Vi tích phân a1 hàm số và giới hạn

VI TÍCH PHÂN A1

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN
CBGD. Lê Hoài Nhân

1

1 Bộ môn Toán học
Khoa Khoa học tự nhiên

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

1 / 81


Chương 1. Hàm số một biến

1

Giới hạn hàm số
Giới hạn hữu hạn
Các qui tắc tính giới hạn
Giới hạn vô cực
Giới hạn tại vô cực
Các dạng vô định

(CNS)

2

3

Giới hạn của hàm số sơ cấp
Vô cùng bé
Hàm số liên tục
Định nghĩa
Điểm gián đoạn
Ứng dụng
Lời giải các Ví dụ

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

2 / 81


Giới hạn hữu hạn

Định nghĩa 1.1
Cho hàm số f (x) xác định trên
khoảng (a, b) \ {x0 } với
x0 ∈ (a, b). Ta nói L = lim f (x)
x→x0

nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0
sao cho
|f (x) − L| < ε.
với 0 < |x − x0 | < δ

(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

3 / 81


Giới hạn hữu hạn

Định nghĩa 1.1
Cho hàm số f (x) xác định trên
khoảng (a, b) \ {x0 } với
x0 ∈ (a, b). Ta nói L = lim f (x)
x→x0

nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0
sao cho
|f (x) − L| < ε.
với 0 < |x − x0 | < δ

(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

3 / 81


Giới hạn hữu hạn
Chú ý 1.1

(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

4 / 81


Giới hạn hữu hạn
Chú ý 1.1
Sự tồn tại của lim f (x) và f (x0 ) độc lập với nhau.
x→x0

(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

4 / 81

Giới hạn hữu hạn
Chú ý 1.1
Sự tồn tại của lim f (x) và f (x0 ) độc lập với nhau.
x→x0

Sự tồn tại của lim f (x) chỉ phụ thuộc vào f (x) với những x khá
x→x0

gần x0 (và khác x0 ).

(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

4 / 81


Giới hạn hữu hạn
Chú ý 1.1
Sự tồn tại của lim f (x) và f (x0 ) độc lập với nhau.
x→x0

Sự tồn tại của lim f (x) chỉ phụ thuộc vào f (x) với những x khá
x→x0

gần x0 (và khác x0 ).

Nếu f (x) = g(x) với mọi x = a thì lim f (x) = lim g(x), với các giới
x→a

x→a

hạn trên đều tồn tại.

(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

4 / 81


Giới hạn hữu hạn
Chú ý 1.1
Sự tồn tại của lim f (x) và f (x0 ) độc lập với nhau.
x→x0

Sự tồn tại của lim f (x) chỉ phụ thuộc vào f (x) với những x khá
x→x0

gần x0 (và khác x0 ).
Nếu f (x) = g(x) với mọi x = a thì lim f (x) = lim g(x), với các giới
x→a

x→a

hạn trên đều tồn tại.

Ví dụ 1.1
Xét hàm số g(x) =

(CNS)

x nếu x = 2
.
1 nếu x = 2

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

4 / 81


Giới hạn hữu hạn
Chú ý 1.1
Sự tồn tại của lim f (x) và f (x0 ) độc lập với nhau.
x→x0

Sự tồn tại của lim f (x) chỉ phụ thuộc vào f (x) với những x khá
x→x0

gần x0 (và khác x0 ).
Nếu f (x) = g(x) với mọi x = a thì lim f (x) = lim g(x), với các giới
x→a

x→a

hạn trên đều tồn tại.

Ví dụ 1.1
Xét hàm số g(x) =

(CNS)

x nếu x = 2
.
1 nếu x = 2

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

4 / 81


Giới hạn hữu hạn
Chú ý 1.1
Sự tồn tại của lim f (x) và f (x0 ) độc lập với nhau.
x→x0

Sự tồn tại của lim f (x) chỉ phụ thuộc vào f (x) với những x khá
x→x0

gần x0 (và khác x0 ).
Nếu f (x) = g(x) với mọi x = a thì lim f (x) = lim g(x), với các giới

x→a

x→a

hạn trên đều tồn tại.

Ví dụ 1.1
x nếu x = 2
.
1 nếu x = 2
Ta có lim g(x) = lim x = 2 trong khi đó

Xét hàm số g(x) =
x→2

x→2

g(2) = 1.
(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

4 / 81


Giới hạn của hàm số đa thức
Định nghĩa 1.2 (Đa thức - Polynomial)
Một đa thức biến số x là hàm số có dạng

P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0
trong đó an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 là các hằng số và an = 0.
Số tự nhiên n được gọi là bậc của đa thức P và được ký hiệu là
deg(P ) = n.

(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

5 / 81


Giới hạn của hàm số đa thức
Định nghĩa 1.2 (Đa thức - Polynomial)
Một đa thức biến số x là hàm số có dạng
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0
trong đó an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 là các hằng số và an = 0.
Số tự nhiên n được gọi là bậc của đa thức P và được ký hiệu là
deg(P ) = n.

Định lý 1.1 (Giới hạn của hàm đa thức)
Nếu P (x) là một đa thức và a là số thực tùy ý thì
lim P (x) = P (a).

x→a

(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

5 / 81


Giới hạn của hàm số đa thức

Ví dụ 1.2
Tính các giới hạn
1

lim (2x + 3)(3x − 1)

x→−2
2

3

4

x2 − 1
x→1 x + 1
x2 − 1
lim
x→−1 x + 1
t2 + 3t − 10
lim
t→−5

t+5
lim

(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

6 / 81


Giới hạn của hàm số đa thức

Ví dụ 1.2
Tính các giới hạn
1

lim (2x + 3)(3x − 1) = lim (6x2 + 7x − 3) = 7.

x→−2
2

3

4

x→−2

x2 − 1

lim
x→1 x + 1
x2 − 1
lim
x→−1 x + 1
t2 + 3t − 10
lim
t→−5
t+5

(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

6 / 81


Giới hạn của hàm số đa thức

Ví dụ 1.2
Tính các giới hạn
1

lim (2x + 3)(3x − 1) = lim (6x2 + 7x − 3) = 7.

x→−2
2

3

4

x→−2

x2 − 1
(x + 1)(x − 1)
= lim (x − 1) = 0.
lim
= lim
x→1
x→1 x + 1
x→1
x+1
2
x −1
lim
x→−1 x + 1
t2 + 3t − 10
lim
t→−5
t+5

(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

6 / 81


Giới hạn của hàm số đa thức

Ví dụ 1.2
Tính các giới hạn
1

lim (2x + 3)(3x − 1) = lim (6x2 + 7x − 3) = 7.

x→−2
2

3

4

x→−2

x2 − 1
(x + 1)(x − 1)
= lim (x − 1) = 0.
lim
= lim
x→1
x→1 x + 1
x→1
x+1
2

(x + 1)(x − 1)
x −1
= lim
= lim (x − 1) = −2.
lim
x→−1
x→−1
x→−1 x + 1
x+1
2
t + 3t − 10
lim
t→−5
t+5

(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

6 / 81


Giới hạn của hàm số đa thức

Ví dụ 1.2
Tính các giới hạn
1

lim (2x + 3)(3x − 1) = lim (6x2 + 7x − 3) = 7.

x→−2
2

3

4

x→−2

x2 − 1
(x + 1)(x − 1)
= lim (x − 1) = 0.
lim
= lim
x→1
x→1 x + 1
x→1
x+1
2
(x + 1)(x − 1)
x −1
= lim
= lim (x − 1) = −2.
lim
x→−1
x→−1
x→−1 x + 1
x+1

2
t + 3t − 10
(t + 5)(t − 2)
lim
= lim
= lim (t − 2) = −7.
t→−5
t→−5
t→−5
t+5
t+5

(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

6 / 81


Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Định nghĩa 1.3 (Hàm phân thức hữu tỷ - Rational function)
Tỷ số

P (x)
của hai đa thức được gọi là hàm phân thức hữu tỷ.
Q(x)

(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

7 / 81


Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Định nghĩa 1.3 (Hàm phân thức hữu tỷ - Rational function)
Tỷ số

P (x)
của hai đa thức được gọi là hàm phân thức hữu tỷ.
Q(x)

Định lý 1.2 (Giới hhạn của hàm phân thức hữu tỷ)
Nếu P (x) và Q(x) là hai đa thức và a là số thực sao cho Q(a) = 0 thì
lim

x→a

(CNS)

P (x)
P (a)
=
.
Q(x)
Q(a)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

7 / 81


Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ
Định nghĩa 1.3 (Hàm phân thức hữu tỷ - Rational function)
Tỷ số

P (x)
của hai đa thức được gọi là hàm phân thức hữu tỷ.
Q(x)

Định lý 1.2 (Giới hhạn của hàm phân thức hữu tỷ)
Nếu P (x) và Q(x) là hai đa thức và a là số thực sao cho Q(a) = 0 thì
lim

x→a

P (x)
P (a)
=
.
Q(x)
Q(a)

Câu hỏi 1.1

P (x)
ta cần thực hiện các
x→a Q(x)

Để tính giới hạn của hàm số hữu tỷ lim
bước nào?
(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

7 / 81


Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Ví dụ 1.3
Tính các giới hạn sau:
1

2

x + 3 Bài giải
x→3 x + 6
t2 + 3t − 10
lim
t→2
t2 − 4
lim

3

Bài giải

4

(x2 − 1)2 Bài giải
x→1 x3 − 2x2 + x
4
1
− 2
.
lim
x→2 x − 2
x −4
lim

Bài giải

Next
(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

8 / 81

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Bài tập 1.1
f (x + h) − f (x)
thường xuyên được sử
h
dụng. Hãy tính giới hạn trên cho các hàm số sau:

Trong vi tích phân, giới hạn lim

h→0

1

f (x) = x2

2

x3

3

4

f (x) =

(CNS)

1
x

1
f (x) = 2 .
x
f (x) =

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

9 / 81


Các qui tắc tính giới hạn
Định lý 1.3 (Các phép toán trên giới hạn)
Nếu limx→a f (x) = L, limx→a g(x) = M và k là một hằng số, m, n là
các số nguyên thì
1. Phép cộng lim [f (x) + g(x)] = L + M
2.

Phép trừ

3.

Phép nhân

4.

Phép chia

5.

Lũy thừa

6.

Thứ tự

(CNS)

x→a

lim [f (x) − g(x)] = L − M

x→a

lim f (x)g(x) = LM

x→a

lim f (x)
x→a g(x)

L
M
lim [f (x)]m/n
x→a

nếu M = 0

=

=

Lm/n

với L > 0 nếu n chẵn
và L = 0 nếu n lẻ

Nếu f (x) ≤ g(x) thì L ≤ M

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

10 / 81


Các qui tắc tính giới hạn

Ví dụ 1.4
Giả sử rằng lim f (x) = 2 và lim g(x) = −3. Tìm các giới hạn sau:
x→4

1

x→4

lim [g(x) + 3]

x→4

2

lim xg(x)

x→4
3

lim [g(x)]2

x→4
4

g(x)
x→4 f (x) − 1
lim

(CNS)

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

11 / 81