Bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 Ngô Quang Minh

10/13/2012
1
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
§1. Phương trình vi phân cấp 1
§2. Phương trình vi phân cấp 2
……………………………

§1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I
1.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1
• Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng
tổng quát
(,,)0
Fxyy


(*). Nếu từ (*) ta
giải được
theo
y

thì (*) trở thành
(,)
yfxy



.
• Nghiệm của (*) có dạng
()
yyx

chứa hằng số
C
được
gọi là
nghiệm tổng quát
. Khi thế điều kiện
00
()
yyx

cho trước (thường gọi là
điều kiện đầu
) vào nghiệm
tổng quát ta được giá trị
0
C
cụ thể và nghiệm lúc này
được gọi là
nghiệm riêng
của (*).

ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương

trìnhtrình
vi vi
phânphân
VD 1. Cho phương trình vi phân
0
yx


(*).
Xét hàm số
2
2
x
yC

, ta có:
0
yx


thỏa phương trình (*).
Suy ra
2
2
x
yC

là nghiệm tổng quát của (*).
Thế
2,1

xy

vào
2
2
x
yC

, ta được:

2
11
2
x
Cy

là nghiệm riêng của (*) ứng với
điều kiện đầu
(2)1
y

.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Ø

Phương pháp giải
Lấy tích phân hai vế của (1) ta được nghiệm tổng quát:

()().
fxdxgydyC



Giải. Ta có:
2222
0
1111
xdxydyxdxydy
C
xyxy




1.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản
1.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly
Ø Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng:
()()0 (1).
fxdxgydy


VD 2. Giải phương trình vi phân
22
0
11

xdxydy
xy


.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân

22
22
(1)(1)
2
11
dxdy
C
xy






22
ln(1)ln(1)2
xyC




22
1
ln(1)(1)ln
xyC




.
Vậy
22
(1)(1)
xyC

.
Giải.
(2)(2)
dy
yxyyxyy
dx



(2)
dy
xdx
yy



11
2
2
dyxdx
yy












VD 3. Giải phương trình vi phân
(2)
yxyy


.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình

vi vi
phânphân

2
2
ln.
22
x
yy
xCCe
yy


.
Giải.
2
3
1
0
1
1
xy
ptdxdy
y
x





3
3
1(1)2
1
31
1
dx
dyC
y
x
















3
1
ln12ln1

3
xyyC


3
6
1
ln33
(1)
x
Cy
y



363
1(1).
y
xCye


VD 4. Giải ptvp
23
(1)(1)(1)0
xydxxydy

.
ØØ
ChươngChương
8. 8.

PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Giải.
22
dy
xyyyxyy
dx




2
11
1
dydxdx
dy
xyyx
yy
















11
lnlnlnln
yy
xCCx
yy



1
yCxy

(*).
Thay
1
1,
2
xy

vào (*) ta được
1
yxy

.
VD 5. Giải ptvp
2

xyyy


thỏa điều kiện
1
(1)
2
y

.
10/13/2012
2
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Chẳng hạn, hàm số:
(,)
23
xy
fxy
xy



là đẳng cấp bậc 0,
2

43
(,)
5
xxy
fxy
xy



là đẳng cấp bậc 1,
2
(,)32
fxyxxy

là đẳng cấp bậc 2.
1.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1

a) Hàm đẳng cấp hai biến số
• Hàm hai biến
(,)
fxy
được gọi là đẳng cấp bậc
n
nếu
với mọi
0
k

thì
(,)(,)

n
fkxkykfxy

.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
b) Phương trình vi phân đẳng cấp

• Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng:
(,) (2).
yfxy




Trong đó,
(,)
fxy
là hàm số đẳng cấp bậc 0.
Phương pháp giải

Bước
1
.
Biến đổi

(2)
y
y
x











.
Bước
2
.
Đặt
y
uyuxu
x

 .
Bước
3
.

(2)()

()
dudx
uxuu
uux







()0
uux

(đây là ptvp có biến phân ly).

ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Giải.
2
22
1
yy
xx
xxyy

yy
xyy
x












 .
Đặt
y
uyuxu
x

 .

2
11
uuduu
ptuxux
udxu




1
01
11
ududxdx
duC
uxux












VD 6. Giải phương trình vi phân
22
xxyy
y
xy


 .
ØØ
ChươngChương
8. 8.

PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
ln(1)1.
y
x
y
uxuCxCe
x











.
Vậy
.
y
x
yxCe


.

Giải.
1
,
1
xyuy
yuxuu
xyux





2
22
11
1
11
duuudx
xdu
dxux
uu














VD 7. Giải phương trình vi phân
xy
y
xy





với điều kiện đầu
(1)0
y

.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân

2
1
ln(1)ln
2

arctguuxC



22
2
ln
xyy
xarctgC
x
x


(*).
Thay
1,0
xy

vào (*) ta được
0
C

.
Vậy
22
2
y
arctg
x
xy

xe
x


.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
• Nghiệm tổng quát của (3) là
(,)
uxyC

.
N
hận xét
//
(,)(,),(,)(,)
xy
uxyPxyuxyQxy

.
1.2.3. Phương trình vi phân toàn phần
• Cho hai hàm số
(,),(,)
PxyQxy
và các đạo hàm riêng

của chúng liên tục trong miền mở
D
, thỏa điều kiện
//
,(,)
xy
QPxyD

. Nếu tồn tại hàm
(,)
uxy
sao cho

(,)(,)(,)
duxyPxydxQxydy


thì phương trình vi phân có dạng:
(,)(,)0 (3)
PxydxQxydy


được gọi là p
hương trình
vi phân toàn phần
.

10/13/2012
3
ØØ

ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Bước
2. Lấy tích phân (3a) theo biến
x
ta được:

(,)(,)(,)()
uxyPxydxxyCy


(3c).
Trong đó,
()
Cy
là hàm theo biến
y
.
Phương pháp giải

Bước
1
.
Từ (3) ta có
/
x

uP

(3a) và
/
y
uQ

(3b).
Bước
3. Đạo hàm (3c) theo biến
y
ta được:
//
()
yy
uCy


(3d).
Bước
4
.
So sánh (3b) và (3d) ta tìm được
()
Cy
.
Thay
()
Cy
vào (3c) ta được

(,)
uxy
.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Giải
1)
2/
2/
32262
6326
y
x
PyxyxPyx
QxxyQxy













đpcm.
2) Ta có:
/2
/2
322()
63()
x
y
uyxyxa
uxxyb












VD 8. Cho phương trình vi phân:
22
(322)(63)0
yxyxdxxxydy

(*).

1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần.
2
)
Giải p
hương trình
(*).

ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân

2
()(322)
auyxyxdx




222
3()
xyxyxCy



/2
6()

y
uxyxCy

 (c).
So sánh (
b
) và (
c
), ta được:
()3()3
CyCyy


.
Vậy (*) có nghiệm
222
33
xyxyxyC

.
Giải. Ta có:
/
/
1()
()
x
y
y
uxya
uexb













VD 9. Giải ptvp
(1)()0
y
xydxexdy

.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
2
()(1)()
2
x
auxydxxyxCy





/
()
y
uxCy

 (c).
So sánh (
b
) và (
c
), ta được:
()()
yy
CyeCye


.
Vậy phương trình có nghiệm
2
2
y
x
xyxeC

.
ØØ

ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Phương pháp giải
(phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)

Bước
1
.
Tìm biểu thức
()
()
pxdx
Axe



.
Bước
2
.
Tìm biểu thức
()
()().
pxdx
Bxqxedx




.
Bước
3
.
Nghiệm tổng quát là
()()
yAxBxC




.
1.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
• Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng:
()() (4).
ypxyqx



• Khi
()0
qx

thì (4) được gọi là p
hương trình vi phân
tuyến tính cấp 1
thuần nhất
.

ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Chú ý
• Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0.
• Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm
tổng quát của (4) dưới dạng:
()
().
pxdx
yCxe




Nhận xét
.

()
()
()()
()
pxdx
qx
Bxqxedxdx

Ax




VD 10. Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta đi
tìm
nghiệm tổng quát của
24ln
y
yxx
x

 dưới dạng:

A.
2
()
Cx
y
x
 ; B.
3
()
Cx
y
x
 ;
C.
()

Cx
y
x

; D.
()
Cx
y
x

.
10/13/2012
4
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Giải.
2
()
2
()
()()
dx
pxdx
x
Cx

yCxeCxeA
x




.
Giải. Ta có:
2
(),()0
pxxqx

.

3
2
()
3
()
x
pxdxxdx
Axeee



.

()
()().0
pxdx

Bxqxedx




3
3
x
yCe

là nghiệm tổng quát của phương trình.
VD 11. Giải phương trình vi phân
2
0
yxy



thỏa điều kiện
9
3
x
ye


.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương

trìnhtrình
vi vi
phânphân
Từ điều kiện đầu, ta có nghiệm riêng
3
3
x
ye

.
Giải. Ta có:
sin
()cos,()
x
pxxqxe

.

cos
sin
()
xdx
x
Axee




.
cos

sin
().
xdx
x
Bxeedxx




.
Vậy
sin
()
x
yexC


.
VD 12. Giải phương trình
sin
cos
x
yyxe



.
ØØ
ChươngChương
8. 8.

PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
• Khi
0

hoặc
1

thì (5) là tuyến tính cấp 1.
• Khi
()()1
pxqx

thì (5) là pt có biến phân ly.
Phương pháp giải
(
với α khác
0
và
1)
Bước
1
.
Với
0
y

, ta chia hai vế cho

y

:
(5)()()
yy
pxqx
yy





1
()()
yypxyqx



.
1.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli
• Phương trình vi phân Bernoulli có dạng:
()() (5).
ypxyqxy




ØØ
ChươngChương
8. 8.

PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Bước
2. Đặt
1
(1)
zyzyy



, ta được:
(5)(1)()(1)()
zpxzqx



(
đây là
p
hương trình
tuyến tính cấp
1).

Giải. Ta có:
221
1
.
y

yxyyyyx
xx



.
Đặt
12
zyzyy



, ta được:
11

ptzzxzzx
xx


.
VD 13. Giải phương trình vi phân
2
y
yxy
x


với điều kiện đầu
1,1
xy


.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
(),().
dxdx
xx
AxexBxxedxx





2
1
()
zxxCxCx
y
 .
Vậy từ điều kiện đầu, ta có nghiệm
2
210
xyxy

.

Giải.
34433
22
yxyxyyyxyx



.
Đặt
34
3
zyzyy



.
33
1
263
3
ptzxzxzxzx

 .
VD 14. Giải phương trình vi phân
34
2
yxyxy


.

ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân

2
6
3
()
xdx
x
Axee




,


2
6
333
()3.3
xdx
x
Bxxedxxedx






22
23232
11
3(3)(31)
66
xx
xedxex


.

Vậy
22
332
3
11
(31)
6
xx
eexC
y






.
10/13/2012
5
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Phương pháp giải

• Lấy tích phân hai vế (1) hai lần:
1
()()()
yfxyfxdxxC





112
()()
yxdxCxxCxC


.
VD 1. Giải phương trình vi phân
2
yx



.
§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II
2.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 cơ bản
2.1.1. Phương trình khuyết y và y’
• Phương trình vi phân khuyết
y
và
y

có dạng:
() (1).
yfx




ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Giải.
3
22
1
3

x
yxyxdxC





34
112
312
xx
yCdxyCxC













.
VD 2. Giải ptvp
2
x
ye



với
73
(0), (0)
42
yy


.
Giải.
22
1
1
2
xx
yeyeC

 (a).
Thay
3
0,(0)
2
xy


vào (
a
) ta được
1

1
C



2
1
1
2
x
ye


2
2
1
4
x
yexC
 (
b
).
ØØ
Chương 2. Phương trình vi phânChương 2. Phương trình vi phân
Thay
7
0,(0)
4
xy


vào (
b
) ta được
2
2
C

.
Vậy phương trình có nghiệm riêng
2
1
2
4
x
yex

.
Phương pháp giải

• Đặt
zy


đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1.
VD 3. Giải phương trình vi phân
y
yx
x




.
2.1.2. Phương trình khuyết y
• Phương trình vi phân khuyết
y
có dạng:
(,) (2).
yfxy



ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Giải. Đặt
zy


ta có:

1
y
yxzzx
xx




.
1
()
dx
x
Axe
x



,
3
1
()
3
dx
x
Bxxedxx



.
Suy ra
32
1
1
111
33
C

zxCyx
xx











.
Vậy
3
12
1
ln
9
yxCxC
.
VD 4. Giải pt vi phân
(1)0
1
y
yxx
x






với điều kiện
(2)1,(2)1
yy


.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Giải. Đặt
zy


ta có:
1
(1)
1
ptzzxx
x



.

1
()1
dx
x
Axex



,
2
1
1
()(1)
2
dx
x
Bxxxedxx







2
1
1
(1)
2

yxxC











.
32
11
(2)133
22
yyxxx


ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân

432
2

3
3
862
xxx
yxC
.

432
31
(2)13
8623
xxx
yyx

.
10/13/2012
6
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Phương pháp giải

• Đặt
zy



ta có:
.
dzdzdydz
yzz
dxdydxdy

.
Khi đó, (3)

trở thành
pt
vp với
biến số phân ly.

VD 5. Giải phương trình vi phân


2
21
yyy


.
Giải. Đặt
zy



dz
yz

dy

 .
2.1.3. Phương trình khuyết x
• Phương trình vi phân khuyết
x
có dạng:
(,) (3).
yfyy



ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân

2
2
2
21
1
dzzdzdy
ptyzz
dyy
z




2
2
2
(1)
ln(1)ln
1
dz dy
zCy
y
z





2
1
zCy

(
*
).
Đạo hàm hai vế (*) theo
x
:
112
2
zzCyyCyCxC



.
Vậy
2
123
yCxCxC

.
VD 6. Giải phương trình vi phân
2(12)0
yyy



với điều kiện
1
(0)0, (0)
2
yy


.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân

Giải. Đặt
zy



dz
yz
dy

 .

2(12)0
dz
ptzzy
dy



2
2(21)22
dzydyzyyC

(
a
).
Thay
1
0,0,
2
xyy



vào (a)
1
2
C



22
12
22(21)
2
dy
yyyy
dx


2
21
21
(21)
dy
dxxC
y
y



(b).

ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Thay
0,0
xy

vào (b)
1
C

.

Vậy phương trình có nghiệm
(1)(21)10
xy

.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Ø Trường hợp 1

Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt
12
,
kk
.

Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng
12
12
,
kxkx
yeye


và nghiệm tổng quát là
12
12
.
kxkx
yCeCe


Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng của (4):

2
12
0 (5).
kaka


2.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính
với hệ số hằng
2.2.1. Phương trình thuần nhất
• Phương trình thuần nhất có dạng:


1212
0, , (4).
yayayaa


¡

ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Ø
Trường hợp
2
Phương trình (5) có nghiệm kép thực
k
.
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng
12
,
kxkx

yeyxe


và nghiệm tổng quát là
12
.
kxkx
yCeCxe


Ø
Trường hợp 3
Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp
ki

.
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng:
12
cos, sin
xx
yexyex



và nghiệm tổng quát là:


12
cossin.
x

yeCxCx



10/13/2012
7
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
VD 7. Giải phương trình vi phân
230
yyy


.
Giải. Phương trình đặc trưng:
2
12
2301,3
kkkk

.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng:
3
12
,

xx
yeye


và nghiệm tổng quát là
3
12
xx
yCeCe


.
VD 8. Giải phương trình vi phân
690
yyy


.
Giải. Phương trình đặc trưng:
2
6903
kkk

(nghiệm kép)
.

ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương

trìnhtrình
vi vi
phânphân
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng:
33
12
,
xx
yeyxe

và nghiệm tổng quát là
33
12
xx
yCeCxe

.
VD 9. Giải phương trình vi phân
160
yy


.
Giải. Phương trình đặc trưng:
222
1,2
160164
kkiki


0,4

.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng:
12
cos4,sin4
yxyx


và nghiệm tổng quát là
12
cos4sin4
yCxCx

.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
VD 10. Giải phương trình vi phân
270
yyy


.
Giải. Phương trình đặc trưng

2
270
kk

có:
2
1,2
6616
iki




1,6

.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng:
12
cos6,sin6
xx
yexyex



và nghiệm tổng quát:


12
cos6sin6
x

yeCxCx

.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Giải. Phương trình đặc trưng
2
10
kk

có:
2
1,2
13
33
2
i
ik





13
,

22
 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát:
2
12
33
cossin
22
x
yeCxCx












.
VD 11. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:
0
yyy


.
ØØ

ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
• Để tìm
1
()
Cx
và
2
()
Cx
, ta giải hệ Wronsky:
1122
1122
()()()()0
()()()()().
CxyxCxyx
CxyxCxyxfx













a)

Phương pháp giải tổng quát

• Nếu (4) có hai nghiệm riêng
12
(), ()
yxyx
thì (6) có
nghiệm tổng quát là
1122
()()()().
yCxyxCxyx


2.2.2. Phương trình không thuần nhất

• Phương trình không thuần nhất có dạng:


1
12
2
()
, , (6).
a
yayayfx

a





¡

ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
VD 12. Giải phương trình vi phân
1
cos
yy
x

 (a).
Giải. Xét phương trình thuần nhất
0
yy


(b) ta có:
2
100,1

kki


12
cos,sin
yxyx

là 2 nghiệm riêng của (
b
).
Nghiệm tổng quát của (
a
) có dạng:
12
().cos().sin
yCxxCxx

.
Ta có hệ Wronsky:
12
12
cos.()sin.()0
1
sin.()cos.()
cos
xCxxCx
xCxxCx
x















10/13/2012
8
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
2
12
2
12
sincos.()sin.()0
sincos.()cos.()1
xxCxxCx
xxCxxCx















1
2
sin
()
cos
()1
x
Cx
x
Cx











 


11
22
()lncos
().
CxxC
CxxC










Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là:





12
lncoscossin

yxCxxCx

.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
VD 13. Cho phương trình vi phân:
2
22(2)
x
yyyxe


(*).
1) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là
2
x
yxe

.
2
) Tìm nghiệm tổng quát của
(*).


b)

C
ÁC PHƯƠNG PHÁP
GIẢ
I

ĐẶC BIỆT

Ø Phương pháp cộng nghiệm
• Định lý
Nghiệm tổng quát của
phương trình không thuần nhất
(6) bằng tổng nghiệm tổng quát của
phương trình thuần
nhất (4) với 1 nghiệm riêng của (6).
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Giải
1)
222
(*)(42)2(2)2
xxx
VTxxexxexe


2
(2)(*)
x
xeVP

đpcm.
2) Xét phương trình thuần nhất
220
yyy



(**)
:
2
1,2
2201
kkki

.
Suy ra (**) có nghiệm tổng quát:

12
(cossin)
x
yeCxCx

.
Vậy (*) có nghiệm tổng quát là:
2

12
(cossin)
xx
yxeeCxCx

.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
VD 14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
2sin24cos2
yyxx


,
biết 1 nghiệm riêng là
cos2
yx

.
Giải. Phương trình
0
yy


có:

2
12
00,1
kkkk


0
yy


có nghiệm tổng quát
12
x
yCCe


.
Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là:
12
cos2
x
yCCex


.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình

vi vi
phânphân
Ø

Phương pháp chồng chất nghiệm

• Định lý

Cho phương trình vi phân:
1212
()() (7)
yayayfxfx


.
Nếu
1
()
yx
và
2
()
yx
lần lượt là nghiệm riêng của
121
()
yayayfx


,

122
()
yayayfx





thì
nghiệm riêng của (7
)
là:


12
()().
yyxyx


ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của
2
2cos
yyx



(*).

Cho biết
1
yy


và
cos2
yyx


lần lượt có
nghiệm riêng
1
yx

,
2
21
cos2sin2
1010
yxx
.
Giải. Ta có:
2
2cos1cos2
yyxyyx



.
Suy ra (*) có nghiệm riêng là:
21
cos2sin2
1010
yxxx
.
10/13/2012
9
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Mặt khác, phương trình thuần nhất
0
yy



có nghiệm tổng quát là
12
x
yCCe

.

Vậy phương trình
(*)
có nghiệm tổng quát là:

12
21
cos2sin2
1010
x
yCCexxx

.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Ø

Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình
vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng

Xét phương trình
12
()(6)
yayayfx




và
12
0(4).
yayay



• Trường hợp 1: f(x) có dạng e
αx
P
n
(x)
(
()
n
Px
là đa thức bậc
n
).

Bước 1.
Nghiệm riêng của (6) có dạng:

()
mx
n
yxeQx





(
()
n
Qx
là đa thức đầy đủ bậc
n
).
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân

Bước 2.
Xác định
m
:

1) Nếu

không là nghiệm
của phương trình đặc trưng
của (4) thì
0
m


.
2) Nếu


là nghiệm đơn
của phương trình đặc trưng
của (4) thì
1
m

.
3) Nếu


là nghiệm kép
của phương trình đặc trưng
của (4) thì
2
m

.
Bước 3. Thế
.()
mx
n
yxeQx


vào (6) và đồng nhất thức

ta được nghiệm riêng cần tìm.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
V
D 16.
Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân:
32
23(1)
x
yyyex


.
Giải. Ta có
32
()(1)
x
fxex

,
2
2
3,()1
Pxx



.
Suy ra nghiệm riêng có dạng:
32
()
mx
yxeAxBxC

.
Do
3


là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng
2
230
kk

nên
1
m

.
Suy ra nghiệm riêng có dạng
32
()
x
yxeAxBxC

.

ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Thế
32
()
x
yxeAxBxC

vào phương trình
đã cho,
đồng nhất thức ta được:
119
,,
121632
ABC.
Vậy nghiệm riêng là
32
119
121632
x
yxexx











.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
VD 1
7
.
Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:

22
xx
yyyxee



.
Giải. Xét phương trình
2
x

yyyxe


(1).
Ta có
()
x
fxxe

,
1
1,()
Pxx


.
Dạng nghiệm riêng của (1) là
1
()
mx
yxeAxB

.
Do
1


không là nghiệm của phương trình đặc trưng
2
210

kk

nên
0
m


1
()
x
yeAxB

.
10/13/2012
10
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Xét phương trình
22
x
yyye



(2).

Ta có
()2
x
fxe


,
0
1,()2
Px


.
Nghiệm riêng của (2) có dạng
mx
yCxe


.
Do
1


là nghiệm kép của phương trình đặc trưng
2
210
kk

nên
2

m


2
2
x
yCxe


.
Áp dụng nguyên lý chồng nghiệm, suy ra nghiệm riêng
của phương trình đã cho có dạng:
2
12
()
xx
yyyeAxBCxe


.