Đề thi cuối kì vi tích phân a1 nhóm 3 2013 2014 đại học cần thơ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN HỌC

ĐỀ THI HỌC KỲ III NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN VI TÍCH PHÂN A1 – TN001
Thời gian làm bài 120 phút
NHÓM 03

NỘI DUNG
(Đề thi gồm 08 câu1 được in trên 01 trang2)
x3

Câu 1. Tính các giới hạn

∫ t.cos tdt

e2 x − 1
a) lim
x → 0 ln (1 + sin x )

b) lim

0

x →0

.

x6

x ≤ −1
 cx − d ,

−1 < x < 2 liên tục trên ( −∞, +∞ ) .
Câu 2. Tìm các số thực c và d sao cho hàm số f ( x) =  3 x,
dx 2 − c,
x≥2

Câu 3. Áp dụng công thức Leibniz tính đạo hàm cấp 20 của hàm số f ( x ) = x3 .sin 3 x tại x = 0 .
Câu 4. Nhúng một viên sắt hình cầu vào dung dịch axit để làm thí nghiệm. Giả sử quá trình viên sắt tan
trong dung dịch nó vẫn giữ dạng hình cầu. Tính tốc độ biến thiên của bán kính viên sắt tại thời điểm

(

)

(

)

diện tích mặt của nó là 64π cm 2 và đang giảm với tốc độ 2 cm 2 / phút .
Câu 5. Theo quy định, một câu lạc bộ thu phí của mỗi thành viên là 200$
một năm. Tuy nhiên, khi số thành viên của câu lạc bộ này vượt
quá 60 thì cứ mỗi thành viên tăng thêm thì phí sẽ được giảm 2$.
Số thành viên của câu lạc bộ này nên là bao nhiêu để số tiền thu
được lớn nhất?
Câu 6. Cho miền phẳng D nằm phía dưới đường cong y = e − x , phía trên
trục hoành và bên phải trục tung (như hình vẽ).
a) Tính diện tích miền D.
b) Tính thể tích các vật thể tạo thành khi quay miền D lần lượt quanh trục Ox và trục Oy.

∞

Câu 7. Tính tổng của chuỗi số

∑ 4n
n =1

1
2

−1

.
∞

Câu 8. Dùng tiêu chuẩn so sánh, hãy khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương

∑e
n =1

n

1
.
−3

3

- - - - - - - - - - - - - - HẾT - - - - - - - - - - - - - -

1

Đáp án được đăng trên website bộ môn Toán – Khoa Khoa học tự nhiên: />Các em xem điểm từ 17giờ ngày 25 tháng 6 năm 2014 trong tài khoản cá nhân.
3
Các em xem lại bài thi từ 14giờ đến 16giờ ngày 26 tháng 06 năm 2014 tại Văn phòng Bộ môn Toán – Khoa Khoa
học tự nhiên.
2


ĐÁP ÁN
Câu 1. (2 điểm) Tính các giới hạn

e2 x − 1
e2 x − 1
2x
2x
= lim
.
.
= 1× 1 × 2 = 2 .
x → 0 ln (1 + sin x )
x →0
2 x ln (1 + sin x ) sin x

a) lim

x3

∫ t.cos tdt
b) lim

x →0

0

x6
x3

0

∫

∫

0

0

Do lim t cos tdt = t cos tdt = 0 nên giới hạn đã cho có dạng vô định
x →0

0
.
0

Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có
3
x
′
 ∫ t.cos tdt 
∫0 t.cos tdt

0

x 3 .cos x 3 . ( x3 )′
cos x3 1


lim
=
lim
=
lim
lim
= .
x →0
x →0
x →0
x →0
x6
6 x5
2
2
6 ′
x

x3

( )

x ≤ −1
 cx − d ,


Câu 2. Tìm các số thực c và d sao cho hàm số f ( x) =  3 x,
−1 < x < 2 liên tục trên ( −∞, +∞ ) .
dx 2 − c,
x≥2

Giải.
Trên các khoảng ( −∞, −1) , ( −1, 2 ) và ( 2, +∞ ) , f ( x ) là hàm số sơ cấp nên nó liên tục trên đó.
Tại x = −1 , hàm số liên tục khi và chỉ khi lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( −1) ⇔ c + d = 3

(1)

Tại x = 2 , hàm số liên tục khi và chỉ khi lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( 2 ) ⇔ c − 4d = −6

(2)

x →−1

x →−1

x→2

Từ (1) và (2) ta có c =

x →2

6
9
và d = .
5

5

Câu 3. Áp dụng công thức Leibniz tính đạo hàm cấp 20 của hàm số f ( x ) = x3 .sin 3 x tại x = 0 .
Giải.
( 20)
20
Đặt u = sin 3 x và v = x3 , ta có f ( ) ( x ) = ( u.v ) =

20

∑C

k
20

u(

20 − k )

.v(

k)

k =0

Ta có, với k ≥ 4 , v

f(

20 )

(k )

= 0 do đó,

( x ) = C200 ( sin 3x )(
(k )

Mặt khác [sin 3 x ]

20 )

1
.x3 + C20
( sin 3x )

(19)

.3 x 2 + C202 ( sin 3 x )

π

= 3k sin  3 x + k 
2


Suy ra

[sin 3x ](

17 )

π

= 317 sin  3 x + 17  = 317 cos 3 x
2


(18)

3
.6 x + C20
( sin 3x )

(17 )

.6


[sin 3x ](

18 )

= −318 sin 3x

[sin 3x ](

= −319 cos 3x

19 )

[sin 3x](

20 )

= 320 sin 3x

20
0
1
3
Vậy f ( ) ( x ) = 320.C20
sin 3 x.x3 − 3.C20
.319.x 2 cos 3 x − 6.318.C202 .x.sin 3 x + 6.317.C20
.cos 3 x

( 20 )
Suy ra f
( 0 ) = 760.319 .

Câu 4. Nhúng một viên sắt hình cầu vào dung dịch axit để làm thí nghiệm. Giả sử quá trình viên sắt tan
trong dung dịch nó vẫn giữ dạng hình cầu. Tính tốc độ biến thiên của bán kính viên sắt tại thời điểm
diện tích mặt của nó là 64π ( cm 2 ) và đang giảm với tốc độ 2 ( cm 2 / phút ) .
Giải.
Gọi r ( t ) , S ( t ) là bán kính, diện tích bề mặt của hình cầu tại thời điểm t.
Suy ra:

S ( t ) = 4π .r 2 ( t ) ⇒ r ( t ) =

2

π

S (t )

(1)

Với S ( t0 ) = 64π và S ′ ( t0 ) = −2 , ta tính r ′ ( t0 )

Đạo hàm hai vế đẳng thức (1) theo t ta được r ′ ( t ) =

Suy ra V ′ ( t0 ) =

−2
64π

2

=−

S ′ (t )

π .S ( t )

1
4π

Vậy bán kính hình cầu đang giảm

1

cm mỗi phút.
4π

Câu 5. Theo quy định, một câu lạc bộ thu phí của mỗi thành viên là 200$ một năm. Tuy nhiên, khi số thành
viên của câu lạc bộ này vượt quá 60 thì cứ mỗi thành viên tăng thêm thì phí sẽ được giảm 2$. Số thành viên của
câu lạc bộ này nên là bao nhiêu để số tiền thu được lớn nhất?
Giải.
Gọi x là số thành viên của CLB, x > 0 .
Khi đó số tiền thu được là

200 x
khi

T ( x) = 
 x ( 200 − 2( x − 60) ) khi
khi
 200
T ′( x) = 
320 − 4 x khi

x ≤ 60  200 x
khi
=
x > 60  x ( 320 − 2 x ) khi

x ≤ 60
x > 60

x < 60
x > 60

Suy ra T ′( x ) = 0 ⇔ x = 80
Hàm số tăng trên khoảng ( 0,80 ) và giảm trên khoảng x > 80 . Suy ra, hàm số đạt giá trị lớn nhất khi

x = 80
Câu 6. Cho miền phẳng D nằm phía dưới đường cong y = e − x , phía trên trục hoành và bên phải trục tung
(như hình vẽ).


a) Tính diện tích miền D.
b) Tính thể tích các vật thể tạo thành khi quay miền D lần lượt quanh trục Ox và trục Oy.

Giải.
∞

a) S = ∫ e− x dx = 1
0
∞

b) Thể tích vật thể tạo thành khi quay D quanh Ox: V = π ∫ e −2 x dx =
0

π
2

.

∞

Thể tích vật thể tạo thành khi quay D quanh Oy: V = 2π ∫ xe − x dx = 2π .

0

∞

Câu 7. Tính tổng của chuỗi số

∑ 4n
n =1

1
2

−1

.

Giải.
n

Ta có S n =

∑ 4k
k =1

∞

Suy ra

∑ 4n
n =1

1
2

1
2

−1

−1

=

1 n  1
1  1
1 
−
∑

 = 1 −

2 k =1  2k − 1 2k + 1  2  2n + 1 

= lim S n =
n →∞

1
.
2
∞

Câu 8. Dùng tiêu chuẩn so sánh, hãy khảo sát sự hội tụ của chuỗi số dương

∑e
n =1

Giải.

1
Vì lim e − 3 = 1 và chuỗi
n →∞
1
en
n

1
hội tụ nên chuỗi
∑
n
n =1 e
∞

∞

∑e
n =1

n

1

hội tụ.
−3

n

1
.
−3