Kiểm tra giải tích 1 2007 2008 đại học cần thơ

Câu 1. Cho hai tập số thực: A = { x ∈ ¡ : x ≠ 1} và B = { y ∈ ¡ : y ≠ 2} . Chứng minh rằng ánh xạ:
f :A→B
2x
xa y=
x −1
là một song ánh.
Giải.
♦ Tính đơn ánh:
Giả sử với x1 , x2 ∈ A : f ( x1 ) = f ( x2 ) ta có,
2 x1
2 x2
=
⇔ x1 x2 − x1 = x1 x2 − x2 ⇔ x1 = x2
x1 − 1 x2 − 1
Vậy f là ánh xạ và là đơn ánh.
♦ Tính toàn ánh.
y
Lấy y ∈ B tùy ý. Đặt x =
khi đó, ta có:
y−2
y
2
y
2
y−2
x=
= 1+
≠ 1 ⇒ x ∈ A và f ( x ) =
=y
y
y−2

y −2
−1
y−2
Như vậy ta có, f là toàn ánh.
Kết luận: f là một song ánh.
Câu 2. Chứng minh rằng nếu X = { xn } là dãy hội tụ thì X là một dãy Cauchy.
Giải.
Ta cần chứng minh: Với mỗi ε > 0 , ta luôn tìm được số N ∈ ¥ sao cho, ∀m, n > N ta đều có,
xn − xm < ε
xn = x .
Thật vậy, giả sử, lim
n →∞
Khi đó, ta luôn tìm được số N ∈ ¥ sao cho, ∀n > N ta đều có, xn − x <
Với ∀m, n > N , ta có, xn − x <

ε
ε
và xm − x <
2
2

Ta có, ∀m, n > N , xn − xm = xn − x − ( xm − x ) ≤ xn − x + xm − x <
Vậy, X = { xn } là một dãy Cauchy. (đpcm).
Câu 3. Tính các giới hạn sau:
a) lim sin ( ln ( 1 + x ) ) − sin ( ln x ) 

ε ε
+ =ε
2 2

x →+∞

( x − 1)
b) lim
x→0
Giải.

ε
.
2

ln x

1+ x
ln
ln
x
1
+
x
(
)
a)
x
L1 = lim sin ( ln ( 1 + x ) ) − sin ( ln x )  = 2 lim cos
.sin
x →+∞
x →+∞
2
2

Ta có, cos

ln x ( 1 + x )
≤ 1 và
2

1+ x
1+ x
ln
x = sin lim
x = sin 1 ln lim 1 + 1  = sin 1 ln1 = 0
lim sin

÷
x →+∞
x
→+∞
2
2
2 x →+∞  x 
2
Suy ra, L1 = 0 .
ln

b) L2 = lim+ ( x − 1)
x →1

ln x

lim ln x ln ( x −1)

= e x→1+

Ta có,
1
ln ( x − 1)
lim ln x ln ( x − 1) = lim+
= lim+ x − 1
x →1+
x →1
1
x →1
1
−
ln x
x ln 2 x
2 ln x
ln 2 x
= − lim+
= − lim+ x = 2 lim+ x ln x = 0
x →1
1
x →1
1
x →1
1−
− 2
x

x
lim ln x ln ( x −1)

Vậy, L2 = e x→1+

= e0 = 1 .