Chương 2 tích phân bội lê hoài nhân

VI TÍCH PHÂN A2

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI
CBGD. Lê Hoài Nhân

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

1 / 115


Mục lục
1

Tích phân hai lớp
Định nghĩa
Cách tính tổng quát
Tích phân trên hình chữ nhật
Tích phân trên hình thang loại 1
Tích phân trên hình thang loại 2
Đổi biến tổng quát
Tích phân trong tọa độ cực

2

Tích phân ba lớp

Định nghĩa
Cách tính tổng quát
Đổi biến tổng quát
Tích phân trong tọa độ trụ
Tích phân trong tọa độ cầu
CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

2 / 115


Định nghĩa

Cho hàm số z = f (x, y ) xác
định trên miền D.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

3 / 115


Định nghĩa

Phân hoạch miền D thành n
miền con, diện tích của mỗi
miền con là ∆Si với i =
1, 2, ..., n.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

4 / 115


Định nghĩa

Trên mỗi miền con ∆Si ta chọn
tùy ý điểm Mi (xi , yi ) và lập
tổng
n

In =

f (xi , yi )∆Si .
i =1

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

5 / 115


Định nghĩa

Trên mỗi miền con ∆Si ta chọn
tùy ý điểm Mi (xi , yi ) và lập
tổng
n

In =

f (xi , yi )∆Si .
i =1

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

6 / 115


Định nghĩa

Cho n → ∞ sao cho max ∆Si → 0.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

7 / 115


Định nghĩa

Cho n → ∞ sao cho max ∆Si → 0. Nếu
lim In = I tồn tại hữu hạn, không phụ
n→∞

thuộc vào cách chia miền D và cách chọn
Mi thì:

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

7 / 115


Định nghĩa

Cho n → ∞ sao cho max ∆Si → 0. Nếu

lim In = I tồn tại hữu hạn, không phụ
n→∞

thuộc vào cách chia miền D và cách chọn
Mi thì:
Ta nói hàm f khả tích trên D và I là
tích phân của f trên D.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

7 / 115


Định nghĩa

Cho n → ∞ sao cho max ∆Si → 0. Nếu
lim In = I tồn tại hữu hạn, không phụ
n→∞

thuộc vào cách chia miền D và cách chọn
Mi thì:
Ta nói hàm f khả tích trên D và I là
tích phân của f trên D.
Ký hiệu:
I =

f (x, y )dA =
D

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

f (x, y )dxdy
D

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

7 / 115


Diện tích hình phẳng

Cho miền phẳng D trong mặt phẳng Oxy . Khi đó diện tích của miền D
được tính theo tích phân hai lớp
dx dy .

S=
D

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

8 / 115


Thể tích vật thể

Cho vật thể có dạng hình trụ, với mặt đáy phía dưới có phương trình
z = z1 (x, y ), mặt đáy phía trên có phương trình z = z2 (x, y ) và D là hình
chiếu của vật thể trên mặt phẳng Oxy . Khi đó thể tích của vật thể được
tính theo tích phân hai lớp
V =

[z2 (x, y ) − z1 (x, y )] dx dy .
D

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

9 / 115


Diện tích mawjt cong

Cho mặt cong S có phương trình z = z(x, y ) xác định trên miền D (hình
chiếu của S trên mặt phẳng Oxy ). Diện tích mặt S là
1 + zx2 + zy2 dxdy

S=

D

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

10 / 115


Cách tính tích phân hai lớp

Chuyển tích phân hai lớp về tích phân xác định theo thứ biến lấy tích
phân khác nhau.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

11 / 115


Cách tính tích phân hai lớp

Chuyển tích phân hai lớp về tích phân xác định theo thứ biến lấy tích
phân khác nhau.
Ta xét ba trường hợp của miền D: Hình chữ nhật, Hình thang loại 1

và hình thang loại 2.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

11 / 115


Cách tính tích phân hai lớp
Biểu diễn hình học miền D. Xác định rõ phương trình các đường cong
và tọa độ các đỉnh của ∂D trên hình vẽ đó.
Nhận định rõ miền D là hình thang loại 1, loại 2 hay hình chữ nhật.
Xác định các chặn của biến x và y . Lưu ý: Có ít nhất một biến số có
các chặn là hằng số.
Các biểu diễn đúng
Hình thang loại 1
Hình thang loại 2
Hình chữ nhật
0≤x ≤2
y2 ≤ x ≤ y
−1 ≤ x ≤ 4
x + 1 ≤ y ≤ 2x + 1
0≤y ≤1
0≤y ≤3
x ≤y ≤x +1
Biểu diễn sai:
←− Tất cả các cận đều chứa

2y 2 ≤ x ≤ 2y 2 + 1
biến!!!

Áp dụng công thức tương ứng với hình dạng của miền D. Tính các
tích phân thu được từ phải sang trái.
CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

12 / 115


Cách tính tích phân hai lớp
Biểu diễn hình học miền D. Xác định rõ phương trình các đường cong
và tọa độ các đỉnh của ∂D trên hình vẽ đó.
Nhận định rõ miền D là hình thang loại 1, loại 2 hay hình chữ nhật.
Xác định các chặn của biến x và y . Lưu ý: Có ít nhất một biến số có
các chặn là hằng số.
Các biểu diễn đúng
Hình thang loại 1
Hình thang loại 2
Hình chữ nhật
0≤x ≤2
y2 ≤ x ≤ y
−1 ≤ x ≤ 4
x + 1 ≤ y ≤ 2x + 1
0≤y ≤1
0≤y ≤3

x ≤y ≤x +1
Biểu diễn sai:
←− Tất cả các cận đều chứa
2y 2 ≤ x ≤ 2y 2 + 1
biến!!!

Áp dụng công thức tương ứng với hình dạng của miền D. Tính các
tích phân thu được từ phải sang trái.
CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

12 / 115


Cách tính tích phân hai lớp
Biểu diễn hình học miền D. Xác định rõ phương trình các đường cong
và tọa độ các đỉnh của ∂D trên hình vẽ đó.
Nhận định rõ miền D là hình thang loại 1, loại 2 hay hình chữ nhật.
Xác định các chặn của biến x và y . Lưu ý: Có ít nhất một biến số có
các chặn là hằng số.
Các biểu diễn đúng
Hình thang loại 1
Hình thang loại 2
Hình chữ nhật
0≤x ≤2
y2 ≤ x ≤ y
−1 ≤ x ≤ 4

x + 1 ≤ y ≤ 2x + 1
0≤y ≤1
0≤y ≤3
x ≤y ≤x +1
Biểu diễn sai:
←− Tất cả các cận đều chứa
2y 2 ≤ x ≤ 2y 2 + 1
biến!!!

Áp dụng công thức tương ứng với hình dạng của miền D. Tính các
tích phân thu được từ phải sang trái.
CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

12 / 115


Cách tính tích phân hai lớp
Biểu diễn hình học miền D. Xác định rõ phương trình các đường cong
và tọa độ các đỉnh của ∂D trên hình vẽ đó.
Nhận định rõ miền D là hình thang loại 1, loại 2 hay hình chữ nhật.
Xác định các chặn của biến x và y . Lưu ý: Có ít nhất một biến số có
các chặn là hằng số.
Các biểu diễn đúng
Hình thang loại 1
Hình thang loại 2
Hình chữ nhật

0≤x ≤2
y2 ≤ x ≤ y
−1 ≤ x ≤ 4
x + 1 ≤ y ≤ 2x + 1
0≤y ≤1
0≤y ≤3
x ≤y ≤x +1
Biểu diễn sai:
←− Tất cả các cận đều chứa
2y 2 ≤ x ≤ 2y 2 + 1
biến!!!

Áp dụng công thức tương ứng với hình dạng của miền D. Tính các
tích phân thu được từ phải sang trái.
CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

12 / 115


Tích phân trên hình chữ nhật

Hình chữ nhật giới hạn bởi các
đường thẳng x = a, x = b, y = c
và y = d.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

13 / 115


Tích phân trên hình chữ nhật

Hình chữ nhật giới hạn bởi các
đường thẳng x = a, x = b, y = c
và y = d.
Một điểm M(x, y ) ∈ D có tính
chất:

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

13 / 115


Tích phân trên hình chữ nhật

Hình chữ nhật giới hạn bởi các
đường thẳng x = a, x = b, y = c
và y = d.

Một điểm M(x, y ) ∈ D có tính
chất: a ≤ x ≤ b và c ≤ y ≤ d.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

13 / 115


Tích phân trên hình chữ nhật

Hình chữ nhật giới hạn bởi các
đường thẳng x = a, x = b, y = c
và y = d.
Một điểm M(x, y ) ∈ D có tính
chất: a ≤ x ≤ b và c ≤ y ≤ d.

d

b

f (x, y )dy dx =

f (x, y )dxdy =
D

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

b

d

a

c

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

f (x, y )dx dy .
c

a

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

13 / 115


Tích phân trên hình chữ nhật
Tính I =

(4 − x − y )dxdy với D là miền 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2.
D

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

14 / 115


Tích phân trên hình chữ nhật
Tính I =

(4 − x − y )dxdy với D là miền 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2.
D

Áp dụng công thức (2.4) vế thứ hai, ta có
1

I =

dx
0

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

2

1

(4 − x − y )dy =
1

5

− x dx = 2.
2

0

Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

14 / 115