Phân loại bài tập vi phân hàm một biến

LỜI CẢM ƠN
-----

------

Tôi chân thành cảm ơn thầy Lê Hoài Nhân đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ
để tôi hoàn thành tốt luận văn này. Bên cạnh đó tôi cảm ơn Cô Nguyễn Thị Hồng
Dân - cố vấn học tập của lớp chúng tôi, Cô đã quan tâm, dìu dắt chúng tôi trong
suốt khóa học.
Đồng thời, tôi chân thành cảm ơn quý thầy cô Khoa Khoa học Tự nhiên, đặc
biệt quý Thầy Cô bộ môn Toán đã truyền đạt cho tôi những kiến thức nền tảng
quan trọng làm hành trang bước vào cuộc sống.
Sau cùng tôi tỏ lòng biết ơn đặc biệt đến những người thân trong gia đình đã
động viên và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập.
Tuy tôi cố gắng hết sức để hoàn thành luận văn này nhưng tôi không thể
tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp của quý Thầy Cô và
các bạn.

Cần Thơ, tháng 5 năm 2013
Sinh viên thực hiện

Ngô Thị Kiểm

i


MỤC LỤC
-----

------

CHƯƠNG 1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN ............................................................ 1
1. ĐẠO HÀM..................................................................................................... 1
1.1. Đạo hàm tại một điểm.............................................................................. 1
1.2. Đạo hàm một phía.................................................................................... 1
1.3. Đạo hàm trong khoảng, đoạn................................................................... 2
1.4. Đạo hàm vô hạn ....................................................................................... 2
1.5. Quan hệ giữa tính đạo hàm và liên tục .................................................... 2
2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM ............................................................. 2
2.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương...................................................... 2
2.2. Đạo hàm của hàm hợp ............................................................................. 2
2.3. Đạo hàm của hàm ngược ......................................................................... 3
2.4. Đạo hàm của hàm y = u ( x ) 

v( x )

, ( u ( x ) > 0 ) ........................................ 3

2.5. Đạo hàm của hàm ẩn................................................................................ 3
2.5.1. Hàm ẩn và hàm hiện.......................................................................... 3
2.5.2. Đạo hàm của hàm ẩn......................................................................... 4
2.6. Đạo hàm cấp cao...................................................................................... 4
2.6.1. Định nghĩa......................................................................................... 4
2.6.2. Các phép toán.................................................................................... 4
3. VI PHÂN........................................................................................................ 5
3.1. Khái niệm vi phân.................................................................................... 5
3.2. Quan hệ giữa vi phân và đạo hàm ........................................................... 5
3.3. Ý nghĩa hình học của vi phân .................................................................. 6
3.4. 5ác quy tắc tính vi phân ........................................................................... 6
3.5. Vi phân cấp cao........................................................................................ 6
4. CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ................................................... 6

4.1. Cực trị địa phương ................................................................................... 6
4.2. Các định lý giá trị trung bình ................................................................... 7
4.2.1. Định lý Rolle ..................................................................................... 7
4.2.2. Định lý Lagrange .............................................................................. 7
4.2.3. Định lý Cauchy ................................................................................. 8
5. CÔNG THỨC TAYLOR.............................................................................. 9
5.1. Công thức Taylor với phần dư Lagrange................................................. 9
5.2. Công thức Taylor với phần dư Peano .................................................... 10
5.3. Khai triển Maclaurin của các hàm sơ cấp đơn giản............................... 10
CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ................................................... 12
1.CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ............................................................................ 12
1.1 Cực trị địa phương .................................................................................. 12
1.2. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ................................................ 12
2. XẤP XỈ TUYẾN TÍNH ............................................................................... 13
3. TỐC ĐỘ BIẾN THIÊN .............................................................................. 13
ii


4. VẬN TỐC, GIA TỐC ................................................................................. 14
4.1. Vận tốc................................................................................................... 14
4.2. Gia tốc.................................................................................................... 14
CHƯƠNG 3 PHÂN LOẠI BÀI TẬP................................................................ 16
1. TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA.................................................. 16
1.1. Phương pháp giải ................................................................................... 16
1.2. Bài tập minh họa .................................................................................... 16
1.3. Bài tập .................................................................................................... 25
1.4. Hướng dẫn và đáp số bài tập ................................................................. 26
2. TÍNH GẦN ĐÚNG BẰNG ĐẠO HÀM ..................................................... 28
2.1. Phương pháp giải ................................................................................... 28
2.2. Bài tập minh họa .................................................................................... 29

2.3. Bài tập .................................................................................................... 35
2.4. Hướng dẫn và đáp số bài tập ................................................................. 36
3. BÀI TẬP VỀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC VÀ CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM ... 37
3.1. Ý nghĩa hình học ( Bài toán tuyến tính) ................................................ 37
3.1.1. Phương pháp giải ............................................................................ 37
3.1.2. Bài tập minh họa ............................................................................. 37
3.2. Ý nghĩa cơ học ....................................................................................... 42
3.2.1. Phương pháp giải ............................................................................ 42
3.2.2. Bài tập minh họa ............................................................................. 42
3.3. Bài tập .................................................................................................... 45
3.4. Hướng dẫn và đáp số bài tập ................................................................. 46
4. BÀI TOÁN VỀ TỐC ĐỘ BIẾN THIÊN.................................................... 48
4.1. Phương pháp giải ................................................................................... 48
4.2. Bài tập minh họa .................................................................................... 49
4.3. Bài tập .................................................................................................... 58
4.4. Hướng dẫn và đáp số bài tập ................................................................. 59
5. BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ......... 60
5.1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn [a,b] ................................ 60
5.2. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trong khoảng (a,b) .......................... 61
5.3. Bài tập minh họa .................................................................................... 61
5.4. Bài tập .................................................................................................... 68
5.5. Hướng dẫn và đáp số bài tập ................................................................. 69
6. KHAI TRIỂN CÔNG THỨC TAYLOR VÀ MACLAURIN.................. 70
6.1. Khai triển Taylor và Maclaurin ............................................................. 70
6.1.1. Phương pháp giải ............................................................................ 71
6.1.2. Bài tập minh họa ............................................................................. 72
6.2. Sử dụng khai triển Taylor và Maclaurin để tính gần đúng .................... 78
6.2.1. Phương pháp giải ............................................................................ 78
6.2.2. Bài tập minh họa ............................................................................. 78
6.3. Sử dụng khai triển Taylor và Maclaurin để tính giới hạn...................... 80

6.3.1. Phương pháp giải ............................................................................ 80
6.3.2. Bài tập minh họa ............................................................................. 80
6.4. Bài tập .................................................................................................... 83
6.5. Hướng dẫn và đáp số bài tập ................................................................. 85
iii


7. CÁC BÀI TOÁN VỀ ÁP DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG
BÌNH ................................................................................................................ 86
7.1. Phương pháp giải ................................................................................... 86
7.2. Bài tập minh họa .................................................................................... 86
7.3. Bài tập .................................................................................................... 92
7.4. Hướng dẫn và đáp số bài tập ................................................................. 93
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 94
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 95

iv


MỞ ĐẦU
Phép tính vi phân được sử dụng rất phổ biến trong toán học và chúng có
nhiều ứng dụng như khảo sát sự biến thiên của hàm số, tìm min, max, tính tốc độ
biến thiên…Như vậy, chúng ta sẽ phân loại và giải các bài toán đó như thế nào.
Việc phân loại và giải bài tập sẽ giúp chúng ta hiểu hơn về phép tính vi
phân và ứng dụng của nó.
Đề tài “Phân loại bài tập phép tính vi phân của hàm một biến ” giúp tôi giải
quyết những vấn đề trên với nội dung tóm tắt như sau:
Chương 1. Đạo hàm và vi phân. Trình bày những kiến thức cơ bản về
phép tính vi phân của hàm một biến.
Chương 2. Ứng dụng của đạo hàm. Trình bày một vài ứng dụng cơ bản

của đạo hàm.
Chương 3. Phân loại bài tập. Trình bày các dạng bài tập, nêu phương
pháp giải cùng các ví dụ và bài tập minh họa và bài tập có hướng dẫn và đáp số.

v


Chương 1

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
1. ĐẠO HÀM
1.1. Đạo hàm tại một điểm
Định nghĩa 1. Giả sử hàm y = f ( x ) xác định tại x0 và lân cận của x0 . Nếu giới
hạn

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
∆f
lim
tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó được gọi
= lim
∆x→0 ∆x ∆x→0
∆x
là đạo hàm của hàm số f ( x ) tại điểm x0 . Ký hiệu f ′ ( x0 ) hay y′ ( x0 ) .
Ý nghĩa của đạo hàm

y

− Ý nghĩa hình học f ′ ( x0 ) = tan α là hệ số
góc của tiếp tuyến của đường cong y = f ( x )

M0

tại điểm có hoành độ x0 và tiếp tuyến có
phương trình y − f ( x0 ) = f ′ ( x0 )( x − x0 ) .

α
O

x0

x

− Ý nghĩa cơ học Giả sử một chất điểm chuyển động trên đường thẳng có
hoành độ theo thời gian t là s ( t ) . Khi đó v ( t0 ) = s′ ( t0 ) là vận tốc tức thời của
chất điểm tại thời điểm t0 .
− Ý nghĩa chung f ′ ( x0 ) biểu thị tốc độ biến thiên của hàm f tại x0 .
1.2. Đạo hàm một phía
Định nghĩa 2. Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định tại x0 và ∀x > x0 (hay ∀x < x0 )
. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:

hay

lim
∆x→0+

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
∆x

lim
∆x→0−

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
∆x

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm phải (hay đạo hàm trái) của hàm số f ( x ) tại
điểm x0 và được ký hiệu tương ứng là f +′( x0 ) và f −′( x0 ) .

1


Định lý 1. Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x0 là hàm
số f ( x ) có đạo hàm trái và phải tại điểm đó và f −′ ( x0 ) = f +′ ( x0 ) .
1.3. Đạo hàm trong khoảng, đoạn
Định nghĩa 3. Hàm f ( x ) có đạo hàm trong khoảng ( a, b ) nếu f ( x ) có đạo
hàm tại mọi điểm x ∈ ( a, b ) .
Hàm f ( x ) có đạo hàm trên đoạn [ a, b ] nếu f ( x ) có đạo hàm trong ( a, b ) ,
có đạo hàm phải tại a và có đạo hàm trái tại b .
1.4. Đạo hàm vô hạn

∆f
= ∞ thì ta nói hàm f ( x ) có đạo hàm vô hạn tại x0 .
∆x →0 ∆x

Định nghĩa 4. Nếu lim

1.5. Quan hệ giữa tính đạo hàm và liên tục
Định lý 2. Nếu hàm số y = f ( x ) xác định tại x0 và lân cận của x0 và f ( x ) có
đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
Chú ý Hàm số f ( x ) liên tục tại x0 thì chưa chắc có đạo hàm tại x0 .
2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

2.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Định lý 3. Nếu các hàm số f ( x ) và g ( x ) có đạo hàm tại x thì tổng, hiệu, tích,
thương của chúng cũng có đạo hàm tại điểm x và:

′
 f ( x ) ± g ( x )  = f ′ ( x ) ± g ′ ( x ) .
′
 f ( x ) g ( x )  = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) .
′
 f ( x) 
f ′( x ) g ( x ) − f ( x ) g′( x )
.

 =
g 2 ( x)
 g ( x) 
2.2. Đạo hàm của hàm hợp
Định lý 4. Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x = x0 , hàm h = g ( y ) xác
định trong khoảng chứa điểm y0 = f ( x0 ) , có đạo hàm tại y = y0 thì hàm hợp

h ( x ) = g  f ( x )  có đạo hàm tại x0 và

2


′
h′ ( x0 ) = h′ ( y0 ) . y′ ( x0 ) hay ( g 0 f ) = g ′ ( y0 ) . f ′ ( x0 )
Chứng minh
Ta có

h  y ( x0 + ∆x )  − h  y ( x0 ) 
∆x

h  y ( x0 + ∆x )  − h  y ( x0 )  y ( x0 + ∆x ) − y ( x0 )
.
= 
y ( x0 + ∆x ) − y ( x0 )
∆x

Cho qua giới hạn ta được

h′ ( x0 ) = h′ ( y0 ) y′ ( x0 ) .
2.3. Đạo hàm của hàm ngược
Định lý 5. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và tăng nghiêm ngặt trên khoảng

( a, b ) .

Nếu f ( x ) có đạo hàm tại x0 ∈ ( a, b ) và f ′( x ) ≠ 0 thì hàm ngược

x = g ( y ) có đạo hàm tại y0 = f ( x0 ) và có g ′ ( y0 ) =
2.4. Đạo hàm của hàm y = u ( x ) 

v( x )

1
.
f ′ ( x0 )

, (u ( x ) > 0)

Đối với hàm dạng này ta không thể áp dụng công thức đạo hàm của hàm
lũy thừa hoặc hàm số mũ để tính.
Phương pháp

y = u ( x ) 

v( x )

, (u ( x ) > 0)

(2.1)

Lấy logarith cơ số e của hai vế (2.1) ta được

ln y = v ( x ) ln u ( x ) 

(2.2)

Lấy đạo hàm hai vế theo biến x của (2.2)
Ta có

v ( x ) u′ ( x )
y′
= v′ ( x ) ln u ( x ) +
y
u ( x)

Hay y′ = u ( x ) 

v ( x )−1

u ( x ) v′ ( x ) ln u ( x ) + v ( x ) u′ ( x )  .

2.5. Đạo hàm của hàm ẩn
2.5.1. Hàm ẩn và hàm hiện
Định nghĩa 5. Một hàm với đối số x được gọi là hàm hiện nếu ta cho nó trực
tiếp bằng một biểu thức giải tích chứa x .

3


Hàm ẩn y với đối số x là hàm xác định bởi phương trình liên hệ giữa x và
y và không giải ra đối với y .
2.5.2. Đạo hàm của hàm ẩn
Giả sử y = f ( x ) là hàm ẩn xác định bởi phương trình F ( x, y ) = 0 . Khi đó
ta có

F ( x, y ) = 0, ∀x .

(2.3)

Xem vế trái của (2.3) như là hàm hợp, ta lấy đạo hàm hai vế theo x . Khi đó sẽ
xuất hiện đạo hàm y′( x ) trong phương trình mới. Giải ra đối với y′ ta tìm được
biểu thức của đạo hàm.
2.6. Đạo hàm cấp cao
2.6.1. Định nghĩa 6 Giả sử hàm f ( x ) có đạo hàm trong khoảng ( a, b ) . Khi đó

f ′ ( x ) cũng là hàm của x và được gọi là đạo hàm cấp một của hàm f ( x ) . Nếu
f ′ ( x ) có đạo hàm thì

′

( f ′ ( x ))

gọi là đạo hàm cấp hai của f ( x ) và ký hiệu là

f ′′ ( x ) .
Ta cũng dùng một số ký hiệu đạo hàm cấp 2 như sau

y′′ = f ′′ =

d2y d2 f
=
dx 2 dx 2

* Đạo hàm cấp n của hàm số f , ký hiệu f (

f(

n)

′

( x ) =  f ( n−1) ( x )  với

n)

( x ) được định quy nạp như sau

n ≥ 1 và ta quy ước: f (

0)

( x) = f ( x) .

2.6.2. Các phép toán
Định lý 6. Giả sử các hàm f ( x ) và g ( x ) có đạo hàm cấp n tại x . Khi đó:

 f ( x ) ± g ( x ) 
cf ( x ) 

( n)

( n)

= cf (

n)

= f(

n)

( x ) ± g ( n) ( x ) .

( x) .

Công thức Leibnitz:  f ( x ) g ( x ) 
trong đó Ckn =

( n)

n

= ∑ Cnk f (
k =0

n!
.
k !( n − k )!

4

k)

( x ) g ( n −k ) ( x )


3. VI PHÂN
3.1. Khái niệm vi phân
Định nghĩa 7. Cho hàm y = f ( x ) xác định tại x0 và lân cận của nó. Cho x một
số gia ∆x tùy ý. Nếu tại x0 số gia hàm số ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) viết được
dưới dạng:

∆y = A∆x + α ( ∆x )
trong đó A∆x là đại lượng tỉ lệ với ∆x và α ( ∆x ) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆x
(nghĩa là α ( ∆x ) → 0 khi ∆x → 0 ) thì ta nói hàm số f ( x ) khả vi tại x0 và lượng
A∆x gọi là vi phân của hàm số tại điểm x0 . Ký hiệu

dy = A∆x

f ( x ) gọi là khả vi trên ( a, b ) nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3.2. Quan hệ giữa vi phân và đạo hàm
Định lý 7. Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f ( x ) khả vi tại x0 là f ( x ) có
đạo hàm hữu hạn tại điểm đó.
Chứng minh

f ( x ) khả vi tại x0 ⇒ ∆y = A∆x + α ( ∆x )

•
Do đó

α ( ∆x )
∆y
và
= A+
∆x
∆x

∆y
= A = f ′ ( x0 )
∆x →0 ∆x
lim

 α ( ∆x )

→ 0 khi ∆x → 0 

 ∆x


Nghĩa là hàm số có đạo hàm tại x0 .
•

∆y
= f ′ ( x0 )
∆x →0 ∆x

Giả sử hàm số có đạo hàm f ′ ( x0 ) , nghĩa là lim

⇔

∆y
= f ′ ( x0 ) + α trong đó α → 0 khi ∆x → 0
∆x

Suy ra ∆y = f ′ ( x0 ) ∆x + α ( ∆x ) trong đó f ′ ( x0 ) ∆x tỷ lệ với ∆x và α ( ∆x ) là
một vô cùng bé bậc cao hơn ∆x . Theo định nghĩa 7 thì f ( x ) khả vi tại điểm x0 .

Chú ý Nhờ định lý này ta có thể đồng nhất khái niệm khả vi và tồn tại đạo hàm
hữu hạn đối với hàm một biến.
5


Tuy nhiên, đôi khi ta có thể xem dx là biến độc lập mới, gọi là vi phân của
x , và biến phụ thuộc mới dy , gọi là vi phân của y , như là hàm của x và dx , vì
ta có:

dy =

dy

dx = f ′ ( x ) dx
dx

3.3. Ý nghĩa hình học của vi phân
y

Giả sử y = f ( x ) khả vi tại x0 .
Xét đồ thị hàm số tại lân cận điểm M 0 ( x0 , y0 ) .
Gọi α là góc tạo bởi tiếp tuyến M 0T với

M0

đường cong tại M 0 và chiều dương trục Ox .
Ta có dy = f ′ ( x0 ) ∆x = tan α .M 0 M = MT

T
∆x M

α
O

x0

x0 + ∆x

x

Vậy vi phân của hàm số y = f ( x ) ứng với x0 và ∆y cho trước bằng số gia tung

độ của tiếp tuyến với đường cong.

3.4. 5ác quy tắc tính vi phân
Giả sử f ( x ), g ( x ) khả vi tại x0 ta có:

d [ f ± g ] = df ± dg
d ( f .g ) = fdg + gdf
 f  gdf − fdg
d =
g2
g

( g ( x ) ≠ 0)

3.5. Vi phân cấp cao
Định nghĩa 8. Vi phân cấp n của hàm số f được định nghĩa quy nạp như sau

d n f = d ( d n −1 f )
4. CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH
4.1. Cực trị địa phương
Định nghĩa 9. Hàm số y = f ( x ) xác định trong ( a, b ) và c ∈ ( a, b ) . Hàm số

f ( x ) đạt cực đại địa phương (hay cực tiểu địa phương) tại điểm c nếu tồn tại
một lân cận của điểm c sao cho với mọi x thuộc vào lân cận đó ta có

f ( x ) < f ( c ) (hay f ( x ) > f ( c ) ) ( x ≠ c )
6


Điểm c gọi là cực đại (cực tiểu) địa phương của hàm số.
Cực đại và cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương.

Bổ đề Fermat. Nếu hàm số f ( x ) xác định trong khoảng ( a, b ) và đạt cực đại
(hay cực tiểu) địa phương tại c thuộc ( a, b ) và nếu tồn tại f ′ ( c ) thì f ′ ( c ) = 0 .
Chứng minh
Giả sử hàm f đạt cực đại địa phương tại điểm c thuộc ( a, b ) .
⇒ ∀x : a < x < c thì f ( x ) < f ( c ) ⇒

f ( x) − f (c)
>0
x−c

Suy ra khi x → c ta có f ′ ( c ) ≥ 0

∀x : c < x < b thì f ( x ) < f ( c ) ⇒

(1)

f ( x) − f (c)
<0
x−c

Suy ra khi x → c ta có f ′ ( c ) ≤ 0

(2)

Từ (1) và (2) suy ra f ′ ( c ) = 0 .

4.2. Các định lý giá trị trung bình
4.2.1. Định lý Rolle
Định lý 9. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [ a, b ] và khả vi trong khoảng

( a, b ) . Nếu f ( a ) = f ( b ) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ ( a, b )

sao cho

f ′(c) = 0 .
Chứng minh
Vì f liên tục trên [ a, b ] nên f nhận giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m
trên đoạn đó.
Nếu M = m thì khi đó hàm f không đổi trên [a, b] vì ∀x ∈ [ a, b ] ta có

m ≤ f ( x ) ≤ M , mà m = M ⇒ f ( x ) = m = M . Dó đó f ′ ( x ) = 0 tại mọi
x ∈ ( a, b ) nên điểm c có thể lấy bất kỳ điểm thuộc ( a, b ) .
M > m . Vì f đạt giá trị m và M trên [a, b] mà f ( a ) = f ( b ) nên ít nhất
một trong hai giá trị đó của hàm số phải đạt được tại một điểm c nào đó thuộc
( a, b ) . Khi đó theo bổ đề Fermat thì f ′ ( c ) = 0

4.2.2. Định lý Lagrange
7


Định lý 10. Giả sử hàm số f liên tục trên [ a, b ] và khả vi trên ( a, b ) . Khi đó
tồn tại ít nhất một điểm c ∈ ( a, b ) sao cho

f (b) − f ( a )
= f ′(c)
b−a
Chứng minh

f (b ) − f ( a )
( x − a ) trong đó F ( x ) là đoạn

b−a
thẳng đứng giữa đồ thị hàm số y = f ( x ) và dây cung AB

Đặt hàm số F ( x ) = f ( x ) − f ( a ) −

Rõ ràng F ( x ) liên tục trên đoạn [ a, b ] và khả vi trong khoảng ( a, b ) vì f ( x ) có
các tính chất đó.
Ta có F ( a ) = f ( a ) − f ( a ) −

F (b ) = f (b) − f (b ) −

f (b) − f ( a )
=0
b−a

f (b) − f ( a )
=0
b−a

⇒ F ( a ) = F (b )
Vậy F ( x ) thỏa định lý Rolle, nên tồn tại điểm c ∈ ( a, b ) sao cho F ′ ( c ) = 0 .
Ta có

F ′( x) = f ′( x) −
Hay f ′ ( c ) =

f (b ) − f ( a )
f (b ) − f ( a )
⇒ F′(c) = f ′(c) −
=0

b−a
b−a

f (b ) − f ( a )
b−a

4.2.3. Định lý Cauchy
Định lý 11. Giả sử các hàm số f và g liên tục trên [ a, b ] và khả vi trong
khoảng ( a, b ) giả sử g ′ ( x ) ≠ 0 tại mọi x ∈ (a, b ) thì tồn tại ít nhất một điểm

c ∈ ( a, b ) sao cho
f (b) − f ( a ) f ′(c)
=
g (b) − g ( a ) g′(c)
Chứng minh
Theo định lý Rolle ta có g ( b ) ≠ g ( a ) .
8


Thật vậy nếu g ( b ) = g ( a ) thì tồn tại điểm c ∈ ( a, b ) sao cho g ′ ( c ) = 0 mâu
thuẫn với giả thuyết là g ′ ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ( a, b ) .

Đặt ϕ ( x ) = f ( x ) − Ag ( x ) với A là hằng số.
Vì f ( x ) , g ( x ) liên tục trên [ a, b ] , khả vi trong ( a, b ) nên hàm số ϕ ( x ) có các
tính chất đó.
Chọn A sao cho ϕ ( a ) = ϕ ( b ) ⇔ f ( b ) − Ag ( b ) = f ( a ) − Af ( a )

⇔ A=

f (b) − f ( a )

g (b) − g ( a )

Khi đó theo định lý Rolle, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ ( a, b ) sao cho

ϕ′ (c ) = f ′(c ) −

f (b ) − f ( a )
f (b ) − f ( a ) f ′ ( c )
=
g′(c ) = 0 ⇔
g (b ) − g ( a )
g (b ) − g ( a ) g′ ( c )

5. CÔNG THỨC TAYLOR
5.1. Công thức Taylor với phần dư Lagrange
Định lý 12. (Định lý Taylor) Nếu f khả vi đến cấp ( n + 1) trong khoảng ∆
chứa a thì
n
f ′ ( a )( x − a ) f ′′ ( a )
f ( ) (a)
n
2
+
f ( x) = f (a) +
( x − a ) + ... +
( x − a ) + Rn ( x ) (*)
1!
2!
n!

∀x ∈ ∆, x ≠ a . Trong đó sai số Rn ( x ) gọi là phần dư Lagrange xác định bởi:
n +1

f ( ) (c)
n +1
Rn ( x ) =
( x − a ) , với c nằm trong khoảng giữa x và a .
( n + 1)!
Đặc biệt khi a = 0 thì công thức (*) có dạng
n
n +1
f ′(0)
f ′′ ( 0 ) 2
f ( ) (0) n f ( ) (c )
f ( x ) = f (0) +
x+
x + ... +
x +
,
n!
1!
2!
( n + 1)!

với c nằm giữa 0 và x .
Công thức trên còn gọi là công thức Maclaurin, là công thức khai triển Taylor
trong lân cận của điểm x = 0 .

9

5.2. Công thức Taylor với phần dư Peano
Nếu f (x ) liên tục trên đoạn [ a, b ] , khả vi đến cấp ( n − 1) trong ( a, b ) và
t ồn t ạ i f (

n)

( x0 ) ( x0 ∈ ( a, b ) ) . Khi ấy với
n

f ( x) = ∑
k =0

(

Biểu thức Rn ( x ) = o ( x − x0 )

n

f(

k)

( x0 )

k!

x ∈ ( a, b ) ta có:

( x − x0 )

k

(

+ o ( x − x0 )

n

)

) được gọi là phần dư dạng Peano.

5.3. Khai triển Maclaurin của các hàm sơ cấp đơn giản
•

ex = 1 + x +

x 2 x3
xn
x n +1 c
+ + ... + +
e
2! 3!
n! ( n + 1)!

với c nằm giữa 0 và x , và Rn ( x ) <

•

sin x = x −

3
.
( n + 1)!

sin ( c + kπ ) 2 k
x3 x 5 x 7
x2k
k −1
x
+ − + ... + ( −1)
+
3! 5! 7!
( 2k − 1)!
( 2k ) !
2n

x
với c nằm giữa 0 và x , và Rn ( x ) ≤
.
( 2n ) !

π

cos x  c + ( 2k + 1) 
x
x
x
k x

2  2 k +1

x
cos x = 1 − + − + ... + ( −1)
+
2! 4! 6!
( 2k )!
( 2k + 1)!
2

•

4

6

2k

2 n +1

x
với c nằm giữa 0 và x , và Rn ( x ) ≤
.
( 2n + 1)!
•

n
x 2 x3 x 4
x n+1
n −1 x

n
ln (1 + x ) = x − + − + ... + ( −1)
+ ( −1)
n +1
2 3 4
n
( n + 1)(1 + c )

với c nằm giữa 0 và x , và Rn ( x ) <
•

ax = 1+

1
.
n +1

ln a
ln 2 a 2 ln 3 a 3
ln n a n a c ln n+1 a n +1
x+
x +
x + ... +
x +
x
1!
2!
3!
n!
( n + 1)!

với c nằm giữa 0 và x , và Rn ( x ) <

a
.
( n + 1)!

10


α

(1 + x )
•

= 1+

α
1!

x+

α (α − 1)
2!

x 2 + ... +

α (α − 1) ... (α − n + 1)

( n − 1)!

α (α − 1) ...(α − n + 1)
+
n!

với c nằm giữa 0 và x , và Rn ( x ) <

α
n!

11

x n−1 +

.

α −n

(1 + c )

xn


Chương 2

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
1.CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1.1 Cực trị địa phương
Định lý 13. ( Điều kiện đủ thứ nhất của cực trị)
Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục trong lân cận của điểm x0 , có đạo hàm
trong lân cận đó ( có thể trừ x0 ). Giả sử x0 là điểm tới hạn của hàm số.

Nếu f ′ ( x ) đổi dấu khi x qua x0 thì hàm số đạt cực trị địa phương tại x0 và

x0 được gọi là cực trị của hàm số.
Nếu f ( x ) đổi dấu từ (+) sang (-) thì x0 là điểm cực đại.
Nếu f ( x ) đổi dấu từ (-) sang (+) thì x0 là điểm cực tiểu.

Định lý 14. ( Điều kiện đủ thứ hai của cực trị)
Giả sử hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đến cấp hai trong lân cận điểm x0
và f ′ ( x0 ) = 0 và f ′′ ( x0 ) ≠ 0 . Khi đó nếu:
i) f ′′ ( x0 ) < 0 thì f ( x ) đạt cực đại tại x0 .
ii) f ′′ ( x0 ) > 0 thì f ( x ) đạt cực tiểu tại x0 .
Ta có thể mở rộng định lý 14 trong trường hợp sau:

Định lý 15. Giả sử rằng hàm số y = f ( x ) khả vi đến cấp ( n + 1) trong lân cận
của điểm x0 và f ′ ( x0 ) = f ′′ ( x0 ) = ... = f (

n −1)

( x0 ) = 0,

f(

n)

( x0 ) ≠ 0 . Khi đó:

i) Nếu n lẻ thì hàm số không có cực trị tại x0 .
ii) Nếu n chẵn thì hàm số có cực trị tại x0 .
H ơ n n ữ a n ếu f (

n)

( x0 ) > 0

thì hàm số có cực tiểu và nếu f (

n)

có cực đại tại x0 .

1.2. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Định nghĩa 10. Cho hàm số f ( x ) xác định trên D . Ta nói:

12

( x0 ) < 0

thì hàm số


i) f ( x ) đạt giá trị lớn nhất tại x0 ∈ D nếu f ( x ) ≤ f ( x0 ) , ∀x ∈ D .
ii) f ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 ∈ D nếu f ( x ) ≥ f ( x0 ) , ∀x ∈ D .
Ký hiệu giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f trên miền xác định của nó là

f max và f min .
Định lý 16. (Weierstrass) Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên [ a, b ] thì f ( x ) đạt giá
trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên [ a, b ] .

Định lý 17. Giả sử f là hàm liên tục trên khoảng (a, b ) và

lim f ( x ) = L và lim− f ( x ) = M

x→a +

x →b

Khi đó:
i) Nếu f ( u ) > L và f ( u ) > M với u nào đó thuộc ( a, b ) thì hàm số f có
một giá trị lớn nhất trên (a, b ) .
ii) Nếu f ( v ) < L và f ( v ) < M với v nào đó thuộc ( a, b ) thì hàm số f có
một giá trị nhỏ nhất trên (a, b ) .

2. XẤP XỈ TUYẾN TÍNH
Định nghĩa 11. Ta gọi xấp xỉ tuyến tính của hàm f tại x = x0 là hàm

L ( x ) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 )( x − x0 )
Định lý 18. (Ước lượng sai số cho xấp xỉ tuyến tính)
Nếu f ′′ ( t ) tồn tại với mọi t trong khoảng chứa x và x0 thì tồn tại điểm c
giữa x và x0 sao cho: Rn ( x ) =

f ′′ ( c )
2
( x − x0 )
2

Đặc biệt nếu f ′′ ( t ) ≤ k với k là hằng số thì:

Rn ( x ) ≤

k

2
( x − x0 )
2

3. TỐC ĐỘ BIẾN THIÊN
Đạo hàm f ′ ( x0 ) cho ta biết về tốc độ biến thiên của f ( x ) tại x0 . Khi

f ′ ( x0 ) > 0 thì f ( x ) đang tăng với tốc độ f ′( x0 ) , còn khi f ′ ( x0 ) < 0 thì f ( x )
đang giảm với tốc độ f ′ ( x0 ) .

13


4. VẬN TỐC, GIA TỐC
4.1. Vận tốc
Giả sử một vật chuyển động dọc theo trục Ox , khi đó vị trí của vật là hàm
của thời gian t , ký hiệu x = x ( t ) ( x ( t ) cũng chính là phương trình chuyển động
của vật).
* Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian [t , t + ∆t ] là

vtb =

∆x x ( t + ∆t ) − x ( t )
=
∆t
∆t

* Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t là

∆x

= x′ ( t )
∆x →0 ∆t

v ( t ) = lim

Vận tốc của vật tại thời điểm t cho ta biết độ nhanh chậm của chuyển động,
đồng thời cho ta biết hướng chuyển động của vật.
+ Nếu v ( t ) > 0 thì x ( t ) tăng: vật đang chuyển động về bên phải.
+ Nếu v ( t ) < 0 thì x ( t ) giảm: vật đang chuyển động về bên trái.
+ Nếu v ( t ) = 0 tại t = t0 thì tại thời điểm này vật ở trạng thái dừng.

4.2. Gia tốc
Tốc độ biến thiên của vận tốc đối với thời gian của vật chuyển động thẳng
gọi là gia tốc của vật. Ký hiệu a ( t ) .
Ta có a ( t ) = v′ ( t ) = x′′ ( t )
Nếu a ( t ) > 0 thì vận tốc tăng. Trong trường hợp này, không nhất thiết tốc độ
tăng. Bảng sau cho ta biết chi tiết về chuyển động
V ậ n t ốc

Gia tốc

Hướng chuyển động

Tốc độ

+

+

Về bên phải

Tăng

+

-

Về bên phải

Giảm

-

+

Về bên trái

Giảm

-

-

Về bên trái

Tăng

14

Nếu a ( t0 ) = 0 thì vận tốc và tốc độ là dừng tại t0 .
Nếu a ( t ) = 0 trong khoảng thời gian [t1 , t2 ] thì vận tốc không đổi, nghĩa vật
chuyển động thẳng đều.

15


Chương 3

PHÂN LOẠI BÀI TẬP
1. TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
1.1. Phương pháp giải
− Xác định miền xác định.
− Áp dụng định nghĩa của đạo hàm
+ Đạo hàm tại một điểm

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
∆f
= lim
= f ′ ( x0 )
lim
∆x→0 ∆x ∆x→0
∆x
lim
x → x0

hay

f ( x ) − f ( x0 )
= f ′ ( x0 )

x − x0

+ Đạo hàm một phía

lim
∆x→0+

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
= f +′ ( x0 )
∆x

lim
∆x→0−

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
= f −′ ( x0 )
∆x

1.2. Bài tập minh họa
1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) f ( x ) = x ( x > 0 )
d) f ( x ) =

1
e +1
x

c) f ( x ) = − cot x − x

b) f ( x ) = a x

e) f ( x ) =

1
1+ x

2

f) f ( x ) = 3x sin x

Giải
a) f ( x ) = x ( x > 0 )

f ( x ) xác định trên ( 0, +∞ ) .Với mỗi x > 0 cho một số gia ∆x . Ta có

16


lim
∆x→0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
x + ∆x − x
x + ∆x − x
= lim
= lim
∆x→0
∆x→0 ∆x x + ∆x + x
∆x
∆x

(

= lim
∆x→0 ∆x
=
Vậ y f ′ ( x ) =

1
2 x

)

1
= lim
∆x→0 x + ∆x + x
x + ∆x + x
∆x

(

)

1
2 x

, x>0

b) f ( x ) = a x

f ( x ) xác định trên ℝ . Với mỗi x ∈ ℝ cho một số gia ∆x . Ta có

∆x
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
a x+∆x − a x
−1
x a
lim
= lim
= lim a
= a x ln a
∆x→0
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x
∆x

Vậy f ′ ( x ) = a x ln a
c) f ( x ) = − cot x − x

f ( x ) xác định trên ℝ \ {κπ } . Với mỗi x ∈ ℝ \ {κπ } cho một số gia ∆x . Ta có

lim
∆x→0

f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
− cot ( x + ∆x ) − ( x + ∆x ) − ( − cot x − x )
= lim
∆x→0
∆x
∆x

cot x − cot ( x + ∆x ) ∆x
= lim
−
∆x→0
∆x
∆x
sin ( x + ∆x − x )
= lim
−1
∆x→0 ∆x sin x .sin ( x + ∆x )
sin ∆x
1
= lim
−1
∆x→0 ∆x sin x.sin ( x + ∆x )
=

1
− 1 = cot 2 x
2
sin x

Vậy f ′ ( x ) = cot 2 x
d) f ( x ) =

1
ex + 1

f ( x ) xác định trên ℝ . Với mỗi x ∈ ℝ cho một số gia ∆x . Ta có

17


lim
∆x→0

f ( x + ∆x ) − f ( x )
= lim e
∆x→0
∆x

1
x +∆x

1
e x + 1 − e x+∆x − 1
+ 1 e + 1 = lim
∆x→0 ∆x ( e x +∆x + 1)( e x + 1)
∆x
−

x

1 − e ∆x
= lim e
∆x→0 ∆x ( e x +∆x + 1)( e x + 1)
x

1
e ∆x − 1

= −e lim
x +∆x
∆x→0 ∆x ( e
+ 1)( e x + 1)
x

1
ex
= −e lim
=−
2
∆x→0 ( e x+∆x + 1)( e x + 1)
( e x + 1)
x

Vậ y f ′ ( x ) = −

e) f ( x ) =

ex

(e

x

+ 1)

2

1

1 + x2

f ( x ) xác định trên ℝ . Với mỗi x ∈ ℝ cho một số gia ∆x . Ta có
1
2

1 + ( x + ∆x )
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
lim
= lim
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x

1

−

1 + x2

1 + x 2 − 1 + ( x + ∆x )

2

= lim
∆x→0 ∆x 1 + ( x + ∆x )2 1 + x 2
∆x ( −2 x − ∆x )
= lim
∆x→0 ∆x 1 + x + ∆x 2 1 + x 2 1 + x + ∆x 2 + 1 + x 2

(
)
(
)

(

( −2 x − ∆x )
= lim
∆x→0 1 + ( x + ∆x ) 2 1 + x 2 1 + ( x + ∆x )2 + 1 + x 2

(

=−

Vậ y f ′ ( x ) = −

x
2 3

(1 + x )

x
2 3

(1 + x )

18

)

)


f) f ( x ) = 3x sin x

f ( x ) xác định trên ℝ . Với mỗi x ∈ ℝ cho một số gia ∆x .
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
3x +∆x sin ( x + ∆x ) − 3x sin x
lim
= lim
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x
3∆x sin ( x + ∆x ) − sin x
= lim 3x
∆x→0
∆x
∆x
3 ( sin x cos ∆x + sin ∆x cos x ) − sin x
= 3x lim
∆x→0
∆x
∆x
3 cos ∆x − 1 x
3∆x sin ∆x
x
= 3 sin x lim
+ 3 cos x lim

∆x→0
∆x→0 ∆x
∆x
 3∆x − 1
cos ∆x − 1 
= 3x sin x lim 
cos ∆x +

∆x→0  ∆x
∆x

+ 3x cos x lim 3∆x
∆x→0

 ∆x  
2sin 2   
 3∆x − 1
 2   + 3x cos x
= 3x sin x lim 
cos ∆x −
∆x→0  ∆x
∆x





 3∆x − 1
 ∆x  
= 3x sin x lim 

cos ∆x − sin    + 3x cos x
∆x→0  ∆x
 2 
= 3x ( ln 3sin x + cos x )
Vậy f ′ ( x ) = 3x ( ln 3sin x + cos x )
1
3

2
3

2. Cho hàm số f ( x ) = x và g ( x ) = x . Tính f ′ ( 0 ) và g ′ ( 0 ) .

Giải
Theo định nghĩa đạo hàm ta có
1/3

0 + ∆x ) − 01/3
f ( x + ∆x ) − f ( x )
f ( 0 + ∆x ) − f ( 0 )
(
lim
= lim
= lim
∆x→0
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x
∆x

1/3

( ∆x )

= lim
∆x→0 ∆x

19

1
= lim
= +∞
∆x→0 ( ∆x ) 2/3


Vậy f ( x ) có đạo hàm vô hạn tại x = 0 .
2/3

g ( x + ∆x ) − g ( x )
g ( 0 + ∆x ) − f ( 0 )
0 + ∆x ) − 02/3
(
= lim
= lim
lim
∆x→0
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x

∆x
2/3
−
∆x )
1
(
 −∞ , ∆x → 0
= lim
= lim
=
∆x→0 ∆x
∆x→0 ( ∆x )1/3  +∞ , ∆x → 0+
Vậy g ( x ) không có đạo hàm tại x = 0 .
3. Tìm đạo hàm của hàm số y ( x ) = x x .

Giải
Ta có

− x 2 khi x ≤ 0
y ( x) =  2
 x khi x > 0
* Với x ∈ ( 0, +∞ ) , theo định nghĩa đạo hàm ta có
2

y ( x + ∆x ) − y ( x )
x + ∆x ) − x 2
∆y
(
lim
= lim

= lim
∆x→0 ∆x ∆x→0
∆x→0
∆x
∆x
∆x ( 2 x + ∆x 2 )
2 x∆x + ∆x 2
= lim
= lim
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x
= lim ( 2 x + ∆x ) = 2 x
∆x→0
Vì vậy y′ ( x ) = 2 x . (1)
* Với x ∈ ( −∞,0 ) tương tự ta được y′ ( x ) = −2 x . (2)
* Tại x = 0 thì
2

y ( 0 + ∆x ) − y ( 0 )
( −∆x ) − 0 = lim −∆x = 0
= lim −
y−′ ( 0 ) = lim −
( )
∆x→0
∆x→0
∆x→0−
∆x
∆x

2

y ( 0 + ∆x ) − y ( 0 )
( ∆x ) − 0 = lim ∆x = 0
y+′ ( 0 ) = lim +
= lim +
( )
∆x→0
∆x→0
∆x→0+
∆x
∆x
Do đó y′ ( 0 ) = y−′ ( 0 ) = y+′ ( 0 ) = 0 . (3)
Từ (1), (2) và (3) ta được y′ ( x ) = 2 x .
Vậ y y ( x ) = 2 x .

20