CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2011.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
1 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Định nghĩa không gian véctơ
Số thực
1
+:R×R→R
(x, y ) → x + y
2
•:R→R
(λ, x) → λ.x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
2 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Định nghĩa không gian véctơ
Số thực
1
+:R×R→R
(x, y ) → x + y
2
•:R→R
(λ, x) → λ.x
Số phức
1
+:C×C→C
(x, y ) → x + y
2
•:C→C
(λ, x) → λ.x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
2 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Định nghĩa không gian véctơ
Số thực
1
+:R×R→R
(x, y ) → x + y
2
•:R→R
(λ, x) → λ.x
Số phức
1
+:C×C→C
(x, y ) → x + y
2
•:C→C
(λ, x) → λ.x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
2 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Số thực
Định nghĩa không gian véctơ
Đa thức có bậc không lớn hơn n
1
+:R×R→R
(x, y ) → x + y
1
+ : Pn (x) × Pn (x) → Pn (x)
(p(x), q(x)) → p(x) + q(x)
2
•:R→R
(λ, x) → λ.x
2
• : R × Pn (x) → Pn (x)
(λ, p(x)) → λ.p(x)
Số phức
1
+:C×C→C
(x, y ) → x + y
2
•:C→C
(λ, x) → λ.x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
2 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Số thực
Định nghĩa không gian véctơ
Đa thức có bậc không lớn hơn n
1
+:R×R→R
(x, y ) → x + y
1
+ : Pn (x) × Pn (x) → Pn (x)
(p(x), q(x)) → p(x) + q(x)
2
•:R→R
(λ, x) → λ.x
2
• : R × Pn (x) → Pn (x)
(λ, p(x)) → λ.p(x)
Số phức
1
+:C×C→C
(x, y ) → x + y
2
•:C→C
(λ, x) → λ.x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
KHÔNG GIAN VÉCTƠ
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
2 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Số thực
Định nghĩa không gian véctơ
Đa thức có bậc không lớn hơn n
1
+:R×R→R
(x, y ) → x + y
1
+ : Pn (x) × Pn (x) → Pn (x)
(p(x), q(x)) → p(x) + q(x)
2
•:R→R
(λ, x) → λ.x
2
• : R × Pn (x) → Pn (x)
(λ, p(x)) → λ.p(x)
Số phức
1
+:C×C→C
(x, y ) → x + y
2
•:C→C
(λ, x) → λ.x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
KHÔNG GIAN VÉCTƠ
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
2 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Số thực
Định nghĩa không gian véctơ
Đa thức có bậc không lớn hơn n
1
+:R×R→R
(x, y ) → x + y
1
+ : Pn (x) × Pn (x) → Pn (x)
(p(x), q(x)) → p(x) + q(x)
2
•:R→R
(λ, x) → λ.x
2
• : R × Pn (x) → Pn (x)
(λ, p(x)) → λ.p(x)
Số phức
1
+:C×C→C
(x, y ) → x + y
2
•:C→C
(λ, x) → λ.x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
KHÔNG GIAN VÉCTƠ
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
2 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Số thực
Định nghĩa không gian véctơ
Đa thức có bậc không lớn hơn n
1
+:R×R→R
(x, y ) → x + y
1
+ : Pn (x) × Pn (x) → Pn (x)
(p(x), q(x)) → p(x) + q(x)
2
•:R→R
(λ, x) → λ.x
2
• : R × Pn (x) → Pn (x)
(λ, p(x)) → λ.p(x)
Số phức
1
+:C×C→C
(x, y ) → x + y
2
•:C→C
(λ, x) → λ.x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
KHÔNG GIAN VÉCTƠ
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
2 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Định nghĩa không gian véctơ
Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Định nghĩa không gian véctơ
Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
1 + : E × E → E
(x, y ) −→ x + y
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Định nghĩa không gian véctơ
Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
1 + : E × E → E
(x, y ) −→ x + y
2 • : K × E → E
(λ, x) −→ λ.x
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Định nghĩa không gian véctơ
Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
1 + : E × E → E
(x, y ) −→ x + y
2 • : K × E → E
(λ, x) −→ λ.x
sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Định nghĩa không gian véctơ
Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
1 + : E × E → E
(x, y ) −→ x + y
2 • : K × E → E
(λ, x) −→ λ.x
sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Định nghĩa không gian véctơ
Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
1 + : E × E → E
(x, y ) −→ x + y
2 • : K × E → E
(λ, x) −→ λ.x
sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .
2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Định nghĩa không gian véctơ
Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
1 + : E × E → E
(x, y ) −→ x + y
2 • : K × E → E
(λ, x) −→ λ.x
sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .
2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .
3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Định nghĩa không gian véctơ
Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
1 + : E × E → E
(x, y ) −→ x + y
2 • : K × E → E
(λ, x) −→ λ.x
sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .
2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .
3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E
4 ∀x ∈ E , ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Định nghĩa không gian véctơ
Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
1 + : E × E → E
(x, y ) −→ x + y
2 • : K × E → E
(λ, x) −→ λ.x
sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .
2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .
3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E
4 ∀x ∈ E , ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0
5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Định nghĩa không gian véctơ
Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
1 + : E × E → E
(x, y ) −→ x + y
2 • : K × E → E
(λ, x) −→ λ.x
sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .
2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .
3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E
4 ∀x ∈ E , ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0
5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .
6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Định nghĩa không gian véctơ
Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
1 + : E × E → E
(x, y ) −→ x + y
2 • : K × E → E
(λ, x) −→ λ.x
sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .
2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .
3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E
4 ∀x ∈ E , ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0
5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .
6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .
7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Định nghĩa không gian véctơ
Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
1 + : E × E → E
(x, y ) −→ x + y
2 • : K × E → E
(λ, x) −→ λ.x
sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .
2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .
3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E
4 ∀x ∈ E , ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0
5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .
6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .
7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .
8 1.x = x, ∀x ∈ E
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Định nghĩa không gian véctơ
Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán
1 + : E × E → E
(x, y ) −→ x + y
2 • : K × E → E
(λ, x) −→ λ.x
sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau:
1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E .
2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E .
3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E
4 ∀x ∈ E , ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = 0
5 (λ + µ)x = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .
6 λ(x + y ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E .
7 λ(µx) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E .
8 1.x = x, ∀x ∈ E
thì E được gọi là một K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có
không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
3 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Ví dụ
Ví dụ không gian véctơ
Rn = {x = (x1 , . . . , xn ), xi ∈ R, i = 1, n}
+ : Rn × Rn → Rn ,
• : R × Rn → Rn
(x, y ) → x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
(λ, x) → (λx1 , . . . , λxn )
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
4 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Ví dụ
Ví dụ không gian véctơ
Rn = {x = (x1 , . . . , xn ), xi ∈ R, i = 1, n}
+ : Rn × Rn → Rn ,
• : R × Rn → Rn
(x, y ) → x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
(λ, x) → (λx1 , . . . , λxn )
Cn = {x = (x1 , . . . , xn ), xi ∈ C, i = 1, n}
+ : Cn × Cn → Cn ,
• : C × Cn → Cn
(x, y ) → x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
(λ, x) → (λx1 , . . . , λxn )
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
4 / 52
Cấu trúc không gian véctơ
Ví dụ
Ví dụ không gian véctơ
Rn = {x = (x1 , . . . , xn ), xi ∈ R, i = 1, n}
+ : Rn × Rn → Rn ,
• : R × Rn → Rn
(x, y ) → x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
(λ, x) → (λx1 , . . . , λxn )
Cn = {x = (x1 , . . . , xn ), xi ∈ C, i = 1, n}
+ : Cn × Cn → Cn ,
• : C × Cn → Cn
(x, y ) → x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )
(λ, x) → (λx1 , . . . , λxn )
X = ∅, E − K − kgv , E X = {f : X → E }
+:
× EX → EX,
• : K × EX → EX
(f , g ) → (f + g )(x) = f (x) + g (x), ∀x ∈ X
(λ, f ) → (λf )(x) = λf (x)
EX
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
TP. HCM — 2011.
4 / 52