Bài giảng toán cao cấp chương 4 ths nguyễn phương

Chương 4:
TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản
Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Blog:
Email:
Yahoo: nguyenphuong1504
Ngày 11 tháng 2 năm 2014

1


1

Tích phân bất định
Định nghĩa
Công thức cơ bản của tích phân bất định
Các phương pháp tính tích phân
Phương pháp đổi biến
Phương pháp tích phân từng phần

2

Tích phân xác định

3

Tích phân suy rộng
Tích phân suy rộng loại 1

Tích phân suy rộng loại 2

4

Ứng dụng trong kinh tế
Tìm hàm mục tiêu từ hàm cận biên
Tìm các đại lượng trong kinh tế bằng tích phân xác định

2


Tích phân bất định

Định nghĩa

Định nghĩa
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm y = f(x) trên khoảng (a, b) nếu
F (x) = f(x), ∀x ∈ (a, b)
Định lý
Giả sử F(x) là nguyên hàm của f(x). Hàm Φ(x) là nguyên hàm của f(x) nếu và
chỉ nếu Φ(x) = F(x) + C, trong đó C là hằng số nào đó.
Định nghĩa
Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a, b). Khi đó biểu thức
F(x) + C

với C là hằng số

được gọi là tích phân bất định của hàm f(x) trên khoảng (a, b) và được ký
hiệu là
f(x)dx

Tích phân bất định

Định nghĩa

Tính chất
f (x)dx = f(x) + C
d
2)
f(x)dx = f(x)
dx
3) af(x)dx = a f(x)dx

1)

4)

[f(x) ± g(x)]dx =

5) Nếu

f(x)dx ±

f(x)dx = F(x) + C thì

g(x)dx
f(u)du = F(u) + C, ∀u = u(x).

Tích phân bất định

1)

xα dx =

Công thức cơ bản của tích phân bất định

xα+1
+C
α+1

8)

dx
= − cot x + C
sin2 x
dx
1
x
= arctan + C
2
2
x +a
a
a
a+x
dx
1
+C

ln
=
a2 − x2
2a
a−x
dx
x
= arc sin + C
√
2
2
a
a −x
√
dx
= ln x + x2 + a + C
√
x2 + a

4)

dx
= ln |x| + C
x
ax
+C
ax dx =
ln a
ex dx = ex + C

5)

sin xdx = − cos x + C

6)

cos xdx = sin x + C
12)
dx
=
tan
x
+
C
cos2 x
√
√
x√ 2
a
x2 + adx =
x + a + ln x + x2 + a + C
2
2
√
√
x
a2
x
a2 − x2 dx =
a2 − x2 + arcsin + C

2
2
a

2)
3)

7)
13)
14)

9)
10)
11)

5


Tích phân bất định

Các phương pháp tính tích phân

Phương pháp đổi biến
Nếu
f(x)dx = F(x) + C
thì
f(φ(t))φ (t)dt = F(φ(t)) + C
với φ(t) là một hàm khả vi và liên tục
Ví dụ
Tính tích phân sau

√

dx

x 3 − ln2 x

6


Tích phân bất định

Các phương pháp tính tích phân

1
Giải. Đặt u = ln x =⇒ du = dx, ta có
x
dx
du
u
ln x
=
= arc sin √ + C = arc sin √ + C
√
√
3
3
3 − u2
x 3 − ln2 x
Ví dụ
Tính tích phân sau

dx
cos x
Giải. Ta có
dx
=
cos x

cos xdx
=
cos2 x

cos xdx
1 − sin2 x

Đặt u = sin x =⇒ du = cos xdx
dx
=
cos x

du
1
1+u
1
1 + sin x
+ C = ln
+C
= ln
2
1−u
2

1−u
2
1 − sin x
1
x π
= ln tan
+
+C
2
2
4


Tích phân bất định

Các phương pháp tính tích phân

Ví dụ
Tính tích phân sau
ex
√
e2x + 5
Giải. Đặt u = ex =⇒ du = ex dx, ta có
√

ex
e2x + 5

dx =

du
= ln |u +
√
u2 + 5

u2 + 5| + C = ln |ex +

e2x + 5| + C

Ví dụ
Tính tích phân sau
dx
x(x3 + 3)
Giải. Đặt
u = x3 + 3 =⇒ du = 3x2 dx ⇐⇒ du =

3x3
du
dx
dx ⇐⇒
=
=?
x
3u(u − 3)
x(x3 + 3)


Tích phân bất định

Các phương pháp tính tích phân

Ta có,
dx
=
x(x3 + 3)
Một vài ví dụ về phép biến đổi

du
1
=
3(u − 3)u
3

du
u(u − 3)

√
1) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng a2 − x2 , a > 0 thì ta sử dụng
π π
biến đổi x = a sin t với t ∈ − ,
2 2
√
2) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng x2 − a2 , a > 0 thì ta sử dụng
a
π
biến đổi x =
với t ∈ 0,
cos t
2
√

3) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng a2 + x2 , a > 0 thì ta sử dụng
π π
biến đổi x = a tan t với t ∈ − ,
2 2
4) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng R(ex , e2x , . . . , enx ) thì ta có thể
sử dụng biến đổi t = ex với R là hàm hữu tỉ.


Tích phân bất định

Các phương pháp tính tích phân

Phương pháp tích phân từng phần
Cho hàm số u(x), v(x) khả vi , liên tục và có nguyên hàm trên (a, b). Khi ấy
hàm u (x)v(x) cũng có nguyên hàm trên (a, b) và
u(x)dv(x) = u(x)v(x) −

v(x)du(x)

thường viết gọn là
udv = uv −

vdu

Các dạng tính tích phân thường gặp
Dạng 1. Nếu tích phân có dạng





eax 






sin(ax) 
Pn (x) 
 dx


 cos(ax) 





eax 






sin(ax)
với Pn (x) là đa thức cấp n thì ta đặt u = Pn (x) và dv = 

 dx




 cos(ax) 


Tích phân bất định

Các phương pháp tính tích phân





ln(ax)






arcsin(ax)
Dạng 2. Nếu tích phân có dạng Pn (x) 
 dx




 arc cot(ax) 




ln(ax) 






arcsin(ax)
với Pn (x) là đa thức cấp n thì ta đặt u = 


 và dv = Pn (x)dx

 arctan(ax) 

Dạng 3. Gồm những tích phân mà dưới dấu tích phân chứa những hàm sau
eax cos bx, eax sin bx, sin(ln x), cos(ln x), . . .
sau 2 lần lấy tích phân từng phần, ta lại có tích phân ban đầu với 1 hệ số nào
đó.


Tích phân bất định

Các phương pháp tính tích phân

Phương pháp tính tích phân các phân thức tối giản
Adx
x−a

dx
x−a =
dx
(x−a)m

;

ln |x − a| + C
1
. (x−a)1 m−1 + C
= − m−1

x−a
dx
1
x2 −a2 = 2a ln x+a + C
x−x2
dx
1
(x−x1 )(x−x2 ) = x2 −x1 ln x−x1
dx
x2 +a2

Adx
(x − a)m

=

1
a

+C

arctan xa + C

12

;

Mx + N
x2 + px + q


Tích phân bất định

Các phương pháp tính tích phân

Tích phân phân thức hữu tỉ
Định nghĩa
Phân thức hữu tỉ

Pn (x)
với n < m được gọi là phân thức hữu tỉ thực sự.
Qm (x)

Phương pháp tính tích phân các phân thức hữu tỉ
Giả sử Qm (x) có thể khai triển thành tích các thừa số bậc 1 và bậc 2
Qm (x) = a0 (x − a)k . . . (x2 + px + q)r . . .
Ta công nhận điều sau : Phân thức hữu tỉ thực sự

Pn (x)
khai triển được
Qm (x)

thành tổng của phân thức tối giản
Pn (x)
A1
A2
Ak
M1 x + N 1
=
+
+ ... +
+ ... + 2
Qm (x)
x − a (x − a)2
x + px + q
(x − a)k
M 2 x + N2
M s x + Ns
+ 2
+ ... + 2
+ ...
(x + px + q)2
(x + px + q)s

(1)


Tích phân bất định

Các phương pháp tính tích phân

Để tìm A1 , A2 , . . . , M1 , N1 , . . . có 2 phương pháp
1

2

Phương pháp 1. (hệ số bất định) Quy đồng mẫu số (1), sau đó cân bằng
lũy thừa theo biến x, dẫn đến hệ phương trình tìm A1 , A2 , . . . , M1 , N1 , . . .
Phương pháp 2. Có thể tìm A1 , A2 , . . . , M1 , N1 , . . . khi thay thế x trong
(1), bằng một cách chọn phù hợp.


Tích phân bất định

Các phương pháp tính tích phân

Phương pháp tính tích phân hàm lượng giác
R(cosx, sinx)dx
Đặt t = tan

x
=⇒ x = 2arc tan t;
2
cos x =

dx =

2dt

và
1 + t2

1 − t2
2t
; sin x =
1 + t2
1 + t2

từ đây ta đưa tích phân trên về tích phân hàm hữu tỉ.
Trong một số trường hợp riêng, ta có thể tìm ra nột phép thế thích hợp
1

Nếu R(− cos x, sin x) = −R(cos x, sin x), đặt t = sin x

2

Nếu R(cos x, − sin x) = −R(cos x, sin x), đặt t = cos x

3

Nếu R(− cos x, − sin x) = R(cos x, sin x), đặt t = tan x

4

Nếu

sinq x cosp xdx, đặt t = sin x hoặc t = cos x

Tích phân xác định

Ví dụ
Tìm diện tích miền phẳng S giới hạn bởi đường cong y = f(x) = x2 , trục
hoành và 2 đường thẳng x = 0, x = 1.

Hình :
16


Tích phân xác định

Chia S thành 4 miền

Hình :


Tích phân xác định

Hình :

Hình :

18


Tích phân xác định

Cho hàm số f xác định trên [a, b] và phân hoạch của đoạn [a, b] với các điểm
x0 = a < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b

Trên mỗi miền con S1 , S2 , S3 , . . . , Sn lấy tùy ý 1 điểm (tương ứng là
x∗1 , x∗2 , x∗3 , . . . , x∗n )

Hình :


Tích phân xác định

∆xi = xi − xi−1

với

i = 0, n

n

f(x∗i )∆xi tồn tại và không phụ thuộc vào cách chia và cách
∆xi →0 i=1
điểm x∗i , thì I được gọi là tích phân xác định của hàm y = f(x) trên đoạn

Nếu I = lim
lấy
[a; b].
Ký hiệu:



lim 
∆xi →0

n

i=1





f(x∗i )∆xi 

b

=

f(x)dx
a

: dấu tích phân , a : cận dưới, b : cận trên, f(x) : biểu thức dưới dấu tích
phân


Tích phân xác định

Tính chất
Với f, g là hàm số liên tục
1)
2)
3)
4)

b
a
b
a
b
a
b
a

cdx = c(b − a) với c là hằng số
[f(x) + g(x)]dx =
cf(x)dx = c

b
a

5) ∀c ∈ [a; b],

a

b

f(x)dx +

a

g(x)dx

f(x)dx với c là hằng số

[f(x) − g(x)]dx =
b

b
a

b
a

f(x)dx =

b

f(x)dx −
c
a

a

g(x)dx
b

f(x)dx +

6) Nếu f(x) ≥ 0 với a ≤ x ≤ b thì

b
a

7) Nếu f(x) ≥ g(x) với a ≤ x ≤ b thì

c

f(x)dx

f(x) ≥ 0
b
a

21

f(x) ≥

b
a

g(x)dx


Tích phân xác định

Tính chất
Với f, g là hàm số liên tục
8) Nếu m ≤ f(x) ≤ M với a ≤ x ≤ b thì
b

m(b − a) ≤

f(x) ≤ M(b − a)
a

9) Nếu f(x) lẻ (tức f(-x) = -f(x)) thì

a
−a

10) Nếu f(x) chẳn (tức f(-x) = f(x)) thì

f(x)dx = 0
a
−a

f(x)dx = 2

a
0

f(x)dx

11) Nếu f(x) tuần hoàn chu kỳ T (tức f(x + T) = f(x)) thì
T

a+T

f(x)dx

f(x)dx =
a

0

Tích phân xác định

Định nghĩa (Công thức Newton - Leibnitz)
Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì
b

f(x)dx = F(x)|ba = F(b) − F(a)
a

với F(x) là nguyên hàm của f(x) hay F (x) = f(x)
Định lý (Công thức đạo hàm theo cận trên)
Nếu f(x) liên tục trên [a; b] thì với mọi nguyên hàm F(x)
 ϕ(x)

x



f(t)dt = f(x); 
f(t)dt = f(ϕ(x))ϕ (x)
a

a


Tích phân xác định

Ví dụ

Tính giới hạn sau
x2
0

lim

sin

√
tdt

x3

x→0+

Giải. Ta thấy, tích phân trên ở dạng

0
khi x → 0+ thì x3 → 0
0

x2

√
tdt → 0

sin
0

Áp dụng quy tắc L’Hospital, ta có

x2

lim

x→0+

0

sin
x3

x2

√
tdt
= lim+

0

sin

√
tdt

(x3 )
2 sin x
2
= lim+
=
x→0

3x
3
x→0

24

√
2x sin x2
= lim+
x→0
(3x2


Tích phân xác định

Phương pháp tính tích phân đổi biến
Nếu

b

b

f(x)dx = F(x) + C
a

a

thì

b

α

f(ϕ(t))ϕ (t)dt = F(ϕ(t)) + C
β

a

với ϕ(t) là một hàm khả vi và liên tục và ϕ(a) = α, ϕ(b) = β.
Phương pháp tính tích phân từng phần
Cho hàm số u(x), v(x) khả vi , liên tục và có nguyên hàm trên (a, b). Khi ấy
hàm u (x)v(x) cũng có nguyên hàm trên (a, b) và
b

b

b

u(x)dv(x) = u(x)v(x) −
a

a

thường viết gọn là

b
a

b

udv = uv −
a

b
a

vdu

v(x)du(x)
a