Giáo án xác xuất thống kê chương 2 biến ngẫu nhiên và hàm phân phối

Chương 2. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối
Biến ngẫu nhiên (hay đại lượng ngẫu nhiên)
(ĐLNN) là các đại lượng ứng với mỗi kết quả
của phép thử cho một số với một xác suất nào đó.
ĐLNN ký hiệu bằng X, Y, Z… Giá trị của nó
ký hiệu bằng x, y, z…
ĐLNN chia làm hai loại: loại rời rạc và loại
liên tục.


2.1 ĐLNN rời rạc
2.1.1 Định nghĩa
Giá trị của nó là tập hữu hạn hoặc đếm được.
VD 2.1: - X là số lần xuất hiện mặt sấp khi gieo
một lần đồng xu. X có thể nhận 2 giá trị là 0, 1.
- X là số chấm ở mặt xuất hiện khi gieo một
lần con xúc xắc. X nhận một trong các giá trị:
1,2,3,4,5,6.
- X là số viên đạn trúng đích khi bắn liên
tiếp 3 viên đạn độc lập vào 1 bia. Giá trị có thể
của X là 0,1,2,3.


Giả sử X là ĐLNN rời rạc. Nó nhận các giá
trị có thể có với xác suất tương ứng là
P[X = x i ] = pi ≥ 0.
n

x1 x 2 ... x n
X
p

=
1
∑
k
P X p1 p2 ... p n
k =1
Bảng trên gọi là luật phân phối của X. Nếu
có bảng trên thì xác suất
P[a ≤ X ≤ b] =

∑

a ≤xi ≤b

pi


VD 2.2: Gieo 1 lần con xúc xắc đều đặn. Gọi
X là số chấm ở mặt xuất hiện. Tìm phân phối
xác suất của X. Tính P[1≤X≤3].
VD 2.3: Ba xạ thủ độc lập bắn vào 1 bia (mỗi
người bắn 1 viên). Xác suất để các xạ thủ bắn
trúng là 0,8; 0,7; 0,6. Gọi X là số viên đạn
trúng bia.
a/ Lập luật phân phối của X.
b/ Tính P[2≤X≤5].


2.1.2 Hàm phân phối xác suất
Hàm phân phối xác suất của ĐLNN rời rạc X,

ký hiệu FX (x) , được định nghĩa
FX (x) =

∑ pj

x j
VD 2.4: xét lại VD 2.3, tìm hàm phân phối
của X.
Tính chất: giáo trình trang 39.


VD 2.5: Một người có 3 viên đạn. Xác suất bắn
trúng mục tiêu là 0,6. Người này bắn đến khi
hoặc hết đạn hoặc trúng mục tiêu mới thôi.
Gọi X là số viên đạn sẽ bắn.
a/ Tìm luật phân phối của X.
b/ Tìm hàm phân phối xác suất của X.
c/ Tính P[1≤X<4].


2.2 ĐLNN liên tục
2.2.1 Định nghĩa
Giá trị của X lấp đầy khoảng (a;b) nào đó.
VD 2.6: Nếu quan sát nhiệt độ X tại một thời
điểm trong ngày thì ta có ĐLNN liên tục.
Thay cho việc liệt kê các giá trị x1 , x 2 ,..., x n ,
ta chỉ ra đoạn (a,b) mà X nhận giá trị ở đoạn đó.
Còn thay cho các xác suất p1 ,p2 ,..., p n , ta đưa ra
b

hàm f(x) với
f (x) ≥ 0, ∫ f (x)dx = 1
a


Hàm f(x) được gọi là hàm mật độ phân phối
xác suất.
2.2.2 Hàm phân phối xác suất
Hàm phân phối xác suất của ĐLNN liên tục
X có hàm mật độ phân phối xác suất f(x) được
x
định nghĩa
FX (x) = ∫ f (x)dx
−∞

2.2.3 Một số tính chất cơ bản
i. FX (x) liên tục và
f (x) = FX′ (x), ∀x ∈ ¡


+∞

ii. ∫ f (x)dx = 1
−∞

iii. P[a ≤ X ≤ b] = P[a < X ≤ b]
b

= P[a ≤ X < b] = P[a < X < b] = ∫ f (x)dx
a

VD 2.7: ĐLNN liên tục X có hàm phân phối
xác suất
x≤0
0,
 2
FX (x) = ax , x ∈ (0,3)
1,
x≥3

Tìm a và hàm mật độ f(x) của X.


VD 2.8: ĐLNN liên tục X có hàm mật độ phân
phối xác suất
x≤0
0,
 x,
0 < x ≤1

f (x) = 
2
−
x,
1
<
x
≤
2


0,
2a) Viết hàm phân phối xác suất của X.
b) Tính P[X < 1 ]
2


2.3 Một số luật phân phối
2.3.1 Loại rời rạc
2.3.1.1 Phân phối siêu bội X ∈ H(N, N A , n)
* Mô hình bài toán: Cho tập hợp gồm N
phần tử, trong đó có N A phần tử có tính chất
A. Lấy ngẫu nhiên n phần tử (không hoàn lại).
Gọi X là số phần tử có tính chất A trong n
phần tử lấy ra. Lập luật phân phối của X.


* Định nghĩa: Ta nói X có phân phối siêu
bội với xs tương ứng
C kN A C nN−−kN A
P[X = k] =
, k = 0,1,..., n
n
CN
VD 2.9: Từ nhóm 9 nhà bác học, trong đó
có 5 nhà vật lý và 4 nhà toán học, chọn ngẫu
nhiên 3 nhà bác học để thành lập hội đồng.
Tính xs để trong 3 nhà bác học này có đúng 1
nhà toán học.

2.3.1.2 Phân phối nhị thức: X ∈ B(n;p)
* Dãy phép thử Bernoulli
Là dãy n phép thử thỏa 3 điều kiện
+ các phép thử độc lập với nhau.
+ trong mỗi phép thử, ta chỉ quan tâm đến
bc A nào đó. Nếu A xảy ra thì phép thử gọi là
thắng lợi, ngược lại phép thử gọi là thất bại.
+ xs xuất hiện A trong mỗi phép thử là như
nhau P(A) = p và P(A) = 1 − p .


VD 2.10: Gieo 10 lần một con xúc xắc và xem
mặt 6 có xuất hiện không?
Ở đây n=10, A=“xuất hiện mặt 6 chấm”.
1
5
p = P(A) = , q = .
6
6
* Mô hình phân phối nhị thức: Giả sử X là số
lần xuất hiện bc thắng lợi A trong dãy n phép
thử Bernoulli, với P(A)=p. Hãy tìm luật phân
phối của X.


* Định nghĩa: Ta nói X có phân phối nhị thức
với xs tương ứng
k k n−k
P[X = k] = C n p q , k = 0,1,..., n

VD 2.11: Một nhà máy sản xuất tự động
với tỷ lệ phế phẩm là 3%. Lấy liên tiếp 10 sản
phẩm (có hoàn lại) để kiểm tra. Tính xs để
trong số đó
a) có 2 phế phẩm.
b) có không quá 2 phế phẩm.


2.3.1.3 Phân phối Poisson: X ∈ P(λ )
Cho ĐLNN rời rạc X. Ta nói X có phân
phối Poisson với tham số λ , nếu X nhận các
giá trị 0, 1, 2,… với xs tương ứng
−λ k
e λ
P[X = k] =
, k = 0,1,2,...
k!
Bài tập: 49, 57 sách Bài tập