Xử lý tín hiệu số chương IV (phần 2)

Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
DFT [ x 2 (n)] = X 2 (k )

DFT [ x 3 (n)] = X 3 (k )

thì

(4.26)

X 3 (k ) = aX 1 (k ) + bX 2 (k )

chú ý rằng nếu chiều dài của x1 (n) và x 2 (n) là khác nhau thì
L[ x1 (n)] = N 1
L[ x 2 (n)] = N 2

thì ta phải chọn chiều dài của dãy x 3 (n) như sau :
L[ x 3 (n)] = N 3 = max( N 1 , N 2 )

và tất cả các DFT[x1(n)], DFT[x2(n)] và DFT[x3(n)] đều phải tính đến N3 mẫu. Giả sử
nếu N1 < N2 thì dãy x1(n) phải được kéo dài thêm N2 – N1 mẫu không và DFT[x1(n)]
phải được tính trên N3 = N2 mẫu và DFT[x2(n)] và DFT[x3(n)] cũng được tính trên N3 +
N2 mẫu. Cụ thể là :
X 1 (k ) =
X 2 (k ) =
X 3 (k ) =

N1 −1

∑ x (n)W
n =0

1

N 2 −1

∑x
n =0

n =0

≡ X 1 (k ) N 3

, 0 ≤ k ≤ N2 – 1

2

(n)W Nkn2 ≡ X 2 (k ) N 3

, 0 ≤ k ≤ N2 – 1

3

(n)W Nkn2 ≡ X 3 (k ) N 3

, 0 ≤ k ≤ N2 – 1

N 3 −1

∑x

kn

N2

để nhấn mạnh và chỉ rõ chiều dài của các dãy trong miền n và miền k ta ghi thêm
chiều dài vào ký hiệu dãy như là ;
x1 (n) N1 : Dãy có chiều dài N1
x 2 (n) N 2 : Dãy có chiều dài N2
x 3 (n) N 3 : Dãy có chiều dài N3

X 1 (k ) N 3 : Dãy có chiều dài N4

…
b.

Trễ Vòng

Trước hết, chúng ta nhìn lại trễ tuyến tính và trễ tuần hoàn có chu kỳ N để so
sánh và rút ra kết luận của trễ vòng. Để thấy được một cách trực quan ta có ví dụ sau :
Ví dụ 4.4 :
Cho dãy x(n) sau :
Xử Lý Tín Hiệu Số

138


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
n

1−
x (n ) = 
4

0

, 0≤n≤4

x (n )

, n còn lại

Hãy tìm trễ tuyến tính x(n - 2) và x(n + 2).
n

Giải :
Chúng ta giải bằng đồ thò cho trên hình 4.12

Hình 4.12a

Ví dụ 4.5 :

x (n − 2)

Cho dãy tuần hoàn chu kỳ N = 4, ~x (n) 4 sau đây:
n

1−
, 0≤n≤4
x (n ) = 
4
0
, n còn lại

n

Hãy tìm ~x (n − 2) 4 và ~x (n + 2) 4 , sau đó lấy ra một chu
kỳ của hai dãy này.

Hình 4.12b
x (n + 2)

Giải :
Chúng giải bằng đổ thò cho trên hình 4.13.

n

~
x ( n) 4

x (n )

Hình 4.12c

n

n

Hình 4.13a

Hình 4.13b

~
x (n − 2) 4

x ( n − 2) 4

n

n

Hình 4.13c

Xử Lý Tín Hiệu Số

Hình 4.13d

139


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
~
x (n + 2) 4

x (n + 2) 4

n

n

Hình 4.13e

Hình 4.13f

Để phân biệt được các loại trễ ta có thể ký sau :
x(n – n0) : Trễ tuyến tính.
~
x (n − n 0 ) N : Trễ tuần hoàn chu kỳ N

x(n – n0)N : Trễ vòng với chiều dài N
Từ ví dụ, ta thấy nếu trích ra một chu kỳ từ (từ 0 đến N-1) của trễ tuầ hoàn chu
kỳ N thì ta sẽ có trễ vòng x(n ± n0)N, so sánh với trễ tuyến tính x(n ± n0), nếu nó vượt ra
khỏi (từ 0 đến N-1) thì nó sẽ vòng lại để x(n)N xác đònh trong khoảng [0, N-1], thì lúc
này trễ vòng cũng được xác đònh trong khoảng [0, N-1].
Ta có thể viết như sau :
x (n ) N = ~
x (n ) N rect N (n )
x (n ± n 0 ) N rect N (n )
x (n ± n 0 ) N = ~

(4.27)

Hinh 4.14 sẽ minh hoạ bản chất của trễ vòng.
x (n ) ≡ x (n ) 4

x (n − 2)

n

n

Hình 4.14a

Hình 4.14b

x ( n − 2) 4 = x ' ( n )

n

Hình 4.14c
Xử Lý Tín Hiệu Số

140


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
x’(1)

x(1)

x(2)

2

0

x’(2

x(0)

2

x’(0)

0
3

3
x(3)

x’(3

Hình 4.14d

x (n + 2)

x (n + 2) 4 = x '' (n )

n

n

Hình 4.14e

Hình 4.14f
x’’(1)

x(1)
1
x(2)

2

3

0

x’’ (2)

x(0)

2

x’’(0)

1

3
x(3)

0

Hình 4.14g

x’’ (3)

Nếu ta xét trong miền k, bản chất của nó cũng tương tự :
~
X(k ) N = X(k ) N rect N (k )
~
X(k ± k 0 ) N = X(k ± k 0 ) N rect N (k )

(4.28)

Xét tính chất trễ trong miền n, thì trong miền k :

DFT[ x (n ) N ] = X(k ) N

(4.29)

DFT[ x (n ± n 0 ) N ] = WNkn 0 X(n ) N

Chứng minh :
Dựa vào cách chứng minh trong tính chất trễ, ta có :
~
DFT[~
x (n ± n 0 ) N ] = WNkn 0 X(n ) N

Xử Lý Tín Hiệu Số

141


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
Nếu lấy hai vế ra chu kỳ [0, N-1], lúc này
x (n − n 0 ) N = ~
x (n − n 0 ) N rect N (n )
~
X(k ) N = X(k ) N rect N (n )

Vậy ta có được :
DFT[ x (n ± n 0 ) N ] = WNkn 0 X(n ) N

Tương tự ta cũng có tính chất trễ trong miền k.
Nếu có :
DFT[X(k ) N ] = x (n ) N

thì
DFT[X(k − k 0 ) N ] = WN− kn 0 x (n ) N

(4.30)

Nhận xét :
Nếu trích ra một chu kỳ (từ 0 đến N -1) của dãy tuần hoàn biến đảo ~x (−n ) N thì
sẽ được dãy biến đảo vòng chiểu dài hữu hạn x (−n ) N , nghóa là chiều dài hữu hạn sẽ
không vượt ra khỏi [0, N-1]. Ta có thể viết lại
x (−n ) N = ~
x (− n ) N rect N (n )

(4.31)

Ta cũng xét được trong miền k:
~
X(− k ) N = X(−k ) N rect N (k )

(4.32)

Do tính tuần hoàn của ~x (n ) , ta có
~
x (n ) = ~
x (n + N)
~
x (−n ) = ~
x (− n + N) = ~
x(N − n)

Và ta cũng có :
x (−n ) N = ~
x (− n )rect N (n )

và

X( N − n ) N = ~
x ( N − n )rect N (n )

(4.33)

X(−k ) N = X( N − k ) N

(4.34)

DFT[ x (− n ) N ] = X(− k ) N

(4.35)

DFT[ x ( N − n ) N ] = X( N − k ) N

(4.36)

Trong miền k
và

c. Tính Đối Xứng
Chúng ta có dãy chiều dài hữu hạn N x(n) N và
DFT[ x (n ) N ] = X(k ) N

thì ta có :
Xử Lý Tín Hiệu Số

142


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
DFT[ x * (n ) N ] = X * (− k ) N

Dấu * là biểu thò liên hợp phức.
Chứng minh :
x * (n ) N = ~
x * (n ) N rect N (n )
~
X * (−k ) N = X(− k )rect N (n )

như vậy ta có :
~
DFT [ x * (n) N ] = X * (−k ) N

tương tự ta cũng có :
DFT [ x * (−n) N ] = X * (k )

Các tính chất đối xứng của DFT đối với dãy có chiều dài hữu hạn có thể suy ra
từ các tính chất của DFT đối với dãy tuần hoàn chu kỳ N, hoặc các tính chất của biến
đổi Fourier (FT) trong chương 3.
Bây giờ ta xét chi tiết tính đối xứng đối với dãy phức có chiều dài hữu hạn N
x(n)N.
Dãy x(n)N có thể được biểu diễn dưới dạng sau :
x(n) N = Re[ x(n) N ] + j Im[ x(n) N ]

(4.37)

x * (n) N = Re[ x(n) N ] − j Im[ x(n) N ]

(4.38)

và :
x( n) N + x * ( n) N ]
Re[ x(n) N ] =
2
x ( n) N − x * ( n) N ]
j Im[ x(n) N ] =
2

(4.39)
(4.40)

Do vậy ta có thể viết :

N −1

DFT {Re[ x(n) N ]} = ∑ Re[ x(n) N ]W Nkn =
n =0

1
DFT [ x(n) N + x * (n) N ]
2

1

= [ X (k ) N + X * (−k ) N ] = X e (k ) N
2

Xe(k)N là phần đối xứng liên hợp của X(k)N.
Trong thực tế thường gặp các dãy tín hiệu thực, vì vậy ta hãy xét trường hợp
riêng khi x(n)N là thực.
Ta có thể biểu diễn X(k)N dưới dạng sau đây :
X (k ) N = Re[ X (k ) N ] + j Im[ X (k ) N ]

(4.41)

X (k ) N = Re[ X (k ) N ] − j Im[ X (k ) N ]
1
Re[ X (k ) N ] = [ X (k ) N + X * (k ) N ]
2
1
j Im[ X (k ) N ] = [ X (k ) N − X * (k ) N ]
2

(4.42)

*

Xử Lý Tín Hiệu Số

143

(4.43)
(4.44)

Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
và nếu x(n) là thực thì ta có : x(n)N = X*(n)N
và

DFT [ x(n) N ] = DFT [ x * (n) N ]

Thức là
(4.45)

X (k ) N = X * (−k ) N

Lấy liên hợp phức hai vế ta có :
(4.46)

X * (k ) N = [ X * (−k ) N ]* = X (−k ) N

với biến đảo –k ta có :
Re[ X (−k ) N ] =

theo (4.45) và (4.46) ta có :
Re[ X (−k ) N ] =

Vậy với x(n) thực ta có :

1
[ X (−k ) N + X * (−k ) N ]
2
1
[ X * (k ) N + X (k ) N ]

2

(4.47)

Re[ X (k ) N ] = Re[ X (−k ) N ]

tương tự ta có :
(4.48)

Im[ X (k ) N ] = − Im[ X (− k ) N ]

Bây giờ ta xét module và Argument
1
2

1
2

X (−k ) N = [ X (k ) N X (k ) N ] = [ X (−k ) N X (−k ) N ] = X (−k ) N
*

*

(4.49)

tương tự
arg[ X (k ) N ] = arctg

d.

 Im[ X (−k ) N ] 
Im[ X (k ) N ]
= arctg −
 = − arg[ X (−k ) N ] (4.50)
Re[ X (k ) N ]
Re[
X
(
−
k
)
]
N 


Tích chập vòng
Đối với các dãy tuần hoàn có chu kỳ N ta đã có quan hệ sau :
N −1
~
~
x 3 ( n) = ~
x1 (n)( * ) N x 2 (n) N = ∑ ~
x1 ( m ) ~
x 2 ( n − m)
m =0

và trong miền k ta có :
~
~
~

X 3 (k ) = X 1 (k ). X 2 (k )

Chú ý : tất cả các dãy ở quan hệ trên đều là tuần hoàn chu kỳ N. Còn đối với dãy
không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn N, chúng ta có thể coi chúng tương ứng với một
chu kỳ của các dãy tuần haòn chu kỳ N, vì vậy chúng ta cũng có đònh nghóa và tính chất
tương tự như đối với các dãy tuần hoàn chu kỳ N.
Đònh nghóa :

Xử Lý Tín Hiệu Số

144


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
Tích chập vòng của hai dãy không tuần hoàn x1(n)N và x2(n)N có chiều dài hữu
hạn N là một dãy không tuần hoàn cũng có chiều dài hữu hạn N x3(n)N được cho bởi
quan hệ sau :
N −1

x 3 ( n ) N = ∑ x1 ( m ) N x 2 ( n − m ) N

(4.51)

m=0

~
= x1 (n) N ( * ) x 2 (n) N

(4.52)

(*)N là tích chập vòng chiều dài N.
Nếu trong miền n là tích chập vòng thì trong miền k ta dễ dàng chứng minh được
tính chất sau đây :
(4.53)

X 3 (k ) N = X 1 (k ) N . X 2 (k ) N

ở đây
X 1 (k ) N = DFT [ x1 (n) N ]
X 2 (k ) N = DFT [ x 2 (n) N ]
X 3 (k ) N = DFT [ x 3 (n) N ]

Ví dụ 4.6 :
Cho hai dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn N = 4 như sau :
x1 (n) 4 = δ (n − 1)

 n
1−
x 1 (n ) 4 =  4
 0

,0 ≤ n ≤ 4
, n còn lại

Hãy tính tích chập vòng chiều dài N = 4 của hai dãy này.
Giải :
3
~
x 3 ( n ) 4 = x1 ( n ) 4 ( * ) x 2 ( n ) 4 = ∑ x1 ( m ) x 2 ( n − m ) 4
m =0

3

x 3 (0) 4 = ∑ x1 (m) 4 x 2 (0 − m) 4
m =0
3

x 3 (1) 4 = ∑ x1 (m) 4 x 2 (1 − m) 4
m=0
3

x 3 (2) 4 = ∑ x1 (m) 4 x 2 (2 − m) 4
m =0
3

x 3 (3) 4 = ∑ x1 (m) 4 x 2 (3 − m) 4
m=0

để thấy rõ bản chất của tích chập vòng, chúng ta hãy xem quá trình tính toán và kết
quả bằng đồ thò cho trên hình 4.15.

Xử Lý Tín Hiệu Số

145


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
x 1 (n ) 4 = δ (n − 1)

x 2 (0 − m ) 4

x 2 (n ) 4

n

m

n

Hình 4.15a

Hình 4.15b

Hình 4.15c
x 2 ( 2 − m) 4

x 2 (1 − m) 4

m

m

Hình 4.15e

Hình 4.15d

x 3 (n ) 4 ≡ x 2 (n − 1) 4

x 2 (3 − m) 4

m

n

Hình 4.15f

Hình 4.15g

Nhận xét :
Chúng ta có thể áp dụng tính chất của biểu thức (4.38) để tính tích chập vòng,
đây là cách tính gián tiếp thông qua DFT, nhưng cho ta hiệu quả cao hơn. Để thấy rõ,
chúng ta hãy xét ví dụ dưới đây
Ví dụ 4.7 :
Cho hai dãy có chiều dài hữu hạn sau đây :
x 1 (n ) N = x 2 (n ) N = rect N (n )

Hãy tính x 3 (n) N = x1 (n) N (*) x 2 (n) N thông qua DFT.
Giải :
N −1

X 1 (k ) N = X 2 (k ) N = ∑ WNkn
n =0

N
=
0

, k =0
, k còn lại

p dụng biểu thức (4.53) ta có :
Xử Lý Tín Hiệu Số

146


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
 N2
X 3 (k ) N = X 1 (k ) N .X 2 (k ) N = 
0

, k =0
, k còn lại

Để tìm x3(n)N ta áp dụng công thức của IDFT.
x 3 (n ) N =

1 N −1
X 3 (k ) N WN− kn
∑
N k =0

 1
X (0) W 0
= n 3 N N
 0
N
=
0

, 0 ≤ n ≤ N −1
, n còn lại
, 0 ≤ n ≤ N −1
, n còn lại

minh hoạ bằng đồ thò cho trên hình 4.16 với N = 4.
x 1 (n ) 4

x 2 (n ) 4

n

n

-1 0 1 2 3

-1 0 1 2 3

Hình 4.16a

Hình 4.16b

X1 (k ) 4 = X 2 (k ) 4

4

X 3 (k ) 4

16

4

k
-1 0 1 2 3
Hình 4.16c

x 3 (n ) 4

n

k
-1 0 1 2 3
Hình 4.16d

-1 0 1 2 3
Hình 4.16e

4.3.3 Tích chập nhanh (hay tích chập phân đoạn)
a.

Tổng quan

Để ứng dụng DFT vào việc tính tích chập không tuần hoàn, tức là tích chập
tuyến tính, trước hết chúng ta phải phân biệt hai trường hợp. Trường hợp thứ nhất khi
các dãy chập với nhau có chiều dài gần bằng nhau và ngắn; trường hợp thứ hai khi các
dãy chập với nhau có chiều dài khác nhau.
Trường hợp thứ nhất chính là trường hợp chúng ta đã nghiên cứu ở các phần trên.
Nhưng trong thực tế, chúng ta thường gặp trường hợp thứ hai. Việc tính toán DFT của
Xử Lý Tín Hiệu Số

147


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
dãy có chiều dài quá dài sẽ xảy ra trường hợp vượt quá dung lượng của bộ nhớ của máy
tính và cần phải có thời gian tính toán quá lớn không cho phép. Hơn nữa để có được
mẫu đầu tiên của kết quả ta phải đợi kết thúc tất cả các tính toán.
Để giải quyết các vấn đề trên, chúng ta phải chia tính toán ra nhiều giai đoạn.
Chúng ta có hai phương pháp (Stockham nghiên cứu phát triển) nội dung như sau :
-

Chia dãy thành nhiều dãy con.

-

Chập từng dãy con một.

-

Tổ hợp các kết quả thành phần.

-

Giả sử dãy x(n) có chiều dài N, dãy h(n) có chiều dài M, và N rất lớn so với
M(N>>M) và dãy y(n) = x(n)*h(n) có chiều dài N + M – 1 sẽ rất lớn. Vậy nếu ta
dùng DFT thì DFT sẽ được tính với chiều dài N + M – 1. Vậy nếu muốn dùng DFT
thì ta phải phân dãy x(n) ra làm nhiều đoạn nhỏ.

b.

Phương Pháp 1: cộng xếp chồng

Giả sử ta cần tính tích chập tuyến tính
y(n) = x(n)*h(n)
L[x(n)] = N
L[h(n)] = M
N>>M
Dãy x(n) được xem như tổng của các dãy thành phần xi(n), mà L[xi(n)] = N1
Tức ta có :
x ( n ) N = ∑ x i ( n ) N1

(4.54)

i

với :
x (n )
x i (n ) N1 = 
0

, iN 1 ≤ n ≤ (i + 1) N 1 − 1
, n còn lại

Ta biết rằng :
y( n ) = x ( n ) * h ( n ) =

∞

∑

h ( m) x ( n − m) =

m = −∞

=∑
i

∞

∑ h (m)[∑ x

m = −∞

∞

∑ h ( m) x ( n − m) = ∑ h ( n )

m = −∞

i

( n − m)]

i

i

i

M

* x i (n ) N = ∑ y i (n ) N + M −1
1

i

(4.55)

1

y i (n) N1 + M −1 = h(n) M * x i (n) N1 gọi là tích chập phân đoạn, đây là tích chập tuyến tính, nếu

dùng DFT thì mỗi tích chập phân đoạn này ta phải tính DFT với chiều dài N1 + M – 1.
Tức là ta phải tính tích chập vòng với chiều dài N1 + M – 1:
y i (n) N1 + M −1 = h(n) N1 + M −1 (*) x i (n) N1 + M −11

Xử Lý Tín Hiệu Số

148

(4.56)


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
như vậy tích chập vòng này sẽ bằng tích cập tuyến tính. Thế thì h(n)M sẽ được kéo dài
(N1 – 1) mẫu không và xi(n)N1 sẽ được kéo dài M –1 mẫu không.
Trong miền tần số rời rạc k ta có :
(4.57)

Yi (k ) N1 + M −1 = H (k ) N1 + M −1 (*) X i (k ) N1 + M −11

sau đó dùng IDFT để tính y i (n) N + M −1
1

y i (n ) N1 + M −1 = IDFT[Yi (k ) N1 + M −1 ]
N1 + M − 2

1
Yi (k ) N1 + M −1 WN−1nk+ M −1

∑
=  N1 + M − 1 k =0
 0

, iN 1 ≤ n ≤ (i + 1) N 1 + M − 2
, n còn lại

hình 4.17 cho ta một ví dụ minh hoạ tích chập phân đoạn theo phương pháp cộng xếp
chồng với M = 4, N1 = 8
x (n )

n
a) 0
h (n )

n
b) 0

4

x 0 (n )

n
c) 0

Xử Lý Tín Hiệu Số

7

149


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
x 1 (n )

n
d) 0

7

15

x 2 (n )

n
e) 0

7

16

23 24

y 0 (n )

n
f) 0

8
y1 (n )

n
g) 0

8
y 2 (n )

n
h) 0
Xử Lý Tín Hiệu Số

8

15
150


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
y( n )

n
i) 0

Hình 4.17

Nhận xét :
- Nếu n1 rất dài thì ta có lợi là số lượng các đoạn sẽ ít đi, nhưng vì N1 dài nên thời
gian tính toán của một đoạn sẽ tăng lên.
Nếu n1 nhỏ thì ta có bất lợi là số lượng các đoạn sẽ tăng lên, nhưng lại có lợi là thời
gian tính toán của một đoạn sẽ giảm đi.
Vậy trong thực tế, chúng ta phải chọn giá trò của N1 tối ưu so với chiều dài M của h(n).
Giá trò N1 tối ưu được chọn theo bảng 4.2, gọi là bảng Helms.
Bảng 4.2
Chiều dài của h(n) _ M
≤ 10
11 – 17
18 – 29
30 – 52
53 – 49
95 – 171
172 – 310
311 – 575
576 – 1050
1051 – 2000
2001 – 3800
3801 – 7400
7401 – 14800
…
c.

Chiều dài của DFT _ N1 + M – 1
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
8192
16.384
32.768
65.536
131.072
…

Phương pháp 2 : Đặt kề nhau

Chúng ta có một phương pháp nữa để tính tích chập nhanh gọi là phương pháp
đặt kề nhau, cũng giống như phương pháp cộng xếp chồng. Giả sử ta có :
L[x(n)] = N
L[h(n)] = M
Xử Lý Tín Hiệu Số

151


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
N>>M
Ta cần tính tích chập tuyến tính cho

y(n) = x(n)*h(n)
Trong phương pháp này, x(n) được xem như là tổng của các dãy thành phần đặt
kề lên nhau M – 1 điểm, tức là M – 1 điểm đầu tiên của dãy thành phần xi+1(n) sẽ kề
lên M – 1 điểm cuối cùng của dãy thành phần xi(n). Còn dãy thành phần đầu tiên x0(n)
sẽ được bổ sung m – 1 mẫu không đầu tiên.
Chúng ta gọi chiều dài của các dãy thành phần xi(n) là N1 :
L[xi(n)] = N1
Sau đó ta phải chọn N1 > M. Để ứng dụng biến đổi Fourier rời rạc (DFT)tính tích
chập phân đoạn này, chúng ta tính tích chập vòng của xi(n)N1 với h(n)M như sau :
(4.58)

x i (n ) N1 (*) N1 h (n ) M = y i' (n ) N1

Tức ở đây h(n)M được kéo dài thêm N1 – (M - 1) mẫu không và tích chập vòng ở
đây có chiều dài N1. Chuyển tích chập vòng 4.58 sang miền k ta có :
(4.59)

Yi ' (k ) N1 = X i (k ) N1 .H (k ) N1

ở đây :
 N1
 x i (n ) N1 WNkn1
= ∑
n =0
 0

X i (k ) N1

H(k ) N1

 N1
 h (n ) M WNkn1
= ∑
n =0
 0

, 0 ≤ k ≤ N1 − 1
, k còn lại
, 0 ≤ k ≤ N1 − 1
, k còn lại

Sau đó dùng biến đổi Fourier ngược (IDFT) để tìm y’(n)N1 như sau :
y i' (n ) N1

 1 N1 '
Yi (k ) N1 WN−1kn

=  N1 ∑
k =0
 0

, 0 ≤ n ≤ N1 − 1

(4.60)

, n còn lại

Sau khi tính được y’i(n)N chúng ta phải bỏ đi M – 1 điểm đầu tiên để thu được yi(n). Sau
đó cộng các giá trò yi(n) ta thu được y(n) :
y ( n) = ∑ y i ( n)

i

Hình 4.18 cho ta một ví dụ minh hoạ tích chập phân đoạn theo phương pháp đặt kề với
M = 4, N1 = 9.
Cũng giống như phương pháp cộng xếp chồng, chiều dài của DFT(N1) được chọn tương
ứng với chiều dài M của h(n)M sao cho thời gian tính toán là tối ưu nhất. Trong thực tế
người ta chọn N1 theo bảng HEJMS bảng 4.2.
Xử Lý Tín Hiệu Số

152


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
x (n )

n
a) 0
h (n )

n
b) 0
x 0 (n )

n
c) 0

8 9
x 1 (n )

n

d) 0

7

16

23 24

x 2 (n )

n
e) 0

Xử Lý Tín Hiệu Số

7

16

153

23 24


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
y ' 0 (n )

2,5

n

f) 0

8
y '1 ( n )

2,5

n
g) 0

8
y ' 2 (n )

2,5

n
g) 0

8
y ' 0 (n )

2,5

n
h) 0

8
Hình 4.18

Xử Lý Tín Hiệu Số

154


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
4.4 Khôi Phục Biến Đổi Z Và Biến Đổi Fourier Từ DFT
a. Khôi Phục Biến Đổi Z
Giả sử có một dãy x(n)N có chiều dài hữu hạn N.
Vậy ta có :
∞

N −1

n = −∞

n =0

∑ x ( n) N z − n = ∑ x ( n) N z − n

X ( z) =

Chúng ta có thể tìm X(z) theo hàm của DFT[x(n)N]
 N −1
 x (n ) N WNkn
DFT[ x (n ) N ] = X(k ) N = ∑
n =0
 0

, 0 ≤ k ≤ N −1
, k Còn lại

 1 N −1
X(k ) N WN− kn

IDFT[X(k ) N ] = x (n ) N =  N ∑
k =0
 0

, 0 ≤ n ≤ N −1
,

n còn lại

Ta có ZT[x(n)N] như sau :
N −1
1
X ( z) = ∑ 
n=0  N

=

1
N

1

X (k ) N W N− kn .z − n =
∑
N
k =0


N −1

N −1

N −1

k =0

n =0

∑ X (k ) N ∑ (W N−k z −1 ) n =

1
N

N −1

N −1

k =0

n=0

∑ X (k ) N ∑ W N− kn z − n
N −1

1 − (W N− k z −1 ) N

k =0

1 − W N− k z −1

∑ X (k ) N

nhưng
W N−kN = 1

vậy
X ( z) =

1− z −N
N

N −1

X (k ) N

∑ 1−W
k =0

−k
N

(4.61)

z −1

Nhận xét :
- Có thể nói rằng, chúng ta có thể nhận được

biến đổi z của một dãy có chiều dài hữu hạn
từ N giá trò của X(k)N.
- Các giá trò (N giá trò) của X(k)N chính là các
mẫu của X(z) được đánh giá trên vòng tròn
2π
k , vậy trên
đơn vò tại các điểm rời rạc

Im[z]

K= 0

Re[z]

N

vòng tròn đơn vò ta lấy mẫu x(z) tại các điểm
như sau :
z=e

jωk

=e

j

2π
k
N

= W N− k

K=
7

và ta có thể viết :
Xử Lý Tín Hiệu Số

Hình 4.19
155


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
N −1

X ( z)

z =W N− k

= ∑ x(n) N W Nkn = X (k ) N
n =0

Đến đây ta có thể nói rằng biểu thức (4.62) cho chúng ta công thức biến đổi z
của một dãy có chiều dài hữu hạn N từ N “mẫu tần số” của X(z) trên vòng tròn đơn vò.
Vò trí “các mẫu tần số” trên vòng tròn đơn vò trong mặt phẳng z được minh hoạ trên
hình 4.19 với N = 8.
b. Khôi Phục Biến Đỗi Fourier
Chúng ta có thể nhận được biến đổi Fourier từ biến đổi z, nếu vòng tròn đơn vò
nằm trong miền hội tụ của biến đổi z.
X (e jω ) = X ( z )

z =e

jω

=

=

1 − e − jωN
N

1 − e − jωN
N

N −1

∑
k =0

N −1

∑
k =0

X (k ) N
j

2π
k

N

1− e
e − jω
X (k ) N

1− e

j(

2π
k −ω )
N

ta biết rằng :
1− e

jx

=e

−j

x
2

x
x
−j 
−j

 j 2x
 e − e 2  = 2e 2 sin x


2



vậy :
X (e

jω

1
)=
N

sin

N −1

∑ X (k )
k =0

N

sin(

ω
2

ωN
2
−

π
N

e

 N −1 π 
− j ω
+ k
2
N 


(4.62)

k)

Biểu thức (4.62) chính là quan hệ cho phép ta tìm biến đổi Fourier bằng cách nội suy từ
các giá trò X(k)N.
4.5 Biến Đổi Fourier Nhanh (FFT)
Để tiết kiệm thời gian tính toán trong biến đổi Fourier rời rạc (DFT), ta sử dụng
thuật toán biến đổi nhanh Fourier (FFT) bằng cách chia nhỏ số điểm để xử lý.
4.5.1 Thuật Toán FFT Cơ Số 2 Chia Theo Thời Gian
a.

Tính đối xứng

(4.63)

W k ( N − n ) = ( W kn ) *

b.

Tính tuần hoàn
W kn = W k ( n + N ) = W ( k + N ) n = W ( k + N )( n + N )

Xét biến đổi Fourier rời rạc N điểm của chuỗi x(n)
Xử Lý Tín Hiệu Số

156

(4.64)


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
N −1

X(k ) = ∑ x (n ) W kn

với

k = 0, 1, 2, … , N-1

(4.65)

n =0

ta tách dãy x(n) ra những dãy chẵn và dãy lẻ như sau :
X(k ) =

N −1

N −1

n = chẵn

n = lẻ

∑ x (n )W kn + ∑ x (n)W kn

hoặc thay thế biến n = 2r đối với n chẵn và n = 2r + 1 đối với n lẻ, ta có :
N
−1
2

N
−1
2

r =0

n = 0û

X(k ) = ∑ x (2r ) W 2 rk + ∑ x (2r + 1) W k ( 2 r +1)

mà W2 = WN/2 do W2 = e-j2(2π/N) = e-j2π(N/2) = WN/2
do đó ta có thể viết lại biểu thức như sau :

N
−1
2

N
−1
2

r =0

n = 0û

X(k ) = ∑ x (2r ) WNrk/ 2 + WNk ∑ x (2r + 1) WNrk/ 2
N
−1
2

X 0 (k ) = ∑ x (2r ) WNrk/ 2

đặt

với

(X0 tương ứng r chẵn)

với

(X1 tương ứng r lẻ)

r =0

N
−1
2

X 1 (k ) = ∑ x (2r + 1) WNrk/ 2

và

n = 0û

như vậy ta có :
X(k) = X0(k) + Wk. X1(k)
Ví dụ 4.8 :
xét hình 4.20 , chọn N = 8, k = 4, ta có :
Giải :
X(4) = X0(4) + WN4. X1(4)
Do tính chất tuần hoàn nên X0(4) = X0(0) và X1(4) = X1(0) nên
X(4) = X0(0) + WN4. X1(0)
Ta có thể làm một phép so sánh như sau :
- Một DFT có N điểm thì cần N2 phép nhân phức và khoảng N2 phép cộng phức.
- Nếu tách thành 2 DFT có N/2 điểm thì cần 2(N/2)2 phép nhân phức và khoảng
2N(/2)2 phép cộng phức để thực hiện X0(k) và X1(k) và mất thêm N phép nhân
phức giữa W và X1(k) và thêm N phép cộng phức để tính X(k) từ X0(k) và W.X1(k).
Như vậy, tổng cộng ta cần N + 2(N/2)2 = N + N2/2 phép nhân phức và phép cộng
phức để tính tất cả các giá trò của X(k).

Xử Lý Tín Hiệu Số

157

Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
-

Nếu số điểm N có dạng N = 2M thì ta tiếp tục chia đôi sang M lần cho đến khi số
x(0)

X0(0)

DFT
N/2
điểm

x(2)
x(4)

X0(1)
X0(2)

x(6)

X0(3)

X(0)
W0
W1
W2

X(1)

X(2)
X(3)

W3

x(1)

X1(0)

DFT
N/2
điểm

x(3)
x(5)

X1(1)
X1(2)

x(7)

X1(3)

X(4)
W4
W5
W6

X(5)
X(6)

X(7)

W7

Hình 4.20
điểm DFT là bằng 2, nên người ta còn gọi cách chia này là FFT cơ số 2 và cũng có
thể chi với FFT cơ số 4 nếu N = 4M … xem hình 4.20 , cụ thể ta có có thể tách X0(k)
ra như sau :
N
−1
2

N
−1
2

r =0

n = 0û

X 0 (k ) = ∑ x (2r ) WNrk/ 2 = WNk ∑ g (r ) WNrk/ 2

x(0)
x(4)

x(2)
x(6)

X0(0)

DFT
N/4
điểm

W0N/2
W1N/2

X0(2)

DFT
N/4
điểm

W2N/2

Hình 4.21
Xử Lý Tín Hiệu Số

X0(1)

158

W3N/2

X0(3)


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
Nếu ta đặt l = 2r, ta tách thành hai dãy chẵn và lẻ.
N

−1
4

N
−1
4

l =0

l = 0û

X 0 (k ) = ∑ g (2l) WN2lk/ 2 + WNk ∑ g (2l + 1) WN( 2/l2+1) k
N
−1
4

N
−1
4

l=0

l = 0û

X 0 (k ) = ∑ g (2l) WN2lk/ 4 + WNk / 2 ∑ g (2l + 1) WNlk/ 4

X 0 (k ) = X 00 (k ) + WNk / 2 X 01 (k )

-

X 00 (k ) : DFT của dãy g(r) có chỉ số chẵn.

-

X 01 (k ) : DFT của dãy g(r) có chỉ số lẻ. Hình 4.20
x(0)

X(0)

DFT
N/4
điểm

x(4)

x(2)

x(1)

x(3)

Hình 4.22
X0(0)

W0 N = 1

X0(4)
W2 = WN/2N = -1

Hình 4.23

Xử Lý Tín Hiệu Số

W1

W4

W2

W6

W3

X(3)

W0

W4

W2

W5

X(5)

X(6)

DFT
N/4
điểm

x(7)

W2

X(1)

X(4)

DFT
N/4
điểm

x(5)

W0

X(2)

DFT
N/4
điểm

x(6)

W0

159

W4

W6

W6

W7

X(7)


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
Hình 4.22 là sau hai lần phân chia
X0(0)

X0(0)

W0

W

0

X0(1)

X0(4)
-1

W2

W1

4

2

X0(2)

X0(2)
W

X0(6)
-1

W

W3

W6

X0(1)

W

X0(4)

0

W

4

X0(5)

X0(5)
W2

-1

X0(3)

W5

X0(6)

X0(3)
W

X0(7)

4

W

X0(7)

W7

W6

-1

6

Hình 4.24
Hình 4.23 : Lưu đồ tính cho hai điểm x(0) và x(4).
Hình 4.24 : sau ba lần phân chia(N = 8)
Theo bảng 4. , chúng ta thấy cách tính số phép toán.
M = log2N
N
N2
N.log2N

1 2 3
4
5
2 4 8 16
32
4 16 64 256 1024
2 8 24 64 160

6
64
4096
384

7
128
16384
896

8

256
65536
2048

9
512
262144
4608

10
1024
1048576
10240

Trước tiên, chúng ta qui ước ký hiệu như sau :
- Nút thứ i của tầng thứ m được ký hiệu là Xm(i). Mỗi tầng có N nút và có M = log2N
tầng. Để thuận tiện ta ký hiệu x(n) là tầng thứ 0.
- Đối với tầng thứ (m + 1), ta có thể xem dãy Xm(i) như là dãy Xm+1(i) như là dãy ra.
Đối với tầng đầu và khi N = 8 ta có :
X0(0) = x(0) ;
X0(4) = x(4)
X0(1) = x(1) ;
X0(5) = x(5)
X0(2) = x(2) ;
X0(6) = x(6)
X0(3) = x(3) ;
X0(7) = x(7)
Xử Lý Tín Hiệu Số

160

Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
Sử dụng ký hiệu này và từ sơ đồ, ta thấy
phép tính cơ bản trong các tầng đều có Xm(p)
Xm+1(p)
dạng chung như sau :
WrN
Xm+1(p) = Xm(p) + WNr. Xm(q) (*)
Xm(q)
Xm+1(q)
Xm+1(q) = Xm(p) + WNr+N/2. Xm(q)
r
r+N/2
= Xm(p) - WN . Xm(q)
WN
= - WNr
Biểu diễn theo lưu đồ hình bướm hình 4.25
Hình 4.25
Cặp phép tính này, được biểu diễn trên
hình 4.25 . Mỗi tầng đều có số hình bướm như nhau và bằng N/2 hình. Nhờ tính chất là
WNr+N/2 = - WNr , nên ta có thể rút bớt số phép nhân đi một nửa, vì số hạng T = WNr.
Xm(q) có thể chỉ cần tính một lần trong công thức (*) và N trong lưu đồ hình 4.25 .
Ta có :
Xm+1(p) = Xm(p) + T
Xm(p)
Xm+1(p) = Xm(p) + T
(*)
Xm+1(q) = Xm(q) – T
1

Xm(q)

Xm+1(q) = Xm(q) – T

WrN

-1

Hình 4.26
Kết hợp hình 4.24 và hình 4.26 ta có lưu đồ tính FFT phân chia theo thời gian với các
hình bướm đã được cải tiến hình 4.27 . Số phép nhân trong lưu đồ này đã giảm đi được
một nửa.
X0(0)

W

0

X0(0)
X0(1)

X0(4)
W0

-1

X0(2)

W1
W0

X0(6)
W0

-1

W2

X0(2)
2

-1

W

-1

W3

X0(3)
X0(4)

X0(1)
X0(5)
W0

-1

X0(3)

W0

X0(7)
W0

-1

W2

W4

W1

W5

-1

W2

-1

W3

Hình 4.27
Xử Lý Tín Hiệu Số

W0

161

X0(5)
X0(6)

W

6

W7

X0(7)


Chương 4 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Rời Rạc
Sơ đồ hình 4.27 sau ba lần phân chia (N = 8).
4.5.2 Thuật Toán FFT Cơ Số 2 Chia Theo Tần Số
Hình 4.24 phân chia theo tần số của DFT N điểm thành hai DFT N/2 điểm (N =
8). giả thiết N = 2M , ta có thể chia dãy ra làm hai nửa.
N
−1
2

X(k ) = ∑ x (n ) WNnk +
n =0

N
−1
2

∑ x (n ) W

n = N/2û

nk
N

(4.66)

hoặc
N
−1
2

N
−1
2

n =0

n = 0û

X(k ) = ∑ x (n ) WNnk + WN( N / 2) k ∑ x (n + N / 2) WNnk

(4.67)

với
WN( N / 2) = −1 rút gọn lại ta có :
N
−1
2

X(k ) = ∑ [ x (n ) + (−1) k x (n + N / 2)]WNnk
n =0

xét k = 2r (k chẵn) và k = 2r + 1 (k lẻ), ta có :
N
−1
2

X(2r ) = ∑ [ x (n ) + x (n + N / 2)]WN2 rn
n =0

với r = 0, 1, 2, … , (N/2 -1)
do WN2 rn = WNrn/ 2 nên X(2r) là DFT N/2 điểm của dãy g(n) = x(n) + x(n + N/2) và X(2r +
1) là DFT N/2 điểm của tích W với dãy h(n) = x(n) - x(n + N/2).
Như vậy, sau khi có hai dãy h(n) và g(n), ta thực hiện h(n)Wn , sau đó lất DFT
của hai dãy này ta sẽ có các điểm của X(k) chỉ số chẵn và chỉ số lẻ, Hình 4.24 tính với
N = 8.
Với mỗi DFT N/2 điểm, ta tiến hành tương tự và táchnthành N/4. Hình 4.25 cho
ta thấy lưu đồ tổng quát của cách tính DFT theo phương pháp phân chia tần số. Như
vậy, nếu có N/2 phép nhân thì ta có M = log2N tầng. Số phép nhân tổng cộng là (N/2).
log2N, bằng với số phép nhân trong cách tính theo phương pháp phân chia theo thời gian
và số phép cộng cũng vậy.

Xử Lý Tín Hiệu Số

162