Giáo án xác xuất thống kê chương 2 biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 1

2.3.2 Loại liên tục
2
X
∈
N(
µ
,
σ
)
2.3.2.1 Phân phối chuẩn:
ĐLNN X gọi là có phân phối chuẩn nếu
hàm mật độ ppxs có dạng
1
f (x) =
e
σ 2π

(x −µ ) 2
−
2 σ2

trong đó µ, σ là các tham số, σ > 0.
2
X
∈
N(
µ
,
σ
)
Ký hiệu

2


2.3.2.2 Xs của ĐLNN X có phân phối chuẩn
i. Phân phối chuẩn đơn giản: T ∈ N(0,1)
+ Hàm mật độ ppxs của T:
t2
1 −2
f (t) =
e
2π
+ Với T ∈ N(0,1) thì
β

P[α ≤ T ≤ β] = ∫ f (t)dt = ϕ(β) − ϕ( α)
α

ở đây ta sử dụng ham Laplace (bảng B ở
phụ lục).


* Chú ý: Khi sử dụng bảng B, ta chú ý
a. ϕ( − x) = −ϕ(x)
b. với x>5, ϕ(x) ≈ 0,5 . Từ đây, ta có
ϕ( −∞) = −0,5, ϕ( +∞) = 0,5
VD 2.12: Cho T ∈ N(0,1) . Tính
a) P[-0,25b) P[T<1,3]
c) P[T>1,3]

ii. Phân phối chuẩn tổng quát
* Định lý:
X −µ
2
X ∈ N(µ, σ ) ⇒ T =
∈ N(0,1)
σ
* Với X ∈ N(µ, σ ) thì
2

 x2 − µ 
 x1 − µ 
P[x1 ≤ X ≤ x 2 ] = ϕ 
÷− ϕ 
÷
 σ 
 σ 


VD 2.13: Trọng lượng của một loại sản
2
phẩm là X có pp chuẩn, µ = 10kg, σ = 0,25.
Tính tỷ lệ những sản phẩm có trọng lượng từ
9,5 đến 11kg.
VD 2.14: Chiều cao X của trẻ em có pp
chuẩn N(1,3;0,01). Tính xs để trẻ em có chiều
cao trong khoảng (1,2; 1,4).

2.4 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều (vectơ
ngẫu nhiên)
2.4.1 Định nghĩa
Một cặp ĐLNN được xét đồng thời (X,Y)
gọi là vectơ ngẫu nhiên. VTNN chia làm hai
loại:
+ rời rạc nếu X và Y rời rạc
+ liên tục nếu X và Y liên tục
2.4.2 Luật pp của vectơ ngẫu nhiên
2.4.2.1 Loại rời rạc
* Bảng ppxs đồng thời của X và Y


X

Y

x1
x2

y1

y 2 ... y n

PX

p11 p12 ... p1n
p21 p22 ... p2n

p1

p2

M
xm

p m1 p m2 ... p mn

M
pm

PY

q1

1

q 2 ... q n

pij = P[X = x i , Y = y j ], 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
m

n

∑∑ p
i =1 j=1

ij

=1

* Phân phối lề
n
+ của X: pi = P[X = x i ] = ∑ pij , 1 ≤ i ≤ m
j=1
(cộng theo dòng i)
X x1 x 2 ... x m
P X p1 p2 ... p m
m

+ của Y: q j = P[Y = y j ] = ∑ pij , 1 ≤ j ≤ n
i =1
(cộng theo cột j)
Y y1 y 2 ... y n
P

Y

q1

q 2 ...

qn


VD 2.15: Giả sử ppxs đồng thời của X và Y là
Y

1

2

1

0,1

0,06

2

0,3

0,18

3

0,2

0,16

X

Tìm pp của X và Y.


* Phân phối có điều kiện
+ của X với điều kiện Y = y j

X
P

X / yj

x1 x 2 ... x m
p1/ j p2 / j ... p m / j

pi / j = P[X = x i / Y = y j ] =

P[X = x i , Y = y j ]
P[Y = y j ]

+ của Y với điều kiện X = x i

Y
P

Y / xi

y1 y 2 ... y n
q1/ i q 2 / i ... q n / i

, 1≤ i ≤ m


q j/ i = P[Y = y j / X = x i ] =

P[X = x i , Y = y j ]
P[X = x i ]

, 1≤ j≤ n

* Sự độc lập:
X và Y độc lập
⇔ P[X = x i , Y = y j ] = P[X = x i ].P[Y = y j ]
⇔ pij = pi q j , ∀i, j


VD 2.16: Thống kê dân số của một vùng theo
2 chỉ tiêu: giới tính X, học vấn Y, được kết quả:
Y

thất học
0

phổ thông
1

đại học
2

Nam: 0

0,10

0,25

0,16

Nữ: 1

0,15

0,22

0,12

X

a) Lập luật ppxs của học vấn, giới tính.
b) Học vấn có độc lập với giới tính không?
c) Lập luật ppxs học vấn của nữ.


2.4.2.2 Loại liên tục:
* Mật độ pp đồng thời của (X,Y) là f(x,y) với
f (x, y) ≥ 0, ∀x, y

+∞ +∞

f (x, y)dxdy = 1.
∫
∫
và
−∞ −∞

+∞

* Mật độ pp lề f X (x) = ∫ f (x, y)dy
−∞
+ của X:

+∞
+ của Y:

f Y (y) = ∫ f (x, y)dx
−∞


* Mật độ pp có điều kiện
+ của X với điều kiện Y=y:
f (x, y)
f X (x / y) =
f Y (y)
+ của Y với điều kiện X=x:
f (x, y)
f Y (y / x) =
f X (x)
* Sự độc lập
X và Y độc lập ⇔ f (x, y) = f X (x).f Y (y)


VD 2.17: Giả sử hàm mật độ pp đồng thời
của X và Y là
 Ae − ( x + y) với x>0, y>0
f (x, y) = 
trường hợp khác
0
a) Tìm A.
b) Tìm hàm mật độ của X và Y.
c) X và Y có độc lập?
Bài tập: 58, 62 sách Bài tập