ĐÀN hồi ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN tử hữu hạn

BÀI TẬP LỚN ĐÀN HỒI ỨNG DỤNG

GVHD:

BÀI TẬP LỚN
ĐÀN HỒI ỨNG DỤNG - PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN







Giải bài toán bằng phương pháp phần tử hưu hạn đối với các tấm chịu lực cho trên
các sơ đồ kèm theo, số phần tử lấy bằng 4 theo gợi ý trên sơ đồ. Cho biết E, q, a,
bề dày của tấm là h, lấy ν = 0,25.
Số liệu được giao:
• Sơ đồ liên kết:
2
• Sơ đồ hình học:
VII
• Sơ đồ tải trọng:
B
Trình tự thực hiện:
• Vẽ lại các tấm với các kích thước, liên kết và tải trọng theo các sơ đồ được
giao.
• Chia tấm thành 4 phần tử tam giác theo gợi ý trên sơ đồ. Đánh số tên các
phần tử, tên các nút.
• Gọi tên các ẩn số chuyển vị nút, viết vecto chuyển vị nút.
• Xác định ma trận độ cứng của từng phần tử, kèm theo ký hiệu của các thành
phần trong ma trận.

• Tìm ma trận độ cứng chung cho toàn tấm.
• Tìm vecto ngoại lực nút
• Theo điều kiện biên, khử dạng suy biến của ma trận độ cứng, thu gọn dạng
phương trình để giải P = K.X
• Giải phương trình. Viết lại kết quả của vecto chuyển vị nút.
• Tính các ứng suất σxx; σyy; σxy trong từng phần tử.
• Tính ứng suất tại các nút theo các giá trị trung bình:
σ = Σσr

Page 1


BÀI TẬP LỚN ĐÀN HỒI ỨNG DỤNG



GVHD:

Chia phần tử, đánh số phần tử, số nút, số ẩn số, biểu diễn liên kết:

Tấm được chia làm 4 phần tử I, II, III, IV, có sáu nút 1, 2, 3, 4, 5, 6, mỗi nút có hai
chuyển vị. Được thể hiện trên hình 1

Hình 1
1.

Phần tử I.
Tên gọi và thứ tự nút: 1, 5, 2 (ngược chiều kim đồng hồ).
Tọa độ nút:
1(0, 2a); 5(0, 0); 2(a, a).

Véc tơ ẩn số nút: δT = {X1 X2 X3 X4 X5 X6} (theo thứ tự nút).
Diện tích phần tử: ∆ = a2
Ma trận hình học B1:
BI =
Trong đó:

bi = yj - yk
ci = xk - xj
với các chỉ số i, j, k được hoán vị vòng tròn.
Ta có: b1 = - a ;
c1 = a ;

b2 = - a ;
c2 = -a ;

b3 = 2a
c3 = 0
Page 2


BÀI TẬP LỚN ĐÀN HỒI ỨNG DỤNG

GVHD:

BI =
Ma trận vật lí D:
D=
Với: C1= , C2 = ν
cho ứng suất phẳng.
C1= , C2 = cho biến dạng phẳng.

C12 =
cho cả 2 trường hợp.
Ta có: ν = 0.25
Cho ứng suất phẳng:
C1 = =
C2 = 0,25
C12 = =
D=
D=
D.BI = .
=
Ma trận độ cứng của phần tử k = t.∆.BT.D.B
Ma trận độ cứng có thứ tự tên gọi và thành phần phù hợp với vecto ẩn số trong
phần tử I được xác định như sau:
kI =
kI = h.a2. .
kI =

2.

Phần tử II.
Tên gọi và thứ tự nút: 2, 5, 6 (ngược chiều kim đồng hồ).
Page 3


BÀI TẬP LỚN ĐÀN HỒI ỨNG DỤNG

GVHD:

Tọa độ nút:

2(a, a); 5(0, 0); 3(2a, 0).
Véc tơ ẩn số nút: δT = {X3 X4 X7 X8 X5 X6} (theo thứ tự nút).
Diện tích phần tử: ∆ = a2
Ma trận hình học B1:
BII =
Trong đó:

bi = yj - yk
ci = xk - xj
với các chỉ số i, j, k được hoán vị vòng tròn.
Ta có:
b1 = 0
b2 = -a
b3 = a
c1 = 2a
c2 = -a
c3 = -a
BII =
Ma trận vật lí D:
D=
Với: C1= , C2 = ν
cho ứng suất phẳng.
C1= , C2 = cho biến dạng phẳng.
C12 =
cho cả 2 trường hợp.
Ta có: ν = 0.25
Cho ứng suất phẳng:
C1 = =
C2 = 0,25
C12 = =

D=
D=
D.BII = .
=
Ma trận độ cứng của phần tử k = t.∆.BT.D.B
Ma trận độ cứng có thứ tự tên gọi và thành phần phù hợp với vecto ẩn số trong
phần tử I được xác định như sau:
kII =
Page 4


BÀI TẬP LỚN ĐÀN HỒI ỨNG DỤNG

GVHD:

kII = h.a2. .
kII =
3.

Phần tử III.
Tên gọi và thứ tự nút: 3, 2, 6 (ngược chiều kim đồng hồ).
Tọa độ nút:
3(2a, 2a); 4(a, a); 6(2a, 0).
Véc tơ ẩn số nút: δT = {X5 X6 X7 X8 X9 X10} (theo thứ tự nút).
Diện tích phần tử: ∆ = a2
Ma trận hình học B1:
BIII =
Trong đó:

bi = yj - yk

ci = xk - xj
với các chỉ số i, j, k được hoán vị vòng tròn.
Ta có:
b1 = a ;
b2 = -2a
b3 = a
c1 = a ;
c2 = 0
c3 = -a
BIII =
Ma trận vật lí D:
D=
Với: C1= , C2 = ν
cho ứng suất phẳng.
C1= , C2 = cho biến dạng phẳng.
C12 =
cho cả 2 trường hợp.
Ta có: ν = 0.25
Cho ứng suất phẳng:
C1 = =
C2 = 0,25
C12 = =
D=
D=
D.BIII = .
=
Page 5


BÀI TẬP LỚN ĐÀN HỒI ỨNG DỤNG

GVHD:

Page 6


BÀI TẬP LỚN ĐÀN HỒI ỨNG DỤNG

GVHD:

Ma trận độ cứng của phần tử k = t.∆.BT.D.B
Ma trận độ cứng có thứ tự tên gọi và thành phần phù hợp với vecto ẩn số trong
phần tử I được xác định như sau:
kIII =
kIII = h.a2. .
kIII =
4.

Phần tử IV.
Tên gọi và thứ tự nút: 3, 6, 4 (ngược chiều kim đồng hồ).
Tọa độ nút:
3(2a, 2a); 6(2a, 0); 4(3a, a)
Véc tơ ẩn số nút: δT = {X5 X6 X9 X10 X11 X12} (theo thứ tự nút).
Diện tích phần tử: ∆ = a2
Ma trận hình học BIV:
BIV =
Trong đó:

bi = yj - yk
ci = xk - xj

với các chỉ số i, j, k được hoán vị vòng tròn.
Ta có:
b1 = -a
b2 = - a
b3 = 2 a
c1 = a
c2 = -a
c3 = 0
BIV =
Ma trận vật lí D:
D=
Với: C1= , C2 = ν
cho ứng suất phẳng.
C1= , C2 = cho biến dạng phẳng.
C12 =
cho cả 2 trường hợp.
Ta có: ν = 0.25
Cho ứng suất phẳng:
C1 = =
C2 = 0,25
C12 = =

Page 7


BÀI TẬP LỚN ĐÀN HỒI ỨNG DỤNG

GVHD:

D=

D=
D.BIV = .
=
Ma trận độ cứng của phần tử k = t.∆.BT.D.B
Ma trận độ cứng có thứ tự tên gọi và thành phần phù hợp với vecto ẩn số trong
phần tử I được xác định như sau:
kIV =
kIV = h.a2. .
kIV =

* Ma trận độ cứng toàn hệ: K = [Kij] với Kij =Σkij
Phù hợp với các ẩn số nút, ma trận K có cấp [12x12] , viết theo thứ tự tên gọi các
ẩn số như sau:
K=
K =

* Vecto tải trọng: Quy đổi tải trọng trên các cạnh về tải trọng tập trung tương đường đặt
tại nút, ta nhận được sơ đồ tải trọng của tấm như trên hình 2

Page 8


BÀI TẬP LỚN ĐÀN HỒI ỨNG DỤNG

GVHD:

Hình 2
Theo sơ đồ tải trọng, ta có:
P1 = qa

P2 = qa

P3 = 0

P4 = 2qa

P5 = 0

P6 = 2qa

P7 = 0

P8 = .qa

P9 = qa

P10 =.qa

P11 = 0

PT

P12 = .qa

= [P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 ]
= qa [5/6; 1 ; 0; 2 ; 0; 2 ; 0;

; 7/6; ; 0; ]

* Phương trình viết cho toàn tấm: P = K.X

* Điều kiện biên. Theo đề ra, ta có X1= X3 = X4= X6 = X12 = 0 , do đó cần:
+ Loại bỏ X1, X3, X4, X6, X12 trong vecto các ẩn số;

Page 9


BÀI TẬP LỚN ĐÀN HỒI ỨNG DỤNG

GVHD:

+ Loại bỏ P1, P3, P4, P6, P12, trong vecto tải trọng
+ Loại bỏ các dòng và các cột 1, 5, 6, 8, 10 trong ma trận độ cứng K.
Phương trình thu gọn lại:
=.
=.
=



* Vecto chuyển vị nút: Viết đầy đủ là:
X = [0; 2,057; 0,703; 1,672; 0; 0; 0,621; 0; 2,589; 0; 0,877; 1,461]
* Ứng suất trong các phần tử:
Phần tử I:
σI = = D.B1.δ1 = D.B1.
= .

=

Phần tử II:
σII = = D.BII.δII = D.BII.

= .

=

Phần tử III:
σIII = = D.BIII.δIII = D.BIII.
= .

=

Phần tử IV:
σIV = = D.BIV.δ IV = D.B IV.
Page 10


BÀI TẬP LỚN ĐÀN HỒI ỨNG DỤNG
= .

GVHD:

=

* Ứng suất tại các nút:
Ứng suất tại nút I được tính theo công thức:

Trong đó: n là số phần tử có nút i
r là tên phần tử có nút I (I, II, III, IV)
•
•
•

•
•
•

σ1 = σI =
σ2 = (σI + σII) =
σ3 = (σI + σII + σIII + σIV) =
σ4 = (σII + σIII) =
σ5 = (σIII + σIV) =
σ6 = σIV =

Em xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của thầy!
…….HẾT…….

Page 11