Tổng hợp bài tập hình học không gian cổ điển

Chuyên đề hình học 12

LOẠI 1:
1)

THỂ TÍCH LĂNG TRỤ

Dạng 1:
Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có
cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a.
Tính thể tích khối lăng trụ này.
Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện
tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình
vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp
này.
Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600. Đường chéo
lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ.Tính thể tích hình hộp .

* Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a.
a3 3
Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.
ĐS: V =
; S = 3a2
4
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng BD' = a 6 .
Tính thể tích của lăng trụ.
Đs: V = 2a3

Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết
rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng
trụ.
Đs: V = 240cm3 và S = 248cm2
Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng
diện tích các mặt bên là 480 cm2 . Tính thể tích lăng trụ .
Đs: V = 1080 cm3
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết
rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = 24a3
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các
mặt của lăng trụ bằng 96 cm2 .Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = 64 cm3
Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ
bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ.
Đs: V = 2888
2
Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m . Tính thể tích khối lập
phương
Đs: V = 8
Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường
chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Đs: V = 0,4 m3
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là 5; 10; 13 .
Tính thể tích khối hộp này .
Đs: V = 6
Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b ,
µ = 600 . Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) một góc 300 .
C
1/Tính độ dài đoạn AC’

2/Tính V khối lăng trụ.
Trang 1


Chuyên đề hình học 12

Bài 12: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm
A’ cách đều các điểm A,B,C.Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600.
1/ Tính V khối lăng trụ.
2/ CMR: mặt bên BCC’B’ là một hình chữ nhật.
3/T ính Sxq hình lăng trụ.
Bài 13: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy a,góc giữa đường thẳng AB’ và
mp(BB’CC’) bằng ϕ .Tính Sxq của hình lăng trụ.
Bài 14: Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a.Hình chiếu của A’
·
xuống (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Cho BAA
' = 450 .
1/ C/m BCC’B’ là hình chữ nhật .
2/ Tính Sxq của hình lăng trụ.
Bài 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có mặt đáy là tam giác ABC vuông tại B và
AB=a ,BC =2a ,AA’=3a .Một mp(P) đi qua A và vuông góc với CA’ lần lượt cắt các đoạn
thẳng CC’ và BB’ tại M và N .
1/ Tính V khối chóp C.A’AB.
2/ C/m : AN ⊥ A 'B .
3/ Tính V khối tứ diện A’AMN.
4/ Tính SVAMN .
Bài 16: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a ,đáy ABC là tam giác vuông tại
A, AB =a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm của
cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng
AA’,B’C’.

Bài 17: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông ,AB=BC=a, cạnh bên
AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC.Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và
khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM,B’C.
Bài 18: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’có cạnh đáy bằng a và 1 điểm D trên cạnh
BB’.Mặt phẳng qua các điểm D,A,C tạo với mặt đáy (ABC) 1 góc α và mp qua các điểm
DA’C’ tạo với mặt đáy A’B’C’ 1 góc β .Tính V lăng trụ .
Bài 19: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ .Đáy ABC là tam giác cân có AB=AC = 1200.Đường
chéo của mặt BB’C’C bằng d và tạo với mặt đáy góc α . Tính Sxq và V của hình lăng trụ đó .
Bài 20: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A với
µ = α .Đường chéo BC của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một
AC =a và C
góc β .Tính V lăng trụ .
µ = α , và chân
Bài 21: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a , A
đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy (ABCD) trùng với giao điểm O các đương chéo của đáy .
Cho BB’ =a .Tính V và Sxq của hình hộp đó .
Bài 22: Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có chiều cao bằng h và 2 đường thẳng AB’ ,BC’ vuông
góc với nhau. Tính V lăng trụ đó.
Bài 23: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc nhọn
·
BAD
= 600 . Biết. AB' ⊥ BD'. Tính V của khối lăng trụ trên theo a .
Bài 24: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’,trong đó ABC là tam giác đều cạnh c, A’H
vuông góc với mp(ABC).(H là trực tâm của tam giác ABC ), cạnh bên AA’ tạo với mp(ABC) 1
góc α .
Trang 2


Chuyên đề hình học 12

1/ Cmr: AA’ ⊥ BC
2/ Tính V của khối lăng trụ .
Bài 25: Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A’B’C’D’E’F’ cạnh bên l, mặt chéo đi qua 2
cạnh đáy đối diện nhau hợp với đáy 1 góc 600 .Tính V lăng trụ.
2)Dạng 2:

Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC
¼
= a , ACB
= 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. Tính AC' và thể tích lăng trụ.
Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường
chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. Tính thể tích và tổng diên tích của các
mặt bên của lăng trụ .
o
Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ¼
BAD =60
biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích của hình hộp.
* Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và A'C hợp
a3 2
o
với mặt bên (AA'B'B) một góc 30 . Tính thể tích lăng trụ
ĐS: V =
16
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết BB' = AB = a và B'C hợp
a3 3

với đáy (ABC) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ.
ĐS: V =
2
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với
mặt bên (BCC'B') một góc 30o. Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ .
ĐS: AB' = a 3 ;
3
a 3
V=
2
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết AC = a và ¼
ACB = 60o
biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác
ABC'.
ĐS: V = a 3 6 , S =
3a 2 3
2
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC)
bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300 . Tính thể tích lăng trụ
ĐS:
3
32a
V=
9
Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp
với (ABCD) một góc 30o và hợp với (ABB'A') một góc 45o. Tính thể tích của khối hộp chữ
nhật.
a3 2
Đs: V =
8

Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông. Gọi O là tâm của
ABCD và OA' = a .Tính thể tích của khối hộp khi:
1) ABCD A'B'C'D' là khối lập phương .
Trang 3


Chuyên đề hình học 12

2) OA' hợp với đáy ABCD một góc 60o .
o

3) A'B hợp với (AA'CC') một góc 30 .

2a 3 6
a3 3
Đs:1) V =
;2) V =
;3)
9
4

4a 3 3
9
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và BD' = a. Tính thể
tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o .
a3 3
a3 2
o
2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30 .

Đs: 1)V =
2)V =
16
8
Bài 9: Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát xuất từ một đỉnh
của 2 mặt bên kề nhau là 60o.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt của lăng trụ .
Đs: V = a3 và S = 6a2
Bài 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c và BD' = AC' =
CA' = a 2 + b2 + c2
1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' là hộp chữ nhật.
2) Gọi x,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉng thuộc đường
chéo. Chứng minh rằng sin 2 x + sin 2 y + sin 2 z = 1 .
V=

3) Dạng 3:

Lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ.
Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với
đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp
với đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy
(ABCD) một góc 60o và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ
nhật.
* Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD
một góc 30o và mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 600 . Tính thể tích hộp chữ nhật.

2a 3 2
Đs: V =
3
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a
biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30o.Tính thể tích khối lăng trụ.
Đs: V = 3a3
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết
rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o. Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = a 3 2
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và
¼
BAC = 120o biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o.Tính thể tích lăng trụ.
a3 3
Đs: V =
8

Trang 4


Chuyên đề hình học 12

Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB = h
h3 2
o
biết rằng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60 . Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V =
4
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a. Tính thể tích
lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o .

2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45o.
3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
a3 3
Đs: 1) V = a 3 3 ; 2) V =
; V = a3 3
4
Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính
thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o .
2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 600 .
16a 3
3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a . Đs: 1) V = 16a3 . 2) V = 12a3 .3) V =
3
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tính thể tích
lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .
2)Tam giác BDC' là tam giác đều.
a3 6
0
3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 45
Đs: 1) V =
; 2) V = a 3 ; V = a 3 2
2
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCDA'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A =
60o. Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .
a
2)Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng
2
3a 3 3

3a 3 2
3a 3
3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450
Đs: 1) V =
; 2) V =
;V=
8
2
4
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a. Tính thể tích khối hộp
trong các trường hợp sau đây:
1) AB = a
Đs: V = 8a 3 2 ;
2) BD' hợp với AA'D'D một góc 30o
Đs: V = 5a 3 11 ;
3) (ABD') hợp với đáy ABCD một góc 300.
Đs: V = 16a 3
4) Dạng 4:

Khối lăng trụ xiên

Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh
bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình
chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy
ABC một góc 60 .
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ .
Trang 5

Chuyên đề hình học 12

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = 3 AD = 7 .Hai
mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 . Tính thể tích khối
hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ ABC A'B'C'có các cạnh đáy là 13;14;15và biết cạnh bên bằng 2a hợp với
đáy ABCD một góc 45o . Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V = a 3 2
Bài 2: Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên bằng
8 hợp với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V =336
Bài 3: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c và ¼
BAD = 30o và biết cạnh bên
abc 3
AA' hợp với đáy ABC một góc 60o.Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V =
4
Bài 4 : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A' cách
2a 3
a3 3
đều A,B,C biết AA' =
.Tính thể tích lăng trụ.
Đs: V =
3
4
Bài 5: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu trên
(ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bên BB'C'C hợp vớio đáy ABC một
góc 60o .

1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
3a 3 3
2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'.
Đs: V =
8
Bài 6: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh b CC' = a hợp
với đáy ABC 1 góc 60o và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O .
1) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B.
a2 3
3a 3 3
2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'.
Đs: 1) S =
2) V =
2
8
Bài 7: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc
hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a.
1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.
a3 3
2) Tính thể tích lăng trụ.
Đs: 1) 30o 2) V =
8
Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C'
trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a và 2 mặt bên
27a 3
AA'C'Cvà BB'C'C hợp với nhau một góc 90o.
Đs: V =
4 2
Bài 9: Cho hình hộp ABCD A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của A'
trên mp(ABCD) nằm trong hình thoi, các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo với nhau một

góc 60o .
1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của ABCD.
2) Tính diện tích các mặt chéo ACC'A' và BDD'B'.
a3 2
3) Tính thể tích của hộp.
Đs: 2) SACC'A' = a 2 2;SBDD'B' = a 2 . 3) V =
2
o
Bài 10: Cho hình hộp ABCDA'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 60 . chân
đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB' = a.
1)Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy.
Đs: 60o
Trang 6


Chuyên đề hình học 12

2)Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp.

LOẠI 2:
1)

3a 3
&S = a 2 15
Đs: V =
4

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Dạng 1:

Khối chop có cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng
vuông góc với (SBC). Tính thể tích hình chóp .
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA
vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.
1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông .
2)Tính thể tích hình chóp .
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với
đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp .
Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc
đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o.
1) Tính thể tích hình chóp SABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).

Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA=BC=a biết SA
vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o. Tính thể tích hình chóp .
a3 2
Đs: V =
6
Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng tam giác
ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o .Tính thể tích khối chóp SABC .
h3 3
Đs: V =
3
Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết SB =
a, SC hợp với (SAB) một góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) một góc 60o .Chứng minh rằng SC2
a3 3
= SB2 + AB2 + AC2. Tính thể tích hình chóp.
Đs: V =

27
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC) biết AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm, BC = 5 cm.
1) Tính thể tích ABCD.
Đs: V = 8 cm3
12
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Đs: d =
34
Bài 5: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , góc ¼
BAC = 120o ,
biết SA ⊥ (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45 o . Tính thể tích khối chóp SABC.
a3
Đs: V =
9
Bài 6: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông biết
SA ⊥ (ABCD),SC = a và SC hợp với đáy một góc 60o Tính thể tích khối chóp.
Trang 7


Chuyên đề hình học 12

a3 3
48
Bài 7: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA ⊥ (ABCD), SC
hợp với đáy một góc 45o và AB = 3a , BC = 4a. Tính thể tích khối chóp.
Đs: V = 20a3
Bài 8: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60o và
SA ⊥ (ABCD) ,biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a. Tính thể tích khối chóp SABCD.
a3 2
Đs: V =

4
Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB=BC=a,
AD=2a, SA ⊥ (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o. Tính thể thích khối chóp SABCD.
a3 6
Đs: V =
2
Bài 10 : Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường
tròn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD một góc 45o.Tính thể tích khối chóp
3R3
SABCD.
Đs: V =
4
Đs: V =

2) Dạng 2 :

Khối chop có mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a
Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD,
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)
⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o .
Tính thể tích tứ diện ABCD.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có
BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.
a)
Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b)

Tính thể tích khối chóp SABC.
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với (ABC).
1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
a3 3
2) Tính thể tích khối chóp SABC.
Đs: V =
24
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB
cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một
a3
o
góc 45 . Tính thể tích của SABC.
Đs: V =
12
¼
o ¼
o
Bài 3: Cho hình chóp SABC có BAC = 90 ;ABC = 30 , SBC là tam giác đều cạnh a và
a2 2
⊥
(SAB) (ABC). Tính thể tích khối chóp SABC.
Đs: V =
24
Trang 8


Chuyên đề hình học 12

Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao SH = h và
(SBC) ⊥ (ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o .Tính thể tích hình chóp SABC.
4h3 3
Đs: V =
9
Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng
a3 6
vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện.
Đs: V =
36
Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . Mặt bên SAB là tam giác đều có
đường cao SH = h ,nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD,
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
4h3
2) Tính thể tích khối chóp SABCD .
Đs: V =
9
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật , tam giác SAB đều cạnh a nằm trong
mặt phẳng vuông góc với (ABCD) biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích hình
a3 3
chóp SABCD.
Đs: V =
4
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, (SAB) ⊥
(ABCD) , hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30o .Tính thể tích hình
8a3 3
chóp SABCD.
Đs: V =
9
Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAD

vuông cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp SABCD.
a3 5
Đs: V =
12
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD = a ;
AB = 2a biết tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối
a3 3
chóp SABCD .
Đs: V =
2
3) Dạng 3 :

Khối chóp đều

Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng
chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC. Tính thể tích chóp đều
SABC .
Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a .
1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60o . Tính thể
3a3
tích hình chóp.
Đs: V =
16
Trang 9

Chuyên đề hình học 12

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là 45o.
a
1) Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC .
Đs: SH =
3
3
a
2) Tính thể tích hình chóp SABC.
Đs: V =
6
Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một góc 60o.
a3 3
Tính thể tích hình chóp SABC.
Đs: V =
24
Bài 4 : Cho chóp tam giác đều có đường cao h hợp với một mặt bên một góc 30o . Tính thể tích
h3 3
hình chóp.
Đs: V =
3
Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60o. Tính thể
h3 3
tích hình chóp.
Đs: V =
8
Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và ¼

ASB = 60o .
a2 3
1) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều.
Đs: S =
3
a3 2
2) Tính thể tích hình chóp.
Đs: V =
6
Bài 7 : Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên bằng 60o. Tính
2h3
V
=
thể tích hình chóp.
Đs:
3
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng
cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a.
8a3 3
Tính thể tích hình chóp .
Đs: V =
3
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60o.
a3 3
Tính thề tích hình chóp.
Đs: V =
12
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng
SABCD là chóp tứ giác đều.Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của
9a3 2

nó bằng V =
.
Đs: AB = 3a
2
Bài 11: Tính V khối tứ diện đều cạnh a.
Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
1/ Biết AB =a và góc giữa mặt bên và đáy bằng α ,tính V khối chóp.
2/ Biết trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng ϕ . Tính V khối chóp.
Bài 13: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.
1/ Biết AB=a và SA=l ,tính V khối chóp.
2/ Biết SA=l và góc giữa mặt bên và đáy bằng α ,tính V khối chóp.
Bài 14: Hình chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn 2a, đáy nhỏ là a, góc giữa đường cao với mặt
bên là 300 .Tính V khối chóp cụt .
Bài 15: Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
1/ Tính S xq ; Stp của hình trụ .
2/ Tính V khối trụ tương ứng.
Trang 10


Chuyên đề hình học 12

3/ Tính V khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho .
Bài 16: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao R 3.A và B là 2 điểm trên 2 đường tròn
đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300 .
1/ Tính S xq ; Stp của hình trụ .
2/ Tính V khối trụ tương ứng.
Bài 17: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc
vuông bằng a .
1/ Tính S xq ; Stp của hình nón.
2/ Tính V khối nón tương ứng.

Bài 18: Cho một tứ diện đều có cạnh là a .
1/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
2/ Tính S mặt cầu.
3/ Tính V khối cầu tương ứng.
Bài 19: Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a ,cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600 .
1/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
2/ Tính S mặt cầu
3/ Tính V khối cầu tương ứng.
Bài 20: Cho hình nón có đường cao SO=h và bán kính đáy R. Gọi M là điểm trên đoạn OS, đặt
OM = x (01/ Tính S thiết diện (Γ) vuông góc với trục tại M.
2/ Tính V của khối nón đỉnh O và đáy (Γ) theo R ,h và x.
Xác định x sao cho V đạt giá trị lớn nhất?
Bài 21: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, góc giữa mặt bên và đáy là ϕ .
1/ Tính bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp .
2/ Tính giá trị của tanϕ để các mặt cầu này có tâm trùng nhau.
Bài 22: Một hình nón đỉnh S có chiều cao SH = h và đường sinh l bằng đường kính đáy. Một
hình cầu có tâm là trung điểm O của đường cao SH và tiếp xúc vớ đáy hình nón .
1/ Xác định giao tuyến của mặt nón và mặt cầu.
2/ Tính Sxq của phần mặt nón nằm trong mặt cầu .
3/Tính S mặt cầu và so sánh với Stp của mặt nón.
·
Bài 23: Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB
=α.
1/ Tính Sxq của hình chóp.
2/ Cm rằng đường cao của hình chóp bằng :

a
α
cot2 − 1

2
2

3/ Gọi O là giao điểm các đường chéo của đáy ABCD .Xác định góc α để mặt cầu tâm O đi
qua 5 điểm S,A,B,C,D.
Bài 24: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a ,các cạnh bên tạo với
đáy một góc 600 .Tính V khối chóp đó.
Bài 25: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB=AC=5a ,BC =6a, và các mặt bên tạo
với đáy một góc 600 .Tính V khối chóp đó.
Bài 26: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B.Cạnh SA vuông góc với
đáy.Từ A kẻ các đoạn thẳng AD ⊥ SB, AE ⊥ SC .Biết AB=a, BC=b, SA=c.
1/ Tính V khối chóp S.ADE.
2/ Tính khoảng cách từ E đến mp(SAB) .
Trang 11


Chuyên đề hình học 12

Bài 27: Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ 1 điểm trong bất kỳcủa 1 tứ diện đều đến các
mặt của nó là 1 số không đổi .
Bài 28: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB =a,BC =2a ,AA’ =a.Lấy điểm M trên
cạnh AD sao cho AM =3MD.
1/ Tính V khối chóp M.AB’C
2/ Tính khoảng cách từMđến mp(AB’C) .
Bài 29: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB =a,BC =b ,AA’ =c.Gọi M,N theo thứ tự
là trung điểm của A’B’ và B’C’.Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp
chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ .
Bài 30: Cho 2 đoạn thẳng AB và CD chéo nhau ,AC là đường vuông góc chung của chúng .Biết
rằng AC=h, AB =a, CD =b và góc giữa 2 đường thẳng AB và CD bằng 600 .Tính V tứ diện
ABCD.

Bài 31: Cho tứ diện đều ABCD.Gọi (H) là hình bát diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh
của tứ diện đều đó .Tính tỉ số

V(H)
.
VABCD

Bài 32: Tính V khối tứ diện đều cạnh a.
Bài 33: Tính V khối bát diện đều cạnh a.
Bài 34: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ .Tính tỉ số V khói hộp đó và V khối tứ diện ACB’D’.
Bài 35: Cho hình chóp S.ABC.Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác
VS.A 'B'C'

SA ' SB' SC'

=
.
.
.
với S. CMR: V
SA SB SC
S.ABC
Bài 36: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có AB=a .Các cạnh bên SA,SB,SC tạo với đáy một
góc 600 .Tính V khối chóp đó .
Bài 37: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a ,BC=6a ,CA=7a.Các mặt bên SAB,SBC,SCA
tạo với đáy một góc 600 . Tính V khối chóp đó .
Bài 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB=a,
AD=b, SA =c. Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB' ⊥ SB,AD' ⊥ SD . Mặt
phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.Tính V khối chóp đó .
Bài 39: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD ,đáy là hình vuông cạnh a ,cạnh bên

tạo với đáy một góc 600 . Gọi M là trung điểm SC.Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD ,cắt
SB tại E và cắt SD tại F.Tính V khối chóp S.AEMF.
Bài 40: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
1/ Tính V khối tứ diện A’BB’C.
2/ Mặt phẳng đi qua A’B’ và trọng tâm VABC , cắt AC và BC lần lượt tại E và F.Tính V khối
chóp C.A’B’FE.
Bài 41: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.cạnh a .Gọi M là trung điểm của A’B’,N là trung
điểm của BC.
1/ Tính V khối tứ diện ADMN.
2/ Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành 2 khối đa diện .Gọi (H) là khối đa

diện chứa đỉnh A,(H’) là khối đa diện còn lại .Tính tỉ số

V(H)
V(H')

Bài 42: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA =a ,đáy là tam giác vuông cân có AB =BC =a.
Gọi B’ là trung điểm của SB ,C’ là chân đường cao hạ từ A của VABC .
1/ Tính V khối chóp S.ABC.
2/ CMR: SC ⊥ mp(AB'C') .
3/ Tính V khối chóp S.AB’C’.
Trang 12


Chuyên đề hình học 12
·
Bài 43: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA=2a, VABC vuông ở C có AB=2a, CAB
= 300 . Gọi

H,K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB .

1/ Tính V khối chóp H.ABC.
2/ CMR: AH ⊥ SB và SB ⊥ mp(AHK ) .
3/ Tính V khối chóp S.AHK.
Bài 44: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ,SA=a , SB = a 3 và
mp(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC
.Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDNvà tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM,DN.
Bài 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,mặt bên SAD là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh
SB,BC,CD. CMR: AM ⊥ BP và tính V khối tứ diện CMNP.
Bài 46: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a .Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE ,N là trung điểm của BC. Chứng
minh rằng: MN ⊥ BD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC.
·
·
Bài 47: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC
= BAD
= 900 , BA=BC=a ,AD =2a. Cạnh
bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng
minh rằng: VSCD vuông và tính d[ H;(SCD)] .
Bài 48: Cho hình trụ có các đáy là 2 hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng
a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB=2a.
Tính V khối tứ diện OO’AB.
Bài 49: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a , AD = a 2 , SA= a và
SA ⊥ mp(ABCD) . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC .
1/ Cmr: mp(SAC) ⊥ mp(SMB)
2/ Tính V khối tứ diện ANIB.
Bài 50: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA =2a và
SA ⊥ mp(ABC) . Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC.
Tính V khối chóp A.BCMN.
Bài 51: Cạnh đáy của 1 hình chóp tam giác đều bằng a; mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy 1

góc α .Tính V khối chóp .
Bài 52: Cho 1 hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo B’D=a tạo thành với mặt
phẳng đáy ABCD 1 góc bằng α và tạo thành với mặt bên AA’D’D 1 góc bằng β .Tính V của hình
hộp chữ nhật trên.
Bài 53: Đường sinh của 1 hình nón có độ dài bằng a và tạo thành với đáy 1 góc α . Tính diện tích
xung quanh và thể tích hình nón .
Bài 54: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ,cạnh huyền BC = a .Mặt bên SBC
tạo với đáy góc α .Hai mặt bên còn lại vuông góc với đáy .
1/ CMR: SA là đường cao của hình chóp .
2/ Tính V khối chóp .
Bài 55: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là 1 hình vuông và chiều cao bằng h.
Góc giữa đường chéo và mặt đáy của hình hộp chữ nhật đó bằng α . Tính Sxq và V của hình hộp
đó.
Bài 56: Cho hình chóp tam giác S.ABC. Hai mặt bên SAB và SBC của hình chóp cùng vuông góc
$ = 600 , cạnh
với đáy, mặt bên còn lại tạo với đáy 1 góc α . Đáy ABC của hình chóp có Aµ = 900 , B
BC =a. Tính Sxq và V của hình chóp.

Trang 13


Chuyên đề hình học 12

µ = 2α .
Bài 57: Đáy của hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là 1 tam giác cân có AB=AC =a và A
Góc giữa mặt phẳng đi qua 3 đỉnh A’,B,C và mặt đáy( ABC) bằng β . Tính Sxq và V của hình lăng
trụ đó .
Bài 58: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S.Trong đáy của hình nón đó có hình vuông ABCD nội tiếp,
· B = 2 α 00 < α < 450 . Tính V và Sxq của hình nón .
cạnh bằng a .Biết rằng AS

(

)

Bài 59: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a; (SAC) vuông góc với đáy ;
·
ASC
= 900 và SA tạo với đáy 1 góc bằng α . Tính V của hình chóp.
·
·
= 900 ,ABC
= α ; SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB)
Bài 60: Cho hình chóp S.ABC có BAC
⊥ (ABC) . Tính V của hình chóp.
Bài 61: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , có chiều cao h ,góc ở đỉnh của mặt bên bằng 2 α
.Tính Sxq và V của hình chóp đó .
Bài 62:Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên đều là tam giác vuông đỉnh S và SA=SB=SC =a .
Tính d[ S;(ABC)] .
Bài 63: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a 3 , đường cao SA=a.Mặt phẳng
qua A và vuông góc với SB tại H cắt SC tại K. Tính SK và SVAHK .
Bài 64: Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình bình hành ABCD có diện tích bằng a2 3 và góc
giữa 2 đường chéo bằng 600 .Biết rằng các cạnh bên của hình chóp nghiêng đếu trên mặt đáy 1
góc 450 .
1/ Chứng tỏ ABCD là hình chữ nhật.
2/ Tính V của hình chóp đó .
Bài 65: Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và B, AB=BC= 2a;
đường cao của hình chóp là SA =2a .
1/ Xác định và tính đoạn vuông góc chung của AD và SC .
2/ Tính V của hình chóp đó .

Bài 66: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA =x ,còn tất cả các cạnh khác có độ dài bằng 1.
1/ C/m: SA ⊥SC
2/ Tính V của hình chóp đó .
Bài 67: Cho hình chóp S.ABCD .Đáy ABCD là nửa lục giác đều với AB=BC=CD=a và AD=
2a .Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy ,mp(SBD) tạo với mp chứa đáy 1 góc 450 .
1/Tính V của hình chóp đó .
2/Tính d[ C;(SBD)] .
·
·
·
Bài 68: Cho tứ diện ABCD có AB=a ,BC =b, BD =c, ABD
= 900 .Tính V của tứ
= ABC
= 600 , CBD
diện đó .
Bài 69: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
1/ Tính V của hình chóp S.ABCD .
2/ Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy ABCD đến các mặt bên của hình chóp.
Bài 70: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có đường cao SO =1 và đáy ABC có cạnh bằng 2 6
. Điểm M,N là trung điểm của cạnh AB,AC tương ứng .Tính V của hình chóp S.AMN và bán
kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó.
Bài 71: Trong mp(P) cho 1 điểm O và 1 đường thẳng d cách O một khoảng OH =h .Lấy trên d hai
·
·
điểm phân biệt B,C sao cho BOH
= COH
= 300. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại O, lấy điểm
A sao cho OA =OB .
Trang 14

Chuyên đề hình học 12

1/ Tính V của tứ diện OABC.
2/ Tính d[ O;(ABC)] theo h .
Bài 72: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA =x và các cạnh còn lại đều bằng 1 .
1/ C/m : SA ⊥ SC .
2/ Tính V của hình chóp .Xác định x để bài toán có nghĩa.
Bài 73: Tính V của khối tứ diện ABCD , biết AB =a, AC=AD=BC=BD=CD= a 3 .
·
·
·
Bài 74: Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA=SB =SC =d và ASB
= 900, BSC
= 900 .
= 600 , ASC
1/ C/m : VABC là tam giác vuông.
2/ Tính V của tứ diện SABC.
Bài 75: Trên nửa đường tròn đường kính AB =2R , lấy 1 điểm C tuỳ ý .Dựng CH ⊥ AB (H thuộc
AB) và gọi I là trung điểm của CH .Trên nửa đường thẳng It vuông góc với mp(ABC) lấy điểm S
·
sao cho ASB
= 900.
1/ C/m : VSHC là tam giác đều .
2/ Đặt AH =h .Tính V của tứ diện SABC theo h và R.
Bài 76: Cho tứ diện ABCD có 3 cạnh AB,AC,AD,vuông góc với nhau từng đôi một và AB=a,
AC=2a ,AD =3a .Hãy tính diện tích tam giác BCD theo a.
Bài 77: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a .I là trung điểm của AB .Qua I dựng đường vuông
góc với mp(ABC) và trên đó lấy điểm S sao cho 2.IS = a 3 .
1/ C/m: VSAD là tam giác vuông .

2/ Tính V của hình chóp S.ACD. Suy ra d[ C;(SAD)] .
Bài 78: Bên trong hình trụ tròn xoay có 1 hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà 2 đỉnh liên tiếp
A,B nằm trên đường tròn đáy thứ 1 của hình trụ, 2 đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ 2 của
hình trụ.Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ 1 góc 450 .Tính Sxq và V của hình trụ đó.
µ = 1200 .
Bài 79: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp trong đường tròn tâm Obán kính R và A
Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại A, lấy điểm S sao cho SA= a 3 .
1/ Tính V tứ diện SABC theo a và R.
2/ Cho R =2a, gọi I là trung điểm của BC.Tính số đo giữa SI và hình chiếu của nó trên
mp(ABC).
Bài 80: Cho hình chóp S.ABCD ,đáy là hình chữ nhật có AB=2a, BC=a, .Các cạnh bên của hình
chóp đều bằng a 2 . Tính V của hình chóp S.ABCD theo a.
Bài 81: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD lần lượt vuông góc với nhau từng đôi một, AB=a,
AC=2a ,AD=3a.
1/ Tính d[ A;(BCD)]
2/ Tính SVBCD .
Bài 82: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh a ,đường cao SO =h.
1/ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
2/ Tính V của hình chóp S.ABCD .
Bài 83: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Góc giữa
mặt bên và đáy là α ( 450 < α < 900) .Tính STP và V hình chóp.
Bài 84: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Cạnh bên SA=
a 5 . Một mp(P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD), lần lượt cắt SC và SD tại C’ và D’.
1/ Tính S tứ giác ABC’D’
2/ Tính V hình đa diện ABCDD’C’.
Trang 15


Chuyên đề hình học 12

·
Bài 85: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB =a và góc SAB
= α .Tính V
α
của hình chóp S.ABCD theo a và .
Bài 86: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và vuông
góc với mặt phẳng đáy.
1/ Tính STP của hình chóp.
2/ Hạ AE ⊥ SB , AF ⊥SD . C/m: SC ⊥ mp(AEF) .
Bài 87: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và
SA=SB =SC= SD =a. Tính STP và V hình chóp S.ABCD .
Bài 88: Cho tứ diện S.ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh B và AC =2a,cạnh SA ⊥ mp(ABC)
và SA =a.
1/ Tính d[ A;mp(SBC)] .
2/ Gọi O là trung điểm của AC .Tính d[ O;mp(SBC)] .
Bài 89: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D, AB=AD
=a, CD=2a .Cạnh bên SD ⊥ mp(ABCD) , SD= a .
1/ C/mr: VSBC vuông .Tính SVSBC .
2/ Tính d[ A;(SBC)] .
Bài 90: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ,biết AB=2a ,BC =a ,các cạnh bên của
hình chóp bằng nhau và bằng a 2 .Tính V hình chóp .
Bài 91: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D,AB=AD=a,
CD=2a .Cạnh bên SD ⊥ mp(ABCD) ,SD = a 3 .Từ trung điểm E của DC dựng EK ⊥ SC (K
∈ SC) .Tính V hình chóp S.ABCD theo a và SC ⊥ mp(EBK ) .
Bài 92: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . SA ⊥ (ABCD) , SA= a 6 .H là hình
chiếu của A lên SD .
1/ C/m : AH ⊥ (SBC)
2/ Gọi O là giao điểm của AC và BD . Tính d[ O;(SBC)] .
Bài 93: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D.Biết rằng
AB=2a ,AD=CD =a (a>0). Cạnh bên SA =3a vuông góc với đáy .

1/ Tính SVSBD .
2/ Tính V tứ diện SBCD theo a.
Bài 94: Cắt hình nón đỉnh S cho trước bởi mp đi qua trục của nó , ta được 1 tam giác vuông cân
có cạnh huyền bằng a 2 . Tính Sxq , Stp và V của hình nón.
Bài 95: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với
đáy .Từ A kẻ các đoạn thẳng AD ⊥ SB và AE ⊥ Sc. Biết AB =a ,BC =b, SA =c .
1/ Tính V của khối chóp S.ADE.
2/ Tính d[ E;(SAB)] .

4) Dạng 4 :

Khối chop và phương pháp thể tích

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC = a 2 , SA vuông góc
với đáy ABC , SA = a .
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Trang 16


Chuyên đề hình học 12

2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( α ) qua AG và song song với BC cắt SC,
SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a . Trên đường thẳng qua C và vuông góc
với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD
tại F và cắt AD tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Chứng minh CE ⊥ ( ABD )
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng (α ) qua A, B và trung điểm M của

SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy
góc 60ο . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và
cắt SD tại F.
a) Hảy xác định mp(AEMF)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy,
SA = a 2 .Gọi B’,D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB,SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh SC ⊥ ( AB ' D ')
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể tích
1
của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD.
Đs: k =
4
3
Bài 2: Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm B',C',D' sao cho
AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính tể tích tứ diện AB'C'D'. Đs: V = 2 m3
Bài 3: Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao cho
a
2a
a3 2
AB = ;AC' = . Tính thể tích tứ diên AB'C'D .
Đs: V =
2
3
36

3
Bài 4: Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m .Gọi M,P là trung điểm của AB và CD và lấy N trên
AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diên BMNP.
Đs: V = 1 m3
Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 ,đường cao SA = a. Mặt
phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp SAHK.
Đs: V =

a3 3
40

Bài 6: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 .Lấy A'trên SA sao cho SA = 3SA'. Mặt
phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần lượt tại B',C',D' .Tính thể tích
hình chóp SA'B'C'D'.
Đs: V = 1 m3
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m3, ABCD là hình bình hành , lấy M trên SA sao
cho 2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích khối đa diên ABCDMN .
Đs: V = 4m3

Trang 17


Chuyên đề hình học 12

Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là trung
điểm SC. Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB,SDF tại M và P. Tính thể tích
a2 h
V
=
khối chóp SAMNP.

Đs:
9
Bài 9 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC.Mặt
phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính tỉ số thể tích 2 phần này.
1
Đs: k =
2
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho
SM
= x Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.
SA
5 −1
Đs: x =
2
5) Dạng 5 : Ôn tập khối chóp và lăng trụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy. Góc giữa
SC và đáy bằng 60ο và M là trung điểm của SB.
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
2) Tính thể tích của khối chóp MBCD.
Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC,
SCA tạo với đáy một góc 60o .Tính thể tích khối chóp.
Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a 3 , AD = a, AA’ = a, O là giao
điểm của AC và BD.
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’
b) Tính thể tích khối OBB’C’.
c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện
ACB’D’.
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.

b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE.
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông. AB = AC = a; AA 1 = a 2 . M là trung
điểm AA1. Tính thể tích lăng trụ MA1BC1

3
Đs: V = a 2

12

¼
Bài 2: Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông tại B, SA ⊥ (ABC). ACB
= 60o, BC = a, SA = a 3 ,

M là trung điểm SB.Tính thể tích MABC .

Đs: VMABC =

1
4

a3

¼
Bài 3: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB
= 90o. ∆SAC và ∆SBD là
các tam giác đều có cạnh bằng 3 . Tính thể tích khối chóp SABCD.
Đs: VSABCD = 6
4

Bài 4: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trường hợp sau:
a) Cạnh đáy bằng 1, góc ABC = 60o .

Đs: V =

2
12
Trang 18


Chuyên đề hình học 12

11
12
Bài 5. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, ∆ABC vuông tại A, AB = a, AC=a
3 . Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC. Tính VA’ABC theo a?
a3
Đs: V =
2
Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = 3 và góc giữa 2 đường
chéo bằng 60o, các cạnh bên nghiêng đều với đáy 1 góc 45o. Tính VSABCD.
3
Đs: V =
3
o
o
Bài 7: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a, ASB = 60 , BSC = 90 , CSA = 120o. Chứng
a 2
minh rằng ∆ABC vuông .Tính VSABC .
Đs: V =

12
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a ,SB= a 3 và mặt
phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB.BC.
a3 3
Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN.
Đs: vS . BMDN =
3
Bài 9: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Gọi M,
N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’. Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo
ra.
Đs: k = 1
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,mặt bên SAD là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC,
CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
b) AB = 1, SA = 2 .

Đs: V =

Đs : vM .CNP

a3 3
=
96

Trang 19


Chuyên đề hình học 12
Bài tập ôn tập hình không gian
Với tứ diện OABC có 3 mặt là tam giác vuông tại O.

Cho tứ diện OABC có 3 mặt là tam giác vuông tại O.
1. Chứng minh rằng tam giac ABC nhọn.
2. H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng OH vuông góc với (ABC).
3. Kẻ OH vuông góc với (ABC) tại H. Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác ABC.
4. Chứng minh rằng: S2ABC = S2OBC+S2OAC+S2OAB
5. Cho OA = a, OB = b, OC = c. Tính diện tích tam giác ABC.
6. Cho OA = a, OB = b, OC = c. T ính khoảng cách từ O đến (ABC)
7. Cho OA = a, OB = b, OC = c. T ính OG với G là trọng tâm tam giác ABC.
8. H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng: S2OBC = SABC.SHBC
9. Gọi α , β , ϕ là 3 góc tạo bởi (ABC) với (OBC), (OAC), (OAB). Chứng minh rằng cos2 α +cos2 β +cos2 ϕ
=1
1
1
1
1
=
+
+
10. H là trực tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng:
2
2
2
OH
OA
OB
OC 2
11. Cho OA = a, OB = b, OC = c. E là trung điểm BC. Tính khoảng cách từ OE đến AB.
12. CHo H là trực tâm tam giác ABC. ∠ AOH= α , ∠ BOH= β , ∠ COH= ϕ . Chứng minh rằng sin2 α +sin2 β
+sin2 ϕ =2.
13. M tuỳ ý thuộc miền tam giác ABC. ∠ AOM= α , ∠ BOM= β , ∠ COM= ϕ . Chứng minh rằng cos2 α +cos2

β +cos2 ϕ =1
Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA = 1; OB = 2; OC = 3.
1) Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng (ABC).
2) Gọi I là trung điểm AC, tính khoảng cách từ O tới BI.
Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Gọi D, E lần
lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Biết rằng AB = a, BC = a 2 ,
SA = a 3 .
1) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (ADE).
2) Hãy tính thể tích hình chóp S.ADE theo.
3) Tính khoảng cách giữa SB với AC.
Bài 3: Tính thể tích của khối tứ diện đều có cạnh đáy là a 3 .
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các mặt bên của hình chóp tạo với
mặt phẳng đáy góc 600 .
1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a; BC = 2a, AA’ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho
AM = 3MD.
1) Tính thể tích khối chóp M.AB’C.
2) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C).
Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a; BC = 2a, AA’ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho
AM = 3MD.
1) Tính thể tích khối chóp M.AB’C
2) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C).
Bài 7*: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC,
SB' 2
= . Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.
SD lần lượt tại B’, C’, D’. Biết AB = a,
SB 3
Bài 8*: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, cạnh đáy BC = a 2 và
AA’= a. Tính thể tích của khối tứ diện AA’B’C.

·
Bài 9*: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, ABC
= 600 , AB = a (a > 0), H là trung điểm
AB, SH vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SHC) là 300 .

Trang 20


Chuyên đề hình học 12
1) Tính độ dài đường cao hình chóp S.ABC.
2) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
·
Bài 10*: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân, cạnh đáy BC = 2a và BAC
= α , đỉnh A’
của đáy trên cách đều ba điểm A, B, C và cạnh bên tạo với mặt đáy góc 600 .
1) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a và α .
2) Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với AA’. Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P)
với lăng trụ ABC.A’B’C’.

I/. KHỐI CHÓP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, biết cạnh SA vuông góc với mặt đáy và
SA=a 2
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
b/ Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh mp(SAI) vuông góc với mp(SBC). Tính thể tích của khối
chóp SAIC theo a .
c/ Gọi M là trung điểm của SB Tính AM theo a
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết SA vuông góc với mặt đáy và SA=AC ,
AB=a và góc ·ABC = 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 3 :Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có canh bằng 2 6 .Điểm M,N là
trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng.Tính thể tích khối chóp SAMN

Bài 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
c / Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối chóp .Hãy kể tên 2 kchóp đó
Bài 5:Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đỉnh S, độ dài cạnh đáy AB=a và góc SAB=60 o. Tính thể tích hình chóp
SABCD theo a
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD là hìnhvuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = a. Tính đường
cao và thể tích khối chóp theo a.
Bài 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với
đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.(Thi TNTHPT 2007 Lần 1)
Bài 8: Cho hình chóp tứ giácS.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , cạnh bên SAvuông góc với đáy
và SA = AC . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD .(Thi TNTHPT 2007 Lần 2)
Bài 9:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng
( ABC ) . Biết Biết AB = a, BC = a 3 và SA = 3a. (Thi TNTHPT 2008 lần 1)
1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.
Bài 10:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, đường thẳng SA vuông góc
với mặt phẳng ( ABC ) . Biết AB = a, BC = a 3 và SA = 3a. (Thi TNTHPT 2008 lần 2)
1. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
2. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy. Biết góc BAC = 1200, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
[TNTHPT 2009]

Trang 21


Chuyên đề hình học 12
Bài 12: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với

đáy, góc của cạnh SC với mặt bên SAB là α. Cho SA = a.
·
a) Chứng minh rằng BSC
= α và AB =

asin α
cos 2α

.

b) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
Bài 13: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a) Tính độ dài đường cao AH của khối tứ dĩện.
b) Gọi M là một điểm bất kỳ trong khối tứ diện. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến 4 mặt
của tứ diện là một số không đổi.
·
Bài 14: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và ASB
= 2α .
a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

ĐS: a2 (1 + cot α) )

πa3
b) Tính thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. ĐS:
12

cot 2 α − 1

πa3
c) Định α để thể tích khối nón là

.
ĐS: arc cot 2
12
Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt
phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

ĐS:

a3 3
6

15
5
c) Mặt phẳng (P) qua CD cắt SA tại M; SB tại N. Tứ giác CDMN là hình gì.
Bài 16: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a. Hai mặt ( ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC).
Tính thể tích hình chóp. ĐS: a
Bài 17: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a , biết
SA vuông góc với đáy
ABC và SB hợp với đáy một góc 60.
a/. Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông.
b/. Tính thể tích hình chóp.
ĐS: V =
Bài 18: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết SA vuông góc với
đáy ABC và (SBC)
hợp với đáy một góc 60. Tính thể tích hình chóp.
ĐS: a
Bài 19: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc
với đáy ABCD và
mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60.

a/. Tính thể tích khối chóp SABCD.
b/. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD). ĐS: V = ; AH =
Bài 20: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a
biết SA vuông góc
với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30. Tính thể tích hình chóp. ĐS:
Bài 21: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h, biết tam giác
ABC đều và mặt
(SBC) hợp với đáy ABC một góc 30. Tính thể tích khối chóp SABC.
ĐS:
Bài 22: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC
biết SB = a, SC hợp
với (SAB) một góc 30 và (SAC) hợp với ( ABC) một góc 60. Chứng
minh rằng SC = SB + AB +
AC. Tính thể tích hình chóp . ĐS:
Bài 23: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc ( ABC) biết AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm.
a/. Tính thể tích ABCD.
b/. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ABCD). ĐS: V = 8 cm. d =
b) Tính góc của cạnh bên SC với mặt phẳng đáy.

ĐS: arctan

Trang 22


Chuyên đề hình học 12
Bài 24: Cho khối chóp SABC có đáy ABC cân tại A với BC = 2a, góc = 120, Biết
SA ⊥ (ABC) và mặt
(SBC) hợp với đáy một góc 45. Tính thể tích khối chóp SABC.
ĐS: V =
Bài 25: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, biết SA ⊥ (ABCD), SC hợp

với đáy một góc 60.
Tính thể tích khối chóp.
ĐS: V =
Bài 26: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết rằng SA ⊥ ( ABCD),
SC hợp với đáy một
góc 45, và AB = 3a, BC = 4a. Tính thể tích khối chóp. ĐS: V = 20a
Bài 27: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 60 và SA ⊥ (ABCD), biết
rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC bằng a. Tính thể tích khối chóp SABCD. ĐS: V =
Bài 28: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, biết AB =
AC = a, AD = 2a,
SA ⊥ (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60. Tính thể tích khối chóp SABCD.
ĐS: V =
Bài 29: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa
đường tròn đường kính
AB = 2R, biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD một góc 45. Tính thể tích khối chóp SABCD.
ĐS: V =
Bài 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD.
1/ Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
1
a3 3
SABCD. SH =
3
6
Bài 31: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D, (ABC) ⊥ (BCD) và AD
hợp với (BCD) một góc 60o. Tính thể tích tứ diện ABCD.
2/ Tính thể tích khối chóp SABCD.

ĐS: V=

1
1 1
a3 3
SBCD.AH = . BC.HD.AH =
3
3 2
9
Bài 32: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với
đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45o.
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
ĐS: V =

1
a3
SABC.SH =
3
12
Bài 33: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc
với ( ABC).
a/. Chứng minh chân đường cao của hình chóp là trung điểm của BC.
b/. Tính thể tích khối chóp SABC.
ĐS: V =
Bài 34: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam giác SAB cân tại S và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với (ABC), mặt phẳng (SAC) hợp với
(ABC) một góc 45. Tính thể tích của SABC.
ĐS: V =
Bài 35: Cho hình chóp SABC có = 90. SBC là tam giác đều cạnh a và (SAB) ⊥ (ABC). Tính thể tích khối chóp
SABC.
ĐS: V =
Bài 36: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều; tam giác SBC có đường cao

SH = h và (SBC) ⊥
(ABC). Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30. Tính thể tích khối chóp SABC.
ĐS: V =
Bài 37: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau
biết AD = a. Tính thể tích tứ diện.
ĐS:
Bài 38: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao SH = h,
nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD).
a/. Chứng minh chân đường cao của khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
b/. Tính thể tích khối chóp SABCD.
ĐS: V =
Bài 39: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều cạnh a nằm
trong mặt phằng
vuông góc với (ABCD), biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30. Tính
thể tích khối chóp.
ĐS: V =
b) Tính thể tích khối chóp SABC.

ĐS: VSABC =

Trang 23


Chuyên đề hình học 12
Bài 40: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, BC = 4a, SAB ⊥
(ABCD), hai mặt
bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc 30. Tính thể
tích khối chóp SABCD.
ĐS: V =
Bài 41: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác SAD vuông cân tại S,

nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD. Tính thể tích hình chóp
SABCD.
ĐS: V =
Bài 42: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D. AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác
SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể
tích khối chóp SABCD.
ĐS: V =
Bài 43: Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. chứng minh rằng chân đường
cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC. Tính thể
tích chóp đều SABC.
ĐS: a
Bài 44: Cho khối chóp tứ giác có tất cả các cạnh có độ dài bằng a.
a/. Chứng minh SABCD là chóp tứ giác đều.
b/. Tính thể tích khối chóp SABCD.
ĐS: V =
Bài 45: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. M là trung điểm DC.
a/. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b/. Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC). Suy ra thể tích hình chóp MABC.
ĐS: V =
Bài 46: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a, hợp với đáy ABC một góc 60. Tính thể tích khối chóp.
ĐS: V =
Bài 47: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên bằng a, góc ở đáy của mặt bên là
45.
a/. Tính độ dài chiều cao SH của chóp SABC.
ĐS: SH =
b/. Tính thể tích hình chóp SABC.
ĐS:
Bài 48: Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy
một góc 60.
Tính thể tích hình chóp SABC.

ĐS: V =
Bài 49: Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h hợp với mặt bên một góc 30. Tính
thể tích hình
chóp.
ĐS: V =
Bài 50: Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60.
Tính thể tích
khối chóp.
ĐS: V = h
Bài 51: Cho hình chóp tứ giác đều SBACD có cạnh đáy a và = 60.
a/. Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp đều.
ĐS: S =
b/. Tính thể tích hình chóp.
ĐS: V =
Bài 52: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h, góc ở đỉnh của mặt bên bằng
60. Tính thể
tích khối chóp.
ĐS: V = 2
Bài 53: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45 và khoảng cách từ chân đường cao của
chóp đến mặt bên bằng a. Tính thể tích hình chóp.
ĐS: 8a
Bài 54: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc 60. Tính thể
tích hình chóp.
ĐS:
Bài 55: Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD
là hình chóp tứ giác
đều. Tính cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng
V = 9a
ĐS: AB = 3a.
II/. KHỐI LĂNG TRỤ:

Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông cân tại A, cạnh BC = a , biết A’B = 3a. Tính thể tích
khối lăng trụ.
Bài 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng
trụ.
Bài 3: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích
khối lăng trụ.

Trang 24


Chuyên đề hình học 12
Bài 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12cm rồi
gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích của cái hộp này.
Bài 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60 . đường chéo lớn của đáy bằng
đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tình thể tích hình hộp.
Bài 6: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính thể tích và
tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.
Bài 7: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là tứ giác đều cạnh a, biết rằng BD’ =
a. Tính thể tích của
lăng trụ.
Bài 8: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm, biết rằng chu vi đáy bằng
hai lần chiều cao lăng trụ. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ.
Bài 9: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm, 13cm, 30cm, biết
tổng diện tích các mặt
bên là 480cm. tính thể tích lăng trụ.
Bài 10: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện
tích các mặt cùa lăng trụ
96cm . Tính thể tích lăng trụ.
Bài 12 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo bằng a .
a/ Tính thể tích khối LP theo a

b/ Tính thể tích của khối chóp A. A’B’C’D’ theo a .
Bài 13 : Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a .
a/ Tính thể tích khối lăng trụ theo a .
b/ Tính thể tích của khối chóp A’. ABC theo a .
Bài 14: Một hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân (AB = AC = a). Đường chéo BC’ của
mặt bên BCC’B’ tạo với mặt bên ACC’A’ góc α.
· B= α.
a) Chứng minh rằng AC'
b) Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ.
Bài 15: Một khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường vuông góc
hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC.
a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.(ĐS: 300)
b) Tính thể tích của khối lăng trụ.(ĐS:

a3 3 )
8

c) Chứng minh mặt bên AA’C’C là hình chữ nhật.
Bài 16: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác ABC vuông tại B. Biết BB’=AB=h và góc của B’C
làm với mặt đáy bằng α.
·
·
a) Chứng minh rằng BCA
.
= B'CB

1
3

b) Tính thể tích của khối lăng trụ.(ĐS: h 3 cot α )

c) Tính diện tích thiết diện tạo nên do mặt phẳng ACB’ cắt khối lăng trụ.
µ =600. Đường chéo
Bài 17: Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = a C
BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) một góc 300.
a) Tính độ dài đoạn AC’.
ĐS: 3a
b) Tính thể tích của khối lăng trụ.

ĐS: a3 6

Bài 18: Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có cạnh bên 2a. Đáy ABC là tam giác vuông tại A, có AB=a, AC=a
3 , hình chiếu của A’ trên đáy ABC trùng với trung điểm A của cạnh BC. Tính thể tích của lăng trụ. Tính góc
giữa B’C’ và AA’.
Bài 19: Biết thể tích khối hộp ABCDA1B1C1D1 bằng V. tính thể tích khối tứ diện ACB1D1
Bài 20:Cho lăng trụ đều ABCA1B1C1.Tam giac ABC1 có diện tích là 3 S và hợp với mặt đáy góc α

Trang 25