Bài giảng Toán cao cấp: Chương 5 Ngô Quang Minh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.07 MB, 12 trang )
10/13/2012
1
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
§1. Tích phân bất định
§2. Tích phân xác định
§3. Ứng dụng của tích phân xác định
§4. Tích phân suy rộng
…………………………
§1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1.1. Định nghĩa
• Hàm số
()
Fx
được gọi là một nguyên hàm của
()
fx
trên
khoảng
(;)
ab
nếu
()(),(;)
Fxfxxab
.
Ký hiệu
()
fxdx
(đọc là tích phân).
Nhận xé
t
• Nếu
()
Fx
là nguyên hàm của
()
fx
thì
()
FxC
cũng là
nguyên hàm của
()
fx
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Tính chất
1) .()(),kfxdxkfxdxk
¡
2) ()()
fxdxfxC
3)
()()
d
fxdxfx
dx
4)
[()()]()()
fxgxdxfxdxgxdx
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ
1) ., aadxaxC
¡
2)
1
, 1
1
x
xdxC
3)
ln
dx
xC
x
; 4)
2
dx
xC
x
5)
xx
edxeC
; 6)
ln
x
x
a
adxC
a
7) cossin
xdxxC
; 8) sincos
xdxxC
9)
2
tan
cos
dx
xC
x
; 10)
2
cot
sin
dx
xC
x
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
11)
22
1
arctan
dxx
C
aa
xa
12)
22
arcsin,0
dxx
Ca
a
ax
13)
22
1
ln
2
dxxa
C
axa
xa
14)
lntan
sin2
dxx
C
x
15)
lntan
cos24
dxx
C
x
16)
2
2
ln
dx
xxaC
xa
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 1. Tính
2
4
dx
I
x
.
A.
12
ln
42
x
IC
x
; B.
12
ln
42
x
IC
x
;
C.
12
ln
22
x
IC
x
; D.
12
ln
22
x
IC
x
.
Giải.
22
12
ln.
42
2
dxx
ICA
x
x
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Giải. Biến đổi:
2
11111
(2)(3)532
6
xxxx
xx
.
Vậy
111
532
Idx
xx
113
ln3ln2ln
552
x
xxCC
x
.
VD 2. Tính
2
6
dx
I
xx
.
10/13/2012
2
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
1.2. Phương pháp đổi biến
a) Định lý
Nếu ()()
fxdxFxC
với
()
t
khả vi thì:
(())()(()).
fttdtFtC
VD 3. Tính
ln1
dx
I
xx
.
Giải. Đặt ln1
2ln1
dx
txdt
xx
.
Vậy 222ln1
IdttCxC
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 4. Tính
2
3ln
dx
I
xx
.
Giải. Đặt ln
dx
txdt
x
2
ln
arcsinarcsin
33
3
dttx
ICC
t
.
VD 5. Tính
3
(3)
dx
I
xx
.
Giải. Biến đổi
2
33
(3)
xdx
I
xx
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Đặt
32
3
txdtxdx
1111
3(3)93
dt
Idt
tttt
3
3
11
lnln
939
3
tx
CC
t
x
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
1.3. Phương pháp từng phần
a) Công thức
()()()()()()
uxvxdxuxvxuxvxdx
hay
.
udvuvvdu
VD 6. Tính ln
Ixxdx
.
Giải. Đặt
2
ln
,
2
ux
dxx
duv
dvxdx
x
2
11
ln
22
Ixxxdx
22
11
ln.
24
xxxC
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 7. Tính
2
x
x
Idx
.
Giải. Biến đổi .2
x
Ixdx
.
Đặt
2
,
2
ln2
x
x
ux
dudxv
dvdx
.21
2
ln2ln2
x
x
x
Idx
2
.22
ln2
ln2
xx
x
C
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 8.
Tính
3sin
cos
x
Ixedx
.
Giải. Biến đổi
2sin
(1sin)cos
x
Ixexdx
.
Đặt
2
sin(1)
t
txItedt
.
Đặt
2
2
1
t
t
dutdt
ut
ve
dvedt
Chú ý
Đối với nhiều tích phân khó thì
ta phải đổi biến trước
khi lấy từng phần.
10/13/2012
3
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
2
(1)2
tt
Iettedt
2
(1)2()
tt
ettde
2
(1)22
ttt
etteedt
2sin2
(1)(sin1)
tx
etCexC
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
b) Các dạng
tích phân từng phần
thường gặp
•
Đối với dạng tích phân ()
x
Pxedx
, ta đặt:
(),.
x
uPxdvedx
• Đối với
dạng tích phân ()ln
Pxxdx
, ta đặt:
ln,().
uxdvPxdx
…………………………………………………………………
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
011
nn
xaxxxb
.
Lấy điểm
1
[;]
kkk
xx
tùy ý (
1,
kn
).
Lập tổng tích phân:
1
1
()()
n
kkk
k
fxx
.
§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
2.1. Định nghĩa. Cho hàm số
()
fx
xác định trên
[;]
ab
.
Ta c
hia đoạn
[;]
ab
thành
n
đoạn nhỏ bởi các điểm chia
Ký hiệu là
().
b
a
Ifxdx
Giới hạn hữu hạn (nếu có)
1
max()0
lim
kk
k
xx
I
được gọi
là
tích phân xác định
của
()
fx
trên đoạn
[;]
ab
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Tính chất
1)
.()(),
bb
aa
kfxdxkfxdxk
¡
2)
[()()]()()
bbb
aaa
fxgxdxfxdxgxdx
3)
()0;()()
aba
aab
fxdxfxdxfxdx
4)
()()(),[;]
bcb
aac
fxdxfxdxfxdxcab
5)
()0,[;]()0
b
a
fxxabfxdx
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
6)
()(),[;]()()
bb
aa
fxgxxabfxdxgxdx
7)
()()
bb
aa
abfxdxfxdx
8)
(),[;]
mfxMxab
()()()
b
a
mbafxdxMba
9) Nếu
()
fx
liên tục trên đoạn
[;]
ab
thì
[;]:()()()
b
a
cabfxdxfcba
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
2.2. Công thức Newton
–
Leibnitz
Nếu
()
fx
liên tục trên
[;]
ab
và
()
Fx
là một nguyên hàm
tùy ý của
()
fx
thì:
()()()().
b
b
a
a
fxdxFxFbFa
10/13/2012
4
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Nhận xét
1) Có hai phương pháp tính tích phân như §1.
2) Hàm số
()
fx
liên tục và lẻ trên
[;]
thì:
()0
fxdx
.
3) Hàm số
()
fx
liên tục và
chẵn
trên
[;]
thì:
0
()2()
fxdxfxdx
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Đặc biệt
()()
bb
aa
fxdxfxdx
nếu
()0,(;)
fxxab
.
4) Để tính
()
b
a
fxdx
ta dùng bảng xét dấu của
()
fx
để
tách
()
fx
ra thành các hàm trên từng đoạn nhỏ.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 1. Tính
3
2
1
25
dx
I
xx
.
Giải. Biến đổi
3
2
1
4(1)
dx
I
x
.
Đặt
1
txdtdx
2
2
2
0
0
1
arctan
228
4
dtt
I
t
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 2. Tính
0
cos
Ixxdx
.
Giải. Đặt
,sin
cos
ux
dudxvx
dvxdx
00
0
sinsincos2
Ixxxdxx
.
VD 3.
Tính
1
23
1
1.sin
Ixxdx
.
Giải.
Do hàm số
23
()1.sin
fxxx
liên tục và lẻ
trên đoạn
[1;1]
nên
0
I
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
21
()()
b
a
Sfxfxdx
21
()()
d
c
Sgygydy
a) Biên hình phẳng cho b
ởi phương trình tổng quát
3.1. Tính diện tích
S
của
hình phẳng
S
S
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 1. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường
2
yx
và
4
yx
.
A.
1
15
S
; B.
2
15
S
C.
4
15
S ; D.
8
15
S .
Giải. Hoành độ giao điểm:
24
1,0
xxxx
01
2424
10
4
()().
15
SxxdxxxdxC
10/13/2012
5
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Cách khác
Hoành độ giao điểm
24
1,0
xxxx
11
2424
10
2
Sxxdxxxdx
1
24
0
4
2().
15
xxdxC
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường
2
xy
và
2
yx
.
Giải. Biến đổi:
22
22
xyxy
yxxy
.
Tung độ giao điểm:
2
21,2
yyyy
2
2
223
1
1
1127
(2)2.
236
Syydyyyy
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường
1
x
ye
,
2
3
x
ye
và
0
x
.
A.
1
ln4
2
; B.
ln41
2
; C.
1ln2
2
; D.
1
ln2
2
Giải. Hoành độ giao điểm:
2
13
xx
ee
2
202ln2
xxx
eeex
.
ln2
ln2
22
0
0
1
(2)2
2
xxxx
Seedxeex
11
ln4ln4
22
A
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 4. Tính diện tích hình elip
22
22
:1
xy
S
ab
.
Giải. Phương trình tham số của elip là:
cos
,[0;2]
sin
xat
t
ybt
.
b)
Biên hình phẳng cho bởi phương trình tham số
Hình phẳng
giới hạn bởi đường cong
có phương trình
(),()
xxtyyt
với
[;]
t
thì:
().().
Sytxtdt
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
22
2
00
sin.(sin)sin
Sbtatdtabtdt
2
0
1cos2
2
t
abdtab
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
3.2. Tính độ dài
l
của
đường cong
a)
Đường cong có phương trình tổng quát
Cho cung
»
AB
có phương trình
(),[;]
yfxxab
thì:
»
2
1[()].
b
AB
a
lfxdx
VD 5. Tính độ dài cung parabol
2
2
x
y từ gốc tọa độ
O
(0; 0) đến điểm
1
1;
2
M
.
10/13/2012
6
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Giải
.
Ta có:
11
22
00
1()1
lydxxdx
1
22
0
1
1ln1
2
xxxx
21
ln12
22
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Cho cung
»
AB
có phương trình tham số
()
,[;]
()
xxt
t
yyt
thì:
»
22
[()][()].
AB
lxtytdt
b
)
Đường cong có phương trình t
ham số
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 6
.
Tính độ dài
c
u
ng
C
có phương trình
:
2
2
1
,0;1
ln1
xt
t
ytt
.
Giải
.
Ta có:
1
22
0
[()][()]
lxtytdt
22
1
22
0
1
1
11
t
dt
tt
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 7. Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi
ln,0
yxy
,
1,
xxe
quay xung quanh Ox.
3.3. Tính thể tích vật thể tròn xoay
a)
V
ật thể
quay quanh
Ox
Thể tích
V
của vật thể do miền phẳng
S
giới hạn bởi
(), 0
yfxy
,
xa
,
xb
quay quanh
Ox
là:
2
[()].
b
a
Vfxdx
Giải.
1
1
ln(ln)
e
e
Vxdxxxx
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 8. Tính V do
22
22
():1
xy
E
ab
quay quanh Ox.
Giải
.
Ta có:
222
222
222
1
xyb
yax
aba
.
Vậy
2
222
2
4
3
a
a
b
Vaxdxab
a
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
b
)
V
ật thể
quay quanh
Oy
Thể tích
V
của vật thể do miền phẳng
S
giới hạn bởi
()
xgy
,
0
x
,
yc
và
yd
quay quanh
Oy
là:
2
[()].
d
c
Vgydy
VD
9
.
Tính thể tích V do hình phẳng S giới hạn bởi
2
2,0
yxxy
quay xung quanh Oy.
10/13/2012
7
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Giải. Parabol
2
2
yxx
được viết lại:
22
2(1)1
yxxxy
11,1
11,1
xyx
xyx
.
Vậy
1
22
0
1111
Vyydy
1
1
3
0
0
88
41(1)
33
ydyy
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 10.
Dùng công thức
(
*
)
đ
ể
g
i
ải
l
ại
VD 9
.
Chú ý
Thể tích V của vật thể do miền phẳng S
giới hạn bởi
()
yfx
,
0
y
,
xa
và
xb
quay xung quanh
Oy
còn được tính theo công thức:
2()(*).
b
a
Vxfxdx
Giải.
2
2
34
2
0
0
28
2(2)2.
343
xx
Vxxxdx
………………………………………………………………………
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
§4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG
• Khái niệm mở đầu
Cho hàm số
()0,[;]
fxxab
. Khi đó, diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị
()
yfx
và trục hoành là:
()
b
a
Sfxdx
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
§4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG
Cho hàm số
()0,[;)
fxxa
(
b
). Khi đó,
diện tích S
có thể tính được cũng có thể không tính được.
Trong trường hợp tính được hữu hạn thì:
()lim()
b
b
aa
Sfxdxfxdx
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
§4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG
4.1. Tích phân suy rộng loại 1
4.1.1. Định nghĩa
• Cho hàm số
()
fx
xác định trên
[;)
a
, khả tích trên
mọi đoạn
[;]()
abab
.
Giới hạn (nếu có) của
()
b
a
fxdx
khi
b
được gọi
là tích phân suy rộng loại 1 của
()
fx
trên
[;)
a
.
Ký hiệu là:
()lim().
b
b
aa
fxdxfxdx
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
• Định nghĩa tương tự:
()lim();
bb
a
a
fxdxfxdx
()lim().
b
b
a
a
fxdxfxdx
• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói
tích phân hội tụ,
ngược lại là
tích phân phân kỳ
.
• Nghiên cứu về tích phân suy rộng (nói chung) là
khảo sát sự hội tụ
và
tính giá trị hội tụ
(thường là khó)
.
10/13/2012
8
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 1. Khảo sát sự hội tụ của tích phân
1
dx
I
x
.
Giải
• Trường hợp α = 1:
1
1
limlimln
b
b
bb
dx
Ix
x
(phân kỳ).
• Trường hợp α khác 1:
1
1
1
1
limlim
1
b
b
bb
dx
Ix
x
1
1
,1
1
lim1
1
1
,1.
b
b
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Vậy
§ Với
1
:
1
1
I
(hội tụ).
§ Với
1
:
I
(phân kỳ).
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 2. Tính tích phân
0
2
(1)
dx
I
x
.
VD 3. Tính tích phân
2
1
dx
I
x
.
Giải.
0
0
2
1
limlim1
1
(1)
aa
a
a
dx
I
x
x
.
Giải.
2
limlimarctan
1
b
b
a
bb
a
aa
dx
Ix
x
limarctanlimarctan
22
ba
ba
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Chú ý
• Nếu tồn tại
lim()()
x
FxF
, ta dùng công thức:
()().
a
a
fxdxFx
• Nếu tồn tại
lim()()
x
FxF
, ta dùng công thức:
()().
b
b
fxdxFx
• Tương tự:
()().
fxdxFx
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ
a) Tiêu chuẩn 1
• Nếu
0()(),[;)
fxgxxa
và
()
a
gxdx
hội tụ thì
()
a
fxdx
hội tụ.
• Các trường hợp khác tương tự
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 4. Xét sự hội tụ của tích phân
10
1
x
Iedx
.
Giải. Với
[1;)
x
thì
10
10
10
xx
xxxee
10
11
xx
edxedx
.
Mặt khác,
1
1
1
xx
edxe
e
(hội tụ).
Vậy tích phân đã cho
hội tụ
.
10/13/2012
9
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 5. Xét sự hội tụ của tích phân
1
cos3
x
Iexdx
.
Giải.
11
cos3
xx
exdxedx
(hội tụ)
I
hội tụ.
b) Tiêu chuẩn 2
• Nếu
()
a
fxdx
hội tụ thì
()
a
fxdx
hội tụ (
ngược lại
không đúng).
• Các t
rường hợp khác tương tự
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
c) Tiêu chuẩn 3
• Cho
(),()
fxgx
liên tục, luôn dương trên
[;)
a
và
()
lim
()
x
fx
k
gx
. Khi đó:
Ø Nếu
0
k
thì:
()
a
fxdx
và
()
a
gxdx
cùng hội tụ hoặc phân kỳ.
Ø
Nếu
0
k
và
()
a
gxdx
hội tụ thì
()
a
fxdx
hội tụ.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Ø Nếu
()
a
k
gxdx
phaân ky
ø
thì
()
a
fxdx
phân kỳ.
• Các trường hợp khác tương tự
.
VD 6. Xét sự hội tụ của tích phân
23
1
12
dx
I
xx
.
Giải. Đặt
23
1
()
12
fx
xx
,
3
1
()gx
x
ta có:
3
23
()
1
()2
12
fx x
gx
xx
và
3
1
dx
x
hội tụ
I
hội tụ.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 7. Xét sự hội tụ của tích phân
1
1sin
dx
I
xx
.
Giải. Ta có:
11
()
1sin
x
xxx
: và
1
dx
x
phân kỳ.
Vậy
I
phân kỳ
.
Chú ý
Nếu
()()()
fxgxx
:
thì
()
a
fxdx
và
()
a
gxdx
có cùng tính chất.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 8. Điều kiện của
để
3
1
.ln1
dx
I
xx
hội tụ là:
A.
3
; B.
3
2
; C.
2
; D.
1
2
.
Giải. Đặt
ln
tx
1
333
001
111
dtdtdt
I
ttt
.
•
1
3
0
1
dt
t
là tích phân thông thường nên hội tụ.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
• Do
3
3
11
1t
t
: nên:
I
hội tụ
3
1
1
dt
t
hội tụ
13
3
A
.
10/13/2012
10
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 9. Điều kiện của
để
2
4
1
(1)
23
xdx
I
xx
hội tụ?
Giải
• Với
4
:
2
42
11
(1)
23
xdx
dx
I
xxx
: hội tụ.
• Với
4
:
2
1
2
dx
I
x
: hội tụ
I
hội tụ
¡
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
4.2. Tích phân suy rộng loại 2
4.2.1. Định nghĩa
• Cho hàm số
()
fx
xác định trên
[;)
ab
và
không xác định
tại
b
, khả tích trên mọi đoạn
[;](0)
ab
.
Giới hạn (nếu có) của
()
b
a
fxdx
khi
0
được gọi là
tích phân suy rộng loại 2 của
()
fx
trên
[;)
ab
.
Ký hiệu:
0
()lim().
bb
aa
fxdxfxdx
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
• Định nghĩa tương tự:
0
()lim()
a
bb
a
fxdxfxdx
(suy rộng tại
a
);
0
()lim()
bb
aa
fxdxfxdx
(suy rộng tại
a
,
b
).
• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói
tích phân hội tụ,
ngược lại là
tích phân phân kỳ.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 10. Khảo sát sự hội tụ của
0
,0
b
dx
Ib
x
.
Giải
• Trường hợp α = 1:
000
limlimlnlnlimln
b
b
dx
Ixb
x
.
• Trường hợp α khác 1:
1
000
1
limlimlim
1
bb
b
dx
Ixdxx
x
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
1
11
0
1
,1
lim
1
1
,1.
b
b
Vậy
§ Với
1
:
1
1
b
I
(hội tụ).
§ Với
1
:
I
(phân kỳ).
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 11. Tính tích phân
1
3
2
1
6
3
19
dx
I
x
.
A.
3
I
; B.
3
I
; C.
6
I
; D.
I
.
Giải.
1
1
3
3
1
2
1
6
6
(3)
arcsin3
3
1(3)
dx
IxB
x
.
10/13/2012
11
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộ tmột
biếnbiến
sốsố
VD 12. Tính tích phân
3
2
1
.ln
e
dx
I
xx
.
Giải. Đặt
ln
tx
2
11
1
3
3
3
2
0
00
33
dt
Itdtt
t
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộ tmột
biếnbiến
sốsố
VD 13. Tính tích phân
2
2
1
dx
I
xx
.
Giải. Ta có:
22
11
11
(1)1
dx
Idx
xxxx
2
0
1
11
lim
1
dx
xx
2
0
1
1
limln
x
x
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộ tmột
biếnbiến
sốsố
VD 14. Tích phân suy rộng
1
0
(1)(2)
xdx
I
xxx
hội tụ khi và chỉ khi:
A.
1
; B.
1
2
; C.
1
2
; D.
¡
.
4.1.2. Các tiêu chuẩn hội tụ
Các tiêu chuẩn hội tụ
như
t
ích phân
suy rộng loại 1
.
Chú ý
Nếu
()()()
fxgxxb
:
thì
()
b
a
fxdx
và
()
b
a
gxdx
có cùng tính chất (với
b
là cận suy rộng).
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộ tmột
biếnbiến
sốsố
Giải. Khi
0
x
thì
1
2
11
.
(1)(2)22
xx
xxxx
x
:
I
hội tụ
1
1
0
2
1
2
dx
x
hội tụ
11
1
22
C
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộ tmột
biếnbiến
sốsố
Giải.
11
22
00
(1)sin(1)sin
xdxdx
I
xxxx
.
VD 15. Tích phân suy rộng
1
2
0
1
(1)sin
x
Idx
xx
phân kỳ khi và chỉ khi:
A.
1
; B.
1
2
; C.
1
2
; D.
¡
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộ tmột
biếnbiến
sốsố
I
phân kỳ
1
2
0
(1)sin
xdx
xx
phân kỳ.
Do
111
1
2
000
2
(1)sin
dxdxdx
x
xx
x
: hội tụ nên
Vậy
I
phân kỳ
11
1
22
B
.
Mặt khác
,
111
1
2
000
2
(1)sin
xdxxdxdx
x
xx
x
: .
10/13/2012
12
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Chú ý
• Cho
12
III
với
12
,,
III
là các tích phân suy rộn
g
ta có:
1)
1
I
và
2
I
hội tụ
I
hội tụ.
2)
1
2
()
0
I
I
phaân ky
ø
hoặc
1
2
()
0
I
I
phaân ky
ø
thì
I
phân kỳ.
3)
1
2
()
0
I
I
phaân ky
ø
hoặc
1
2
()
0
I
I
phaân ky
ø
thì chưa thể kết luận
I
phân kỳ.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
VD 16.
1
2
0
1
sin
x
Idx
xx
phân kỳ khi và chỉ khi:
A.
1
4
; B.
1
4
; C.
1
2
; D.
¡
.
Giải. Ta có:
11
12
22
00
sinsin
xdxdx
III
xxxx
.
ØØ
ChươngChương
5. 5.
PhépPhép
tínhtính
tíchtích
phânphân
hàmhàm
mộtmột
biếnbiến
sốsố
Mặt khác:
1)
111
2
3
23
000
2
sin
dxdxdx
I
xxx
x
: .
2)
1
1
2
0
0
sin
xdx
I
xx
.
Vậy
12
III
phân kỳ với mọi
D
¡
.
…………………………………………………………………
