Chương 4 tích phân đường và mặt lê hoài nhân

Chương 4

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
CBGD. Lê Hoài Nhân

Ngày 22 tháng 10 năm 2015

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015

1 / 53


Mục lục

1

Tích phân đường loại 1
Định nghĩa
Cách tính
Ứng dụng

2

Trường vector

3

Tích phân đường loại 2
Định nghĩa

Cách tính
Công thức Green
Định lý cơ bản

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

4

5

Ứng dụng
Tích phân mặt loại 1
Định nghĩa
Cách tính
Ứng dụng
Tích phân mặt loại 2
Định nghĩa
Cách tính
Công thức Gauss - Ostrogradski
Công thức Stokes
Ứng dụng

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015

2 / 53


Định nghĩa tích phân đường loại 1
Định nghĩa 1.1 ((5) trang 109)
Cho hàm số f (x, y , z) xác định trên cung L từ A đến B.

Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm
chia liên tiếp: A ≡ A0 , A1 , ..., An ≡ B. Ký hiệu độ dài cung Ai −1 Ai là
∆si .

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015

3 / 53


Định nghĩa tích phân đường loại 1
Định nghĩa 1.1 ((5) trang 109)
Cho hàm số f (x, y , z) xác định trên cung L từ A đến B.

Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm
chia liên tiếp: A ≡ A0 , A1 , ..., An ≡ B. Ký hiệu độ dài cung Ai −1 Ai là
∆si .
Trên mỗi cung Ai −1 Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân

In =

n

f (Mi ).∆si .

i =1

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015

3 / 53


Định nghĩa tích phân đường loại 1
Định nghĩa 1.1 ((5) trang 109)
Cho hàm số f (x, y , z) xác định trên cung L từ A đến B.

Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm
chia liên tiếp: A ≡ A0 , A1 , ..., An ≡ B. Ký hiệu độ dài cung Ai −1 Ai là
∆si .
Trên mỗi cung Ai −1 Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân

In =

n

f (Mi ).∆si .

i =1

Cho n → ∞ sao cho max ∆si → 0. Nếu In có giới hạn hữu hạn I
không phụ thuộc và các chia cung AB và cách chọn Mi thì I được
gọi là tích phân đường loại 1 của f trên cung AB.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015

3 / 53


Định nghĩa tích phân đường loại 1
Định nghĩa 1.1 ((5) trang 109)
Cho hàm số f (x, y , z) xác định trên cung L từ A đến B.

Chia cung AB thành n cung nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm
chia liên tiếp: A ≡ A0 , A1 , ..., An ≡ B. Ký hiệu độ dài cung Ai −1 Ai là
∆si .
Trên mỗi cung Ai −1 Ai chọn điểm Mi tùy ý và lập tổng tích phân

In =

n

f (Mi ).∆si .

i =1

Cho n → ∞ sao cho max ∆si → 0. Nếu In có giới hạn hữu hạn I
không phụ thuộc và các chia cung AB và cách chọn Mi thì I được
gọi là tích phân đường loại 1 của f trên cung AB.
Ký hiệu I =

f (x, y , z).ds.
L

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015

3 / 53


Cách tính tích phân đường loại 1

Để tính tích phân đường loại 1 ta thực hiện các bước sau đây:
Tham số hóa đường cong L. Viết phương trình tham số của đường
cong L một cách thích hợp. Xác định cận của tham số và tính vi
phân cung ds.
Đưa tích phân đường loại 1 về tích phân xác định. Thay các kết
quả gồm x, y , z trong phương trình của L, ds, cận của tham số ở
trên vào một trong các công thức (4.6) - (4.8) trang 111.
Tính tích phân xác định.Tính tích phân xác định thu được bên trên
và suy ra đáp số.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015

4 / 53


Bảng tóm tắt cách tính tích phân đường loại 1

Phương trình
tham số
y = g (x)

x = x(t)
y
 = y (t)
 x = x(t)
y = y (t)

z = z(t)

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Vi phân cung
ds = · · ·

Biến lấy
tích phân

Công thức
áp dụng

1 + g 2 (x)dx

x

(4.8)

x 2 (t) + y 2 (t)dt

t

(4.7)

x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t)dt

t

(4.6)

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015

5 / 53


Ví dụ về Tính tích phân đường loại 1 I
1

xds với L là phần parabol y =

I =

x2
từ x = 0 đến x = 2.
2

L
2

I =

2xds với L là phần parabol y = x 2 từ (0, 0) đến (1, 1).
L

3

I =

x 2 ds với L là phần tư thứ nhất của đường tròn x 2 + y 2 = 4.
L

4

2

4

4

(x 3 + y 3 )ds với L là cung phần tư thứ nhất của đường astroid

I =
L

2

2

x 3 + y 3 = a3.
5

I =
L

x 2 ds với L là đường giao tuyến của hai mặt phẳng

x − y + z = 0 và x + y + 2z = 0 từ gốc đến điểm (3, 1, −2).
CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015

6 / 53


Ví dụ về Tính tích phân đường loại 1 II
6

I =
L

2y 2 + z 2 ds với L là đường giao tuyến của mặt cầu

x 2 + y 2 + z 2 = a2 và mặt phẳng y = x.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

Đs: 2πa2

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015

7 / 53

Độ dài cung

Công thức 1.1 (trang 110 dòng 12 ↓)
L=

ds
L

.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015

8 / 53


Độ dài cung

Công thức 1.1 (trang 110 dòng 12 ↓)
L=

ds
L

.

Ví dụ 1.1
1

2

Tính độ dài một nhịp của đường Cycloid x = a.(t − sint),
y = a.(1 − cos t) với t ∈ [0, 2π].

Tính độ dài một nhịp của đường lò xo x = a. cos t, y = a. sin t,
z = b.t với t ∈ [0, 2π].

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015

8 / 53


Khối lượng, Moment và tâm khối
Công thức 1.2 (trang 113 và 114)
Khối lượng cung. Một cung L có khối lượng riêng tại mỗi điểm M
là δ(M) có khối lượng là m =

δ(M)ds.

L

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015

9 / 53

Khối lượng, Moment và tâm khối
Công thức 1.2 (trang 113 và 114)
Khối lượng cung. Một cung L có khối lượng riêng tại mỗi điểm M
là δ(M) có khối lượng là m =

δ(M)ds.

L

Moment tĩnh của cung L đối với các mặt tọa độ là
Mxy = zδ(M)ds; Mxz = y δ(M)ds; Myz = xδ(M)ds
L

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

L

L

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015

9 / 53


Khối lượng, Moment và tâm khối
Công thức 1.2 (trang 113 và 114)
Khối lượng cung. Một cung L có khối lượng riêng tại mỗi điểm M
là δ(M) có khối lượng là m =

δ(M)ds.

L

Moment tĩnh của cung L đối với các mặt tọa độ là
Mxy = zδ(M)ds; Mxz = y δ(M)ds; Myz = xδ(M)ds
L

L

Tâm khối của cung L là xc =

L

Mxz
Mxy
Myz
; yc =
; zc =
m
m
m

Ví dụ 1.2
Tìm khối lượng và tâm khối của dây có dạng đường đinh ốc x = cos t,
y = sin t, z = t với 0 ≤ t ≤ π biết rằng δ(x, y , z) = z.
CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶTNgày 22 tháng 10 năm 2015

9 / 53


Tọa độ trọng tâm của cung đồng chất

Công thức 1.3 ((4.10) trang 114)
Khi cung L đồng chất thì tọa độ trọng tâm được tính theo công thức:
1
1
1
xds;
yc =
yds;
zc =
zds
xc =
L
L
L
L

L

L

Ví dụ 1.3
1

Tìm tọa độ trọng tâm của nửa trên đường tròn tâm O bán kính R.

2

Tìm tọa độ trọng tâm của đường đinh ốc
−
→
−
→
−
→
−
→
t (t) = a. cos t i + a sin t j + b.t k .

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
Ngày 22 tháng 10 năm 2015

10 / 53


Trường vector

Định nghĩa 2.1 ((2) trang 106)
−
→
Trường vector xác định trên miền Ω là một hàm vector F (x, y , z)
với (x, y , z) ∈ Ω.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
Ngày 22 tháng 10 năm 2015

11 / 53


Trường vector

Định nghĩa 2.1 ((2) trang 106)
−
→
Trường vector xác định trên miền Ω là một hàm vector F (x, y , z)
với (x, y , z) ∈ Ω.
Ta có,

−
→
−
→
−
→
−
→
F (x, y , z) = Fx (x, y , z) i + Fy (x, y , z) j + Fz (x, y , z) k

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
Ngày 22 tháng 10 năm 2015

11 / 53


Đường cong tích phân

Định nghĩa. Đường cong tích phân của trường vector là đường cong
mà vector tiếp tuyến của nó cùng phương với vector của trường đi
qua điểm đó.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
Ngày 22 tháng 10 năm 2015

12 / 53


Đường cong tích phân

Định nghĩa. Đường cong tích phân của trường vector là đường cong
mà vector tiếp tuyến của nó cùng phương với vector của trường đi
qua điểm đó.

Công thức 2.1 ((4.1) trang 107)
−
→
Đường cong tích phân của trường vector F thỏa mãn hệ phương trình vi
phân:
dx

dy
dz
=
=
Fx
Fy
Fz

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
Ngày 22 tháng 10 năm 2015

12 / 53


Trường bảo toàn
Định nghĩa 2.2 ((3) trang 107)
−
→
Trường vector F được gọi là trường bảo toàn nếu tồn tại hàm số
φ(x, y , z) sao cho
→
−
→
→ ∂φ −
→ ∂φ −
∂φ −
k
F (x, y , z) = ∇φ(x, y , z) =

i +
j +
∂x
∂y
∂y

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
Ngày 22 tháng 10 năm 2015

13 / 53


Trường bảo toàn
Định nghĩa 2.2 ((3) trang 107)
−
→
Trường vector F được gọi là trường bảo toàn nếu tồn tại hàm số
φ(x, y , z) sao cho
→
−
→
→ ∂φ −
→ ∂φ −
∂φ −
k
F (x, y , z) = ∇φ(x, y , z) =
i +
j +

∂x
∂y
∂y
−
→
Hàm φ(x, y , z) được gọi là hàm thế vị của trường bảo toàn F .

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
Ngày 22 tháng 10 năm 2015

13 / 53


Trường bảo toàn
Định nghĩa 2.2 ((3) trang 107)
−
→
Trường vector F được gọi là trường bảo toàn nếu tồn tại hàm số
φ(x, y , z) sao cho
→
−
→
→ ∂φ −
→ ∂φ −
∂φ −
k
F (x, y , z) = ∇φ(x, y , z) =
i +

j +
∂x
∂y
∂y
−
→
Hàm φ(x, y , z) được gọi là hàm thế vị của trường bảo toàn F .
Mặt mức của φ(x, y , z) được gọi là mặt đẳng thế.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
Ngày 22 tháng 10 năm 2015

13 / 53


Trường bảo toàn
Định nghĩa 2.2 ((3) trang 107)
−
→
Trường vector F được gọi là trường bảo toàn nếu tồn tại hàm số
φ(x, y , z) sao cho
→
−
→
→ ∂φ −
→ ∂φ −
∂φ −
k

F (x, y , z) = ∇φ(x, y , z) =
i +
j +
∂x
∂y
∂y
−
→
Hàm φ(x, y , z) được gọi là hàm thế vị của trường bảo toàn F .
Mặt mức của φ(x, y , z) được gọi là mặt đẳng thế.
−
→
Nếu F là trường vector phẳng thì đường mức của hàm thế vị được
gọi là đường đẳng thế.

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
Ngày 22 tháng 10 năm 2015

13 / 53


Định nghĩa tích phân đường loại 2
Định nghĩa 3.1 ((6) trang 117)
−
→
→
→
Cho trường vector F xác định trên đường cong L : −

r =−
r (t) với
t ∈ [a, b].

CBGD. Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
Ngày 22 tháng 10 năm 2015

14 / 53