a diˆ
2+ Ta ch´
z1 − z2
= α,
z1 − z3
Khi d´o Im

α ∈ R.

z1 − z2
u.c
= 0. Hˆe. th´
u.c n`ay tu.o.ng du.o.ng v´o.i hˆe. th´
z1 − z3
y1 − y3
x1 − x3
=
·
y1 − y2
x1 − x2

(1.5)

Phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng th˘a’ng qua diˆe’m (x1, y1) v`a (x2, y2 ) c´o da.ng
x − x1
y − y1
=
·
y2 − y1

x2 − x1

(1.6)

T`
u. (1.5) v`a (1.6) suy ra diˆe’m (x3 , y3) n˘`am trˆen du.`o.ng th˘a’ng d´o.
V´ı du. 7. X´ac di.nh tˆa.p ho..p diˆe’m trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´
u.c tho’a m˜an c´ac
`eu kiˆe.n:
diˆ


˜e n h`ınh ho.c. Mˆod un v`a acgumen
1.3. Biˆe’u diˆ
1) |z − 2| + |z + 2| = 5;
2) |z − 2| − |z + 2| > 3;
3) Re z

c;

4) Im z < 0.
u.c |z − 2| + |z + 2| = 5 x´ac di.nh qu˜
y t´ıch nh˜
u.ng
Gia’i. 1) D˘a’ng th´
diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng m`a tˆo’ng khoa’ng c´ach t`
u. d´o dˆe´n hai diˆe’m cho
tru.´o.c F1 = −2 v`a F2 = +2 l`a h˘`ang sˆo´ b˘a`ng 5. Theo di.nh ngh˜ıa trong
5
h`ınh ho.c gia’i t´ıch d´o l`a du.`o.ng ellip v´o.i b´an tru.c l´o.n b˘`ang v`a tiˆeu

2
diˆe’m ±2.
`eu kiˆe.n
2) Qu˜
y t´ıch c´ac diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng C tho’a m˜an diˆ
|z − 2| − |z + 2| = 3 l`a du.`o.ng hypecbˆon. D˘a’ng th´
u.c
|z − 2| − |z + 2| = 3
x´ac di.nh nh´anh bˆen tr´ai cu’a du.`o.ng hypecbˆon v`a bˆa´t d˘a’ng th´
u.c
`an trong cu’a nh´anh d´o.
|z − 2| − |z + 2| > 3 x´ac di.nh phˆ
3) Rez c ⇒ x c. D´o l`a nu’.a m˘a.t ph˘a’ng bˆen pha’i du.`o.ng th˘a’ng
x = c (kˆe’ ca’ du.`o.ng th˘a’ng x = c).
4) V`ı Im z = y ⇒ Im z < c ⇒ y < c. D´o l`a nu’.a m˘a.t ph˘a’ng du.´o.i
du.`o.ng th˘a’ng y = c (khˆong kˆe’ du.`o.ng th˘a’ng d´o).
V´ı du. 8. X´ac di.nh tˆa.p ho..p diˆe’m trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´
u.c C du.o..c cho
`eu kiˆe.n:
bo’.i diˆ
1) |z| = Rez + 1;
2) |z − 1|

2|z − i|;

3) |z − 2 + i|u2 − 2|z − 2 + i|u + 1 > 0 ∀ u ∈ R.
1
= 0.
4) log3(2 + |z 2 + i|) + log27
(2 + |z 2 − i|)3

`eu kiˆe.n
Gia’i. 1) Gia’ su’. z = x + iy. Khi d´o t`
u. diˆ
|z| = Rez + 1 ⇒

x2 + y 2 = x + 1 ⇒ y 2 = 2x + 1.

19


u.c
Chu.o.ng 1. Sˆo´ ph´

20
D´o l`a phu.o.ng tr`ınh parabˆon v´o.i dı’nh ta.i diˆe’m
x´
u.ng l`a tia
γ = (x, y) ∈ R2 : x

1
− ; 0 v´o.i tru.c dˆo´i
2

1
− ,y = 0 .
2

`eu kiˆe.n d˜a cho suy ra:
2) Gia’ su’. z = x + iy. Khi d´o t`
u. diˆ

|x − 1 + iy|

2|x + i(y − 1)|

(x − 1)2 + y 2 ≥ 2
1 2
4
⇒ x+
+ y−
3
3

⇒

x2 + (y − 1)2
2
8
·
9

1 4
`eu kiˆe.n d˜a cho x´ac di.nh h`ınh tr`on tˆam z0 = − +i
T`
u. d´o suy ra r˘a`ng diˆ
3 3
√
2 2
.
v`a b´an k´ınh
3

`eu kiˆe.n d˜a cho
3) V`ı tam th´
u.c bˆa.c hai (dˆo´i v´o.i u) o’. vˆe´ tr´ai cu’a diˆ
du.o.ng ∀ u ∈ R nˆen biˆe.t sˆo´ cu’a n´o ˆam, t´
u.c l`a
|z − 2 + i|2 − |z − 2 + i| < 0
⇒|z − 2 + i| < 1.
D´o l`a h`ınh tr`on v´o.i tˆam ta.i z0 = 2 − i v`a b´an k´ınh b˘`ang 1.
`eu kiˆe.n d˜a cho ta thu du.o..c
4) T`
u. diˆ
2 + |z 2 + i|
=0
log3
2 + |z 2 − i|
2 + |z 2 + i|
⇒
= 1 v`a |z 2 + i| = |z 2 − i|.
2
2 + |z − i|
y. Nhu.ng khi d´o z l`a sˆo´ thu..c bˆa´t
T`
u. d´o suy r˘a`ng z 2 l`a sˆo´ thu..c bˆa´t k`
`an a’o bˆa´t k`
k`
y ho˘a.c sˆo´ thuˆ
y. Nhu. vˆa.y chı’ c´o c´ac diˆe’m n˘`am trˆen c´ac
`eu kiˆe.n d˜a cho.
tru.c to.a dˆo. l`a tho’a m˜an diˆ
` TA

ˆ. P
BAI


˜e n h`ınh ho.c. Mˆod un v`a acgumen
1.3. Biˆe’u diˆ

21

1. Ch´
u.ng minh r˘`ang
1) |z1 · z2| = |z1 | · |z2 |;
2) |z1 ± z2 | |z1| + |z2|;
3) |z1 ± z2 |
|z1| − |z2| .
˜e n h`ınh ho.c, ch´
u.ng minh:
2. Xuˆa´t ph´at t`
u. c´ac biˆe’u diˆ
z
−1
|argz|;
1)
|z|
2) |z − 1|
|z| − 1 + |z||argz|.
3. Ch´
u.ng minh r˘a`ng nˆe´u gi´a tri. ch´ınh argz = arg(a + ib) tho’a m˜an
`eu kiˆe.n −π < argz π th`ı n´o du.o..c t´ınh theo cˆong th´
diˆ

u.c

b

arctg
nˆe´u a > 0,


a


b
arg(a + ib) = arctg + π nˆe´u a < 0, b 0,

a




arctg b − π nˆe´u a < 0, b < 0.
a
`eu kiˆe.n
4. Ch´
u.ng minh r˘`ang nˆe´u gi´a tri. ch´ınh arg(a + ib) tho’a m˜an diˆ
0 arg(a + ib) < 2π th`ı

b


arctg



a


b
arg(a + ib) = arctg + 2π

a




arctg b + π
a

nˆe´u a > 0, b > 0,
nˆe´u a > 0, b < 0,
nˆe´u a < 0.

π π
b
˜
.
Chı’ dˆ
a n. Lu.u y
´ r˘a`ng gi´a tri. ch´ınh cu’a arctg ∈ − ,
a
2 2
5. Ch´

u.ng minh r˘`ang |a + b|2 + |a − b|2 = 4|a|2 nˆe´u |a| = |b|.
`ong nhˆa´t th´
u.c
6. Ch´
u.ng minh dˆ
|1 − ab|2 − |a − b|2 = (1 + |ab|)2 − (|a| + |b|)2,
˜
Chı’ dˆ
a n. Su’. du.ng hˆe. th´
u.c |z|2 = zz.

a ∈ C, b ∈ C.


u.c
Chu.o.ng 1. Sˆo´ ph´

22
`ong nhˆa´t th´
7. Ch´
u.ng minh dˆ
u.c
1) |a + b|2 = (|a| + |b|)2 − 2 |ab| − Re(ab) .
2) |ab + 1|2 + |a − b|2 = (|a|2 + 1)(|b|2 + 1).

`eu c´o thˆe’ biˆe’u
u.c z = −1 v`a |z| = 1 dˆ
8. Ch´
u.ng minh r˘a`ng mo.i sˆo´ ph´
˜e n du.´o.i da.ng

diˆ
z=

1 + ti
,
1 − ti

t ∈ R.

˜
˜e n t qua z v`a ch´
Chı’ dˆ
a n. Biˆe’u diˆ
u.ng minh t = t.
1 + |a|
√ ·
2
.
.
˜
u ng.
Chı’ dˆ
a n. C´o thˆe’ ch´
u ng minh b˘`ang pha’n ch´

9. Ch´
u.ng minh r˘a`ng nˆe´u Rea

0 th`ı |1 + a|

`eu kiˆe.n
10. Trong c´ac sˆo´ ph´
u.c tho’a m˜an diˆ
|z − 25i|

15

h˜ay t`ım sˆo´ c´o acgument du.o.ng nho’ nhˆa´t.
11. T`ım acgumen cu’a c´ac sˆo´ ph´
u.c sau dˆay
π
π
π
(DS. − )
1) cos − i sin ·
6
6
6
π
π
2π
(DS. )
2) − cos + i sin ·
3
3
3
3) cos ϕ − i sin ϕ.
(DS. −ϕ)
4) − cos ϕ − i sin ϕ.
5) sin ϕ + i cos ϕ.

6) sin ϕ − i cos ϕ.
7) − sin ϕ − i cos ϕ.

(DS. π + ϕ)
π
(DS. − ϕ)
2
π
(DS. ϕ − )
2
π
(DS. − − ϕ )
2


˜e n sˆo´ ph´
1.4. Biˆe’u diˆ
u.c du.´o.i da.ng lu.o..ng gi´ac

1.4

23

˜
Biˆ
e’u diˆ
e n sˆ
o´ ph´
u.c du.´
o.i da.ng lu.o..ng

gi´
ac

˜e n du.o..c du.´o.i da.ng
`eu biˆe’u diˆ
Mo.i sˆo´ ph´
u.c z = a + ib = 0 dˆ
z = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ)

(1.7)

√
trong d´o r = |z| = a2 + b2, ϕ l`a mˆo.t trong c´ac acgumen cu’a n´o.
˜e n d´o du.o..c go.i l`a da.ng lu.o..ng gi´
Ph´ep biˆe’u diˆ
ac cu’a sˆo´ ph´
u.c z. Dˆe’
`an t`ım mˆodun
chuyˆe’n t`
u. da.ng da.i sˆo´ sang da.ng lu.o..ng gi´ac ta chı’ cˆ
v`a mˆo.t trong c´ac acgument cu’a n´o. V`ı mˆodun v`a acgumen cu’a tˆo’ng
˜e n qua mˆodun v`a acgumen cu’a
(hiˆe.u) hai sˆo´ ph´
u.c kh´o c´o thˆe’ biˆe’u diˆ
c´ac sˆo´ ha.ng nˆen ph´ep cˆo.ng v`a ph´ep tr`
u. du.´o.i da.ng lu.o..ng gi´ac l`a khˆong
kha’ thi. Ngu.o..c la.i, ph´ep nhˆan, ph´ep chia, ph´ep nˆang lˆen l˜
uy th`
u.a v`a
khai c˘an du.o..c thu..c hiˆe.n rˆa´t tiˆe.n lo..i du.´o.i da.ng lu.o..ng gi´ac.

Gia’ su’. z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2),
z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi d´o
1+ z1z2 = r1 r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )]
r1
z1
= [cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )], r2 = 0.
2+
z2
r2
+ n
3 z = rn [cos nϕ + i sin nϕ], n ∈ Z.
√
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ
+ i sin
, k = 0, n − 1.
4+ wk = n r cos
n
n
T`
u. 3+ suy ra
[cos ϕ + i sin ϕ]n = cos nϕ + i sin nϕ.

(1.8)

u.c Moivre.
Cˆong th´
u.c (1.8) du.o..c go.i l`a cˆong th´
Ph´ep to´an nˆang sˆo´ e lˆen lu˜
y th`

u.a ph´
u.c z = x + iy du.o..c di.nh ngh˜ıa
bo’.i cˆong th´
u.c
def

ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y).
Ch˘a’ng ha.n

(1.9)


u.c
Chu.o.ng 1. Sˆo´ ph´

24

e1+i = e(cos 1 + i sin 1),
π
π
eπi/2 = cos + i sin = i,
2
2
πi
e = cos π + i sin π = −1.
u.c
T`
u. (1.9) khi z = iϕ ta thu du.o..c cˆong th´
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ

(1.10)

go.i l`a cˆong th´
u.c Euler.
˜e n du.´o.i da.ng
`eu c´o thˆe’ biˆe’u diˆ
Mo.i sˆo´ ph´
u.c z = 0 dˆ
z = reiϕ ,

(1.11)

˜e n
trong d´o r = |z|, ϕ l`a mˆo.t trong c´ac acgumen cu’a n´o. Ph´ep biˆe’u diˆ
(1.11) du.o..c go.i l`a da.ng m˜
u cu’a sˆ
o´ ph´
u.c. C˜
ung nhu. dˆo´i v´o.i da.ng lu.o..ng
gi´ac ta c´o:
1/ nˆe´u z1 = r1 eiϕ1 , z2 = r2 eiϕ2 th`ı
z1z2 = r1 r2 ei(ϕ1+ϕ2 ) ,
r1
z1/z2 = ei(ϕ1 −ϕ2 ) ,
r2

(1.12)
(1.13)

2/ nˆe´u z = reiϕ th`ı

z n = rn einϕ ,
√
√ ϕ+2kπ
n
z = n rei n ,

(1.14)
k = 0, n − 1

´ V´I DU
CAC
.
.
˜e n c´ac sˆo´ ph´
V´ı du. 1. Biˆe’u diˆ
u c sau dˆay du.´o.i da.ng lu.o..ng gi´ac
√
√
1) −1 + i 3; 2) 2 + 3 + i.
Gia’i. 1) T`ım mˆodun v`a acgumen cu’a sˆo´ ph´
u.c d˜a cho:
r=

√
(−1)2 + ( 3)2 = 2;

√
tg ϕ = − 3 .

(1.15)