Giáo án xác xuất thống kê chương 2 biến ngẫu nhiên và hàm phân phối 2

2.4.3 Hàm của các ĐLNN:
* Trường hợp 1 chiều: Y = ϕ(X)
+ X nhận các giá trị x1 , x 2 ,... ⇒ Y nhận các
giá trị y1 , y 2 ,...
+ Xác suất P[Y = y j ] = ∑ pi
ϕ( xi )= y j

VD 2.18: Cho X có luật phân phối
2
X −1 0 1
P X 0,1 0,2 0,3 0,4
2
Y
=
X
Tìm luật pp của


* Trường hợp 2 chiều: Z = ϕ(X, Y)
+ Tìm giá trị của Z tương ứng với giá trị của
X và Y.
+ Xác suất P[Z = z k ] = ∑ pij
ϕ ( x i ,y j ) = z k

VD 2.19: Cho bảng ppxs đồng thời của X và Y.
Lập luật pp của Z = 2X − Y + 1
X Y

0

1

2

1

0,1

0,3

0,15

2

0,15

0,25

0,05


* Hàm mật độ của một số hàm của ĐLNN hay
dùng (trong thống kê) (giáo trình trang 69).
2.4.4 Các số đặc trưng
* Mốt: Mod[X]
- Với X rời rạc, Mod[X] là giá trị của X
ứng với xác suất lớn nhất (hay còn gọi là giá
trị tin chắc nhất).
- Với X liên tục, Mod[X] là giá trị làm cho
hàm mật độ pp f(x) đạt giá trị lớn nhất.

* Kỳ vọng toán học: M(X)
- Định nghĩa n

nếu X rời rạc
 ∑ x i pi
 i=1
M(X) =  b
 xf (x)dx nếu X liên tục có
∫a
hàm mật độ f(x) xác
định trên [a,b]
VD 2.20: Tính M(X)
2
X −1 0 1
X
0,1 0,2 0,3 0,4
P


- Ý nghĩa: M(X) là giá trị trung bình (về mặt
xác suất) của X.
- Kỳ vọng của hàm một ĐLNN:
Cho ĐLNN X và hàm Y = ϕ(X)
+ Với X rời rạc:
n

M(Y) = M[ϕ(X)] = ∑ ϕ(x i )p i
i =1

+ Với X liên tục có hàm mật độ pp f(x)
+∞

M(Y) = M[ϕ(X)] = ∫ ϕ(x)f (x)dx
−∞


VD 2.21: Cho X có luật pp
0
1
2
X
P

X

1
3

1
6

1
2

3
M(X
)
Tính M(2X+1),

VD 2.22: X có hàm mật độ
1, 0 < x ≤ 1
f (x) = 
0, trường hợp khác
3
Tính M(X )


- Tính chất:
i. M(C)=C, C là hằng số
ii. M(CX)=C.M(X)
iii. M(X+Y)=M(X)+M(Y)
iv. M(XY)=M(X).M(Y) nếu X và Y độc
lập (X và Y độc lập khi X và Y nhận các giá
trị độc lập nhau).


* Phương sai D(X) và độ lệch tiêu chuẩn σ(X)
- Định nghĩa
2
+ Phương sai D(X) = M[X − M(X)]
+ Độ lệch tiêu chuẩn σ(X) = D(X)
Trong thực hành, ta thường dùng công thức
sau để tính phương sai
2
2
D(X) = M(X ) − [M(X)]
VD 2.23: Tính D(X)
2
X −1 0 1

P X 0,1 0,2 0,3 0,4


- Ý nghĩa: D(X) là thông số đo mức độ phân tán
của X quanh kỳ vọng. Trong kỹ thuật, D(X) đặc
trưng cho độ sai số của thiết bị, trong kinh
doanh nó đặc trưng cho độ rủi ro của các quyết
định.
- Tính chất:
i. D(C)=0, C là hằng số
2
D(CX)
=
C
.D(X)
ii.
iii. D(X+Y)=D(X)+D(Y) khi X, Y độc lập.


2.4.5 Đặc trưng số của VTNN
- Kỳ vọng của hàm một VTNN:
Cho VTNN (X,Y) có ppxs đồng thời
P[X = x i , Y = y j ] = pij
Z = ϕ(X, Y)
và hàm
m n
Kỳ vọng
M(Z) = M[ϕ(X, Y)] = ∑∑ ϕ(x i , y j )p ij
i =1 j=1

- Hiệp phương sai
Cov(X, Y) = M[(X − µ1 )(Y − µ 2 )]
với µ1 = M(X), µ 2 = M(Y),
- Hệ số tương quan
Cov(X, Y) M(XY) − M(X)M(Y)
R XY =
=
σ(X).σ(Y)
σ(X).σ(Y)
* Tính chất:
i. | R XY |≤ 1 .
| R XY |= 1 ⇔ X và Y liên hệ tuyến tính.
ii. Nếu X và Y độc lập thì R XY = 0


VD 2.24: X và Y có ppxs đồng thời
X

2

5

8

0,4

0,15

0,3

0,35

0,8

0,05

0,12

0,03

Y

a) Tìm ppxs của X và Y.
b) Tính hệ số tương quan.


2.4.6 Đặc trưng số của một số luật phân phối
* pp siêu bội X ∈ H(N, N A , n)
- Kỳ vọng
NA
M(X) = np, p =
N
- Phương sai
N−n
D(X) = npq
, q =1− p
N −1

* pp nhị thức X ∈ B(n, p)
- Mốt Mod[X]=k với k nguyên không âm thỏa
np − q ≤ k ≤ np − q + 1
- Kỳ vọng M(X)=np
- Phương sai D(X)=npq, q=1-p
VD 2.25: Xác suất bắn trúng bằng 0,7. Bắn
25 phát. Số lần có khả năng bắn trúng nhất là
bao nhiêu?


* pp Poisson X ∈ P(λ )
M(X) = D(X) = λ
* pp chuẩn X ∈ N(µ, σ )
- Mốt Mod[X] = µ
- Kỳ vọng M[X] = µ
2
D[X]
=
σ
- Phương sai:
2

* Bài tập: 68, 74, 80 sách Bài tập.