Hệ phương trình tuyến tính

Hướng dẫn học tập bài: Hệ phương trình tuyến tính .

Thái Minh

Hướng dẫn học bài : Hệ phương trình tuyến tính
Hoạt động 1: Giải hệ phương trình sau:
Cách 1: Dùng định thức: ( Cái này đã biết hồi học lớp 10 rồi đấy !)
a11 x1 + a12 x 2 = b1

(1)
a 21 x1 + a 22 x 2 = b2

Cách 2:
- Nhớ rằng khi nhân hai vế của một phương trình với một số khác 0 ta được
một phương trình mới tương đương.
Hãy nhân hai vế phương trình thứ nhất với -a 21 ; nhân hai vế của phương
trình thứ hai với a11 Rồi cộng vế với vế hai phương trình cho nhau, ta được hệ
mới tương đương với hệ cũ. Viết hệ mới ?
- Hãy tìm cách vận dụng hai cách giải trên cho hệ phương trình sau đây:
 x1 + x 2 + 2 x3 = 1

 x1 + 2 x 2 + x3 = 1
2 x + x + x = 1
2
3
 1

Hoạt động 2: Tiếp thu các khái niệm
I. Hệ phương trình tuyến tính:
1.Định nghĩa: Hệ phương trình với m phương trình, n ẩn số có dạng:
a11 x1 + a12 x 2 + .... + a1n x n = b1

a x + a x + .... + a x = b
22 2
2n n
2
 21 2
...........................................

(1)
ai1 x1 + ai 2 x 2 + ..... + a in x n = bi
...................................

a m1 x1 + a m 2 x 2 + .... + a mn x n = bm
n

gọn hơn:

∑a
j =1

ij

x j = bi ;

i=1,2,..m
Trong đó các aij ; bi là các số thực; bi gọi là hạng tử tự do
i:=1;2;…;m
j:=1;2;…;n
x1; x2;….;xn là các ẩn
Được gọi là hệ phương trình tuyến tính
Bộ số: x1= c1; x2 = c2;….xn = cn là nghiệm của hệ nếu nó là nghiệm của các

phương trình trong hệ. Giải hệ (1) là đi tìm các nghiệm của nó.
 a11
a
 21
 ...
Ma trận: A =  a
 i1
 ...

a m1

a12
a 22
...
ai 2
...
am2

... a1n −1
... a 2 n −1
... ...
... ain −1
... ...
... a mn −1

a1n 
a 2 n 
... 

ain 

... 

a mn 
-1-


Hướng dẫn học tập bài: Hệ phương trình tuyến tính .

Thái Minh

gọi là ma trân các hệ số của hệ (1)
Ma trận :
 a11
a
 21
 ...
B =a
 i1
 ...

a m1

a12
a 22
...
ai 2
...
am2

... a1n −1

... a 2 n −1
... ...
... ain −1
... ...
... a mn −1

a1n
a2n
...
a in
...
a mn

b1 
b2 
... 

bi 
... 

bm 

Gọi là ma trận bổ sung của hệ (1)
 x1 
 
Với: X =  ... 
 x n 

 b1 
B =  ... 

bm

hệ (1) viết dạng ma trận: A.X = B
Em hãy lấy 1 ví dụ về hệ phương trình tuyến tính và chỉ rõ ma trận các hệ
số ; ma trận bổ sung và tìm hạng của các ma trận đó . ( sau đó trao đổi với
bạn bên cạnh để tư vấn cho nhau ! )
II. Hệ phương trình Crame:
1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trinh, n ẩn số và
có định thức của ma trân các hệ số khác không. Được gọi là hệ phương trình
Crame.
2.Định lý: Hệ phương trình Crame luôn có nghiệm duy nhất
.xj =

Dj
D

với j = 1,2…,n;

D = A ; Dj thu được từ D bằng cách thay cột j

bởi cột các hạng tử tự do bi
3 Ví dụ:
Cho hệ phương trình:
 x1 + x 2 + ax3 = 1

 x1 + ax 2 + ax3 = 1
ax + x + x = 1
2
3
 1

với a là tham số

- Tìm a để hệ là hệ Crame
- Giải hệ khi hệ là hệ Crame
Hoạt động 3 :
III. Cách giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát:
Cho hệ phương trình :
 x1 + 2 x 2 − 3 x3 + x 4 = 7

2 x1 + 4 x 2 + 5 x3 − x 4 = 2

-2-


Hướng dẫn học tập bài: Hệ phương trình tuyến tính .

Thái Minh

- Tìm hạng của ma trận hệ số A và hạng của ma trận bổ sung B so sánh
r(A); r(B)
- Giải hệ phương trình ( nếu có thể - lưu ý rằng hệ có thể có nghiệm phụ
thuộc vào các tham số nào đo !!)
1. Định lý: Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi
ρ (A) = ρ (B)
2. Cách giải:
a. Dùng định lý:
r ( A) ≠ r ( B ) hê vo nghiêm

- Tìm r(A); r(B) 

r ( A) = r ( B) có nghiêm
- Hệ đã cho tương đương với hệ gồm r phương trình có chứa các hệ số
là các phần tử của định thức con cấp r khác không có trong các ma trận A và
B. Giữ ở vế trái các hạng tử có hệ số là các phần tử của định thức nói trên,
đồng thời chuyển các hạng tử còn lại sang vế phải và gán cho nó các giá trị
bằng tham số .
- Hệ trở thành hệ Crame phụ thuộc mấy tham số ? Hãy giải tiếp !
 x1 − x 2 + x3 − x 4 = 4
3 x + x − 3x + x = −2
 1
2
3
4
Ví dụ: 
2 x1 − 2 x 2 + 2 x3 + 3x 4 = 3
6 x1 + 2 x 2 − 6 x3 + 2 x 4 = −4

b. Dùng phương pháp Gauss ( biến đổi sơ cấp trên các hàng của ma trận bổ
sung B)
( Thực ra chẳng có gì là “ghê gớm “ vì đều là những gì đã biết từ thủa
lớp 8; 9 ) * Nhưng mà hay thi đấy !
- Viết ma trận bổ sung của hệ
- Nhân các hàng với một số phù hợp để khi cộng hàng với hàng thì làm cho
ma trận B về dạng tam giác trên ( người ta gọi là khử dần ẩn số . Một lần nữa
nhắc lại rằng:” Khi nhân hai vế của một phương trình với một số khác 0 được
một phương trình mới tương đương với nó” ! )
Hãy giải ví dụ trên bằng phương pháp Gauss.
c. Nếu là hệ Crame : AX = B Thì X = A-1.B
Ví dụ: 1.Giải hệ phương trình A.X = B
2

1

A
=
Với :
1

1

1
2
1
1

1
1
2
1

1
1

1
1
;B =  
1
1


2

1

2. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo a.

-3-


Hướng dẫn học tập bài: Hệ phương trình tuyến tính .
ax1 + x 2 + x3 + x 4
 x + ax + x + x
 1
2
3
4

 x1 + x 2 + ax3 + x 4
 x1 + x 2 + x3 + ax 4

Thái Minh

=1
=1
=1
=1

Hoạt động 4 : Bài tập
Bài tập : Các bài tập về giải hệ phương trình Trang 33-34-34 Giáo trình ;
hoặc các bài tập phần hệ phương trình tuyến tính trong sách Toán học cao cấp
tập 1 ( Nguyễn Đình Trí – chủ biên)
• Em có thể có ý kiến đề nghị hoặc thắc mắc của mình trên lớp hoặc ghi lại

vào cuối trang này.( tuy nhiên thắc mắc cần chỉ rõ sự khó khăn của mình
ở đâu, không nêu đề nghị thầy giải giúp em bài tập này, mà nên bài tập
này em đang gặp khó khăn ở đây, đề nghị thầy giúp đỡ ! )
• Chúc các em học tập tiến bộ !

-4-