Tích phân đường và tích phân mặt

Chương 7

Tích phân đường
và tích phân mặt
7.1. Tích phân đường .......................................................................................................... 233
7.1.1. Tích phân đường của hàm số........................................................................................... 233
7.1.2. Ý nghĩa của tích phân đường loại I ................................................................................. 236
7.1.3. Tích phân đường của hàm vectơ...................................................................................... 237
7.1.4. Ý nghĩa vật lý của tích phân đường loại II...................................................................... 239
7.1.5. Định lý Green................................................................................................................... 240
7.1.6. Tích phân khơng phụ thuộc đường.................................................................................. 242

7.2. Tích phân mặt............................................................................................................... 245
7.2.1. Tích phân mặt của hàm số ............................................................................................... 245
7.2.2. Tích phân mặt của hàm vectơ.......................................................................................... 246
7.2.3. Định lý Ostrogradski........................................................................................................ 249
7.2.4. Định lý Stokes.................................................................................................................. 251

7.3. Lý thuyết trường ............................................................................................................ 253
7.3.1. Khái niệm về trường ........................................................................................................ 253
7.3.2. Gradient và luật bảo tồn................................................................................................. 255
7.3.3. Phân tán và định lý Ostrogradski..................................................................................... 256
7.3.4. Xốy và định lý Stokes .................................................................................................... 257

7.1. Tích phân đường
7.1.1. Tích phân đường của hàm số
Giả sử C là đường cong trơn trong R2 với điểm đầu A và điểm cuối B, f là
hàm số xác định trên C.
Phân hoạch T của đường cong C là một họ hữu hạn điểm trên đường cong
A0 = A, A1 ,..., An = B , nối tiếp nhau (theo nghĩa khúc AAi là một phần của
khúc AAi +1 , với mọi i=1,2,...,n-1). Ký hiệu ∆sk là độ dài đoạn cong Ak −1 Ak và δT

234

Giải tích các hàm nhiều biến

là đường kính phân hoạch, tức là số lớn nhất trong các số ∆sk , k = 1,..., n . Chọn
ck ( xk , yk ) ∈ Ak −1 Ak và xét tổng
n

σT = ∑ f ( xk , yk )∆sk .
k =1

Nếu như tổng σT có giới hạn khi δT → 0 và khơng phụ thuộc vào việc chọn các
điểm ck thì giới hạn đó gọi là tích phân đường của hàm f (hay cịn gọi là tích
phân đường loại I của f ) theo C và ký hiệu
∫ f ( x, y)ds = lim σT .
δT →0

C

Một số tính chất suy trực tiếp từ định nghĩa:
•

Nếu tồn tại

∫

f ( x, y ) ds thì

C

•

Nếu tồn tại

∫

∫ αf ( x, y)ds = α ∫
C

f1 ( x, y )ds và

C

∫

f 2 ( x, y )ds thì tồn tại

C

C

C

Khi C là hợp của C1 và C2 và ∫ f1 ( x, y )ds ,
C1

∫

f1 ( x, y )ds tồn tại, thì

C2

∫

f ( x, y ) ds + ∫ f ( x, y )ds .

C1

f ( x, y ) ds =

C

•

C2

Việc lấy C = AB hay C = BA khơng ảnh hưởng tới tích phân, nghĩa là

∫

f ( x, y )ds = ∫ f ( x, y )ds .

AB

•

và

f1 ( x, y )ds + ∫ f 2 ( x, y )ds .

C

∫

∫ ( f1 + f 2 )ds
C

∫ ( f1 ( x, y) + f 2 ( x, y))ds = ∫
•

f ( x, y )ds với mọi α ∈R.

C

BA

∫

Nếu f ( x, y ) ≥ 0 trên C thì

f ( x, y )ds ≥ 0 .

C

•

∫

f ( x, y )ds ≤ ∫ f ( x, y ) ds .

C

•

C

Tồn tại α ∈ [ inf

( x , y )∈C

f ( x, y ), sup f ( x, y )] sao cho
( x , y )∈C

∫

f ( x, y )ds = αl (C ) ,

C

trong đó l (C ) là độ dài của C.
Để tính tích phân đường loại I chúng ta xét phương trình tham số của C theo
tham số tự nhiên

x = x( s ) ,

y = y ( s ) , 0 ≤ s ≤ l (C ) .

235

Chương 7. Tích phân đường và tích phân mặt

Phân hoạch T của C bởi A0 = A, A1 ,..., An = B sinh ra phân hoạch tương ứng của
[0, l (C )] bởi 0 = s0 < s1... < sn = l (C ) . Điểm ck ∈ Ak −1 Ak ứng với τk ∈ [ sk −1sk ] .
Khi ấy
n

σT = ∑ f ( x( τk ), y (τk ))∆sk .
k =1

Qua giới hạn tổng trên khi δT → 0 ta thu được

∫

f ( x, y ) ds = ∫ f ( x( s ), y ( s ))ds .

C

C

Nếu C được cho bởi phương trình tham số t bất kỳ
x = x(t ) ,

y = y (t ) , a ≤ t ≤ b ,

thì như ta đã biết ds = x '2 (t ) + y '2 (t )dt , do đó
b

∫

f ( x, y )ds =

∫

f ( x(t ), y (t )) x '2 (t ) + y '2 (t ) dt .

a

C

Nhận xét. Hoàn toàn tương tự như trên, nếu C là đường cong không gian cho bởi
phương trình tham số x = x(t ) , y = y (t ) , z = z (t ) , a ≤ t ≤ b , thì tích phân đường
của hàm f trên C được tính theo công thức
b

∫

f ( x, y , z )ds =

C

∫

f ( x(t ), y (t ), z (t )) x '2 (t ) + y '2 (t ) + z '2 (t )dt .

a

Thí dụ

1) Cho C là đoạn parabol y = x 2 giữa A = (0,0) và B = (1,1). Tính ∫ xyds .
C

2

Giải. Phương trình tham số của C là x = t , y = t , 0 ≤ t ≤ 1 . Vậy
1

∫
C

xyds = ∫ t 3 1 + 4t 2 dt = 1 .
2
0

2) Cho C là đường cong trong không gian x = sin 2t , y = sin t cos t , z = cos t
0 ≤ t ≤ π / 2 . Tính

∫ zds .
C

Giải. Áp dụng cơng thức trong nhận xét ta có
π2

∫

zds

= ∫ cos t 4sin 2 t cos 2 t + (cos 2 t − sin 2 t ) 2 + sin 2 tdt

0

C

1

= ∫ 1 + u 2 du = 1 2 − 1 ln( 2 −1).
2
2
0


236

Giải tích các hàm nhiều biến

7.1.2. Ý nghĩa của tích phân đường loại I
Ý nghĩa hình học

Giả sử C là đường cong phẳng trong mặt
phẳng tọa độ Oxy, f là hàm số biến x và y,
nhận giá trị không âm. Khi ấy, ta suy ra ngay
từ định nghĩa là tích phân đường của f theo C
là diện tích miền thẳng đứng giới hạn bởi C và
đường cong không gian xác định như sau

z

f ( x, y)

x

y

{( x, y, f ( x, y )) : ( x, y ) ∈ C} .
Ý nghĩa cơ học

C

Hình 7.1

Giả sử C là đường cong vật chất với khối lượng riêng tại mỗi điểm là m( x, y ) .
Với mỗi phân hoạch T của C = AB , trên cung Ak −1 Ak ta có thể xem như khối
lượng riêng khơng đổi và bằng m( xk , yk ) . Khi ấy tổng
m

∑ m( xk , yk )∆sk
k =1

là xấp xỉ của khối lượng của toàn bộ C. Qua giới hạn tổng trên khi δT → 0 , ta sẽ
thu được cơng thức tính khối lượng của đường cong vật chất C là

M = ∫ m( x, y )ds .
C

Tương tự ta có thể tính moment theo x và y

M x = lim

δT →0

M y = lim

δT →0

n

∑ yk m( xk , yk )∆sk = ∫ ym( x, y)ds ,
k =1

C

n

∑ xk m( xk , yk )∆sk = ∫ xm( x, y)ds ,
k =1

C

cũng như moment quán tính
J 0 = J x + J y = ∫ ( y 2 + x 2 ) m( x, y )ds .
C

Trọng tâm của đường cong vật chất là ( x0 , y0 ) được tính theo công thức
x0 =

My
M
, y0 = x .
M

M


237

Chương 7. Tích phân đường và tích phân mặt

7.1.3. Tích phân đường của hàm vectơ
Nếu như trong tổng σT khi định nghĩa tích phân đường loại I ta thay ∆sk bởi
∆xk và ∆yk thì ta sẽ thu được hai dạng tích phân đường nữa gọi là tích phân
đường của f theo C đối với x và y. Cụ thể là

∫

n

f ( x, y ) dx = lim

δT →0

C

∫

∑ f (uk , vk )∆xk ,
k =1
n

∑ f (uk , vk )∆yk .
δ →0

f ( x, y ) dy = lim
T

C

k =1

Những tích phân này cịn được gọi là tích phân đường loại II. Khác với
∆sk ln dương, trong tích phân này giá trị ∆xk và ∆yk có thể âm, dương, hay
bằng 0, và phụ thuộc vào việc chọn điểm đầu, điểm cuối của đường cong. Cho nên
người ta còn viết rõ
B

∫

B

f ( x, y ) dx và

A

∫

f ( x, y ) dy .

A

Nếu như đường cong C được cho bởi phương trình tham số
x = x(t ) , y = y (t ) , a ≤ t ≤ b ,

thỏa mãn giả thiết x(t ), y (t ) liên tục trên [a,b] và hàm f liên tục trên C, thì do
tk

∫

∆xk = xk − xk −1 = x(tk ) − x(tk −1 ) =

x '(t )dt ,

tk −1
tk

∆yk = yk − yk −1 = y (tk ) − y (tk −1 ) =

∫

y '(t ) dt ,

tk −1

nên sau khi qua giới hạn trong các tổng tích phân ta có cơng thức
b

∫

f ( x, y ) dx = ∫ f ( x(t ), y (t )) x '(t )dt ,
a
b

C

∫

f ( x, y ) dy = ∫ f ( x(t ), y (t )) y '(t ) dt .
a

C

Trong các ứng dụng, tích phân đường loại II thường xuất hiện dưới dạng tích
phân đường của hàm vectơ ( f , g ) như sau

∫

f ( x, y )dx + g ( x, y )dy .

C

Nếu C là đường cong không gian thì tích phân đường của hàm ba biến theo C
đối với x, y, z cũng định nghĩa tương tự, và ta cũng có các cơng thức tính tương
ứng khi C được cho bởi phương trình tham số.


238

Giải tích các hàm nhiều biến

Thí dụ

1) Tính

∫ xydx + x dy
2

với C được cho bởi phương trình

C

y = 3t 2 − 2t , 1 ≤ t ≤ 5 / 3 .

x = 3t −1 ,

Giải. Vì dx = 3dt , dy = (6t − 2) dt nên ta có
5/3

∫

xydx + x 2 dy =

1

C

2) Tính

∫

5/3

(3t −1)(3t 2 − 2t )3dt + ∫ (3t −1) 2 (6t − 2)dt = 58 .
1

∫ yzdx + xzdy + xydz

với C được cho bởi công thức

C

y = x2 ,

z = x3 , 0 ≤ x ≤ 2 .

Giải. Bằng cách đặt x = t ta có phương trình tham số của C là
x=t ,

y = t2,

z = t3, 0 ≤ t ≤ 2 .

Do đó
2

∫ yzdx + xzdy + xydz = ∫ (t

2

.t dt + t.t .2tdt + t.t .3t dt ) = ∫ 6t 5 dt = 64 .

2 3

3

2

0

C

2

0

Chú ý. Khi C là đường cong đóng kín,
tức là điểm đầu trùng với điểm cuối, thì
tích phân đường loại I khơng phụ thuộc A
vào việc lựa chọn các điểm này. Tuy
nhiên đối với tích phân đường loại II thì
ta phải xác định hướng đi (thông thường,
trong mặt phẳng, người ta quy định
hướng dương là hướng đi theo đó phần
mặt phẳng giới hạn bởi đường cong ln
nằm phía bên trái, hướng ngược lại là hướng âm).

B
Hình 7.2

Khi đã xác định hướng rồi, lấy A, B là 2 điểm khác trên C, ta có
B

∫
C

f ( x, y ) dx =

∫

A

f ( x, y ) dx +

A

∫

f ( x, y ) dx ,

B

và như vậy tích phân khơng phụ thuộc vào việc chọn A hay B là điểm đầu. Tích
phân này cịn được viết là
∫ f ( x, y)dx ,
C

khi đã chọn hướng dương trên C, và
−∫ f ( x, y )dx ,
C

nếu trái lại .


239

Chương 7. Tích phân đường và tích phân mặt

Thí dụ. Tính

∫C ydx − xdy

với C là cạnh tam giác đỉnh (0,0), (1,0), (0,1).

Giải. Tính trực tiếp ta có
(1,0)

∫C

ydx − xdy =

∫

(0,1)

( ydx − xdy ) +

(0,0)

∫

(0,0)

( ydx − xdy ) +

(1,0)

∫

( ydx − xdy ) = −1 .

(0,1)

(Vì trên đoạn [(0,0), (1,0)] ta có y = 0, dy = 0, cịn trên đoạn [(0,1),(0,0)] ta có x = 0,
dx = 0).
Nhận xét . Giả thiết C được cho bởi phương trình tham số tự nhiên

x = x( s ) ,

y = y( s) , 0 ≤ s ≤ 1 ,

với x(s), y(s) là những hàm trơn. Khi ấy

∫

f ( x, y ) dx =

C

∫

f ( x( s ), y ( s )) x '( s )ds .

C

Đây chính là cơng thức cho mối liên hệ giữa các tích phân đường loại I và loại II.

7.1.4. Ý nghĩa vật lý của tích phân đường loại II
Giả thiết rằng trong mặt phẳng R2 ta có một trường lực, tức là tại mỗi điểm
( x, y ) ∈ R2 có một lực tác động F ( x, y ) = ( f ( x, y ), g ( x, y )) . Hãy tính cơng khi
điểm vật chất khối lượng đơn vị di chuyển theo đường cong C = AB trong R2.
Trước hết ta nhớ rằng công sinh ra bởi lực P khi điểm vật chất di chuyển
được đoạn thẳng Q1Q2 là
W = P . Q1Q2 .
Như vậy, nếu dùng phân hoạch T của C bởi A0 = A, A1 ,..., An = B thì cơng sinh ra
khi điểm vật chất di chuyển trên mỗi cung nhỏ Ak −1 Ak được xấp xỉ bởi
∆Ak = F (uk , vk ).(∆xk , ∆yk ) = f (uk , vk )∆xk + g (uk , vk )∆yk
trong đó (uk , vk ) ∈ Ak −1 Ak .
n

∑ ∆Wk
δ →0

Theo định nghĩa công sinh ra bởi F dọc theo G sẽ là W = lim
T

.

k =1

Vậy cơng thức tính cơng W được cho bởi tích phân đường của hàm vectơ F
W = ∫ f ( x, y ) dx + g ( x, y )dy .
C

Đối với trường hợp lực trong khơng gian việc tính tốn hoàn toàn tương tự.

240

Giải tích các hàm nhiều biến

y
Thí dụ. Cho trường lực F ( x, y, z ) = ( x , 3 , z3 ) với r = x 2 + y 2 + z 2 . Tính
3
r r r
cơng sinh ra dọc theo đoạn [(1,0,0), (2,0,0)].
Giải. Bằng cách tính trực tiếp ta có
(2,0,0)

W=

2

y
x
z
1
1
∫ ( r 3 dx + r 3 dy + r 3 dz ) = ∫ x2 dx = 2 .
(1,0,0)
1

(Chú ý: Trên đoạn [(1,0,0),(2,0,0)] ta có y = 0, dy = 0, và z = 0, dz = 0).

7.1.5. Định lý Green

Trong nhận xét ở Mục 7.1.3 chúng ta đã có cơng thức liên hệ tích phân đường
các loại. Định lý Green dưới đây sẽ cho công thức liên hệ giữa tích phân kép và
∂f ∂f
tích phân đường. Để ngắn gọn, đôi lúc ta viết f , ,
thay vì viết rõ giá trị
∂x ∂y
tương ứng tại (x,y). Nhắc lại rằng đường cong C gọi là trơn từng khúc nếu ánh xạ
xác định nó trơn từng khúc.

Định lý. Giả thiết C là đường cong phẳng kín, đơn và trơn từng khúc, U là miền
bao gồm cả C và phần C bao bọc. Khi ấy nếu f và g là những hàm khả vi liên tục
trên miền mở chứa U thì
 ∂g ∂f 



∫ ( fdx + gdy) = ∫∫  ∂x − ∂y  dxdy .


B2

C

U

B1

Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh công
thức trên cho trường hợp U có dạng đơn giản. Đối
với trường hợp tổng quát chúng ta chỉ nêu ý tưởng

chính và khơng đi vào chi tiết kỹ thuật.

0

trong đó ϕ1 , ϕ2 liên tục trên [a, b].

∂f

∫∫ ∂y dxdy
U

=

ϕ2 ( x )

∫ dx ∫
b

ϕ1 ( x )

a

b
Hình 7.3

Khi ấy
a

A2

A1

a) Giả thiết U := { a ≤ x ≤ b , ϕ1 ( x) ≤ y ≤ ϕ2 ( x) },

∂f
dy =
∂y

b

∫ ( f ( x, ϕ2 ( x)) − f ( x, ϕ1 ( x)))dx
a


241

Chương 7. Tích phân đường và tích phân mặt

và

∫

A2

B2

B1

A1

A2

B2

fdx = ∫ fdx + ∫ fdx + ∫ fdx +

C
b

y

A1

∫

fdx

β

B1

a

= ∫ f ( x, ϕ1 ( x))dx + ∫ f ( x, ϕ2 ( x))dx .
a

b

Từ đây suy ra

α

∫

fdx = −∫∫

C

U

∂f
dxdy .
∂y

x

0

Hinh 7.4

b) Tương tự, U:= { α ≤ y ≤ β , ϕ1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ2 ( y ) },
thì
∂f
∫ gdy = ∫∫ ∂x dxdy .
C

U

Tóm lại nếu miền U có dạng đơn giản như đã nêu thì ta có cơng thức Green như
trong định lý.

c) Đối với miền U mà có thể chia thành những miền con có dạng như đã nêu thì
cơng thức Green vẫn đúng vì tích phân kép ở vế
B2
phải là hợp của tích phân kép trên từng miền nhỏ,
cịn tích phân đường vế trái chỉ chứa những đường
là biên U (trên mỗi đoạn đường phụ bên trong như
B1B2 trên hình vẽ, tích phân được tính hai lần, một
B1
lần từ A đến B và một lần từ B đến A, nên chúng
Hình 7.5
triệt tiêu nhau).
d) Đối với miền U tổng quát hơn, người ta cố định điểm A bất kỳ trên C và xét
phân hoạch T: A0 = A, A1 ,..., An = A (theo hướng dương). Ký hiệu CT là đường gấp
khúc với các đỉnh A0 ,..., An và UT là miền bao bởi đường gấp khúc này. Miền UT
có dạng xét trong phần trên, do đó ta có cơng thức Green

∂g

∂f

∫ ( fdx + gdy) = ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy .

CT

UT

Nhận xét rằng khi độ dài các cung Ak −1 Ak dần tới 0 thì

∫ ( fdx + gdy)
CT

∂g

∂f

∫ ( fdx + gdy) , còn ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy
C

∫∫
U

dần tới

UT

∂g ∂f
( − ) dxdy . Do vậy, ta có cơng thức
∂x ∂y

Green như đã được nêu trong định lý.

C2

B2

C1
B1

Hình 7.6

dần tới


242

Giải tích các hàm nhiều biến

Nhận xét. Định lý Green cũng có thể áp dụng cho miền có “lỗ hổng” với lưu ý là
lấy tích phân đường theo biên với hướng dương. Thí dụ như trong hình vẽ bên
∂g ∂f
∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫ ( fdx + gdy) + ∫ ( fdx + gdy) .
U

C1

C2

Muốn chứng minh công thức trên chỉ cần tách U thành miền bao bởi C1, C2 và
đoạn B1B2. Tích phân đường dọc theo B1B2 tham gia hai lần, một lần từ B1 đến B2
và một lần từ B2 đến B1 , nên triệt tiêu nhau. Đối với miền có nhiều lỗ hổng, cách
chứng minh hồn tồn tương tự.
Thí dụ

1) Tính

∫ (e

x2

+ y )dx + ( x 2 + 1 tan y ) dy với C là biên hình chữ nhật đỉnh (1,2),

C

(5,2), (5,4), (1,4).

Giải. Việc tính trực tiếp tích phân trên khơng đơn giản. Nếu ta áp dụng cơng thức
Green thì tích phân trên bằng
4 5

∫∫

(2 x −1) dxdy = ∫

M

∫ (2 x −1)dxdy = 40 .

2 1

2) Chứng minh rằng diện tích miền M bao bởi đường cong C được tính bằng công
thức S ( M ) = ∫ xdy = −∫ ydx và áp dụng cho tính diện tích hình ellip
C

C

x = a cos t ,

y = b sin t , 0 ≤ t ≤ 2π .

Giải. Trong công thức Green, lấy f ( x, y ) = 0, g ( x, y ) = x , ta có

∫ xdy = ∫∫ dxdy = S (M )
C

M

và lấy f ( x, y ) = − y, g ( x, y ) = 0 , ta có
−∫ ydx = ∫∫ dxdy = S ( M ) .
C

M

Từ hai công thức này ta thu dược

S ( M ) = 1 ∫ ( xdy − ydx) .
2
C

Áp dụng cho hình ellip ta có
2π

S ( M ) = 1 ∫ ( xdy − ydx) = ab ∫ (cos 2 t + sin 2 t )dt = πab .
2
2
C

0

7.1.6. Tích phân khơng phụ thuộc đường
Giả thiết A và B là hai điểm trong một miền mở U liên thông đường theo nghĩa

hai điểm bất kỳ trong miền đều nối với nhau được bằng một đường cong trơn từng


243

Chương 7. Tích phân đường và tích phân mặt

khúc. Đường từ A tới B là đường cong trơn từng khúc nhận A là điểm đầu, B là
điểm cuối. Định lý sau sẽ cho ta điều kiện khi nào tích phân đường không phụ
thuộc vào đường nối A với B.

Định lý. Giả thiết f và g liên tục trên U, A và B là hai điểm bất kỳ trong U. Khi
ấy

∫

fdx + gdy không phụ thuộc vào đường C nối A với B khi và chỉ khi tồn tại

C

hàm khả vi F trên U để F '( x, y ) = ( f ( x, y ), g ( x, y )) .
Chứng minh. Giả sử tích phân khơng phụ thuộc
đường, ta cố định ( x0 , y0 ) ∈ U và xây dựng F theo
công thức

( x , y + ∆y )

( x + ∆x , y )

( x, y )

F ( x, y ) =

∫

fdx + gdy .

( x, y )

( x0 , y0 )

Hiển nhiên F chỉ phụ thuộc vào ( x, y ) và không phụ
thuộc vào đường lấy tích phân từ ( x0 , y0 ) đến ( x, y ) .
Để tính đạo hàm riêng của F xét đường C1 ∪ C2 từ
(x0, y0) đến (x+∆x,y). Ta có
( x+∆x , y )

F ( x + ∆x, y ) − F ( x, y ) =

∫

( x0 , y0 )

Hình 7.7

x+∆x

fdx + gdy =

( x, y )

∫

f ( x, y )dx .

x

Do đó
∂F ( x, y ) = lim F ( x + ∆x, y ) − F ( x) = f ( x, y ) .
∆x
∂x
∆x→0

Tương tự
∂F ( x, y ) = lim F ( x, y + ∆y ) − F ( x) = g ( x, y ) .
∆y
∂y
∆y→0

Do f và g liên tục, ta kết luận F khả vi và F '( x, y ) = ( f ( x, y ), g ( x, y )) .
Ngược lại, cho ( f , g ) = F ' . Lấy hai điểm bất kỳ A và B trong U và C là đường
cong nối A với B cho bởi phương trình tham số
x = x(t ) ,

y = y (t ) , a ≤ t ≤ b .

Giả thiết C trơn, ta có
b

∫

C

fdx + gdy =

∫
a

∂F ( x(t ), y (t )) x '(t )dt + ∂F ( x(t ), y (t )) y '(t )dt =
∂x
∂y
b

= ∫ [ d F ( x(t ), y (t ))]dt = F ( x(b), y (b)) − F ( x(a ), y ( a)) .
dt
a


244

Giải tích các hàm nhiều biến

Chứng tỏ tích phân khơng phụ thuộc vào đường. Nếu C trơn từng khúc, tách tích
phân trên thành từng khúc và ta có ngay kết quả.
Chú ý

1) Nếu f và g có các đạo hàm riêng liên tục và tích phân khơng phụ thuộc đường thì
2
∂f
∂g
(= ∂ F ) .

=
∂x∂y
∂y ∂x
Điều ngược lại cũng đúng nếu U là miền đơn liên (tức là miền giới hạn bởi một
đường cong kín bất kỳ).

2) Điều kiện tích phân khơng phụ thuộc đường chính là điều kiện tích phân theo
mọi đường cong kín bằng 0. Xét về khía cạnh vật lý, nếu trường ( f , g ) là bảo tồn
có hàm thế năng F (tức là F ' = ( f , g ) ) thì cơng sinh ra khi di chuyển hạt vật chất
theo đường cong đóng (khi khơng có ma sát) bằng 0. Đây chính là hệ quả của định
luật bảo toàn năng lượng.
3) Định lý có thể mở rộng cho tích phân đường trong khơng gian một cách dễ dàng.
Thí dụ
B

1) Chứng minh

∫x

2

ydx + 2 xy 2 dy phụ thuộc vào đường lấy tích phân.

A

∂f
∂g
∂f ∂ g
, nên tích phân
≠

= x 2 và
= 2 y 2 . Chứng tỏ
∂y ∂x
∂y
∂x
không thể không phụ thuộc đường.

Giải. Từ Chú ý 1) ta có

2) Kiểm tra xem tích phân

∫y

2

cos xdx + (2 y sin x + e 2 z )dy + 2 ye2 z dz có phụ

C

thuộc đường hay không.

Giải. Giả sử tồn tại F để F ( x, y,z ) = ( y 2 cos x, 2 y sin x + e2 z , 2 ye2 z ) . Khi ấy
F ( x, y,z ) = y 2 sin x + G ( y, z ) , với hàm G nào đó, vì rằng ∂F = y 2 cos x . Tiếp
∂x
∂F = 2 y sin x + e 2 z , ta tìm được G ( y, z ) = ye 2 z + H ( z ) . Tương tự, do
theo, do
∂y
∂F = 2 ye 2 x , ta thấy H ( z ) = α (hằng số). Vậy, F ( x, y,z ) = y 2 sin x + ye 2 z + α
∂z
thỏa mãn u cầu. Chứng tỏ tích phân khơng phụ thuộc đường.

245

Chương 7. Tích phân đường và tích phân mặt

7.2. Tích phân mặt
7.2.1. Tích phân mặt của hàm số
Cũng như tích phân đường, chúng ta có thể xây dựng tích phân kép trên mặt
cong thay vì tích phân trên mặt phẳng.
Giả sử S là một mặt cong trơn, T là một phân hoạch của S bởi các đường cong
trơn từng khúc bao gồm các mảnh S1 , S2 ,..., S n . Gọi δT là đường kính phân hoạch
tức là đường kính lớn nhất của các đường kính của các cầu nhỏ nhất chứa từng
S k , k = 1,..., n và ∆S k là diện tích của S k .
Chọn Bk = (α k , βk , γ k ) ∈ Sk , k = 1, 2,..., n . Giả sử f là hàm số xác định trên S.
Ta thiết lập tổng
n

σT = ∑ f ( Bk ) ∆Sk .

(*)

k =1

Nếu như tổng σT có giới hạn khi δT → 0 và không phụ thuộc vào việc chọn
Bk ∈ Sk , thì giới hạn đó gọi là tích phân mặt (loại I) của f trên S và ký hiệu

∫∫

n

∑ f ( Bk )∆Sk .
δ →0

f ( x, y, z )dS = lim
T

S

k =1

Để tính tích phân mặt loại I ta xét phương trình tham số của S
x = x(u , v) ,

y = y (u , v) ,

z = z (u , v) , (u , v) ∈ U ⊆ R2 ,

trong đó U là miền đóng giới nội. Giả thiết f liên tục. Phân hoạch T của S tương
ứng với phân hoạch T’ của U thành các miền con M 1 ,..., M n . Theo cơng thức tính
diện tích mặt đã biết
∆Sk = ∫∫ EG − F dudv ,
Mk

trong đó
E = ∂X
∂u

2

, F = ∂X . ∂ X , G = ∂X
∂v
∂u ∂ v

2

.

Thay công thức này vào tổng (*) và qua giới hạn khi δT → 0 ta có

∫∫

f ( x, y , z )dS = ∫∫ f ( x(u , v), y (u , v), z (u , v)) EG − F 2 dudv .

S

(**)

M

Tích phân mặt loại I có những tính chất tương tự như tích phân đường loại I và
được suy trực tiếp từ định nghĩa.
Thí dụ. Tính

∫∫ zdS

khi S là nửa mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0 .

S

Giải. Phương trình tham số của S là


246

Giải tích các hàm nhiều biến

x=u ,

z = 1 − (u 2 + v 2 ) , u 2 + v 2 ≤ 1 .

y=v,

Các hệ số Gauss của mặt cong (xem Chương 6) là
2

E = (1,0, −

u
1 − (u 2 + v 2 )

) =
2

G = (0,1, −

v
1 − (u 2 + v 2 )

uv

,
1 − (u 2 + v 2 )
Thay vào cơng thức (**) ta có
F=

) =

1− u 2
,
1 − (u 2 + v 2 )

EG − F 2 = 1 .
z

∫∫ zdS = ∫∫
S

1− v2
,
1 − (u 2 + v 2 )

2

dS = π .

2

u +v ≤1

Ý nghĩa cơ học của tích phân mặt

Nếu xem S là một mặt vật chất với khối lượng riêng tại mỗi điểm (x,y,z) là
ρ( x, y , z ) , thì đại lượng ρ( Bk ) ∆S k là khối lượng của mảnh S k khi xem như khối
lượng riêng là không đổi và bằng ρ( Bk ) trên S k . Giới hạn của tổng

n

∑ ρ( Bk )∆Sk
k =1

khi δT → 0 gọi là khối lượng của mặt S. Các khái niệm moment, moment quán
tính, trọng tâm ... được định nghĩa tương tự như trường hợp đường cong.

7.2.2. Tích phân mặt của hàm vectơ
Giả sử S là mặt cong trơn. Tại mỗi điểm P ∈ S ta có
hai vectơ pháp tuyến đơn vị đối chiều nhau là n+ và n− .
Khi P di chuyển theo đường cong kín, đơn trên S thì n+
cũng di chuyển một cách liên tục về chính nó hoặc về n− .
Nếu như với điểm B bất kỳ, sau khi di chuyển theo một
đường cong kín, đơn bất kỳ mà n+ lại trở về chính nó thì ta
nói S là mặt cong hai phía. Trong trường hợp ngược lại, S
được gọi là mặt cong một phía. Lá Moebius ở hình vẽ bên
là một thí dụ mặt cong một phía.

Hình 7.8

Giả sử S là mặt cong hai phía và tại mọi điểm vectơ pháp tuyến n+ (hoặc n− )
đã được chọn. Khi ấy ta nói S đã được định hướng. Dưới đây ta chỉ xét các mặt
cong hai phía.
Trên một mặt cong S đã định hướng, nếu có một đường cong kín C thì hướng

của mặt cong sinh ra hướng của đường cong theo nguyên tắc “vặn nút chai”, hướng
dương trên đường cong C là hướng mà khi đi theo nó (thân đứng theo hướng của


Chương 7. Tích phân đường và tích phân mặt

247

mặt cong) ta sẽ thấy mặt cong ln ở phía bên tay trái. Ngược lại, nếu C đã được
định hướng thì hướng của S cũng có thể được xác định sao cho phù hợp với quy tắc
trên.
Đối với mặt trơn từng mảnh, việc định hướng có thể được tiến hành trên từng
mảnh của mặt cong sao cho hướng trên những đường tiếp giáp có chiều ngược
nhau.
Đối với mặt cong đóng kín (như mặt cầu) người ta sử dụng định hướng ra
ngoài và định hướng vào trong.
Bây giờ giả sử S là mặt cong trơn đã định hướng và F = ( f , g , h) là hàm
vectơ trên S. Chúng ta giữ nguyên những ký hiệu về phân hoạch T của S như trước:
S1 ,..., S n là những mảnh con, δT là đường kính phân hoạch, Bk ∈ S k , k = 1,..., n .
Thay vì tổng (*) ta xét tổng
n

xy
σT = ∑ h( Bk )∆S kxy ,

(***)

k =1

trong đó ∆Skxy có giá trị tuyệt đối là diện tích hình chiếu của S k xuống mặt phẳng

tọa độ Oxy với dấu (+) nếu hướng của đường cong bao quanh S k chiếu xuống Oxy
có chiều quay dương ở mặt Oxy (ngược kim đồng hồ như hình vẽ) và dấu (−) nếu
ngược lại.
xy
Nếu như tổng σT có giới hạn khi δT → 0 và
không phụ thuộc vào việc chọn Bk ∈ S k , thì
giới hạn đó được gọi là tích phân mặt (loại II)
của h trên S theo ( x, y ) và ký hiệu là

∫∫ h( x, y, z )dxdy = δlim0 σT
→

xy

.

T

S

Đối với f và g ta cũng có những tích phân
Hình 7.9
tương tự (chú ý: Chiều quay dương của mặt
Ozx là đi từ Oz đến Ox, còn chiều quay dương của mặt Oyz là đi từ Oy đến Oz).
Tích phân mặt của hàm vectơ F trên S (hay cịn gọi tích phân mặt loại II) là đại
lượng

∫∫

fdydz + gdzdx + hdxdy .

S

Để tính tích phân mặt của hàm vectơ chúng ta xét trường hợp S được cho bởi
phương trình tham số
x = x(u , v) , y = y (u , v) , z = z (u , v) , (u , v) ∈ U ,
trong đó U là miền đóng giới nội trong R2. Nhớ lại cơng thức tính diện tích hình
chiếu mảnh cong S k xuống mặt phẳng Oxy

∆Skxy = ∫∫ cos γ dS ,
Sk

trong đó


248

Giải tích các hàm nhiều biến

cos γ =

C
2

A + B2 + C 2
là thành phần thứ 3 của vectơ pháp tuyến đơn vị trên S (γ là góc tạo nên bởi pháp
tuyến của mặt S k với trục Oz). Nếu như trên mảnh S k đại lượng C dương
xy
xy
thì cos γ > 0 , do đó ∆S k lấy dấu (+). Trái lại ∆S k lấy dấu trừ. Như vậy

xy
∆S k = ∫∫ cos γdS .
Sk

Theo định lý giá trị trung bình tìm được điểm γ k (góc giữa pháp tuyến tại điểm

Bk ∈ Sk và trục Oz) sao cho
∆Skxy = cos γ k ∆S k .
Thay công thức này vào tổng (***) và lưu ý rằng giới hạn của tổng không phụ
thuộc vào việc chọn điểm Bk nên

∫∫ h( x, y, z )dxdy = ∫∫ h( x, y, z ) cos γdS
S

.

S

Tương tự đối với hàm f và g, ta thu được

∫∫

fdydz + gdzdz + hdxdy = ∫∫ ( f cos γ1 + g cos γ 2 + h cos γ3 )dS = ∫∫ < F , n+ > dS.

S

S

S

Kết hợp với cơng thức tính tích phân mặt của hàm số khi mặt được cho bởi phương
trình tham số ta có

∫∫ < F , n+ > dS = ∫∫ < F ( x(u, v), y(u, v), z (u, v)), n+ (u, v) >.
S

EG − F 2 dudv

M

= ∫∫ ( f . A + g .B + h.C ) dudv .
M

Chú ý

1) Nếu S được định hướng bằng n− thì trong công thức trên vế phải lấy dầu trừ.
2) Nếu S là mặt trơn từng mảnh thì phải xét tích phân trên từng mảnh rồi cộng lại.

ý nghĩa vật lý của tích phân mặt loại II
Giả sử dịng chất lỏng với mật độ
chịu tác động của trường
ϕ( x, y, z )
lực G = ( g1 , g 2 , g3 ) . Hàm vectơ F = ϕG gọi là
trường lực của dòng. Lượng của dòng chảy qua
mặt S trong một đơn vị thời gian được gọi là
lưu thơng và tính bằng
∫∫ < F , n > dS .
S

Đây chính là tích phân mặt loại II của F trên S.

Hình 7.10


249

Chương 7. Tích phân đường và tích phân mặt

Thí dụ. Tính tích phân hàm vectơ F ( x, y, z ) = ( y, −x, z 2 ) trên mặt paraboloid

z = x2 + y2 , 0 ≤ z ≤1 .

Giải. Phương trình tham số của mặt cong
x=u ,

z = u 2 + v2 , 0 ≤ u 2 + v2 ≤1 .

y=v,

Ta tính được A = −2u , B = −2v, C = 1 và suy ra

∫∫ < F , n+ > dS
S

∫∫

=

(v(−2u ) − u (−2v) + (u 2 + v 2 ) 2 )dudv =

u 2 +v 2 ≤1

∫∫

=

(u 2 + v 2 ) 2 dudv = π 3

u 2 +v 2 ≤1

(chú ý: mặt được định hướng vào trong).

7.2.3. Định lý Ostrogradski
Định lý Green cho ta cơng thức liên hệ tích phân kép và tích phân đường. Định
lý Ostrogradski dưới đây cho công thức liên hệ giữa tích phân mặt với tích phân
bội ba.

Định lý . Giả thiết S là mặt trơn từng mảnh, kín, bao quanh miền V trong R3 và
được định hướng ra ngoài. Nếu hàm vectơ F = ( f , g , h) khả vi liên tục trên miền
mở chứa V thì
∂f ∂g
h
∫∫ fdydz + gdzx + hdxdy = ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dxdydz .
S

V

Chứng minh. Trước hết chúng ta xét trường hợp V
là hình trụ đáy dưới S1 cho bởi
z = ϕ( x, y )

và đáy trên S2 cho bởi
z = ψ ( x, y ) ;
mặt bên S3 có hình chiếu xuống Oxy là đường cong
C kín, trơn từng khúc bao miền U. Ta có

∫∫∫
V

∂h dxdydz =
∫∫ dxdy
∂z
U

ψ ( x, y )

∫

ϕ( x , y )

Hình 7.11

∂h dz =
∫∫ [h( x, y, ψ( x, y) − h( x, y, ϕ( x, y)]dxdy
∂z
U

và

∫∫ hdxdy = ∫∫ hdxdy + ∫∫ hdxdy + ∫∫ hdxdy

S

S1

S2

S3

= −∫∫ h( x, y , ϕ( x, y ))dxdy + ∫∫ h( x, y, ψ ( x, y ))dxdy .
U

U


250

Giải tích các hàm nhiều biến

Từ hai đẳng thức trên ta có
∂h

∫∫ hdxdy = ∫∫∫ ∂z dxdydz .
S

V

Thay đổi vai trò các biến và các hàm f, g ta sẽ có cơng thức tương tự cho các miền
dạng đã xét. Tổng của chúng chính là cơng thức Ostrogradski.
Đối với miền tổng quát như nêu trong định lý, kỹ thuật chứng minh hoàn toàn
tương tự như cách chứng minh định lý Green.

Giả sử V là miền mở trong R3. Ta nói V là đơn liên nếu vùng bao bởi mặt
cong kín, đơn, trơn từng mảnh bất kỳ trong V nằm trọn trong V.

Hệ quả .Giả thiết V là miền đơn liên trong R3 và F là hàm vectơ khả vi liên tục
trên V. Khi ấy tích phân của F theo bất kỳ mặt cong kín, trơn từng mảnh trong V
bằng 0 khi và chỉ khi
∂f ∂g ∂h
+
+
=0
∂x ∂y ∂z

trên V.

Chứng minh. Điều kiện đủ suy ngay từ định lý Ostrogradski. Để chứng minh điều
kiện cần, giả sử có điểm P0 mà tại đó

∂f ∂g ∂h
+
+
>0
∂x ∂y ∂z

(trường hợp < 0 chứng minh tương tự).

Do tính liên tục, có thể giả thiết bất đẳng thức trên đúng với mọi điểm trong quả
cầu V0 tâm P0, bán kính δ > 0 . Gọi S0 là mặt của quả cầu này. Theo định lý giá trị
trung bình ta có bất đẳng thức
∂f ∂g ∂h
∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dxdydz > 0 .

V0

Thế nhưng theo định lý Ostrogradski và điều kiện đủ, ta lại có
∂f ∂g ∂h
∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dxdydz = ∫∫ < F , n+ > dS = 0 .
V0

S0

Điều này là vô lý. Hệ quả được chứng minh xong.
Thí dụ. Tính

∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy

biết rằng mặt cong S bao miền V có thể

S

tích vol(V).

Giải. Áp dụng cơng thức Ostrogradski ta có

∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy = ∫∫∫ (1 + 1 + 1)dxdydz = 3vol(V ).
S

V


Chương 7. Tích phân đường và tích phân mặt

251

7.2.4. Định lý Stokes
Định lý Stokes là mở rộng của định lý Green cho đường cong kín trong khơng
gian.

Định lý. Giả thiết S là mặt cong trơn và đơn, bao bởi đường cong kín, đơn C đã
được định hướng, F = ( f , g , h) là hàm vectơ trên miền mở chứa S. Khi ấy

∫

fdx + gdy + hdz = ∫∫ (

C

S

∂g ∂f
∂g
∂f
− )dxdy + ( ∂h − )dydz + ( − ∂h )dzdx .
∂x ∂y
∂y ∂ z
∂z ∂x

Chứng minh. Trước tiên chúng ta chứng minh đẳng thức sau

∫

fdx = ∫∫

C

S

∂f
∂f
dzdx − dxdy .
∂z
∂y

Để ý rằng, trong phương trình tham số của mặt cong S, hai biến (u , v) ∈ U ⊆ R2
trong đó U là miền đóng, giới nội, có biên CU trơn từng khúc (lưu ý là chiều của
CU được xác định bởi chiều của C phù hợp với hướng của S). Bằng cách tham số
hóa CU và do đó C cũng được tham số hóa theo, ta suy ra ngay công thức

∫
C

fdx = ∫ f ( ∂x du + ∂x dv) .
∂u
∂v
CU

Áp dụng công thức Green cho tích phân theo đường cong phẳng CU ở vế phải và
công thức đổi biến, ta thu được
∂x
∂x
∂
∂x

∂
∂x
∫ f ( ∂u du + ∂v dv) = ∫∫ [ ∂u ( f ∂v ) − ∂v ( f ∂u )]dudv =
CU

U

= ∫∫ {
U

∂f
∂f
∂f
∂f
B − C}dudv = ∫∫
dzdx − dxdy .
∂z
∂y
∂z
∂y
S

Như vậy (1) đúng. Tương tự, ta chứng minh công thức cho g,h, sau đó lấy tổng và
thu được cơng thức Stokes.
Chú ý. Đối với mặt cong trơn từng mảnh định lý Stokes vẫn đúng. Để chứng minh
chỉ cần áp dụng công thức cho từng mảnh rồi lấy tổng của chúng.
Thí dụ. Hãy kiểm tra công thức Stokes cho hàm vectơ

F ( x, y , z ) = ( z − y , x + z , − x − y )
trên mặt paraboloid z = 4 − x 2 − y 2 và mặt z = 0 .

Giải. Biên của mặt cong là đường tròn x 2 + y 2 = 4 có phương trình tham số là
x = 2cos α ,

y = 2sin α , 0 ≤ α ≤ 2π .


252

Giải tích các hàm nhiều biến
2π

Do đó

∫ FdC = ∫ ( z − y)dx + ( x + z )dy − ( x + y)dz = ∫ 4d α = 8π
S

∂g

C

∂f

, và

0

∂h

∂g

∂f

∂h

∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy + ( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx =
S

= ∫∫ (1 + 1)dxdy + (−1 −1)dydz + (1 + 1)dzdx =
S

= 2 ∫∫ dxdy + dydz + dzdx = ∫∫ (−4 x + 4 y + 2)dxdy = 8π ,
S

U

vì A = 2 x, B = 2 y, C = 1 . Đúng như công thức Stokes.
Để rút ra hệ quả về sự khơng phụ thuộc của tích phân đường trong khơng gian
vào đường lấy tích phân ta gọi miền V ⊆ R3 là miền đơn liên mặt nếu với mọi
đường cong kín, trơn từng khúc C ⊆ V tìm được mặt cong trơn từng mảnh nhận C
làm biên. Khối hình xuyến là một thí dụ của miền khơng đơn liên mặt.

Hệ quả. Giả thiết V là một miền đơn liên mặt và các hàm f, g, h liên tục cùng
với các đạo hàm riêng

∂f ∂f ∂g ∂g ∂h ∂h
,
,
. Khi ấy các tính chất sau tương
,
,

,
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

đương:
(i) Với mọi đường cong kín, trơn từng khúc nằm trọn trong V, đẳng thức sau
nghiệm đúng

∫

fdx + gdy + hdz = 0 ;

C

(ii) Tích phân

∫

fdx + gdy + hdz không phụ thuộc vào đường cong C nối hai

C

điểm A, B trong V;
(iii) Biểu thức fdx + gdy + hdz là vi phân toàn phần của một hàm nào đó trong V;
(iv)

∂f
∂g ∂h ∂g ∂f
= ∂h .
=
,

,
=
∂y ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x

Chứng minh. Sự tương đương của (iv) với (i) hoặc (ii) suy ngay từ định lý Stokes.
Sự tương đương của (iv) và (iii) được chứng minh tương tự như hệ quả của định lý
Green trong mặt phẳng.


Chương 7. Tích phân đường và tích phân mặt

253

7.3. Lý thuyết trường
7.3.1. Khái niệm về trường
1. Trường
Giả sử U là một miền trong không gian R3 và mỗi điểm p ∈ U được gán một
đại lượng vô hướng f ( p) ∈ R (hoặc một đại lượng vectơ F ( p) ∈ R3 ). Khi ấy ta nói
trong U có trường vô hướng f (tương ứng, trường vectơ F). Như vậy, trường vô
hướng là một hàm số và trường vectơ là một hàm vectơ xác định trên miền đã cho.
Nếu U là một miền trong mặt phẳng R2 thì trường vô hướng và trường vectơ
(phẳng) trong U được định nghĩa tương tự.
Thí dụ

1) Trong một vùng khơng gian V, ký hiệu T ( p, t ) là nhiệt độ và W ( p, t ) là vectơ
tốc độ gió đo được tại điểm p ∈ V và tại thời điểm t. Khi ấy, với mỗi t cố định,
trường nhiệt độ T ( p, t ) là một trường vô hướng, cịn trường gió W ( p, t ) là một
trường vectơ trong V.
2) Giả sử hạt vật chất khối lượng m0 đặt ở gốc tọa độ. Khi ấy theo định luật
Newton, lực hút tác động lên hạt vật chất khối lượng m đặt tại p( x, y, z ) được cho

bởi công thức
gm m
F ( x, y , z ) = − 0 r ,
3
r
trong đó g là hằng số hấp dẫn, r là vectơ định vị của p với các tọa độ x,y,z. Đây là
một trường vectơ và được gọi là trường lực hấp dẫn.
3) Giả sử điện tích q đặt ở gốc tọa độ. Khi ấy xung quanh nó có trường điện thế

f ( x, y , z ) =

q
.
r

Đây là một trường vô hướng.
2. Các khái niệm liên quan

Giả sử f là một trường vô hướng trong miền U ⊆ R3. Chúng ta giả thiết rằng

f khả vi và đạo hàm khác không trên miền U. Khi ấy với mỗi hằng số c, phương
trình
f ( x, y , z ) = c


254

Giải tích các hàm nhiều biến

xác định mặt cong gọi là mặt mức hay mặt đẳng trị (vì giá trị của f trên mặt này

không đổi). Hiển nhiên là các mặt mức khác nhau khơng giao nhau và chúng phủ
kín miền U.
Thí dụ. Trong trường điện thế (ở phần thứ 3 trong thí dụ trên), với mỗi hằng số c,
mặt đẳng trị f ( x, y, z ) = c là mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = (q / c) 2 và được gọi là mặt
đẳng thế.

Trong những phần tiếp theo, ta sẽ ký hiệu i, j, k là những vectơ đơn vị của các
trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Trường vectơ F còn được viết dưới dạng

F = F xi + F y j + F zk ,
trong đó F x , F y , F z là các tọa độ của F.
Cho F là trường vectơ trong U.
Đường cong C được gọi là đường dòng của F nếu tiếp tuyến của đường cong
tại mọi điểm p ∈ C có hướng trùng với hướng của F ( p) .
Mặt cong S được gọi là mặt dòng nếu S bao gồm các đường dòng và tại mọi
điểm p ∈ S , vectơ F ( p ) nằm trong mặt phẳng tiếp tuyến với S tại p.
Nếu như đường cong C được cho bởi phương trình tham số

x = x(t ) ,

y = y (t ) ,

z = z (t ) ,

thì hướng của tiếp tuyến của C là ( x '(t ), y '(t ), z '(t )) , cho nên phương trình của
đường dịng C là
dx = dy = dz .
Fx Fy Fz
Nhận xét. Nếu trường vectơ F khác 0 thì mỗi điểm p ∈ U chỉ có một đường dịng
duy nhất đi qua. Hơn nữa, các đường dịng khơng cắt nhau. Ngồi ra, nếu C0 là một

đường cong trơn và qua mỗi điểm của C0 có một đường dịng đi qua, khi ấy tập tất
cả các đường dòng này tạo thành mặt dòng. Nếu C0 là đường kín, mặt dịng trở
thành một ống dịng.
Thí dụ. Trong trường hấp dẫn (phần thứ 2 của thí dụ đầu tiên), ta có phương trình
các đường dịng là

dx
α0 x r

3 −1

=

dy
α0 y r

3 −1

=

dz
α0 z r 3

−1

,

trong đó α 0 là hằng số bằng −gm0 m . Phương trình này tương đương với
dx = dy = dz hay là x = α t , y = α t , z = α t.
1

2
3
x
y
z
Đây chính là đường thẳng đi qua điểm đặt hạt vật chất.


Chương 7. Tích phân đường và tích phân mặt

255

7.3.2. Gradient và luật bảo tồn
1. Gradient
Cho trường vơ hướng f trong miền U ⊆ R3. Khi ấy gradient của f là

 ∂f ∂f ∂f 
∇f =  , , 

 ∂ x ∂ y ∂z 




(hay ký hiệu gradf )

và là một trường vectơ trong U.
Một số tính chất của trường vectơ này đã được biết trong Chương 2.
1) Đạo hàm theo hướng v của f được tính theo cơng thức

∂f
=< grad f , v0 >
∂v
trong đó v0 = (cos α,cos β,cos γ ) là vectơ đơn vị chỉ hướng của v với các góc chỉ
hướng α, β, γ.
2) Giá trị lớn nhất của đạo hàm theo hướng

∂f
đạt được khi v0 trùng với hướng
∂v

của gradf, và bằng
 ∂f 2  ∂f 2  ∂f 2
grad f =   +   +   .
 ∂x   ∂y   ∂z 
     
     
3) Gradient của f tại p có cùng hướng với vectơ pháp tuyến n+ của mặt mức đi
qua p (tại điểm p). Thật vậy, phương trình mặt mức qua p là
f ( x, y, z ) = c , với c = f ( p) .
Vectơ pháp tuyến tại p là (xem thí dụ trong mục đường cong và mặt cong)
 ∂f ( p) ∂f ( p ) ∂f ( p) 

n+ = 

 ∂ x , ∂ y , ∂z 



trùng với gradf.

Thí dụ. Biết rằng trường nhiệt tại thời điểm t cố định được cho bởi công thức
T = 2 100 2 .
x + y2 + z

Hãy tìm giá trị trường vectơ tốc độ thay đổi nhiệt tại p = (1,3, −2) và T thay đổi
nhanh nhất theo hướng nào?

Giải. Ta tính gradient của T


256

Giải tích các hàm nhiều biến



−200 y



grad T =  2 −200 x 2 2 , 2
, 2 −200 z 2 2  .


 ( x + y 2 + z ) ( x + y 2 + z 2 )2 ( x + y 2 + z ) 

Đây là trường vectơ tốc độ thay đổi nhiệt. Tại p = (1,3, −2) ta có
grad T ( p ) = − 200 ( i + 3 j − 2k ) .
196
Theo 2), T thay đổi nhanh nhất theo hướng của gradient tức là hướng

(−i − 3 j + 2k ) .
2. Luật bảo tồn

Cho F là một trưịng vectơ trên miền U ⊆ R3. Nếu tồn tại hàm f khả vi trên U
sao cho F = grad f thì người ta gọi F là trường bảo toàn và gọi -f là hàm thế
năng.
Trong Vật lý học, một trường vectơ thường được xem như một trường lực.
Nếu một chất điểm với khối lượng m chuyển động trong miền U với quĩ đạo là một
đường cong khả vi x(t) thì theo định luật Newton ta có F ( x (t )) = mx (t ) , hay là
F ( x ) = mx . Điều này có nghĩa là mx = grad f ( x ) , và bằng cách nhân vô hướng
cả 2 vế với x ta suy ra

(

)

d 1 m( x ) 2 − f ( x ) = 0 , hay 1 m( x ) 2 − f ( x ) = const .
2
dt 2
Nếu ta gọi số hạng đầu ở vế trái là động năng thì cơng thức trên có nghĩa là trong
khi vật chuyển động thì tổng của động năng và thế năng luôn là một hằng số.
Chính điều này lý giải tại sao khi một trường là gradient của một hàm khả vi thì lại
có tên là trường bảo tồn. Khơng phải trường nào cũng là trường bảo toàn.

7.3.3. Phân tán và định lý Ostrogradski
Phân tán của trường vectơ F (hay divergence của F) trong miền U ⊆ R3 , ký
hiệu divF, là trường vô hướng xác định bởi
x
y
z

div F = ∂F + ∂F + ∂F .
∂x
∂y
∂z

Với ký hiệu này, định lý Ostrogradski được viết như sau

∫∫ < F , n > ds = ∫∫∫ div Fdv ,
S

V

trong đó S là mặt trơn từng mảnh, kín và bao quanh miền V trong R3. Theo ngôn
ngữ vật lý, cơng thức trên nói rằng lưu thơng F qua mặt S bằng tích phân bội ba
của phân tán của F trên miền V giới hạn bởi S.


Chương 7. Tích phân đường và tích phân mặt

257

Ý nghĩa vật lý của khái niệm phân tán
Theo định lý giá trị trung bình ta tìm được điểm p0 = ( x0 , y0 , z0 ) bên trong V
sao cho

∫∫∫ div Fdv = div F ( p0 ) vol(V ) ,
V

trong đó vol(V) ký hiệu thể tích của V . Suy ra
div F ( p0 ) = 1 ∫∫ < F , n > ds .

vol(V )
S

Như vậy với điểm p cố định bên trong V, ký hiệu Sε là mặt cầu tâm p bán kính ε
và vε là thể tích quả cầu này, ta sẽ tìm được điểm pε bên trong Sε sao cho
div F ( pε ) = 1
vε

∫∫ < F , n > ds .
Sε

Cho ε → 0 ta thu được
div F ( p) = lim 1
ε→0 vε

∫∫ < F , n > ds .
Sε

Công thức này có nghĩa phân tán của trường vectơ F tại điểm p là giới hạn của lưu
thông trên đơn vị thể tích qua mặt cầu tâm p khi bán kính tiến dần tới 0.
Như vậy, nếu F là tốc độ di chuyển của chất lỏng thì div F ( p ) là tỷ lệ mất đi
hoặc thu về của lượng chất lỏng trên một đơn vị thể tích tại lân cận điểm p. Nếu
div F ( p) > 0 , thì p là điểm nguồn, lưu thơng vào mặt Sε ít hơn lưu thông ra. Nếu
div F ( p) < 0 , thì p là điểm rị, lưu thơng vào mặt Sε nhiều hơn lưu thông ra.
Trường vectơ F mà trong đó khơng có điểm nguồn, khơng có điểm rị thì
div F = 0 và đây chính là phương trình liên tục đối với chất lỏng khơng nén được.

7.3.4. Xốy và định lý Stokes
Xoáy của trường vectơ F trong miền U ⊆ R3, ký hiệu là curlF hoặc rotF, là

trường vectơ
z
x
y
x
∂Fy
curl F = ( ∂F −
) i + ( ∂F − ∂Fz ) j + ( ∂F − ∂F )k .
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y

Với ký hiệu này định lý Stokes có thể viết như sau

∫ < F , T >ds = ∫∫ < curl F , n > ds ,
C

S

trong đó T ký hiệu vectơ tiếp tuyến đơn vị của C tức là