LÝ THUYẾT MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀ LÝ THUYẾT GALOIS

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008


291
LÝ THUYẾT MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀ
LÝ THUYẾT GALOIS
FIELD EXTENSION THEORY AND GALOIS THEORY

SVTH: VÕ THỊ KHÁNH XUÂN
Lớp : 05TT, Trường Đại học Sư Phạm
GVHD: THS. NGUYỄN VIẾT ĐỨC
Khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm

TÓM TẮT
Mục đích của đề tài này là chứng minh tồn tại đa thức bậc 5 không giải được bằng căn thức,
không tồn tại công thức chung nào cho việc tìm nghiệm của phương trình bậc 5 từ các hệ số
của nó thông qua hữu hạn các bước cộng, trừ, nhân, chia và khai căn các hệ số của nó.
ABSTRACT
The aim of this topic is showing the existence of quintic polynomial which is not solvable by
radicals. So, there cannot exist any general formula for obtaining the roots of a quintic
polynomial from its coefficients in a finite number of steps involving only addition, subtraction,
multiplication, division and the extraction of
n
th roots.

1. Tự đẳng cấu trường.
Định nghĩa 1. Cho E là một mở rộng của trường K. Một tự đẳng cấu T của E thoả Ta = a
aK
được gọi là một K- tự đẳng cấu của E.
Định lí 1. Nếu E là một mở rộng của trường K thì các K- tự đẳng cấu của trường E tạo thành
một nhóm, kí hiệu: Aut

K
(E) và là nhóm con của Aut(E).
Định lí 2. Cho E là một trường, H là tập hợp những tự đẳng cấu của E (H

Aut(E)). Khi đó,
K
H
=
 
/a E Ta a T H   
là trường con của trường E và H là tập các K
H
- tự đẳng cấu
của E.

2. Nhóm Galois và các tính chất của nhóm Galois.
Định nghĩa 2( Hai phần tử liên hiệp). Hai phần tử u và v thuộc một mở rộng F của K được
gọi là liên hiệp trên K nếu chúng cùng là nghiệm của cùng một đa thức bất khả quy thuộc
 
Kx
.
Định lí 3. Cho F là một mở rộng hữu hạn của K. Khi đó, mọi T là K- tự đẳng cấu của F và
mọi u

F thì: T(u) và u liên hiệp trên K.
Định nghĩa 3( Nhóm Galois của một đa thức). Cho một trường K, một đa thức 0

f
 
Kx

có bậc n và N = K(u
1
,…., u
n
) là trường nghiệm của f, nhóm Aut
K
(N) được gọi là
nhóm Galois của đa thức f ( nhóm Galois của N trên K)
Ví dụ: cho đa thức x
4
– 5x
2
+ 6

 
x

Ta có: f(x) = (x
2
– 2 )(x
2
– 3) có 4 nghiệm là
2
, -
2
,
3
, -
3
.

N =
 
2, 3
là trường nghiệm của f trên

, là mở rộng bậc 4 của

sinh bởi
2
và
3
.
Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008


292
Trên
( 3)
thì N là mở rộng bậc 2 sinh bởi một trong 2 nghiệm
2
của đa thức
x
2
– 2

 
x
.
Ta có :


T
1


 
3
()Aut N

biến
2
thành -
2
;

u

N, thì u = a + b
2
+c
3
+ d
2
3
; (a,b,c,d


)
Nên T
1
(u) = a – b

2
+c
3
– d
2
3

Tương tự, trên
( 2)
thì N là mở rộng bậc 2 sinh bởi một trong 2 nghiệm
3
của đa thức
x
2
– 3

 
x
. Nên

T
2


 
2
()Aut N

biến
3

thành -
3
;
Và T
2
(u) = a + b
2
– c
3
– d
2
3
;
Tích T
3
= T
1
.T
2
cũng là một

- tự đẳng cấu của N
Và T
3
(u) = a – b
2
– c
3
+ d
2

3

Ngoài ra ta còn có tự đẳng cấu đồng nhất T
4
sao cho:
T
4
(u) = a + b
2
+c
3
+ d
2
3
;
Như vậy ta có 4 phần tử của nhóm
()Aut N

như sau:
T
1
:
22
33








; T
2
:
22
33







; T
3
:
22
33







; T
4
:
22
33









Theo định lí 3, với mọi phần tử T

()Aut N

, thì T chuyển
2
thành
2
hoặc -
2
, và
chuyển
3
thành
3
hoặc -
3
. Cho nên, T sẽ trùng với một trong 4 phần tử T
1
, T
2
, T

3
, T
4

trên. Như vậy,
()Aut N

=
 
1 2 3 4
, , ,T T T T
cũng chính là nhóm Galois của f trên K.
Định lí 4. Cho K là một trường, và 0

f
 
Kx
có bậc n

1, có k nghiệm phân biệt
1
,....,
k
uu
trong một trường nghiệm N = K(u
1
,…., u
n
).
G = Aut

K
(N) là nhóm Galois của f. Khi đó, mỗi T

G xác định một hoán vị

của tập hợp
 
1
,....,
k
uu
sao cho
i
i
Tu u


,
( 1, )ik
và ngược lại, tự đẳng cấu T được hoàn toàn xác
định bởi hoán vị

này.
Hệ quả. Nhóm Galois G của mọi đa thức 0

f
 
Kx
có bậc n


1 đẳng cấu với nhóm con
của nhóm các hoán vị của tập hợp các nghiệm phân biệt của f.

3. Định lí cơ bản của thuyết Galois - Sự tương ứng giữa nhóm con và trường con.
Định lí 5. Cho K là một trường, f
 
Kx
là đa thức tách được trên K và G = Aut
K
(N) (N là
trường nghiệm của f trên K) thì tồn tại một song ánh H

F, từ các nhóm con H của G đến
các trường con F của N chứa K. Trường con F= F(H) gồm tất cả các phần tử của N được giữ
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 2(25).2008


293
cố định bởi mọi tự đẳng cấu thuộc H, nhóm con H = H(F) gồm tất cả các tự đẳng cấu trong G
cố định mỗi phần tử của F và H(F) là nhóm Galois của N trên F có cấp là bậc
 
:NF
.
Định lí 6. Một trường trung gian F ( K

F

N) là một trường chuẩn tắc trên K nếu và chỉ
nếu H(F) là nhóm con chuẩn tắc của nhóm Galois của N. Nếu F chuẩn tắc thì :
Aut

K
(F)

G / H(F).

4. Tính không giải được của phương trình có bậc lớn hơn 4.
Định nghĩa 4(Dãy chuẩn tắc). Cho G là một nhóm nhân. Dãy chuẩn tắc của G là dãy hữu hạn
các nhóm con phân biệt
1 = G
0


G
1


….

G
n
= G
Trong đó, G
i
là nhóm con chuẩn tắc của G
i+1

0, 1in  
và các nhóm thương G
i+1
/ G

i

0, 1in  
được gọi là các thành phần của dãy chuẩn tắc.
Định nghĩa 5(Nhóm giải được). Một nhóm G được gọi là giải được nếu tồn tại dãy chuẩn tắc
1 = G
0


G
1


….

G
n
= G sao cho G
i+1
/ G
i
là nhóm abel
0, 1in  
.
Định nghĩa 6(Nhóm đối xứng S
n
). Nhóm đối xứng S
n
là nhóm các phép hoán vị của tập gồm
n phần tử


=
 
1,....,n
, có cấp là n!. Mỗi phần tử của S
n
được gọi là một phép thế.
Định lí 7. Nhóm đối xứng S
n
với n

5 không giải được.
Định nghĩa 7(Đa thức giải được bằng căn thức). Một đa thức f
 
Kx
được gọi là giải
được bằng căn thức trên K nếu các nghiệm của phương trình đều thuộc vào một mở rộng căn
E của K.
Định lí 8. Nếu đa thức f giải được bằng căn thức trên trường K có đặc số 0 thì nhóm Galois
của f là nhóm giải được.
Cho K là một trường và
1
,....,
n
tt
là các phần tử độc lập đại số trên K. Xét
E = K(
1
,....,
n

tt
) =
 
1
1
1
( ,...., )
/ , ,...., , 0
( ,...., )
n
n
n
P t t
P Q K t t Q
Q t t





Mỗi


S
n
xác định một K- tự đẳng cấu của E định bởi

11
11
( ,...., ) ( ( ),...., ( ))

( ,...., ) ( ( ),...., ( ))
nn
nn
P t t P t t
Q t t Q t t




Tương ứng trên là một đơn cấu từ S
n
vào Aut
K
(E). Nên ta xem như S
n
là một nhóm con của
Aut
K
(E). Kí hiệu M là trường con của E được giữ cố định bởi S
n
. Như vậy, M chứa các đa thức
đối xứng cơ bản s
1
,….,s
n

s
1
= t
1

+….+t
n
; s
2
=
1
ij
i j n
tt
  

;…………; s
n
= t
1
….t
n
;
Từ lập luận trên ta có được kết quả là định lí sau
Định lí 9. M = K(
1
,....,
n
ss
)
Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008


294
Mệnh đề. s

1
,…,s
n
được nói đến trong định lí 1trên là độc lập đại số trên K.
Định nghĩa 8(Đa thức tổng quát). Cho K là trường và s
1
,….,s
n
là các phần tử độc lập đại số
trên K. Đa thức
g = t
n
– s
1
t
n-1
+….+(- 1)
n
s
n



 
1
( ,..., )
n
K s s t

gọi là đa thức tổng quát bậc n trên K.

Từ định lí 9 ta chứng minh được định lí sau:
Định lí 10. Cho K là trường và g là đa thức tổng quát bậc n trên K. Gọi N là trường nghiệm
của g trên K(s
1
,….,s
n
). Khi đó, các nghiệm t
1
,…,t
n
của g độc lập đại số trên K và nhóm Galois
của N trên K(s
1
,….,s
n
) là S
n


5. Kết luận.
Như vậy, theo định lí 10 trên thì tồn tại đa thức f bậc 5 với hệ số thực có nhóm Galois là nhóm
đối xứng S
5
. Mà nhóm đối xứng S
n
(n

5) thì không giải được ( theo định lí 7) nên nhóm
Galois của f không giải được ( theo định lí 8). Do đó, ta có định lí sau
Định lí 11. Có một đa thức bậc 5 với hệ số thực không giải được bằng căn thức. Không những

vậy, cũng tồn tại đa thức bậc k lớn hơn 5 không giải được bằng căn thức.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Chánh Tú (2006), Mở rộng trường và lý thuyết Galois, NXB Giáo Dục.
[2] Lê Thanh Hà (1996), Giáo trình Các trường số đại số và lý thuyết Galois, Đại học Huế,
trung tâm đào tạo từ xa.
[3] Hoàng Xuân Sính(1998), Đại số đại cương, NXB Giáo Dục.
[4] Nguyễn Viết Đức, Thái Xuân Tiên, Đặng Ngọc Dục(1997), Đại số tuyến tính.
[5] D. R. Wilkins, Galois Theory.