Đề thi cuối kì vi tích phân a1 2012 2013 đại học cần thơ

1
ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1
HỌC KỲ I - NHÓM 01
NĂM HỌC: 2012 - 2013
Ngày thi: 02/12/2012
Thời gian làm bài: 90 phút

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ 1

NỘI DUNG ĐỀ THI
(Đề thi gồm 07 câu1 được in trên 01 trang2 )
Câu 1. (a) Dùng nguyên lý thay vô cùng bé tương đương tính giới hạn: A = lim

x→0

ln cos x
.
x2

x
2

et dt
.

(b) Dùng quy tắc L’Hospital tính giới hạn: B = lim

0

x→+∞ x

e2t2 dt

0

Câu 2. Cho hàm số f (x) = x3 cos 2x. Tính f (38) (0).
Câu 3. Một đoạn dây AB dài 3 m được cắt thành hai đoạn tại điểm C. Đoạn AC được bẻ thành
hình vuông, đoạn BC được bẻ thành tam giác đều. Ta nên chọn điểm C như thế nào để
tổng diện tích của hai hình là bé nhất.
Câu 4. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi đường y = x sin x, y = 0 và x = 0, x = π.
Câu 5. Một vật thể có đáy là hình tròn bán kính 2 m. Nếu cắt vật thể bởi những mặt phẳng
vuông góc với một đường kính cố định của đáy ta được thiết diện là tam giác đều. Hãy
tính thể tích của vật thể
Câu 6. Tìm miền hội tụ của chuỗi

∞
n=0

(−1)n

n.x3n
8n .(n + 1)

Câu 7. Tính tổng của chuỗi lũy thừa 1 + x +

x2 x3
xn
+
+ ... +

+ ...
2
3
n
Cần Thơ, ngày 23 tháng 11 năm 2012
Cán bộ giảng dạy

LÊ HOÀI NHÂN
Thang điểm: 1,00 điểm/câu.
Đáp án được công bố trên website Khoa Khoa học tự nhiên vào chiều ngày 03.12.2012.
Điểm được nhập vào tài khoản sinh viên vào sáng ngày 08.12.2012.
Phúc khảo bài thi: từ 14 giờ 00 đến 16 giờ 30 ngày 08.12.2012 tại VP. BM. Toán, Khoa Khoa học tự nhiên.
Mọi thắc mắc về điểm bài thi sau ngày 08.12.2012 đều không được giải quyết.
1

2


2
ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1
HỌC KỲ I - NHÓM 01
NĂM HỌC: 2012 - 2013
Ngày thi: 02/12/2012
Thời gian làm bài: 90 phút

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ 1

ĐÁP ÁN
1
1
Câu 1. (a) Khi x → 0 ta có: ln cos x ∼ cos x − 1 ∼ − x2 . Suy ra A = − .
2
2
x2
e
1
(b) B = lim 2x2 = lim x2 = 0.
x→∞ e
x→∞ e
Câu 2.

• f (38) (x) =

3

k
C38
(x3 )(k) . cos(38−k) (x).

k=0

• Cho x = 0 ta được f (38) (0) = 0
Câu 3.

• Đặt BC = x và AC = 10 − x, với 0 < x < 10
10 − x
(3 − x)2

Cạnh của hình vuông là
và diện tích hình vuông
4
16
√
x
x 3
• Cạnh của tam giác đều và chiều cao của tam giác
.
3√
6
x2 3
Diện tích tam giác đều
36
√
(3 − x)2 x2 3
+
. Ta tìm x để S(x) nhỏ nhất.
• Tổng diện tích S(x) =
16
36
√
√
81 − 36 3
x−3 x 3
+
. Điểm dừng: S (x) = 0 =⇒ x =
≈ 1, 6951.
S (x) =
8

18
11
√
√
81 − 36 3
9+4 3
,S (
) > 0. Suy ra S(x) nhỏ nhất khi x ≈ 1, 6951.
• S (x) =
72
11
Vậy BC ≈ 1, 6951 và AC ≈ 8, 3049
π

Câu 4.

• S=

π

|x sin x|dx =
0

x sin xdx.
0

• Dùng tích phân từng phần ta được S = (sin x − x cos x)|π0 = π (đvdt).
Câu 5.

• Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O là tâm của đáy, mặt phẳng Oxy chứa mặt đáy và

trục Ox chứa đường đính cố định của mặt đáy của vật thể.
• Cắt vật thể bởi những mặt phẳng
cách O một khoảng x
√ vuông góc với trục Ox√và √
ta được thiết diện có cạnh là 2 r 2 − x2 và chiều cao là 3. r 2 − x2 với r = 2 và
x ∈ [−r, r].
3
3
• Diện tích thiết diện: S(x) = (r 2 − x2 ) = (4 − x2 ).
2
2


3
2

• Thể tích vật thể: V =

√
16 3
S(x)dx =
(đvtt)
3

−2

Câu 6.

• Chuỗi hội tụ tại x = 0, với x = 0 ta có an (x) = (−1)n

n.x3n
.
8n .(n + 1)

|x|3
an+1 (x)
=
.
Suy ra c(x) = lim
n→∞
an (x)
8

• Do đó khoảng hội tụ của chuỗi thỏa c(x) < 1 ⇐⇒ −2 < x < 2.
∞
n
• Tại x = −2 ta có chuỗi
phân kỳ theo điều kiện cần.
n=0 n + 1
∞
n
• Tại x = 2 ta có chuỗi
(−1)n
phân kỳ theo điều kiện cần. Do đó miền hội tụ
n+1
n=0
của chuỗi là khoảng (-2;2).
Câu 7.

• lim

n→∞

an+1
= 1. Suy ra khoảng hội tụ của chuỗi là (−1; 1).
an

x2 x3
xn
• Lấy x ∈ (−1; 1) ta đặt S(x) = 1 + x +
+
+ ... +
+ ....
2
3
n
1
Suy ra S (x) = 1 + x + x2 + ... =
.
1−x
x

• S(x) =

0

S (t)dt + S(0) = − ln(1 − x) + S(0).

• Ta có S(0) = 1 suy ra S(x) = 1 − ln(1 − x).

4
ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1
HỌC KỲ I - NHÓM 01
NĂM HỌC: 2012 - 2013
Ngày thi: 02/12/2012
Thời gian làm bài: 90 phút

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ 2

NỘI DUNG ĐỀ THI
(Đề thi gồm 07 câu3 được in trên 01 trang4 )
ex sin 2x − 1
.
x→0
x2

Câu 1. (a) Dùng nguyên lý thay vô cùng bé tương đương tính giới hạn: A = lim
x

(b) Dùng quy tắc L’Hospital tính giới hạn: B = lim

0
x→+∞ x

√
√

2

tet dt
.

te2t2 dt

0

Câu 2. Cho hàm số f (x) = x3 sin x. Tính f (38) (0).
Câu 3. Một đoạn dây AB dài 3 m được cắt thành hai đoạn tại điểm C. Đoạn BC được bẻ thành
hình vuông, đoạn AC được bẻ thành tam giác đều. Ta nên chọn điểm C như thế nào để
tổng diện tích của hai hình là bé nhất.
Câu 4. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi đường y = x sin x, y = x và x = 0, x = π.
Câu 5. Một vật thể có đáy là hình tròn bán kính 4 m. Nếu cắt vật thể bởi những mặt phẳng
vuông góc với một đường kính cố định của đáy ta được thiết diện là tam giác đều. Hãy
tính thể tích của vật thể.
Câu 6. Tìm miền hội tụ của chuỗi

∞

(−1)n

n=0

Câu 7. Tính tổng của chuỗi lũy thừa

(n + 1).x3n+1
.

8n .(n + 2)

xn+1
x2 x3 x4
−
+
− ... + (−1)n+1
+ ...
2
3
4
n+1
Cần Thơ, ngày 23 tháng 11 năm 2012
Cán bộ giảng dạy

LÊ HOÀI NHÂN
Thang điểm: 1,00 điểm/câu.
Đáp án được công bố trên website Khoa Khoa học tự nhiên vào chiều ngày 03.12.2012.
Điểm được nhập vào tài khoản sinh viên vào sáng ngày 08.12.2012.
Phúc khảo bài thi: từ 14 giờ 00 đến 16 giờ 30 ngày 08.12.2012 tại VP. BM. Toán, Khoa Khoa học tự nhiên.
Mọi thắc mắc về điểm bài thi sau ngày 08.12.2012 đều không được giải quyết.
3

4


5
ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1
HỌC KỲ I - NHÓM 01
NĂM HỌC: 2012 - 2013

Ngày thi: 02/12/2012
Thời gian làm bài: 90 phút

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ 2

ĐÁP ÁN
Câu 1. (a) Khi x → 0 ta có: ex sin 2x − 1 ∼ x sin 2x ∼ 2x2 . Suy ra A = 2.
√ x2
xe
1
(b) B = lim √ 2x2 = lim x2 = 0.
x→∞
x→∞ e
xe
Câu 2.

Câu 3.

• f (38) (x) =

3

k
C38
(x3 )(k) . sin(38−k) (x).

k=0

3
3
• Cho x = 0 ta được f (38) (0) = C38
.6.(− cos 0) = −6C38

• Đặt AC = x và BC = 10 − x, với 0 < x < 10
(3 − x)2
10 − x
và diện tích hình vuông
Cạnh của hình vuông là
4
16
√
x
x 3
• Cạnh của tam giác đều và chiều cao của tam giác
.
3√
6
x2 3
Diện tích tam giác đều
36
√
(3 − x)2 x2 3
• Tổng diện tích S(x) =
+
. Ta tìm x để S(x) nhỏ nhất.
16
36

√
√
x−3 x 3
81 − 36 3
S (x) =
+
. Điểm dừng: S (x) = 0 =⇒ x =
≈ 1, 6951.
8
18
11
√
√
9+4 3
81 − 36 3
• S (x) =
,S (
) > 0. Suy ra S(x) nhỏ nhất khi x ≈ 1, 6951.
72
11
Vậy AC ≈ 1, 6951 và BC ≈ 8, 3049
π

Câu 4.

• S=

π

|x sin x − x|dx =

0

(x − x sin x)dx.
0

• Dùng tích phân từng phần ta được S = (
Câu 5.

x2
− sin x + x cos x)
2

π

=
0

π2
− π (đvdt).
2

• Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O là tâm của đáy, mặt phẳng Oxy chứa mặt đáy và
trục Ox chứa đường đính cố định của mặt đáy của vật thể.
• Cắt vật thể bởi những mặt phẳng
cách O một khoảng x
√ vuông góc với trục Ox√và √
2
2
ta được thiết diện có cạnh là 2 r − x và chiều cao là 3. r 2 − x2 với r = 4 và
x ∈ [−r, r].

3
3
• Diện tích thiết diện: S(x) = (r 2 − x2 ) = (16 − x2 ).
2
2


6
4

• Thể tích vật thể: V =

√
128 3
S(x)dx =
(đvtt)
3

−4

Câu 6.

• Chuỗi hội tụ tại x = 0, với x = 0 ta có an (x) = (−1)n

(n + 1).x3n
.
8n .(n + 2)

|x|3
an+1 (x)

=
.
Suy ra c(x) = lim
n→∞
an (x)
8

• Do đó khoảng hội tụ của chuỗi thỏa c(x) < 1 ⇐⇒ −2 < x < 2.
∞ n+1
• Tại x = −2 ta có chuỗi
phân kỳ theo điều kiện cần.
n=0 n + 2
∞
n+1
• Tại x = 2 ta có chuỗi
(−1)n
phân kỳ theo điều kiện cần. Do đó miền hội tụ
n+2
n=0
của chuỗi là khoảng (-2;2).
Câu 7.

• lim

n→∞

an+1
= 1. Suy ra khoảng hội tụ của chuỗi là (−1; 1).
an

x2 x3 x4
xn+1
−
+
− ... + (−1)n+1
+ ....
2
3
4
n+1
x
1
Suy ra S (x) = x − x2 + x3 − x4 + ... =
= 1−
.
1+x
1+x

• Lấy x ∈ (−1; 1) ta đặt S(x) =
x

• S(x) =

0

S (t)dt + S(0) = x − ln(1 + x) + S(0).

• Ta có S(0) = 0 suy ra S(x) = x − ln(1 + x).

7
ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1
HỌC KỲ I - NHÓM E01 và G01
NĂM HỌC: 2012 - 2013
Ngày thi: 02/12/2012
Thời gian làm bài: 90 phút

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ 3

NỘI DUNG ĐỀ THI
(Đề thi gồm 07 câu5 được in trên 01 trang6 )
x3

Câu 1. (a) Tính giới hạn A = lim

0

x→0

(b) Tìm a để hàm số f (x) =

√ dt
1+t4

x3
ax
x2

.
nếu
nếu

x≤1
liên tục tại x = 1.
x>1

Câu 2. Khi một bản kim loại hình tròn bị đun nóng, bán kính của nó tăng với tốc độ là 0, 02
cm/phút. Tính tốc độ biến thiên của diện tích bản kim loại khi bán kính của nó đang là
20 cm. Nếu tốc độ này không đổi thì sau bao lâu bán kính của nó sẽ là 25 cm.
Câu 3. Một xe bus có sức chứa tối đa 60 hành khách. Nếu một chuyến xe chở được hành khách
x 2
thì giá cho mỗi hành khách là 3 −
. Hãy tính số hành khách trên mỗi chuyến xe để
40
số tiền thu được cho mỗi chuyến là lớn nhất. Số tiền đó là bao nhiêu?
Câu 4. Một vật thể có đáy là tam giác đều ABC cạnh 1 m. Nếu cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông
góc với đường cao AH của đáy thì ta được thiết diện là nửa hình tròn có đường kính là
đoạn giao tuyến của mặt phẳng thiết diện với mặt đáy. Hãy tính thể tích vật thể.
√
1 √
Câu 5. Tính độ dài cung phẳng y = x x − x với x ∈ [1; 4].
3
Câu 6. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi

∞
n=1

xn+2
n
Cần Thơ, ngày 23 tháng 11 năm 2012
Cán bộ giảng dạy

LÊ HOÀI NHÂN
Thang điểm: Từ câu 1 đến câu 5: 1,00 điểm/câu; câu 6: 2 điểm
Đáp án được công bố trên website Khoa Khoa học tự nhiên vào chiều ngày 03.12.2012.
Điểm được nhập vào tài khoản sinh viên vào sáng ngày 08.12.2012.
Phúc khảo bài thi: từ 14 giờ 00 đến 16 giờ 30 ngày 08.12.2012 tại VP. BM. Toán, Khoa Khoa học tự nhiên.
Mọi thắc mắc về điểm bài thi sau ngày 08.12.2012 đều không được giải quyết.
5

6


8
ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1
HỌC KỲ I - NHÓM G01 và E01
NĂM HỌC: 2012 - 2013
Ngày thi: 02/12/2012
Thời gian làm bài: 90 phút

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ 3

ĐÁP ÁN
2

Câu 1. (a) A =

√ 3x
1
lim 1+x2 2
x→0 3x

= 1.

(b) f (x) liên tục tại x = 1 ⇐⇒ lim+ f (x) = lim− f (x) = f (1) ⇐⇒ a = 1
x→1

Câu 2.

x→1

• Gọi r(t) và S(t) là bán kính và diện tích bản kim loại tại thời điểm t.
Suy ra: S(t) = πr 2 (t)
(1).
• Tại t0 ta có r(t0 ) = 20 và r (t0 ) = 0, 02. Ta tính S (t0 ).

• Đạo hàm hai vế đẳng thức (1) theo t ta được S (t) = 2πr(t).r (t).
4π
.
Cho t = t0 ta được S (t0 ) =
5
4π
Vậy diện tích bản kim loại đang tăng với tốc độ
(cm /phút).

5
252 π − 202 π
∆S
=
= 281, 25 (phút).
• ∆t =
4π
S (t0 )
5
Câu 3.

• Số tiền thu được với x hành khách là L(x) = x 3 −

x
40

2

với x ∈ (0; 60]

3x
x
3−
.
40
40
L (x) = 0 ⇐⇒ x = 40 hoặc x = 120. Ta nhận x = 40

• L (x) = 3 −

• Từ bảng biến thiên của L(x) ta có L(x) đạt GTLN khi x = 40. Suy ra số hành khách
trên xe nên là 40
• Số tiền lớn nhất thu được là: 160 (đơn vị tiền).
Câu 4.

• Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O trùng với A; H

√

3
;0
2

và mặt phẳng đáy thuộc

mặt phẳng Oxy.
• Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox, gọi r là bán kính thiết diện ta
có:
2r
x
x
=
=⇒ r = √ .
AH
BC
3
πx2
1
.
• Diện tích thiết diện là S(x) = πr 2 =

2
6


9
• Thể tích vật thể

√

3
2

π 3
S(x)dx =
x
18

V =

√

3
2

0

√
π 3 3
=
(m )

48

0

Câu 5.

•

√

1
x− √ .
x
1 √
1
1+y2 =
x+ √ .
2
x

• y =

1
2

• Chiều dài cung:
4

1+y

l=

2 dx

=

√
x x √
+ x
3

4

=
1

1

Câu 6. (a)

• an =

10
(đvcd).
3

an+1
1
=1
=⇒ l = lim

n→∞ an
n

• Bán kính hội tụ của chuỗi là r =

1
= 1 và khoảng hội tụ (−r; r) = (−1; 1).
l

1
là chuỗi phân kỳ.
n=1 n
∞ (−1)n
là chuỗi hội tụ.
• Khi x = 1 ta có chuỗi
n
n=1
Suy ra miền hội tụ của chuỗi là [−1; 1)

• Khi x = 1 ta có chuỗi

(b)

∞

• Với x thuộc khoảng hội tụ (−1; 1) đặt S(x) =
Suy ra S(x) = x2 S1 (x).
∞
1
• S1 (x) =

xn−1 =
.
1−x
n=1

∞ xn
xn+2
và S1 (x) =
.
n=1 n
n=1 n
∞

x

• S1 (x) =

0

S1 (t)dt + S1 (0) = − ln(1 − x) + S1 (0).

• Vì S1 (0) = 0 nên S1 (x) = − ln(1 − x).
Vậy S(x) = −x2 ln(1 − x).


10
ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1
HỌC KỲ I - NHÓM E01 và G01
NĂM HỌC: 2012 - 2013
Ngày thi: 02/12/2012

Thời gian làm bài: 90 phút

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ 4

NỘI DUNG ĐỀ THI
(Đề thi gồm 07 câu7 được in trên 01 trang8 )
x3

Câu 1. (a) Tính giới hạn A = lim

0

x→0

(b) Tìm a để hàm số f (x) =

√

dt
1+sin4 t

x3
x+a
x2

.
nếu

nếu

x ≤ −1
liên tục tại x = −1.
x > −1

Câu 2. Khi một bản kim loại hình tròn bị đun nóng, bán kính của nó tăng với tốc độ là 0, 02
cm/phút. Tính tốc độ biến thiên của diện tích bản kim loại khi bán kính của nó đang là
25 cm. Nếu tốc độ này không đổi thì sau bao lâu bán kính của nó sẽ là 30 cm.
Câu 3. Một xe bus có sức chứa tối đa 60 hành khách. Nếu một chuyến xe chở được hành khách
x 2
thì giá cho mỗi hành khách là 3 −
. Hãy tính số hành khách trên mỗi chuyến xe để
40
số tiền thu được cho mỗi chuyến là lớn nhất. Số tiền đó là bao nhiêu?
Câu 4. Một vật thể có đáy là tam giác vuông cân ABC tại A cạnh huyền 1 m. Nếu cắt vật thể
bởi mặt phẳng vuông góc với đường cao AH của đáy thì ta được thiết diện là nửa hình
tròn có đường kính là đoạn giao tuyến của mặt phẳng thiết diện với mặt đáy. Hãy tính
thể tích vật thể.
√
1 √
Câu 5. Tính độ dài cung phẳng y = x x − x với x ∈ [1; 4].
3
Câu 6. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi

∞
n=1

xn+3
n

Cần Thơ, ngày 23 tháng 11 năm 2012
Cán bộ giảng dạy

LÊ HOÀI NHÂN
Thang điểm: Từ câu 1 đến câu 5: 1,00 điểm/câu; câu 6: 2 điểm
Đáp án được công bố trên website Khoa Khoa học tự nhiên vào chiều ngày 03.12.2012.
Điểm được nhập vào tài khoản sinh viên vào sáng ngày 08.12.2012.
Phúc khảo bài thi: từ 14 giờ 00 đến 16 giờ 30 ngày 08.12.2012 tại VP. BM. Toán, Khoa Khoa học tự nhiên.
Mọi thắc mắc về điểm bài thi sau ngày 08.12.2012 đều không được giải quyết.
7

8


11
ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A1
HỌC KỲ I - NHÓM G01 và E01
NĂM HỌC: 2012 - 2013
Ngày thi: 02/12/2012
Thời gian làm bài: 90 phút

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
ĐỀ 4

ĐÁP ÁN
Câu 1. (a) A = lim

x→0

√

3x2
1+sin4 x3
3x2

=1

(b) f (x) liên tục tại x = −1 ⇐⇒ lim + f (x) = lim − f (x) = f (−1) ⇐⇒ a = 2
x→−1

Câu 2.

x→−1

• Gọi r(t) và S(t) là bán kính và diện tích bản kim loại tại thời điểm t.
Suy ra: S(t) = πr 2 (t)
(1).
• Tại t0 ta có r(t0 ) = 25 và r (t0 ) = 0, 02. Ta tính S (t0 ).

• Đạo hàm hai vế đẳng thức (1) theo t ta được S (t) = 2πr(t).r (t).
Cho t = t0 ta được S (t0 ) = π.
Vậy diện tích bản kim loại đang tăng với tốc độ π (cm /phút).
∆S
302 π − 252 π
• ∆t =
=
= 275 (phút).
S (t0 )

π

Câu 3.

• Số tiền thu được với x hành khách là L(x) = x 3 −

x
40

2

với x ∈ (0; 60]

x
3x
3−
.
40
40
L (x) = 0 ⇐⇒ x = 40 hoặc x = 120. Ta nhận x = 40

• L (x) = 3 −

• Từ bảng biến thiên của L(x) ta có L(x) đạt GTLN khi x = 40. Suy ra số hành khách
trên xe nên là 40
• Số tiền lớn nhất thu được là: 160 (đơn vị tiền).
Câu 4.

• Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O trùng với A; H

√

1
;0
2

và mặt phẳng đáy thuộc

mặt phẳng Oxy.
• Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox, gọi r là bán kính thiết diện ta
có:
x
2r
=
=⇒ r = x.
AH
BC
πx2
1
.
• Diện tích thiết diện là S(x) = πr 2 =
2
2
• Thể tích vật thể
1
2

S(x)dx =

V =

0

π 3
x
6

1
2

0

=

π
(m3 )
48


12
Câu 5.

•

1
2

√

1
x− √ .

x
1 √
1
1+y2 =
x+ √
2
x

• y =

• Chiều dài cung:
4

1+y

l=

2 dx

=

√
x x √
+ x
3

4

=
1

1

Câu 6. (a)

• an =

10
(đvcd).
3

1
an+1
=1
=⇒ l = lim
n→∞ an
n

• Bán kính hội tụ của chuỗi là r =

1
= 1 và khoảng hội tụ (−r; r) = (−1; 1).
l

1
là chuỗi phân kỳ.
n=1 n
∞ (−1)n
• Khi x = 1 ta có chuỗi
là chuỗi hội tụ.

n
n=1
Suy ra miền hội tụ của chuỗi là [−1; 1)

• Khi x = 1 ta có chuỗi

(b)

∞

∞ xn
xn+3
• Với x thuộc khoảng hội tụ (−1; 1) đặt S(x) =
và S1 (x) =
.
n=1 n
n=1 n
Suy ra S(x) = x3 S1 (x).
∞
1
• S1 (x) =
xn−1 =
.
1−x
n=1
∞

x

• S1 (x) =

0

S1 (t)dt + S1 (0) = − ln(1 − x) + S1 (0).

• Vì S1 (0) = 0 nên S1 (x) = − ln(1 − x).
Vậy S(x) = −x3 ln(1 − x).