Giáo trình vật lý 1 phần 2 ths trương thành

Giáo trình Vật lý 1

ThS. Trương Thành

Chương V.
THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP
5.1. PHÉP BIẾN ĐỔI GALILEO
VÀ BẾ TẮC CỦA VẬT LÝ HỌC CỔ ĐIỂN.
5.1.1. PHÉP BIẾN ĐỔI GALILEO
Xét một chất điểm chuyển động trong hai hệ quy chiếu O,x,y,z (k) đứng yên
và O’,x’,y’z’ (k’) chuyển động; nếu hệ O’,x’,y’z’ (k’) chuyển động dọc theo
trục Ox của hệ O,x,y,z (k) với vận tốc không đổi V (V = Vx, Vy = 0, Vz = 0)
theo thuyết tương đối Galileo dạng thành phần của phương trình chuyển động
trong hai hệ quy chiếu là:
⎧ x = x'+Vt
⎪ y = y'
⎪
⎨
⎪z = z'
⎪⎩t = t '

va

x' = x - Vt
y' = y

z

z’

z' = z;

t' = t

(k)

(k’)

r'

Định lý cộng vận tốc:

R

v = v ' + V , a = a' + A .

Như vậy: ∆t = t 2 − t1 = ∆t ' = t ' 2 − t '1
∆x = x 2 − x1 = ∆x' = x' 2 − x'1 = const .

0

0’
y’

M
x’

r

x

Hình V-1

Nghĩa là thời gian trôi đi như nhau y
trong mọi hệ quy chiếu quán tính; kích thước
của một vật là một bất biến trong các hệ quy chiếu (thực ra các vấn đề này ta
đã biết từ chương I).
Cuối thế kỷ thứ XVIII các thí nghiệm đã cho thấy các kết luận trên
không còn đúng nữa. Và sau đây là mô phỏng đơn giản thí nghiệm của
Michelson - Morlay.
5.1.2. THÍ NGHIỆM MICHELSON - MORLAY
Năm 1887 Michelson và Morlay tiến hành thí nghiệm đo vận tốc ánh
sáng mà trên hình dưới đây là mô phỏng đơn giản kết quả của thí nghiệm đó.
Trên xe đặt tại điểm giữa của
c
c
đoạn AB có gắn một tín hiệu sáng.
Khi bắt đầu cho xe chuyển động từ
v
O theo phương OB với vận tốc v thì A
B
O
cũng đồng thời phát tín hiệu sáng.
Theo phép biến đổi Galileo
Hình V-2
thì ánh sáng sẽ đến B trước khi đến
A, vì vận tốc ánh sáng đến B là c + v trong khi đó vận tốc tới A là c - v.
Nhưng thực tế thí nghiệm này lại cho thấy ánh sáng đến A và B cùng một lúc.
Điều này Vật Lý học Cổ điển không giải thích được và lâm vào một hoàn
77


Giáo trình Vật lý 1

ThS. Trương Thành

cảnh bế tắc. Để giải quyết vấn đề này đã có một ngành Cơ học mới ra đời đó
là ‘’Cơ học Tương đối tính’’ mà cơ sở của nó là hai tiên đề của Einstein. Sau
đây ta xét một cách sơ lược và cơ bản một số nội dung chính của thuyết
tương đối hẹp.

78


Giáo trình Vật lý 1

ThS. Trương Thành

5.2. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ.
5.2.1. CÁC TIÊN ĐỀ CỦA EINSTEIN
- Vận tốc ánh sáng trong chân không là một bất biến đối với mọi hệ quy
chiếu quán tính.
- Mọi định luật Vật Lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính.
Hai tiên đề của Einstein đã mở ra một thời đại mới cho Vật Lý học đó
là sự ra đời của Vật Lý học hiện đại, chấm dứt một thời kỳ khủng hoảng của
Vật Lý học cổ điển.
5.2.2. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ
Trên cơ sở các tiên đề của Einstein chúng ta sẽ đi đến một phép biến
đổi mới đó là các phép biến đổi Lorentz. Ở đây ta cũng xét chuyển động trong
hai hệ quy chiếu đã nói ở trên, nhưng theo Cơ học Tương đối thì phép biến
đổi tương đối khác với phép biến đổi cổ điển một hằng số nhân.
x’ = α (x - vt)
x = β (x’ + vt’).

Theo tiên đề hai thì các định luật Vật Lý như nhau trong các hệ quy chiếu
quán tính nên α = β . Hơn nữa theo tiên đề một thì vận tốc ánh sáng là như
nhau trong các hệ quy chiếu quán tính nên ánh sáng đến A và B cùng một lúc.
Ta có:
x = ct, x’ = ct’,
Nên tích:
x.x’ = c2tt’ = α 2(x - vt)(x’ + vt’)
= α 2 (ct - vt)(ct’ + vt’)
Dẫn đến:
c2tt’ = α 2 (c2tt’ + cvtt’ - cvtt’ - v2tt’),
hay:

c2 = α 2 (c2 - v2), suy ra α 2 =

hoặc

α = ±

1
1 −

v2
c2

= ±

1
1 − β2

c2

,
c2 − v
, β2 =

v2
.
c2

Thay vào các biểu thức của x và x’ và lưu ý rằng hệ O’,x’,y’z’ (k’)
chuyển động dọc theo trục Ox của hệ O,x,y,z (k) nên y = y’, z = z’. Cuối cùng
ta có các phép biến đổi Lorentz:
x − vt

x' =

1− β

2

x=

x' + vt

1 − β2

y' = y

y = y'

z' = z

z = z'

t' =

v
x
c2
1 − β2

t −

t =

v
x'
c2
1 − β2

t' +

5.2.3. Ý NGHĨA CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LORENTZ
79

(V-1).


Giáo trình Vật lý 1

ThS. Trương Thành

- Theo các phép biến đổi Lorentz thì thời gian của cùng một biến cố trôi
đi trong các hệ quy chiếu khác nhau thì khác nhau ( t ≠ t ' ).
- Các công thức Lorentz chỉ có ý nghĩa khi v < c điều đó chứng tỏ vận
tốc ánh sáng là vận tốc lớn nhất của vật chất.
- Cũng theo các phép biến đổi này thì không gian và thời gian gắn liền
chặt chẽ với nhau trong sự chuyển động của vật chất (không tách rời
nhau).
- Trong trường hợp v << c thì β = 0 các phép biến đổi Lorentz trở về
các phép biến đổi Galileo. Điều đó chứng tỏ các phép biến đổi Lorentz
là tổng quát nhất, hay nói các phép biến đổi Galileo là trường hợp giới
hạn của các phép biến đổi Lorentz.

80


Giáo trình Vật lý 1

ThS. Trương Thành

5.3. SỰ CO NGẮN CỦA CHIỀU DÀI,
SỰ CHẬM LẠI CỦA THỜI GIAN
TRONG HỆ QUY CHIẾU VẬT CHUYỂN ĐỘNG
5.3.1. SỰ CO NGẮN CỦA CHIỀU DÀI
Ta xét thanh AB đặt
Z
z
z
dọc theo trục Ox của hai hệ
quy chiếu có các trục tương

ứng trùng nhau như hình vẽ
A
(trong đó hệ (k’) chuyển động
đều dọc theo trục Ox của hệ
(k) với vận tốc không đổi V.
O’
O
Vì thanh AB nằm yên trong
hệ (k’) nên chiều dài của nó
Y’
y
(chiều dài riêng):
Hình V-3
l = x' − x'
0

B

B
x, x’

A

(a).
Còn chiều dài của nó trong hệ (k) - hệ mà nó chuyển động là:
l = xB − x A
(b).
Mặt khác:
x A' =

x A − vt
1 − β2

, x B' =

x B − vt
1 − β2

l 0 = x B' − x A' =

Nên:

x B − vt
1 − β

2

−

Tóm lại l 0 =

x A − vt
1 − β
l

2

1 − β2

=

.

l
1 − β

2

(V-2).

Kết luận: Trong hệ quy chiếu mà vật
chuyển động kích thước của vật bị co ngắn
lại theo phương mà nó chuyển động.
v = 0 Hình V-4 v > 0
Hình vẽ bên cạnh minh họa các hình
tròn trở thành elip, các hình vuông trở
thành hình chữ nhật trong hệ quy chiếu mà nó chuyển động.
5.3.2. SỰ CHẬM LẠI CỦA THỜI GIAN
Sau đây ta xét một biến cố xẩy ra trong hai hệ quy chiếu: hệ đứng yên (k) và
hệ chuyển động (k’). Khoảng thời gian tương ứng trong hai hệ quy chiếu là:
- Trong hệ (k’):
(a).
∆t 0 = t 2' − t1'
∆t = t 2 − t1
(b).
- Trong hệ (k):

81

Giáo trình Vật lý 1

ThS. Trương Thành

∆t = t 2 − t 1 =

v
v
x'
t1' + 2 x'
2
c
c
.
−
2
1 − β
1 − β2

t 2' +

∆t 0

.

Do đó:

∆t =

Hay:

∆ t 0 = ∆t 1 − β 2

1 − β2

(V-3).

( ∆t > ∆t 0 )
Kết luận: Khoảng thời gian của một biến cố trong hệ quy chiếu mà vật chuyển
động dài hơn trong trong hệ quy chiếu mà vật đứng yên.
Chú ý: Một số đại lượng tương đối tính khác:
m0

- Khối lượng tương đối tính

m =

- Mật độ điện tích khối

ρ =

- Năng lượng tương đối tính

E = mc

- Thể tích tương đối tính

V0 =

(V-4).

1 − β2

ρ0

(V-5).

1 − β2
=

2

m0 c 2
1 − β2

V
1 − β2

(V-6).
(V-7).

5.3.3. VÍ DỤ
Hạt pimezon sinh ra trên tầng bình lưu cách mặt đất 45km với vận tốc
0,999c với thời gian sống là 2,2.10-8s, nhưng lại tìm thấy ngay trên mặt đất
mặc dầu với thời gian và vận tốc đó theo Cơ học cổ điển nó chỉ đi được 7m.
Bài giải:
Theo bài ra thì: v = 0,99c, τ = 2,2.10-8s, ∆ l = S0 = 7m.
Trên quan điểm tương đối tính thời gian sống của nó trong hệ quy
chiếu gắn với trái đất là:
τ =

τ0
1 − β

2

=

2,2.10 −8
1 − (0,999)

2

= 15,4.10 −5 s .

Nên thực tế quảng đường mà nó đi được:
∆l = S = τv = 15,4.10 −8.0,999.3.10 8 = 45km

đủ để tìm thấy nó ở mặt đất.

82


Giáo trình Vật lý 1

ThS. Trương Thành

Bài tập chương V.
THUYẾT TƯƠNG ĐỐI EINSTEIN,
Bài tập mẫu 1:

Một hình tam giác cân đứng yên đối với hệ quy chiếu (k’) có cạnh đây
nằm trên trục x’có diện tích S. Hệ (k’) chuyển động thẳng đều đối với hệ quy
chiếu quán tính (k) dọc theo trục x với vận tốc v =

4
c . Tìm diện tích của hệ
5

quy chiếu trên và các góc của nó trong hệ quy chiếu quán tính (k).
Giải:
- Trong hệ quy chiếu (k) diện tích:
S =

1
v2
hl , l = l 0 1 − 2 .
2
c

4
v
S
l
=
⇒
=
=
5
c
S ' l0

1−

3
v2
⇒ S = S '.
2
5
c

- Các góc:
l
( )
l
tgα = 2 , h = 0
2
h

⇒ tgα =

3
l
=
= 0,6
5
l0
.
⇒ α = 310

)

)
)
A = 2α = 62 0 , B = C = 90 0 − 310 = 59 0 .

Bài tập mẫu 2:
Một ngôi sao chuyển động xa Trái đất với vận tốc 5.10 −3 c . Tìm độ dịch
chuyển bước sóng gây bởi hiệu ứng Doppler đối với vạch D2 của Na
( 5890 A 0 ).
Giải: Theo phương trình Doppler:
c

λ

=

c

λ0

λ = λ0

c − γ
c
c
, (γ =
; γ0 =
).
λ
λ0
c + γ

1 +
1 −

γ
c ⇒ λ = 5920( A 0 ) .

γ

c

Vậy độ dịch chuyển bước sóng
∆λ = λ − λ0 = 5920 − 5890 = 30( A 0 ).

Bài tập tự giải:
1. Các toạ độ của một chớp sáng do một quan sát viên trong hệ (k) đo được là
x = 100km, y = 10km, z = 1km, ở thời điểm t = 5.10-4 s. Hãy tính các toạ độ
không gian và thời gian của các biến cố đó đối với một quan sát viên trong hệ
(k’) chuyển động so với hệ (k) với vận tốc v = 0,8c dọc theo trục chung x ' , x .
83


Giáo trình Vật lý 1

ThS. Trương Thành

Đáp số:

x' = 367(km) ;
y ' = y = 100(km)
z ' = z = 1( km)

t ' = 12,8.10 − 4 ( s ) ;

2. Một thanh chuyển động theo chiều dọc với vận tốc v không đổi đối với hệ
quy chiếu quán tính (k). Cho biết độ dài của thanh trong hệ quy chiếu (k) sẽ
ngắn hơn chiều dài riêng của nó ( đo trong hệ quy chiếu quán tính (k’)gắn liền
với thanh ) là k = 2%. Tìm gía trị của v.
Đáp số: v = 0,5c
3. Tìm độ dài riêng của thanh, nếu trong hệ quy chiếu quán tính (k) (hệ quy
chiếu phòng thí nghiệm) vận tốc của nó bằng v = 0,5c, độ dài l = 1,00m và
góc hợp với phương chuyển động là θ = 450.
Đáp số: l 0 = 1,08(m)
-8
4. Chu kỳ bán rã của các pion là 1,8.10 s . Một chùm piôn phát ra từ một
máy gia tốc với vận tốc 0,8c. Tìm quãng đường theo quan điểm tương đối tính
để trên quãng đường đó một nữa số hạt piôn bị phân rã.
Đáp số: d = d l = 7,2(m )
5. Một thước mét chuyển động với vận tốc 0,6c trước một quan sát viên theo
hướng song song với độ dài của thước. Hỏi cần bao nhiêu thời gian để thước
đi ngang qua người quan sát viên đứng yên trong hệ quy chiếu phòng thí
nghiệm.
Đáp số: ∆t = 4,44.10 −9 ( s)
6. Một quan sát viên o’chuyển động với vận tốc 0,8c đối với một trạm vũ trụ
và hướng về phía ngôi sao α của chòm Nhân Mã ở cách nó 4 năm ánh sáng
(nas). Khi đến nơi k’quay xung quanh sao α và trở về ngay trạm vũ trụ để
gặp lại người anh sinh đôi của mình vẫn thường xuyên ở trên trạm vũ trụ. Hãy
so sánh tuổi của hai anh em khi họ gặp nhau.
Đáp số: Hơn kém nhau 4 tuổi
r
r
7. Chứng tỏ rằng giữa năng lượng E và động lượng p , vận tốc v của hạt trong

thuyết tương đối liên hệ với nhau qua các biểu thức :
s

a). p =

E r
v
c2

b). E = c p 2 + mc 2
Hướng dẫn:
a).

r
P =

r
m0 v
1 −

v2
c2

, E=

m0 c 2
1 −

b).

84

v2
c2

r
E r
⇒ P = 2v
c


Giáo trình Vật lý 1

ThS. Trương Thành

P2 =

Mặt khâc ta có

m02 c 4
v2
c2 2
⇒ 2 = 2P
v2
c
E
1 − 2
c
m02 c 4
v

c2 2
P
⇒ 1 −
=
=
c2
E2
E2

E2 2
E 2 v2
=
v
. 2 , E2 =
4
2
c
c c

1 −

m02 c 4
v2
=
c2
E2

E 2 − m02 c 4 = c 2 P 2 ⇒ E = c P 2 + m02 c 2

8. Một vật đứng yên tan vở thành hai mảnh, chuyển động theo hai hướng

ngược nhau. Khối lượng nghỉ của hai mảnh là 3kg và 5,33kg, với vận tốc lần
lượt là 0,8c và 0,6c. Tìm khối lượng ban đầu của vật.
Đáp số: M0 =11,66 kg
9. Một tam giác vuông cân đứng yên đối với hệ quy chiếu quán tính K’ có
cạnh đáy nằm trên trục x’, có diện tích S’ Hệ quy chiếu K’ chuyển động thẳng
đều đối với hệ quy chiếu quán tính K theo trục x với vận tốc 0,8c. Tìm diện
tích của tam giác trên và các góc của nó trong hệ quy chiếu K.
Đáp số:
S = 3S’/5,
A = 2 α = 620,
B = C =590
10. Chứng tỏ rằng giữa năng lượng E, xung lượng P, vận tốc v của hạt trong
thuyết tương đối thoả mãn:

r

a). P =

E r
v . b). E = c P 2 + m02 c 2 .
c2

85


Giáo trình Vật lý 1

ThS. Trương Thành

TÀI LIỆU THAM KHẢO

13. Nguyển Hữu Mình. CƠ HỌC. NXBGD năm 1998.
14. Nguyển Xuân Chi và các tác giả. VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG, tập 1, 2,
NXBĐH và THCN năm 1998.
15. Lương Duyên Bình. VẬT LÍ ĐẠI CƯƠNG, tập 1,2, NXBGD1996.
16. Vũ Thanh Khiết và các tác giả. GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐẠI CƯƠNG.
NXBGD năm 1977.
17. DAVID HALLIDAY (tập I - cơ học I) và các tác giả CƠ SỞ VẬT LÝ.
NXBGD năm 1996.
18. DAVID HALLIDAY (tập II - cơ học II) và các tác giả CƠ SỞ VT LÝ.
NXBGD năm 1996.

86


Giáo trình Vật Lý 1

ThS. Trương Thành

Chương VI.
THUYẾT ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ
NGUYÊN LÝ I NHIỆT ĐỘNG HỌC
6.1. THUYẾT ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ
6.1.1. THUYẾT ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ
Ở phổ thông chúng ta đã biết rằng các phân tử chất khí có một số lượng rất
lớn và không ngừng chuyển động hỗn loạn, chuyển động này gọi là chuyển
động Brown. Để giải thích cấu tạo của vật chất, thuyết động học phân tử
nghiên cứu một lượng rất lớn các phân tử và bao gồm các giả thiết có nôi
dung cơ bản sau đây:
- Các chất được cấu tạo gián đoạn và gồm một số rất lớn các phân tử có
kích thước nhỏ cở 10-7 cm.

- Các phân tử vật chất không ngừng chuyển động hỗn loạn.
- Bỏ qua tương tác không tiếp xúc của các phân tử, va chạm giữa chúng
với thành bình được xem là đàn hồi.
6.1.2. CÁC THÔNG SỐ TRẠNG THÁI
6.1.2.1. Khái niệm nhiệt độ, các thang đo nhiệt độ
Nhiệt độ của hệ là đại lượng đặc trưng cho mức độ chuyển động nhiệt
của một hệ. Và như vậy động năng của một hệ nhiệt còn gọi là động năng của
chuyển động nhiệt.
Chúng ta cần phân biệt nhiệt độ với nhiệt lượng và năng lượng:
- Nhiệt lượng của hệ là phần động năng của chuyển động nhiệt đem ra
trao đổi.
- Năng lượng của chuyển động nhiệt của hệ là tổng động năng của tất cả
các phân tử cấu thành hệ.
Hiện nay có 2 thang đo nhiệt độ thông dụng nhất là thang đo Celsius và
thang đo Kelvin (Lord Kelvin (1824 - 1907) người Anh). Thang đo Celsius
lấy nhiệt độ của nước đá nguyên chất đang tan làm độ 00 và nhiệt độ của nước
nguyên chất đang sôi là 1000; đơn vị là 0C để kỷ niệm nhà bác học Celsius đã
xây dựng nên thang đo này. Còn nhiệt độ Kelvin (K) do Kelvin thiết lập có
mối liên hệ với độ C là T = t0C + 273 (K). Như vậy 00C ứng với 273K của
nhiệt độ tuyệt đối Kelvin.
6.1.2.2.Áp suất
Áp suất là độ lớn của lực tác dụng vuông góc lên một đơn vị diện tích.
Áp suất thường kí hiệu bằng chữ P trong hệ đơn vị SI nó có đơn vị đo là N/m2
. Ngoài ra người ta còn dùng các đơn vị khác như: at hay mmHg. Trong đó :
1at = 760mmHg , 1at = 9,81.104 N/m2
1mmHg = 1tor, 1N/m2 = 1Pa
6.12.3.Thể tích

82

Giáo trình Vật Lý 1

ThS. Trương Thành

Thể tích ký hiệu là V đơn vị là m3 trong hệ đơn vị SI. Ngoài người ta
còn dùng các đơn vị khác của thể tích như cm3, dm3, mm3..vv..
6.1.2.4. Một số thông số khác
- Khối lượng của một phân tử khí m (đơn vị trong hệ: SI là kg/phân tử).
- Khối lượng riêng của khối khí ρ (đơn vị trong hệ: SI là kg/m3).
- Khối lượng của một kmol khí µ (đơn vị trong hệ: SI là kg/kmol).
- Khối lượng của khối khí M (đơn vị trong hệ: SI là kg).
- Số phân tử có trong một kmol khí NA = 6,023.1026 ( phân tử/kmol).
- Số phân tử có trong khối khí N (phân tử).
- Số phân tử có trong một đơn vị thể tích khí n (đơn vị trong hệ SI là:
ptử/m3).
6.1.3. PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI KHÍ LÝ TƯỞNG
Để xác định trạng thái của một chất khí cần ba đại lượng: áp suất P;
nhiệt độ T và thể tích V gọi là các thông số của trạng thái.
Phương trình biểu diễn mối liên hệ
z
giữa các thông số của trạng thái gọi là
phương trình trạng thái. Chẳng hạn p =
∆S
f(V, T) hay V = f(P,T) và T = f(P,V)
Để đi đến phương trình trạng thái ta
xét thí nghiệm trên hình vẽ bên cạnh. Trên
đó ta xét thể tích ∆V trong không gian V có
O
x

dạng hình trụ với diện tích đáy ∆S đường
sinh ∆l = v∆t . Số phân tử (n đến va chạm
∆ l = v∆ t
y
với ∆S trong thời gian ∆t gây ra một áp
suất:
Với:

F
∆S
1
n∆Sv∆t
.
∆n = n∆V =
6
6
P =

(a).

Hình VI-1

(b),

Có 1/6 là vì các phân tử chuyển động hỗn loạn mà 6 hướng của ba trục toạ độ
thì tương đương nhau. Trong đó F là tổng hớp lực tác dụng của (n phân tử lên
∆S trong thời gian ∆t .
Mặt khác theo thuyết động học phân tử thì va chạm giữa phân tử với
thành bình là va chạm đàn hồi nên biến thiên động lượng:
r

r
r
f∆t = mv − ( − mv ) ⇒ f∆t = 2mv

f là lực mà một phân tử tác dụng lên thành bình:
f =

2mv
.
∆t

Vậy lực mà ∆n phân tử tác dụng lên thành bình là:

83

r
−v

r

Hình VI-2


Giáo trình Vật Lý 1

ThS. Trương Thành

F = ∆n. f =

Do đó

P =

2mv nv∆t∆S
2mv 2 n∆S
.
.
=
6
6
∆t

2 ⎛ mv 2 ⎞
F
mv 2 n
⎟.
=
= n⎜⎜
∆S
3
3 ⎝ 2 ⎟⎠

Vì các phân tử có vận tốc khác nhau nên ta phải thay động năng của
một phân tử bằng động năng trung bình của các phân tử. Nghĩa là:
v2 =

v12 + v 22 + ....+ v n2
n

P =

2 mv 2
2 _
n(
) =
nW .
3
2
3

(VI-1).

Phương trình (VI-1) mà ta đã nói đến ở trên là phương trình cơ bản của
thuyết động học phân tử.
6.1.4. HỆ QUẢ
- Dạng khác của phương trình cơ bản:
Từ phương trình cơ bản: P =

2 _
nW .
3

Từ phương trình Claferon - Mendêlêev:
ta có:

PV =

M

µ

RT

−
2 −
MRT
3MRT
nW =
. Do đó: W =
.
3
µV
2nµV

Ta dễ dàng chứng minh được:

M
1
=
.
µnV
NA

Trong đó K là hằng số Boltzmann, K = 1,38.10-23J/độ. R là hằng số khí lý
tưởng: R = NA.K = 8,3.103
Do đó:

J
ec
.

= 8,31.1010
Kmolâäü
Kmolâäü
−
3KT
W =
2

(VI-2).

- Công thức tính áp suất:
Nếu thay (VI-2) vào (VI-1) ta có kết quả thú vị:
P = nKT

84

(VI-3).


Giáo trình Vật Lý 1

ThS. Trương Thành

6.2. NỘI NĂNG KHÍ LÝ TƯỞNG
6.2.1. NỘI NĂNG
6.2.1.1. Khái niệm nội năng
Nội năng của hệ là năng lượng bên trong của một hệ nhiệt bao gồm
động năng chuyển động nhiệt của các phân tử và thế năng tương tác giữa
chúng. Nhưng vì thuyết động học phân tử bỏ qua các tương tác không tiếp
xúc nên nội năng chính là tổng động năng của các phân tử. Nghĩa là nếu ta gọi

_

nội năng là U và N là số phân tử của hệ thì: U = N .W .
_

W là động năng trung bình chuyển động nhiệt của mỗi phân tử.

6.2.1.2. Sự phân bố đều động năng theo bậc tự do
Khái niệm bậc tự do
Số bậc tự do của một phân tử là số tọa độ độc lập xác định vị trí của
phân tử đó
Với định nghĩa như vậy thì đơn nguyên tử (ví dụ các nguyên tử: H, O,
N, ...) là một điểm (A) nên số bậc tự do là 3 (chẳng hạn x, y, z) (hình VI-3).
Vì để xác định nó chỉ cần ba tọa độ x, y, z.
Phân tử lưỡng nguyên tử có thể xem là một một đoạn thẳng (như OA
trên hình vẽ) nên số bậc tự do là 5 (chẳng hạn x, y, z, ϕ , θ , hình VI-3). Vì để
xác định nó cần năm tọa độ x, y, z, ϕ , θ , ví dụ các phân tử H2, O2, N2, ...
Người ta chứng minh được Phân
z
tử đa nguyên tử (có từ ba nguyên tử trở
lên) có số bậc tự do là 6, vì để xác định
nó cần sáu tọa độ. Ví dụ các phân tử
A
CO2, NH3, , HNO3, ...
Nếu kí hiệu số bậc tự do của
phân tử là i thì phương trình cơ bản của
(
‘Thuyết động học phân tử” phải được
viết tổng quát hơn là:
y

O
P =

2 _
nW .
i

x

(

Định luật phân bố đều động năng theo
H. VI-3
bậc tự do của Maxwell:
Động năng trung bình của chuyển động nhiệt của các phân tử phân bố
đều theo bậc tự do, động năng mỗi bậc tự do là KT/2
6.2.1.3. Biểu thức nội năng
Theo định luật phân bố đều động năng theo bậc tự do của Maxwell nếu
phân tử có số bậc tự do là i thì động năng trung bình của nó là:

85


Giáo trình Vật Lý 1

ThS. Trương Thành
_

W =

iKT
.
2

Nếu khối khí đang xét có khối lượng M, khối lượng kmol là µ , chứa N phân
_

tử thì nội năng của nó:

U = N .W .

Trong khi đó thì:

N =

M

µ

NA

(Trong đó NA là số Avogadro). Dẫn đến:
Đơn nguyên tử i = 3
M
M
iKN AT =
iRT
2µ
2µ

U =

Lưỡng nguyên tử i = 5
Đa nguyên tử i = 6.

Tóm lại:

M
iRT
2µ

U =

(VI-4).

Nhận xét:
- Nội năng của một khối khí phụ thuộc vào nhiệt độ
- Nhiệt độ càng cao thì nội năng của khối khí càng lớn.
- Đối với một kmol khí thì: M = µ
Nên:

U1 =

iRT
2

6.2.2. CÁC ĐỊNH LUẬT PHÂN BỐ PHÂN TỬ KHÍ TRONG TRƯỜNG
TRỌNG LỰC
6.2.2.1. Vận tốc trung bình và vận tốc ứng với cực đại của hàm phân bố
xác suất theo vận tốc

Trong phạm vi chương trình này chúng tôi không đưa ra hàm phân bố
phân tử và hàm phân bố xác suất theo vận tốc của Maxwell mà chỉ xét hệ quả
quan trọng của nó là tìm vận tốc trung bình của phân tử và vận tốc ứng với
cực đại của hàm phân bố xác suất:
- Vận tốc trung bình của phân tử:
v=

v1 + v 2 + .... + v n
n

=

8 KT
=
πm

8 RT

πµ

(VI-5a).

- Vận tốc ứng với cực đại của hàm phân bố:
v xs =

2 KT
=
m

2 RT

(VI-5b).

µ

6.2.2.2. Sự phân bố áp suất và mật độ phân tử khí quyển theo độ cao

86


Giáo trình Vật Lý 1

ThS. Trương Thành

Ta hãy xét sự phân bố áp suất theo độ cao trong trường trọng lực. Xét
một thể tích dV tại độ cao h có đáy S và chiều cao dh. Áp suất ở mặt đất là P0;
ở độ cao h là P ở độ cao h + dh là P + dP.Ta
có:

dP =

h

dF
dp
=
S
S

P+dP

(với dp là trọng lượng của dV).
Nhưng: dp = dm.g = m.n.dvg = m.ngSdh
(với m là khối lượng của một phần tử khí; n
là mât độ phân tử khối tại độ cao h). Tóm lại
ta có:
dP = - mngdh.
Nhưng thuyết động học phân tử cho
n=

P
, nên:
KT

p

dh
P

h

O
mgh

h

−
mgPdh
dP
mg

KT
dP =→∫
=−
dh
→
P
=
P
e
0
∫
KT
P
KT
P0
0

Hình VI-4

Ta thấy áp suất khí quyển giảm theo độ cao trong trường trọng lực. Từ
công thức áp suất ta suy ra công thức phân bố mật độ phân tử theo độ cao là:
−

mgh

n = n0 e KT
(VI-5c).
(với n0 là mật độ phân tử ở mặt đất, n là mật độ phân tử ở cao độ h, g là gia
tốc trọng trường tại điểm đang xét còn m là khối lượng của một phân tử khí).
6.2.2.3. Ví dụ

Tính mật độ phân tử khí tại mặt đất ở điều điện tiêu chuẩn P0
=1,013.105N/m2 và nhiệt độ 273K.
n =

iP
_

2W

=

iP
P
=
= 2,687.10 25 / m 3 (Số Loschmidt)
i
KT
2 KT
2

87


Giáo trình Vật Lý 1

ThS. Trương Thành

6.3. NGUYÊN LÝ I NHIỆT ĐỘNG HỌC
6.3.1. NĂNG LƯỢNG, CÔNG, NHIỆT
Vật chất vận động rất đa dạng nên năng lượng cũng có rất nhiều dạng

khác nhau như: điện năng, nhiệt năng, hoá năng, quang năng, năng lượng
nguyên tử .v.v...Ở đây ta chỉ xét năng lượng của chuyển động nhiệt (hay nhiệt
năng). Với khối khí cô lập thì năng lượng của khối khí chính là nội năng của
nó:
W = U
Hình bên vẽ một xilider (xylanh) chứa khí có piston để có thể nén hay
giản khối khí.
Khi nén một khối khí trong xilider (xilanh) ta thấy khối khí nóng lên
chứng tỏ công đã chuyển hoá thành nhiệt.
r
Ngược lại đốt nóng khối khí trong xilider
F
(xilanh) ta thấy piston chuyển động, như
x
vậy nhiệt đã chuyển hoá thành công (hình
0
VI-5)
Hình VI-5
Vậy công và nhiệt có thể chuyển hoá
qua lại lẫn nhau và là một dạng của chuyển
hoá năng lượng (hay phần năng lượng đã trao đổi). Các tính toán đã chứng tỏ
rằng một công là một J nếu chuyển hoá hết thành nhiệt là 0,24cal; ngược lại
nếu một nhiệt lượng là một cal nếu chuyển hoá hết thành nhiệt sẽ là 4,18J.
6.3.2. NGUYÊN LÝ I NHIỆT ĐỘNG HỌC
6.3.2.1. Nguyên lý I
Độ biến thiên nội năng của một hệ trong một quá trình biến đổi nào đó
bằng tổng công và nhiệt mà hệ nhận được trong quá trình biến đổi đó.
(VI-6).
Nghĩa là
∆U = A + Q

(A là công ,Q là nhiệt mà hệ nhận )
Dạng vi phân:
dU = dA + dQ
6.3.2.2. Nhận xét nguyên lý I
- Nếu A = 0, Q = 0 thì ∆U = 0 . Nghĩa là hệ không nhận công và nhiệt
(hệ cô lập) thì nội năng bảo toàn.
- Nếu A > 0, Q > 0 thì ∆U > 0 dẫn đến U2 > U1. Nghĩa là hệ nhận công
và nhận nhiệt thì nội năng của hệ tăng lên.
- Nếu A < 0, Q < 0 thì ∆U < 0 dẫn đến U2 < U1. Nghĩa là hệ thực hiện
công và tỏa nhiệt thì nội năng của hệ giảm xuống.
- Nếu ∆U = 0 mà A ≠ 0, Q ≠ 0 thì:
* A > 0 thì Q < 0. Để nội năng không đổi thì hệ nhận công phải
tỏa nhiệt

88


Giáo trình Vật Lý 1

ThS. Trương Thành

* A < 0 thì Q > 0. Để nội năng không đổi thì hệ nhận nhiệt phải
thực hiện công.

89


Giáo trình Vật Lý 1

ThS. Trương Thành

6.4. TRẠNG THÁI CÂN
BẰNG, CÔNG VÀ NHIỆT
6.4.1. Định nghĩa
Trạng thái cân bằng của một hệ là trạng thái trong đó các thông số
trạng thái (P, V, T) không thay đổi theo thời gian và nếu không có tác dụng từ
bên ngoài thì trạng thái đó tồn tại vĩnh viễn.
Trên thực tế mọi quá trình biến đổi là để đạt đến trạng thái cân bằng,
quá trình đó phải mất một thời gian nhất định và khi trạng thái cân bằng được
xác lập thì quá trình biến đổi kết thúc.
r
F
6.4.2. Công trong quá trình cân bằng
x
Hình bên vẽ một xilider (xylanh) chứa khí
dx
có piston để có thể nén hay giản khối khí. Khi
0
nén khối khí trong xilanh bằng một lực F làm
piston dịch chuyển một đoạn dx thì cần một công
cơ học có độ lớn là:
Hình VI-6
r r
dAc = Fdx = Fdx
Do đó công mà khối khí nhận được:
dA = -dAc = -Fdx
P
Nhưng:
F = PS nên:
dA =-PSdx = -PdV.

Trong đó P là áp suất trên piston còn S là
diện tích của piston.
Suy ra công mà khối khí nhận được
trong một quá trình biến đổi nào đó là:
V2

A = − ∫ PdV

(VI-7).

V1

O

V

Hệ quả: Công của một quá trình kín có độ
Hình VI-7
lớn bằng diện tích giới hạn bởi đường cong
kín của đồ thị về sự phụ thuộc của áp suất vào thể tích.
6.4.3. Nhiệt trong quá trình cân bằng
Trong chương trình phổ thông ta biết rằng khi một khối khí tăng hay
giảm nhiệt độ từ T1 lên T2 thì nó đã nhận hay tỏa một nhiệt lượng:
dQ = cmdT
(c là nhiệt dung riêng (đơn vị trong hệ SI là J/kgK)).
Trong nhiệt học người ta còn đưa ra khái niệm nhiệt dung phân tử C có
định nghĩa: C = µc
nên:

dQ =

m

µ

(VI-8).

CdT

90


Giáo trình Vật Lý 1

ThS. Trương Thành

(dT dương hệ nhận nhiệt, dT âm hệ tỏa nhiệt).

91


Giáo trình Vật Lý 1

ThS. Trương Thành

6.5. ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ I
6.5.1. QUÁ TRÌNH ĐẲNG TÍCH (Định luật Charles)
Định nghĩa
Quá trình đẳng tích là quá trình biến đổi của hệ mà thể tích được giữ
không thay đổi.

Phương trình:
V = const hay P/T = const
P
P1
P
= 2 = 3 = ...
T1
T2
T3

hoặc
Công mà hệ nhận

V2

V2

V1

V1

A = − ∫ PdV = − P ∫ dV = P(V1 − V2 )
A = 0

Biến thiên nội năng
m
iRT nen
2µ

U =

(Trong đó CV =

∆U =

m
iR∆T
2µ

iR
gọi là nhiêt dung phân tử đẳng tích)
2

Nhiêt mà hệ nhận
Theo nguyên lý I:

∆U = A + Q
⇒ Q = ∆U − A = ∆U

Q =

m
iR∆T
2µ

6.5.2. QUÁ TRÌNH ĐẲNG ÁP (Định luật Gay - Lussac)
Định nghĩa
Quá trình đẳng áp là quá trình biến đổi của hệ mà áp suất luôn luôn
được giữ không đổi.
Phương trình:

P = const hay V/T = const,
hoặc

V
V1
V
= 2 = 3 = ...
T1
T2
T3

Công mà hệ nhận

A = − ∫ PdV = − P ∫ dV

Biến thiên nội năng

∆U =

V2

V2

V1

V1

m
iR∆T
2µ

Nhiêt mà hệ nhận, theo nguyên lý I:
∆U = A + Q
⇒ Q = ∆U − A

92

= P(V1 − V2 ) .


Giáo trình Vật Lý 1

ThS. Trương Thành

m iR
(
+ R )∆T
µ 2
m
⇒ Q = C P ∆T

Q=

µ

(Trong đó C P =

iR
+ R gọi là nhiêt dung phân tử đẳng áp).
2

6.5.3. QUÁ TRÌNH ĐẲNG NHIỆT(Định luật Boyle - Mariotte)
Định nghĩa
Quá trình đẳng nhiệt là quá trình biến đổi của hệ mà nhiệt độ luôn luôn
được giữ không đổi
Phương trình:
T = const hay PV = const,
hoặc
P1V1 = P2V2 = P3V3 = .....
Công mà hệ nhận
Mà

V2

V2

V1

V1

A = − ∫ PdV = − P ∫ dV .
P1V1 = P V ⇒ P =

P1V1
.
V

V2

V

V
dV
= P1V1 ln 1 ⇒ A = P1V1 ln 1
V
V2
V2
V1

Suy ra:

A = − P1V1 ∫

Biến thiên nội năng

∆U =

m
iR∆T = 0 ⇒ ∆U = 0
2µ

Nhiêt mà hệ nhận, theo nguyên lý I:
∆U = A + Q

⇒ Q = ∆U − A = − A = − P1V1 ln

V1
V2

6.5.4. QUÁ TRÌNH ĐOẠN NHIỆT
Định nghĩa

Quá trình đoạn nhiệt là quá trình hệ không trao đổi nhiệt:
Q = 0 hay dQ = 0 ,
PV γ = const ,

Phương trình:

TV γ −1 = const ,
1−γ

TP

Công mà hệ nhận
Và:

γ

= const
V2

V2

V1

V1

A = − ∫ PdV = − P ∫ dV ,

A =

P2V2 − P1V1

C
i+2
, (Trong đó γ = P =
).
γ −1
CV
i

93


Giáo trình Vật Lý 1

Nhiêt mà hệ nhận
Biến thiên nội năng
∆U = A =

ThS. Trương Thành

Q = 0

⎛V
P2V2 − P1V1
MRT1 ⎡
⎢1 − ⎜⎜ 2
=
γ −1
µ (γ − 1) ⎢
⎝ V1
⎣

94

⎞
⎟⎟
⎠

1−γ

⎤
⎥
⎥⎦


Giáo trình Vật Lý 1

ThS. Trương Thành

Bài tập chương VI.
THUYẾT ĐỘNG HỌC PHÂN TỬ,
NGUYÊN LÝ I NHIỆT ĐỘNG HỌC
Trong chương này có các bài toán và các định luật phân bố phân tử
giúp cho sinh viên:
- Nắm được ý nghĩa của các loại vận tốc của chuyển động phân tử.
- Tính công, nhiệt mà hệ trao đổi với bên ngoài
- Tính độ biến thiên nội năng của hệ trong các quá trình biến đổi.
Để giải bài toán loại này ta cần vận dụng:
- Nguyên lý thứ nhất của nhiệt động học
- Các biểu thức tính công và nhiệt hệ nhận trong các quá trình cân
bằng:

- Trường hợp chung:

A=

- Quá trình đẳng áp:

Q=

- Quá trình đẳng tích:
- Quá trình đẳng nhiệt:

∫

V2

V1

− pdV

m
. Cp. ∆ T
µ
m
Q = . Cv. ∆ T
µ

Q=-A=

V
m

. RTIn 2
µ
V1

(ở đây T2 = T1 = T)
- Quá trình đoạn nhiệt:

A=

p2 V2 − p1 V1
γ −1

Độ biến thiên nội năng ∆ U của hệ trong các quá trình:
∆U =

m iR
.
. ∆T
µ 2

(Vì U là một hàm trạng thái nên ∆ U không phụ thuộc vào quá trình diễn biến
của hệ ).
Bài tập mẫu 1:
Một khối khí có số bậc tự do i = 5 chứa trong một bình có thể tích 10
lít. Áp suất của khí bình là 10- 11 mmHg. Nhiệt độ là 100 C.
1. Tính động năng tịnh tiến trung bình và mật độ của các phân tử khí
trong bình ?
2. Nếu mật độ phân tử của khí trong bình tăng gấp đôi nhưng áp suất
vẫn giữ như cũ thì nhiệt độ của khí trong bình bằng bao nhiêu ? Thể tích khối
khí lúc đó sẽ bằng bao nhiêu ?

3. Tính nội năng của lượng khí trong bình trong 2 trường hợp trên?
Giải: Dùng Hệ đơn vị SI
Cho:
Tìm:
W =?
i=5
n=?
-3
3
3
V = 10 lít = 10.10 m = 0,01m
T’ = ?
95


Giáo trình Vật Lý 1

ThS. Trương Thành

t = 100C, T = 283K

v’ = ?
U =?
U’ = ?

Động năng tịnh tiến trung bình của mỗi phân tử khí trong bình tính bằng công
i
KT
2

thức:

W=

Ta đã có:

K = 1,38.10- 23J/K, T = 2830K

Vậy:

5
x 1,38 x 10- 23 x 283 = 9,77.10- 21J
2
- 21
W = 9,77.10 J
2
i
Từ hai công thức P = n W và W = KT, ta suy ra:
i
2
p
n=
KT
10 − 11
x 9,81 x 10 4
phántæ
760
= 3,41. 1011
n=
− 23

1,38.10 .283
m3
phántæ
n = 3,41. 1011
m3
W=

Cho:
Từ 2 công thức
Ta suy ra:
và :
hay

n’ = 2 n
P’ = P

T’ = ?
V’ = ?

P'
P'
và n’ =
KT
KT '
n
T'
1
=
=
T

2
n'

n=

T’ =

T
2830
=
= 141,5K
2
2

t’ = T’ - 273K = - 131,5C.
t’ = - 131,50C.
Vì quá trình là đẳng áp nên ta có:
V' T' 1
v 0,010
= 0,005 m3
= = , nên V ' = =
V T 2
2
2

V’ = 0,005 m3
3) Tính nội năng của khí trong bình trong hai trường hợp trên:
- Trong trường hợp thứ nhất: nội năng của khí trong bình bằng:
U = N.

iKT
2

Với N = nV (V là thể tích của bình chứa)
N = 3,14. 1011

phántæ
m

3

96

x 0,010 m3 = 3,14. 109 phân tử