Bài giảng tóm tắt đại số tuyến tính phạm thế hiển

BÀI GIẢNG TÓM TẮT

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

PHẠM THẾ HIỂN


Mục Lục

Trang phụ bìa
Trang
Mục Lục..........................................................................................................................1
Chương I
Tập hợp – Ánh xạ - Cấu trúc đại số...............................................3
I.1 Mệnh đề - Tập hợp – Ánh xạ ....................................................................................3
I.1.1 Mệnh đề ............................................................................................................3
I.1.2 Tập hợp - Một số tập hợp thường gặp ..............................................................7
I.1.3 Ánh xạ............................................................................................................. 13
I.2 Cấu trúc đại số......................................................................................................... 16
I.2.1 Luật hợp thành trong cấu trúc đại số .............................................................. 16
I.2.2 Cấu trúc nhóm, vành, trường.......................................................................... 16
I.2.3 Số phức ........................................................................................................... 18
I.3 Đa thức – Phân thức – Phân thức hữu tỷ ................................................................ 21
I.3.1 Đa thức............................................................................................................ 21
I.3.2 Phân thức – Phân thức hữu tỷ......................................................................... 22
Bài tập........................................................................................................................... 24
Chương II
Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính ...................... …27
II.1 Ma trận ................................................................................................................... 27
II.1.1 Các khái niệm................................................................................................ 27
II.1.2 Các phép toán trên ma trận............................................................................ 30

II.2 Định thức ............................................................................................................... 32
II.2.1 Khái niệm về định thức ................................................................................. 32
II.2.2 Các tính chất cơ bản của định thức ............................................................... 34
II.2.3 Ma trận nghịch đảo........................................................................................ 37
II.3 Hệ phương trình tuyến tính.................................................................................... 39
II.3.1 Các khái niệm................................................................................................ 39
II.3.2 Hệ phương trình Cramer ............................................................................... 40
II.3.3 Hạng của ma trận........................................................................................... 41
II.3.4 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính............................................... 43
Bài tập........................................................................................................................... 46
Chương III
Không gian vector – Ánh xạ tuyến tính...................................... …55
III.1 Không gian vector ................................................................................................ 55
III.1.1 Khái niệm – Tính chất.................................................................................. 55
III.1.2 Phụ thuộc tuyến tính - Độc lập tuyến tính ................................................... 56
III.1.3 Cơ sở - Chuyển cơ sở - Không gian vector hữu hạn chiều.......................... 58
III.1.4 Không gian con ............................................................................................ 63
III.2 Không gian Euclide .............................................................................................. 64
III.2.1 Khái niệm..................................................................................................... 64
III.2.2 Các bất đẳng thức cơ bản............................................................................. 65
III.2.3 Cơ sở trực chuẩn - Trực chuẩn hóa.............................................................. 65
1


III.3 Ánh xạ tuyến tính ................................................................................................. 66
III.3.1 Khái niệm về ánh xạ tuyến tính ................................................................... 66
III.3.2 Ánh xạ tuyến tính và ma trận....................................................................... 67
Bài tập........................................................................................................................... 69
Chương IV
Trị riêng và vector riêng - Dạng toàn phương........................ …72

IV.1 Trị riêng – Vector riêng........................................................................................ 72
IV.1.1 Khái niệm và tính chất................................................................................. 72
IV.1.2 Đa thức và phương trình đặc trưng.............................................................. 72
IV.1.3 Cách tìm trị riêng và vector riêng ................................................................ 72
IV.2 Dạng toàn phương ................................................................................................ 74
IV.2.1 Khái niệm về dạng song tuyến, dạng toàn phương ..................................... 74
IV.2.2 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc ................................................... 75
IV.2.3 Các dạng xác định........................................................................................ 78
Bài tập........................................................................................................................... 93
Tài Liệu Tham Khảo .................................................................................................... 96

2


Chương I

Tập hợp – Ánh xạ – Cấu trúc đại số

I.1 Mệnh đề – Tập hợp – Ánh xạ
I.1.1 Mệnh đề
1. Khái niệm
Mệnh đề (toán học) là một phát biểu mà ta có thể khẳng định là đúng hoặc sai, sai
hay đúng được gọi là chân trị của mệnh đề.
Thông thường người ta hay dùng ký hiệu số 1 (hay ký tự Đ) cho giá trị đúng và ký
hiệu số 0 (hay ký tự S) cho giá trị sai.
Ký hiệu p, q, r, … là các mệnh đề toán học.
Ví dụ:
i. p = “ phương trình x2 + 1 = 0 luôn luôn có nghiệm với mọi x thuộc R ” là một
mệnh đề sai.
ii. q = “ số 6 là số vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 3 ” là một mệnh đề đúng.

iii. Cậu làm bài tập về nhà chưa! Không phải là một mệnh đề. Vì có thể là cậu đó
đã làm bài tập rồi nhưng cũng có thể là chưa hoặc là đang làm. Bản thân nó là một câu
hỏi.
2. Các phép toán
a. Phép tuyển (hay phép hoặc): tuyển của hai mệnh đề p và q là một mệnh đề toán
học và nhận giá trị sai nếu p và q đều sai; còn đúng trong các trường hợp còn lại. Ký
hiệu là p ∨ q (đọc là p hoặc q).
Bảng chân trị (chân lý) của phép tuyển được cho ở bảng 1.1.
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∨q
0
1
1
1

Bảng 1.1: Bảng chân trị của phép tuyển.
Ví dụ:
a) Cho p = “ x = 2 là nghiệm của phương trình x2 + 2x – 3 = 0 ” và q = “ x = 2 là
nghiệm của phương trình x2 – 4 = 0 ”. Khi đó mệnh đề tuyển p ∨ q = “ x = 2 là nghiệm

của phương trình x2 + 2x – 3 = 0 hoặc là nghiệm của phương trình x2 – 4 = 0 ” là một
mệnh đề nhận giá trị đúng.

3


2
không phải là một số hữu tỷ ” và q = “ 2 là một số nguyên
3
2
không âm ”. Khi đó mệnh đề tuyển p ∨ q = “ không phải là một số hữu tỷ hoặc 2
3

b) Cho p = “

là một số nguyên không âm ” là một mệnh đề sai.
b. Phép hội (hay phép và): hội của hai mệnh đề p và q là một mệnh đề toán học và
nhận giá trị đúng khi cả p và q đều đúng; còn nhận giá trị sai trong tất cả các trường
hợp còn lại. Ký hiệu là p ∧ q (đọc là p và q).
Bảng chân trị của phép hội được cho ở bảng 1.2.
p
0
0
1
1

q
0
1
0

1

p∧q
0
0
0
1

Bảng 1.2 : Bảng chân trị của phép hội.
Ví dụ:
a) Cho p = “ Số 6 là số chia hết cho 2 ” và q = “ Số 6 là số chia hết cho 3 ”. Khi đó
mệnh đề hội p ∧ q = “ Số 6 là số chia hết cho 2 và 3” là một mệnh đề nhận giá trị
đúng.
b) Cho p = “ 2 và 3 là số nguyên tố ” và q = “ 6 là số nguyên tố ”. Khi đó mệnh đề
hội p ∧ q = “ 2, 3 và 6 là số nguyên tố” là một mệnh đề sai.
c. Phép kéo theo (hay phép nếu …thì …): ứng với giả thiết p nào đó ta suy ra kết
luận q của giả thiết đó. Sự suy này nhận giá trị sai khi p đúng và q sai; còn đúng trong
các trường hợp còn lại. Ký hiệu là p ⇒ q (đọc là p suy ra q). Khi đó ta cũng nói p là
điều kiện đủ của q và q là điều kiện cần của p.
Bảng chân trị của phép kéo theo được cho ở bảng 1.3.
p
0
0
1
1

q
0
1
0

1

p⇒q
1
1
0
1

Bảng 1.3 : Bảng chân trị của phép kéo theo.

4


Ví dụ:
a) Cho p = “ Phương trình x2 + 5x + 6 = 0 có nghiệm ” và q = “ Nghiệm của
phương trình x2 + 5x + 6 = 0 là các số nguyên ”. Khi đó mệnh đề kéo théo p ⇒ q = “
Nếu phương trình x2 + 5x + 6 = 0 có nghiệm thì nghiệm của nó là các số nguyên ” là
mệnh đề đúng.
b) Cho p = “ 10 chia hết cho 2 và 5 ” và q = “ 10 chia hết cho 3 ”. Khi đó mệnh đề
kéo theo p ⇒ q = “ Nếu 10 chia hết cho 2 và 5 thì 10 chia hết cho 3 ” là mệnh đề sai.
d. Phép tương đương (hay khi và chỉ khi, nếu và chỉ nếu, điều kiện cần và đủ) :
hai mệnh đề p và q gọi là tương đương với nhau nếu p và q đồng thời có cùng một giá
trị chân lý; nghĩa là p và q cùng đúng hoặc cùng sai, trong những điều kiện hoàn toàn
như nhau. Ký hiệu là p ⇔ q (đọc là p đúng (sai) khi và chỉ khi q đúng (sai)); “⇔” gọi
là dấu liên hệ tương đương. Khi đó ta cũng nói p là điều kiện cần và đủ của q.
Bảng chân trị của phép tương đương được cho ở bảng 1.4.
p
0
0
1

1

q
0
1
0
1

p⇔q
1
0
0
1

Bảng 1.4 : Bảng chân trị của phép tương đương.
Ví dụ : Cho p = “ Tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau hoặc có ba góc bằng nhau ”
và q = “ Tam giác ABC là tam giác đều ”. Khi đó mệnh đề tương đương p ⇔ q = “ Tam
giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi có ba cạnh bằng nhau hoặc có ba góc bằng
nhau ”.
Dễ thấy, mối quan hệ tương đương p ⇔ q chẳng qua là (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ((p kéo
theo q) và (q kéo theo p)). Nói cách khác, hai mệnh đề p và q tương đương nhau khi và
chỉ khi mệnh đề này kéo theo mệnh đề kia và ngược lại. Trong trường hợp này, hai
phát biểu p ⇒ q và q ⇒ p gọi là đảo đề của nhau.
Để chứng minh mối quan hệ tương đương p ⇔ q, ta phải chứng minh mối quan hệ
kéo theo p ⇒ q và q ⇒ p.
Chú ý: (p ⇔ q) ⇔ (q ⇔ p).
Trong ngôn ngữ tự nhiên, để diễn đạt mối liên hệ tương đương giữa p và q, người
ta có nhiều cách nói p đúng khi và chỉ khi q đúng; để cho p đúng, điều kiện cần và đủ
là q đúng; điều kiện để p đúng là q đúng; p đúng là một điều kiện cần và đủ để q đúng;
p tương đương q.

Nhận xét : Chứng minh bằng các quan hệ tương đương không phải lúc nào cũng
đơn giản, nhiều khi cần phải chứng minh riêng lẻ từng đảo đề tương ứng.
e. Phép phủ định : mệnh đề p đúng thì sự phủ nhận của mệnh đề p lại là sai và
ngược lại. Ký hiệu là p (⎤ p).
5


Bảng chân trị của phép phủ định được cho ở bảng 1.5.
p
0
1

p

1
0

Bảng 1.5 : Bảng chân trị của phép phủ định.
Ví dụ : Cho p = “ Phương trình x2 + x – 2 = 0 có nghiệm ”. Khi đó mệnh đề phủ
định của mệnh đề p là p = “ Phương trình x2 + x – 2 = 0 không có nghiệm ”.
3. Lượng từ
Cho p(x) là một phát biểu thoả tính chất với mỗi x cụ thể thuộc tập X nào đó, phát
biểu p(x) là đúng hoặc sai (tức là phát biểu p(x) là một mệnh đề toán học).
a. Để diễn tả mệnh đề với mọi x thuộc tập X nào đó có tính chất p(x) ta có viết
∀x ∈ X : p(x).
b. Để diễn tả mệnh đề tồn tại x thuộc tập X nào đó có tính chất p(x) ta có viết
∃x ∈ X : p(x).
Ví du :
a) ∀x ∈ R : x2 + 5x + 7 > 0;
b) ∃x ∈ R : x2 + 5x – 6 = 0;

4. Tính chất
i. p = p ;

ii. p ∨ p ≡ 1 (Đồng nhất đúng);
iv. ( p ∨ q ) ⇔ ( p ∧ q ) ;

iii. p ∧ p ≡ 0 (Đồng nhất sai);

( p ∧ q) ⇔ ( p ∨ q) ;
vii. ( p ⇒ q ) ⇔ ( p ∧ q ) ;
ix. ( ∀x ∈ X : p( x ) ) ⇔ ( ∃x ∈ X : p( x ) ) ;
v.

vi.

( p ⇒ q) ⇔ ( p ∨ q) ⇔ ( q ⇒ p) ;

viii. ( p ⇔ q ) ⇔ ( p ⇔ q ) ;
x.

( ∃x ∈ X : p( x)) ⇔ (∀x ∈ X : p( x)) ;

Chứng minh : Ở đây chỉ chứng minh minh họa tính chất iv.,vi. bằng bảng chân trị.
Việc chứng minh các tính chất còn lại xem như bài tập.
iv.
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∨q

p∨q

p

q

p∧q

0
1
1
1

1
0
0
0

1
1
0

0

1
0
1
0

1
0
0
0

Từ bảng chân trị ta có điều phải chứng minh.

6


vi.
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p

q

p⇒q

p∨q

p⇒q

1
1
0
0

1
0
1
0

1
1
0
1

1
1
0
1

1
1
0
1

Từ bảng chân trị ta có điều phải chứng minh.
Chú ý : Nếu có n mệnh đề thì có 2n giá trị cho bảng chân trị.
Ví dụ :

( x + 1)
a) Ta có ∀n ∈ N , n ≥ 2, ∀x ∈ R \ {1} , ( x + 1) = ( x − 1) ⇔
= 1;
n
( x − 1)
n

n

n

b) Mối quan hệ “tương đương” ∀x, y ∈ R (x = y ⇔ x2 = y2) (bình phương lên) là
sai vì thí dụ 22 = ( - 2)2 không kéo theo 2 = - 2;
c) Mối quan hệ tương đương sau là đúng :
2
∀x ∈ [ −1, +∞ ) , x − 1 ≥ x + 1 ⇔ ( x − 1) ≥ x + 1 ∧ x − 1 ≥ 0 (bình phương lên);

(

)

Khi bình phương lên ta mất thông tin “ x – 1 lớn hơn hoặc bằng căn bậc hai ” nên
nó không âm. Vậy để đạt được tương đương, ở mệnh đề sau ta phải bổ sung x – 1 ≥ 0.
I.1.2 Tập hợp - Một số tập hợp thường gặp
1. Khái niệm
a. Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, nó không được định nghĩa mà
được hiểu một cách trực quan như là sự tụ tập của nhiều đối tượng có chung tính chất
nào đó hoặc có thể liệt kê ra.
Các đối tượng tạo nên một tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp.
Các tập hợp được ký hiệu bằng những chữ hoa A, B, …; còn các phần tử của tập
hợp thường ký hiệu bằng các chữ thường a, b, … hoặc bằng những chữ số.
Ta thường dùng các chữ sau để ký hiệu các tập hợp số
+ N : tập hợp số tự nhiên; N* = N \{0}
+ Z : tập hợp các số nguyên; Z+ : tập hợp các số nguyên không âm; Z - : tập các số
nguyên không dương.
+ Q : tập hợp các số hữu tỷ
+ R : tập hợp các số thực; R* = R \ {0}; R+: tập hợp các số không âm; R*+ = R+ \ {0};
R -: tập hợp các số không dương; R*- = R - \ {0}
+ C : tập hợp các số phức
Ví dụ:
a) Tập hợp các điểm trên đường thẳng thực.
b) Tập hợp mái ngói của một ngôi nhà (Mỗi viên ngói là một phần tử của tập hợp
này).

7


c) Tập hợp các hình trong một mặt phẳng (Mỗi hình trong một mặt phẳng là một
phần tử của tập hợp).
b. Ta ký hiệu x ∈ A để chỉ x là phần tử của tập hợp A và x ∉ A để chỉ x không là
phần tử của tập hợp A.

Có hai cách để cho một tập hợp
+ Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp.
Ví dụ: A = {a, b, c, d}. Tập hợp A có bốn phần tử a, b, c, d. Ta có a ∈ A, e ∉ A.
+ Nêu ra tính chất chung của tất cả các phần tử của tập hợp.
Ví dụ: A = {x ∈ R : - 4x2 + 3x + 1 > 0}. Tập hợp các nghiệm của bất phương trình
là S = {(-1/4; 1)}.
c. Cho hai tập hợp A, B. Nếu với mọi phần tử thuộc A đều thuộc B (∀ a ∈ A ⇒ a
∈ B) thì ta nói A là một bộ phận của B hay A là một tập hợp con của tập hợp B (hay A
bao hàm trong B). Ký hiệu A ⊂ B.
Dĩ nhiên A ⊂ A.
Nếu A ⊂ B và A ≠ B thì ta nói A là một bộ phận thực sự của B.
Nếu A ⊂ B và B ⊂ A ta nói (mọi phần tử thuộc A đều thuộc B và ngược lại mọi
phần tử thuộc B đều thuộc A) A và B bằng nhau, ký hiệu A = B.
Tập rỗng luôn được coi là tập con của mọi tập hợp bất kỳ, ký hiệu ∅, là tập hợp
không có phần tử nào.
d. Để cho dễ hình dung về tập hợp người ta thường dùng cách biểu diễn hình học
(Gọi là biểu đồ Ven) bằng hình phẳng giới hạn bởi một đường cong kín để minh họa
tập hợp; mỗi điểm trong hình phẳng chỉ một phần tử của tập hợp đó (Hình 1.1)
.a
A
Hình 1.1
2. Các phép toán trên tập hợp:
Cho hai tập hợp A và B. Khi đó
a. Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A hoặc
thuộc B (hay thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B) được ký hiệu là A ∪ B (đọc
là A hợp B) (Hình 1.2). Vậy A ∪ B = {x : x ∈ A hoặc x ∈ B}.
A∪B
A

B

Hình 1.2
8


Ví dụ: Cho A = {a, b, c} và B = {b, c, e}.
Ta có A ∪ B = {a, b, c, e}.
Tương tự ta cũng có thể định nghĩa hợp của nhiều tập hợp. Giả sử A1, A2, …, An
là các tập hợp. Hợp của các tập hợp nói trên được viết như sau
n

A1 ∪ A 2 ∪… ∪ A n = ∪ A i .
i =1

Từ định nghĩa trên ta thấy phép hợp các tập hợp có các tính chất sau
i. A ∪ ∅ = A
ii. A ∪ A = A
iii. A ∪ B = B ∪ A ( tính chất giao hoán)
iv. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C) (tính chất kết hợp)
b. Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A và
thuộc B (Gồm tất cả các phần tử chung của A và B), ký hiệu là A ∩ B (đọc là A giao
B) (Hình 1.3). Vậy A ∩ B = {x : x ∈ A và x ∈ B}.

A∩B
A

B
Hình 1.3

Ví dụ: Cho A = {1, 2, 3, 4} và B = {3, 4, 5}. Khi đó, ta có A ∩ B = {3, 4}.
Nếu A ∩ B = ∅ thì A và B được gọi là hai tập hợp rời nhau.

Tương tự ta cũng có thể định nghĩa giao của nhiều tập hợp. Giao của các tập hợp
A1, A2, …, An được viết như sau
n
A1 ∩ A 2 ∩… ∩ A n = ∩ A i
i =1

Từ định nghĩa trên ta thấy phép giao các tập hợp có các tính chất sau
i. A ∩ ∅ = ∅
ii. A ∩ A = A
iii. A ∩ B = B ∩ A (tính chất giao hoán)
iv. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C) (tính chất kết hợp)
Hơn nữa ta thấy phép giao có tính chất phân phối với phép hợp và ngược lại phép
hợp cũng có tính chất phân phối với phép giao, tức là ta có
a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ ( A ∩ C)
b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Ta chứng minh đẳng thức b). Việc chứng minh đẳng thức a) xem như bài tập
Giả sử x ∈ A ∪ (B ∩ C). Khi đó x ∈ A hoặc x ∈ B ∩ C.
+ Nếu x ∈ A rõ ràng x ∈ A ∪ B và x ∈ A ∪ C, tức là x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
9


+ Nếu x ∈ B ∩ C thì x ∈ B và x ∈ C, suy ra x ∈ A ∪ B và x ∈ A ∪ C, tức là
x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Vậy A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(1.1)
Ngược lại, giả sử x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Khi đó ta có x ∈ A ∪ B và x ∈ A ∪ C.
+ Nếu x ∈ A thì rõ ràng x ∈ A ∪ (B ∩ C).
+ Nếu x ∉ A thì vì x ∈ A ∪ B và x ∈ A ∪ C nên x ∈ B và x ∈ C. Tức là x ∈ B ∩ C,
suy ra x ∈ A ∪ (B ∩ C).
Vậy (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊂ A ∪ (B ∩ )

(1.2)
Từ (1.1) và (1.2) suy ra đẳng thức cần chứng minh.
c. Hiệu và hiệu đối xứng của hai tập hợp
- Cho A, B là hai tập hợp. Hiệu của tập hợp A đối với tập hợp B là tập hợp gồm
tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Ký hiệu A \ B (Hình 1.4).
Vậy A \ B = {x : x ∈ A và x ∉ B}.
Nói chung A \ B ≠ B \ A.
A\B
A

B
Hình 1.4

Ví dụ: Cho A = {a, b, c, d, e}; B = {c, d, e, g, h}.
Ta có A \ B = {a, b}; B \ A = {g, h}.
- Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B được ký hiệu là A Δ B và được xác định
như sau A Δ B = (A \ B) ∪ (B \ A) (Hình 1.5).

A\B

B\A

A

B
Hình 1.5

Từ định nghĩa ta có A Δ B = B Δ A (Vì vậy trường hợp trên gọi là hiệu đối xứng
của A và B).
Ví dụ: Cho A = {1, 2, 3, 4}; B = {4, 5, 6}. Khi đó, ta có A Δ B = {1, 2, 3, 5, 6}.

Nhận xét: A Δ B = (A ∪B) \ (A ∩ B) (?)
d. Phần bù của một tập hợp và các quy tắc De Morgan
- Cho A và X là hai tập hợp , trong đó A ⊂ X. Khi đó X \ A (tập hợp tất cả các
phần thuộc X nhưng không thuộc A) được gọi là phần bù của tập hợp A đối với tập
hợp X. Ký hiệu là E XA hay A hoặc Ac (tức là A ∪ Ac = X, A ∩ Ac = ∅) (Hình 1.6).

10


A

A
X
Hình 1.6

Vậy Ac = {x ∈ X : x ∉ A}.
Ví dụ: Cho X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; A = {2, 3, 4}. Khi đó, ta có Ac = {1, 5, 6}.
- Cho A, B ⊂ X. Khi đó, ta có
A∪B = A∩B
A∩B = A∪B

(1.3)
(1.4)
Các đẳng thức (1.3) và (1.4) được gọi là các quy tắc De Morgan. Các quy tắc De
Morgan vẫn áp dụng được cho nhiều tập hợp.
Ta chứng minh đẳng thức (1.4). Việc chứng minh đẳng thức (1.3) xem như bài
tập.
Giả sử x ∈ A ∩ B ⇔ x ∉ A ∩ B ⇔ x ∉ A hoặc x ∉ B ⇔ x ∈ A hoặc x ∈ B ⇔ x ∈ A ∪ B .
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
e. Tích Descartes của các tập hợp

Cho X, Y là hai tập hợp. Tập hợp tất cả các cặp có thứ tự (x, y), trong đó x ∈ X,
y ∈ Y, được gọi là tích Descartes của X, Y (theo thứ tự đó) và được ký hiệu là X × Y
(X nhân Y). Vậy X × Y = {( x , y ) : x ∈ X , y ∈ Y } .
Tương tự, cho ba tập hợp X, Y, Z.
Vậy X × Y × Z = {( x , y, z ) : x ∈ X , y ∈ Y , z ∈ Z } .
Tổng quát, cho X1, X2, …, Xn là n tập hợp.
Ta có X 1 × X 2 × × X n = {( x 1, x 2,… , x n ) : x i ∈ X i, i = 1,2,… , n}
Đặc biệt, nếu X1 = X2 = … = Xn = X thì X 1 × X 2 ×
và ta có X n = {( x 1, x 2,… , x n ) : x i ∈ X , i = 1,2,… , n} .
Ví dụ: Cho A = {1, 2}; B = {3, 4, 5}. Khi đó, ta có
A × B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)}
B × A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)}

× Xn = X × X ×
n

× X = Xn

3. Các quan hệ trong tập hợp
a. Định nghĩa
Cho X là một tập hợp khác rỗng. Giả sử R là một tính chất nào đó có liên quan
đến các cặp phần tử của X. Khi đó nếu với hai phần tử a, b ∈ X hay (a, b) ∈ X x X mà
thỏa mãn tính chất R đối với b thì ta nói a có quan hệ R đối với b và viết a R b. Trong
trường hợp này ta nói R là một quan hệ hai ngôi trong X. Ở đây chỉ xét quan hệ hai
ngôi trên một tập hợp nên nói gọn là quan hệ trên tập hợp đó.
11


Ví dụ:
a) Gọi X là tập hợp các sinh viên của một trường đại học với a, b ∈ X hay

(a, b) ∈ X × X, ta nói a có quan hệ với b nếu và chỉ nếu a, b cùng khóa. Vậy a R b khi
và chỉ khi a, b cùng khóa (Tính chất R là cùng khóa).
b) Gọi X là tập hợp các khối hình học trong không gian. Với a, b ∈ X, ta nói
a R b ⇔ V(a) = V(b) (thể tích).
c) Cho N* = N \ {0}. Với m, n ∈ N*, ta nói m R n nếu và chỉ nếu m n (R tính chia
hết cho).
d) Cho X là một tập hợp và P(x) là tập hợp các tập con của X. Với A, B ∈ P(x),
tức là A, B ⊂ X, ta nói A có R B nếu và chỉ nếu A ⊂ B (R là quan hệ bao hàm trong).
b. Tính chất
Giả sử X là một tập hợp khác rỗng và R là một quan hệ trong X. Khi đó quan hệ R
có thể có các tính chất sau
i. Tính phản xạ, tức là a R a, với mọi a thuộc X (Ví dụ: a), b))
ii. Tính đối xứng, tức là nếu a R b thì b R a, với a, b thuộc X (Ví dụ: a), b))
iii. Tính phản đối xứng, tức là nếu a R b và b R a thi a = b (Ví dụ: c), d))
iv. Tính bắc cầu, tức là nếu a R b và b R c thì a R c (Ví dụ: a), b))
c. Quan hệ tương đương trong một tập hợp
Quan hệ R trong tập hợp X gọi là quan hệ tương đương nếu nó thỏa các tính chất
phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Khi đó thay cho R bằng “ ∼ ”; “ ∼ ” dấu sóng có nghĩa
tương đương.
Vậy nếu “ ∼ ” là quan hệ tương đương trong X thì
i. a ∼ a; ∀a ∈ X (Phản xạ)
ii. Nếu a ∼ b thì b ∼ a; a, b ∈ X (Đối xứng)
iii. Nếu a ∼ b và b ∼ c thì a ∼ c; a, b, c ∈ X (Bắc cầu)
Chẳng hạn trong các ví dụ đã nêu ở trên, ta thấy các quan hệ ở ví dụ a) và b) là
quan hệ tương đương (Các quan hệ ở ví dụ còn lại không phải quan hệ tương đương).
d. Quan hệ thứ tự trong một tập hợp
Quan hệ R trong tập hợp X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó thỏa mãn ba tính
chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu. Khi đó thay cho R ta viết “ ≤ ”. Nếu “ ≤ ” là
quan hệ thứ tự trong tập hợp X thì
i. a ≤ a; ∀a ∈ X (Phản xạ)

ii. Nếu a ≤ b và b ≤ a thì a = b; a, b ∈ X (Phản đối xứng)
iii. Nếu a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c; a, b, c ∈ X (Bắc cầu)
Chú ý:
a) Nếu “ ≤ ” là quan hệ thứ tự trong tập X thì với a, b bất kỳ thuộc X chưa chắc ta
có a ≤ b hoặc b ≤ a. Còn nếu với a, b thuộc X mà ta có a ≤ b hoặc b ≤ a thì ta nói a và
b so sánh được với nhau (theo quan hệ thứ tự).
Ví dụ : 6 3 ⇔ 6 ≤ 3 ⇔ 6 so sánh được với 3; còn với 5 và 3 không so sánh được
với nhau.

12


Vậy nên quan hệ thứ tự nói trên được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận. Các quan hệ
trong các tập hợp mà ta hay gặp nói chung là các quan hệ thứ tự bộ phận.
b) Nếu quan hệ thứ tự “ ≤ ” trong tập X thỏa mãn điều kiện hai phần tử bất kỳ
thuộc X luôn luôn so sánh được với nhau thì quan hệ thứ tự đó được gọi là quan hệ thứ
tự toàn phần.
I.1.3 Ánh xạ
1. Định nghĩa
a. Cho X, Y là hai tập hợp khác rỗng. Một quy tắc ứng mỗi phần tử thuộc X với
một phần tử thuộc Y được gọi là một ánh xạ từ X vào Y (Hình 1.7).
Các ánh xạ thường được ký hiệu bằng các chữ f, g, h, ….
Nếu f là ánh xạ từ X vào Y thì ta viết f : X → Y hay f : X → Y ; x y = f ( x ) . Khi
đó X gọi là tập nguồn, Y gọi là tập đích.

f
f(x)

x
X

Y
Hình 1.7

Ví du:
a) Gọi X là tập hợp các sinh viên trong một trường đại học và Y là tập hợp mã số
của các sinh viên đó và gọi f là quy tắc ứng mỗi sinh viên thuộc X với mã số của sinh
viên đó. Rõ ràng f : X → Y.
b) Gọi f là quy tắc ứng mỗi số thực x ∈ R với số thực x3, ta có f : R → R (f(x) = x3
hay f : x x 3 ).
c) Cho f : R → R được xác định f(x) = ax (a > 0, a ≠ 1), ∀x ∈ R (f ứng với x ∈ R
với ax ∈ R hay f : x a x ). Ở đây ta cũng thấy f là ánh xạ từ R vào R.
d) Giả sử f ứng x ∈ R với x2 ∈ R. Ta thấy f : R → R.
Nhận xét: Vậy khái niệm hàm số mà ta đã biết là một trường hợp đặc biệt của ánh
xạ mà ta vừa tìm hiểu.
2. Ảnh và nghịch ảnh của một tập
+ Cho X, Y là hai tập khác rỗng và giả sử f : X → Y, x y = f ( x ) . Phần tử y ứng
với phần tử x qua ánh xạ f được gọi là ảnh của x; còn x được gọi là tạo ảnh của y bởi f.
+ A là tập con của X. Khi đó tập hợp tất cả các ảnh của tất cả các phần tử thuộc A
được gọi là ảnh của A bởi f được ký hiệu là f(A) (Hình 1.8). Vậy f(A) = {y ∈ Y : y =
f(x), x ∈ X}. Đặc biệt nếu A = X thì ta có f(X) = {y ∈ Y : y = f(x), x ∈ X}. Nói chung ta
13


có f(X) ⊂ Y và nó được gọi là miền giá trị của ánh xạ f; còn tập nguồn X được gọi là
miền xác định của f.
+ Giả sử B ⊂ Y. Khi đó tập hợp tất cả các phần tử x ∈ X sao cho f(x) ∈ B được
gọi là nghịch ảnh của B bởi f. Ký hiệu là f - 1(B) (Hình 1.9).
Vậy f – 1(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B}.
Đặc biệt nếu B chỉ gồm một phần tử y ∈ Y thì ta có f – 1(y) = {x ∈ x : f(x) = y}.

f
f – 1(B)

A

B

f(A)

X

Y

X

Hình 1.8

f-1

Y

Hình 1.9

3. Tính chất:
Giả sử f : X → Y, f(A) = {y ∈ Y : y = f(x), x ∈ A}, f – 1(B) = {x ∈ X ; f(x) ∈ B},
A, B ⊂ X; C, D ⊂ Y. Khi đó
i. A = ∅ ⇔ f(A) = ∅;
ii. A ⊂ B ⇒ f(A) ⊂ f(B);
iii. f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B);
iv. f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B);

–1
–1
v. C ⊂ D ⇒ f (C) ⊂ f (D);
vi. f - 1(C ∩ D) = f – 1(C) ∩ f – 1(D);
vii. f – 1(C ∪ D) = f – 1(C) ∪ f – 1(D);
viii. f – 1(C \ D) = f – 1(C) \ f - 1(D);
x. f[f - 1(C)] ⊂ C;
ix. A ⊂ f – 1[ f(A)];
Chứng minh:
ii. Lấy y ∈ f(A), suy ra ∃x ∈ A để f(x) = y; x ∈ A suy ra x ∈ B do A ⊂ B. Vậy x ∈ B
để y = f(x) nên y ∈ f(B), suy ra f(A) ⊂ f(B) (Hỏi điều ngược lại có đúng không!, tức là
f(A) ⊂ f(B) ⇒ A ⊂ B (xem bài tập 6)).
v. Lấy x ∈ f – 1(A), suy ra f(x) = y ∈ A; do A ⊂ B nên y = f(x) ∈ B, suy ra x ∈ f – 1(B).
Vậy f – 1(A) ⊂ f – 1(B).
Việc chứng minh các tính chất còn lại xem như bài tập.
4. Đơn ánh, toàn ánh, song ánh
Giả sử X, Y là hai tập hợp khác rỗng và f : X → Y
a. f được gọi là đơn ánh nếu và chỉ nếu ∀x1, x2 ∈ X và x1 ≠ x2 ta có f(x1) ≠ f(x2)
(⇔ ∀x1, x2 ∈ X : f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2).
b. f được gọi là toàn ánh nếu và chỉ nếu f(X) = Y (⇔∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : y = f(x)).
c. f được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh (⇔∀y ∈ Y, ∃!x ∈ X:
y = f(x), dấu “!” gọi là duy nhất). Song ánh từ tập X vào tập Y còn được gọi là ánh xạ
một đối một từ X lên Y và ta viết f là ánh xạ 1-1 từ X lên Y.
Ví dụ:
a) Gọi X là tập hợp các sinh viên một trường đại học, Y là tập hợp các mã số của
các sinh viên đó, f : X → Y được xác định như sau f ứng sinh viên x ∈ X với mã số
của sinh viên đó (∈ Y). Ta thấy f là một song ánh.

14

b) Xét ánh xạ g : R → R được xác định như sau g(x) = x3, ∀x ∈ R. Ta thấy g là
một song ánh.
c) Cho ánh xạ h : R → R được xác định h(x) = x2, ∀x ∈ R. Trường hợp này h chỉ
là ánh xạ không là đơn ánh; không là toàn ánh (do đó h không là song ánh). Trường
hợp h : R → [0; + ∞), h là toàn ánh nhưng không là song ánh cũng không là đơn ánh.
5. Ánh xạ ngược, ánh xạ tích (hay ánh xạ hợp)
+ Giả sử X, Y là hai tập hợp khác rỗng và f : X → Y là song ánh. Khi đó mỗi phần
tử x ∈ X được f ứng với một phần tử y = f(x) ∈ Y và ngược lại mỗi phần tử y ∈ Y chỉ
có một nghịch ảnh x ∈ X. Xét ánh xạ từ Y vào X như sau ánh xạ đó ứng y ∈ Y với
nghịch ảnh x của nó bởi f thuộc X, ánh xạ đó được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f. Ký
hiệu là f – 1. Vậy f – 1 : Y → X và được xác định như sau f – 1 (y) = x sao cho f(x) = y.
Ta thấy f – 1 lại là một song ánh từ Y lên X và ánh xạ ngược của f – 1 lại là f. Trong
trường hợp này gọi là hai ánh xạ ngược nhau.
Ví dụ:
a) Cho f : R → R được xác định bởi f(x) = y = x3, ∀x ∈ R. Như đã biết f là một
song ánh. Khi đó có f – 1 : R → R và được xác định bởi f −1( y) = x = 3 y .
b) Cho g : R → R*+ được xác định bởi g(x) = y = ax, ∀x ∈ R (a > 0, a ≠ 1). Ta thấy
g là song ánh. Khi đó ta có g - 1 là ánh xạ g – 1 R*+ → R và được xác định bởi
g – 1(y) = x = logay.
c) h : R → R; h(x) = x2, suy ra h – 1 không tồn tại.
h : R → R+; h là một toàn ánh.
h : R+ → R+; h là một song ánh, suy ra h – 1 : R+ → R+; h −1( y ) = x = y .
h : R - → R+; h(x) = y = x2, ∀x ∈ R - (h là song ánh); h – 1 : R+ → R -;
−1
h ( y) = x = − y .
+ Cho X, Y, Z là ba tập hợp khác rỗng; f : X → Y; g : Y → Z. Khi đó mỗi phần tử
x thuộc X ta có phần tử y thuộc Y sao cho y = f(x) và phần tử z thuộc Z sao cho
z = g(y) = g[f(x)].
Vậy với mỗi phần tử x thuộc X đều có phần tử z thuộc Z sao cho z = g[f(x)] = h(x).

Ánh xạ h : X → Z được xác định như sau h(x) = z = g[f(x)] và được gọi là ánh xạ tích
(ánh xạ hợp) của các ánh xạ f và g. Ký hiệu h = g f (Với g f thì miền xác định của
nó là MXD = {x : x ∈ Df và f(x) ∈ Dg}; còn f g thì miền xác định của nó là MXD =
{x : x ∈ Dg và g(x) ∈ Df}) (Hình 1.10).
f
g
x
h

f(x)

X

Y
Hình 1.10
15

z=
g(f(x))

Z


Nhận xét: Nói chung g f ≠ f g .
Ví dụ:
a) Cho f : R → R và g : R → R được xác định như sau y = f(x) = 3x, ∀x ∈ R và
g(y) = siny, ∀y ∈ R. Khi đó ta có h = g f : R → R và được xác định h(x) = g(f(x)) =
sin3x; h’(x) = f(g(x)) = 3sinx (Nếu tồn tại).
b) Cho f : R → R+ và g : R+ → R được xác định như y = f(x) = x2 – x + 1, ∀x ∈ R
và g( y) = y , ∀y ∈ R+. Khi đó ta có h : R → R; h(x) = g(f(x)) = x 2 − x + 1 , ∀x ∈ R;

h’(x) = f(g(x)) = x − x + 1 (Nếu tồn tại).

I.2 Cấu trúc đại số
I.2.1 Luật hợp thành trong cấu trúc đại số
1. Định nghĩa
Luật hợp thành trong trên tập X hay phép toán (hai ngôi) trên X là một quy luật khi
tác động lên hai phần tử x, y của X sẽ tạo ra một và chỉ một phần tử cũng của X. Nói
cách khác, luật hợp thành trong trên tập X là một ánh xạ từ X × X tới X. Ký hiệu luật
hợp thành trong trên X là *.
( x, y ) ∈ X × X x * y ∈ X hay x, y ∈ X x * y ∈ X
Một tập có trang bị một hay nhiều luật hợp thành trong với những tính chất xác
định tạo thành một trong những đối tượng toán học gọi là cấu trúc đại số.
2. Tính chất:
i. Tính kết hợp : x * (y * z) = (x * y) * z.
ii. Tính giao hoán : x * y = y * x.
iii. Phần tử trung hòa : x * e = e * x = x (Hay e là phần tử đơn vị).
iv. Phần tử đối : x * x’ = x’ * x = e (x’ gọi là phần tử đối của x).
I.2.2 Cấu trúc nhóm, vành, trường
1. Nhóm (Group)
a. Định nghĩa
Một tập G khác rỗng cùng với một phép toán hai ngôi *. Khi đó (G, *) được gọi là
nhóm nếu nó thỏa mãn các tính chất sau
i. Tính kết hợp : a * (b * c) = (a * b) * c
ii. Phần tử trung hòa : a * e = e * a = a
iii. Phần tử đối : a * a’ = a’ * a = e
Nếu phép toán hai ngôi * có tính giao hoán, tức là a * b = b * a thì (G, *) được gọi
là nhóm giao hoán hay nhóm Abel.
b. Tính chất
i. Với mọi phần tử a thuộc G tồn tại duy nhất một phần tử a’ đối của a sao cho
a * a’ = a’ * a = e.

16


Thật vậy: Giả sử a’ và a” là hai phần tử đối của a. Khi đó ta có
a’ = e * a’ = (a” * a) * a’ = a” * (a * a’) = a” * e = a”.
ii. Phần tử đơn vị là duy nhất
Thật vậy, giả sử G có hai phần tử đơn vị e1 và e2. Thế thì e1 * e2 = e1. Nhưng ta
cũng có e1 * e2 = e2. Vậy e1 = e2.
iii. Quy tắc giản ước : a * x = a * y ⇒ x = y
Thật vậy, giả sử ta đã có a * x = a * y. Khi đó ta có
a’ * (a * x) = a’ * (a * y) ⇔ (a’ * a) * x = (a’ * a) * y ⇔ x = y.
iv. Với mọi phần tử a và b của G, tồn tại duy nhất phần tử x sao cho a * x = b.
Thật vậy, ta có a’ * (a * x) = a’ * b ⇔ (a’ * a) * x = a’ * b ⇔ x = a’ * b.
Tính duy nhất : x’ = e * x’ = (a’ * a) * x’ = a’ * (a * x’) = a’ * b = x.
Ví dụ : Trên R ta xây dựng một phép toán hai ngôi * xác định như sau
a*b=a+b–1
Khi đó (R, *) là một nhóm giao hoán.
Thật vậy, ta có
+ a * (b * c) = a + (b + c – 1) – 1 = (a + b – 1) + c – 1 = (a * b) * c (Thỏa tính kết
hợp)
+ a * e = e * a = a ⇔ a + e – 1 = e + a – 1 = a ⇒ e = 1(Tồn tại phần tử đơn vị)
+ a * a’ = a’ * a = e = 1 ⇔ a + a’ – 1 = a’ + a – 1 = 1 ⇒ a’ = 2 – a (Có phần tử đối)
+ a * b = a + b – 1 = b + a – 1 = b * a (Giao hoán)
2. Vành (Ring)
a. Tập A ≠ ∅ cùng với hai phép toán hai ngôi nhân (.) và phép cộng (+). Khi đó
(A, +, .) được gọi là một vành nếu nó thỏa mãn các tính chất sau
i. (A, +) là một nhóm giao hoán
ii. Luật nhân (.) có tính kết hợp, tức là ∀a, b, c ∈ A ta có a.(b.c) = (a.b).c
iii. Luật nhân (.) có tính phân phối hai phía đối với luật cộng (+), tức là ∀a, b, c ∈ A,
ta có a.(b + c) = a.b + a.c; (b + c).a = b.a + c.a;

(A, +, .) gọi là vành giao hoán nếu phép nhân (.) có tính chất giao hoán.
Nếu phép nhân (.) có phần tử đơn vị, ký hiệu là 1 thì (A, +, .) là vành có đơn vị.
b. Vành nguyên (Miền nguyên) là một vành (A, +, .) trong đó có tính chất a.b = 0,
suy ra a = 0 hoặc b = 0 (Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 mà a.b = 0 thì ta gọi là ước của không. Khi
đó a gọi là ước bên trái của không, b gọi là ước bên phải của không).
Điều kiện cần và đủ để một tích bằng không là một trong hai nhân tử bằng không.
3. Trường (Field)
a. Định nghĩa
Tập F ≠ ∅ cùng với hai phép toán hai ngôi phép nhân (.) và phép cộng (+). Khi đó
(F, +, .) được gọi là một trường nếu nó thỏa mãn các tính chất sau
i. (F, +, .) là vành có đơn vị.
ii. Với mọi a thuộc F, a ≠ 0 (Phần tử đơn vị của phép cộng (+)) thì tồn tại phần tử
nghịch đảo a – 1 ( hay

1
) của phép toán nhân (.), tức là
a

b. Tính chất
i. Trường là một vành nguyên.
17

a.a – 1 = a – 1.a = 1.


ii. F là một trường thì F \ {0} là một nhóm đối với phép toán nhân (.).
Hệ quả 1.1: Trong một trường có quy tắc giản ước (a.b = a.c suy ra b = c (a ≠ 0)).
iii. Trong một trường phương trình a.x = b, a ≠ 0 có nghiệm duy nhất x = a – 1.b =

b

.
a

I.2.3 Số phức
1. Khái niệm
- Trong trường số thực R phương trình đơn giản x2 + 1 = 0 cũng không có nghiệm
nên người ta mới nghĩ là phải mở rộng trường số thực. Vì thế người ta xây dựng trường
số phức. Những số mà làm cho phương trình x2 + 1 = 0 có nghiệm gọi là các số phức.
- Người ta gọi đơn vị ảo là một số được ký hiệu là i và được xác định như sau i2 = - 1.
Việc đưa đơn vị ảo vào toán học giúp ta mở rộng tập hợp số thực và ta đi đến khái
niệm số phức mà ta sẽ định nghĩa sau. Số phức có nhiều ứng dụng quan trọng trong
toán, lý, hóa và nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác.
- Số phức là một số có dạng z = a + bi, trong đó a, b ∈ R, i là đơn vị ảo, a được gọi
là phần thực ký hiệu Rez = a, b được gọi là phần ảo ký hiệu Imz = b.
Tập hợp tất cả các số phức ký hiệu là C = {z = a + bi : a, b ∈ R}. Trong số phức
z = a + bi, nếu a = 0 thì z = bi được gọi là số thuần ảo; còn nếu b = 0 thì z = a ∈ R.
Như thế số thực là trường hợp đặc biệt của số phức đó là trường hợp phần ảo bằng
không (b = 0). Vậy R ⊂ C. Số phức z = a + ib thường được viết dưới dạng z = (a, b),
tức là z = a + bi = (a, b). Vậy số phức chẳng qua là một cặp số thực có thứ tự.
2. Các phép toán
a. Phép cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; sinh ra phép trừ:
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i;
b. Phép nhân: (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i; sinh ra phép chia:

a + bi a + bi c − di (ac + bd ) + (bc − ad )i ac + bd bc − ad
.
=
=
= 2
+ 2

i (c + di ≠ 0).
2
2
2
2
c + di c + di c − di
c +d
c +d
c +d

Mệnh đề: Ta có mở rộng trường (R, +, .) ⊂ (C, +, .), tức là phép toán cộng, trừ,
nhân, chia trên C có tính chất thông thường như phép các số thực và khi thực hiện trên
R chính là phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia trên R quen biết.
Phần tử không 0 = 0 + 0i; phần tử một 1 = 1 + 0i; phần tử nghịch đảo
1
a − bi
(a + bi ≠ 0) .
= 2
a + bi a + b 2

Ví dụ : Cho z1 = 4 – i và z2 = 2 – 3i. Khi đó, ta có
z1 + z2 = (4 + 2) + (– 1 – 3)i = 6 – 4i
z1 – z2 = (4 – 2) + (– 1 – (– 3))i = 2 + 2i
z1.z2 = (4 – i)(2 – 3i) = 5 – 14i
(4 − i)(2 + 3i) 11 − 10i
z1 4 − i
=
=
=
13

z 2 2 − 3i (2 − 3i)(2 + 3i)

c. Liên hợp phức: Cho z = a + bi. Khi đó z = a − bi được gọi là số phức liên hợp
của z
Tính chất: zz = a 2 + b 2 (Thực ≥ 0); z = z; ; z + z ' = z + z '; z.z ' = z.z ' ;
18


Ví dụ:

3+4i (3+4i)(1-2i) 11 2
=
= − ;
2
2
1 + 2i
5 5
1 +2
b) z + z = 2 Re z ; z − z = 2 Im zi ; z ∈ R ⇔ Im z = 0 ⇔ z = z ;

a)

c) Nếu α là nghiệm của đa thức có hệ số thực thì liên hợp α của nó cũng là
nghiệm.
Thậy vậy: p(z) =a0 + a1z + … + an – 1zn - 1 + anzn, aj ∈ R;
p(α) = a0 + a1α + … + an - 1αn – 1 + anαn = 0;
p(α ) = a 0 + a1α + + a n −1α n −1 + a nα n = 0 = 0 ;
p(α ) = a 0 + a 1α +
p(α ) = a 0 + a1α +
p(α ) = a 0 + a1α +

+ a n −1α n −1 + a nα n = 0 ;

( ) + a (α ) = 0 ;
(α ) + a (α ) = 0 ; (vì aj ∈ R)
+ a n −1 α

+ a n −1

n −1

n

n

n −1

n

n

d. Biểu diễn số phức
- Dạng đại số z = a + bi, a, b ∈ R, i2 = – 1; z = (a, b), C ≡ R2;
- Dạng hình học z = (a, b), C ≡ R2;
Imz (Trục ảo)
z + z’
bi

z = (a, b)

i = (0, 1)

z’
Rez (Trục thực)

0 (1, 0)

a

Hình 1.11: Mặt phẳng phức
- Dạng lượng giác z = r(cosϕ + isinϕ), trong đó a = rcosϕ, b = rsinϕ,
r = a2 + b2 = z (modul của z), tgϕ =

b
,ϕ = Argz (Argument của z).
a

Nhận xét: z ≠ 0, Argz có vô số giá trị sai khác nhau 2kπ, k ∈Z (mod 2π). Nếu hạn
chế ϕ ∈ (- π, π] thì có duy nhất ký hiệu argz có tên gọi là argument chính;
Argz = {argz + 2kπ, k ∈ Z}.
Ví dụ z = 3 − i hay z = ( 3, −1) ; ta có r = z =
tgϕ = −

( 3)

2

+ (−1)2 = 2 ;

1

⎛
⎛ π⎞
⎛ π⎞
⎛ π ⎞⎞
= tg ⎜ − ⎟ ; z = 2 ⎜ cos ⎜ − ⎟ + i sin ⎜ − ⎟ ⎟ ;
3
⎝ 6⎠
⎝ 6⎠
⎝ 6 ⎠⎠
⎝

- Dạng Euler z = reiϕ = r(cosϕ + isinϕ);
Tính chất
Cho z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) và z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2). Khi đó, ta có
i. z1z2 = r1r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + isin(ϕ1 + ϕ2)]; trong đó
r 1 = z1 , r 2 = z 2 , ϕ 1 = arg z1 , ϕ 2 = arg z 2 , z1z 2 = z1 z 2 , Arg ( z1z 2 ) = arg z1 + arg z 2

19


ii. Công thức Moivre:
z n = [r(cosϕ + isinϕ)]n = rn(cosnϕ + isinnϕ); zn = (reiϕ)n = rneinϕ
π

Ví dụ 3 − i = 2e − i 6 ;
e. Căn bậc n của số phức
Cho z ∈ C, n ∈ N. Khi đó w ∈ C được gọi là (một) căn bậc n của z nếu và chỉ nếu
n
w = z. Ký hiệu là w = n z .

Ví dụ:
a) Cho z ≠ 0. Tìm w = n z .
Ta có z = r(cosϕ + isinϕ). Tìm w = ρ(cosθ + isinθ).
Theo định nghĩa ta có wn = z ⇔ρn(cosnθ + isinnθ) = r(cosϕ + isinϕ) (Công thức
⎧ρ = n r
n
⎪⎧ ρ = r
⎪
; có n căn bậc n của z :
Moivre) ⇔ ⎨
⇔⎨
ϕ 2kπ
=
+
∈
θ
k
Z
,
⎪⎩nθ = ϕ + 2kπ , k ∈ Z
⎪
⎩

n

n

⎡ ⎛ ϕ 2kπ ⎞
⎛ ϕ 2kπ ⎞ ⎤
w = n r ⎢ cos ⎜ +

⎟ + i sin ⎜ +
⎟ , k = 0,..., n ;
n ⎠
n ⎠ ⎥⎦
⎝n
⎣ ⎝n
b) Căn bậc n của đơn vị n 1 , gồm n giá trị 1, ω, ω2, …, ωn -1; 1 = 1ei(0

+ 2kπ)

,

2 kπ
n

ω = 1 = e , k = 0,… , n − 1 ; Thật vậy với n = 3 chẳng hạn thì ta có
Với k = 0, ω0 = cos0 + isin0 = 1;
2π
2π
1
Với k = 1, ω1 = cos + i sin
= − + 3i ;
k

n

i

3
3

2
4π
4π
1
3
Với k = 2, ω2 = cos
+ i sin
=− −
i;
3
3
2 2
c) Tìm −5 − 12i với z = – 5 – 12i
Gọi −5 − 12i = a + bi , ta có

(a + bi)2 = – 5 – 12i ⇔ a2 – b2 + 2abi = – 5 – 12i ⇔
⎧ a 2 − b 2 = −5
⎧ a 2 − b 2 = −5
⎧a = 2
⎧a = −2
hoặc ⎨
.
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
⎩b = −3
⎩b = 3
⎩2ab = −12
⎩ab = −6

Vậy, ta có −5 − 12i = ±(2 − 3i) .
Hình học n 1 là n đỉnh của n giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị. Tổng quát
n đỉnh của n giác đều nội tiếp đường tròn bán kính

n

n

z là

z .

f. Giải phương trình bậc hai
Trên trường số phức C ta thấy tất cả các phương trình bậc hai đều có hai nghiệm
(Phân biệt hoặc trùng nhau).
Thật vậy, xét phương trình ax2 + bx + c = 0; a, b, c ∈ R, a ≠ 0.

20


Ta đã biết rằng nếu Δ = b2 – 4ac ≥ 0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm khác
nhau hay một nghiệm kép; còn đối với Δ < 0 thì ta có Δ = i −Δ , – Δ > 0 và phương
trình có hai nghiệm phức liên hợp là x 1 =

− b − i −Δ
−b + i −Δ
; x2 =
2a
2a

Ví dụ :
a) Phương trình 4x2 – 2x + 1 = 0 có Δ’ = - 4 = 4i2 nên có hai nghiệm là
x1 =

1 − 2i
1 + 2i
; x2 =
.
4
4

b) Phương trình z2 + (2i – 3)z + 5 – i = 0 có Δ = (4i – 1)2 nên có hai nghiệm là
z1 = 2 − 3i ; z 2 = 1 + i .

I.3 Đa thức – Phân thức – Phân thức hữu tỷ
I.3.1 Đa thức
1. Khái niệm
Xét đa thức bậc n có dạng như sau pn(x) = anxn + an – 1xn – 1 + … + a1x + a0, trong đó
các hệ số ai (i = 0, 1, …, n) là các hệ số thuộc C, an ≠ 0. Nếu an = an - 1 = … = a1 = 0 thì ta
nói pn(x) có bậc không. Nếu thêm điều kiện a0 = 0 thì ta quy ước bậc của đa thức là - ∞.
Bậc của đa thức pn(x) ký hiệu là deg(pn(x)) = n.
x0 được gọi là nghiệm của đa thức pn(x) (hay là nghiệm của phương trình pn(x) = 0)
nếu pn(x0) = 0.
2. Phép chia đa thức
Cho hai đa thức p(x) có bậc n và q(x) có bậc m (m ≤ n) trên C. Khi đó bao giờ cũng
tồn tại duy nhất cặp đa thức h(x) bậc n – m và r(x) bậc nhỏ hơn m sao cho
p(x) = h(x)q(x) + r(x), trong đó h(x) là thương của p(x) đối với q(x) và r(x) là phần dư
trong phép chia đa thức p(x) cho đa thức q(x) theo lũy thừa giảm.
Nếu r(x) ≡ 0 thì ta nói p(x) chia hết cho q(x).
Ví dụ : Chia đa thức p(x) = 2x3 – 4x2 – 1 + x4 + 5x cho q(x) = 3x + x2 + 2

Ta sắp xếp p(x), q(x) theo lũy thừa giảm. Do đó, p(x) và q(x) được viết lại như sau
p(x) = x4 + 2x3 – 4x2 + 5x – 1;
q(x) = x2 + 3x + 2
Ta tiến hành chia như sau
−

4
3
2
x + 2 x − 4 x + 5x − 1 x 2 + 3x + 2
2
4
3
2
x − x −3
x + 3x + 2 x

− x 3 − 6 x 2 + 5x − 1
−
− x 3 − 3x 2 − 2 x
− 3x 2 + 7 x − 1
−
− 3x 2 − 9 x − 6
16 x + 5

21


- Định lý 1.1: Giả sử pn(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng một (n ≥ 1). Điều kiện cần và
đủ để đa thức pn(x) có nghiệm x0 là nó chia hết cho x – x0, tức là pn(x) = (x – x0)qn - 1(x),

trong đó qn - 1(x) là đa thức có bậc n – 1.
Chứng minh:
+ Điều kiện cần: Giả sử pn(x) có nghiệm là x0. Khi đó ta chia pn(x) cho x – x0, tức
là pn(x) = (x – x0)qn - 1(x) + r, trong đó qn - 1(x) là đa thức bậc n – 1; còn r là đa thức bậc
không, tức là r là hằng số. Vì x0 là nghiệm nên pn(x0) = 0; do đó suy ra pn(x0) = r = 0.
Vậy pn(x) chia hết cho x – x0.
Trong trường hợp pn(x) có bậc là không (pn(x) = an = const) thì nó bằng không với
mọi x nếu an = 0 và khác không với mọi x nếu an ≠ 0.
+ Điều kiện đủ: Giả sử pn(x) có dạng pn(x) = (x – x0)qn – 1(x). Khi đó rõ ràng
pn(x0) = 0; do đó nó có nghiệm là x0.
- Định lý 1.2: Mọi đa thức pn(x) có bậc n ≥ 1 đều có ít nhất một nghiệm thực hoặc
phức.
Đây là định lý cơ bản của đại số học nên ta sẽ thừa nhận nó mà không chứng minh.
- Hệ quả 1.2: Mọi đa thức bậc n ≥ 1 có đúng n nghiệm thực hoặc phức. Các nghiệm
đó có thể là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội. Nếu một nghiệm là bội n thì nghiệm đó
được kể n lần. Đồng thời đa thức có phân tích thành tích các thừa số bậc nhất
pn(x) = an(x – x1)(x – x2) … (x – xn), xi (i = 1, 2, … , n) thuộc C.
- Hệ quả 1.3: Mọi đa thức pn(x) bậc n ≥ 1 không thể có nhiều hơn n nghiệm thực
hoặc phức.
I.3.2 Phân thức – Phân thức hữu tỷ
1. Khái niệm
- Phân thức hữu tỷ là tỷ số của hai đa thức, tức là nó có dạng

p( x )
, trong đó p(x)
q( x )

và q(x) là các đa thức và q(x) ≠ 0. Ở đây ta chỉ xét phân thức hữu tỷ với hệ số thực.
Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì phân thức gọi là phân thức thực sự.
Nếu bậc của tử không nhỏ hơn bậc của mẫu thì phân thức gọi là phân thức không

thực sự. Một phân thức hữu tỷ không thực sự bao giờ cũng được phân tích thành tổng
của một đa thức với một phân thức thực sự bằng phép chia tử cho mẫu. Do đó ta chỉ
xét các phân thức hữu tỷ thực.
- Phân tích phân thức hữu tỷ thực sự thành tổng của những phân thức đơn giản.
+ Phân thức hữu tỷ có dạng

A

( x − a)

gọi là phân thức đơn giản loại một.
+ Phân thức hữu tỷ có dạng

(ax

m

, trong đó A, a là hằng số, m ≠ 0, m ≥ 1, được

Mx + N
2

+ bx + c )

m

, trong đó M ≠ 0, a ≠ 0, m ≥ 1,

b2 – 4ac < 0, được gọi là phân thức đơn giản loại hai.
Người ta đã chứng minh được rằng một phân thức hữu tỷ thực sự bao giờ cũng có

thể được phân tích thành tổng của những phân thức đơn giản loại một và các phân thức
đơn giản loại hai.

22


Ta nắm phương pháp phân tích một phân thức hữu tỷ thành tổng của những phân
thức đơn giản loại một và loại hai thông qua các ví dụ sau.
Ví dụ: Phân tích phân thức thành tổng của những phân thức đơn giản
a)

1
1
A
B
A( x − 3) + B( x − 2)
;
=
=
+
=
( x − 2)( x − 3)
x − 5 x + 6 ( x − 2)( x − 3) x − 2 x − 3
2

⇒ A(x – 3) + B(x – 2) ≡ 1 ⇔ A = – 1 và B = 1 (≡ đọc là đồng nhất).

1
1
1

.
=−
+
x −2 x −3
x − 5x + 6
1
1
A
=
+
b) 3 =
2
x − 1 ( x − 1)( x + x + 1) x − 1
1
1
2
A = , B = − ,C = − .
3
3
3
1
1
x+2
Vậy 3 =
−
.
2
x − 1 3( x − 1) 3( x + x + 1)
4
− 2−3

A
Bx + C
c) x x
=
+
+
2
x − 1 ( x 2 + 1) 2
( x − 1)( x 2 + 1)

Vậy

2

3
1
4
2
4
2
x − x −3

1
2

7
4

Bx + C
. Đồng nhất các hệ số A, B, C ta được

2
x + x +1

Dx + E
. Đồng nhất các hệ số A, B, C, D, E ta
2
x +1

7
4
x +1

được A = − , B = , C = , D = , E = .
Vậy

( x − 1)( x + 1)
2

2

=−

3
7x + 7
.
+
+
2
2
4( x − 1) 2 ( x + 1) 4 ( x 2 + 1)

Phương pháp vừa nêu để phân tích phân thức hữu tỷ thực sự thành tổng các phân
thức đơn giản loại một và loại hai gọi là phương pháp hệ số bất định.

23


Bài tập

1. Các phát biểu sau đúng hay sai? Nếu sai thì hãy phát biểu lại cho đúng.
b) ∀x ∈ R : x2 – 5x + 7 > 0;
a) ∃x ∈ Z : x2 – 3x + 2 = 0;
c) Số 120 chia hết cho 2 và 5;
d) Số 111 là một số nguyên tố;
e) Số 6 không là một hợp số;

f) Hỗn số 5

2. Lập bảng chân trị cho các mệnh đề sau
a) ( p ∧ q ) ∨ ( q ⇒ p ) ;
b) ( p ∨ q ) ⇒ ( p ∧ r ) ;

1
21
không phải là của phân số
;
4
4

c) ⎡⎣( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ r ) ⎤⎦ ⇒ ( p ⇒ r ) ;

3. Rút gọn các biểu thức sau
a) ⎡( p ∧ q ∧ r ) ⇒ ( p ∨ q ) ⎤ ⇒ ( q ∧ r ) ; b) ⎡( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ r ) ∧ ( r ⇒ p ) ⎤ ⇒ ( p ∨ q ∨ r ) ;
⎣

⎦

⎣

4. Chứng tỏ rằng
a) ( p ⇒ q ) ∨ p ≡ 1 ;
c)

⎦

b) ( p ∧ q ) ⇔ ( q ⇒ p ) ;

(( p ∨ q) ∧ r ) ⇔ (( p ∧ r ) ∨ ( q ∧ r )) ;

d)

e) ( p ⇔ q ) ⇔ ( p ⇔ q ) ⇔ ( p ⇔ q ) ;

(( p ∧ q) ∨ r ) ⇔ (( p ∨ r ) ∧ ( q ∨ r )) ;

(

)

f) ( p ∧ ( q ⇔ r ) ) ⇔ p ∨ ( q ⇔ r ) ;

5. Cho A, B, C, D là các tập hợp. Chứng minh rằng
a) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);
b) A \ (B \ C) = A ∩ B;
c) Nếu A Δ C = B thì C = A Δ B;
d) (B \ C) \ (B \ A) ⊂ A \ C;
e) (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B);
f) A ∪ (B \ A) = A ∪ B;
g) A ∩ (B \ A) = ∅;
h) Nếu A ⊂ B và C ⊂ D thì A ∩ C ⊂ B ∩ D và A ∪ C ⊂ B ∪ D;
i) Nếu A ⊂ C và B ⊂ C thì A ∩ B ⊂ C và A ∪ B ⊂ C;
6. Cho X, Y ≠ ∅, f : X → Y và A, B ⊂ X. Chứng minh rằng A ⊂ B ⇔ f(A) ⊂ f(B)
7. Cho A, B, C là các tập con của một tập X. Chứng minh
a) A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B;
b) (A \ B) ∪ B = A ∪ B;
c) (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C);
d) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ ( A ∩ C);
8. Cho A, B ⊂ X. Chứng minh rằng
a) Nếu A ⊂ B thì B ⊂ A
b) Nếu A ∩ B = ∅ thì X = A ∪ B . Nếu thiếu giả thiết thì khẳng định này còn đúng
không? Cho ví dụ.
9. Trong các tập sau, tập nào khác rỗng. Nếu có thì hãy liệt kê tất cả những phần tử
của tập đó.
a) A = {x ∈ N : x2 – 5x + 6 = 0};
b) B = {x ∈ Z : x2 + 5x – 6 = 0};
c) C = {x ∈ Q : x2 + 3x – 4 = 0};
d) D = {x ∈ R : x2 + 3x + 3 = 0};
f) F = {x ∈ R : x2 + 4 = 0};
e) E = {x ∈ R : x2 + 2x – 3 = 0};
10. Cho A = {0, 1, 2, 3 ,4}, B = {3, 4, 6, 7}, C = {2, 3, 5, 8, 9}. Hãy tính

a) A ∪ B;
b) A ∩ C;
c) A \ (B ∩ C);
d) (A Δ B) ∩ (B Δ C);

24