Bài Giảng Mô Hình Ra Quyết Định

1

Chương 1: KHÁI QUÁT VỀ MÔ HÌNH RA QUYẾT ĐỊNH
Thời gian: 3 giờ (giờ 1- 3)
Mục tiêu chương
- Hiểu về mô hình ra quyết định
- Đánh giá các mô hình, căn cứ xây dựng mô hình
- Các yếu tố ảnh hưởng đến mô hình
- Biết cách phân loại các mô hình, đánh giá vị trí và tầm quan trọng của mỗi
loại mô hình.
Tất cả các nguồn lực trong thế giới của chúng ta điều có giới hạn. Trữ lượng dầu có thể hút từ lòng đất là có
hạn. Diện tích đất có thể sử dụng làm các bãi rác chứa các chất thải độc hại cũng có giới hạn và ở nhiều nơi, diện tích
này đang ngày càng bị thu hẹp một cách nhanh chóng. Xét ở góc độ cá nhân hơn, mỗi chúng ta đều sở hữu một
lượng thời gian nhất định để hoàn tất các công việc hoặc tận hưởng các hoạt động nào đó mà ta đã lên kế hoạch. Hầu
hết trong số chúng ta đều có một lượng tiền nhất định để sử dụng khi tham gia vào các hoạt động này. Công việc
kinh doanh cũng vậy, các nguồn lực luôn nằm trong một giới hạn. Một công ty luôn tuyển một lượng lao động nhất
định. Một nhà hàng luôn bị hạn chế bởi một lượng chỗ ngồi nhất định….
Đưa ra quyết định làm thế nào để sử dụng một cách tốt nhất các nguồn lực có hạn và khả dụng đối với một cá
nhân hoặc một doanh nghiệp là một vấn đề vô cùng quan trọng. Trong môi trường kinh doanh đầy cạnh tranh ngày
nay, đảm bảo các nguồn lực có hạn của doanh nghiệp được sử dụng một cách tối ưu đến mức có thể đang trở nên
ngày một càng quan trọng. Cụ thể là hoạch định sao cho việc phân bổ các nguồn lực nhằm tối đa hóa lợi nhuận hoặc
tối thiểu hóa chi phí.

1.1. Khái niệm về mô hình ra quyết định
Mô hình ra quyết định là một lĩnh vực của khoa học quản trị nhằm tìm ra phương
pháp tối ưu hoặc hiệu quả nhất của việc sử dụng các nguồn lực có hạn để có thể đạt được
các mục tiêu của một cá nhân hoặc một doanh nghiệp đưa ra. Vì lí do này, mô hình ra
quyết định thường được hiểu với một nghĩa khác là Tối ưu hóa.
Mô hình ra quyết định thường chỉ áp dụng hai giai đoạn đầu của tiến trình ra quyết
định đó là các tình huống quản lý và đưa ra các quyết định còn lại các bước thực hiện
quyết định và đo lường kết quả đạt được khi ra quyết định thì không được đề cập đến.

Các tình huống trong
quản lý

Đưa ra các
quyết định

Thực hiện quyết
định

Đo lường kết
quả

Áp dụng mô hình ra quyết định

Hình 1.1 Tiến trình ra quyết định
Sự tác động của mô hình ra quyết định và hai bước này khác nhau. Mô hình tác
động vào hai phần:

Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


2
Thứ nhất: phần thế giới thực tiễn mà các nhà quản lý phải đối mặt hằng ngày và
đang phải suy nghĩ để đưa ra các quyết định để giải quyết những vấn đề thách thức này.
Thứ hai: Phần thế giới tượng trưng hay thế giới lượng hóa, phần này chủ yếu giới
thiệu cách thức bổ trợ việc sử dụng trực giác trong việc đưa ra các quyết định. Đây là các
con đường gián tiếp giúp bạn tóm tắt các vấn đề thực tiễn của tình huống quản lý sau đó
đưa vào trong một mô hình định lượng những điều cốt lõi của tình huống.

Tình huống quản
lý

Kết quả
Giải
thích

Phân tích

Tóm tắt

Mô hình

Thế giới lượng hóa
Thế giới thực tiễn

Trực giác

Các quyết định

Hình 1.2. Hai giai đoạn đầu tiên của tiến trình ra quyết định dưới góc nhìn của
mô hình ra quyết định
Sau khi xây dựng, mô hình định lượng được phân tích để cho ra kết quả hay kết luận
cần thiết cho riêng bản thân mô hình và không liên quan gì đến các tóm tắt đã được thực
hiện trước đó.
Kế tiếp, các kết quả phải được đưa vào thực tiễn hoạt động của doanh nghiệp. Kết
quả cuối cùng phụ thuộc hoàn toàn vào kinh nghiệm và trực giác nhạy bén của các nhà
quản lý.

Tình huống
quản lý

Phân tích

Đánh giá
quản trị
Trực giác

Kết quả
Giải thích

Tóm tắt

Mô hình

Thế giới lượng hóa
Thế giới thực tiễn

Các quyết
định

Bản thân tiến trình lập mô hình không phải là một nổ lực mang tính khoa học thuần
túy mà bổ sung vào đó việc đưa ra những đánh giá mang tính quản trị sẽ bao trùm toàn bộ
các khía cạnh của tiến trình.
Vai trò của nhà quản trị khi lập mô hình là hết sức cần thiết bao gồm các bước:
- Tóm tắt tình huống
- Hệ thống hóa mô hình
- Giải thích mô hình
Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


3
- Ra và thực hiện các quyết định
Để thực hiện tốt các bước lập mô hình, nhà quản trị cần nắm vững những nguyên lý sau:
- Sắp xếp các tình huống của bài toán sao cho phù hợp với việc lập mô hình
- Bố cục toàn cảnh mô hình sao cho việc thu thập, truy xuất dữ liệu và phân tích mô
hình một cách thuận lợi để có thể giải quyết và đạt được những kết quả (trong giới hạn
cho phép về thời gian và tiền bạc)
- Tìm kiếm các phương án, cách thức truyền đạt những kết quả khả thi tốt nhất của
mô hình trong việc ra quyết định.
1.2. Các mô hình trong doanh nghiệp theo cấp quản lý
Đối với quản lý cấp cao: các mô hình thường cung cấp thông tin điển hình dưới
dạng báo cáo kết quả cô đọng bản chất vấn đề, không nhất thiết là các quyết định dưới
dạng đệ trình. Những thông tin trong báo cáo này có tác dụng như là một công cụ giúp
nhà quản lý cao nhất hoạch định chiến lược, dự báo trong tương lai, khảo sát tỉ mỉ các khả
năng có thể lựa chọn, phát triển các phương án đa dạng khác nhau, gia tăng tính linh hoạt
và giảm tác động của thời gian.
Đối với quản lý cấp thấp: mô hình thường được sử dụng thường xuyên hơn trong
việc cung cấp các quyết định mang tính đệ trình. Việc thu thập dữ liệu hoạt động của
doanh nghiệp là hết sức quan trọng cho mô hình, những dữ liệu này sẽ được các nhà quản
lý sử dụng để cập nhật số liệu vào mô hình của mình một cách định kỳ.
1.3. Yêu cầu đối với nhà quản lý khi lập mô hình
Các mô hình được sử dụng theo nhiều cách mà các nhà quản lý đã xây dựng chúng.
Mặc dù có những khác nhau, nhưng tất cả các mô hình hổ trợ ra quyết định đều có những
điểm chung giống nhau đó là chúng đều cung cấp một bố cục hợp lý và nhất quán cho
việc phân tích và buộc người sử dụng phải tuân thủ ít nhất 7 nguyên tắc sau:
Thứ nhất: các mô hình buộc bạn phải dứt khoát rõ ràng về mục tiêu của mình.

Thứ hai: Các mô hình buộc bạn phải nhận dạng và lưu lại các quyết định mà những
quyết định này sẽ ảnh hưởng và tác động đến các mục tiêu của bạn
Thứ ba: các mô hình buộc bạn phải nhận dạng và lưu lại những tương tác và những
đánh đổi bù trừ giữa các quyết định.
Thứ tư: các mô hình sẽ buộc bạn suy nghĩ cẩn trọng về các biến số và lượng hóa rõ
ràng những biến số này trong điều kiện chúng có thể định lượng.
Thứ năm: Các mô hình buộc bạn phải cân nhắc dữ liệu nào là thích hợp để định
lượng những biến số đã nêu trên và xác định những tương tác giữa chúng.

Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


4
Thứ sáu: Mô hình buộc bạn phải ghi nhận những ràng buộc (các giới hạn) đối với
các giá trị biến số của mô hình.
Thứ bảy: các mô hình cho phép các bạn đẽ dàng thông đạt ý tưởng và sự hiểu biết
của mình về vấn đề cần giải quyết đến các thành viên khác trong nhóm làm việc.
1.4. Các loại mô hình và mô hình lượng hóa
1.4.1. Các loại mô hình
Loại mô hình
Mô hình thực thể

Đặc điểm
Ví dụ
Hữu hình
Mô hình máy bay
Đễ dàng lĩnh hội
Mô hình nhà

Khó khăn trong nhân bản và chia sẻ
Mô hình thành phố
Khó khăn trong sữa đổi và thao tác
Phạm vi sử dụng thấp
Mô hình mô phỏng Vô hình
Bản đồ đường phố
Khó khăn lĩnh hội
Đồng hồ đo tốc độ
Dễ dàng trong nhân bản và chia sẻ
Biểu đồ, đồ thị
Dễ dàng trong sữa đổi và thao tác
Phạm vi sủ dụng rộng rãi hơn
Mô hình lượng hóa Vô hình
Mô hình đại số
Khó lĩnh hội nhất
Mô hình bảng tính
Dễ dàng nhất trong nhân bản và chia sẻ
Dễ dàng nhất trong sửa đổi và thao tác
Phạm vi sử dụng rộng rãi nhất
1.4.2. Mô hình lượng hóa
Mô hình lượng hóa rất dễ dàng trong việc xác định đặc điểm, tính chất của quyết
định quản trị.
Mô hình lượng hóa đòi hỏi những dữ liệu đầu vào phải được định lượng hay phải
được diễn đạt dưới dạng những con số. Ví dụ như xem xét một mô hình đánh giá khả
năng lựa chọn là mua hay đi thuê một căn hộ xét theo chi phí phải trả, tỷ lệ thế chấp,
dòng tiền, sự nhận thức giá trị căn nhà, khấu hao….
Hay cụ thể hơn, nếu bạn hiện đang ở tại 209 Phan Thanh và có kế hoạch đến một địa
điểm nào khác ở thành phố Đà Nẵng ăn tối. Mô hình của bạn sẽ là:
T=

D
với T là thời gian, D là khoảng cách và S là vận tốc
S

Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


5
Mô hình này sẽ là hữu ích khi bạn muốn đến điểm cần đến đúng giờ. (lưu ý rằng đây
là một ví dụ đơn giản vì bạn đã bỏ qua nhiều yếu tố có thể ảnh hưởng đến thời gian đi lại
của bạn như kẹt xe, thời tiết, phương tiện…
Tuy nhiên nếu bạn thấy mô hình này quá đơn giản, bạn có thể bổ sung kết hợp một
vài các chi tiết khác để mô hình sát với thực tế hơn như bạn có thể bổ sung mô hình bằng
số lần dừng xe. Khi đó mô hình của bạn sẽ là:
T=

D
+ (R x N) với R là khoảng thời gian tiêu tốn bình quân vào mỗi lần dừng xe và
S

N là số lần bạn dự đoán là sẽ phải dừng xe.
Bạn có thể cải thiện mô hình của mình bằng cách kết hợp nhiều yếu tố khác hơn
nữa. Một vài yếu tố có thể dự đoán hoặc ước lượng gần đúng. Có hai điểm chính mà bạn
cần lưu ý là:
- Thứ nhất: Một mô hình thì luôn luôn đơn giản hóa hơn so với thực tế.
- Thứ hai: Bạn cần kết hợp đủ các yếu tố vào trong mô hình để:
+ Kết quả sẽ phù hợp với yêu cầu của bạn hơn
+ Yếu tố phù hợp với dữ liệu bạn sẵn có

+ Yếu tố có thể được phân tích trong khoảng thời gian bạn đang trong tiến
trình sử dụng mô hình.
1.4.3. Biến số ra quyết định của mô hình
Biến số ra quyết định của mô hình lượng hóa là những biến số được thiết lập và
chính là mục tiêu của bài toán mà mô hình cần giải. Kết quả đạt được của biến số này sẽ
giúp đưa ra quyết định.
Nhưng rõ ràng có nhiều dư liệu, biến số bạn không thể điều chỉnh (ví dụ như khoảng
cách từ 209PT đến địa điểm mà bạn cần ăn tối), tuy nhiên có rất nhiều biến số mà bạn có
thể điều chỉnh trong mô hình (ví dụ như tốc độ di chuyển, số lần ngừng…) và những biến
số này được gọi là biến số ra quyết định. (có một vài giới hạn của biến số này như bạn
không thể chạy xe với vận tốc 120Km/h, hay thay đổi các cột đèn giao thông để không bật
sáng…)
1.4.4. Mục tiêu của mô hình:
Các quyết định thường được thiết lập để đạt được một mục tiêu cụ thể nào đó. Do
vậy, ngoài những biến số ra quyết định, các mô hình chủ yếu phải bao hàm trong nó kết
quả thực hiện mà kết quả này đo lường mức độ đạt được mục tiêu đã đề ra. Vai trò chủ
yếu trong xây dựng mô hình là cần định rõ các biến số ra quyết định sẽ tác động như thế
nào đến kết quả thực hiện.
Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


6

Các biến số quyết định
(có khả năng kiểm soát)

Kết quả
thực hiện

Các biến số ngoại sinh

Các biến số ngoại sinh

Tóm lại:
Thứ nhất: các mô hình ra quyết định mô tả lượng hóa các tình huống quản lý cần
giải quyết.
Thứ hai: các mô hình ra quyết định chỉ rõ các biến số quyết định
Thứ ba: Các mô hình ra quyết định sẽ chỉ rõ một hay một số kết quả thực hiện phản
ánh một hay một số mục tiêu đề ra.
1.5. Xây dựng mô hình ra quyết định
Dù là mô hình đơn giản hay phức tạp đều do con người xây dựng nên và không có
một hệ thống chuyên môn nào giúp bạn xây dựng mô hình ngoại trừ trong một phạm vi
hẹp nào đó…
Việc xây dựng mô hình là khoa học và nghệ thuật nó phụ thuộc vào khả năng và
kinh nghiệm của mỗi người đồng thời với những yêu cầu tối thiểu của nó vẫn mang tính
khoa học và là những kiến thức cần thiết mà bạn phải nghiên cứu.
Qua kinh nghiệm thực tiễn, có thể chia tiến trình xây dựng mô hình thành ba bước
như sau:
Bước 1: Nghiên cứu môi trường để cấu trúc lại tình huống phát sinh

Trong bước một, chúng ta sẽ tạm thời chưa thiết
Môlập các chi tiết của mô hình mà
thay vào đó chúng ta sẽ tập trung vào các nhận dạnghình
sau:
Các yếu tố nhập lượng của mô hình: là tất cả những dữ liệu đầu vào sẽ được
Các biến
thông số
sử dụng tính toán bởi môCác

hình.
số hệ quả
(không có khả năng kiểm
Các kết quả xuất
lượng của mô hình: là tất cả những kết quả đầu ra đã được
soát)
xử lý bởi mô hình.
Ở bước này, mô hình còn được gọi là “hộp đen” bởi vì chúng ta chỉ biết đầu vào và
đầu ra của chiếc hộp, ngoài ra chúng ta vẫn không biết hoặc chưa biết cấu trúc bên trong
hay những logic nào đã được tạo nên bên trong hộp đen này.

Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


7
Một khi chúng ta đã nhận dạng các nhập lượng và xuất lượng của mô hình thì chúng
ta phải làm rõ các khái niệm này.
Các yếu tố nhập lượng còn được gọi là biến số ngoại sinh, được chia thành:
Các biến số ra quyết định: là những biến số mà nhà quản lý hay người lập mô
hình có thể kiểm soát được và kết quả đạt được của nó sẽ giúp đưa ra quyết định.
Các thông số: là các yếu tố ngoại sinh mà nhà quản lý hay người lập mô hình
không kiểm soát được.
Các kết quả xuất lượng được gọi là các biến số nội sinh được chia thành:
Kết quả thực hiện: là biến số đo lường kết quả đạt được của mục tiêu đề ra.
Đo lường kết quả thực hiện là thông tin đặc biệt quan trọng bởi vì chúng được sử dụng
như là chuẩn mực để đo lường xem mục tiêu của mô hình đã được đáp ứng thành công
đến mức độ nào. Vì lý do này mà kết quả thực hiện còn được gọi là hàm mục tiêu.
Các biến số hệ quả: là những biến số thể hiện các hệ quả khác nhau mà

những hệ quả này sẽ trợ giúp chúng ta trong việc hiểu và thông đạt các kết quả của mô
hình tốt hơn.
Bước 2: Thiết lập công thức trình bày quan hệ giữa các biến số và các thông số
chọn lọc.
Để tạo nên cấu trúc hay bộ máy của mô hình thì nhà quản lý hay người lập mô hình
phải cân nhắc những thông số và biến số nào sẽ được sử dụng, không được sử dụng trong
tiến trình xử lý của mô hình và sau đó phải xác định công thức mối liên hệ giữa các yếu tố
có liên quan.
Một kỹ thuật sẽ được sử dụng để thực hiện những công việc này đó là bạn sẽ tự đặt
ra các câu hỏi phù hợp:
Ví dụ như:
Đối với công ty của chúng ta thì lợi nhuận sẽ là biến số ra quyết định hay là
kết quả thực hiện
Nếu bạn là nhà quản lý và thực sự có thể kiểm soát được giá bán sản phẩm
của mình thì trong trường hợp này giá bán có phải là biến số ra quyết định hay không?
Sản lượng là biến số quyết định và do đó có phải yếu tố nhập lượng có thể
kiểm soát của mô hình hay không?.....
Một cách khác cho bước xác lập công thức là trước hết định rõ hàm mục tiêu và kết
quả thực hiện hay các xuất lượng quan trọng của mô hình. Sau đó xem xét những yếu tố
nhập lượng nào có liên quan đến việc đạt được mục tiêu (các biến số quyết định và các
thông số ảnh hưởng đến kết quả thực hiện). Từ nền tảng định rõ hàm mục tiêu và cách
Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


8
thức đo lường kết quả thực hiện, ta dễ dàng suy ra bước xác định các biến số quyết định
và các thông số đầu ra.
Bước 3: Xây dựng mô hình lượng hóa.

Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


9

Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


10

Chương 2: Giới thiệu về Lập trình Tối ưu và Lập trình Tuyến tính
Thời gian: 9 giờ (giờ 4 đến giờ 12)
Mục tiêu chương:
-

Hiểu yêu cầu xây dựng mô hình bài toán
Xây dựng được các mô hình bài toán giản đơn
Xác định phương án tối ưu bằng phương pháp đồ thị

Tất cả các nguồn lực trong thế giới của chúng ta điều có giới hạn. Trữ lượng dầu có thể
hút từ lòng đất là có hạn. Diện tích đất có thể sử dụng làm các bãi rác chứa các chất thải độc
hại cũng có giới hạn và ở nhiều nơi, diện tích này đang ngày càng bị thu hẹp một cách
nhanh chóng. Xét ở góc độ cá nhân hơn, mỗi chúng ta đều sở hữu một lượng thời gian nhất
định để hoàn tất các công việc hoặc tận hưởng các hoạt động nào đó mà ta đã lên kế hoạch.
Hầu hết trong số chúng ta đều có một lượng tiền nhất định để sử dụng khi tham gia vào các

hoạt động này. Công việc kinh doanh cũng vậy, các nguồn lực luôn nằm trong một giới hạn.
Một công ty luôn tuyển một lượng lao động nhất định. Một nhà hàng luôn bị hạn chế bởi một
lượng chỗ ngồi nhất định.
Đưa ra quyết định làm thế nào để sử dụng một cách tốt nhất các nguồn lực có hạn và
khả dụng đối với một cá nhân hoặc một doanh nghiệp là một vấn đề vô cùng quan trọng.
Trong môi trường kinh doanh đầy cạnh tranh ngày nay, đảm bảo các nguồn lực có hạn của
doanh nghiệp được sử dụng một cách tối ưu đến mức có thể đang trở nên ngày một càng
quan trọng. Cụ thể là hoạch định sao cho việc phân bổ các nguồn lực nhằm tối đa hóa lợi
nhuận hoặc tối thiểu hóa chi phí. Lập trình Toán học (Mathematical Programming - MP) là
một lĩnh vực của khoa học quản trị nhằm tìm ra phương pháp tối ưu hoặc hiệu quả nhất của
việc sử dụng các nguồn lực có hạn để có thể đạt được các mục tiêu của một cá nhân hoặc
một doanh nghiệp đưa ra. Vì lí do này, Lập trình Toán học thường được hiểu với một nghĩa
khác là Tối ưu hóa.

Giờ 4,5,6:
2.1. Ứng dụng của Tối ưu hóa Toán học
Để giúp bạn có thể hiểu được mục đích của Tối ưu hóa và các loại vấn đề mà nó có
thể áp dụng, chúng ta hãy cùng nhau xem xét một vài ví dụ về việc giải quyết tình huống
trong đó kỹ thuật Lập trình Toán học được sử dụng.
Hoạch định Hỗn hợp sản phẩm (Product Mix): Hầu hết các nhà sản xuất có thể
tạo ra nhiều sản phẩm khác nhau. Tuy nhiên, mỗi sản phẩm thường yêu cầu những lượng
khác nhau về nguyên liệu cũng như lao động. Tương tự, lượng lợi nhuận tạo ra từ các sản
phẩm cũng sẽ khác nhau. Do đó, nhà quản lý của công ty đó phải đưa ra quyết định bao

Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


11

nhiêu sản phẩm của mỗi loại sản phẩm cần sản xuất nhằm tối đa hóa lợi nhuận hoặc thỏa
mãn nhu cầu với chi phí thấp nhất.
Sản xuất: Các bảng vi mạch điện tử, tựa như những loại được sử dụng trong hầu hết
các máy tính, thường có hàng trăm hoặc hàng ngàn lỗ được khoan trên bề mặt để khớp
với những chi tiết điện tử được liên kết vào đó. Để chế tạo ra những bản mạch này, một
máy khoan điều khiển bằng máy tính phải được lập trình để khoan một vị trí xác định, sau
đó di chuyển mỗi khoan đến vị trí tiếp theo và khoan. Quá trình này được lặp đi lặp lại
hàng trăm hoặc hàng ngàn lần cho đến khi hoàn thành tất cả các lỗ trên một bản mạch.
Các nhà chế tạo bản mạch này sẽ tiết kiệm được rất nhiều chi phí khi quyết định được thứ
tự các lỗ khoan mà khoảng cách mũi khoan phải di chuyển là tối thiểu.
Định hướng và Kho vận: Nhiều công ty bán sỉ có mạng lưới nhà kho phân phối ở
khắp đất nước đóng nhiệm vụ dự trữ các nguồn hàng để bán. Số lượng hàng hóa có thể
lưu trữ tối đa tại mỗi kho hàng và số hàng hóa cần thiết ở mỗi cửa hàng có xu hướng thay
đổi bất thường, cũng như chi phí tàu biển hoặc vận chuyển hàng hóa từ nhà kho đến các
địa điểm bán sỉ. Bằng cách lựa chọn giải pháp ít tốn kém nhất trong quá trình vận chuyển
hàng hóa từ nhà kho đến các cửa hàng, doanh nghiệp sẽ tiết kiệm được một khoảng tiền
rất lớn.
Hoạch định tài chính: Chính phủ liên bang yêu cầu các cá nhân bắt đầu rút tiền ra
khỏi Tài khoản Tiền hưu Cá nhân (Individual Retirement Accounts – IRAs) và từ các
chương trình thuế hỗ trợ khi về hưu không được trễ hơn 70.5 tuổi. Có nhiều các quy định
khác cần phải tuân theo nhằm tránh việc phải trả các khoản tiền thuế áp dụng khi rút các
khoản tiền trên. Hầu hết các cá nhân đều muốn rút tiền của họ bằng cách sao cho tối thiểu
hóa các khoảng tiền thuế mà họ phải trả mà vẫn tuân theo các quy định của luật pháp.
2.2 Đặc điểm của các Bài toán Tối Ưu
Các ví dụ trình bày trên đây chỉ là số ít những lĩnh vực mà Lập trình Toán học được
áp dụng thành công. Chúng ta sẽ cùng nhau xem xét những ví dụ khác xuyên suốt cuốn
sách này. Tuy nhiên, những ví dụ sẽ cung cấp cho bạn một số ý tưởng về các vấn đề liên
quan đến tối ưu hóa. Ví dụ, mỗi ví dụ sẽ bao gồm việc đưa ra một hay nhiều quyết định.
Mỗi loại sản phẩm cần sản xuất là bao nhiêu? Lỗ tiếp theo cần khoan là lỗ nào? Bao nhiêu
sản phẩm của mỗi loại sản phẩm cần vận chuyển từ nhà kho đến các địa điểm bán sỉ? Mỗi

cá nhân cần rút bao nhiêu tiền mỗi năm từ các tài khoản tiền hưu khác nhau?
Thêm vào đó, trong mỗi ví dụ, các hạn chế hay các giới hạn thường được đặt vào
những khả năng thay thế có thể sử dụng bởi người đưa ra quyết định. Trong ví dụ đầu
tiên, khi quyết định số sản phẩm cần sản xuất, nhà quản lý sản xuất có thể đối mặt với
Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


12
giới hạn của lượng nguyên vật liệu đầu vào và giới hạn về số lượng lao động. Trong ví dụ
thứ hai, mũi khoan không nên trở về vị trí mà nó đã khoan. Trong ví dụ thứ ba, có một
giới hạn mang tính vật chất về số lượng hàng hóa mà một chiếc xe có thể vận chuyển từ
một nhà kho đến các cửa hàng trên lộ trình của mình. Trong ví dụ thứ tư, các luật quyết
định lượng tiền tối thiểu và tối đa có thể rút từ các tài khoản tiền hưu mà không bị các
khoản tiền phạt. Nhiều loại giới hạn khác có thể nhận ra trong những ví dụ này. Trên thực
tế, việc các bài toán tối ưu hóa có đến hàng trăm hoặc hàng ngàn các giới hạn là chuyện
bình thường.
Một yếu tố cơ bản khác trong mỗi ví dụ là sự tồn tại của các mục tiêu mà các nhà
đưa ra quyết định cần phải xem xét khi quyết định chọn lựa nào là tốt nhất. Trong ví dụ
thứ nhất, nhà quản lý sản xuất có thể quyết định sản xuất một số hổn hợp sản phẩm khác
nhau dựa trên các nguồn lực khả dụng, tuy nhiên nhà quản lý có thể sẽ chỉ lựa chọn
phương án có lợi nhuận cao nhất. Trong ví dụ thứ hai, sẽ có rất nhiều các sơ đồ mũi
khoan có thể được sử dụng, nhưng sơ đồ lý tưởng nhất là chính là sơ đồ có khoảng đường
đi tổng cộng của mũi khoan là ngắn nhất. Trong ví dụ thứ ba, có rất nhiều con đường để
hàng hóa có thể được vận chuyển từ nhà kho đến các cửa hàng, tuy nhiên, công ty sẽ có
thể lựa chọn phương án mà chi phí vận chuyển là thấp nhất. Cuối cùng, trong ví dụ thứ tư,
các cá nhân có thể rút tiền từ các tài khoản tiền hưu bằng nhiều cách mà không vi phạm
pháp luật, nhưng họ có thể sẽ chỉ muốn tìm ra phương pháp giúp họ tối thiểu hóa nghĩa vụ
nộp thuế của mình

2.3 Mô tả các Bài toán Tối ưu bằng phương pháp Toán học
Trong phần thảo luận trên đây, chúng ta biết rằng các bài toán tối ưu hóa bao gồm 3
yếu tố: các quyết định, các giới hạn và mục tiêu. Nếu chúng ta có ý định xây dựng một
mô hình toán học cho một vấn đề tối ưu hóa, chúng ta sẽ cần phải dùng các thuật ngữ
hoặc ký hiệu để diễn đạt mỗi yếu tố trên.
2.3.1 Các quyết định
Các quyết định trong một bài toán tối ưu hóa thường trong một mô hình toán học
được diễn tả bằng các ký hiệu X 1, X2,..., Xn . Chúng ta sẽ xem các X1, X2,..., Xn như là các
biến quyết định (hay đơn giản là các biến) trong mô hình. Các biến này có thể được biểu
diễn số lượng các loại sản phẩm khác nhau mà nhà quản lý sản xuất có thể lựa chọn để
sản xuất. Chúng cũng có thể biểu diễn số lượng các mẫu hàng hóa được vận chuyển từ
nhà kho đến một cửa hàng xác định. Chúng cũng có thể biểu diễn số lượng tiền cần rút từ
các tài khoản tiền hưu khác nhau.

Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


13
Các ký hiệu dùng để biểu diễn các biến quyết định không mang tính quan trọng lắm.
Bạn có thể dùng Z1, Z2, ..., Zn hoặc các ký hiệu như Chó, Mèo và Khỉ để biểu diễn các
biến quyết định trong mô hình. Lựa chọn ký hiệu nào để dùng hoàn toàn phụ thuộc vào
cách nhìn nhận của mỗi cá nhân và có thể khác nhau phụ thuộc vào từng loại vấn đề cần
xem xét.
2.3.2 Các Giới hạn
Các giới hạn trong một vấn đề tối ưu hóa có thể được biểu diễn bởi một mô hình
toán học bằng nhiều cách thức. Ba cách thực thường được sử dụng trong việc biểu diễn
các mối quan hệ có thể của các giới hạn trong một vấn đề tối ưu là:
Quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng đối với giới hạn

: f(X1, X2, ..., Xn) ≤ b
Quan hệ lớn hơn hoặc bằng đối với giới hạn
: f(X1, X2, ..., Xn) ≥ b
Quan hệ bằng đối với giới hạn
: f(X1, X2, ..., Xn) = b
Trong mỗi trường hợp, giới hạn là các hàm của các biến quyết định mà phải nhỏ
hơn hoặc bằng, lớn hơn hoặc bằng, hoặc bằng với một giá trị xác định nào đó (được biểu
diễn trên đây bằng ký tự b). Chúng ta sẽ gọi f(X1, X2, ..., Xn) là vế bên trái của giới hạn và
b là giá trị vế bên phải của giới hạn.
Ví dụ, chúng ta có thể sử dụng quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng với giới hạn để đảm bảo
tổng số lao động sử dụng trong sản xuất một lượng sản phẩm không vượt quá số lượng
lao động khả dụng. Chúng ta có thể dùng quan hệ lớn hơn hoặc bằng với giới hạn để đảm
bảo rằng tổng số tiền rút từ các tài khoản tiền hưu của một cá nhân ít nhất bằng số tiền tối
thiểu quy định bởi Cơ quan Thuế vụ (IRS – Internal Revenue Service). Bạn có thể sử
dụng tùy biến số lượng các giới hạn để biểu diễn một vấn đề tối ưu hóa tùy vào yêu cầu
của mỗi trường hợp cụ thể.
2.3.3 Mục tiêu
Mục tiêu trong một vấn đề tối ưu hóa được biểu diễn bằng toán học bởi một hàm
mục tiêu có dạng như sau:
MAX (hoặc MIN)
:
f(X1, X2, ..., Xn)
Hàm mục tiêu biểu diễn một số hàm của các biến quyết định mà người đưa ra quyết
định muốn tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa. Trong các ví dụ trước đây, hàm này có thể được
sử dụng để mô tả tổng lợi nhuận tương ứng với một hổn hợp sản phẩm, tổng khoảng cách
mà mũi khoan phải di chuyển, tổng chi phí của vận chuyển hàng hóa, hoặc tổng số tiền
thuế mà người về hưu phải nộp.
Công thức của một vấn đề tối ưu hóa có thế được biểu diễn dưới các dạng tổng quát
sau:
Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


14
MAX (or MIN):
Tùy thuộc vào:

f0(X1, X2, ..., Xn)
2.1
f1(X1, X2, ..., Xn) ≤ b1
2.2
fk(X1, X2, ..., Xn) ≥ bk
2.3
fm(X1, X2, ..., Xn) = bm
2.4
Các công thức trên chỉ ra hàm mục tiêu (công thức 2.1) sẽ được tối đa (hoặc tối
thiểu) trong khi các giới hạn phải được thỏa mãn (các công thức 2.2 đến 2.4). Các ký hiệu
thêm vào dưới f và b của mỗi công thức nhấn mạnh rằng các hàm mô tả mục tiêu và giới
hạn có thể đồng thời không giống nhau. Mục tiêu trong tối đa hóa là tìm ra các giá trị của
các biến quyết định nhằm tối đa hóa (hoặc tối hiểu hóa) hàm mục tiêu mà không vi phạm
bất kì một giới hạn nào.
Bài tập tình huống 1:
Giám đốc Marketing cho sản phẩm soda Mountain Mist cần quyết định phải có
nhiều chương trình quảng cáo truyền hình và quảng cáo trên tạp chí để hoạt động trong
quí tới. Mỗi chương trình quảng cáo truyền hình tốn 5000USD và dự kiến sẽ tăng lượng
bán lên 300.000 chai soda. Mỗi quảng cáo trên tạp chí tốn 2.000USD,dự kiến tăng lượng
bán lên 500.000 chai. Tổng cộng tốn 100.000USD để chi phí cho quảng cáo trên truyền
hình và tạp chí. Tuy nhiên, Mountain Mist muốn rằng tổng chi phí sẽ không nhiều hơn
70.000USD cho quảng cáo truyền hình và không nhiều hơn 50.000 USD cho quảng cáo

trên tạp chí. Mountain Mist kiếm được lợi nhuận là 0,05 USD một chai soda mà nó bán
ra.
a. Hãy lập công thức dạng LP cho bài toán này.
b. Vẽ khoảng có thể tính được cho bài toán này.
c. Hãy tìm đáp án tối ưu cho bài toán bằng cách sử dụng đường mức.
Giờ 7,8,9:
2.4 Các kỹ thuật Lập trình Toán học
Những trình bày tổng quát về một mô hình lập trình toán học chỉ mang tính tổng
quát. Có nhiều loại hàm mà bạn có thể sử dụng để biểu diễn hàm mục tiêu và các giới hạn
trong mô hình Lập trình Toán học. Dĩ nhiên, bạn nên luôn sử dụng các hàm diễn đạt một
cách chính xác mục tiêu và giới hạn của vấn đề bạn muốn giải quyết. Đôi khi các hàm
trong một mô hình có dạng đường thẳng trong tự nhiên (nghĩa là có dạng đường thẳng
hoặc mặt phẳng); trong các trường hợp khác, nó có dạng không thẳng (nghĩa là dạng
đường cong hoặc mặt cong). Đôi khi giá trị tối ưu của các biến quyết định trong một mô
hình phải là một giá trị nguyên; trong các trường hợp khác biến quyết định có thể là một
số thập phân.
Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


15
Do các vấn đề tối ưu hóa rất là đa dạng, nhiều kỹ thuật đã được phát triển để giải
quyết các loại khác nhau của bài toán lập trình toán học. Trong các chương tiếp theo,
chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về các kỹ thuật lập trình toán học và hiểu hơn về sự khác
nhau của các kỹ thuật và cách ứng dụng vào các trường hợp cụ thể nào. Chúng ta sẽ bắt
đầu bằng việc tìm hiểu về một kỹ thuật gọi là Lập trình Tuyến tính (Linear Programming
– LP), đây là kỹ thuật nào gồm việc tạo ra và giải quyết các vấn đề tối ưu hóa với các hàm
mục tiêu dạng đường thẳng và giới hạn dạng đường thằng. LP là một công cụ rất hữu hiệu
có thể áp dụng trong nhiều tình huống kinh doanh. Nó cũng là cơ sở cho nhiều kỹ thuật

khác sẽ được tìm hiểu sau này, do đó, đây cũng sẽ là một điểm khởi đầu cho việc nghiên
cứu của chúng ta trong lĩnh vực tối ưu hóa.
2.5 Một ví dụ về Lập trình Tuyến tính (LP)
Chúng ta sẽ bắt đầu việc nghiên cứu về LP bằng việc xem xét một ví dụ. Bạn không
nên diễn giải ví dụ này ra rằng LP không có khả năng giải quyết các vấn đề phức tạp và
thực tế hơn. LP đã và đang được sử dụng để giải quyết những vấn đề vô cùng phức tạp,
tiết kiệm cho các công ty hàng triệu đô la. Tuy nhiên, nhảy ngay vào một vấn đề phức tạp
sẽ như việc “chưa học bò đã lo học chạy”, do đó chúng ta hãy cùng nhau bắt đầu bằng
một vấn đề đơn giản.
Blue Ridge Hot Tubs là công ty sản xuất và bán 2 loại bồn tắm nước nóng: AquaSpa và Hydro-Lux. Howie Jones, ông chủ và là giám đốc của công ty cần phải đưa ra
quyết định đối với mỗi loại bồn tắm, cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm trong chu kỳ sản
xuất tiếp theo. Howie mua phần khung của bồn tắm nước nóng chế tạo sẵn bằng sợi thủy
tinh từ các nhà cung cấp nội địa và gắn thêm vào bộ phận bơm và ống vào tạo thành bồn
tắm nước nóng của mình. (Nhà cung cấp này có khả năng cung cấp đủ lượng hàng cần
thiết mà Howie cần), Howie lắp đặt cùng một loại máy bơm cho 2 loại bồn tắm. Ông ta sẽ
chỉ có 200 máy bơm khả dụng trong chu kỳ sản xuất tiếp theo.Từ góc nhìn của nhà sản
xuất, sự khác biệt chính của 2 loại bồn tắm nước nóng là số lượng ống và lượng nhân
công cần thiết. Mỗi sản phẩm Aqua-Spa cần 9 giờ công lao động và 12 feet ống nước.
Mỗi sản phẩm Hydro-Lux cần 6 giờ công lao động và 16 feet ống nước. Howie dự kiến sẽ
có 1,566 giờ lao động sản xuất và 2,880 feet ống nước khả dụng trong chu kỳ sản xuất kế
tiếp. Lợi nhuận thu được từ mỗi sản phẩm Aqua-Tub là $350 trong khi đó mỗi sản phẩm
Hydro-Lux là $300. Ông ta tin rằng tất cả các sản phẩm bồn tắm sản xuất ra sẽ được bán
hết. Câu hỏi đặt ra là, phải sản xuất bao nhiêu sản phảm Aqua-Spa và bao nhiêu sản phẩm
Hydro-Lux để Howie có thể thu được lợi nhuận tối đa trong chu kỳ sản xuất tiếp theo?

Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa

16
2.6 Xây dựng mô hình Lập trình tuyến tính LP
Quá trình lấy một vấn đề thực tiễn - như là quyết định sản xuất bao nhiêu sản phẩm
Aqua-Spa và Hydro-Lux – và biểu diễn nó theo phương pháp đại số với dạng một mô
hình LP được gọi là xây dựng mô hình. Trong suốt những chương tiếp theo, bạn sẽ thấy
rằng xây dựng một mô hình LP tựa như một nghệ thuật của khoa học.
2.6.1 Các bước xây dựng một mô hình LP
Sau đây là một số bước cơ bản để xây dựng mô hình một vấn cụ thể được chính xác.
Chúng ta sẽ áp dụng ví dụ về bồn tắm nước nóng để mô tả các bước này:
1.
Hiểu vấn đề: Đây là bước mà ai cũng cho là rõ ràng và hiển nhiên nên một
số bạn cho rằng không cần thiết phải nhắc đến. Tuy nhiên, nhiều người có xu hướng nhảy
ngay vào một vấn đề và bắt tay vào viết ra hàm mục tiêu và các giới hạn trước khi họ thật
sự hiểu rõ vấn đề. Nếu bạn không hiểu một cách thấu đáo vấn đề đang phải đối mặt, thì
việc xây dựng nên mô hình giải quyết vấn đề sẽ không chính xác.
Vấn đề trong ví dụ của chúng ta khá đơn giản: Cần phải sản xuất bao nhiêu sản
phẩm Aqua-Spa và Hydro-Lux để thu được lợi nhuận tối đa trong không sử dụng quá 200
máy bơm, 1.566 giờ lao động và 2.880 feet ống nước.
2.
Xác định các biến quyết định: Sau khi đã hiểu được chắc chắn vấn đề, bạn
cần phải xác định các biến quyết định. Đó là, các quyết định nền tản nào cần được đưa ra
để giải quyết vấn đề? Câu trả lời cho câu hỏi này thường giúp bạn chỉ ra các biến quyết
định phù hợp cho mô hình. Xác định các biến quyết định có nghĩa là quyết định các ký
hiệu X1, X2, ...m Xn sử dụng trong mô hình.
Trong ví dụ, quyết định nền tản mà Howie phải xem xét là: Bao nhiêu sản phẩm
Aqua-Spa và Hydro-Lux cần phải sản xuất. Trong vấn đề này, chúng ta sẽ đặt X 1 để biểu
diễn số sản phẩm Aqua-Spa và X2 để biểu diễn số sản phẩm Hydro-Lux cần sản xuất.
3.
Biểu diễn hàm mục tiêu dưới dạng tổ hợp tuyến tính giữa các biến quyết
định: Sau khi quyết định các hàm sẽ sử dụng, bước tiếp theo là xây dựng hàm mục tiêu

cho mô hình. Hàm này biễu diễn mối quan hệ toán học giữa các biến quyết định trong mô
hình để được tối đa hoặc tối thiểu.
Trong ví dụ, Howie thu được $350 lợi nhuận cho mỗi sản phẩm Aqua-Spa (X 1) bán
được và $300 cho mỗi sản phẩm Hydro-Lux (X 2) bán được. Do đó, mục tiêu tối đa hóa lợi
nhuận của Howie được biễu diễn như sau:
MAX: 350X1 + 300X2
Cho mỗi giá trị bất kì nào có thể gán cho X1 và X2, hàm trên đây tính toán tổng lợi
nhuận tương ứng mà Howie thu được. Hiển nhiê, Howie muốn tối đa hóa giá trị này.
Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


17
4.
Mô tả các giới hạn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các biến quyết định:
Như đã nêu trên đây, thường có một số giới hạn về mặt giá trị mang bởi các biến quyết
định trong một mô hình LP. Các hạn chế này cần phải được xác định và biễu diễn dưới
dạng các giới hạn.
Trong ví dụ, Howie đối diện với 3 giới hạn. Bởi vì chỉ sử dụng được 200 máy bơm
và mỗi bồn tắm nước nóng dùng 1 máy bơm, Howie không thể sản xuất nhiều hơn 200
bồn tắm nước nóng. Giới hạn này được biểu diễn như sau:
1X1 + 1X2 ≤ 200
Giới hạn này chỉ ra rằng mỗi đơn vị X 1 được sản xuất (đó là mỗi sản phẩm AquaSpa) sẽ sử dụng 1 trong số 200 máy bơm khả dụng – và tương tự đối với mỗi đơn vị X 2
được sản xuất (nghĩa là mỗi sản phẩm Hydro-Lux). Tổng số máy bơm được sử dụng (biểu
diễn bởi 1X1 + 1X2 ≤ 200) phải nhỏ hơn hoặc bằng 200.
Một giới hạn khác mà Howie cũng phải đối mặt là ông ta chỉ có 1.566 giớ lao động
khả dụng trong chu kỳ sản xuất tiếp theo. Bởi vì mỗi sản phẩm Aqua-Spa được sản xuất
(mỗi đơn vị X1) yêu cầu 9 giờ lao động và mỗi sản phẩm Hydro-Lux (mỗi đơn vị X2) yêu
cầu 6 giờ lao động, giới hạn về mặt thời gian lao động được biễu diễn như sau:

9X1 + 6X2 ≤ 1.566
Tổng thời gian lao động sử dụng (biểu diễn bởi 9X 1 + 6X2) phải nhỏ hơn hoặc bằng
1.566.
Giới hạn cuối cùng là chỉ sử dụng được 2.880 feet ống nước trong chu kỳ sản xuất
tiếp theo. Để sản xuất mỗi sản phẩm Aqua-Spa (mỗi đơn vị X 1) cần 12 feet ống nước và
sản phẩm Hydro-Lux (mỗi đơn vị X2) cần 16 feet ống nước. Giới hạn này nhằm chắc chắn
rằng nhà máy của Howie sẽ không sử dụng quá số ống nước khả dụng.
12X1 + 16X2 ≤ 2.880
Tổng số chiều dài ống nước sử dụng (biểu diễn bằng 12X 1 + 16X2) phải nhỏ hơn
hoặc bằng số chiều dài ống nước có thể sử dụng được, tức là 2.880 feet.
5.
Xác định giới hạn trên hoặc dưới đối với biến quyết định: Các giới hạn
trên hoặc dưới được áp dụng đối với biến quyết định thường đơn giản. Bạn có thể xem
các giới hạn trên và dưới như là các giới hạn thêm vào trong bài toán.
Trong ví dụ, có các giới hạn dưới đơn giản áp dụng cho biến X 1 và X2 vì không thể
sản xuất ra các số lượng hàng âm. Do đó, 2 giới hạn sau cũng được thêm vào trong bài
toán.
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0

Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


18
Các giới hạn như trên thường được áp dụng cho các điều kiện không âm và khá
quen thuộc trong bài toán LP.
2.7 Tóm tắt về mô hình LP đối với bài toán ví dụ
Mô hình LP hoàn thiện cho vấn đề quyết định của Howie được biễu diễn như sau:

MAX:
350X1 + 300X2
2.5
Điều kiện
1X1 + 1X2 ≤ 200
2.6
9X1 + 6X2 ≤ 1.566
2.7
12X1 + 16X2 ≤ 2.880
2.8
X1 ≥ 0
2.9
X2 ≥ 0
2.10
Trong mô hình này, các biến quyết định X 1 và X2 biểu diễn số sản phẩm Aqua-Spa
và Hydro-Lux tương ứng. Mục đích là quyết định các giá trị của X1 và X2 để tối đa mục
tiêu trong công thức 2.5 đồng thời thõa mãn các giới hạn trong các công thức từ 2.6 đến
2.10
Bài tập tình huống 2:
Tập đoàn Electrotech sản xuất hai thiết bị điện kích thước công nghiệp đó là: máy
phát điện và máy dao điện. Cả hai sản phẩm này đều đòi hỏi phải bắt điện và chạy thử
trong suốt quá trình lắp ráp. Mỗi máy phát điện cần 2 giờ để bắt điện và 1 giờ chạy thử và
có thể được bán với lợi nhuận là 250$. Mỗi máy dao điện cần 3 giờ bắt điện và 2 giờ chạy
thử và có thể được bán với lợi nhuận là 150$. Có sẵn 260 giờ dùng cho việc bắt điện và
140 giờ cho việc chạy thử trong giai đoạn sản xuất tiếp theo và Electrotech muốn tối đa
hóa lợi nhuận.
a. Lập công thức dạng bài LP cho bài toán này.
b. Vẽ những khoảng có thể tính được cho bài toán.
c. Xác định đáp án tối ưu cho bài toán bằng cách sử dụng đường mức.
Giờ 10,11,12:

2.8 Dạng tổng quát của mô hình LP
Kỹ thuật lập trình tuyến tính được gọi như vậy bởi vì bài toán Lập trình Toán học
(MP) trong đó LP được ứng dụng là các đường thẳng tự nhiên. Nghĩa là, nó phải có thể
được biểu diễn tất cả các hàm trong một mô hình LP như dạng các tổng trọng số (weighed
sum) (hoặc tổ hợp tuyến tính) của các biến quyết định. Do đó, một mô hình LP có dạng
tổng quát như sau:
MAX (hoặc MIN):
c1X1 + c2X2 + ... + cnXn
2.11
Điều kiện:
al1X1 + al2X2 + ... + alnXn ≤ b1
2.12
Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


19
:
ak1X1 + ak2X2 + ... + aknXn ≥ bk
2.13
:
am1X1 + am2X2 + ... + amnXn ≥ bm
2.14
Đến đây, chúng tôi đã đưa ra rằng các giới hạn trong một mô hình LP biểu diễn một
số loại nguồn lực giới hạn. Mặc dù đây là trường hợp thường gặp, trong những chương
sau bạn sẽ gặp nhiều ví dụ về các mô hình LP trong đó các giới hạn biểu diễn những vấn
đề khác ngoài các nguồn lực giới hạn. Một điểm quan trọng là bất cứ vấn đề nào được
biểu diễn có dạng như trên được gọi là một vấn đề LP.
Ký hiệu c1, c2, ..., cn trong công thức 2.11 được gọi là hệ số hàm mục tiêu và có thể

biểu diễn lợi nhuận biên (hoặc chi phí biên) ứng với các biến quyết định X 1, X2, ..., Xn
tương ứng. Ký hiệu aij trong các công thức 2.12 đến 2.14 biểu diễn hệ số trong giới hạn
thứ i của biến Xj. Hàm mục tiêu và các giới hạn của mô hình LP mô tả các tổng trọng số
của các biến quyết định. Ký hiệu bi trong các giới hạn, một lần nữa, biểu diễn giá trị mà
các tổ hợp tuyến tính tương ứng của các biến quyết định phải nhỏ hơn hoặc bằng, lớn hơn
hoặc bằng hoặc bằng với.
Bây giờ bạn sẽ gặp sự kết hợp trực tiếp giữa mô hình LP vừa được xây dựng cho
công ty Blue Ridge Hot Tubs trong các công thức từ 2.5 đến 2.10 và trong định nghĩa
chung của mô hình LP trong công thức từ 2.11 đến 2.14. Chú ý rằng các ký hiệu khác
nhau sử dụng trong công thức từ 2.11 đến 2.14 biểu diễn các giới hạn số học (đó là, c j, aij
và bj) sẽ được thay thế bằng các giá trị số thực tế trong các công thức từ 2.5 đến 2.10.
Thêm vào đó, cũng chú ý rằng việc xây dựng mô hình LP cho công ty Blue Ridge Hot
Tubs không cần đến việc sử dụng toán tử = trong các giới hạn. Các vấn đề khác nhau sẽ
yêu cầu việc sử dụng các loại giới hạn khác nhau, và bạn có thể sử dụng bất cứ loại nào
cần thiết cho vấn đề cần giải quyết.
2.9 Giải bài toán LP: Cách tiếp cận trực quan
Sao khi mô hình LP được xây dựng, một cách tự nhiên, tìm lời giải cho nó trở thành
niềm đam mê của chúng ta. Tu nhiên, trước khi chúng ta đi tìm lời giải cho ví dụ trên,
theo bạn, đâu là phương án tối ưu cho vấn đề trên? Chỉ nhìn vào mô hình, giá trị nào của
X1 và X2 bạn nghĩ sẽ là tạo ra lợi nhuận lớn nhất?
Xét theo cách tiếp cận một chiều, dường như Howie nên sản xuất càng nhiều đơn vị
X1 (Aqua-Spa) càng tốt bởi vì mỗi sản phẩm sẽ mang về lợi nhuận là $350 trong khi đó
mỗi đơn vị X2 (Hydro-Lux) chỉ mang về $300. Tuy nhiên con số sản phẩm Aqua-Spa tối
đa mà Howie có thể sản xuất là bao nhiêu?
Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


20

Howie có thể sản xuất tối đa sản phẩm X 1 bằng cách không sản xuất sản phẩm X 2 và
sử dụng tất cả các nguồn lực vào việc sản xuất X 1. Giả sử chúng ta cho X2 = 0 trong công
thức 2.5 đến 2.10 để chỉ rằng không sản phẩm Hydro-Lux nào được sản xuất. Giá trị X 1
tối đa có thể đạt được là bao nhiêu? Nếu X2 = 0, bất đẳng thức 2.6 cho ta biết:
X1 ≤ 200
2.15
Do đó chúng ta sẽ biết được rằng X1 không thể lớn hơn 200 nếu X2 = 0. Tuy
nhiên, chúng ta cũng cần phải xem xét các giới hạn trong công thức 2.7 và 2.8. Nếu X2 =
0, bất đẳng thức 2.7 sẽ còn:
9X1 ≤ 1.566
2.16
Nếu chia 2 vế bất đẳng thức cho 9, giới hạn trên đây sẽ trở thành:
X1 ≤ 174
2.17
Tiếp theo, xem xét giới hạn trong công thức 2.8. Nếu X2 = 0, bất đẳng thức sẽ trở thành.
12X1 ≤ 2.880
2.18
Chia 2 vế cho 12, ta có:
X1 ≤ 240
2.19
Do đó, nếu X2 = 0, ba giới hạn trong mô hình biểu diễn giới hạn trên đối với
giá trị X1 sẽ trở thành các giá trị biểu thị trong các công thức 2.15, 2.17 và 2.19. Giới hạn
nhỏ nhất trong số các giới hạn này là trong công thức 2.17. Do đó, số lượng đơn vị X 1 tối
đa có thể sản xuất là 174. Nói cách khác, 174 là giá trị lớn nhất mà X 1 có thể nhận mà vẫn
thỏa mãn tất cả các giới hạn trong mô hình.
Nếu Howie sản xuất 174 đơn vị X 1 (Aqua-Spa) và 0 đơn vị X 2 (Hydro-Lux),
anh ta sẽ sử dụng tất cả các lao động khả dụng cho việc sản xuất (9X 1 = 1.566) nếu X1 =
174). Tuy nhiên, anh ta vẫn còn 26 máy bơm (200 – X1 = 26 nếu X1 = 174) và 792 feet
ống nước (2.880 – 12X1 = 792 nếu X1 = 174). Ngoài ra, chú ý rằng giá trị hàm mục tiêu
(hoặc tổng lợi nhuận tương ứng của phương án là:

$350X1 + $300X2 = $350 x 174 + $300 x 0 = $60.900
Từ phân tích này, chúng ta thấy rằng phương án X 1 = 174, X2 = 0 là một
phương án khả thi đối với vấn đề vì nó thõa mãn tất cả các giới hạn của mô hình. Tuy
nhiên đây đã là phương án tối ưu? Hay nói cách khác, có còn một khả năng nào về cặp
giá trị của X1 và X2 cũng thỏa mãn tất cả các giới hạn và cho ra kết quả một giá trị hàm
mục tiêu lớn hơn? Các bạn sẽ thấy rằng, phương pháp tiếp cận bằng trực quan nhằm giải
quyết một bài toán LP không có độ tin cậy cao bởi vì thực sự có một phương án tốt hơn
cho vấn đề của Howie.

Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


21
2.10 Giải bài toán LP: Cách tiếp cận bằng Đồ thị
Các giới hạn của một mô hình LP xác định một tập hợp các phương án khả thi –
hoặc vùng khả thi – cho vấn đề. Cái khó trong LP là quyết định điểm nào hoặc những
điểm nào trong vùng khả thi tương ứng với giá trị tốt nhất của hàm mục tiêu. Đối với các
bài toán đơn giản chỉ có 2 biến quyết định thì việc vẽ ra vùng khả thi cho mô hình LP và
định vị điểm khả thi tối ưu bằng đồ thị khá là đơn giản. Bởi vì phương pháp tiếp cận bằng
đồ thị có thể được sử dụng nếu chỉ có 2 biến quyết định nên phương pháp này có độ vận
dụng thực tế giới hạn. Tuy nhiên, đây là một phương pháp cực kì hiệu quả để phát triển
kiến thức nền tản của chiến lược liên quan đến việc giải các bài toán LP. Do đó, chúng ta
sẽ sử dụng phương pháp tiếp cận bằng đồ thị để giải quyết vấn đề đơn giản mà công ty
Blue Ridge Hot Tubs. Chương 3 sẽ hướng dẫn cách giải quyết vấn đề này và các bài toán
LP khác sử dụng bảng tính.
Để giải bài toán LP bằng đồ thị, trước tiên cần phải vẽ đồ thị các giới hạn của bài
toán và chỉ ra vùng khả thi của nó bằng cách vẽ đồ thị các đường biên của các giới hạn và
chỉ ra các điểm thỏa mãn mọi giới hạn. Do vậy, chúng ta làm cách nào để giải quyết bài

toán ví dụ?
MAX:
350X1 + 300X2
2.20
Điều kiện
1X1 + 1X2 ≤ 200
2.21
9X1 + 6X2 ≤ 1.566
2.22
12X1 + 16X2 ≤ 2.880
2.23
X1 ≥ 0
2.24
X2 ≥ 0
2.25
2.10.1 Vẽ đồ thị Giới hạn thứ nhất
Đường biên của giới hạn thứ nhất trong mô hình - phần chỉ ra rằng không được sử
dụng quá 200 máy bơm – được mô tả bởi một đường thẳng biểu diễn bởi công thức.
X1 + X2 ≤ 200
2.26
Nếu chúng ta có thể xác định được 2 điểm trên đường này thì cả đường sẽ được vẽ
một cách dễ dàng bằng cách kẽ một đường thẳng đi qua 2 điểm này. Nếu X 2 = 0, từ công
thức 2.26, X1 = 200. Do đó, điểm (X 1, X2) = (200, 0) phải thuộc đường này. Nếu X 1 = 0,
từ công thức 2.26 ta có, X2 = 200. Do đó điểm (X1, X2) = (0, 200) cũng thuộc đường thằng
này. 2 điểm này được vẽ trên đồ thị 2.1 và được nối lại để tọa thành đường thẳng biểu
diễn công thức 2.26
Chú ý rằng biểu đồ này liên quan tới phép toán 2.26 giữa 2 trục X1 và X2 trong
bảng 2.1. Tuy nhiên, chúng ta có thể không công nhận những điểm nằm trên các trục vì
Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


22
giá trị tổng hợp bởi X1 và X2 không thể là giá trị âm( bởi vì chúng ta cũng có những giá
trị đưa ra bởi X1>=0, X2 >=0).
Đường nối giữa 2 điểm(0,200) và (200,0) trong biểu đồ 2.1 chỉ ra rằng, những
điểm (X1, X2) thõa mãn biểu thức: X1+X2= 200.Nhưng nên nhớ rằng, hằng số đầu tiên
trong mô hình LP thì không thuộc biểu thức X1+X2<=200. Vì thế, sau khi xác định
đường giới hạn của 1 hằng số, chúng ta phải xác định vùng nào của biểu đồ sẽ tương ứng
để đưa ra giải pháp cho hằng số gốc.Việc này có thể được làm 1 cách dễ dàng thông qua
chọn lựa điểm trên mặt của đường giới hạn và kiểm tra thử nó có thỏa mãn hằng số gốc
hay không?Ví dụ như, nếu chúng ta kiểm tra điểm (X1,X2)=(0,0), chúng ta có thể thấy
điểm này thõa mãn hằng số đầu tiên. Vì thế, vùng của biểu đồ trên phần giống nhau của
đường giới hạn như điểm (0,0) tương ứng với giải pháp của hằng số đầu tiên. Vùng này
được bôi đen trên biểu đồ 2.1.
2.10.2. Xác định hằng số thứ 2
Một vài giải pháp khả thi cho 1 hằng số trong 1 mô hình LP thường không
thỏa mãn được 1 hoặc nhiều hơn của các hằng số khác trong mô hình. Ví dụ như, điểm
(X1,X2)=(200,0) thỏa mãn hằng số đầu tiên trong mô hình của chúng ta, nhưng nó
không thỏa mãn hằng số thứ 2, hằng số này đòi hỏi không được phép nhiều hơn 1,566
giờ lao động được sử dụng( vì 9*200+6*0=1800). Vậy giá trị nào của X1 và X2 sẽ hoàn
toàn thỏa mãn cả 2 hằng số? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta cần xác định hằng số thứ 2
trên biểu đồ. Điều này được thực hiện trên cùng 1 bảng như trước, bởi việc khoanh vùng
2 điểm trên đường giới hạn của hằng số và nối với những điểm khác trên 1 đường thẳng.
Đường giới hạn của hằng số thứ 2 trong mô hình của chúng ta được xác định bởi:
9X1+ 6X2 =1,566
2.27
Nếu X1=0 trong phép tính 2.27, và X2 = 1,566/6=261.Vì thế, điểm (0,261) phải
hạ xuống đường xác định bởi phép tính 2.27.Tương tự như vậy, nếu X2=0 trong phép

tính 2.27, và X1=1,566/9=174. Vì thế, điểm (174,0) cũng phải nằm trên đường này. 2
điểm này được xác định trên biểu đồ và được nối với 1 đường thẳng trình bày trong phép
toán 2.27 và được trình bày trên biểu đồ 2.2.
Đường thẳng trong biểu đồ 2.2 thể hiện phép tính 2.27 là đường giới hạn cho
hằng số thứ 2. Để xác định vùng trên biểu đồ tương ứng với giải pháp trên hằng số thứ 2,
chúng ta 1 lần nữa cần phải kiểm tra 1 điểm trên đường thẳng để xem nó có hiệu quả hay
không. Điểm (X1,X2)=(0,0) thỏa mãn 9X1+6X2<=1,566. Vì thế tất cả những điểm trên
đường xác định thỏa mãn hằng số này.
2.10.3. Xác định hằng số thứ 3
Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


23
Để tìm ra bộ giá trị cho X1 và X2 thỏa mãn tất cả những hằng số trong mô hình,
chúng ta cần phải xác định hằng số thứ 3. Hằng số này đòi hỏi không có hơn 2,880 máy
bơm được sử dụng trong quá trình sản xuất. Một lần nữa, chúng ta sẽ tìm ra 2 điểm trên
biểu đồ nằm trên đường xác định của hằng số này và kết nối với chúng trên 1 đường
thẳng.
Đường xác định cho hằng số thứ 3 trong mô hình của chúng ta như sau:
12X1+ 16X2=2,880
2.28
Nếu X1=0 trong phép tính 2.28, và X2= 2,880/16=180. Vì thế điểm (0,180) phải
nằm trên đường giới hạn bời phép toán 2.28. Tương tự như vậy, nếu X2=0 trong phép
tính 2.28, và X1=2,880/12=240. Vì thế điểm (240,0) cũng phải nằm trên đường này. 2
điểm này cũng được xác định trên biểu đồ và được nối với 1 đường thẳng thể hiện trên
phép tính 2.28, được thể hiện trên bảng 2.3.
Một lần nữa, đường thẳng vẽ trên biểu đồ 2.3 trình bày trên phép tính 2.28 là
đường giới hạn cho hằng số thứ 3. Để xác định vùng trên biểu đồ tương ứng với giải

pháp cho hằng số này, chúng ta cần kiểm tra điểm trên từng mặt của đường thẳng để xác
định nó có khả thi hay không. Điểm (X1,X2)=(0,0) thỏa mãn 12X1+16X2<=2,880.Vì
thế, tất cả các điểm trên cùng 1 mặt của đường giới hạn thỏa mãn hằng số này.
2.10.4. Vùng khả thi
Bây giờ rất dễ dàng để thấy được những điểm nào thỏa mãn tất cả hằng số trong
mô hình của chúng ta. Những điểm này tương ứng với vùng được bôi đen trong biểu đồ
2.3 được đặt tên là “vùng khả thi”. Vùng khả thi là những điểm hoặc giá trị mà khi đó
những kết quả biến thiên có thể được tổng hợp và thỏa mãn tuyệt đối tất cả hằng số trong
phép toán này. Chúng ta cung so sánh cẩn thận những biểu đồ trong bảng 2.1, 2,2 và 2.3.
Nhìn chung, chú ý rằng khi chúng ra thêm hằng số thứ 2 trong bảng 2.2, một vài giải
pháp khả thi liên quan đến hằng số thứ nhất bởi vì những giải pháp này không thỏa mãn
hằng số thứ 2. Tương tự như vậy, khi chúng ta thêm hằng số thứ 3 vào bảng 2.3, một khả
năng của giải pháp khả thi cho hằng số thứ 3 sẽ được đánh giá.
2.10.5. Xác định hàm mục tiêu
Bây giờ chúng ta phải xem xét tới những giải pháp khả thi cho phép toán LP,
chúng ta cần phải xác định giải pháp nào là tốt nhất. Đó là , chúng ta phải xác định điểm
nào trên vùng khả thi sẽ đưa ra giá trị lớn nhất cho chức năng khách quan trong mô hình.
Lúc đầu, chúng ta sẽ thấy khó như là mò kim đáy bể. Sau đó, như đã thể hiện trong
vùng bôi đen trong biểu đồ 2.3, chúng ta sẽ có rất nhiều những giải pháp khả thi cho bài
toán này. May mắn hơn, chúng ta dễ dàng đánh giá hầu hết giải pháp khả thi trong bài
Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


24
toán LP từ việc xem xét các phép toán . Điều này cũng được thể hiện nếu 1 phép toán LP
có 1 giải pháp tối ưu với nhiều giá trị hàm mục tiêu thì giải pháp này sẽ luôn luôn xuất
hiện trên đường khả thi nơi mà 2 hoặc nhiều đường giới hạn của hằng số. Những điểm
này thường được gọi là những điểm gốc hoặc là những điểm vô cùng của vùng khả thi.

Để thấy được vì sao giải pháp tối ưu hạn chế đối với 1 bài toán LP xuất hiện tại
điểm vô hạn của vùng khả thi, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa hàm mục tiêu và vùng
khả thi của ví dụ về mô hình LP. Rất thú vị khi tìm thấy giá trị của X1 và X2 tương ứng
với mức được đưa ra của lợi nhuận như là $35000 và theo phương thức toán học việc tìm
ra những điểm (X1 , X2) cho hàm mục tiêu tương đương với $35000 hoặc là :
$350X1 + $300X2 = $35000
2.29
Phép toán này xác định 1 đường thẳng mà chúng ta có thể xác định ở trên biểu
đồ. Một cách chi tiết hơn nếu X1 = 0 và từ biểu thức 2.29 X2 = 116.67. Tương tự, nếu
X2 = 0 trong biểu thức 2.29 thì X1 = 100 vậy điểm (X1 , X2 ) = ( 0 , 116.7 ) và (X1,X2)
= ( 100,0 ) đều nằm trên đường thằng mức xác định lợi nhuận của $35000. ( Tất cả
những điểm trên đường này tạo ra 1 mức lợi nhuận của $35000 ) . Đường này được trình
bày trên biểu đồ 2.4
Bây giờ chúng ta tìm ra giá trị của X1 và X2 cái mà tạo ra những mức độ cao
hơn của lợi nhuận như $52.500 . Và vì thế xét theo mặt toán học điểm (X1,X2) cho hàm
mục tiêu tương đương với $52.500 hoặc là :
$350X1 + $300X2 = $52.500
2.30
Phép toán này cũng xác định 1 đường thẳng cái mà chúng ta có thể xác định trên
biểu đồ, nếu chúng ta làm như vậy chúng ta sẽ tìm thấy điểm (X1,X2) = (0,175) và
(X1,X2) = (150,0) đều nằm trên đường này
2.10.6 Tìm giải pháp tối ưu bằng việc sử dụng đường cong ngang
Các đường thẳng biểu thị cho 2 giá trị hàm mục tiêu ở biểu đồ 2.5 thỉnh thoảng
được xác định như các đường cong ngang bởi vì chúng diễn đạt cho những mức độ hay
giá trị của khách thể. Hãy chú ý vào biểu đồ 2.5, có 2 đường cong ngang song song với 1
đường khác. Nếu chúng ta thực hiện lại quá trình vẽ những đường thẳng với những giá
trị càng lớn hơn, chúng ta sẽ tiếp tục thấy 1 loạt các đường song song di chuyển xa điểm
gốc, điểm gốc ở đây chính là toạ độ (0,0). Đường cong ngang cuối cùng mà chúng ta có
thể vẽ vẫn giao nhau tại vùng khả thi( vùng thấy rõ trên biểu đồ) sẽ quyết định lợi nhuận
lớn nhất mà chúng ta đạt được. Điểm giao nhau này được biểu diễn ở biểu đồ 2.6 cho

thấy giải pháp khả thi tối ưu đối với vấn đề.

Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa


25
Khi nhìn vào biểu đồ 2.6, chúng ta thấy rằng giải pháp tối ưu đối với vấn đề của
chúng ta xuất hiện tại điểm mà đường cong ngang lớn nhất giao với khu vực khả thi tại
điểm duy nhất. đây là điểm khả thi mà tạo ra lợi nhuận lớn nhất cho Blue Ridge Hot
Tubs. Nhưng làm thế nào để xác định được 1 cách chính xác toạ độ này và lợi nhuận đạt
được?
Nếu bạn so sánh biểu đồ 2.6 với biểu đồ 2.3, bạn sẽ thấy rằng giải pháp tối ưu
xuất hiện khi mà các đường thẳng giơi hạn biêu thị cho sự cưỡng chế lao động và pump
giao nhau( hoặc là bằng nhau). Do đó, giải pháp tối ưu được xác định tại điểm có toạ độ
(X1,X2) thoả mãn đồng thời 2 phương trình 2.26 và 2.27 mà được viết lại ở trang tiếp
theo như sau:
X1 + X2 = 200
9X1 + 6X2 = 1,566
Từ phương trình đầu tiên, chúng ta dễ dàng suy ra đươc X2 = 200 – X1. Nếu
chúng ta thay X2 lúc này vào phương trình thứ hai, chúng ta sẽ có:
9X1 + 6(200 – X1) = 1,566
Dùng cách tính toán đơn giản, chúng ta có thể giải phương trình này và tìm ra
X1 = 122.
Và bởi vì X2 = 200 – X1 nên chúng ta tìm ra X2 = 78. Suy ra, chúng ta xác định
được giải pháp tối ưu cho vấn đề có toạ độ (X1,X2) = (122,78). Điểm này đáp ứng trở
ngại trong mô hình của chúng ta và tương ứng với điểm được xem như là giải pháp tối
ưu ở trong biểu đồ 2.6.
Chúng ta sẽ tìm thấy tổng lợi nhuận từ giải pháp này bằng cách thay thế các giá

trị X1 = 122 và X2 = 78 vào các đơn vị chức năng khách thể. Do vậy, Blue Ridge Hot
Luxes có thể thấy được món lợi 66,100 đô nếu sản xuất ra 122 Aqua-Spas và 78 HydroLuxes ($350 x 122 + $300 x 78 = $66,100). Bất kì kế hoạch sản xuất khác nào cũng đem
lại tổng lợi nhuận thấp hơn. đặc biệt là giải pháp mà trước đây chúng ta tìm ra được bằng
hướng trực giác ( tạo ra tổng lợi nhuận 60,900 đô) vẫn thấp hơn giải pháp tối ưu mà
chúng ta tìm ra được lúc này.
2.10.7 Tìm ra giải pháp tối ưu bằng việc đếm các điểm vuông góc
Trước đây, chúng ta chỉ ra rằng nếu vấn đề LP có giải pháp tối ưu nào đó thì giải
pháp này luôn xuất hiện tại 1 số điểm vuông góc của khu vực khả thi. Vì vậy, cách khác
để giải quyết vấn đề LP là phải xác định cho được tất cả điểm vuông góc hoặc các điểm
mấu chốt của khu vực khả thi thấy nổi bật và tính toán giá trị của những đơn vị khách thể
tại mỗi điểm này. Điểm vuông góc này đại diện cho mỗi giá trị chính là giải pháp tối ưu.
Các mô hình ra quyết định

Th.S Hồ Nguyên Khoa