Bài giảng toán cao cấp về trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

 −1
u= 
1

3 −2 
A=

1
0



2
v= 
1 

Tính A u và A v . Hãy cho biết nhận xét.

Av
u

v

Au
Số λ được gọi là trị riêng của A, nếu tồn tại véctơ x khác
không, sao cho Ax = λ x .

Khi đó, véctơ x được gọi là véctơ riêng của ma trận vuông A
tương ứng với trị riêng λ .


Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ

1 6 
A=

5
2



6
u= 
 −5

3
v= 
 −2 

Véctơ nào là véctơ riêng của A?
Giải

 1 6  6   −24 
6

Au = 
=
= −4  ÷ = −4.u
÷
÷
÷
 5 2  −5   20 
 −5 
Ta có A u = −4.u

⇒ u là véctơ riêng

 1 6  3   −9 
Av = 
= ÷
÷
÷
 5 2  −2   11 
Không tồn tại số λ để A v = λv ⇒ v không là véctơ riêng


Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.

3 4
A=

6

5



λ1 = −1; λ2 = 3

Số nào là trị riêng của A?
Giải. Xét hệ phương trình Ax = λ1 x

 x1 
 4x 1 + 4x 2
 3 4  x1 
⇔
= −1 ÷ ⇔ 

÷
÷
6 5 x 2 
x2 
 6x 1 + 6x 2

= 0
= 0

Hệ này có vô số nghiệm, nên tồn tại một nghiệm khác không,

1
ví dụ x =  ÷ khi đó Ax = λ1 x.
 −1 
Vậy λ1 là trị riêng.

Kiểm tra tương tự thấy λ2 không là trị riêng.


Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Giả sử λ0 là trị riêng của ma trận A ⇔ ∃x 0 ≠ 0 : A x 0 = λ0x 0

⇔ A x 0 − λ0x 0 = 0 ⇔ (A − λ0I )x 0 = 0
Hệ thuần nhất có nghiệm khác không

⇔ det(A − λ0I ) = 0
det(A − λ I ) = 0

được gọi là phương trình đặc trưng của

ma trận vuông A.

Đa thức PA (λ ) = det( A − λ I ) gọi là đa thức đặc trưng của A.
Vậy λ là trị riêng khi và chỉ khi λ là nghiệm của phương
trình đặc trưng.


Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tìm trị riêng, véctơ riêng của ma trận vuông A cấp n.

Bước 1. Lập phương trình đặc trưng det( A − λ I ) = 0.

(Tính định thức ở vế trái, ta có phương trình bậc n theo λ )
Bước 2. Giải phương trình đặc trưng. Tất cả các nghiệm của
phương trình đặc trưng là trị riêng của A và ngược lại.
Bước 3. Tìm VTR của A tương ứng TR λ1 (chẳng hạn)
bằng cách giải hệ phương trình ( A − λ1I ) X = 0.
Tất cả các nghiệm khác không của hệ là các VTR của A ứng
với trị riêng λ1.


Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định nghĩa
Bội đại số của trị riêng λ là bội của trị riêng λ
trình đặc trưng.

trong phương

Định nghĩa
Không gian nghiệm của hệ (A − λ1I )X = 0 được gọi là
không gian con riêng ứng với TR λ1 , ký hiệu E λ1

Định nghĩa
Bội hình học của trị riêng là số chiều của không gian con riêng
tương ứng với trị riêng đó.


Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Định lý
Bội hình học của trị riêng luôn nhỏ hơn hoặc bằng bội đại số
của nó.

Chú ý
Bội hình học của trị riêng lớn hơn hoặc bằng 1 ( ≠ 0).

Định lý
Các véctơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau thì độc lập
tuyến tính.


Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3 1 1
 2 4 2 ÷ Tìm trị riêng; cơ sở, chiều của
A
=
Ví dụ.

÷ các kgian con riêng ứng.
1 1 3÷


Lập phương trình đặc trưng của A:

3−λ
⇔ 2
1

det(A − λ I ) = 0

1
1
4−λ
2 = 0 ⇔ (λ − 2)2 (λ − 6)1 = 0
1
3−λ

Trị riêng λ1 = 2

BĐS = 2

BHH chưa biết?

Trị riêng λ2 = 6

BĐS = 1

BHH = 1


Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tìm cơ sở, chiều của kgian con riêng ứng với λ1 = 2.

( A − λ1I ) X = 0

1
1  x 1 
3− 2
⇔ 2
4−2
2 ÷ x 2 ÷ = 0

÷ ÷
 1
÷ x ÷
1
3
−
2

 3 

Giải hệ bằng cách biến đổi ma trận hệ số ta được nghiệm tổng quát

 1   0   là cơ sở của kgian
 x1 
1
0
 x ÷ = x  0 ÷+ x  1 ÷ ⇒  0 ÷,  1 ÷ con riêng E λ = E 2
1
 2 ÷ 1  ÷ 2  ÷  ÷  ÷
 −1÷
 −1÷  −1÷  −1÷ dim( E ) = 2
x ÷
λ1

 
 
 3
    
Hoàn toàn tương tự ta tìm được cơ sở và chiều của không gian con
riêng ứng với trị riêng λ2 = 6.


Trị riêng, véctơ riêng của ma trận
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ.  1

1
A=
L
1


1
1
L
1

L
L
L
L

1

1 ÷ Tìm trị riêng; cơ sở, chiều
÷ của các kgian con riêng ứng
L ÷ của ma trận vuông cấp n.
1÷


Xét phương trình đặc trưng: det(A − λ I ) = 0
Nhận xét thấy det (A) = 0 nên A có một trị riêng bằng λ1 = 0 .
Tính vế trái pt đặc trưng bằng cách cộng tất cả các hàng lên hàng
1, ta có thừa số chung là ( n − λ ) suy ra λ2 = n là trị riêng thứ 2.
Tương ứng với TR λ1 = 0 xét hệ thuần nhất (A − λ1I )X = 0
Dễ thấy không gian nghiệm này có chiều bằng n-1, vậy BHH của
TR này bằng n – 1, suy ra BĐS của λ1 lớn hơn hoặc bằng n -1.
Tổng các BĐS bằng n, vậy không còn TR khác nữa!