Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp đại học ngành giáo dục tiểu học phần toán cao cấp phần 2 đh huế

Chơng IV :

Vnh -Trờng

Tóm tắt lí thuyết
4.1. Khái niệm vnh
4.1.1. Định nghĩa
Vnh l một tập hợp R cùng với hai phép toán hai ngôi trên R m ta thờng kí hiệu l +
(phép cộng) v . (phép nhân) thoả mãn các điều kiện sau:
1) R l một nhóm aben đối với phép cộng.
2) Phép nhân có tính kết hợp.
3) Phép nhân phân phối về hai phía đối với phép cộng.
Các điều ny có nghĩa l thoả mãn :

(R1) x, y R, x + y = y + x.
(R2) x, y, z R, (x+ y) + z = x + (y + z).
(R3) 0 R, x R, x + 0 = x.
(R4) x R, x R, x + (x) = 0.
(R5) x, y, z R, (xy)z = x(yz).
(R6) x, y, z R, x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx.
Khi hai phép toán đều đã rõ, ta sẽ nói đơn giản : R l một vnh.
4.1.2. Định nghĩa
Vnh R đợc gọi l giao hoán nếu phép nhân của nó giao hoán, nghĩa l thoả mãn :

(R7) x, y R, xy = yx.
Vnh R đợc gọi l có đơn vị nếu R với phép nhân của nó có đơn vị, nghĩa l thoả mãn:
(R8) 1 R, 1x = x1 = x, x R.
Đơng nhiên, phần tử đơn vị của một vnh nếu tồn tại l duy nhất.
4.1.3. Tính chất
Cho R l một vnh.
1. 0x = x0 = 0, x R.

2. (x)y = x(y) = (xy), x, y R.
3. (x)(y) = xy, x, y R.
4. x(y z) = xy xz, (x y)z = xz yz, x, y, z R.
m

5. (x1 + ... + xm)(y1 + ... + yn) =

n

x y
i =1 j =1

i

j

, xi, yj R.

6. (nx)y = x(ny) = n(xy), x, y R, n Z.


7. Nếu R l một vnh giao hoán thì :
n

(x + y)n =

n!

i !(n i)! x y
i

n i

, x, y R, n N.

i =0

4.1.4. Thí dụ
1) Tập Z các số nguyên, tập Q các số hữu tỉ, tập R các số thực v tập C các số phức

cùng với hai phép toán cộng v nhân thông thờng l những vnh giao hoán có đơn vị.
2) Tập Zn các số nguyên môđulô n cùng với hai phép toán cộng v nhân sau l một

vnh giao hoán có đơn vị 1 :
x, y Z, x + y = x + y , x . y = x y .
3) Xét tập Z[x] (t.. Q[x], R[x]) gồm các đa thức với hệ số nguyên (t. hữu tỉ, thực).

Với phép cộng v phép nhân đa thức sau, Z[x] (t.. Q[x], R[x]) l một vnh giao hoán có
đơn vị :
Với bất kì f(x), g(x) Z[x],
f(x) = a0 + a1x +...+ anxn, g(x) = b0 + b1x +...+ bmxm (m n).
f(x) + g(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + ..+ ( am + bm)xm + am+1xm+1 +...+ anxn.
f(x)g(x) = c0 + c1x +...+ cm+nxm+n, ck =

ab .
i

j

i+ j=k

4) Cho G l một nhóm aben với phép toán kí hiệu cộng. Gọi End(G) l tập hợp các
đồng cấu nhóm từ G vo G. Trên End(G) xét hai phép toán sau : f, g End(G), f + g xác

định bởi (f + g)(x) = f(x) + g(x), x G.

fg xác định bởi (fg)(x) = f(g(x)), x G.
Khi đó End(G) l một vnh có đơn vị l ánh xạ đồng nhất idG, vnh
ny nói chung không giao hoán v đợc gọi l vnh các tự đồng cấu của nhóm aben G.

4.2. Miền nguyên v trờng
4.2.1. Định nghĩa

Vnh có đơn vị R đợc gọi l một thể nếu đơn vị 1 0 v mọi phần tử khác 0 trong R
đều khả nghịch: nói cách khác, nếu R \ {0} l một nhóm đối với phép nhân. Mỗi thể giao
hoán gọi l một trờng.
Nh vậy trờng l một vnh giao hoán có đơn vị 1 0 sao cho mọi phần tử khác 0 của
nó đều khả nghịch.
Điều kiện 1 0 tơng đơng với điều kiện R không tầm thờng : R {0}.


4.2.2. Thí dụ
1) Mỗi vnh Q, R, C đều l một trờng. Trong khi vnh Z không l một trờng vì các

phần tử khác 1 đều không khả nghịch trong Z.
2) Vnh Zn các số nguyên môđulô n l một trờng nếu v chỉ nếu n l một số nguyên

tố. Thật vậy, Zn l một trờng khi v chỉ khi m Zn, m 0 , r Zn, sao cho m r
=1 . Điều ny tơng đơng với m Z, 0 < m < n, r, s Z, sao cho rm + sn = 1, tức l m
v n nguyên tố cùng nhau m Z, 0 < m < n. Đó l điều kiện cần v đủ để n l một số

nguyên tố.
3) Kí hiệu H = R4 v

1 = (1, 0, 0, 0), i = (0, 1, 0, 0), j = (0, 0, 1, 0), k = (0, 0, 0, 1).
Trên H có phép nhân vô hớng :
a R, (x, y, z, t) H, a(x, y, z, t) = (ax, ay, az, at).

Khi đó (x, y, z, t) H, (x, y, z, t) có biểu diễn duy nhất dới dạng
(x, y, z, t) = x1 + yi + zj + tk. Trên H xét 2 phép toán nh sau :
a) Phép cộng : (x, y, z, t) + (x, y, z, t) = (x + x, y + y, z + z, t + t).
b) Phép nhân : Phép nhân đợc xác định bởi các hệ thức sau :
1i = i1 = i, 1j = j1 = j, 1k = k1 = k, i2 = j2 = k2 = 1.
ij = ji = k, jk = kj = i, ki = ik = j.
Dễ kiểm tra lại rằng H l một thể gọi l thể quaternion nhng không phải l một
trờng.
4.2.3. Định nghĩa

Vnh R gọi l vnh có ớc của 0 nếu tồn tại a, b R, a 0, b 0 sao cho ab = 0. Khi
đó a đợc gọi l một ớc trái của 0 v b đợc gọi l một ớc phải của 0. Nếu vnh R giao
hoán thì a v b đợc gọi l các ớc của 0.
4.2.4. Định nghĩa

Một vnh giao hoán R có đơn vị 1 0 v không có ớc của 0 đợc gọi l một miền nguyên.
4.2.5. Mệnh đề

Một vnh giao hoán R có đơn vị 1 0 l một miền nguyên khi v chỉ khi trong R có
luật giản ớc:

ab = ac, a 0 b = c.
với mọi a, b, c R.

4.2.6. Mệnh đề
Mỗi trờng đều l một miền nguyên.
Điều ngợc lại l không đúng. Tuy nhiên một miền nguyên hữu hạn l một trờng (Xem
bi tập 1).
4.2.7. Thí dụ
1) Z l một miền nguyên với hai phép toán cộng v nhân thông thờng. Vnh Zn với

phép cộng v phép nhân các số nguyên môđulô n l các vnh có ớc của 0 khi n l một
hợp số.

a b
2) Với a, b, c, d R, bảng
gọi l một ma trận vuông cấp 2 hệ số thực. Gọi
c d
M2(R) l tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp 2 hệ số thực. Trên M2(R), xét hai phép toán
sau:

a b a b a + a b + b
a) Phép cộng :
+
=

c d c d c + c d + d
a b a b aa + bc ab + bd
b) Phép nhân :

=
.

c d c d ca + dc cb + dd
1 0
Khi đó M2(R) l một vnh không giao hoán, có đơn vị l ma trận
. Ngoi ra,
0 1
0 0
1 0
M2(R) còn l một vnh có ớc của 0. Thật vậy, với A =
v B =
l hai phần
1 0
0 0
0 0
tử khác 0 (phần tử 0 của M2(R) l
) m AB = 0.
0 0

4.3. Vnh con v iđêan
4.3.1. Định nghĩa

Cho R l một vnh v S l một tập con của R, đóng đối với phép toán cộng v nhân trên

R (nghĩa l x, y S, x + y S, xy S). S đợc gọi l một vnh con của R nếu S cùng với
hai phép toán cảm sinh l một vnh.
Vậy khi S l một vnh con của R thì S l một nhóm con của (R, +) v một nửa nhóm
con của (R,.).
Nếu vnh con S l một trờng thì nó đợc gọi l một trờng con của vnh R. Nếu khi
đó R cũng l một trờng thì nó đợc gọi l một trờng mở rộng của trờng S.
4.3.2. Mệnh đề
Cho S l một tập con khác rỗng của vnh R. Khi đó các điều sau tơng đơng :

(i) S l một vnh con của R.


(ii) Với mọi x, y S, x + y S, x S, xy S.
(iii) Với mọi x, y S, x y S, xy S.
4.3.3. Mệnh đề
Cho R l một vnh có đơn vị v S l một tập con của R. Khi đó S l một trờng con của

R khi v chỉ khi S l một vnh con giao hoán của R v với mọi x S, x 0, x1 S.
4.3.4. Mệnh đề
Giao của một họ khác rỗng các vnh con của vnh R l một vnh con của R.
4.3.5. Định nghĩa

Cho R l một vnh v X l một tập con của R. Gọi RX vì R RX v

S l một

S RX

vnh con của R, đây l vnh con nhỏ nhất của R chứa X. Vnh con ny đợc gọi l vnh
con của R sinh ra bởi X, kí hiệu < X >.
4.3.6. Mệnh đề
Cho R l một vnh v X l một tập con của R. Khi đó :

< x > = { x1 xn xi X, 1 i n, n N}.
4.3.7. Thí dụ
1) Mỗi vnh sau đây l một vnh con của vnh đứng sau:

Z Q R C,
Z[x] Q[x] R[x] C[x],

M2(Z) M2(Q) M2(R) M2(C).
2) Nếu p l một số nguyên tố thì Z( p ) = {a + b p a, b Z} l một vnh con của

R. Thật vậy, Z( p ) (Vì 0 Z( p )), a, b, c, d Z, (a + b p ) (c + d p ) =
(a c) + (b d)

p , (a + b p ) (c + d p ) = (ac + bdp) + (ad + bc) p Z( p ). Ta

còn có : Z( p ) = < Z { p } >.

ac + bpd = 1
Nếu a, b Q thì hệ phơng trình
có nghiệm
bc + ad = 0
(c =

a
b
, d= 2
p ) ; nghĩa l
2
a b p
a b2 p
2

(a + b p )1 =

a
b
+ 2

p.
2
a b p a b2 p
2


Vì vậy, Q( p ) = {a + b p a, b Q} l một trờng con của trờng R các số thực.
4.3.8. Định nghĩa

Cho R l một vnh. Một iđêan trái (t.. phải) của vnh R l một nhóm con I của nhóm
cộng R v thoả mãn
r R, x I, rx I (t.. xr I).

Khi I vừa l iđêan trái vừa l iđêan phải của R thì I đợc gọi l một iđêan (hai phía)
của R.
Đối với vnh giáo hoán các khái niệm iđêan, iđêan trái v iđêan phải l trùng nhau.
Theo định nghĩa, nếu I l một iđêan trái hoặc phải của R thì I l một vnh con của R.
Nhng điều ngợc lại không đúng. Chẳng hạn, Z l một vnh con của Q, nhng không
phải l một iđêan của Q.
Trong vnh R bao giờ cũng có hai iđêan l 0 (= {0}) v R đợc gọi l hai iđêan tầm
thờng của vnh R. Mỗi iđêan khác 0 v khác R đợc gọi l một iđêan thực sự.
4.3.9. Mệnh đề
Cho I l một tập con khác rỗng của vnh R. Khi đó các điều sau tơng đơng:
(i) I l iđêan trái (t.. phải) của vnh R.

(ii) x, y I, r R, x + y I, x I, rx I (t.. xr I)
(iii) x, y I, r R, x y I, rx I (t.. xr I).
4.3.10. Mệnh đề

Cho R l một vnh v x1,..., xn R. Khi đó :

Rx1 +...+ Rxn = {r1x1 +...+ rnxn r1,..., rn R}.
x1R +...+ xnR = {x1r1 +...+ xnrn r1,..., rn R}.
tơng ứng l iđêan trái v iđêan phải của R.
4.3.11. Mệnh đề
Giao của một họ khác rỗng các iđêan trái (t.. phải, hai phía) của một vnh R l một
iđêan trái (t.. phải, hai phía) của R.
4.3.12. Định nghĩa

Cho R l một vnh v X l một tập con của R. Gọi IX l tập các iđêan của R chứa X, IX
vì R IX v I l một iđêan trái (t.. phải, hai phía) của R đây l iđêan trái (t.. phải,
I I X

hai phía) nhỏ nhất của R chứa X. Iđêan ny đợc gọi l iđêan trái (t.. phải, hai phía) của R
sinh ra bởi X, kí hiệu (X > (t.. < X), (X)).
Khi X = R ta nói (X > (t.. < X), (X)) l iđêan trái (t.. phải, hai phía) chính của R.


4.3.13. Mệnh đề

Cho R l vnh có đơn vị v x1,..., xn R. Khi đó :
(i) (x1,..., xn > = Rx1 +...+ Rxn
(ii) 4.3.14. Mệnh đề
Cho X l một tập con khác rỗng của vnh R có đơn vị. Khi đó :
n

(X) = { ri xi si ri , si R , xi X, 1 i n, n N}.
i =1

4.3.15. Định nghĩa
Cho R l một vnh v I l một iđêan (hai phía) của R. Khi đó I l một nhóm con của

nhóm cộng aben R nên nhóm thơng R/I = {x + I | x R} l một nhóm cộng aben hon
ton xác định. Trên R/I xét phép nhân:
x, y R, (x + I)(y + I) = xy + I.
Khi đó R/I trở thnh một vnh gọi l vnh thơng của R theo iđêan I.
4.3.16. Thí dụ
1) Cho R l một vnh v n l một số nguyên. Khi đó tập nR = {nx x R} l một iđêan của

vnh R, Thật vậy, nR vì 0 = n0 nR v x, y R, nx ny = n(x y) nR, y(nx) = n(yx)
= (ny)x nR.
Tập hợp I = {x R nx = 0} cũng l một iđêan của R. Thật vậy, I vì 0 I v x, y
I, r R, n(x y) = nx ny = 0, n(rx) = r(nx) = 0, n(xr) = (nx)r = 0 hay x y, rx, xr
I.
2) Cho F l một trờng. Khi đó F chỉ có hai iđêan l {0} v F. Thật vậy, Nếu I l một

iđêan của F v I {0} thì tồn tại x I v x 0 (nên x có nghịch đảo l x1). Do đó 1 =

x1 x I v với mọi y F, y = y.1 nên y I , tức l I = F.
3) Mỗi iđêan của vnh Z các số nguyên đều có dạng I = (n) (= nZ) với n l một số tự

nhiên no đó. Điều ny có nghĩa l mọi iđêan của Z đều l iđêan chính, trong trờng hợp
ny Z đợc gọi l một miền chính. Thật vậy, giả sử I l một iđêan của Z. Nếu I = {0} thì I
= (0). Nếu I {0}, gọi n l số nguyên dơng nhỏ nhất trong I (số ny tồn tại do ( x) I
với mọi x I), thì với mọi a I, xét phép chia có d a cho n : a = nb + r (b, r Z, 0 r <

n). Vì I l một iđêan nên nb I, do đó r = a nb I. Theo định nghĩa của n thì r = 0. Từ
đó a = nb, tức l I = (n).

4.4. Đồng cấu vnh
4.4.1. Định nghĩa

Cho R v R l các vnh. ánh xạ f : R R đợc gọi l một đồng cấu vnh nếu :
x, y R, f(x + y) = f(x) + f(y), f(xy) = f(x)f(y).
Nói riêng, mỗi đồng cấu vnh nh vậy l một đồng cấu giữa các nhóm cộng (R, +) v
(R, +). Đặc biệt, ta có:

f(0) = 0, f(x) = f(x), x R.
Ta không đòi hỏi mọi vnh đều có đơn vị, nên không bắt buộc mọi đồng cấu vnh f :

R R phải có tính chất f(1) = 1 ngay cả trong trờng hợp R v R có đơn vị (tơng ứng l
1 v 1). Tuy nhiên, nếu f 0 v R l một miền nguyên thì từ hệ thức f(1) f(1) = f(1) v

f(1) 0 suy ra rằng f(1) = 1.
4.4.2. Định nghĩa
Một đồng cấu vnh đồng thời l một đơn ánh (t.. ton ánh, song ánh) đợc gọi l một
đơn cấu (t.. ton cấu, đẳng cấu) vnh.
4.4.3. Mệnh đề
1) Nếu f : R R v f: R R l những đồng cấu vnh thì f D f : R R cùng l một đồng

cấu vnh.
2) Nếu f : R R l một đẳng cấu vnh thì ánh xạ ngợc f-1 : R R cùng l một đẳng

cấu vnh.
Nếu có một đẳng cấu vnh f : R R thì ta nói R đẳng cấu với R, kí hiệu R R. Quan
hệ đẳng cấu l một quan hệ tơng đơng.
4.4.4. Mệnh đề

Cho f : R R l một đồng cấu vnh. Khi đó ta có :
1) Nếu S l một vnh con của R v S l một vnh con của R thì f(S) l một vnh con
của R v f1(S) l một vnh con của R.
2) Nếu I l một iđêan trái (t.. phải, hai phía) của R v I l một iđêan trái (t.. phải,
hai phía) của R thì f(I) l một iđêan trái (t.. phải, hai phía) của f(R) v f1(I ) l một
iđêan trái (t.. phải, hai phía) của R.
4.4.5. Định nghĩa

Cho đồng cấu vnh f : R R. Khi đó f(R) l một vnh con của R, gọi l ảnh của f, kí
hiệu Imf ; f1(0R) l một iđêan của R, gọi l hạt nhân của f, kí hiệu Kerf.


4.4.6. Mệnh đề

Cho f : R R l một đồng cấu vnh. Khi đó f l một ton cấu khi v chỉ khi Imf = R
v l một đơn cấu khi v chỉ khi Kerf = {0R}.
4.4.7. Mệnh đề

Cho f : R R l một đồng cấu vnh. Khi đó ánh xạ f : R/Kerf R cho bởi f (x + Kerf) =

f(x) l một đơn cấu vnh. Từ đó suy ra f : R/Kerf Imf l một đẳng cấu vnh.
4.4.8. Thí dụ
1) Với n l một số nguyên dơng, xét ánh xạ f : Z Zn cho bởi f(x) = x . Khi đó f l một

ton ánh v f(x + y) = x + y = x + y = f(x) + f(y), f(xy) = xy = x y = f(x) f(y), nên f l một
ton cấu. Ngoi ra Kerf = {x Z x = 0 } = {x x l một bội số của n} = nZ. Vì vậy, Z/nZ
Zn .
2) Cho R l vnh có đơn vị 1R v sinh ra bởi 1R. Xét ánh xạ f : Z R cho bởi f(m) = m.1R.

Khi đó f l một đồng cấu vnh. Ngoi ra, do 1R sinh vnh R nên Imf = R, nghĩa l f l một ton

cấu. Ta có Kerf = {m Z m.1G = 0G}.
Nếu R l vnh vô hạn tức l cấp của 1 l vô hạn (đối với nhóm cộng R) thì Kerf = {0}
hay f l một đơn cấu. Do đó Z R.
Nếu R l hữu hạn thì cấp của 1 l hữu hạn, giả sử l n. Khi đó Kerf = nZ. Do đó Z/nZ R.

Bi tập v lời giải

1. Chứng minh rằng một miền nguyên hữu hạn l một trờng.
Giải
Cho R l một miền nguyên hữu hạn, giả sử R = {0, a1, a2,..., an}. Khi đó các phần tử
của R* = {a1, a2,..., an} thoả mãn luật giản ớc. Do đó R* = { a1 a1,..., a1 a2,..., a1 an}. Vì a1
R* nên tồn tại k sao cho a1 ak = a1. Đặt e = ak, với 1 i n ta có a1(eai) = (a1 e) ai = a1 ai,
suy ra eai = ai hay e l phần tử đơn vị của R. Với mọi aj R*, R* = {a1 aj, a2 aj,..., an aj}. Vì
e R* nên tồn tại ai R* sao cho aiaj = e hay ai l phần tử nghịch đảo của aj. Do đó R l
một trờng.
2. Cho R l một vnh, Z l vnh các số nguyên, trên tập Z ì R ta định nghĩa 2 phép toán cộng

v nhân nh sau:
(m, x) + (n, y) = (m + n, x + y), (m, x) (n, y) = (mn, my + nx + xy).


Chứng minh rằng Z ì R với 2 phép toán ny l một vnh có đơn vị v R đẳng cấu với
một iđêan của vnh ny. Tìm các ớc của không của vnh Z ì Z.
Giải

Dễ dng có đợc Z ì R với phép cộng l một nhóm aben. Phép nhân trên Z ì R có tính
kết hợp v phân phối đối với phép cộng. Thật vậy, (m, x), (n, y), (p, z) Z ì R,
((m, x) (n, y) (p, z)) = (mn, my + nx + xy) (p, z)
= (mnp, mnz + pmy + pnx + pxy + myz + nxz + xyz)
= (mnp, mnz + mpy + myz + npx + nxz + pxy + xyz)

= (m, x) (np, nz + py + yz)
= (m, x) ((n, y) (p, z)),
(m, x) ((n, y) + (p, z)) = (m, x) (n + p, y + z)
= (mn + mp, my + mz + nx + px + xy + xz)
= (mn, my + nx + xy) + (mp, mz + px + xz)
= (m, x) (n, y) + (m, x) (p, z).
Ngoi ra Z ì R có phần tử đơn vị l (1, 0). Do đó Z ì R l một vnh có đơn vị. Đặt I = {(0,

x) Z ì R } thì I l một iđêan của Z ì R. Xét ánh xạ
f : R Z ì R : x 6 (0, x).
Rõ rng f l một đơn ánh. Ngoi ra x, y R.

f (x + y) = (0, x + y) = (0, x) + (0, y) = f(x) + f(y),
f (xy) = (0, xy) = (0, x) (0, y) = f(x) f(y).
Vậy f l một đơn cấu, nghĩa l ta có đẳng cấu vnh R Imf = I. Các ớc không của Z ì

Z l {(n, n) | n Z \ {0}}.
3. Cho S l một tập hợp, kí hiệu P(S) l tập gồm các tập con của S.

Chứng tỏ rằng P(S) với 2 phép toán cộng v nhân nh sau :

A + B = (A B) \ (A B), A . B = A B, A, B P(S)
l một vnh giao hoán có đơn vị.


Giải

Phép cộng chính l hiệu đối xứng của hai tập hợp. Từ định nghĩa ta có :
A, B, C P(S), A + B = B + A, A . B = B . A, A + = A,

A + A = A, (A . B) . C = A . (B . C), A . S = A.
p

q

r

pq

pq

(p q) ( p q )

pq

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

0

(p q) r

qr

p (q r)

p (q r)

pr

(p q) (p r)

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

A, B, C P(S), gọi p, q, r tơng ứng l các mệnh đề x A, x B,

x C. Khi đó x A + B chính l mệnh đề tuyển loại (XOR) p q. Bảng giá trị chân lí ở
trên cho tính kết hợp của phép cộng từ cột 8 từ 10, v phép nhân có tính phân phối đối với
phép cộng từ cột 11 từ 13.

Do đó P(S) cùng với phép hiệu đối xứng v phép giao l một vnh giao hoán có đơn vị.
4. Giả sử trong tập X đã cho hai phép toán cộng v nhân sao cho (X, +) l một nhóm, (X, .) l
một vị nhóm v phép nhân phân phối đối với phép cộng. Chứng minh rằng X l một vnh.


Giải

Ta chỉ cần chứng minh phép cộng có tính giao hoán. Với mọi x, y X, giả sử 1 l đơn vị
của (X, .), ta có:
(1 + 1) (x + y) = (1 + 1) x + (1 + 1) y
=1x + 1x + 1y + 1y = x + x + y + y,
(1 + 1) (x + y) = 1(x + y) + 1(x + y) = x + y + x + y.
Dùng luật giản ớc trong nhóm (X, +) suy ra x + y = y + x
5. Cho S l một tập hợp, R l một vnh v l một song ánh từ S lên R. Chứng minh rằng S với

2 phép toán :

a + b = 1((a) + (b)), ab = 1((a) (b)), a, b S
l một vnh v l một đẳng cấu vnh. Dùng điều ny để chứng minh rằng một vnh bất
kì có đơn vị 1 cũng còn l một vnh đối với 2 phép toán a b = a + b 1, a * b = a + b
ab.
Giải

Vì R l một vnh với phần tử không l 0R nên a, b, c S

a + b = 1 ((a) + (b)) = 1 ((b) + (a)) = b + a
(a + b) + c = 1 ((a + b) + (c))
= 1 ((1((a) + (b))) + (c)) = 1 ((a) + (b) + (c))
= 1 ((a) + (1((b) + (c)))) = 1 ((a) + (b + c))

= a + (b + c)
Với 0S = 1 (0R), a + 0S = 1 ((a) + (0S))
= 1 ((a) + 0R) = 1 ((a)) = a
Với a = 1 ( (a)), a + ( a) = 1 ((a) + (1((a))))
= 1 ((a) + ( (a))) = 1 (0R) = 0S.
(ab)c = 1 ((ab) (c)) = 1 ((1((a) n(b)))) (c))
= 1 ((a)) (b) (c))) = 1 ((a) (1((b) (c)))
= 1 ((a) (bc)) = a(bc)

a(b + c) = 1 ((a) (b + c)) = 1 ((a) (1((b)+ (c))))


= 1 ((a) ((b) + (c))) = 1 ((a) (b) + (a) (c))
= 1 ((1((a)(b))) + (1 ((a) (c)))
= 1 ((ab) + (ac)) = ab + ac
tơng tự (b + c)a = ba + ca
Vậy S l một vnh. Do l một song ánh v (a + b) = (a) + (b), (ab) = (a)(b)
nên l một đẳng cấu.
Bây giờ, nếu R l một vnh có đơn vị 1 thì với song ánh : R R cho bởi (a) = 1 a
(khi đó 1(a) = 1 a), R cũng l vnh với hai phép toán

a b = 1 ((a) + (b)) = 1 (1 a + 1 b) = a + b 1
ab = 1 ((a) (b)) = 1 ((1 a)(1 b)) = a + b ab.
6. Cho R l vnh có đơn vị 1 0 v x, y R. Chứng minh rằng :

a) Nếu xy v yx khả nghịch thì x v y khả nghịch.
b) Nếu R không có ớc của không v xy khả nghịch thì x v y khả nghịch.
Giải
a) Giả sử a v b lần lợt l phần tử nghịch đảo của xy v yx, nghĩa l

a(xy) = (xy)a = b(yx) = (yx)b = 1.
Đặt x = by, x = ya, y = ax, y = xb thì xx = xx = 1 v yy = yy = 1. Do đó x = x v
y = y lần lợt l phần tử nghịch đảo của x v y
b) Giả sử a l phần tử nghịch đảo của xy, nghĩa l a(xy) = (xy)a = 1. Ta có x 0, y

0, vì nếu x = 0 hay y = 0 thì xy = 0 nên xy không có nghịch đảo. Đặt x = ya v y = ax thì
xx = yy = 1. Khi đó :

x(xx 1) = xxx x = 1x x = 0 xx 1 = 0 xx = 1,
do R không có ớc của không v x 0. Vậy x l phần tử nghịch đảo của x. Tơng tự y l
phần tử nghịch đảo của y.
7. Cho R l vnh hữu hạn. Chứng minh rằng :
a) Nếu R không có ớc của không thì nó có đơn vị v mọi phần tử khác không của R
đều khả nghịch.
b) Nếu R có đơn vị thì mọi phần tử khả nghịch một phía trong R đều khả nghịch.
Giải
a) Với a R, a 0, xét ánh xạ

fa : R R : x 6 ax


fa l một đơn ánh. Thật vậy, x, y R, ax = ay kéo theo a (x y) = 0 nên
x y = 0 vì R l vnh không có ớc của không v a 0. Do R l hữu hạn nên fa l một
song ánh. Vì vậy, với a R tồn tại e R sao cho fa(e) = ae = a. Ta chứng minh e l đơn vị
của R.
x R, a(ex x) = (ae)x ax = ax ax = 0, vì a 0 nên ex x = 0 hay ex = x.
Từ đó ea = a v (xe x)a = x(ea) xa = xa xa = 0. Do đó
xe x = 0 hay xe = x.
Vì fa l song ánh nên với e R, tồn tại a R sao cho fa(a) = aa = e.
Ta có a(aa e) = (aa)a ae = ea ae = 0 nên aa = e. Vậy a l phần tử nghịch đảo

của a.
b) Giả sử a có nghịch đảo trái l a, nghĩa l aa = e. Xét ánh xạ

fa : R R : x 6 ax.
fa l một đơn ánh. Thật vậy, x, y R, ax = ay kéo theo a(ax) = a(ay), do đó x = y. Do R
l hữu hạn nên fa l một song ánh. Khi đó với đơn vị e của R, tồn tại a R sao cho fa(a)
= aa = e, tức l a có nghịch đảo phải l a. Tơng tự nếu a có nghịch đảo phải thì a có
nghịch đảo trái nên a khả nghịch.
8. Cho R l một vnh giao hoán v I l một iđêan sinh ra bởi phần tử a R. Chứng minh

rằng

{
{

}

rar R
Nếu R có đơn vị

I=
ra + nar R v n Z Nếu R không có đơn vị


}

Giải

Rõ rng {ra | r R} v {ra + na | r R v n Z} .

r, s, t R, n, m Z, ra sa = (r s)a, t (ra) = (tr)a {ra | r R}, (ra + na) (sa
+ ma) = (r s)a + (n m)a, t(ra + na) = (tr + nt)a + 0a {(ra + na) | r R v n Z}.
Vậy {ra | r R} v {ra + na | r R v n Z} l các iđêan của R.
Nếu R có đơn vị 1 thì a = 1a J = {ra | r R}. Giả sử J l một iđêan của R chứa a. Khi
đó ra J, r R hay {ra | r R} J. Do đó {ra | r R} l iđêan nhỏ nhất của R chứa a.
Vậy I = {ra | r R}.


Nếu R không có đơn vị thì ta có a = 0a + 1a {ra + na | r R v n Z}. Giả sử K l một
iđêan của R chứa a. Khi đó ra + na K, r R, n Z. Khi đó {ra + na | r R v n
Z} K. Do đó {ra + na | r R v n Z} l iđêan nhỏ nhất của R chứa a. Vậy I = {ra +
na | r R v n Z}.
9. Cho R l một vnh.

a) Chứng minh rằng Z(R) = {a R | ax = xa, x R} l một vnh con giao hoán của R,
gọi l tâm của R. Nếu R l một thể thì Z(R) có cấu trúc gì ?
b) Xác định tâm của vnh M2(R) các ma trận vuông cấp 2 hệ số thực.
Giải
a) x R, 0x = x0 ( = 0) hay 0 Z(R), nên Z(R) .

a, b Z(R), (a b)x = ax bx = xa xb = x(a b), x R nên
a b Z(R). (ab)x = a(bx) = a(xb) = (ax)b = (xa)b = x(ab), x R nên ab Z(R).
Rõ rng ab = ba, a, b Z(R).
Vậy Z(R) l một vnh con giao hoán của R.
Nếu R l một thể với đơn vị 1 thì Z(R) l một trờng. Thật vậy, a Z(R), a 0, (nên có a1

R), x R, ax = xa hay xa1 = a1x, do đó a1 Z(R).
a 0

b) Z(M2(R)) =

a R .
0 a

10. Tìm vnh con của vnh R các số thực sinh bởi tập Z { 3 2 }.
Giải

Gọi S = {a + b 3 2 + c 3 4 a, b, c R} thì S R, S vì 0 S v a, b, c, a, b, c

Z, (a + b 3 2 + c 3 4 ) (a + b 3 2 + c 3 4 ) = (a a) + (b b)

3

2 + (c c)

(a + b 3 2 + c 3 4 )(a + b 3 2 + c 3 4 ) = (aa + bc + 2cb) + (ab + ba + 2cc)
+ca + bb)

3

3

3

4 S,

2 + (ac

4 S. Vậy S l một vnh con của R. Kiểm tra dễ dng đây l một vnh con

nhỏ nhất của R chứa Z { 3 2 }. Do đó S l vnh con của R sinh bởi

Z { 3 2 }.
11. a) Cho R v S l các vnh có đơn vị. Chứng minh rằng M l một iđêan của vnh tích R
ì S khi v chỉ khi M = I ì J, trong đó I v J lần lợt l các iđêan của R v S.


b) Tìm các iđêan của các vnh sau :
Zn, Z2, R, R2.
Giải
a) Ta có các ton cấu vnh sau :

p1 : R ì S R : (x, y) 6 x, p2 : R ì S S : (x, y) 6 y.
Nếu I l một iđêan của R v J l một iđêan của S thì dễ dng có đợc I ì J l một iđêan
của R ì S.
Cho M l một iđêan của vnh tích R ì S. Đặt I = p1 (M) v J = p2 (M) thì I v J lần lợt
l iđêan của R v S. (x, y) M, x = p1(x, y) I, y = p2(x, y) J nên (x, y) I ì J. Đảo lại,

(x, y) I ì J, x1 R, y1 S sao cho (x, y1), (x1, y) M ; khi đó :
(x, y) = (x, 0) + (0, y) = (1R, 0) (x, y1) + (0, 1S) (x1, y) M,
trong đó 1R v 1S lần lợt l đơn vị của R v S. Do đó M = I ì J.
b) Các iđêan của vnh Zn l kZn trong đó 1 k n v k chia hết n. Các iđêan của

vnh Z2 l nZ ì mZ trong đó n, m N. Các iđêan của vnh R l {0} v R. Các iđêan của
R2 l {(0, 0)}, {0} ì R, R ì {0} v R ì R.
12. a) Cho p l một số nguyên dơng không chính phơng. Kí hiệu

Q( p )= {a + b p a, b Q},
trong đó Q l trờng các số hữu tỉ. Chứng minh rằng Q p l một trờng.
b) Chứng minh rằng trờng Q( 3 ) không đẳng cấu với trờng Q( 5 ).
Giải
a) Ta có Q( p ) l một tập con khác rỗng của trờng R các số v có chứa số nguyên 1

(vì 1 = 1 + 0 p ). a, b, a, b Q,
(a + b p ) (a + b p ) = (a a) + (b b)
(a + b p )(a + b p ) = (aa + pbb) + (ab + ba)

p
p

Vậy Q( p ) l một vnh con của R chứa 1 nên nó l một vnh giao hoán có đơn vị.
Ngoi ra, với a + b p Q( p ) v khác 0 (a v b không đồng thời bằng 0), ta có a2


pb2 0,


a
b
a
b
= 1. Do đó
+ 2
Q( p ) v (a + b p ) 2
+ 2
2
2
2
2
a pb a pb
a pb a pb
2

Q( p ) l một trờng.
b) Giả sử tồn tại đẳng cấu trờng f : Q( 3 ) Q( 5 ), khi đó f(1) 0 v do f(1) = f(1.1) =

f(1)f(1) nên f(1) = 1.
Từ đó f(3) = f(1 + 1 + 1) = f(1) + f(1) + f(1) = 3. Giả sử f( 3 ) = a + b 5
(với a, b Q). Ta có
3 = f(3) = f( 3 . 3 ) = f( 3 )2 = (a + b 5 )2
Hay a2 + 5b2 + 2ab 5 = 3 hay 2ab 5 = 3 a2 5b2.
Nếu a = b = 0 thì 0 = 3 : Vô lí.
Nếu a = 0 v b 0 thì b =

3
: Vô lí.
5

Nếu b = 0 v a 0 thì a =

3 : Vô lí.

Nếu a 0 v b 0 thì

5=

3 a 2 5b 2
: Vô lí vì vế phải l một số hữu tỉ nhng vế
2 ab

trái l một số vô tỉ.
a b

13. Chứng minh rằng tập hợp các ma trận có dạng
, với a, b l những số hữu tỉ tuỳ
3b a
ý, l một trờng đối với phép cộng v phép nhân ma trận, trờng ny đẳng cấu với trờng
F = {a + b 3 a, b Q}, Q l trờng các số hữu tỉ.
Giải
a
Đặt T =
3b

b

a


a, b Q thì T l một tập con khác rỗng của vnh M2(Q) các ma


1 0
trận vuông cấp 2 trên Q với phép cộng v nhân v chứa ma trận đơn vị
. Ta có:
0 1
b a b a a b b

=
,
a 3b a 3(b b) a a
b a b
aa + 3bb ab + ba
,

=
a 3b a
3(ba + ab) 3bb + aa
a b a b
a b a b

=
.
3b a 3b a
3b a 3b a

a

3b
a

3b


Vậy T l một vnh con giao hoán của M2(Q) có chứa đơn vị của M2(Q). Do đó T l
a b 0 0
2
2
một vnh giao hoán khác 0 có đơn vị. Ngoi ra, với

, (khi đó a 3b
3b a 0 0
0), ta có :
a

2

a
b

a 3b2


3b a 3b
2
a 3b2
Do đó T l một trờng.
Xét ánh xạ

b
a 3b 2
a
2
a 3b 2
2


1 0
=
.
0 1



a b

f:TF:
6a + b 3.
3b a
Rõ rng f l một ton ánh. f còn l một đơn ánh vì với a + b 3 = a + b 3 thì a = a v b =
a b a b
b tức l
=
.
3b a 3b a
Ngoi ra,
a + a b + b
a b a b
f(
)
+ ) = f(
3(b + b) a + a
3b a 3b a
= (a + a) + (b + b)

3 = (a + b 3 ) + (a + b 3 )

a b
a b
= f(
) + f( ),
3b a
3b a
a b a b
aa + 3bb ab + ba
f(

) = f(
)
3b a 3b a
3(ba + ab) 3bb + aa
= (aa + 3bb) + (ab + ba)

3 = (a + b 3 )(a + b 3 )

a b
a b
= f(
) f( ).
3b a
3b a
Vậy f l một đẳng cấu.
14. Cho R l vnh giao hoán có đơn vị, I v J l 2 iđêan của R sao cho
I + J = R v I J = {0}. Chứng minh rằng I v J l những vnh giao hoán có đơn vị v R I ì J.
Giải
I v J l những iđêan của vnh giao hoán R nên chúng l những vnh con của R. Đơn vị

1 R = I + J nên tồn tại a I v b J sao cho a + b = 1. Khi đó với mọi x I, ta có ax + bx
= x. Vì b J v x I nên bx I J hay bx = 0. Do đó ax = a hay a l phần tử đơn vị của
I. Tơng tự b l phần tử đơn vị của J. Vì vậy I v J l những vnh giao hoán có đơn vị. Với
mỗi r R, ta có r = ra + rb, trong đó ra I v rb J. Xét ánh xạ


f : R I ì J : r 6 (ra, rb).
f l một đồng cấu vnh. Thật vậy, r, s R,
f(r + s) = ((r + s)a, (r + s)b) = (ra, rb) + (sa, sb) = f(r) + f(s)
f(rs) = (rsa, rsb) = (ra sa, rb sb) = (ra, rb)(sa, sb) = f(r) f(s).

(ra, rb) = (0, 0) ra = rb = 0 r = ra + rb = 0 f l một đơn cấu. Ngoi ra, (x,
y) I ì J, r = x + y R sao cho f(r) = ((x + y)a, (x + y)b) = (xa + ya, xb + yb) = (xa, yb)
= (x, y) (vì ya, xb I J nên ya = xb = 0), nên f l một ton cấu. Vậy f l một đẳng cấu
vnh.
15. Giả sử A l một miền nguyên v nhóm con của nhóm cộng của A l một iđêan của A.

Chứng minh rằng A đẳng cấu với một vnh con của vnh số nguyên Z hoặc A đẳng cấu với
vnh Zp các số nguyên mod p, p l số nguyên tố.
Giải

Lấy a A \ {0}. Nhóm con I của nhóm cộng A sinh bởi a l một iđêan của A. Do đó
với mỗi nhóm x A, tồn tại zx Z sao cho ax = zxa.
* m Z \ {0}, ma 0 : x, y A, zx, zy Z, ax = zxa, ay = zya ; khi đó, x = y ax =
ay zxa = zya (zx zy)a = 0 (zx zy) = 0 zx = zy ; do đó ánh xạ :
f : A Z : x 6 zx
l một đơn ánh. Ngoi ra, do a(x + y) = ax + ay = (zx + zy)a v a(xy) = (ax)y = (zxa)y = zx(ay) =
zx (zya) = (zxzy)a nên f(x + y) = f(x) + f(y), f(xy) = f(x)f(y). Vậy f l một đơn cấu vnh hay A
đẳng cấu với vnh con f(A) của vnh Z.
* m Z \ {0}, ma = 0 : Gọi p l số nguyên dơng nhỏ nhất sao cho pa = 0 . Nếu p =
qr với 1 < q, r < p thì qa.ra = qra2 = pa.a = 0 nên qa = 0 hay ra = 0 (do A l một miền
nguyên). Điều ny dẫn đến mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của p. Vậy p l một số nguyên tố.

x, y A, zx, zy Z, ax = zxa, ay = zya ; khi đó x = y ax = ay zxa = zya (zx zy)a
= 0 p|(zx zy) z x = zy (trong Zp) ; do đó ánh xạ
f : A Zp : x 6 z x
l một đơn ánh. Do z x + z y = zx + z y , zx zy = zx zy nên f l một đơn cấu vnh. Vì f 0 nên f(A) =

Zp hay f còn l một ton cấu. Vậy f l một đẳng cấu vnh.
16. Cho R l vnh giao hoán có đơn vị, A v B l 2 iđêan của R sao cho A + B = R.

Chứng minh rằng A B = AB v có đẳng cấu vnh


R/AB R/A ì R/B.
Giải

Vì AB A v AB B nên AB A B. Do A + B = R nên tồn tại a A v b B sao cho a +
b = 1. Với mọi x A B, x = ax + bx AB hay A B AB. Vậy A B = AB.
Xét ánh xạ
f : R R/A ì R/B : x 6 (x + A, x + B).

x, x R, f(x + x) = (x + x + A, x + x + B) = (x + A, x + B) +
(x + A,x + B) = f(x) + f(x) v f(xx) = (xx + A, xx + B) = ((x + A)(x + A),
(x + B)(x + B)) = (x + A, x + B)(x + A, x + B) = f(x)f(x). Do đó f l một đồng cấu vnh.

(y + A, z + B) R/A ì R/B, x = yb + za (ở đây y = ya + yb v z = za + zb) sao cho x y =
za



ya

=

(z



y)a

A

v

x



z

=

(y



z)b



B,

tức

l

f(x) = (x +A, x + B) = (y + A, z + B). Do đó f l một ton cấu vnh.
x Kerf f(x) = (x + A, x + B) = (A, B) x + A = A v x + B = B x A v x

B x A B = AB. Do đó Kerf = AB. Vậy
R/Kerf Imf hay R/AB R/A ì R/ B.
17. Cho J l một iđêan của vnh R. Chứng minh mỗi iđêan của vnh thơng R/J đều có dạng I/J,
trong đó I l một iđêan của R chứa J v có đẳng cấu vnh

(R/J) / (I/J) R/I.
Giải

Xét phép chiếu chính tắc : R R/J. Giả sử I l một iđêan của R/J. Khi đó I =
1

(I) l một iđêan của R v I = (I) = I/J. Xét phép tơng ứng
f : R/J R/I : x + J 6 x + I.
f l một ánh xạ vì x + J = y + J kéo theo x y J nên x y I hay

x + I = y + I. Rõ rng f l một ton ánh. Ngoi ra,
f ((x + J) + (y + J)) = f (x + y + J) = x + y + I
=(x + I) + (y + I) = f (x + J) + f (y + J),
f ((x + J) (y + J)) = f (xy + I) = xy + I
= (x + I) (y + I) = f (x + J) f (y + J).
Do đó f l một ton cấu.
x + J Kerf f (x + J) = x + I = I x I x + J I/J.
Vậy (R/J) / Kerf Imf hay (R/J) / (I/J) R/I.


18. Chøng minh r»ng nÕu S lμ mét vμnh con vμ I lμ mét i®ªan cña vμnh R th× I lμ mét i®ªan cña S

+ I, S ∩ I lμ mét i®ªan cña S vμ cã ®¼ng cÊu vμnh
(S + I)/I ≅ S/(S ∩ I).
Gi¶i

V× I ⊂ S + I nªn I lμ mét i®ªan cña S + I. S ∩ I lμ mét nhãm con cña nhãm céng S vμ

∀s ∈ S, ∀x ∈ S ∩ I, sx ∈ S (do S lμ mét vμnh con cña R) vμ sx ∈ I (do I lμ mét i®ªan cña R)
nªn sx ∈ S ∩ I. Do ®ã S ∩ I lμ mét i®ªan cña S. XÐt ¸nh x¹
f : S → (S + I)/ I : s 6 s + I.
DÔ dμng cã ®−îc f lμ mét toμn cÊu vμnh vμ Kerf = S ∩ I.
VËy S/ Kerf ≅ Imf hay S / S ∩ I ≅ (S + I)/I.


Chơng V:

BIến cố ngẫu nhiên v xác suất
Tóm tắt lí thuyết

5.1. Biến cố ngẫu nhiên
5.1.1. Phép thử ngẫu nhiên v biến cố ngẫu nhiên
a. Phép thử ngẫu nhiên l sự thực hiện một nhóm các điều kiện xác định (có thể thực
hiện đợc lặp lại vô số lần). Ví dụ : gieo một lần con xúc xắc ; bắn một viên đạn vo mục
tiêu ; gieo một hạt giống,...

b. Biến cố sơ cấp : 1, 2,...n,... mô tả các kết quả của phép thử ngẫu nhiên.
c. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp = {1, 2,...n,... } l không gian các biến cố
sơ cấp tơng ứng với một phép thử.
d. Tập A l biến cố ngẫu nhiên (có thể xảy ra hay không xảy ra trong kết quả
của một phép thử).
e. Phần tử A đợc gọi l một biến số sơ cấp thuận lợi cho biến cố A.
f. Không gian còn gọi l biến cố chắc chắn (sự kiện nhất định xảy ra trong một
phép thử)
g. Tập hợp không chứa bất kì phần tử no của , đợc gọi l biến cố bất khả (sự

kiện không thể xảy ra trong một phép thử).
5.1.2. Các quan hệ v các phép toán

a. Kí hiệu A B nghĩa l nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B cũng xảy ra (biến cố A
kéo theo biến cố B).
d. Hợp của A v B, kí hiệu A B, l một biến cố xảy ra khi v chỉ khi xảy ra hoặc A
hoặc B.
e. Giao của A v B, kí hiệu A B l một biến cố xảy ra khi v chỉ khi xảy ra đồng
thời A v B.
f. Hai biến cố A v B đợc gọi l xung khắc nếu:
A B = .
g. A l biến cố xảy ra khi v chỉ khi A không xảy ra. A đợc gọi l biến cố đối của
biến cố A.
h. Nếu A v B l hai biến cố thì hiệu (A \ B) l hai biến cố xảy ra khi v chỉ khi xảy
ra A nhng không xảy ra B.
5.1.3. Nhóm đầy đủ các biến cố

Các biến cố A1, A2 ,...,An lập thnh một nhóm đầy đủ các biến cố nếu nó thoả mãn hai
điều kiện sau:
a. in=1 Ai = .


b. Ai Aj = ; i j ; i, j = 1, 2,... n.

5.2. Xác suất của biến cố ngẫu nhiên
5.2.1. Định nghĩa xác suất theo quan điểm đồng khả năng

Giả sử không gian biến cố sơ cấp gồm n biến cố sơ cấp đồng khả năng v biến cố
ngẫu nhiên A có m biến cố sơ cấp thuận lợi cho nó. Khi đó, xác suất của biến cố A, P(A)
đợc xác định bởi :

P( A) =

m
.
n

5.2.2. Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

Giả sử không gian biến cố sơ cấp có số đo hữu hạn, mes() < + v biến cố ngẫu
nhiên A . Khi đó xác suất của biến cố A, P(A) đợc xác định bởi P( A) =

5.3. Các tính chất cơ bản của xác suất
a. 0 P(A) 1 ; A .
b. P() = 1.
c. Nếu {Ai, i = 1, 2,...} l một dãy các biến cố sao cho Ai Aj = , i j thì
P (Ui=1 Ai ) =



P(A ) .
i =1

i

d. P( A ) = 1 P(A).
e. P() = 0.
f. Nếu A B thì P(B\A) = P(B) P(A).
g. Nếu A B thì P(A) P(B).

5.4. Các công thức xác suất cơ bản

5.4.1. Công thức cộng
a. Giả sử A v B l hai biến cố bất kì. Khi đó :

P(A B) = P(A) + P(B) P(A B).
b. Giả sử A v B l hai biến cố xung khắc, tức A B = . Khi đó
P(A B) = P(A) + P(B).

mes( A)
.
mes()


5.4.2. Xác suất có điều kiện
Giả sử B l một biến cố ngẫu nhiên có P(B) > 0. Xác suất của biến cố A với điều kiện
biến cố B đã xảy ra l

P( A B ) =

P( A B )
.
P( B )

Tính chất

a. P(AB) 0.
b. P(B) = 1.
c. P(BB) =1.
d. Nếu {Ai} l dãy các biến cố xung khắc nhau đôi một, tức l
(Ai Aj = , i j),
thì

P(U i=1 Ai B ) =



P( A B) .
i =1

i

5.4.3. Công thức nhân

P(A B) = P(B) ì P(A | B) = P(A) ì P(B | A).
5.4.4. Tính độc lập của các biến cố
Hai biến cố ngẫu nhiên A v B đợc gọi l độc lập nếu

P(A B) = P(A) ì P(B).
Tính chất

a. Giả sử P(B) > 0, các biến cố A v B độc lập khi v chỉ khi P(A | B) = P(A).
b. Nếu A v B độc lập thì A v B , A v B, A v B cũng độc lập.
c. Nếu các biến cố A v B1 độc lập, A v B2 độc lập, B1 B2 = thì A v (B1 B2) độc lập.
5.4.5. Công thức xác suất đầy đủ

Giả sử B1, B2,...,Bn l một nhóm đầy đủ các biến cố với P(Bi) > 0 ; i = 1, 2,..., n v biến
cố A xảy ra đồng thời với một trong các Bi. Khi đó ta có :
n

P(A) =

P( B )P( A B )

i =1

i

i

Các xác suất P(Bi) ; i = 1,2,..., n đợc gọi l xác suất tiên nghiệm.
5.4.6. Công thức xác suất Bayes
Với các giả thiết của 5.4.5 ta có


P(BiA) =

P( Bi ) P( A Bi )



n
i =1

P( Bi ) P( A Bi )

Các xác suất P(BiA) ; i = 1,2,...n, đợc gọi l xác suất hậu nghiệm.

5.5. Công thức Bernoulli
5.5.1. Dãy phép thử độc lập Bernoulli

L một dãy n phép thử lặp, độc lập, trong mỗi phép thử chỉ xảy ra một trong hai biến
cố A v A với xác suất p = P(A), q = 1 p = P( A ).
5.5.2. Công thức Bernoulli

Xác suất để biến cố A xảy ra đúng k lần trong n phép thử Bernoulli đợc xác định bởi

Pn(k ; p) = Cnk p k q n k .
Xác suất để biến cố A xuất hiện một số lần giữa k1 v k2 tức k1 k k2. Xác định bởi:
k2

Pn(k1 ; k2 ; p) =

k2

P ( k ; p) = C

k = k1

n

k = k1

k
n

p k (1 p)n k .

5.5.3. Số có khă năng xuất hiện nhiều nhất

Trong một dãy phép thử Bernoulli, số k0 đợc gọi l số có khả năng nhất, nếu
Pn(k0 ; p) = maxPn(k ; p) ; k = 1,2,..., n.
a. Nếu (n + 1)p l số nguyên thì k0 = (n + 1)p v k0 = (n + 1)p 1.
b. Nếu (n + 1)p không phải l số nguyên, thì k0 l số nguyên lớn nhất nhỏ hơn (n + 1)p.

Bi tập v lời giải

1. Hai xạ thủ đợc phép bắn mỗi ngời 1 viên đạn vo bia. Gọi A v B lần lợt l các biến

cố ngời thứ nhất v ngời thứ hai bắn trúng bia. Hãy mô tả các biến cố A B, A B,
A B, A B, ( A B ) ( A B ) .
Giải
Các biến cố lần lợt đợc mô tả nh sau: Có một ngời bắn trúng: Cả hai ngời đều bắn
trúng; Không có ai bắn trúng; Ngời thứ nhất bắn trúng v ngời thứ hai bắn không trúng; Chỉ
có đúng một ngời bắn trúng.
2. Gieo hai con xúc xắc cân đối v đồng chất. Tính P(A), nếu A l biến cố ngẫu nhiên chỉ tổng
số điểm trên hai con xúc xắc chia hết cho 5.
Giải
Không gian các biến cố sơ cấp