BÀI GIẢNG HÌNH KHÔNG GIAN HAY

CHƯƠNG 1. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Các đối tượng của hình học không gian là các điểm, đường thẳng, mặt
phẳng chúng có quan hệ với nhau qua các tiên đề.
Tiên đề 1. Qua hai điểm phân biệt có 1 đường thẳng và chỉ một mà thôi
Tiên đề 2. Qua 3 điểm không thẳng hàng có một mặt phẳng và chỉ một mà
thôi.
Tiên đề 3. Nếu một đường thẳng có 2 điểm phân biệt nằm trên một mặt
phẳng thì đường thẳng đó hoàn toàn nằm trên mặt phẳng.
Tiên đề 4. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có
chung một đường thẳng đi qua điểm chung ấy. Đường thẳng chung ấy gọi là giao
tuyến của hai mặt phẳng.
Vị trí tương đối mặt phẳng và đường thẳng
Có 3 vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng như sau:
Đường thẳng song song mặt phẳng
Định lý 1: Nếu đường thẳng ∆ không thuộc mặt phẳng mà song song
với một đường thẳng d thuộc mặt phẳng thì đường thẳng ∆ song song với mặt
phẳng
Định lý 2. Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng P thì mọi mặt
phẳng chứa ∆ cắt P đều theo những giao tuyến song song.
Định lý 3. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau mà song song với 1 đường thẳng thì
giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
Định lý 4. Cho hai đường thẳng chéo nhau, có duy nhất một mặt phẳng
chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia
Đường thẳng cắt mặt phẳng
Đường thẳng thuộc mặt phẳng
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Có 4 vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng a và b
Hai đường thẳng trùng nhau thì 2 đường thẳng có 2 điểm phân biệt
Hai đường thẳng cắt nhau thì 2 đường thẳng cắt nhau tại 1 điểm phân biệt
Hai đường thẳng song song với nhau thì chúng không có điểm chung và

đồng phẳng
Hai đường thẳng chéo nhau thì chúng không có điểm chung và không đồng
phẳng
Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Có 3 vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Hai mặt phẳng trùng nhau thì 2 mặt phẳng đó có 3 điểm chung và không
thẳng hàng
Hai mặt phẳng song song thì hai mặt phẳng đó không có điểm chung
Định lý 1: Nếu mặt phẳng P chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng
song song với mặt phẳng Q thì P và Q song song với nhau
Định lý 2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song
thì song song với mặt phẳng kia
Định lý 3: Nếu một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song với nhau thì
chúng sẽ cắt theo những giao tuyến song song.
Hai mặt phẳng cắt nhau thì giao điểm của chúng là một đường thẳng
Cách xác định mặt phẳng
Có 4 cách xác định mặt phẳng
Ba điểm không thẳng hàng
Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó
Hai đường thẳng đồng quy
Hai đường thẳng song song
Một số hình thông dụng
Tứ diện: là hình hợp bởi 4 điểm không đồng phẳng
Hình chóp: Cho đa giác lồi A
1
A
2
A
3
A

n
và điểm S ở ngoài mặt phẳng đa
giác. Hình chóp là hình giới hạn bởi n ∆SA
1
A
2
; ∆SA
2
A
3….
Cắt hình chóp bởi một mặt phẳng α ta được các đoạn thẳng tạo nên bởi tập
hợp các điểm chung của một mặt nào đó của hình chóp với mặt phẳng α gọi là các
đoạn giao tuyến, các đoạn giao tuyến này nối tiếp nhau thành một đa giác phẳng
gọi là thiết diện của hình chóp với mặt phẳng α.
Hai mặt phẳng vuông góc
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng là 90
0
Định lý 1. Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt
phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau
Định lý 2. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào
thuộc một trong hai mặt phẳng mà vuông góc với giao tuyến thì sẽ vuông góc với
mặt phẳng kia.
Định lý 3. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, A là một điểm nằm trong mặt
phẳng này thì đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng kia cũng thuộc mặt
phẳng này.
Định lý 4. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của chúng cũng song song với mặt phẳng thứ 3 đó.
Khoảng cách
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là khoảng cách giữa điểm đó và
hình chiếu của nó trên đường thẳng đó.

Khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng là khoảng cách từ điểm đó đến hình
chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một
điểm bất kì thuộc đường thẳng tới mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm từ mặt
phẳng này tới mặt phẳng kia
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đường vuông góc chung
của hai đường thẳng đó.
Góc
Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng
đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b.
Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng P là góc giữa a và
hình chiếu a’ của nó trên mặt phẳng P
Nếu a vuông góc với mặt phẳng P thì góc của nó bằng 90
0
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với 2
mặt phẳng đó hoặc là góc giữa hai đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng
vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng tại 1 điểm.
Diện tích hình chiếu
Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng P và S’ là diện tích hình chiếu H’
của H trên mặt phẳng P’ thì
S'=Scos
ϕ
Trong đó
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng P và P’
A
B
C
D

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN
BÀI TOÁN 1. CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG
Ba điểm không thẳng hàng
Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó
Hai đường thẳng đồng quy
Hai đường thẳng song song
1. Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng
a. Chứng minh rằng 3 trong 4 điểm này không thẳng hàng, liệt kê các mặt
phẳng khác nhau
b. Hãy nêu các cặp đường thẳng chéo nhau
2. Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b, trên a lấy hai điểm phân biệt A, B và trên b
lấy hai điểm C, D phân biệt. Chứng minh rằng AC và BD chéo nhau.
B
A
C
D
B
A
C
D
M
N
J
E
K
I
A
D
S
B

C
O
I
J
BÀI TOÁN2. XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
1. Cho tứ diện ABCD, lấy điểm M thuộc AB, N thuộc AC và điểm I trong
∆BCD, giả sử MN không song song BC. Tìm giao tuyến mặt phẳng
a. MNI và BCD
b. MNI và ABD
c. MNI và ACD
2. Cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song và điểm S không
thuộc mặt phẳng tứ giác, tìm giao tuyến của hai mặt phẳng là:
a. SAC và SBD
b. SAB và SCD
c. SAD và SBC
A
B
C
D
M
N
I
H
K
3. Cho tứ diện ABCD, lấy điểm M trên AC, N trên BD và điểm I trên AD,
tìm giao tuyến của mặt phẳng MNI với các mặt của tứ diện ABCD
4. Trong mặt phẳng α cho hai đường thẳng d1 và d2 đồng quy tại điểm O,
điểm M không thuộc mặt phẳng α, tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (M;d1) và
(M;d2).
5. Cho tứ diện ABCD lấy điểm I trên AB, lấy điểm J trong ∆BCD và điểm K

trong ∆ACD, tìm giao tuyến của mặt phẳng IJK với các mặt của tứ diện.
M
O
d1
d2
A
B
C
D
K
J
I
H
L
R
E
M
BÀI TOÁN 3. XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG
VÀ MẶT PHẲNG
Bản chất là ta xác định giao điểm của đường thẳng và đường thẳng nào đó
thuộc mặt phẳng hoặc là xác định giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng chứa đường
thẳng rồi xác định giao điểm là giao điểm của đường thẳng và giao tuyến đó.
1. Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC và
K là giao điểm trên BD với KD<KB. Dựng giao điểm của CD và AD với mặt
phẳng MNK
2. Cho tứ diện ABCD, lấy điểm M trên AB, N trong ∆BCD và K trong
∆ACD, dựng giao điểm của CD và AD với mặt phẳng MNK.
3. Cho hình chóp SABCD lần lượt trên SA, AB, BC lấy các điểm M, N, P
sao cho NP không song song với AD và CD. Dựng giao điểm của SD, SC với mặt
phẳng MNP.

4. Cho tứ diện ABCD, lấy điểm M trên AB và N trong ∆BCD. Dựng giao
điểm của AC với mặt phẳng MND
5. Cho tứ diện ABCD lấy điểm M trên AB và N trên AC và I trong ∆BCD,
dựng giao điểm của BD, CD với mặt phẳng IMN
6. Cho hình chóp SABCD và điểm M trên SB, dựng giao điểm SC với mặt
phẳng ADM.
A
B
C
D
K
L
M
N
U
A
B
D
C
M
N
I
K
L
E
G
S
A
B
C

D

O

M


N


L


BÀI TOÁN 4. CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG
Bản chất chứng minh đó là giao tuyến của 2 mặt phẳng phân biệt
1. Cho đường thẳng d cắt mặt phẳng α tại I, lấy 2 điểm A, B trên d và M
trong không gian không thuộc d và α, giả sử MA và MB lần lượt cắt α tại A’ và B’,
chứng minh 3 điểm I, A’, B’ thẳng hàng.
2. Cho 3 nửa đường thẳng Ox, Oy, Oz không đồng phẳng, lấy hai điểm
phân biệt A, A’ trên Ox, hai điểm phân biệt B, B’ trên Oy, hai điểm phân biệt C, C’
trên Oz sao cho BC cắt B’C’ tại D, CA cắt C’A’ tại E và AB cắt A’B’ tại F, chứng
minh 3 điểm D, E, F thẳng hàng.
3. Trong mặt phẳng α cho hai đường thẳng d1 và d2, lấy hai điểm A, B
không thuộc α sao cho đường thẳng AB cắt α tại I, mặt phẳng β qua AB cắt d1 tại
M và d2 tại N, chứng minh rằng I, M, N thẳng hàng.
4. Cho hình chóp SABCD trong đó AD và BC không song song, lấy điểm
M trên SB và O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
I
M

N
a. Dựng giao điểm N của SC và ADM;
b. AN và DM cắt nhau tại I. Chứng minh rằng S, I, O thẳng hàng.
S
A
B
C D
O
M
N
I
BÀI TOÁN 5. CHỨNG MINH 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
Muốn chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta cần chứng minh hai đường
thẳng giao nhau trên đường thẳng thứ 3.
Chúng là các đường thẳng không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi 1
1. Cho tứ diện ABCD gọi E, F, G lần lượt là 3 điểm trên 3 cạnh AB, AC, BD
sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại J (I khác C và J khác D). Chứng minh CD,
IG, JF đồng quy.
2. Chứng minh rằng nếu 3 đường không đồng phẳng và đôi một cắt nhau thì
3 đường thẳng này đồng quy tại một điểm
3. Cho hình chóp SABCD, một mặt phẳng α lần lượt cắt các cạnh SA, SB,
SC, SD tại A’, B’, C’, D’. gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Chứng
minh 3 đường thẳng A’C’, B’D’, SO đồng quy
A’
B’
C’
A
B
C
O

M
N
K
4. Cho hai ∆ABC và ∆A’B’C’ không cùng nằm trong một mặt phẳng, giả sử
BC cắt B’C’, AC cắt A’C’ và AB cắt A’B’. Chứng minh rằng 3 đường thẳng AA’,
BB’, CC’ thường đồng quy tại một điểm.
BÀI TOÁN 6. TÌM TẬP HỢP ĐIỂM LÀ GIAO TUYẾN HAY MỘT PHẦN
GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
1. Cho hình chóp SABCD, một mặt phẳng α di động qua trung điểm A’ của
SA, B’ của SB cắt SC, SD lần lượt tại C’ và D’, tìm tập hợp giao điểm của A’C’ và
B’D’(giả sử mặt phẳng A’B’C’ cắt SO).
2. Cho hình chóp SABCD trong đó AD và BC không song song, gọi O là
giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của AD và BC. M di động trên SB, EM
cắt SC tại N, tìm tập hợp giao điểm I của AN và DM.
CHƯƠNG 2. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
LÝ THUYẾT
BÀI TẬP ÁP DỤNG
BÀI TOÁN 1. CHỨNG MINH RẰNG HAI ĐƯỜNG THẲNG
SONG SONG
Phương pháp
Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng sau đó dùng phương pháp
chứng minh hai đường thẳng song song trong hình học phẳng
Chứng minh chúng song song với đường thẳng thứ 3
Dùng tính chất hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng
song song thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng này.
1. Cho tứ diện ABCD gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB,
BC, CD, DA, AC và BD
a. Chứng minh MNPQ là hình bình hành suy ra MP, NQ và RS cắt nhau tại
trung điểm của mỗi đoạn.
b. Giả sử ∆BCD cố định và điểm A di động trên mặt phẳng α qua BC sao

cho NSQR là hình thoi, chứng minh A di động trên một đường tròn cố định.
2. Cho hình bình hành ABCD và mặt phẳng cố định α qua AB, S di động
trên α , gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của CS, DS, DA, AC. Giả sử MNPQ
là hình chữ nhật, chứng minh S di động trên một đường thẳng cố định.
3. Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a, gọi I, J, K lần lượt là trung điểm
BC, CA, AD tính IK? Suy ra các cặp cạnh đối của tứ diện vuông góc với nhau.
4. Cho hình chóp ABCD , ABCD là hình bình hành và SA=SB, SC=SD
chứng minh rằng (SA;BC)=(SB;AD).
5. Cho tứ diện ABCD với AB vuông góc CD, gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung điểm của AC, BC, BD, AD chứng minh MP=NQ.
BÀI TOÁN 2. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
MẶT PHẲNG
Chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thẳng trong mặt phẳng
1. Cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng hình bình hành ABCD, gọi M và N là
trung điểm của SA và SB, chứng minh MN song song mặt phẳng SCD.
2. Cho tứ diện SABC, gọi M và N là trung điểm AB và SB, chứng minh SA
song song với mặt phẳng CMN. Xác định giao tuyến của mặt phẳng CMN với mặt
phẳng SAC.